4.Übung - Prof. Dr. Klaus Knorr and Dr. Patrick Huber

Universität des Saarlandes
Physik und Mechatronik
Dr. Patrick Huber
Bau E2.6 Zi. 3.23
T +49 (681) 302 3944
v +49 (681) 302 4676
k [email protected]
Theoretische und Rechnerische Ergänzungen zur Experimentalphysik I
– WS 2006/2007 –
4. Übung – 9. November 2006
Aufgabe 13: Kugelkoordinaten
In Kugelkoordinaten wird ein Punkt P durch seinen Abstand r vom Ursprung und durch zwei
Winkel – den Polarwinkel ϑ und den Azimutwinkel ϕ – angegeben (Abbildung a)). Die kartesischen
Koordinaten x, y und z hängen dabei über folgende Beziehungen mit den Kugelkoordinaten r, ϑ
und ϕ zusammen:
x = r sin(ϑ) cos(ϕ)
y = r sin(ϑ) sin(ϕ)
z = r cos(ϑ)
¯ ¯−1
¯ r ¯−1
¯ ¯
r ¯ ∂~
¯ , ~eϑ = ∂~r ¯ ∂~r ¯−1 und ~eϕ = ∂~r ¯¯ ∂~r ¯¯ als Funka) Bestimmen Sie die Basisvektoren ~er = ∂~
∂r ∂r
∂ϑ ∂ϑ
∂ϕ ∂ϕ
tionen von ~ex , ~ey und ~ez . Zeigen Sie, dass diese Vektoren ein Orthonormalsystem aufspannen!
b) Die infinitessimalen Wegelemente d~s = dx ~ex + dy ~ey + dz ~ez in kartesischen Koordinaten und
d~s = Ar dr ~er + Aϑ dϑ ~eϑ + Aϕ dϕ ~eϕ ≡ ds1 ~er + ds2 ~eϑ + ds3 ~eϕ in Kugelkoordinaten müssen
identisch sein. Bestimmen Sie damit die Konstanten Ar , Aϑ und Aϕ .
c) Interpretieren Sie anhand von Abbildung b) die drei in Teil b) gefundenen Linienelemente
ds1 , ds2 und ds3 . Wie lauten die drei daraus ableitbaren Flächenelemente dA1 , dA2 und dA3
und ordnen Sie diese ebenfalls Abbildung b) zu. Berechnen Sie schließlich das Volumen V
RRR
einer Kugel mit Radius R über das Integral V =
ds1 ds2 ds3 in geeigneten Grenzen.
Aufgabe 14: Musikkassette
Das Tonband einer Musikkassette habe die Dicke d = 10µm und Länge l = 400m, die beiden
Spulenkerne den Radius R = 5mm.
a) Das Band werde komplett auf eine Spule aufgewickelt. Berechnen Sie die Anzahl n der Wicklungen und den Gesamtdurchmesser D!
b) Beim Umspulen werde nun die Aufwickelspule mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω1 angetrieben. Wie hängen Radius r1 der Aufwickelspule und Geschwindigkeit v des Tonbandes
von der Zeit ab?
c) Wie hängen Winkelgeschwindigkeit ω2 und Radius r2 der Abwickelspule von der Zeit ab?
Nach welcher Zeit ist das Band komplett umgespult?
Aufgabe 15: Linienintegrale
Berechnen Sie folgende Integrale:
a) In einem homogenen Kraftfeld F~ = (2, 6, 1) wird ein Körper längs der Kurve ~r(t) = ~r0 + t~ex
von dem Punkt ~r(0) zum Punkt ~r(2) gebracht. Wie groß ist die aufzuwendende Arbeit?
b) Das radialsymmetrische Kraftfeld sei F~ = (x, y, z). Ein Körper werde in diesem Kraftfeld
längs der x-Achse vom Koordinatenursprung zum Punkt P=(5,0,0) gebracht. Berechnen Sie
die geleistete Arbeit!
~ y, z) = √
c) Gegeben sei das Vektorfeld A(x,
(x,y,z)
(x2 +y 2 +z 2 )
. Berechnen Sie das Linienintegral längs
des Kreises in der x-y-Ebene mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt und Radius R!
Begründen Sie ihr Ergebnis!
~ y, z) = (0, −z, y) das Linienintegral längs der Kurve
d) Berechnen Sie für das Vektorfeld A(x,
√
~r(t) = ( 2 cos(t), cos(2t), 2t
) von t = 0 bis t = π2 .
π
Aufgabe 16: Keplerproblem
Wir betrachten zwei Himmelskörper der Massen m1 und m2 , zwischen denen die anziehende Gra2
vitationskraft F~12 = −F~21 = −G m1r2m2 ~rr wirkt. Darin sind G = 6, 673 · 10−11 Nkgm2 die Gravitationskonstante und ~r der Verbindungsvektor zwischen den beiden Massen. Ansonsten sei das System
kräftefrei.
rp
ra
y
F12=-F21
r=r2-r1
F21
r
d
f(t)
r1
x
ea
r2
b
a
a) Zeigen Sie, dass für den Schwerpunkt des System ~rs =
m1 ~
r1 +m2 ~
r2
m1 +m2
gilt:
~r¨s = 0 .
b) Durch Einführung einer reduzierten Masse µ lässt sich die Relativbewegung der beiden Massen
beschreiben durch die Bewegungsgleichung
µ~r¨ = −G
m1 m2 ~r
.
r2 r
Bestimmen Sie µ!
c) Für den Relativabstand der beiden Himmelskörper in Abhängigkeit des Polarwinkels φ(t)
findet man den Ausdruck
p
r(φ) =
,
1 + ² cos (φ − φ0 )
wobei p und ² Konstanten des Systems sind. Bestimmen Sie für 0 < ² < 1 den maximalen
Abstand (Aphel ra ) und den minimalen Abstand (Perihel rp ) der beiden Himmelkörper.
Besprechung in den Übungen der Woche vom 20.11.2006 zum 24.11.2006
http://www.uni-saarland.de/fak7/knorr/homepages/patrick/theorex0607/