Das nichtlineare, PT-symmetrische Doppel–Potential

Inhalt
Das nichtlineare, PT -symmetrische Doppel-δ-Potential –
ein Einblick in einen Teil der Forschung am ITP1
1
Ein paar Grundlagen
Nicht-hermitesche Quantensysteme
PT -symmetrische Systeme in der Physik
Bose-Einstein-Kondensate
Holger Cartarius
2
Bose-Einstein-Kondensate in einem PT -symmetrischen Doppel-δ-Potential
Reduktion auf die „unendlich dünne“ Mulde
Analytischer Ansatz im linearen Spezialfall
Numerische Lösungen und physikalische Effekte
3
Was tun Studenten in einem solchen Forschungsthema? Beispiel: eine kürzlich
abgeschlossene Bachelorarbeit
Fragestellung
Aufgabe
Ergebnisse
4
Zusammenfassung
1. Institut für Theoretische Physik, Universität Stuttgart
Freitag, 29. November 2013
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
Ein paar Grundlagen
29.11.2013
1 / 49
Holger Cartarius (ITP1)
Nicht-hermitesche Quantensysteme
PT -symmetrische BECs
Ein paar Grundlagen
Zeitunabhängige Schrödingergleichung
29.11.2013
2 / 49
Nicht-hermitesche Quantensysteme
Stationäre Zustände
Zustände der Form
Ist ein Potential nicht explizit zeitabhängig, d.h. V (r, t) = V (r), lautet die
zeitabhängige Schrödingergleichung:
∂
~2
i~ ψ(r, t) = −
∆ + V (r) ψ(r, t)
(1)
∂t
2m
Dann gelingt die Separation des Zeitverhaltens mit dem Ansatz
ψ(r, t) = ϕ(r)e−iEt/~
(2)
und es folgt durch Einsetzen in (1) die zeitunabhängige Schrödingergleichung
~2
−
∆ + V (r) ϕ(r) = Eϕ(r) .
(3)
2m
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
29.11.2013
4 / 49
ψ(r, t) = ϕ(r)e−iEt/~
(2)
heißen „stationäre Zustände“. Ihre Zeitentwicklung besteht nur aus einer Phase.
Ihr Betragsquadrat ändert sich nicht.
Beispiel
Grundzustand des eindimensionalen harmonischen Oszillators:
1
x2
~ω
ϕ(x) = p √ exp − 2 ,
E0 =
2x
2
x0 π
0
1
x2
ω ψ(x, t) = p √ exp − 2 exp −i t
2x0
2
x0 π
2
1
x
|ψ(x, t)|2 = √ exp − 2
x0
x0 π
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
29.11.2013
5 / 49
Ein paar Grundlagen
Nicht-hermitesche Quantensysteme
Ein paar Grundlagen
Resonanzphänomene
Nicht-hermitesche Quantensysteme
Nicht-hermitesche Hamiltonoperatoren
Betrachte den folgenden Zustand.
Dieser ist metastabil.
V(x)
Formal lässt sich das Zeitverhalten (4) durch eine komplexe Energie erreichen:
ψ(x)
begrenzter Raumbereich
Ẽ = E − i
Ein Zerfall über einen Tunnelprozess
ist möglich.
Γ
2
(5)
Denn es ist:
Zeitabhängiges Phänomen:
zeitabhängige Schrödingergleichung
muss gelöst werden.
|ϕ(x)e−iẼt/~ |2 = |ϕ(x)e−iEt/~ e−Γt/(2~) |2 = |ϕ(x)|2 e−Γt/~
x
Effektive Beschreibung
Am lokalen Minimum
Komplexe Energien der Form (5) können nur mit nicht-hermiteschen
Hamiltonoperatoren erhalten werden.
Betrachte den von den blauen Linien begrenzten Raumbereich um das lokale
Minimum. Dort nimmt beim Zerfall die Amplitude ab:
|ψ(x, t)|2 = |ϕ(x)|2 e−Γt/~ ,
Diese ermöglichen eine effektive Beschreibung zeitabhängiger Phänomene
(z.B. Zerfall der Amplitude in einem begrenzten Raumbereich) mit der
zeitunabhängigen Schrödingergleichung.
(4)
Γ ist die Zerfallsrate.
Motivation: Vorteile in der numerischen Berechnung
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
Ein paar Grundlagen
29.11.2013
Holger Cartarius (ITP1)
6 / 49
PT -symmetrische BECs
PT -symmetrische Systeme in der Physik
Ein paar Grundlagen
Nicht-hermitesche Hamiltonoperatoren für gebundene
Zustände?
29.11.2013
7 / 49
PT -symmetrische Systeme in der Physik
Spektrum des Modells von Bender und Boettcher
Numerisches Ergebnis für die
Energieeigenwerte:
Resultate:
Frage
19
Nicht-hermitesche Hamiltonoperatoren lassen sich zur effektiven
Beschreibung ungebundener Zustände, die zerfallen, verwenden.
17
Können sie auch stationäre Zustände beschreiben?
13
Energy
15
Bender und Boettcher 1998:
(6)
Für N ≥ 2 ist das gesamte
Spektrum reell!
3
1
Dieses Modell enthält für N = 2 den harmonischen Oszillator, dieser ist
hermitesch.
1
Aber was passiert für N ∈ R, N 6= 2?
PT -symmetrische BECs
9
5
N
−ϕ (x) − (ix) ϕ(x) = Eϕ(x)
Holger Cartarius (ITP1)
Nicht in der Abbildung dargestellt:
Nachdem zwei Energien in einem
Verzweigungspunkt
zusammenlaufen, existieren sie als
komplexe Energien weiter.
11
7
Betrachtung des nicht hermiteschen Potentials V (x) = −(ix)N :
00
Obwohl der Hamiltonoperator nicht
hermitesch ist, gibt es reelle
Energieeigenwerte.
2
3
N
4
5
Die Struktur des Spektrums (reelle
oder komplexe Energien) hängt vom
Parameter N ab.
C. M. Bender, S. Boettcher, Phys. Rev. Lett. 80, 5243 (1998)
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Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
29.11.2013
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Ein paar Grundlagen
PT -symmetrische Systeme in der Physik
Ein paar Grundlagen
PT -Symmetrie des Hamiltonoperators
PT -symmetrische Hamiltonoperatoren
Parität: Raumspiegelung P : x → −x ,
Zeitumkehr T : x → x ,
p → −p ,
Zur Bedeutung PT -symmetrischer Systeme
Für offene Quantensysteme mit ungebundenen Zuständen ist die
PT -Symmetrie sehr interessant, weil sie wichtige Spezialfälle enthält →
Beispiel folgt.
p → −p
i → −i
[PT , H] = 0
(7)
Eine kleine Rechnung für einen PT -symmetrischen Hamiltonoperator mit
dem Eigenzustand ψ(x) und Eigenwert Ẽ:
Ẽ ∗ = Ẽ
PT -symmetrische BECs
V ∗ (−x) = V (x)
(9)
Ein paar Grundlagen
29.11.2013
(10)
Die PT -Symmetrie erfordert folgende Form des Potentials:
→ PT -symmetrische Eigenzustände PT -symmetrischer Operatoren haben
reelle Eigenwerte!
Holger Cartarius (ITP1)
= (V ∗ (−x) − V (x)) PT = 0
(8)
→ Wenn ψ(x) Eigenzustand zu H mit Eigenwert Ẽ ist, dann ist PT ψ(x)
Eigenzustand zu H mit Eigenwert Ẽ ∗ .
Nehmen wir jetzt an, dass ψ(x) selbst PT -symmetrisch ist, also
PT ψ(x) = ψ(x). Dann lesen wir aus Gleichung (8) ab:
also:
Was bedeutet die PT -Symmetrie für den Hamiltonoperator?
2
2
p
p
[PT , H] = PT
+ V (x) −
+ V (x) PT
2m
2m
!
PT Hψ(x) = HPT ψ(x) = PT Ẽψ(x) = Ẽ ∗ PT ψ(x)
Hψ(x) = Ẽ ∗ ψ(x) ,
PT -symmetrische Systeme in der Physik
10 / 49
Realteil: gerade Funktion, Re V (−x) = Re V (x)
Imaginärteil: ungerade Funktion, Im V (−x) = − Im V (x)
Das Potential darf aber komplex sein!
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
Ein paar Grundlagen
PT -symmetrische Systeme in der Physik
Die Physik hinter PT -symmetrischen Potentialen
(11)
29.11.2013
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PT -symmetrische Systeme in der Physik
Bekanntes Beispiel als Analogon: Optik
Physikalische Realisierung komplexer
Gleichungen:
Im( V(x) )
Verstärken der Lichtintensität:
optisches Pumpen
Abschwächen der Intensität:
absorbierende Materialien
x
Links:
Beschreibung durch komplexen
Brechungsindex n
Rechts:
Im V (x) = −Γ < 0
Im V (x) = +Γ > 0
Amplitude nimmt ab: Verlust
Amplitude nimmt zu: Gewinn
|ψ(t)| ∼ e−Γt/~
|ψ(t)| ∼ e+Γt/~
Klaiman et al., PRL 101, 080402 (2008)
Physikalische Modellbildung
PT -symmetrische Hamiltonoperatoren beschreiben physikalische Systeme mit
effektiven Gewinn- und Verlusttermen.
Beide sind gleich stark, aber räumlich getrennt.
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
29.11.2013
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PT -symmetrische Systeme wurden tatsächlich zuerst in der Optik untersucht
und experimentell nachgewiesen.
Bis heute gibt es keinen experimentellen Nachweis in einem Quantensystem.
Unsere Motivation: Untersuchen, ob Bose-Einstein-Kondensate sich dafür
eignen.
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
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Ein paar Grundlagen
PT -symmetrische Systeme in der Physik
Ein paar Grundlagen
Bose-Einstein-Kondensate in einer PT -symmetrischen
Doppelmulde
Bose-Einstein-Kondensate
Fermionen und Bosonen bei T → 0 K
Für T → 0 K nimmt jedes Vielteilchen-Quantensystem den energetisch niedrigsten
Zustand an. Dabei ist zu unterscheiden:
Vorschlag von Klaiman et al., PRL 101, 080402 (2008)
Fermionen:
Echtes Quantensystem, Materiewellen!
Aufbau: Bose-Einstein Kondensat gefangen in einer Doppelmulde
Linke Mulde: Atome werden eingekoppelt, Gewinn
Rechte Mulde: Atome werden entfernt, Verlust
V(x)
Bosonen:
Teilchen mit halbzahligem Spin
Teilchen mit ganzzahligem Spin
Jeder Zustand darf nur ein Mal
besetzt sein. Pauli-Verbot!
Alle Teilchen dürfen im selben
Zustand sein.
E
E
ψ (x)
x
x
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
Ein paar Grundlagen
29.11.2013
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Holger Cartarius (ITP1)
Bose-Einstein-Kondensate
Ein paar Grundlagen
Das Bose-Einstein-Kondensat (BEC)
x
PT -symmetrische BECs
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Bose-Einstein-Kondensate
Experimentelle Umsetzung
BEC von
1924 von Satyendra Nath Bose
und Albert Einstein
vorhergesagt:
87
Rb, Wieman et al. 1995
BEC von
23
Na, Ketterle et al. 1995
Verdünntes Gas aus
bosonischen Atomen
Abkühlung T → 0 K
De Broglie-Wellenlänge
kommt in die
Größenordnung des
Atom-Atom-Abstands →
Atome beginnen, in ihren
Grundzustand zu
„kondensieren“
Alle Atome sind bei
T = 0 K im selben
Quantenzustand.
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
29.11.2013
16 / 49
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische
BECs
Nobelpreis
2001
Figure 1: Observation of BEC in rubidium by the JILA group. The
29.11.2013
17 / 49
Ein paar Grundlagen
Bose-Einstein-Kondensate
Ein paar Grundlagen
Theoretische Beschreibung bei T = 0 K
Hartree-Näherung des Vielteilchenproblems
Das Vielteilchenproblem lässt sich nicht exakt lösen und ist bei
N ≈ 105 − 107 Teilchen auch nicht numerisch beherrschbar.
Eine gute Näherung ist der Produktzustand
Hamiltonoperator für N Bosonen
H=−
Bose-Einstein-Kondensate
X
X
~2 X
∆i +
U (ri ) +
V (ri , rj )
2m i
i
i<j
(12)
Ψ({ri }, t) =
Vorkommende Terme neben der kinetischen Energie:
Externes Potential U (r): Erzeugt durch elektromagnetische Felder, die die
Atome anziehen oder abstoßen, Fangen der Atome in einer Falle.
N
Y
ψ(ri , t) .
(14)
i=1
Begründung dafür:
Alle Teilchen im BEC sind im selben Zustand.
Verdünntes Gas: nur schwache Atom-Atom-Wechselwirkung.
0
Zweiteilchen-Wechselwirkung der Atome V (r, r ): Van der
Waals-Wechselwirkung.
Im Rahmen der Streutheorie kann man zeigen, dass in dem verdünnten Gas
nur eine s-Wellen-Streuung mit dem Streuquerschnitt a berücksichtigt werden
muss. In dieser Näherung vereinfacht sich das van der Waals-Potential auf die
Form
4πa~2
V (r, r 0 ) =
δ(r − r 0 ) .
(13)
m
Mit diesem Ansatz führt man eine Variationsrechnung durch.
Ergebnis: die Gross-Pitaevskii-Gleichung (GPE)
−
4πa~2
~2
∂ψ(r, t)
∆ + U (r) +
|ψ(r, t)|2 ψ(r, t) = i~
2m
m
∂t
(15)
Unterschied zur Schrödingergleichung: Die Gleichung ist nichtlinear!
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
BECs im PT -symmetrischen Doppel-δ-Potential
29.11.2013
18 / 49
Holger Cartarius (ITP1)
Reduktion auf die „unendlich dünne“ Mulde
PT -symmetrische BECs
BECs im PT -symmetrischen Doppel-δ-Potential
Zurück zu unserem Vorhaben
19 / 49
Reduktion auf die „unendlich dünne“ Mulde
Das BEC in der Doppel-δ-Mulde
Der Vorschlag war: Betrachtung eines Bose-Einstein Kondensats in einer
Doppelmulde mit komplexen Potentialen, die das Ein- und Auskoppeln von
Atomen effektiv beschreiben.
Re(V (x ))
Im(V (x ))
−a/2
a/2
x
V(x)
29.11.2013
Realteil: attraktives δ-Potential
modelliert eine „unendlich dünne“
Potentialmulde
Imaginärteil: Ein- (positiv, rechte
Seite) und Auskoppeln (negativ,
linke Seite) von Atomen
ψ (x)
Gross-Pitaevskii-Gleichung in geeigneten Einheiten
x
−
Erster Schritt
Mache das System so einfach wie möglich, um die grundlegenden Fragen zu
erkennen und zu verstehen: δ-Potentiale
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
29.11.2013
d2
ψ(x) − (1 + iγ)δ(x + a/2) + (1 − iγ)δ(x − a/2)
dx2
+ g|ψ(x)|2 ψ(x) = −κ2 ψ(x) (16)
Beachte: Der Energieeigenwert ist hier als E = −κ2 angesetzt!
21 / 49
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
29.11.2013
22 / 49
BECs im PT -symmetrischen Doppel-δ-Potential
Analytischer Ansatz im linearen Spezialfall
BECs im PT -symmetrischen Doppel-δ-Potential
Ohne Nichtlinearität (g = 0): analytischer Ansatz
Stetigkeits- und Sprungbedingungen
Das nichtlineare System (16) lässt sich analytisch keine Information
entlocken.
Stetigkeit der Wellenfunktion bei x = ∓a/2:
Ae−κa/2 = Ce−κa/2 + Deκa/2
Das gelingt aber im Spezialfall g = 0.
κa/2
Ce
Schrödingergleichung
a/2
x
Holger Cartarius (ITP1)
Ansatz für die Wellenfunktion:

κx

x < −a/2
Ae
ψ(x) = Ceκx + De−κx |x| ≤ a/2

 −κx
Be
x > a/2
PT -symmetrische BECs
BECs im PT -symmetrischen Doppel-δ-Potential
29.11.2013
(18b)
κa/2
− Dκe
−κa/2
+ Bκe
−κa/2
= (1−iγ)Bκe
−κa/2
(19a)
(19b)
Aus den Gleichungen (18a) bis (19b) gewinnt man das folgende lineare
Gleichungssystem für C und D:
(1 + iγ)e−κa/2
(1 + iγ − 2κ)eκa/2
C
0
=
(20)
D
0
(1 − iγ − 2κ)eκa/2
(1 − iγ)e−κa/2
Holger Cartarius (ITP1)
23 / 49
Analytischer Ansatz im linearen Spezialfall
PT -symmetrische BECs
BECs im PT -symmetrischen Doppel-δ-Potential
Energieeigenwerte: Säkulargleichung
= Be
(18a)
−κa/2
Aκe−κa/2 − Cκe−κa/2 + Dκeκa/2 = (1+iγ)Aκe−κa/2
Cκe
−a/2
+ De
−κa/2
Sprung in der Ableitung bei x = ∓a/2:
d2
− 2 ψ(x) − [(1 + iγ)δ(x + a/2) + (1 − iγ)δ(x − a/2)] ψ(x) = −κ2 ψ(x) (17)
dx
Re(V (x ))
Im(V (x ))
Analytischer Ansatz im linearen Spezialfall
29.11.2013
24 / 49
Analytischer Ansatz im linearen Spezialfall
Stationäre Zustände: Energieeigenwerte
(a)
0.8
Betrachtung von γ = 0, also des hermiteschen
Falls:
Re(κ)
Im(κ)
0.6
0.4
0.2
Bedenke (22): E(κ) = −κ2 , die obere
Linie ist der Grundzustand!
κ
Eine nichttriviale Lösung von des Gleichungssystems (20) gibt es nur, wenn
die Determinante der Koeffizientenmatrix verschwindet.
0
Dies führt auf die Säkulargleichung
-0.2
-0.4
(1 + γ 2 )e−2κa − (1 + γ 2 + 4κ2 − 4κ) = 0 .
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
γ
(b)
Das Lösen von Gleichung (21) führt auf den Exponenten κ und auf die
gesuchten Energieeigenwerte
a = 2.2
-0.6
(21)
0.8
Re(κ)
Im(κ)
0.6
Bei a = 2 geht die zweite κ-Linie durch 0.
0.4
a > 2: Beide Lösungen existieren.
κ
0.2
0
E(κ) = −κ2 .
-0.2
(22)
-0.4
a = 2.0
-0.6
0
Da die Gleichung (21) nicht mehr analytisch aufgelöst werden kann und auch
nur für γ = 0 die Zahl der Lösungen sinnvoll diskutiert werden kann (vgl.
Übungsaufgabe), folgen numerische Lösungen.
(c)
0.1
0.2
0.3
0.4
γ
0.5
0.8
0.6
0.7
0.8
0.7
0.8
Vergleiche die Übungsaufgabe: eine zweite
Lösung gibt es nur bei ausreichendem
Abstand der δ-Funktionen.
Re(κ)
Im(κ)
0.6
0.4
0.2
κ
Beachte: Damit die Wellenfunktionen tatsächlich gebundene und normierbare
Zustände beschreibt, sind nur positive Werte für κ zugelassen!
Für a = 1.8 gibt es nur eine sinnvolle
Lösung (κ > 0), den Grundzustand.
0
-0.2
-0.4
a = 1.8
H. Cartarius, et al., J. Phys. A 45, 444008 (2012)
-0.6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
γ
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
29.11.2013
25 / 49
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
29.11.2013
26 / 49
BECs im PT -symmetrischen Doppel-δ-Potential
Analytischer Ansatz im linearen Spezialfall
BECs im PT -symmetrischen Doppel-δ-Potential
Stationäre Zustände: Energieeigenwerte
(a)
0.8
0.4
0.2
κ
a = 2.2
(b)
0.1
2
0.2
0.3
0.4
γ
0.5
0.6
0.8
0.7
0.8
Re(κ)
Im(κ)
0.6
Zeitentwicklung besteht nur aus einer Phase: ψ(t) ∼ e−i Re(κ)
Die Amplitude (der Betrag) ändert sich zeitlich nicht!
Lösungen mit komplexem κ:
Bei γ ≈ 0.4 treffen sich die Energien in
einem Verzweigungspunkt: Bifurkation
-0.6
0
Wir haben numerisch gefunden:
Lösungen mit reellem κ:
Bei γ > 0 ändern sich beide Energien,
bleiben aber bis γ ≈ 0.4 reell!
0
-0.2
-0.4
Bedeutung der Lösungen
Betrachtung von γ 6= 0, also des
nicht-hermiteschen Falls:
Re(κ)
Im(κ)
0.6
Zeitentwicklung besteht aus einer Phase und einer reellen Exponentialfunktion:
2
2
ψ(t) ∼ e−i(Re(κ) −Im(κ) ) e2 Re(κ) Im(κ)
Positiver Imaginärteil: Die Amplitude steigt an!
Negativer Imaginärteil: Die Amplitude fällt ab!
Für γ ' 0.4 werden die beiden Lösungen
komplex und komplex konjugiert.
0.4
κ
0.2
0
Für ausreichend große γ existiert der
angeregte Zustand auch für a < 2. Ein
positives κ ist möglich.
-0.2
-0.4
a = 2.0
-0.6
0
(c)
0.1
0.2
0.3
0.4
γ
0.5
0.6
0.8
0.7
0.8
Physikalische Bedeutung
γ / 0.4: Die Wellenfunktion kann den Verlust auf der einen Seite durch den
Gewinn auf der anderen ausgleichen → reelle Lösungen. Das System ist
stationär, obwohl es Gewinn und Verlust gibt.
Re(κ)
Im(κ)
0.6
Analytischer Ansatz im linearen Spezialfall
0.4
κ
0.2
0
γ ' 0.4: Der stationäre Zustand bricht zusammen, γ ist so groß, dass der
Verlust nicht mehr ausgeglichen werden kann → komplexe Lösungen.
-0.2
-0.4
H. Cartarius, et al., J. Phys. A 45, 444008 (2012)
a = 1.8
-0.6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
γ
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
BECs im PT -symmetrischen Doppel-δ-Potential
29.11.2013
26 / 49
Holger Cartarius (ITP1)
Analytischer Ansatz im linearen Spezialfall
PT -symmetrische BECs
BECs im PT -symmetrischen Doppel-δ-Potential
Wellenfunktionen der stationären Zustände
Zwischen den δ-Funktionen (−a/2 < x < a/2):
Zwischen den δ-Funktionen (−a/2 < x < a/2):
Wellenfunktionen der reellen Eigenwerte,
γ / 0.4:
3.5
|C1/D1|
|C2/D2|
3
|C/D|
2.5
γ = 0: Der Grundzustand ist
symmetrisch, der angeregte Zustand
ist antisymmetrisch.
2
1.5
1
0.5
0
0
(b)
0.1
0.2
0.3
0.4
γ
0.5
0.6
0.7
0.8
1.5 π
arg(C2/D2)
1.0 π
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Wellenfunktionen der komplexen
Eigenwerte, γ ' 0.4:
3.5
|C1/D1|
|C2/D2|
3
2.5
|C| =
6 |D|: Die Lösungen haben
unterschiedliche
Aufenthaltswahrscheinlichkeiten auf
beiden Seiten.
2
1.5
1
Man sieht deutlich |C| = |D|.
0
0
Man findet sogar, dass D = C ∗ .
(b)
0.1
0.2
0.3
0.5
0.6
0.7
0.8
0.7
0.8
1.5 π
arg(C2/D2)
1.0 π
0.0 π
H. Cartarius, et al., J. Phys. A 45, 444008 (2012)
Die Wellenfunktionen sind nicht
mehr PT -symmetrisch: gebrochene
PT -Symmetrie
0.5 π
0
0.1
0.2
0.3
γ
Holger Cartarius (ITP1)
0.4
γ
arg(C1/D1)
0.5 π
0.0 π
(a)
0.5
Damit ist ψ(x) selbst
PT -symmetrisch: exakte
PT -Symmetrie
arg(C1/D1)
arg(C/D)
ψ(x) = Ceκx + De−κx
arg(C/D)
(a)
+ De
|C/D|
ψ(x) = Ce
−κx
27 / 49
Analytischer Ansatz im linearen Spezialfall
Wellenfunktionen der stationären Zustände
κx
29.11.2013
0.4
0.5
0.6
H. Cartarius, et al., J. Phys. A 45, 444008 (2012)
γ
PT -symmetrische BECs
29.11.2013
28 / 49
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
29.11.2013
28 / 49
BECs im PT -symmetrischen Doppel-δ-Potential
Analytischer Ansatz im linearen Spezialfall
BECs im PT -symmetrischen Doppel-δ-Potential
Zeitentwicklung
Das nichtlineare System
Zeitentwicklung der Superposition beider Eigenzustände:
2
2 2
|ψ(x, t)|2 = ψ1 (x)eiκ1 t + ψ2 (x)eiκ2 t (23)
Gross-Pitaevskii-Gleichung
Für γ = 0 sieht man das typische
Oszillationsverhalten von
Zweiniveausystemen.
Für γ 6= 0 ändert sich die
Oszillationsfrequenz.
−
Die GPE enthält den nichtlinearen Wechselwirkungsterm.
Der Term −g|ψ(x, t)|2 muss zum Realteil des Potentials gezählt werden.
Die Symmetrie des Hamiltonoperators hängt von der Wellenfunktion ψ(x, t)
ab!
Nahe am Bifurkationspunkt:
„Pulsieren“ der Amplitude
Er ist nur PT -symmetrisch, wenn das Betragsquadrat |ψ(x, t)|2 seiner
Lösung eine symmetrische Funktion in x ist!
H. Cartarius, et al., J. Phys. A 45, 444008 (2012)
PT -symmetrische BECs
BECs im PT -symmetrischen Doppel-δ-Potential
29.11.2013
d2
ψ(x) − (1 + iγ)δ(x + a/2) + (1 − iγ)δ(x − a/2)
2
dx
+ g|ψ(x)|2 ψ(x) = −κ2 ψ(x) (16)
Eine ganz neue Frage
Die über den gesamten Raum
integrierte Wahrscheinlichkeitsdichte
ist nicht konstant: möglich wegen
der Gewinn- und Verlustbeiträge!
Holger Cartarius (ITP1)
Holger Cartarius (ITP1)
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Numerische Lösungen und physikalische Effekte
PT -symmetrische BECs
BECs im PT -symmetrischen Doppel-δ-Potential
Die numerische Methode
29.11.2013
30 / 49
Numerische Lösungen und physikalische Effekte
Stationäre Lösungen im nichtlinearen Fall
(a)
Re ψ
Im ψ
0.8
Bis γ ≈ 0.4 gibt es zwei reelle Eigenwerte
κ.
Re(κ)
0.6
0.4
g = 1.0, real eigenvalues
g = 1.0, complex eigenvalues
g=0
-0.2
0
(b)
ψ 0 (0) ∈ C ,
ψ(−∞) → 0 ,
PT -symmetrische BECs
0.2
0.3
γ
0.4
0.5
0.6
0.3
Im(κ)
0
-0.1
κ∈C
-0.2
||ψ|| = 1
29.11.2013
31 / 49
Bei ansteigendem γ vereinen sich die
reellen Eigenwerte in einem
Bifurkationspunkt und verschwinden.
Ein Paar komplex-konjugierter Eigenwerte
zweigt bei γ ≈ 0.31 vom Grundzustand ab.
0.1
Die globale Phase ist frei, wähle daher: Im ψ(0) = 0
Integriere die Wellenfunktion von 0 zu einem großen x-Wert.
Verändere die Startwerte der Integration so lange, bis folgende Bedingungen
an eine normierte Wellenfunktion erfüllt sind:
ψ(∞) → 0 ,
0.1
0.2
Iteratives Vorgehen:
Starte mit beliebig gewählten Werten:
Re ψ(0) ,
Die reellen Lösungen werden nicht von der
Nichtlinearität zerstört!
0.2
0
Holger Cartarius (ITP1)
Numerische Lösungen und physikalische Effekte
-0.3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
H. Cartarius, G. Wunner, Phys. Rev. A 86, 013612 (2012)
γ
Feststellung
Es gibt weiterhin reelle Lösungen, die komplexen, die keinen echten stationären
Zuständen entsprechen, treten aber früher auf. Mit wachsendem g wird der
Bereich, in dem es nur reelle Lösungen gibt kleiner.
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
29.11.2013
32 / 49
BECs im PT -symmetrischen Doppel-δ-Potential
Numerische Lösungen und physikalische Effekte
BECs im PT -symmetrischen Doppel-δ-Potential
Wellenfunktionen zu den reellen Eigenwerten
(a)
0.6
|ψ|
Re(ψ)
Im(ψ)
0.5
0.6
Zerstört die Nichtlinearität −g|ψ(x)|2 die
PT -Symmetrie des Hamiltonoperators?
Entscheidende Frage
0.1
0
0.3
0.2
0.1
-0.1
0
-0.2
-0.1
Beispiel
-0.3
-0.4
-10
-5
0
x
5
0.6
|ψ|
Re(ψ)
Im(ψ)
0.5
0.4
-0.3
-10
(b)
0.1
0
-0.1
-0.2
0
x
5
γ = 0.58, Zustände mit komplexen
Eigenwerten, (a) Im(κ) < 0,
(b) Im(κ) > 0:
10
|ψ|
Re(ψ)
Im(ψ)
0.6
Der nichtlineare Hamiltonoperator wählt
als Lösungen gerade solche aus, die seine
eigene PT -Symmetrie sicherstellen!
0.2
-5
0.8
Betragsquadrat: symmetrisch!
0.3
Beispiel
-0.2
γ = 0.35, Zustände mit reellen Eigenwerten,
Grund- (a) und angeregter (b) Zustand:
10
Zerstört die Nichtlinearität −g|ψ(x)|2 die
PT -Symmetrie des Hamiltonoperators?
0.4
ψ
0.2
ψ
|ψ|
Re(ψ)
Im(ψ)
0.7
0.5
0.3
ψ
0.8
Entscheidende Frage
0.4
(b)
Wellenfunktionen zu den komplexen Eigenwerten
Die Wellenfunktionen gehören zum
Fall gebrochener PT -Symmetrie.
0.4
ψ
(a)
0.2
Der Hamiltonoperator verliert
ebenfalls seine PT -Symmetrie!
0
-0.2
-0.3
-0.4
H. Cartarius, G. Wunner, Phys. Rev. A 86, 013612 (2012)
-0.5
-10
-5
0
5
Numerische Lösungen und physikalische Effekte
-0.4
-10
10
-5
0
5
10
H. Cartarius, G. Wunner, Phys. Rev. A 86, 013612 (2012)
x
x
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
BECs im PT -symmetrischen Doppel-δ-Potential
29.11.2013
Holger Cartarius (ITP1)
33 / 49
Numerische Lösungen und physikalische Effekte
PT -symmetrische BECs
BECs im PT -symmetrischen Doppel-δ-Potential
Analytische Fortsetzung
29.11.2013
34 / 49
Numerische Lösungen und physikalische Effekte
Eine neue Instabilität in der Dynamik
Vollständige mathematische Struktur der Bifurkationen
x
Weitere Lösungen
Die Funktion g|ψ(x)| ist nicht analytisch.
g = 1.0, real eigenvalues
g = 1.0, complex eigenvalues
g = 1.0, analytical continuation
g=0
0
-0.2
0
(b)
0.1
0.2
0.3
γ
0.4
0.5
0.6
Idee: Für die PT -symmetrischen
Wellenfunktionen gilt ψ ∗ (x) = ψ(−x)
60
80
100
2
1.5
1
0.5
0
0
0.1
Im(κ)
40
15
30
45
60
2
1.5
1
0.5
(d) 2
x
0.2
20
(c) 2
−2
Ersetze also: g|ψ(x)|2 → ψ(x)ψ(−x),
letztere Funktion ist analytisch.
0.3
0
0
2
0.2
(b) 2
x
Re(κ)
0.4
0.9
0.7
0.5
0.3
0.1
−2
0.8
0.6
0
−2
x
Die reellen Zweige verschwinden am Bifurkationspunkt, während die komplexen
schon vorher vom Grundzustand abzweigen. Die Zahl der Lösungen ändert sich.
Kann das erklärt werden?
(a)
0.9
0.7
0.5
0.3
0.1
(a) 2
Eine mathematische Frage
0
−2
0
-0.1
0
-0.2
H. Cartarius, G. Wunner, Phys. Rev. A 86, 013612 (2012)
-0.3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
3
6
9
t
12
15
Beispiel
g = 0.5, (a) γ = 0, (b) γ = 0.2,
(c) γ = 0.275, (d) γ = 0.3
Kleine γ-Werte: gleiches Verhalten
wie im linearen Fall.
Bei γ = 0.275 und γ = 0.3:
„Explosion“
Die exponentiell ansteigende Lösung
(Im κ > 0) existiert hier und
dominiert die Zeitentwicklung!
Es gibt eine neue Quelle der
Instabilität!
H. Cartarius, et al., J. Phys. A 45, 444008 (2012)
0.6
γ
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
29.11.2013
35 / 49
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
29.11.2013
36 / 49
Eine Bachelorarbeit
Fragestellung
Eine Bachelorarbeit
Fragestellung
Stabilität des Grundzustands
Stabilität des Grundzustands
Stabilitätsuntersuchung
Stabilitätseigenwerte einer ausgedehnten Doppelmulde
Eine Frage zur Dynamik
Eine realistischere 3-dimensionale Doppelmulde
Die Dynamik hat Instabilitäten gezeigt. Wie kann man untersuchen, wann ein
Zustand stabil ist?
V (x) =
Ansatz für kleine Störungen des stationären Zustands ψ0 (vgl.
Stabilitätsanalyse in der Mechanik):
∗
ψ(x, t) = ψ0 (x, t) + δe−iµt u(x)e−iωt + v ∗ (x)eiω t
0.08
PT -symmetrische BECs
Eine Bachelorarbeit
29.11.2013
Im ω
Re ω
g = 0.05
0.07
0.05
0 < Γ < ΓEP
g = 0.15
0.04
Feststellung:
ω
0.03
g = 0.20
0.02
Es treten imaginäre Eigenwerte ab
einem bestimmten Γ auf.
g = 0.25
0.01
0
−0.01
0
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045
Γ
38 / 49
Holger Cartarius (ITP1)
Fragestellung
Der Grundzustand wird instabil,
sobald die PT -gebrochenen
Zustände auftreten.
PT -symmetrische BECs
Eine Bachelorarbeit
Stabilität des Grundzustands
(24)
Beispiel
g = 0.10
0.06
Bogoliubov-de Gennes-Gleichungen:
∂2
2
V
(x)
−
µ
−
ω
−
2g
|ψ
(x)|
u(x) − gψ02 (x)v(x)
u(x)
=
0
∂x2
∂2
2
∗
∗
v(x)
=
V
(x)
−
µ
−
ω
−
2g
|ψ
(x)|
v(x) − gψ0∗2 (x)u(x)
0
∂x2
Bedeutung des Stabilitätseigenwerts ω:
ω reell: Oszillation, stabil
ω imaginär: exponentielles Verhalten, instabil
Holger Cartarius (ITP1)
2
2
m 2 2 m 2
ωx x + ωy,z (y 2 + z 2 ) + v0 e−σx + iΓxe−ρx
2
2
29.11.2013
39 / 49
Aufgabe
Die Suche nach der Antwort
Eine überraschende Lücke
0,012
0,012
Imµgebrochen
ImωGS
0,008
0,008
0,004
0,004
Erwartung: Die Stabilität ändert
sich exakt dort, wo die
PT -gebrochenen Zustände
entstehen.
Die hier gefundene Lücke tritt in einem ähnlichen Modellsystem, dem
Molekularfeldgrenzwert eines Bose-Hubbard-Dimers, nicht auf:
! 2
1|
g |ψ1 ||ψ
v
d ψ1
2 +|ψ |2 − iγ
ψ1
2
i
=
|ψ2 |2
ψ2
dt ψ2
v
g |ψ1 |2 +|ψ2 |2 + iγ
Beobachtung: Die Stabilität ändert
sich früher.
E.-M. Graefe, J. Phys. A 45, 444015 (2012)
0
0,021
0
0,0215
0,022
Imω
Imµ
Dieses und unser System unterscheiden sich in zwei wichtigen Punkten:
Der Molekularfeldgrenzwert des Bose-Hubbard-Dimers hat nur die vier hier
vorgestellten Zustände, unsere Doppelmulde (24) unendlich viele.
Beim Bose-Hubbard-Dimer tritt eine andere Form der Nichtlinearität ohne
Normabhängigkeit auf.
0,0225
Γ
Zwei mögliche Gründe für die Lücke:
Fragestellung der Bachelorarbeit
Was ist der Ursprung dieser Lücke? Warum ändert sich die Stabilität bei einem
anderen Wert Γ als erwartet?
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
29.11.2013
40 / 49
Wechselwirkung mit höheren angeregten Zuständen.
Einfluss der Norm der Wellenfunktion auf die Dynamik in der
Gross-Pitaevskii-Gleichung.
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
29.11.2013
41 / 49
Eine Bachelorarbeit
Aufgabe
Eine Bachelorarbeit
Testkandidat: Doppel-δ-Potential
Re(V (x ))
Im(V (x ))
Stabilität des Grundzustands im Doppel-δ-System
Das System hat . . .
0.8
nur vier stationäre Zustände wie der
Molekularfeldgrenzwert des
Bose-Hubbard-Dimers und
a/2
x
Beispiel
0.7
a = 2.2, g = 1
0.6
eine normabhängige Nichtlinearität wie die
ausgedehnte Doppelmulde (24).
Re(ω)
Im(ω)
Re(κ)
0.5
κ, ω
−a/2
0.4
0.3
Aufgabe der Bachelorarbeit
γκ
0.2
Einarbeitung in das Thema, in die zugrundeliegende Physik und in ein
vorhandenes Numerikprogramm zum Lösen der eindimensionalen
Gross-Pitaevskii-Gleichung
0.1
0
0
0.05
0.1
Erweiterung des Programms, Implementierung der Stabilitätsanalyse, d.h. der
Bogoliubov-de Gennes-Gleichungen
Eine Bachelorarbeit
29.11.2013
42 / 49
∆γ = γκ − γω
0.3
0.35
0.4
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
Eine Bachelorarbeit
29.11.2013
43 / 49
Ergebnisse
∆γ
Modifizierte Bogoliubov-de Gennes-Gleichungen
0.001
0
-0.001
-0.002
-0.003
-0.004
-0.005
-0.006
-0.007
Mit der normunabhängigen Nichtlinearität lauten die Bogoliubov-de
Gennes-Gleichungen:
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
g
1
Es gibt eine klare Beziehung zum nichtlinearen Term in der
Gross-Pitaevskii-Gleichung.
Als letzter Beweis der Ursache in der Norm: Die Lücke sollte nach der
Substitution
g|ψ|2
g|ψ|2 → R
|ψ|2 dx
in der Gross-Pitaevskii-Gleichung verschwinden, denn dann hängt die
Nichtlinearität nicht mehr von der Norm der Wellenfunktion ab.
Holger Cartarius (ITP1)
0.25
γ
Ergebnisse
Einfluss der Norm
Differenz der γ-Werte
der Bifurkation (γκ ) und
des Stabilitätswechsels
(γω ):
0.2
Die Lücke tritt im Doppel-δ-System auf. Ein Einfluss höher angeregter Zustände
kann als Ursache ausgeschlossen werden.
Interpretation der Ergebnisse
PT -symmetrische BECs
0.15
Eine erste Antwort
Berechnen von Lösungen der Gross-Pitaevskii-Gleichung und ihrer
Stabilitätseigenwerte
Holger Cartarius (ITP1)
Ergebnisse
PT -symmetrische BECs
29.11.2013
∂2
2
u(x)
=
V
(x)
−
µ
−
ω
−
2g
|ψ
(x)|
u(x) − gψ02 (x)v(x)
0
∂x2
− g|ψ0 (x)|2 ψ0 (x)S
∂2
2
v(x) = V ∗ (x) − µ∗ − ω − 2g |ψ0 (x)| v(x) − gψ0∗2 (x)u(x)
2
∂x
− g|ψ0 (x)|2 ψ0∗ (x)S
mit dem Integral
Z
S=
[v(x)ψ0 (x) + u(x)ψ0∗ (x)] dx
Dies ist eine Integro-Differentialgleichung, die numerisch gelöst werden kann.
44 / 49
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
29.11.2013
45 / 49
Eine Bachelorarbeit
Ergebnisse
Zusammenfassung
Stabilität des modifizierten Systems
Zusammenfassung
0.8
Beispiel
0.7
0.6
κ, ω
0.5
PT -symmetrische Quantensysteme: effektive Beschreibung eines offenen
Systems mit Gewinn- und Verlusttermen.
Doppel-δ-Potential (oben) und
Doppelmulde (24) (unten)
Re(ω)
Im(ω)
Re(κ)
0.4
Geeigneter Kandidat für einen experimentellen Nachweis:
Bose-Einstein-Kondensate in einer Doppelmulde, wobei Atome auf einer Seite
ein- und auf der anderen ausgekoppelt werden.
Bisherige Resultate: Prinzipiell sind die Effekte der PT -Symmetrie vorhanden
und sollten auch nachweisbar sein.
0.3
γκ = γω
Ergebnis
0.2
0.1
Die Lücke verschwindet!
0
0
0.05
0.1
0.15
0,012
0.2
γ
0.25
Imµgebrochen
ImωGS
0.3
0.35
0,012
0,004
0,004
0
0
0,0215
0,022
Eindeutige Aussage der
Bachelorarbeit: Die Ursache der
Lücke ist die Normabhängigkeit
der Nichtlinearität!
Trotz der Nichtlinearität gibt es exakt PT -symmetrische stationäre Lösungen
mit reellen Energien.
In einem gewissen Parameterbereiche ist die Dynamik stabil.
Neben den physikalischen Effekten: mathematisch reizvolle Fragestellungen
zu exzeptionellen Punkten, Bifurkationen und Stabilitätseigenschaften.
Es gibt noch viel zu tun: Weitere Arbeiten Bachelor/Master sind zu vergeben.
Interessenten sind jederzeit willkommen!
Imω
0,008
Imµ
0,008
0,021
0.4
0,0225
Γ
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
29.11.2013
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Literatur
Literatur
Andreas Löhle: Stabilitätslücke bei PT -symmetrischen Bose-Einstein-Kondensaten,
Bachelorarbeit, Universität Stuttgart, 2013
Dennis Dast: Variationsrechnungen zu Bose-Einstein-Kondensaten in PT symmetrischen Doppelmuldenpotentialen, Masterarbeit, Universität Stuttgart, 2012
Daniel Haag: Numerische Behandlung von Bose-Einstein-Kondensaten im
PT -symmetrischen Doppelmuldenpotential, Masterarbeit,
Universität Stuttgart, 2012
Holger Cartarius und Günter Wunner: Model of a PT -symmetric Bose-Einstein
condensate in a delta-function double-well potential, Physical Review A 86,
013612 (2012)
Holger Cartarius, Daniel Haag, Dennis Dast und Günter Wunner: Nonlinear
Schrödinger equation for a PT -symmetric delta-function double well, Journal of
Physics A 45, 444008 (2012)
Alle Quellen können im Web-Angebot des ITP1 gefunden werden:
http://itp1.uni-stuttgart.de
Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
29.11.2013
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Holger Cartarius (ITP1)
PT -symmetrische BECs
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