Elektrotechnik

Jan Luiken ter Haseborg
Christian Schuster
Manfred Kasper
Fit für die Prüfung –
Elektrotechnik
Effektives Lernen mit Beispielen
und ausführlichen Lösungen
1 Elektrische Gleichstromnetzwerke
18
a 11
det(A 2 ) = a 21
a
31
y1
y2
y3
a 13
a 23
a 33
= a 11 (y 2 · a 33 − a 23 · y 3 ) − y 1 (a 21 · a 33 − a 23 · a 31 ) + a 13 (a 21 · y 3 − y 2 · a 31 )
Maschenstromverfahren
Aufgabe 1.1
Das folgende lineare Netzwerk ist gegeben:
2R
I01
2R
U03
3R
Ic
U05
U04
U06
5R
Rx
U02
R
4R
Ib
Ia
R
R
Bild 1.1.1 Lineares Netzwerk
a) Formen Sie die Stromquelle I01 in die äquivalente Spannungsquelle U01 um und fassen
Sie Widerstände zusammen, um das Netzwerk zu vereinfachen.
b) Stellen Sie mithilfe des Maschenstromverfahrens das Gleichungssystem für die unabhängigen Ströme Ia , Ib und Ic auf (Matrixform).
c) Der Widerstand R x besteht aus einem Heizdraht. Dieser hat einen Durchmesser von
d = 0,5 mm, eine Länge von l = 50 cm und besteht aus Konstantan mit einem spezifischen Widerstand von 9 = 0,5·10−6 U · m. Bestimmen Sie die Leistung an dem Heizdraht,
wenn der Strom Ia = 500 mA beträgt.
Gegeben ist die Lösungsmatrix eines anderen Netzwerkes.

   

3R 0 2R
Id
10 V
 0 6R R  ·  Ie  =  15 V 
2R R 7R
If
20 V
Lösungsmatrix eines Netzwerks
d) Bestimmen Sie den Strom Id aus der oben genannten Matrix. Der Lösungsweg soll
hierbei erkennbar sein. Geben Sie auch den Zahlenwert für R = 100 U an.
Lösung zu Aufgabe 1.1
Hinweis: Lineare Netzwerke bestehen ausschließlich aus linearen Elementen. Ein lineares
Element zeichnet sich dadurch aus, dass der Strom der Spannung in linearer Weise folgt.
I = k ·U,
wobei k ein Proportionalitätsfaktor ist.
Lösung zu Aufgabe 1.1
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a) Erstellung der äquivalenten Spannungsquelle:
3R ist parallel zur Stromquelle I01 , daher kann die äquivalente Spannungsquelle als
U01 = 3R · I01 geschrieben werden.
Vereinfachung des Netzwerkes:
Die Parallelschaltung aus den beiden Widerständen 2R wird zu 2R k 2R = R vereinfacht.
Die Reihenschaltung aus R und R wird zu 2R vereinfacht.
U01 = 3 RI01
R
3R
Ic
U05
U04
U03
I01
U06
5R
Rx
R
4R
U02
Ib
2R
Ia
Bild 1.1.2 Vereinfachung des
Netzwerks
Ia
Ib
Ic
Quellen
Masche I
5R + R x
4R
0
U02 + U03 − U04
Masche II
4R
11R
−5R
U05 − U04
Masche III
0
−5R
9R
U06 − U05 − U01
b)
Die angegebene Matrix ist eine von mehreren möglichen Lösungen. Die Richtung der
Maschenumläufe kann beliebig gewählt werden.
c) Berechnung des Widerstandes des Drahtes: R x = 9 ·
l
p · r2
= 1,27 U
Berechnung der Leistung: PR x = Ia2 · R x = 0,32 W
d)
det(A) = (300 · 600 · 700 − 200 · 600 · 200 − 100 · 100 · 300) · U3
= 99 000 000 U3
det A d = (10 · 600 · 700 + 200 · 15 · 100 − 200 · 600 · 20 − 10 · 100 · 100) · V · U2
= 2 000 000 V · U2
det A d
= 0,0202 A
Id =
det(A)
1 Elektrische Gleichstromnetzwerke
20
Aufgabe 1.2
Das folgende lineare Netzwerk ist gegeben:
I01
U02
Rx
Ia
R
R
R
R
R
R
Ib
U03
R
Ic
R
Bild 1.2.1 Lineares Netzwerk
a) Formen Sie die Stromquelle I01 in die äquivalente Spannungsquelle U01 um und vereinfachen Sie das Netzwerk.
b) Stellen Sie mithilfe des Maschenstromverfahrens das Gleichungssystem für die unabhängigen Ströme Ia , Ib und Ic auf (Matrixform).
Es seien nachfolgende Werte gegeben:
R = 100 U, R x = 100 U,
I01 = 50 mA, U02 = 10 V, U03 = 5 V
c) Bestimmen Sie den Strom Ia zunächst algebraisch. Geben Sie danach ebenfalls seinen
Zahlenwert an.
Die Größe des Widerstands R x sei temperaturabhängig. Sein Temperaturkoeffizient a
betrage bei 20 ◦ C a20 = 3,85 · 10−3 K−1 . Somit ist sein Widerstand bei 20 ◦ C R x,20 = 100 U.
d) Der Widerstand R x erwärmt sich von Raumtemperatur (20 ◦ C) auf 200 ◦ C. Geben Sie nun
den neuen Strom Ia (T = 200 ◦ C) an.
Lösung zu Aufgabe 1.2
a) Vereinfachung des Netzwerkes: Umformen von I01 in U01 , Zusammenfassen der Widerstände zu 3R.
I01
Ia
U02
Rx
U01 = RI01
R
3R
Ib
R
U03
Ic
3R
Bild 1.2.2 Vereinfachung des Netzwerks
Aufgabe 1.3
Ia
Ib
Ic
Quellen
Masche a
Rx + R + R
R
−R
−U02
Masche b
R
3R + R
0
−U01
Masche c
−R
0
3R + R
U03
b)
21
det(A) = 16R 2 R x + 24R 3
c)
det (A a ) = R 2 (4U01 − 16U02 + 4U03 )
Ia =
4U01 − 16U02 + 4U03
det (A a )
=
det(A)
16R x + 24R
Ia = −30 mA
d) Es wird davon ausgegangen, dass sich der Widerstandswert linear mit der Temperatur
ändert.
R x T = 200 ◦ C = R x,20 + a20 · T − 20 ◦ C
R x T = 200 ◦ C = R x,20 · 1 + a20 · T − 20 ◦ C = 169,3 U
Ia wird analog Aufgabenteil c) berechnet:
Ia T = 200 ◦ C = −23 mA
Aufgabe 1.3
Das folgende lineare Netzwerk ist gegeben:
3R
I3
Uq2
R
I1
Iq1
4R
2R
R
U4R
Uq3
R
I4R
R
2R
I2
Bild 1.3.1 Lineares Netzwerk
a) Formen Sie die Stromquelle Iq1 in eine äquivalente Spannungsquelle Uq1 um.
b) Die eingezeichneten Ströme I1 , I2 und I3 sind unabhängig. Geben Sie für diesen Fall den
vollständigen Baum für das umgeformte Netzwerk an.
c) Stellen Sie mithilfe des Maschenstromverfahrens ein lineares Gleichungssystem für diese
unabhängigen Ströme auf (Matrixform).
Es seien nachfolgende Werte gegeben:
R = 100 U, Iq1 = 100 mA, Uq2 = 10 V, Uq3 = 30 V
d) Berechnen Sie die Ströme I1 und I2 .
e) Berechnen Sie die Spannung U4R .
1 Elektrische Gleichstromnetzwerke
22
Lösung zu Aufgabe 1.3
a)
3R
I3
R
I1
2R
Uq2
4R
U4R
R
Uq3
R
Uq1
2R
R
I2
Bild 1.3.2 Umwandlung der Stromquelle in
eine äquivalente Spannungsquelle
b) Der vollständige Baum verbindet alle Knoten eines Netzwerkes, ohne dass eine geschlossene Masche gebildet wird. Er besteht aus (k − 1) Baumzweigen, wobei k die Anzahl der
Knoten ist.
Bild 1.3.3 Vollständiger Baum

   

0
I1
+ Uq3 − Uq2

R  ·  I2  = 
−Uq3
7R
I3
−Uq1
−4R
7R
R
c)
6R
 −4R
0
d)
I1 = 11,36 mA
I2 = −32,95 mA
e)
I4R = I2 − I1 = −44,28 mA
U4R = I4R · 4R = −17,712 V
Aufgabe 1.4
2R
Ia
4R
U02
I01
UR
R
2R
R
R
2R
Ib
I03
Bild 1.4.1 Lineares Netzwerk
R = 10 U, I01 = 100 mA, U02 = 5 V, I03 = 50 mA
a) Wandeln Sie alle in der gegebenen Schaltung enthaltenen Stromquellen in äquivalente
Spannungsquellen um.