Prof. Dr. Holger Dette ¨Ubungen zur Vorlesung WS 2008/2009 Dr

Prof. Dr. Holger Dette
Übungen zur Vorlesung
WS 2008/2009
Dr. Melanie Birke
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik“
Blatt 8
”
Abgabe: Bis Montag, den 15.12.2008 um 12.00 Uhr.
Aufgabe 1:
(4 Punkte)
1. Es seien X und Y Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichte f (x, y) und P (Y = 0) = 0. Man zeige,
dass X/Y die Dichte
Z ∞
f (x t, t)|t|dt
g(x) =
−∞
besitzt. Man zeige weiter, dass
Z
∞
f1 (x t)f2 (t)|t|dt
g(x) =
−∞
gilt, falls X und Y unabhängig sind mit Dichten f1 bzw. f2 .
2. Zufallsvariablen heißen Gamma-verteilt mit Parametern a > 0 und b > 0 (Bezeichnung: γ(a, b)),
falls sie die Dichte
1
xa−1 e−x/b I(0,∞) (x)
f (x) =
Γ(a)ba
besitzen und Beta-verteilt mit Parametern a und b, wenn sie die Dichte
g(x) =
1
xa−1 (1 − x)b−1 I(0,1) (x)
B(a, b)
besitzen. Es seien nun X und Y unabhängig γ(a1 , b)- bzw. γ(a2 , b)-verteilt, a2 , a2 , b > 0. Zeige, dass
dann X/(X + Y ) Beta-verteilt ist (mit welchen Parametern?).
Aufgabe 2:
(4 Punkte)
2
Es sei (X, Y ) ein Zufallsvektor mit stetiger Dichte f : IR → IR, fX : IR → IR bzw. fY : IR → IR seien
die Dichten von X bzw. Y und es sei fY (y) > 0 für alle y ∈ IR. Man zeige, dass für festes y ∈ IR
f (x|y) :=
f (x, y)
, x ∈ IR
fY (y)
eine Dichte definiert und gebe einen heuristischen Beweis dafür, dass es die Dichte der bedingten Verteilung P X|Y =y ist. (Hinweis: Man betrachte P(X ≤ x|Y ∈ (y − h, y]) für h → 0)
Aufgabe 3:
(4 Punkte)
1. Man zeige, dass eine Cauchy-verteilte Zufallsvariable weder Erwartungswert noch Varianz besitzt.
2. Man berechne den Erwartungswert und die Varianz einer γ(a, b)-verteilten Zufallsvariablen, a, b > 0.
Aufgabe 4:
(4 Punkte)
1. Es seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen mit Dichten f (x) = 43 (1 − x2 )I[−1,1] (x) beziehungsweise g(y) = 46 (1 − 4y 2 )I[−1/2,1/2] (y) und Z := 2X + Y . Berechne die Varianzen von X und Z und
die Kovarianz von X und Z.
2. Es seien X1 , . . . , Xn unabhängige Zufallsvariablen mit Varianz V (Xi ) = 1 für i = 1, . . . , n. Für
X = (X1 , . . . , Xn )T und A ∈ IRm×n definiere (Z1 , . . . , Zm )T = Z := AX. Man berechne die
Kovarianzen von Zi und Zj für alle 1 ≤ i, j ≤ m.
Zusatzaufgabe 5:
(4∗ Punkte)
Eine Nadel der Länge 1 wird auf ein orthogonales Gitter mit Abstand l = 1 geworfen. Es beschreibe
x ∈ [0, 12 ] den Abstand des Nadelmittelpunkts zur nächsten horizontalen Gitternetzlinie und y ∈ [0, 12 ]
den Abstand zur nächsten vertikalen Gitternetzlinie. Der Winkel, den eine horizontale Gitternetzlinie
und die Nadel einschließen sei φ ∈ [0, π].
1. Man berechne die Wahrscheinlichkeiten, dass die Nadel eine horizontale Gitternetzlinie schneidet,
dass die Nadel eine vertikale Gitternetzlinie schneidet und dass die Nadel sowohl eine horizontale
als auch eine vertikale Gitternetzlinie schneidet.
2. Die Nadel werde n-mal geworfen und die Zufallsvariable N zähle, wie oft die Nadel eine der Gitterlinien kreuzt. Man berechne die Varianz dieser Zufallsvariablen.