Pfadintegrale in der Teilchenphysik - (Blockkurs)

Pfadintegrale in der Teilchenphysik
(Blockkurs)
Thorsten Feldmann – Wintersemester 2016/17
Uni Siegen – Department Physik
27. März – 31. März 2017
Th. Feldmann – WiSe 2016/17
Pfadintegrale
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Inhalt:
1
Pfadintegrale in der Quantenmechanik
2
Erzeugendes Funktional für skalare Felder
3
Quantisierung der QED im Pfadintegralformalismus
4
Dirac-Fermionen im Pfadintegral
5
Quantisierung von nicht-abelschen Eichtheorien
6
Symmetrien und Ward-Identitäten
7
Anomalien in der Quantenfeldtheorie
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Pfadintegrale
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Vorbemerkungen:
Vergleich: Korrelationsfunktionen im kanonischen Formalismus
"
hΩ0 |T φ̂I (x ) φ̂I (y ) exp
−i
RT
#
dt ĤI (t)
|Ω0 i
−T
hΩ|T φ̂(x )φ̂(y )|Ωi =
lim
"
T →∞(1−i)
hΩ0 |T exp
−i
RT
(1)
#
dt ĤI (t)
|Ω0 i
−T
Wechselwirkungsbild für Feldoperatoren.
Feynman-Regeln aus störungstheoretischer Entwicklung des Exponentials im
Zeitentwicklungsoperator und Anwendung des Wick-Theorems.
Alternative Methode: “Pfadintegrale” (oder auch “Funktionalintegrale”)
Herleitung der Feynman-Regeln für allgemeine Theorien
durch “einfache” Integrations- und Differentiationsregeln.
Pfadintegral kann direkt durch Lagrangedichte ausgedrückt werden,
einfache Implementierung von Symmetrien.
Klassischer Grenzfall ~ → 0 ist evident.
Quantisierung von (insbesondere nicht-abelschen) Eichtheorien eleganter.
Analogien zwischen Quantenfeldtheorie und Statistischer Mechanik.
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Pfadintegrale
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1. Pfadintegrale in der Quantenmechanik
Betrachte nicht-relativistisches Teilchen (1-dim.) mit Hamilton-Operator
Ĥ =
p̂ 2
+ V (x̂ ) .
2m
und Ortsdarstellung des Schrödinger-Zeitentwicklungsoperators
U(xa , xb ; T ) = hxb |e −i Ĥ T /~ |xa i
(2)
Alternativer Blickwinkel: Superpositionsprinzip:
“Wenn Prozess xa → xb auf verschiedene Weisen erreicht werden kann,
bilde kohärente Summe aller individuellen Amplituden.”
Beispiel: Doppelspalt-Experiment
Verschiedene mögliche Pfade zwischen Quelle und Detektor.
Pfade sind unterschiedlich lang → unterschiedliche Phasen.
→ Quantenmechanische Interferenz.
Verallgemeinerung:
U(xa , xb ; T ) =
X
e i·Phase ≡
Z
Dx (t) e i·φ[x (t)] .
(3)
alle Pfade
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Pfadintegrale
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R
Mit Dx (t) meinen wir i.A. die Summation über den (kontinuierlichen) Satz von
Funktionen
x (t)
mit
x (ta = 0) = xa
und
x (tb = T ) = xb
Dx (t) ist ein Integralmaß, welches auf einem kontinuierlichen Raum von
Funktionen definiert ist.
(im Gegensatz zu dx = Integrationsmaß auf dem Raum der reellen Zahlen)
Den Ausdruck
Z
Dx (t) F [x (t)]
bezeichnen wir als Funktionalintegral.
Der Integrand F [x (t)] ist dabei ein Funktional.
In unserem Fall wird z.B. jedem Pfad (d.h. jeder Funktion x (t)) eine Phase φ[x (t)]
zugeordnet.
Entsprechend können wir Funktionalableitungen,
δF
δx (t)
, definieren
(siehe Übung)
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Pfadintegrale
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Wirkungsprinzip
Wodurch wird die Phase φ[x (t)] bestimmt?
Klassisch: Nur ein Pfad ist realisiert, welcher gerade die Bewegungsgleichungen
erfüllt, also insbesondere die Wirkung S[x (t)] minimiert!
Andererseits: Integral über stark oszillierende Funktion mittelt sich zu Null,
d.h. falls
φ[x (t)] ∝ 1/~
ist das Pfadintegral für ~ → 0 von stationärer Phase mit
δφ[x (t)] =0
δx (t) stat.
dominiert.
Die Wirkung hat gerade die physikalische Einheit von ~
⇒ Ansatz:
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S[x (t)]
1
φ[x (t)] :=
=
~
~
Pfadintegrale
Z
dt L[x (t)]
(4)
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Test: Doppelspalt-Experiment (vereinfacht)
D
t,
T
D+d
x2 (t) = x2 + v2 t = x2 +
t.
T
Pfad 1 (Länge D):
x1 (t) = x1 + v1 t = x1 +
Pfad 2 (Länge D + d):
(5)
Wirkung:
Z
Pfad 1:
T
S1 =
dt
m 2
m
(ẋ1 )2 =
D ,
2
2T
dt
m
m
(ẋ2 )2 =
(D + d)2 ,
2
2T
0
Z
Pfad 2:
S2 =
0
T
(6)
Phasendifferenz (d D, v1 ' v2 ' D/T ≡ p/m):
S2 − S1
mdD
p·d
'
'
~
~T
~
(7)
Stimmt also mit dem üblichen Ergebnis (Unschärferelation, De Broglie–Wellenlänge,
. . . ) überein.
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Pfadintegrale
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Explizite Definition von Dx (t)
Zerteile Zeitintervall [0, T ] in N Abschnitte der Länge δ.
Approximiere Pfad x (t) als Abfolge von (geradlinigen) Teilpfaden mit Endpunkten
xa ≡ x0 , x1 , . . . xN−1 , xN ≡ xb
Damit ergibt sich für die Wirkung eines Teilchens im Potential V (x ),
Z
S=
T
dt
0
m 2
ẋ − V (x )
2
−→
X m (xk+1 − xk )2
2
δ
xk+1 + xk
− δ V(
)
2
.
k
(8)
An jedem Zeitpunkt tk = kδ (mit k = 1..(N − 1))
integrieren wir über alle möglichen Werte des dazugehörigen Werts von xk .
Bis auf eine Normierungskonstante c(δ), die wir später bestimmen, ergibt sich
also
Z
1
Dx (t) ≡
c(δ)
Z
dx1
c(δ)
Z
dxN−1
dx2
1
···
=
c(δ)
c(δ)
c(δ)
YZ
k
∞
−∞
dxk
c(δ)
(9)
wobei am Ende δ = T /N → 0 zu nehmen ist.
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Pfadintegrale
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Nachprüfen der Schrödinger-Gleichung:
Betrachte Beitrag vom letzten Zeitschritt zu U(xa , xb ; T ) (mit x 0 = xN−1 ):
Z∞
U(xa , xb ; T ) =
dx 0
i m (xb − x 0 )2
i
xb + x 0
exp
− δ V(
)
c(δ)
~
2δ
~
2
−∞
|
{z
U(xa , x 0 ; T − δ)
|
{z
}
}
| {z }
alle Pfade x 0 → xb
Beitrag zu U aller
anderen
Zeitschritte
Beitrag zur Wirkung von x 0 → xb
(10)
Im Limes δ → 0 oszilliert der Integrand aufgrund des kinetischen Terms unendlich
schnell, außer für xb ≈ x 0 .
√
→ Entwickle alle anderen Terme um x 0 = xb
(wobei x 0 − xb = O( δ)) :
Z
∞
U(xa , xb ; T ) =
−∞
dx 0
i m (xb − x 0 )2
exp
c(δ)
~
2δ
h
1−
i
δ V (xb ) + O(δ 3/2 )
~
i
∂
(x 0 − xb )2 ∂ 2
× 1 + (x − xb )
+
+ O(δ 3/2 ) U(xa , xb ; T − δ)
∂xb
2
∂xb2
0
(11)
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Pfadintegrale
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Die Beiträge zum x 0 -Integral sind jetzt Gauß-Integrale,
Z
dx e
−ax 2
=
q
Z
π
,
a
dx x e
−ax 2
Z
= 0,
2
dx x e
−ax 2
=
1
2a
q
π
a
usw.
(12)
Allerdings müssen wir dafür kleinen Imaginärteil zu kinetischem Term addieren
m 2
m 2
v →
v (1 + i) ,
2
2
(13)
damit Gauß-Integrale (nach analytischer Fortsetzung) konvergieren.
(das ist analog zur Ersetzung p 2 − m2 → p 2 − m2 + i im Feynman-Propagator)
Damit ergibt sich
1
c(δ)
U(xa , xb ; T ) =
×
r
2π~δ
−im
!
iδ
iδ~ ∂ 2
1−
V (xb ) +
+ O(δ 2 )
~
2m ∂xb2
U(xa , xb ; T − δ) (14)
Koeffizientenvergleich:
O(δ 0 ):
O(δ 1 ):
c(δ) =
h
q
V (xb ) −
2π~δ
−im
~2 ∂ 2
2m ∂x 2
i
U(xa , xb ; T ) = i~
b
∂
∂T
U(xa , xb ; T )
√
d.h. unsere Definition von U(xa , xb ; T ) erfüllt die Schrödinger-Gleichung.
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Pfadintegrale
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Prüfe noch Normierung im Limes T ≡ δ → 0
(d.h. genau ein infinitesimaler
Zeitschritt):
lim hxa |e −iHT |xb i = δ(xa − xb ) ,
(15)
T →0
lim U(xa , xb ; T = δ) =
T →0
1
i m (xb − xa )2
exp
+ O(δ) → δ(xa − xb )
c(δ)
~
2δ
√
(16)
Damit
U(xa , xb ; T ) = hxb |e −i Ĥ T /~ |xa i =
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Z
Pfadintegrale
i
Dx (t) e ~
S[x (t)]
(17)
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Alternative Herleitung und Verallgemeinerung auf beliebig viele (verallgemeinerte)
Koordinaten und Impulse
Betrachte nf verallgemeinerte Koordinaten ~q = {qi } und Impulse ~p = {pi }.
Übergangsamplitude (jetzt wieder ~ = 1):
U(~qa , ~qb ; T ) = h~qb |e −i ĤT |~qa i = h~qb |e −i Ĥδ · · · e −i Ĥδ |~qa i
Z
=
d (nf )~q1 · · ·
Z
d (nf )~qN−1 h~qb |e −i Ĥδ |~qN−1 i · · · h~q1 |e −i Ĥδ |~qa i
(18)
((N − 1) Faktoren 1 =
R
d (nf )~
qk |~
qk ih~
qk | eingesetzt.)
Jeden Faktor in δ entwickeln:
h~qk+1 |e −i Ĥδ |~qk i = h~qk+1 |1 − i Ĥδ + . . . |~qk i
Welche Art von Termen können in Ĥ auftauchen:
•
(n )
ˆ)|~
h~
qk+1 |f (~
q
qk i = f (~
qk ) δ f (~
qk+1 − ~
q)
= f(
Z
•
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ˆ )|~
h~
qk+1 |f (~
p
qk i =
qk+1 + qk
)
2
Z
d (nf )~
p
exp [i~
pk · (~
qk+1 − ~
qk )] ,
(2π)nf
d (nf )~
p
f (~
pk ) exp [i~
pk · (~
qk+1 − ~
qk )] ,
(2π)nf
Pfadintegrale
(19)
(20)
12 / 85
Was ist mit gemischten Termen f (p̂, q̂) ? – I.A. nicht in gleicher Form zu
schreiben. — Ausnahme: sog. Weyl-geordnete Operatoren, z.B.
•
hqk+1 |
=
q̂ 2 p̂ 2 + 2q̂p̂ 2 q̂ + p̂ 2 q̂ 2
|qk i =
4
qk+1 + qk
2
2 Z
qk+1 + qk
2
2
2
hqk+1 |p̂ |qk i
dp 2
p exp [i pk (qk+1 − qk )] ,
2π k
(21)
d.h. nach Weyl-Ordnung aller Produkte von p̂’s und q̂’s in Ĥ erhalten wir stets
h~qk+1 | e −iδĤ |~qk i =
Z
~qk+1 + ~qk
d (nf )~pk
exp −iδH(
, ~pk ) exp [i~pk · (~qk+1 − ~qk )]
(2π)nf
2
h
| {z }
|
Operator
i
{z
}
Funktion(al)
(22)
(wobei wir für δ → 0 die Entwicklung der Exp.-Fkt. wieder rückgängig gemacht haben.)
Multiplikation aller Faktoren und Integrieren über alle d (nf )~qk :
YZ
U(~
q0 , ~
qN ; T ) =
d (nf )~
qk d (nf )~
pk
(2π)nf
!
k
"
× exp
i
X
~
pk · (~
qk+1
~
qk+1 + ~
qk
−~
qk ) − δH(
,~
pk )
2
#
(23)
k
mit N Impulsintegralen ~
p0 · · · ~
pN−1 und N − 1 Ortsintegralen ~
q1 · · · ~
qN−1 .
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Pfadintegrale
13 / 85
Kontinuumslimes:
Z
U(~qa , ~qb ; T ) =
D
(nf )
~q D
(nf )
Z
~p exp i
T
dt ~p · ~q˙ − H(~q , ~p )
(24)
0
Das ist die allgemeinste Form für die Berechnung von quantenmechanischen
Übergangsamplituden als Funktionalintegrale, wobei
~
q0 = ~
qa und ~
qN = ~
qb fest
~
pk (t) uneingeschränkt.
Das Integralmaß haben wir hier definiert als
Z
D
(nf )
~q D
(nf )
~p = lim
Y Z d (nf )~qk d (nf )~pk
(2π~)nf
δ→0
!
(25)
k
(die im Vergleich zur vorherigen Herleitung auftretenden Normierungsfaktoren c(δ) ergeben
sich gerade durch Ausführung der Impulsintegrale für Hamiltonfunktionen der Form
H = p 2 /2m + V (q) → Übung )
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Pfadintegrale
14 / 85
2. Erzeugendes Funktional für skalare Felder
Übergang von diskreten Freiheitsgraden ({qi (t), pi (t)}) zu Feldern
φ(~x , t), π(~x , t).
Damit ergibt sich für reelles Klein-Gordon–Feld die Übergangsamplitude
hφb (~x )|e
−i ĤT
Z
Z
|φa (~x )i =
Dφ Dπ exp i
T
4
d x
0
1 ~ 2
1
− V (φ)
π φ̇ − π 2 − (∇φ)
2
2
(26)
,
mit der Einschränkung an Feldkonfigurationen zur Zeit t = 0, T :
φ(~x , t = 0) = φa (~x ) ,
φ(~x , t = T ) = φb (~x ) .
(27)
Exponent ist bilinear in den Impulsfeldern → Integration Dπ explizit ausführbar,
wie vorher:
hφb (~x )|e −i ĤT |φa (~x )i = const. ·
Z
Z
Dφ exp i
T
d 4 x L[φ]
.
(28)
0
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Pfadintegrale
15 / 85
Paradigmenwechsel:
Definiere QFT alleine durch Wirkung/Lagrangedichte.
Funktionalintegral–Formalismus ersetzt Operator-Formalismus.
Konstruiere Lagrangedichte, die manifest alle beobachteten
Symmetrien/Erhaltungssätze erfüllt (insbesondere Lorentz-Invarianz).
Beliebige Übergangsamplituden können mittels Pfadintegral berechnet werden.
Feynman-Regeln ergeben sich direkt aus L (s.u.).
Falls gewünscht, kann Schrödingergleichung durch Ableiten nach T hergeleitet
und daraus der Hamiltonoperator Ĥ abgelesen werden. – Ansonsten wird Ĥ nicht
benötigt.
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Pfadintegrale
16 / 85
Korrelationsfunktionen
Suche Darstellung von hΩ|T φ̂(x1 )φ̂(x2 )|Ωi mittels Pfadintegral.
Betrachte dazu Funktionalintegral
Z
Z
T
d 4 x L[φ]
Dφ(x ) φ(x1 ) φ(x2 ) exp i
,
mit:
−T
φ(−T , ~
x ) = φa (~
x)
φ(+T , ~
x ) = φb (~
x)
(29)
Zeichne Pfade aus, die (zusätzlichen) Randbedingungen genügen
φ(x10 , ~x ) = φ1 (~x ) ,
φ(x20 , ~x ) = φ2 (~x ) .
(30)
und integriere dann wieder über alle φ1,2 (~x ), also
Z
Z
Dφ(x ) =
Z
Dφ1 (~x )
Z
Dφ2 (~x )
Dφ(x )
(31)
0 ,~
φ(x1,2
x )≡φ1,2 (~
x)
Können nun im Integranden ersetzen:
φ(x1 ) = φ(x10 , ~x1 ) = φ1 (~x1 ) ,
φ(x2 ) = φ(x20 , ~x2 ) = φ2 (~x2 )
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Pfadintegrale
(32)
17 / 85
Unterteile Zeitintegral (o.B.d.A. −T < x10 < x20 < T ) ⇒ Pfadintegral zerfällt in 3
Faktoren:
Z
Z
Dφ1 (~x ) φ1 (~x1 )
... =
Dφ2 (~x ) φ2 (~x2 )
" Z
Z
×
#
T
4
Dφ(x ) exp i
d x L[φ]
x20
φ(x 0 ,~
x )≡φ2 (~
x)
2
φ(T ,~
x )=φb (~
x)
" Z
Z
×
#
x20
4
d x L[φ]
Dφ(x ) exp i
x10
φ(x 0 ,~
x )≡φ1 (~
x)
1
φ(x20 ,~
x )≡φ2 (~
x)
" Z
Z
×
#
x10
4
d x L[φ]
Dφ(x ) exp i
(33)
−T
φ(−T ,~
x )=φa (~
x)
φ(x10 ,~
x )≡φ1 (~
x)
Z
=
Z
Dφ1 (~x ) φ1 (~x1 )
Dφ2 (~x ) φ2 (~x2 )
0
0
0
0
× hφb |e −i Ĥ(T −x2 ) |φ2 ihφ2 |e −i Ĥ(x2 −x1 ) |φ1 ihφ1 |e −i Ĥ(x1 +T ) |φa i (34)
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Pfadintegrale
18 / 85
Ersetze Felder φ1,2 (~x1,2 ) durch Schrödinger-Feldoperatoren, und benutze
Vollständigkeitsrelation (verallgemeinert auf kontinuierliche Freiheitsgrade)
Z
φ̂S (~xi )|φi i = φi (~xi )|φi i ,
Dφi (~x ) |φi ihφi | = 1
ergibt
0
0
0
0
. . . = hφb |e −i Ĥ (T −x2 ) φ̂S (~x2 ) e −i Ĥ(x2 −x1 ) φ̂S (~x1 ) e −i Ĥ(x1 +T ) |φa i
= hφb |e −i Ĥ T T φ̂H (x2 ) φ̂H (x1 ) e −i ĤT |φa i
(35)
(Zeitordnung fasst die beiden Fälle x10 < x20 und x20 < x10 zusammen)
Benutze wieder Trick mit limT →∞(1−i) , um Grundzustand herauszuprojizieren.
Normierung im Nenner wieder durch Vakuum-Beiträge gegeben,
R
hΩ|T φ̂H (x1 )φ̂H (x2 )|Ωi =
h R
T
Dφ φ(x1 ) φ(x2 ) exp i
lim
T →∞(1−i)
R
h R
T
Dφ exp i
↑
Feldoperatoren
−T
−T
d 4x L
d 4x L
i
i
(36)
↑
Feldkonfigurationen
und analog für höhere Korrelationsfunktionen.
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Pfadintegrale
19 / 85
Störungstheorie:
Durch Entwicklung L = L0 + Lint lassen sich Korrelationsfunktionen der
wechselwirkenden Theorie auf freie Theorie zurückführen, z.B. für
2-Punkt–Funktion in φ4 –Theorie,
hΩ|T φ̂H (x1 )φ̂H (x2 )|Ωi
R
=
lim
T →∞(1−i)
λ
Dφ φ(x1 ) φ(x2 ) 1 − i 4!
R
λ
Dφ 1 − i 4!
R
R
R 4
d x L0
R
d 4 z φ4 (z) + . . . exp i
d 4 z φ4 (z) + . . . exp i
d 4 x L0
(37)
Das Analogon zum Wick-Theorem ergibt sich z.B. durch (klassische) Entwicklung
der (freien) Felder in Fourier-Moden.
Elegantere Methode: “Erzeugendes Funktional”
Th. Feldmann – WiSe 2016/17
Pfadintegrale
→
20 / 85
Wir definieren das Erzeugende Funktional für Korrelationsfunktionen
(in skalarer Theorie)
Z
Z
Z [J] :=
Dφ exp i
d 4 x (L + J(x )φ(x ))
(38)
J(x )φ(x ) heißt Quellterm
(zusätzliche rechte Seite bei Ableitung der Bewegungsgleichung)
Definiere zunächst den Begriff der Funktionalableitung (siehe Übung)
δ
J(y ) := δ (4) (x − y )
δJ(x )
δ
δJ(x )
bzw.
(Verallgemeinerung von ∂xi xj = δij bzw. ∂xi
P
j
Z
d 4 y J(y ) φ(y ) = φ(x )
(39)
xj kj = ki )
Es gelten die Produkt- und Kettenregel. Funktionalableitungen auf Terme, die
Ableitungen der Funktion enthalten, sind durch partielle Integration definiert
δ
δJ(x )
Th. Feldmann – WiSe 2016/17
Z
d 4 y (∂µ J)(y ) φ(y ) = −
δ
δJ(x )
Z
d 4 y J(y ) ∂µ φ(y ) = −∂µ φ(x )
Pfadintegrale
(40)
21 / 85
Korrelationsfunktionen folgen aus Z [J] durch Funktionalableitung, z.B.
δ
Z [J]
=
δJ(y )
J≡0
Z
Z
Dφ
i
d xδ
Z
× exp i
Z
=i
4
(4)
(x − y ) φ(x )
d x (L(x ) + J(x )φ(x )) J≡0
Z
4
Dφ φ(y ) exp i
d 4 x L(x )
.
(41)
Die 2-Punkt–Funktion ergibt sich somit gerade aus
hΩ|T φ̂H (x1 )φ̂H (x2 )|Ωi =
1
Z [J]
1
δ
i δJ(x1 )
1
δ
i δJ(x2 )
Z [J]
(42)
J≡0
entsprechend mehr Ableitungen für höhere Korrelationsfunktionen.
Th. Feldmann – WiSe 2016/17
Pfadintegrale
22 / 85
Erzeugendes Funktional für freie Theorie:
Speziell für freie Theorie:
Z
d 4 x [L0 (φ) + Jφ] =
Z
d 4x
h
1
φ(x ) −∂ 2 − m2 + i φ(x ) + J(x )φ(x )
2
i
(43)
e iS0
mit i-Vorschrift, so dass
konvergiert (siehe Übung ).
Führe quadratische Ergänzung durch mittels
φ0 (x ) := φ(x ) + (−∂ 2 − m2 + i)−1 J(x ) = φ(x ) − i
Z
d 4 y DF (x − y ) J(y )
(44)
wobei im 2. Schritt der freie Propagator wieder als Greensche Funktion der
Klein-Gordon–Gleichung eingeführt wurde:
(−∂ 2 − m2 + i)(−iDF (x − y )) = δ (4) (x − y )
Ergebnis:
Z
4
Z
d x [L0 (φ) + Jφ] =
1
d 4 x φ0 (x ) −∂ 2 − m2 + i φ0 (x )
2
Z
−
Th. Feldmann – WiSe 2016/17
d 4x d 4y
1
J(x ) [−iDF (x − y )] J(y )
2
Pfadintegrale
(45)
23 / 85
Nach der Variablensubstitution lautet das erzeugende Funktional
Z
0
Z
Dφ exp i
Z0 [J] =
0
4
d x L0 (φ )
Z
= Z0 [J = 0] exp −
Z
exp −
1
d x d y J(x ) [DF (x − y )] J(y )
2
4
4
d 4x d 4y
1
J(x ) DF (x − y ) J(y )
2
(46)
Insbesondere ergibt sich daraus für die 2-Punkt–Funktion der freien Theorie
gerade der Feynman-Propagator durch die Funktionalableitung
1
Z0 [J]
1
δ
i δJ(x1 )
1
δ
i δJ(x2 )
Z0 [J]
= DF (x1 − x2 )
(47)
J(x )≡0
Genauso für die 4-Punkt–Funktion der freien Theorie (→ Übung )
1
Z0 [J]
1
δ
i δJ(x1 )
1
δ
i δJ(x2 )
1
δ
i δJ(x3 )
1
δ
i δJ(x4 )
Z0 [J]
J(x )≡0
= DF (x1 − x2 ) DF (x2 − x4 ) + DF (x1 − x3 ) DF (x2 − x4 ) + DF (x1 − x4 ) DF (x2 − x3 )
(48)
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Pfadintegrale
24 / 85
Erzeugendes Funktional für wechselwirkende Theorie
Für L = L0 + Lint erhalten wir
Z
Z
Dφ exp i
Z [J] =
Z
Z
=
Dφ exp i
Z
d 4 z Lint [φ(z)] exp i
d 4 z Lint
h
1 δ
i δJ(z)
i
d 4 x (L0 [φ] + J φ)
Z
exp i
d 4 z (L0 [φ] + J φ)
(49)
wobei wir die Funktion φ(z) als Argument von Lint [φ] wieder durch die
δ
Funktionalableitung 1i δJ(z)
ersetzt haben, was im Sinne einer Potenzreihe zu
verstehen ist.
φ4 (z) −→
z.B. zur Ordnung λ:
1 δ
i δJ(z)
4
Damit kann der WW-Term aus dem FI gezogen werden, und mit der gleichen
Variablensubstitution erhalten wir wieder
Z
Z [J] = exp i
Z
∝ exp i
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d 4 z Lint
h
1 δ
i δJ
i
d 4 z Lint
h
1 δ
i δJ
i
Z0 [J]
Z
exp −
d 4x d 4y
Pfadintegrale
1
J(x ) DF (x − y ) J(y )
2
(50)
25 / 85
Beispiel: 2.-Punkt–Funktion zur Ordnung λ. Betrachte zunächst
Z [J] ∝
λ
−iλ
4!
Z
4
d z
1
δ
i δJ(z)
4
exp −
1
2
Z
4
4
d x d y J(x )DF (x − y )J(y )
(51)
Jede Funktionalableitung der Exponentialfunktion ergibt
1
δ
1
exp −
i δJ(z)
2
Z
=i
Z
4
4
d x d y J(x )DF (x − y )J(y )
4
d x J(x ) DF (x − z) exp[. . .] ≡ F [J, z] exp[. . .] ,
F [0, z] = 0 . (52)
Funktionableitung des so definierten Funktionals F [J] ergibt
δ
1
F [J, z] = DF (z − z)
i δJ(z)
(53)
Damit
1 δ
i δJ(z)
=
=
4
=
=
exp[. . .] =
1 δ
i δJ(z)
2 1 δ
i δJ(z)
1 δ
i δJ(z)
3
F [J, z] exp[. . .]
DF (z − z) + F [J, z]
2
exp[. . .]
DF (z − z) F [J, z] + 2DF (z − z)F [J, z] + F [J, z]
2
2
2
3
exp[. . .]
3(DF (z − z)) + 3DF (z − z)F [J, z] + 3DF (z − z)F [J, z] + F [J, z]
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2
2
3 (DF (z − z)) + 6 DF (z − z) F [J, z] + F [J, z]
Pfadintegrale
4
exp[. . .]
4
exp[. . .]
(54)
26 / 85
Diagrammatische Interpretation:
DF (x − y ) wieder durch Propagatoren zwischen Vertizes dargestellt.
Vertexfaktor ergibt sich direkt aus iLint wieder zu
Z
d 4z
= −iλ
(55)
F [J, z] repräsentiert Quelle an (beliebigem) Ort mit Propagator zum Ort z:
Z
F [J, z] = i
d 4 x 0 J(x 0 ) DF (x 0 − z)
:
(56)
Der Wick-Kontraktion im Operatorformalismus entspricht dann gerade
1 δ
F [J, z] = DF (x − z)
i δJ(x )
(57)
Für das erzeugende Funktional erhalten wir somit
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Pfadintegrale
27 / 85
Nenner in Korrelationsfunktion aus Z [J = 0], d.h. alle Diagramme mit Quellen
fallen weg:
√
Vakuumdiagramme bleiben übrig (mit statistischen Faktoren aus Fkt.-Ableitung)
Da Vakuumdiagramme nicht von J abhängen, kürzen sie sich bei der Berechnung von
Korrelationsfunktionen wieder heraus.
n-Punkt–Funktionen aus
1
δ
i δJ(x1 )
···
1
δ
i δJ(xn )
ergibt n externe Vertices:
Falls weniger externe Vertizes als Quellen im Diagramm in {. . .}:
Kein Beitrag nach
J=0
.
Falls gleich viele externe Vertizes wie Quellen:
Alle kombinatorischen Möglichkeiten, Quelle mit externem Vertex zu verbinden.
Falls mehr externe Vertizes als Quellen im Diagramm:
Kein Beitrag, falls nur Ableitungen von {. . .}, weil mehr Ableitungen als Faktoren J;
brauche zusätzliche Ableitungen von exp[. . .] → (topologisch) unverbundene
Diagramme.
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Pfadintegrale
28 / 85
Erzeugendes Funktional für (vollständig) zusammenhängende Diagramme
Kann man Erzeugendes Funktional finden, bei dem sich (außer
Vakuum-Diagrammen) auch die nicht vollständig zusammenhängenden
Diagramme herausdividieren?
Behauptung: Ableitungen des Funktionals
W [J] = −i ln Z [J] ,
( d.h. Z [J] = e iW [J] )
(58)
nach den Quellen J erzeugen nur den Beitrag der (topologisch) vollständig
zusammenhängenden Diagramme zu n-Punkt–Funktionen,
Gconn (x1 , . . . , xn ) = (−i)n−1
δ
δ
···
W [J] δJ(x1 )
δJ(xn )
J=0
(59)
Z [J]
(Genauer gesagt definiert man üblicherweise W [J] = −i ln Z [0] = −i (ln Z [J] − ln Z [0]).)
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Pfadintegrale
29 / 85
Beispiel: n = 1
(hier allgemein für Theorie, bei der 1-Punkt-Funktion nicht verschwindet),
δ
1 1
δ
(−i ln Z ) =
Z
J=0
δJ(x1 )
Z i δJ(x1 )
Gconn (x1 ) =
J=0
≡ G(x1 )
(60)
d.h. bei einem externen Punkt hängen trivialerweise alle Punkte zusammen.
Beispiel: n = 2,
Gconn (x1 , x2 ) = (−i)
δ
δ
δ
1
δ
(−i ln Z ) =−
Z
J=0
δJ(x1 ) δJ(x2 )
δJ(x1 ) Z δJ(x2 )
J=0
δ
1 δZ
1
δZ
δZ
1
δ2 Z
=−
= 2
−
δJ(x1 ) Z δJ(x2 )
Z δJ(x1 ) δJ(x2 )
Z δJ(x1 ) δJ(x2 )
J=0
≡ −G(x1 )G(x2 ) + G(x1 , x2 )
(61)
d.h. es wird in der Tat von der allgemeinen 2-Punkt–Funktion G(x1 , x2 ) die unverbundenen
Diagramme – welche gerade gleich dem Produkt der 1-Punkt–Funktionen sind – subtrahiert.
Beispiel: n = 4 → Übung.
Anmerkung: In der freien Theorie ist nur die 2-Punkt–Funktion Gconn (x1 , x2 ) von Null
verschieden.
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Pfadintegrale
30 / 85
Erzeugendes Funktional für “1-Teilchen–irreduzible” Diagramme
Wir hatten gesehen, dass Übergangsamplituden in der Streutheorie auf
Diagramme mit “amputierten” äusseren Linien führen.
Definiere:
“Diagramme, die beim Zerschneiden einer inneren Linie nicht in
zwei einzelne Diagramme zerfallen, heißen 1-Teilchen–irreduzibel (1PI).”
Für solche Diagramme kann man wieder ein erzeugendes Funktional definieren:
Definiere zunächst den Begriff des klassischen Feldes als Funktionalableitung von W [J]:
Klassisches Feld:
i δZ [J]
δW [J]
φc (x ) ≡
=−
=
δJ(x )
Z δJ(x )
R
R
R
Dφ φ(x ) exp i
R
Dφ exp i
d 4 x (L + Jφ)
d 4 x (L + Jφ)
,
(62)
wobei hier J nicht Null gesetzt wird, d.h. φc = φc [J](x ) ist immer noch ein Funktional
von J und kann als Erwartungswert des Feldes φ(x ) in Anwesenheit einer Quelle J(x )
interpretiert werden.
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Pfadintegrale
31 / 85
Effektive Wirkung, Vertexfunktionen und 1PI-Diagramme
Wir führen Legendre-Transformation des Funktionals W [J] durch, so dass J(x )
und φc (x ) die Rollen tauschen. Die sich ergebende Funktion bezeichnet man als
Effektive Wirkung:
Z
Γ[φc ] ≡ W [J] −
Effektive Wirkung:
d 4 x J(x ) φc (x )
(63)
Die Funktionalableitungen nach φc (xi ) ergeben die sog. Vertexfunktionen
Γn (x1 , . . . , xn ) ≡
Vertexfunktionen:
δ n Γ[φc ]
δφc (x1 ) · · · δφc (xn )
(64)
φc =0
d.h.
Γ[φc ] =
X
1
n!
Z
4
4
d x1 · · · d xn Γn (x1 , . . . , xn ) φc (x1 ) · · · φc (xn )
(65)
n
Die Vertexfunktionen werden gerade durch die 1PI-Diagramme repräsentiert
(Beispiel s.u.).
Die effektive Wirkung spielt wichtige Rolle beim Verständnis der Renormierung
und der spontanen Brechung von internen Symmetrien.
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Pfadintegrale
32 / 85
Anmerkungen:
δW [J]
δΓ
= δJ(y ) − φc (y ) = 0.
Die effektive Wirkung hängt nicht explizit von J ab, denn δJ(y
)
Der Begriff “effektive Wirkung” ergibt sich aus der Betrachtung von
δ
δ
Γ[φc ] =
W [J[φ]] −
δφc (x )
δφc (x )
Z
4
d y
δJ(y )
φc (y ) − J(x )
δφc (x )
(66)
Im ersten Term benutzen wir die Kettenregel (siehe Übung) und schreiben
δ
Γ[φc ] =
δφc (x )
Z
δJ(y ) δW [J]
d y
−
δφc (x ) δJ(y )
4
Z
4
d y
δJ(y )
φc (y ) − J(x ) = −J(x )
δφc (x )
(67)
wobei sich die ersten beiden Terme aufgrund der Definition von φc aufheben.
Γ[φc ] definiert somit eine klassische Feldtheorie, welche aber alle Quanteneffekte in den
Entwicklungskoeffizienten Γn beinhaltet. Die Bewegungsgleichungen für die klassische
Wirkung werden dabei durch die Extremalbedingungen
δΓ[φc ]
δφc (x )
=0
(68)
J=0
ersetzt. — Für ~ → 0 gilt Γ[φc ] = S[φc ].
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Pfadintegrale
33 / 85
Vertexfunktionen und 1PI-Diagramme
Aus
δ
Γ[φc ] = −J(x )
δφc (x )
(69)
erhalten wir mit zusätzlicher Funktionalableitung nach J
−
δ
δΓ[φc [J]]
=−
δJ(y ) δφc (x )
Z
=
Z
d 4z
d 4z
δφc [J](z)
δ2 Γ
δJ(y ) δφc (z) δφc (x )
−δ 2 W
δ2 Γ
= δ (4) (x − y ) (70)
δJ(y )δJ(z) δφc (z) δφc (x )
Für J = φc = 0 ergibt das
Z
−i
d 4 z Gconn (y , z) Γ2 (z, x ) = δ (4) (x − y )
⇔
−1
Γ2 (x , y ) = iGconn
(x , y ) (71)
d.h. die 2-Punkt–Vertexfunktion ist gerade das Inverse der (verbundenen)
2-Punkt–Korrelationsfunktion.
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Pfadintegrale
34 / 85
Diagrammatisch:
d.h. durch Aufsummation der reduziblen Diagramme als geometrische Reihe von
1PI-Diagrammen in Gconn ergeben sich die Quantenkorrekturen zur
Vertexfunktion Γ2 gerade durch die Summe aller 1PI-Diagramme.
Impulsraum: Beitrag von 1PI-Diagrammen liefert eine Funktion (−iM 2 (p 2 ))
G̃conn (p) = D̃F (p) + D̃F (p) −iM 2 (p 2 ) D̃F (p) + . . .
= D̃F (p)
1
1 + iM 2 (p 2 ) D̃F (p)
=
1
D̃F−1 (p) + iM 2 (p 2 )
−1
⇒ i G̃conn
(p) = i D̃F−1 (p) − M 2 (p 2 ) = p 2 − m2 − M 2 (p 2 )
(72)
Der Effekt der 1PI-Diagramme auf die 2-Punkt–Funktion der vollen Theorie ist
dabei gerade eine Modifizierung des inversen Propagators
(→ Renormierung)
p 2 − m2 → p 2 − m2 − M 2 (p 2 )
Analog kann man für n > 2 verfahren.
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Pfadintegrale
35 / 85
Analogie zur statistischen Physik
Betrachte (1-dim) magn. System mit externem Magnetfeld H und lokaler Spindichte s(x ).
Die kanonische Zustandssumme lautet
Z (H) = e
−βF (H)
Z
=
Z
Ds exp −β
dx (E(s) − H s(x ))
(73)
wodurch die freie Energie F (H) definiert wurde mit der Energiedichte der Spins E(s).
Die Magnetisierung M ergibt sich durch Ableiten der freien Energie nach H,
−
1 ∂
∂F =
ln Z =
∂H β
β ∂H
Z
dx s(x ) ≡ M
(74)
Die Gibbssche Freie Energie ergibt sich aus der Legendre-Trafo
G = F + MH ,
mit
∂G
=H
∂M
(75)
Der thermodynamische Grundzustand ergibt sich als Extremum von G(M).
D.h. folgende Größen korrespondieren:
magn. System
QFT
x
(t, ~
x)
s(x )
φ(x )
H
J(x )
E(s)
L(φ)
Z (H)
Z [J]
F (H)
−W [J]
M
φc (x )
G(M)
−Γ[φc ]
Insbesondere bestimmen die Extrema von Γ[φc ] den Grundzustand der QFT.
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Pfadintegrale
36 / 85
Zusammenfassung: Pfadintegrale in der QFT
Berechnung von n-Punkt Korrelationsfunktionen:
R
hΩ|T φ̂H (x1 ) · · · φ̂H (xn )|Ωi =
= G(x1 , . . . , xn ) =
hR
T
Dφ φ(x1 ) · · · φ(xn ) exp i
lim
T →∞(1−i)
(−i)n
δ
Z [J = 0] δJ(x1 )
···
R
δ
Z [J]
δJ(xn )
Dφ exp
hR
T
i
−T
−T
d4x L
d4x L
i
i
(76)
J=0
Mit erzeugendem Funktional:
Z
Z
Z [J] =
Dφ exp
i
4
d x (L + J(x )φ(x ))
Z
∝ exp
i
4
d z Lint
h
1 δ
i
i δJ
Z
exp
−
4
4
d xd y
1
2
J(x ) DF (x − y ) J(y )
(77)
Topologisch verbundene Korrelationsfunktionen aus
W [J] = −i ln Z [J] ,
Gconn (x1 , . . . , xn ) = (−i)
n−1
δ
δJ(x1 )
···
δ
δJ(xn )
W [J]
(78)
J=0
1PI-Diagramme / Vertexfunktionen aus Effektiver Wirkung
Z
Γ[φc ] ≡ W [J] −
Γn (x1 , . . . , xn ) ≡
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4
φc (x ) ≡
d x J(x ) φc (x ) ,
δ n Γ[φc ]
δφc (x1 ) · · · δφc (xn ) φc =0
Pfadintegrale
δW [J]
δJ(x )
,
(79)
37 / 85
3. Quantisierung der QED im Pfadintegralformalismus
Aµ (x ) → Aµ (x , α) ≡ Aµ (x ) +
Eichsymmetrie:
1
∂µ α(x ) .
e
(80)
Naiv würden wir erwarten, dass wir Pfadintegrale der Form
Z
DA e iS[A] ,
DA ≡ DA0 DA1 DA2 DA3
(81)
studieren sollen, mit der klassischen Wirkung der Elektrodynamik
Z
S[A] =
d 4x
h
−
1
Fµν F µν
4
i
,
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ .
(82)
Durch partielle Integration können wir das wieder etwas umschreiben
S[A] =
=
1
2
Z
1
2
Z
d 4 x Aµ (x ) ∂ 2 g µν − ∂ µ ∂ ν
Aν (x )
d 4k
eµ (k) −k 2 g µν + k µ k ν A
eν (−k)
A
(2π)4
(83)
Problem:
Speziell für Funktionen e
Aµ (k) = kµ α(k) (“pure gauge”) mit beliebiger Funktion α(k)
ist S[A] = 0, und das Pfadintegral konvergiert nicht.
Der kinetische Term ist deshalb auch nicht invertierbar, weil der 4 × 4 Lorentz-Tensor
(−k 2 g µν + k µ k ν ) singulär ist (für “pure gauge”–Felder).
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Pfadintegrale
38 / 85
Fadeev-Popov–Trick
Integration über äquivalente Eichkonfigurationen Aµ (x , α) im Pfadintegral ist
redundant.
Betrachte Einschränkung an Eichfelder, die die Eichung (teilweise) fixiert.
!
Allgemein: G[A] = 0. — Beispiel:
!
G[A] = ∂µ Aµ (x ) = 0 .
Lorentz-Eichung:
(84)
Trick: Funktionalintegraldarstellung der Identität
Z
1=
Dα(x ) δ(G[A(x , α)]) det
h
δG[A(x , α)]
δα
i
(85)
Das ist die Verallgemeinerung von
YZ
1=(
dαi ) δ
(n)
(~
g (~
α)) det
h
i
∂gi
∂αj
i
Die Funktionaldeterminante ist über das (kontinuierliche) Produkt der Eigenwerte
definiert. Für die Lorentz-Eichung ergibt sich speziell
det
h
δG[A(x , α)]
δα
i
= det
h
δ
1
(∂µ Aµ + ∂ 2 α) = det[∂µ ∂ µ /e]
δα
e
i
(86)
Im Folgenden reicht es aus, dass die Determinante nicht von A abhängt.
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Pfadintegrale
39 / 85
Damit können wir das ursprüngliche Pfadintegral umschreiben
δG[A(x , α)]
det
δα
h
iZ
Z
Dα
DA(x ) e iS[A] δ(G[A(x , α)])
(87)
Variablensubstitution im FI, A(x ) → A(x , α). Dabei ändern sich weder
DA(x ) = DA(x , α) noch S[A(x )] = S[A(x , α)]
Dann kann man Integrationsvariable wieder umbenennen A(x , α) = A(x ) = A
und erhält
Z
DA e iS[A] = det
h
δG[A(x , α)]
δα
iZ
Z
Dα
DA e iS[A] δ(G[A])
(88)
Die Integration über Dα gibt einen (unendlichen) konstanten Faktor, der keinerlei
physikalische Relevanz hat.
Das verbleibende Pfadintegral geht nun wegen der funktionalen δ-Distribution nur
noch über Eichfeldkonfigurationen, die die Eichbedingung G[A] = 0 erfüllen.
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Pfadintegrale
40 / 85
Allgemeine Lorentz-kovariante Eichungen:
Wähle jetzt speziell die Klasse von Funktionen
G[A] = ∂µ Aµ (x ) − ω(x )
(89)
Die Funktionaldeterminante ist dabei unabhängig von ω(x ).
Das FI lautet dann (für beliebige ω(x ))
Z
DA e iS[A] = det ∂ 2 /e
Z
Z
Dα
DA e iS[A] δ(∂µ Aµ − ω(x ))
(90)
Integriere Gleichung über Dω mit Gaußscher Gewichtsfunktion:
Z
Dω exp −i
2
= det ∂ /e
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Z
Z
ω2
d x
2ξ
4
Z
DA e
Z
Dα
iS[A]
Z
DA e
iS[A]
exp −i
Pfadintegrale
DA e
= N(ξ)
Z
iS[A]
(∂µ Aµ )2
d x
2ξ
4
(91)
41 / 85
Effektiv haben wir einen zusätzlichen Beitrag zur Lagrangedichte generiert, den
sog. “Eichfixierungsterm”:
L[A] → L[A] −
1
(∂µ Aµ )2
2ξ
(92)
Den (unphysikalischen) Parameter ξ bezeichnet man als Eichparameter.
Physikalische Observable dürfen nicht von ξ abhängen.
Mit neuer effektiver Lagrangedichte ergeben sich Korrelationsfunktionen:
R
b)|Ωi =
hΩ|T O(A
h R
T
DA O(A) exp i
lim
T →∞(1−i)
R
−T
h R
T
DA exp i
−T
d 4 x (L −
d 4 x (L −
1
2ξ
1
2ξ
i
(∂µ Aµ )2 )
(∂µ Aµ )2 )
i
(93)
wobei O(A) eine eichinvariante Kombination von Feldoperatoren ist, z.B.
Fµν (x )F µν (y )
(da wir in obiger Herleitung von der Invarianz des Pfadintegrals bei A(x , α) ↔ A(x ) Gebrauch gemacht
hatten).
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Pfadintegrale
42 / 85
4. Dirac-Fermionen im Pfadintegral
Dirac-Lagrangedichte im Operatorformalismus:
b ) (i D/ − m) ψ(x
b ),
LDirac = ψ(x
bµ
iDµ = i∂µ − e A
(kovariante Ableitung)
(94)
Den (freien) Dirac-Propagator hatten wir im Operatorformalismus hergeleitet:
b (y )|Ωifrei ,
bβ (x )ψ
SF (x , y )βα = hΩ|T ψ
α
S̃F (p) =
i
p
/ − m + i
(95)
wobei das zeitgeordnete Produkt für Fermionen die Antivertauschungsrelationen
berücksichtigt, d.h.
(
b (y ) =
bβ (x )ψ
Tψ
α
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b (y )
ψβ (x )ψ
α
für
x0 > y0 ,
b (y )ψβ (x )
−ψ
α
für
y0 > x0 .
Pfadintegrale
(96)
43 / 85
Grassmann-Zahlen
Wenn wir Pfadintegral für Fermionen mit “normalen” komplexen
(spinor-wertigen) Funktionen Ψα (x ) und Ψα (x ) definieren, bekommen wir falsche
Statistik (d.h. Vertauschungs- statt Antivertauschungsrelationen, falsches
Vorzeichen im zeitgeordneten Produkt).
Für fermionische Pfadintegrale benötigt man deshalb einen neuen Zahlenbegriff,
die sog. Grassmann-Zahlen, mit folgenden Eigenschaften:
Zwei Grassmann-Zahlen θ und η anti-kommutieren:
θη + ηθ = 0 ,
⇒
2
2
θ =η =0
(97)
Das Produkt zweier Grassmann-Zahlen verhält sich wie eine normale Zahl,
(θ1 η1 )(θ2 η2 ) = −θ1 θ2 η1 η2 = . . . = (θ2 η2 )(θ1 η1 )
(98)
Addition von Grassmann-Zahlen und Multiplikation mit reellen Zahlen wie üblich,
a (θ + b η) = a θ + ab η ,
a, b ∈ <
(99)
Bei komplexer Konjugation ändert sich die Reihenfolge,
∗
∗ ∗
∗ ∗
(θη) ≡ η θ = −θ η
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Pfadintegrale
(100)
44 / 85
Integration mit Grassmann-Zahlen (notwendig für Definition des fermionischen Pfadintegrals)
Funktionen von Grassmann-Zahlen haben stets endliche Taylor-Entwicklung,
f (θ) = f0 + f1 θ ,
f (θ1 , θ2 ) = f00 + f10 θ1 + f01 θ2 + f11 θ1 θ2
etc.
(101)
d.h. wir brauchen nur eine Regel für das elementare (unbestimmte) Integral
Z
dθ (a + b θ)
(102)
Integral soll linear in den reellen Koeffizienten a, b sein
Z
dθ (a + b θ) = a i1 + b i2
Um die Pfadintegralmethode zu verallgemeinern, brauchen wir insbesondere die
Invarianz des Integrals unter linearen Substitutionen, θ → θ 0 = θ + η,
Z
!
dθ (a + b θ) =
Z
Z
dθ (a + b θ + b η) =
dθ ((a + bη) + b θ) = (a + bη) i1 + b i2
D.h. für eine konsistente Definition des Integrals muss i1 ≡ 0 sein.
Für i2 können wir per Konvention 1 wählen, also
Z
Z
dθ 1 = 0 ,
Z
dθ θ ≡ 1 ,
dθ f (θ) = f1
(103)
d.h. Integration wirkt wie Differentiation!
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Pfadintegrale
45 / 85
Bei Mehrfachintegralen mit Grassmann-Zahlen muß man auf die Reihenfolge achten:
Z
Z
Z
dθ1 dθ2 θ2 θ1 = +1 = −
dθ1 dθ2 θ1 θ2 =
dθ2 dθ1 θ1 θ2 .
(104)
Komplexe Grassmann-Zahlen definieren wir über
θ=
θ1 + iθ2
,
√
2
∗
θ =
Z
θ1 − iθ2
√
2
∗
mit
∗
dθ dθ (θθ ) = 1
(105)
Damit erhalten wir für Gauss-Integrale mit Grassmann-Zahlen
Z
∗
dθ dθ e
−θ ∗ a θ
Z
∗
∗
dθ dθ (1 − θ a θ) = a ,
=
(106)
während man für normale (komplexe) Zahlen (2π)/a erhalten hätte (siehe Übung).
Entsprechend erhält man für mehr-dimensionale Gauss-Integrale (→ Übung),
YZ
!
∗
dθi dθi
e
−θ ∗ Aij θj
i
= det A ,
−θ ∗ Aij θj
i
= det A (A
(107)
i
YZ
!
∗
dθi dθi
∗
(θk θl ) e
−1
)kl
(108)
i
(anstelle von (2π)n / det A im (komplexen) bosonischen Fall).
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Pfadintegrale
46 / 85
Grassmann-Felder für Dirac-Fermionen
Dirac-Fermionen werden im Pfadintegral durch Grassmann-Felder beschrieben.
Def.
ψα (x ) =
X
θi φiα (x )
(109)
i
wobei {φiα (x )} ein vollständiger Satz von (gewöhnlichen) spinorwertigen
Basisfunktionen und die Koeffizienten {θi } Grassmann-Zahlen sind.
∗ (x ) betrachten wir wieder ψ̄ (x ) = (ψ † (x )γ 0 ) als unabhängige
Anstelle von ψα
α
α
Integrationsvariable.
Im Pfadintegralformalismus ändert sich bis auf die Regeln für die Integration
nichts, z.B.
R
b 2 )|Ωi
b 1 )ψ(x
hΩ|T ψ(x
≡
frei
(108)
=
R
Dψ̄ Dψ ψ(x1 )ψ̄(x2 ) exp i
R
R
Dψ̄ exp i
d 4 x ψ̄(i ∂/ − m + i)ψ
−1
1
(i ∂/ − m + i)
i
d 4 x ψ̄(i ∂/ − m + i)ψ
= SF (x1 − x2 )
(110)
d.h. wir können den Propagator wieder direkt aus dem Inversen des quadr. Terms in der
Lagrangedichte ablesen.
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Pfadintegrale
47 / 85
Erzeugendes Funktional für freie Dirac-Felder
Führe Quellen η̄, η für Dirac-Felder ein.
Quellen sind spinor-wertig (Lorentz-Invarianz)
Quellen sind Grassmann-Felder (Statistik)
Z
Z
Z0 [η̄, η] =
Dψ̄Dψ exp i
d 4 x L0 [ψ, ψ̄] + η̄ψ + ψ̄η
(111)
Wie im bosonischen Fall können wir quadratisch ergänzen und erhalten
Z
Z0 [η̄, η] = Z0 [0, 0] exp −
d 4 x d 4 y η̄(x ) SF (x − y ) η(y )
(112)
Bei den Funktionalableitungen ist wieder die Reihenfolge relevant
δ
δ η̄(x1 )
Z
δ
δη(x2 )
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i
Z
i
d 4 x η̄(x ) ψ(x )
= +iψ(x1 )
d 4 x ψ̄(x )η(x )
Pfadintegrale
= −i ψ̄(x2 ) .
(113)
48 / 85
Dementsprechend erhalten wir freie Korrelationsfunktionen gemäß:
b̄ 2 )|Ωifrei
b 1 )ψ(x
SF (x1 − x2 ) = hΩ|T ψ(x
=
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1
Z0 [0, 0]
1
δ
i δ η̄(x1 )
−
1
δ
i δη(x2 )
Pfadintegrale
Z0 [η̄, η]
(114)
η=η̄=0
49 / 85
Erzeugendes Funktional inkl. QED-Wechselwirkung
Starte mit erzeugendem Funktional
Z
Z
Z [η̄, η, J] =
4
Dψ̄DψDA exp i
d x LQED + η̄ψ + ψ̄η + Aµ J
µ
(115)
und Lagrangedichte LQED = L0 + Lint ,
L0 = ψ̄ (i ∂/ − m) ψ −
1
1
Fµν F µν −
(Aµ )2 ,
4
2ξ
/ψ
Lint [ψ, ψ̄, Aµ ] = −e ψ̄ A
(116)
Störungsreihe kann wie vorher konstruiert werden,
Z
Z [η̄, η, J] = exp i
4
d z Lint
h
1 δ 1 δ
1 δ
,−
,
i δ η̄
i δη i δJ µ
i
Z0 [η̄, η, J]
(117)
Der Vertexfaktor ergibt sich dann wieder direkt aus (iLint ) als
µ
− ie (γ )βα
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Pfadintegrale
Z
d 4z
(118)
50 / 85
5. Nicht-abelsche Eichtheorien (QCD) im Pfadintegralformalismus
Fadeev-Popov–Methode für nicht-abelsche Theorien
Startpunkt ist wieder das Pfadintegral für den Eichsektor
Z
DA e
iS[A]
Z
Z
=
DA exp i
4
d x
1 a 2
)
− (Fµν
4
,
(119)
mit dem Ziel, die Integration über äquivalente Eichfeldkonfigurationen, die sich aus
a
Aaµ → Aa,θ
µ ≡ Aµ +
1
∂µ θa + f abc Abµ θc
g
(120)
ergeben, zu faktorisieren. Dazu führen wir die Eichfixierung wieder als
!
Nebenbedingung G[A] = 0 ein, z.B. für kovariante Eichungen mit
G[A] = ∂ µ Aaµ (x ) − ω a (x ) .
(121)
Damit lässt sich die Identität
Z
1=
Dθ δ[G(Aθ )] det
δG(Aθ )
δθ
(122)
ins Pfadintegral einfügen. Wenn G(A) — wie im obigen Beispiel — linear in den
Eichfeldern A ist, dann ist δG(Aθ )/δθ wieder unabhängig von θ.
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Pfadintegrale
51 / 85
Wie im Falle der QED erhalten wir durch eine Variablensubstitution Aθµ → Aµ und
Ausnutzen der Eichinvarianz der Wirkung das ursprüngliche Pfadintegral in der Form
Z
DA e
iS[A]
Z
=
Z
Dθ
DA e
iS[A]
δ[G(A)] det
δG(Aθ )
δθ
.
(123)
| {z }
= const.
Die funktionale Deltafunktion δ[∂ µ Aµ − ω] behandeln wir wie im abelschen Fall durch
Integration über dω mit einem Gauss’schen Gewichtsfaktor, was auf den
Eichfixierungsterm
Lg.f. = −
1
(∂ µ Aaµ )2
2ξ
(124)
führt, wodurch sich der kinetische Term des Eichfelds invertieren lässt.
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Pfadintegrale
52 / 85
Die Funktionalintegraldeterminante ist nun aber abhängig vom Eichfeld,
δG(Aθ )
1
1
= ∂ µ Dµ = ∂ µ (∂µ δ ab + gf abc Acµ ) ,
δθ
g
g
(125)
und kann somit nicht mehr als konstanter Faktor im Pfadintegral vernachlässigt
werden. Die Idee von Fadeev und Popov ist nun, die Funktionaldeterminante als
Funktionalintegral über antikommutierende Grassmann-Felder c a , c̄ a zu schreiben, die
hinsichtlich der adjungierten Darstellung der Eichgruppe transformieren,
det
1 µ
∂ Dµ
g
Z
∝
Z
Dc Dc̄ exp i
4
a
µ
ab
d x c̄ (−∂ Dµ )
c
b
.
(126)
Man beachte, dass c und c̄ Skalare unter Lorentz-Transformationen sind, d.h. das
Spin-Statistik–Theorem verletzen. Allerdings ist das kein Problem, solange den
Feldern keine physikalischen Zustände entsprechen, die von c und c̄ erzeugt/vernichtet
werden. Diese Felder werden deshalb auch “Fadeev-Popov–Geister” genannt, welche
wir als Hilfsfelder bei der störungstheoretischen Berechnung von
Feynman-Diagrammen berücksichtigen müssen. Wir werden sehen, dass die Beiträge
der Geister gerade die dynamischen Effekte von unphysikalischen
Polarisationzuständen der nicht-abelschen Eichfelder kompensieren.
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Pfadintegrale
53 / 85
Zunächst fassen wir nochmal die sich nach der Eichfixierung ergebende effektive
Lagrangedichte mit FP–Geistern zusammen:
Leff = −
2 1 µ a 2
1
a
/ −m ψ
Fµν
−
∂ Aµ + ψ̄ i D
4
2ξ
+ c̄ a −∂ 2 δ ac − g∂ µ f abc Abµ c c .
(127)
Daraus ergeben sich folgende zusätzliche Feynmanregeln:
Geist-Propagator :
Geist-Vertex :
i δ ab
,
+ i
k2
−gf abc p µ
(p µ auslaufend bei a; Eichboson bei (µ, b)) ,
(128)
wobei die Indizes Indizes a, b, c, d für Eichbosonen und Geister in der adjungierten
Darstellung stehen.
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Pfadintegrale
54 / 85
BRST–Invarianz (Becchi, Rouet, Stora, Tyutin)
Die entscheidende Beobachtung für den Beweis der Cancellierung zwischen
unphysikalischen Gluonmoden und Geistmoden beruht auf einer zusätzlichen
Symmetrie der eich-fixierten Lagrangedichte. Um diese zu identifizieren, führen wir
zunächst ein weiteres skalares Hilfsfeld B a in der adjungierten Darstellung ein, und
schreiben die Lagrangedichte (127) als
Leff = −
2
c
1
ξ
a
ac
/ − m ψ + (B a )2 + B a ∂ µ Aaµ + c̄ a −∂ µ Dµ
Fµν
+ ψ̄ i D
c .
4
2
(129)
Dies ist korrekt, denn das Hilfsfeld B a hat keinen kinetischen Term, ist deshalb
undynamisch und kann durch Anwendung der klassischen Bewegungsgleichungen
wieder eliminiert werden,
δLeff
!
= ξB a + ∂ µ Aaµ = 0
δB a
⇒
Ba = −
1 µ a
∂ Aµ ,
ξ
(130)
und Einsetzen in (129) liefert (127).
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Pfadintegrale
55 / 85
Wir identifizieren nun infinitesimale BRST–Transformationen als
ac c
δAaµ = Dµ
c ,
δψ = ig c a t a ψ ,
1
gf abc c b c c ,
2
δc̄ a = B a ,
δc a = −
δB a = 0 ,
(131)
wobei 1 ein kleiner Parameter ist, der durch eine anti-kommutierende
Grassmann-Zahl dargestellt sei (so dass δAaµ wieder ein “normales” kommutierendes
Feld ist, und δψ, δc, δc̄ Grassmann-Felder sind).
Für Aaµ und ψ entspricht die BRST-Transformation den gewöhnlichen
Eichtransformationen, wenn wir den Eichparameter mit
θa (x ) = gc a (x )
identifizieren. Damit sind die ersten beiden Terme in (129) für sich
BRST-invariant.
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Pfadintegrale
56 / 85
Der Term mit (B a )2 ist trivial invariant, wg. δB a = 0.
Für die Kopplung des Hilfsfelds mit dem Eichfeld finden wir
ac c
δ B a ∂ µ Aaµ = B a ∂ µ Dµ
c .
(132)
Es bleibt der Beitrag der Geistfelder, welcher sich unter BRST folgendermaßen
transformiert:
ac
ac
ac
δ c̄ a (−∂ µ Dµ
) c c = B a (−∂ µ Dµ
) c c + c̄ a δ (−∂ µ Dµ
) cc
(133)
Hierbei kompensiert der erste Term gerade den Term in (132). Im zweiten Term,
können wir c̄ a ∂ µ ausklammern (da die BRST-Transformation global, also
x -unabhängig ist). Damit bleibt noch zu zeigen, dass der folgende Term Null
ergibt:
? ac c ac
0 = δ Dµ
c = Dµ
δc c + gf abc δAbµ c c
1
1
g ∂µ f abc c b c c − g 2 f abc f cde Abµ c d c e
2
2
+ g f abc (∂µ c b ) c c + g 2 f abc f bde Adµ c e c c
=−
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Pfadintegrale
(134)
57 / 85
Betrachten wir zunächst die O(g)–Terme. Den ersten Term können wir unter
Ausnutzung der Antisymmetrie von f abc vereinfacht werden zu
−
1
g ∂µ f abc c b c c = −g f abc (∂µ c b ) c c ,
2
(135)
welcher gerade den anderen Term der Ordnung g in (134) kompensiert.
Analog lassen sich die O(g 2 )–Terme zusammenfassen zu
−
1
g 2 f abc f cde Abµ c d c e + Adµ c e c b + Aeµ c b c d .
2
Diese Kombination ergibt Null aufgrund der Jacobi-Identität.
Somit hat die Lagrangedichte (129) tatsächlich eine globale BRST-Symmetrie
(unabhängig vom Eichparameter ξ).
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Pfadintegrale
58 / 85
Wir führen nun einen abstrakten BRST-Generator Q̂ ein, indem wir
Q̂ φ ≡ δφ
für φ = {Aµ , ψ, c, c̄, B}
(136)
definieren. Als Symmetrieoperator vertauscht Q̂ mit dem Hamiltonoperator. Weiterhin
hat Q̂ die Eigenschaft, ein nil-potententer Operator zu sein, Q̂ 2 = 0, d.h. die
Hintereinanderausführung von 2 BRST-Transformationen ergibt stets Null. Dies
prüfen wir explizit nach:
(134)
ac c
ac c
Q̂ 2 Aaµ = Q̂ (Dµ
c ) ∝ δ(Dµ
c ) = 0,
1
g f abc c b c c t a ψ + c a t a (igc b t b ψ)
2
1
1
− g f abc c b c c t a ψ + gf abc c a c b t c ψ = 0 ,
2
2
Q̂ 2 ψ = Q̂ (igc a t a ψ) ∝ −
c a c b = −c b c a
=
Q̂ 2 c a = Q̂ −
1 abc b c
gf
c c
2
∝ f abc f bde c c c d c e
Jacobi
= 0,
Q̂ 2 c̄ a = Q̂ B a = 0 ,
Q̂ 2 B a = 0 .
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(137)
Pfadintegrale
59 / 85
Mit Q̂ 2 = 0 und Q̂, Ĥ = 0 können wir nun den Hilbertraum H der von den
Feldoperatoren φ erzeugten Zustände klassifizieren. Wir zerlegen dazu den
Hilbertraum in 3 Teile,
H = H0 + H1 + H2 ,
welche durch Zustände mit folgenden Eigenschaften definiert sind:
Zustände |ψ1 i aus H1 werden vom BRST-Operator nicht vernichtet,
Q̂ {|ψ1 i} 6= 0 .
(138)
Zustände |ψ2 i aus H2 lassen sich als Ergebnis der Wirkung von Q̂ aus Zuständen
|ψ1 i darstellen (was noch obiger Voraussetzung nicht Null sein kann),
{|ψ2 i} = Q̂ {|ψ1 i} .
(139)
Die restlichen Zustände |ψ0 i aus H0 erfüllen demnach
Q̂ {|ψ0 i} = 0
und
{|ψ0 i} 6= Q̂ {|ψ1 i} .
(140)
Damit verschwinden insbesondere die folgenden Skalarprodukte,
hψ2a |ψ2b i = hψ1a |Q̂ 2 |ψ1b i = 0 ,
Th. Feldmann – WiSe 2016/17
hψ2a |ψ0b i = hψ1a |Q̂|ψ0b i = 0 .
Pfadintegrale
(141)
60 / 85
Wir können uns nun fragen, welche asymptotische Zustände zu den jeweiligen
Teilräumen Hi gehören. Dazu definieren wir zunächst die verschiedenen
(physikalischen und unphysikalischen) Polarisationen, die zum Eichfeld Aµ gehören,
1
(k 0 , ~k) ,
2|~k|
1
(−)
(k 0 , −~k) ,
µ (k) = √
2|~k|
(+)
µ (k) = √
⊥
µ (k)
mit
µ∗
⊥
µ (k)± = 0 .
(142)
Die BRST-Transformation im asymptotischen Limes g → 0 liefert für das Eichfeld
g→0
Q̂ Aaµ −→ ∂µ c a
Fourier-Trafo
−→
kµ c a ,
(143)
und damit für die einzelnen Polarisationen
µ
Q̂ Aaµ −→µ
k c a = c a (k) ,
(−)
(−) µ
µ
Q̂ Aaµ −→µ
k ca = 0 ,
(+)
(+) µ
µ
Q̂ Aaµ −→µ
k ca = 0 .
⊥
⊥ µ
(144)
Damit hätten wir schon einmal gezeigt, dass |c(k)i = Q̂ |(+) (k)i, d.h.
|c(k)i ∈ H2
Th. Feldmann – WiSe 2016/17
und
|(+) (k)i ∈ H1 .
Pfadintegrale
(145)
61 / 85
Wir hatten oben gesehen, dass das Hilfsfeld B a mittels der
Bewegungsgleichungen ausgedrückt werden kann als
ξB a = −∂ µ Aaµ
Fourier-Trafo
−→
(−)a
k µ Aµ
,
(146)
d.h. der zum Hilfsfeld gehörige Zustand entspricht gerade dem unphysikalischen
(−)
Eichfeldzustand |µ (k)i. Da B a von Q̂ vernichtet wird, anderseits aber
a
a
Q̂c̄ ∝ B , ordnen wir also
|c̄(k)i ∈ H1
und
|(−) (k)i ∈ H2
(147)
zu.
Die restlichen Zustände |⊥ (k)i und |ψi gehören dann offensichtlich zu H0 , da
sie im asymptotischen Limes g → 0 von Q̂ vernichtet werden, sich aber nicht aus
der BRST-Trafo eines anderen Zustands ergeben.
Damit entspricht H0 gerade dem Raum der physikalischen Zustände, während H1 die
unphysikalischen Zustände |(+) (k)i und |c(k)i enthält, sowie H2 die unphysikalischen
Zustände |(−) (k)i und |c̄(k)i.
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Pfadintegrale
62 / 85
Unitarität der S-Matrix
Wir betrachten Übergangsamplituden zwischen Zuständen aus dem physikalischen
Hilbertraum H0 , wobei wir Zwischenzustände aus dem gesamten Hilbertraum
H = H0 + H1 + H2 zulassen. Dazu benutzen wir die Unitarität des Streuoperators Ŝ
und betrachten folgende Matrixelemente
(A)
(B)
δ (AB) = hψ0 |Ŝ † Ŝ|ψ0 i
Vollständigkeit
=
X
(A)
(B)
hψ0 |Ŝ † |ψ (C ) ihψ (C ) |Ŝ|ψ0 i .
(148)
ψ (C )
Da der BRST-Operator Q̂ mit dem Hamiltonoperator vertauscht, vertauscht auch
der Streuoperator (der sich ja aus Ĥ herleitet)
Q̂, Ŝ = 0
⇒
(A)
(A)
Q̂ Ŝ |ψ0 i = Ŝ Q̂ |ψ0 i = 0 .
(149)
Wenn wir jetzt die allgemeinen Zwischenzustände |ψ (C ) i gemäß der
Teil-Hilberträume aufteilen, erhalten wir damit für die obigen Matrixelemente
(C )
(B)
(C )
(B)
hψ2 |Ŝ|ψ0 i = hψ1 |Q̂ Ŝ|ψ0 i = 0 ,
(150)
(C )
d.h. Zustände |ψ2 i aus H2 tragen nicht bei. Weiterhin folgt wegen Q̂|ψ1 i 6= 0,
Th. Feldmann – WiSe 2016/17
(A)
Ŝ|ψ0 i
∈ H0 ⊕ H2
⇒
(C )
(A)
hψ1 |Ŝ|ψ0 i = 0 .
Pfadintegrale
(151)
63 / 85
Damit erhalten wir das gewünschte Ergebnis
hψ0 |Ŝ † Ŝ|ψ0 i =
X
δ (AB) =
X
(A)
(B)
(A)
(C )
(C )
(B)
hψ0 |Ŝ † |ψ0 ihψ0 |Ŝ|ψ0 i
(C )
ψ0
⇒
(CA) ∗
(S0
(CB)
) (S0
).
(152)
C
D.h. der Streuoperator Ŝ bleibt unitär, wenn wir uns auf den Unterraum der
physikalischen Zustände beschränken,
S0 S0† = 1 .
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Pfadintegrale
(153)
64 / 85
6. Symmetrien und Ward-Identitäten
Idee:
Betrachte Variablensubstitutionen im Pfadintegral, z.B. für Fermionen
ψ(x ) → ψ 0 (x ) = ψ(x ) + ieα(x ) ψ(x ) ,
ψ̄(x ) → ψ̄ 0 (x ) = ψ̄(x ) − ieα(x )ψ̄(x ) ,
(154)
welche geraden lokalen QED-Eichtransformationen entsprechen.
Allerdings lassen wir jetzt das Eichfeld Aµ (x ) im Pfadintegral unverändert, so dass
sich die Lagrangedichte ändert,
L → L − e(∂µ α) ψ̄γ µ ψ = L − (∂µ α) j µ (x ) ,
(155)
wobei j µ = e ψ̄γ µ ψ gerade der elmg. Strom ist.
Der Ausdruck für z.B. die 2-Punktfunktion sollte im PI-Formalismus unverändert
bleiben, d.h.
h0|T ψ(x1 )ψ̄(x2 )|0i =
Th. Feldmann – WiSe 2016/17
1
Z
Z
Dψ̄ Dψ DA ψ(x1 )ψ̄(x2 ) e
Pfadintegrale
i
R
d4x L
= invariant
(156)
65 / 85
Wenn wir den Ausdruck für die 2-Punktfunktion linear in α entwickeln, ergibt sich also
!
0=
Z
Dψ̄ Dψ DA ψ(x1 )ψ̄(x2 ) e
×
Z
−i
i
R
d4x L
4
µ
d x (∂µ α)(x ) j (x ) + ieα(x1 ) − ieα(x2 )
,
(157)
Wenn wir jetzt die Funktionalableitung δ/δα(y ) bilden und im ersten Term partiell
integrieren, erhält man
!
0=
Z
Dψ̄ Dψ DA ψ(x1 )ψ̄(x2 ) e
i
R
d4x L
× i ∂µ j µ (y ) + ie δ(y − x1 ) − ie δ(y − x2 )
(158)
Jeder einzelne Term lässt sich wieder als 2- bzw. 3-Punktfunktion interpretieren,
i
∂
h0|T j µ (y ) ψ(x1 ) ψ̄(x2 )|0i = −ie δ(y − x1 ) h0|T ψ(x1 )ψ̄(x2 )|0i
∂y µ
+ ie δ(y − x2 ) h0|T ψ(x1 )ψ̄(x2 )|0i .
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Pfadintegrale
(159)
66 / 85
Offensichtliche Verallgemeinerung auf beliebige n-Punkt–Funktionen:
Die Divergenz einer (n + 1)-Punktfunktion mit Einsetzung eines Noether-Stroms lässt
sich als Differenz von n-Punktfunktionen schreiben.
→ “Ward-Takahashi–Identitäten”
(Entspricht klassischer Stromerhaltung (∂µ j µ = 0) auf dem Level von Korrelationsfunktionen.)
Intuitivere Form nach Fouriertransformation, im obigen Beispiel
Z
− qµ
d 4 y d 4 x1 d 4 x2 e ip
0
·(x1 −y )
(q = p 0 − p)
e ip·(y −x2 ) h0|T j µ (y ) ψ(x1 ) ψ̄(x2 )|0i
= ie Stot (p 0 ) − Stot (p) ,
(160)
wobei Stot den vollen Fermionpropagator (incl. Strahlungskorrekturen) bezeichnet.
Störungstheoretische Auswertung der linken Seite:
Z
d 4 y d 4 x1 d 4 x2 e ip
0
·(x1 −y )
e ip·(y −x2 ) h0|T ψ(x1 ) ψ̄(y )eγ µ ψ(y ) ψ̄(x2 )|0i
= SF (p 0 ) eγ µ SF (p) + Strahlungskorrekturen → Stot (p 0 ) eΓµ (p 0 , p) Stot (p) , (161)
wodurch gerade die Vertexfunktion Γ(p 0 , p) definiert wird . . .
Th. Feldmann – WiSe 2016/17
Pfadintegrale
67 / 85
. . . Nach Multiplikation mit den inversen Propagatoren erhalten wir somit
−1 0
−1
−qµ Γµ (p 0 , p) = −iStot
(p ) + iStot
(p) .
(162)
Beachte, dass die obige Herleitung auch für off-shell Impulse (p 2 6= m2 6= (p 0 )2 ) gilt.
Diskussion:
Zur führenden Ordnung ergibt sich mit iS −1 (p) = p
/ − m und Γµ = γ µ
0
−qµ γ µ = −(p
/ − m) + (p
/ − m) = −q
/
(163)
X
Im allgemeinen Fall, mit Selbstenergie, iS −1 (p) = p
/ − m − Σ(p
/)
0
qµ Γµ (p 0 , p) = q
/ − Σ(p
/ ) − Σ(p
/)
(164)
Wenn man das zwischen on-shell Spinoren auswertet, ergibt sich
qµ ū(p 0 ) Γµ (p 0 , p) u(p)
0
= ū(p 0 ) q
/ − Σ(p
/ ) + Σ(p
/ ) u(p)
= ū(p 0 ) (m − m − Σ(m) + Σ(m)) u(p) = 0
Th. Feldmann – WiSe 2016/17
Pfadintegrale
#
(165)
68 / 85
Man kann die WI auch um q µ = 0 entwickeln und dann p 2 = m2 setzen
qµ Γµ (p, p)
p 2 =m2
=q
/−
∂Σ −1
q
/ 2 2 ≡q
/ Z2 ,
∂p
/ p =m
(166)
was gerade den Renormierungsfaktor Z2 für die Elektronen involviert.
Andererseits hatten wir den Renormierungsfaktor Z1 definiert über
Γµ (p, p)
p 2 =m2
= Z1−1 γ µ
(167)
Vergleich liefert Z1 = Z2 und somit für den Formfaktor F1 (0) = 1 in jeder
Ordnung der Störungstheorie!
#
Die Diskussion funktioniert analog für beliebige Amplituden mit externen
Photonlinien. Schreiben wir die Amplitude als
µ (k) Mµ (k, p1 , . . . pn )
mit dem Polarisationsvektor des externen Photons mit Impuls k und weiteren
on-shell Impulsen pi , dann führen die Ward-Identitäten auf
k µ Mµ (k, p1 , . . . , pn )
Th. Feldmann – WiSe 2016/17
pi2 =m2
Pfadintegrale
= 0.
(168)
69 / 85
7. Anomalien in der Quantenfeldtheorie
Unter Anomalien in der Quantentheorie versteht man allgemein die Verletzung
von Symmetrien – welche ursprünglich in der klassischen Theorie vorgelegen
haben – durch Quanteneffekte.
Ein wichtiges Beispiel ist die sog. Adler-Bell-Jackiw–Anomalie in der QED mit
masselosen Fermionen.
Ausgangspunkt: Variablensubstiution im Pfadintegral
ψ(x ) → ψ 0 (x ) = ψ(x ) + iα(x ) γ5 ψ(x ) ,
ψ̄(x ) → ψ̄ 0 (x ) = ψ̄(x ) + iα(x )ψ̄(x ) γ5 ,
(169)
Gemäß vorheriger Diskussion sollte dies einen erhalten Axialvektorstrom
∂µ ψ̄γ µ γ5 ψ = 0
mit entsprechenden Ward-Identitäten implizieren.
Hierbei haben wir aber implizit angenommen, dass sich das Pfadintegralmaß bei
der Variablensubstitution nicht ändert.
→ Dies wollen wir nun explizit überprüfen . . .
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Pfadintegrale
[Fujikawa 1980]
70 / 85
Zur Definition des Pfadintegralmaßes entwickeln wir die Felder in eine
Orthonormalbasis von Eigenfunktionen des Dirac-Operators
/ φm = λ m φm ,
(i D)
−iDµ φ̂m γ µ = λm φ̂m .
(170)
Für freie Felder wäre λ2m = k 2 . Dies gilt offensichtlich auch für asymptotisch
große Werte des Impulses k (bei festem Eichfeld Aµ ).
Wir schreiben also
ψ(x ) =
X
am φm (x ) ,
ψ̄(x ) =
X
m
âm φ̂m (x ) ,
(171)
m
mit unabhängigen Koeffizienten am , âm , welche Grassmann-wertig sind.
Das Funktionalintegralmaß kann dann repräsentiert werden als
Dψ Dψ̄ =
Y
dam dâm .
(172)
m
Unter obiger Transformation ergeben sich die Koeffizienten der neuen Felder zu
0
am
=
XZ
d 4 x φ†m (x ) (1 + iα(x )γ5 ) φn (x )an =
n
X
(δmn + Cmn ) an
(173)
n
0 .
und entsprechend für âm
Wir benötigen also die Jacobi-Determinante J der Transformation (1 + C ), wobei
diese aufgrund der Grassmann-Wertigkeit der am als J −2 im Pfadintegral eingeht.
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Pfadintegrale
71 / 85
Berechnung der Jacobi-Determinanten:
Schreibe
J = det(1 + C ) = exp [tr log(1 + C )] = exp
"
X
#
Cnn + O(α2 )
n
Z
⇔
log J = i
d 4 x α(x )
X
φ†n (x ) γ5 φn (x )
n
(174)
Auf den ersten Blick sieht die Summe im obigen Term wie eine Darstellung von
trγ5 ≡ 0 aus. Allerdings konvergiert die Summe nicht, dass heisst die Beiträge
von großen Eigenwerten λm sollten regularisiert werden, und zwar in
eich-invarianter Weise!
Eine einfache Möglichkeit1 ist die Folgende
X
φ†n (x ) γ5 φn (x ) → lim
X
M→∞
n
2
2
φ†n (x ) γ5 φn (x ) e λn /M ,
2
2
so dass für große n und endliche M gilt: λ2n ' k 2 0 und e λn /M → 0.
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(175)
n
Pfadintegrale
X
72 / 85
Obiger Ausdruck lässt sich auch in Operatorform schreiben
X
h
/
φ†n (x ) γ5 φn (x ) → lim hx |tr γ5 e (i D)
2
/M 2
i
|x i ,
(176)
M→∞
n
wobei die Spur dann noch über Dirac-Indizes geht, und
/ 2 = −D 2 +
(i D)
e µν
σ Fµν
2
(177)
Da die Regularisierung nur große Werte von λn betrifft, können wir den Ausdruck
im Eichfeld entwickeln. Damit die Dirac-Spur nicht verschwindet, brauchen wir
mindestens 4 Dirac-Matrizen bzw. einen quadratischen Term in σ µν . Demnach
h
/
lim hx |tr γ5 e (i D)
2
/M 2
i
|x i
M→∞
=
lim tr γ5
M→∞
1
2!
e
σ µν Fµν (x )
2M 2
2 hx |e −∂
2
/M 2
|x i .
(178)
Der letzte Faktor lässt sich direkt berechnen mittels Fourier-Trafo,
hx |e −∂
2
/M 2
Z
|x i = lim
y →x
Z
=i
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d 4 k −ik·(x −y ) k 2 /M 2
e
e
(2π)4
d 4 kE −k 2 /M 2
M4
e E
=i
.
4
(2π)
16π 2
Pfadintegrale
(179)
73 / 85
Im Produkt bleibt tatsächlich im Limes M → ∞ ein endlicher Ausdruck übrig !
Ausführen der Dirac-Spur und Übergang von log J → J liefert dann das
gesuchte Resultat für die Jacobi-Determinante
Z
J = exp −i
4
d x α(x )
e 2 µνλσ
Fµν Fλσ (x )
32π 2
.
(180)
bzw. für das Pfadintegral nach der Variablensubstitution
Z
Z =
Dψ Dψ̄ e
i
R
2
/ ψ+α(x ) ∂µ j µ5 + e 2 µνλσ Fµν Fλσ
d 4 x ψ̄ (i D)
16π
(181)
so dass nach Variation bzgl. α(x ) die anomale Ward-Identität folgt:
∂µ j µ5 = −
e 2 µνλσ
Fµν Fλσ
16π 2
(182)
Kommentare:
Das Endresultat ist unabhägig vom Regulator !
Im Rahmen der Störungstheorie erhält man das obige Resultat aus der Berechnung der
3-Punkt-Funktion mit einem Axialvektorstrom und zwei QED-Vektorströmen →
“Dreiecksanomalie”.
Der technische Grund für den anomalen Beitrag liegt auch hier wieder darin begründet,
dass es keinen Regulator gibt, der sowohl die QED-Eichinvarianz als auch die Erhaltung
des Axialvektorstroms realisiert.
Das obige exakte Resultat wird schon auf 1-Schleifenniveau erzeugt.
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Pfadintegrale
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Anwendung 1: Anomaliefreiheit in chiralen Eichtheorien
In der Diskussion der QED und QCD in TTP2 hatten wir festgestellt, dass die
Eichsymmetrien und die damit verknüpften Ward-Identitäten essentiell für die
Renormierbarkeit, d.h. für eine konsistente Beschreibung des
Hochenergieverhaltens sind.
In der QED koppelt das Photon nur an Vektorströme; – die dazugehörige
Ward-Identität erhält keinen anomalen Beitrag durch Quantenkorrekturen,
µ
∂µ jelmg.
≡ 0.
Im Standardmodell koppeln die Eichbosonen der schwachen Wechselwirkung
allerdings auf verschiedene Weise an rechts- und linkshändige Fermionen.
Entsprechend sind die dazugehörigen Ströme i.A. nicht erhalten!?
Bei der Berechnung des anomalen Beitrags müssen wir allerdings über den Effekt
aller beteiligten Fermionen summieren, d.h. bei richtiger “Adjustierung” der
Kopplungen können sich die Effekte gerade herausheben.
Wie wir oben bemerkt hatten, reicht es dazu aus, die Dreiecksdiagramme mit den
möglichen Kombinationen von Eichströmen zu betrachten. Dabei tragen linksund rechtshändige Fermionen mit unterschiedlichem Vorzeichen bei.
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Pfadintegrale
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1. Beispiel:
Dreiecksdiagramm mit einem Eichstrom für U(1)Y und zwei Eichströmen für SU(2)L
Es gibt zwei unabhängige Diagramme (Orientierungen).
e ist dann proportional zu
Der Koeffizient vor dem Anomaliebeitrag ∂µ jYµ ∝ W W
“U(1)Y [SU(2)L ]2 ”:
tr Y T A T B + tr T B T A Y
= tr Y
T A, T B
=
1
y δ AB
2
(183)
Im Standardmodell tragen alle linkshändigen Fermionen mit entsprechender
Hyperladung und Multiplizität bei:
Quark-Dublett QL :
Lepton-Dublett LL :
1
· 3Farbe · 3Familien ·
2
1
1
· 3Familien · −
2
2
1
6
Y
→
3 AB
δ
4
→−
3 AB
δ
4
Y
D.h. diese Anomalie verschwindet, wenn es gleich viele Familien von Leptonen und
Quarks gibt, und wenn Y (QL ) = −1/3 Y (LL ) gilt. – Insbesondere motiviert dies die
Drittelzahligkeit der Quarkladungen (aus der 3-fachen Farbentartung der Quarks!).
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Pfadintegrale
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2. Beispiel:
Dreiecksdiagramm mit drei Eichströmen für U(1)Y
e ist dann proportional zu
Der Koeffizient vor dem Anomaliebeitrag ∂µ jYµ ∝ B B
“[U(1)Y ]3 ”:
tr Y 3 = y 3
(184)
Jetzt tragen alle Fermionen bei (mit relativem Vorzeichen für L/R):
Quark-Dublett QL :
Lepton-Dublett LL :
Quark-Singulett UR :
3Farbe · 3Familien · 2Isospin ·
3Familien · 2Isospin · −
− 3Farbe · 3Familien ·
1
2
Lepton-Singulett ER :
− 3Familien · (−1)3Y
Pfadintegrale
3
Y
→+
1
12
→−
3
4
→−
8
3
→
1
3
Y
2
3
− 3Farbe · 3Familien · −
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1
6
3
Quark-Singulett DR :
Ergibt in der Summe (1 − 9 − 32 + 4 + 36)/12 = 0
3
Y
1
3
3
Y
→3
X
77 / 85
3. Beispiel:
Dreiecksdiagramm mit einem Eichstrom für U(1)Y und zwei Eichströmen für SU(3)C
e ist dann proportional zu
Der Koeffizient vor dem Anomaliebeitrag ∂µ jYµ ∝ G G
y δ ab
“U(1)Y [SU(3)C ]2 ”:
(185)
Jetzt tragen alle Quark bei (mit relativem Vorzeichen für L/R):
Quark-Dublett QL :
Quark-Singulett UR :
Quark-Singulett DR :
3Familien · 2Isospin ·
− 3Familien ·
2
3
− 3Familien · −
Ergibt in der Summe = 0
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1
6
→ +1
Y
→ −2
Y
1
3
→ +1
Y
X
Pfadintegrale
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Grand Unification?
Ist Cancellierung der Anomalien in den SM-Eichströmen Zufall?
Mögliche Erklärung: SM-Eichgruppe ist Untergruppe einer größeren
vereinheitlichten Theorie (“grand unified theory - GUT”).
Beispiel: SU(5) 3 SU(3) × SU(2) × U(1)
Der Hyperladungsoperator in der fundamentalen Darstellung der SU(5) ist dann
proportional zu einer diagonalen, spurlosen 5 × 5–Matrix,
mit 3yq = −2y`
Y = diag (yq , yq , yq , y` , y` )
wodurch z.B. die Hyperladungen von
verknüpft werden.
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DR∗ (yq
(186)
→ 1/3) und LL (y` → −1/2)
Pfadintegrale
79 / 85
Anwendung 2: Der Zerfall π 0 → 2γ
Vorüberlegungen:
Pionen sind Goldstone-Bosonen (approximativen) chiralen Symmetrie, welche im
Limes mu = md = 0 exakt wird, d.h.
2
mπ
∝ mu,d .
(187)
Der assoziierte Axialvektorstrom im Isotriplett-Raum lautet
j
µ5,a
σa
(x ) = ψ̄(x ) γ γ
ψ(x )
2
µ 5
mit ψ =
u
d
(188)
Der Axialvektorstrom vernichtet/erzeugt Pionen gemäß
h0|j µ5,a (x )|π b (q)i = −iq µ δ ab e −iqx fπ .
(189)
Hierbei ist fπ ' 93 MeV die sog. Pionzerfallkonstante, die man z.B. im Zerfall des
geladenen Pions, π − → µ− ν̄µ messen kann.
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Pfadintegrale
80 / 85
Es gibt es keinen Beitrag der Gluonen zur Anomalie, weil
∂µ j µ5,a QCD
e = 0.
∝ tr[σ a ] G G
(190)
Aus der Definition der Zerfallkonstante folgt dann
0 = h0|∂µ j µ5,a |π b (q)i ' −q 2 δ ab fπ e iqx
Mit
q2
=
2
mπ
folgt also
2
mπ
(191)
= 0 (für fπ 6= 0 und mu,d → 0 und e = 0) .
Anmerkung: Für den Isosinglet-Strom verschwindet der gluonische
Anomaliebeitrag nicht. Dementsprechend ist die Masse des dazugehörigen
2.
Mesons deutlich von Null verschieden, mη2 mπ
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Pfadintegrale
81 / 85
Andererseits trägt die elmg. Wechselwirkung zur Anomalie für den ungeladenen
Strom (welcher das π 0 generiert) bei, denn
∂µ j
µ5,3
σ3 2
e 2 αβµν
Fαβ Fµν tr
Q NC .
=−
16π 2
2
Mit Q = diag(2/3, −1/3) ergibt sich tr
h
σ3
2
(192)
i
Q 2 NC = 1/2.
Wenn wir nun folgendes Matrixelement parametrisieren,
hγ(p)γ(k)|j µ5,3 (0)|0i := ε∗ν (p)ε∗λ (k) M µνλ (p, k) ,
(193)
muss also aufgrund von (192) gelten
iqµ M µνλ = −
e 2 νλαβ
pα kβ ,
4π 2
(194)
was aus der Form von Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ folgt, und qµ = (p + k)µ .
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Pfadintegrale
82 / 85
Andererseits können wir die Amplitude M auch ganz allgemein in
Lorentzstrukturen und skalare Formfaktoren zerlegen:
M µνλ (p, k) =q µ νλαβ pα kβ M1 (q 2 )
+ µναβ k λ − µλαβ p ν kα pβ M2 (q 2 )
+
µναβ p λ − µλαβ k ν kα pβ − µνλσ (p − k)σ (p · k) M3 (q 2 ) ,
(195)
wobei wir die Symmetrie unter Vertauschung der Photonen (p ↔ k, ν ↔ λ),
sowie die Ward-Identitäten für die QED, pν M µνλ = kλ M µνλ = 0, verwendet
haben.
Für die Divergenz ergibt sich dann allgemein
iqµ M µνλ =iq 2 νλαβ pα kβ M1 (q 2 )
− i µνλσ qµ (p − k)σ (p · k) M3 (q 2 )
q 2 =2pk
= iq 2 νλαβ pα kβ (M1 + M3 ) .
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Pfadintegrale
(196)
83 / 85
Vergleicht man (196) mit (194), ergibt sich, dass (für masselose Quarks) im
Limes q 2 → 0 entweder M1 (q 2 ) oder M3 (q 2 ) wie 1/q 2 divergieren müssen. Das
entspricht gerade einem masselosen Propagator mit den Quantenzahlen von
∂µ j µ5,3 . Das einzige Teilchen, welches in Frage kommt, ist gerade das ungeladene
Pion, π 0 .
Dessen Beitrag zu den Formfaktoren ergibt sich aus
i
· hπ 0 (q)|j µ5,3 |0i
q2
i
=iA(q 2 ) νλαβ pα kβ 2 (iq µ fπ ) ,
q
hγ(p)γ(k)|π 0 (q)i ·
(197)
wobei A(q 2 ) den Formfaktor in der (gesuchten) Amplitude für den Zerfall
π 0 → 2γ beschreibt.
Durch Vergleich mit (195) folgt, dass
M1 (q 2 ) = −
i
fπ A(q 2 ) + endliche Terme für q 2 → 0
q2
(198)
und
iqµ M µνλ = −
e 2 νλαβ
pα kβ = iq 2 νλαβ pα kβ M1
4π 2
= fπ A(q 2 ) νλαβ pα kβ
Th. Feldmann – WiSe 2016/17
Pfadintegrale
⇒
A(q 2 ) = −
e2 1
4π 2 fπ
(199)
84 / 85
Damit ergibt sich die Amplitude für den Zerfall π 0 → 2γ aus einer reinen
Symmetrieüberlegung (mit Korrekturen der Ordnung mu,d /2πfπ = O(1%)).
Die Vorhersage der Adler-Bell-Jackiw Anomalie für die entsprechende Zerfallsrate
ist
Γ(π 0 → 2γ) =
2
α2 mπ
,
64π 3 fπ2
(200)
welche experimentell im Rahmen der abgeschätzten Genauigkeit bestätigt wird.
Entsprechend wäre die Größe der gemessenen Rate ohne den
Anomaliemechnanismus theoretisch nicht erklärbar.
Th. Feldmann – WiSe 2016/17
Pfadintegrale
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