Elektrodynamik (WS 14/15)

Elektrodynamik (WS 14/15)
Übung XIII (Abgabe: 26.01.15)
1. Klassisches Wasserstoffatom (8 Punkte)
Ein Elektron bewegt sich klassisch auf einer Kreisbahn mit Radius r um ein
2
Proton; es wirkt die Coulombkraft F~ = − 4πe0 r2 ~er .
(a) Bestimmen Sie die gemittelte abgestrahlte Leistung P̄ eines Elektrons auf
einer Kreisbahn in der Dipolnäherung. Berechnen Sie dazu das elektrische
Dipolmoment p~(t) für diesen Fall und verwenden Sie die in der Vorlesung
hergeleitete Gleichung (264 im Skript) für die abgestrahlte Leistung eines
elektrischen Dipols in der Fernfeldnäherung:
P =
1
¨(t − r )|2 .
|
p
~
6π0 c3
c
Warum spielt das magnetische Dipolmoment keine Rolle bei der Abstrahlung?
~ als Funktion des Bahnra(b) Drücken Sie die Energie E und den Drehimpuls L
dius r aus. Berechnen Sie die zeitgemittelte abgestrahlte Leistung P̄ (r).
(c) Die abgestrahlte Leistung führt zu einer Abnahme des Bahnradius r(t). Stellen Sie eine Differenzialgleichung für r(t) auf und integrieren Sie diese mit
der Anfangsbedingung r(0) = aB (Bohrscher Radius). Schätzen Sie die Spiralzeit T ab, nach der das Elektron auf das Proton fällt. Diskutieren Sie den
~
zeitlichen Verlauf der Energie E(t) und des Drehimpulses L(t).
Hinweis: Verifizieren Sie, dass sich das Teilchen, trotz Änderung des Bahnradius,
näherungsweise auf einer Kreisbahn bewegt. Verwenden Sie diese Näherung auch
bei der Abschätzung von T .
2. Die Hexe (5 Punkte)
Eine Hexe fliegt mit ihrem Nimbus 2015 (Fabrikationslänge: l = 3 m) mit v = 32 c
√
durch eine s = 5 m lange Scheune. Harry beschließt, ihr einen kleinen Streich
zu spielen und für einen kurzen Moment beide Tore der Scheune zu schließen,
sobald der vordere Punkt des
q Besens das√hintere Tor erreicht. Aus Sicht Harrys
2
hat der Besen die Länge 3 1 − vc2 m = 5m, passt also genau in die Scheune,
und die Hexe bleibt unversehrt. Aus Sicht der Hexe aber ist die Scheune lorentzkontrahiert, so dass der Streich von Harry böse Folgen für die Hexe hat. Klären
Sie das Problem sowohl im Minkowski-Diagramm, als auch mit Hilfe der Lorentztransformation. Wählen Sie das Ereignis Spitze des Besens am Eingangstor der
”
Scheune“ als Ursprung in beiden Systemen, und bestimmen Sie die Koordinaten
der relevanten Ereignisse in beiden Bezugssystemen. Beschreiben Sie, was aus
Sicht der Hexe passiert.
3. Felder-Transformation (5 Punkte)
(a) Zeigen Sie, z.B. durch explizites Einsetzen der Felder-Transformationen, dass
~ 2 − c2 |B|
~ 2 und E
~ ·B
~
|E|
invariante Größen unter Lorentztranformation sind. Unter welchen Bedin~ und B,
~ ein Bezugssystem, in dem E
~0 = 0
gungen gibt es, zu gegebenem E
~ 0 = 0 gilt?
bzw. B
(b) Im Inertialsystem K seinen ein elektrisches und ein magnetisches Feld gegeben:
~ = (E0 , 0, 0) und cB
~ = 2E0 (cos θ, sin θ, 0).
E
~0
Finden Sie die Lorentztransformation in ein Inertialsystem K 0 , in dem E
~ 0 parallel sind.
und B
Hinweis: Versuchen Sie einen Boost in z-Richtung. Sie sollten
√
β = C1 (1 ± C2 ) als Ergebnis finden. Untersuchen Sie den Fall θ → 0, um
das richtige Vorzeichen der Wurzel zu bestimmen.
Elektrodynamik (WS 14/15)
Präsenzübung 19.01.15
1. Lorentztransformation und Minkowski-Diagramm
Gegeben seien zwei Inertialsysteme K und K 0 , deren Ursprünge für t = t0 = 0
übereinstimmen und die eine relative Geschwindigkeit v in x-Richtung zueinander
haben. In K wird zur Zeit t1 = 0 am Ort x1 = a ein Lichtblitz in −x-Richtung
emittiert (Ereignis 1), der später am K 0 -Ursprung (x02 = 0, Ereignis 2) absorbiert
wird.
(a) Welche der vier Größen in
g10
g20
!
=Λ(v)
g1
g2
!
kennen wir zum Ereignis 1? Wie lauten die anderen? Was kennen wir zum
Ereignis 2?
(b) Erstellen Sie das Minkowski-Diagramm für v = 3c . Benutzen Sie zum Beispiel
a = 4 und zeichnen Sie Ereignis 1 ein. Wie kann man Ereignis 2 konstruieren?
(c) Wie groß ist der räumliche Abstand ∆x0 der beiden Ereignisse für K 0 Bewohner und mit welchem Zeitunterschied ∆t0 sehen sie diese Ereignisse?
0
Entspricht ∆x
der Erwartung?
∆t0