EINF¨UHRUNG IN DIE ALGEBRA Definition. Eine R

ÜBUNGSZETTEL 12 - EINFÜHRUNG IN DIE
ALGEBRA
JENS FRANKE, FABIAN HEBESTREIT
Definition. Eine R-Algebra S heißt von endlichem Typ, wenn es endlich viele Elemente si ∈ S gibt, so dass
S = R[s1 , . . . , sn ]S
gilt. S heißt endlich, wenn sie als Modul über R endlich erzeugt ist.
Zur Erinnerung: R[a]S bezeichnet die von a in S erzeugte R-Unteralgebra und für eine Körpererweiterung L/K bezeichnet K(a)L den
von a erzeugten Zwischenkörper. Für eine Körpererweiterung sagt man
meist einfach endlich erzeugt, wenn
L = K(l1 , . . . , ln )L
gilt.
Aufgabe 1 (3 Punkte). Es sei S eine R-Algebra. Folgern Sie aus den
Resultaten der Vorlesung, dass dann folgende Bedingungen äquivalent
sind:
i) S ist endlich über R.
ii) S ist ganz und von endlichem Typ über R.
Zeigen Sie weiterhin: Ist insbesondere K ein Körper, so ist jede endlich
erzeugte, ganze, integre K-Algebra eine endliche Körpererweiterung
(insbesondere also selbst wieder ein Körper).
Wir wollen auf dem Rest des Übungszettels zeigen, dass man bei
Körpererweiterung auf die Ganzheitsbedingung in obiger Äquivalenz
verzichten kann. Dies liegt ungleich tiefer und bedarf einiger Vorbereitung.
Aufgabe 2 (5 Punkte). Es sei R ein noetherscher Ring und A eine
endlich erzeugte R-Algebra. Weiter sei B ⊂ A eine R-Unteralgebra.
Ist dann A als Modul über B endlich erzeugt, so ist B als R-Algebra
endlich erzeugt.
Hinweis: Man kann in zwei unabhängigen Schritten vorgehen: Zunächst
bastle man eine endlich erzeugte R-Unteralgebra S von B, über der A
Abgabetermin: 26.01. in der Vorlesung
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immer noch endlich ist. Dann wende man den Hilbert’schen Basissatz
und Aufgabe 6 von Zettel 6 geschickt an um zu zeigen, dass B über
jedem solchen S endlich ist und folgere den Satz.
Aufgabe 3 (5 Punkte). Es sei L/K eine Körpererweiterung. Dann ist
l ∈ L genau dann algebraisch über K, wenn K(l)L von endlichem Typ
über K ist.
Hinweis: Für die interessante Richtung nehme man etwa das Gegenteil
an und zeige, dass dann K(l) aus K[l] durch Nenneraufnahme an einem
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einzelnen Element q entstehen müsste. Als dann betrachte man q−1
.
Wir kommen zum angekündigten Resultat, dem algebraischen Nullstellensatz.
Aufgabe 4 (4 Punkte). Zeigen sie, dass für eine Körpererweiterung
L/K die beiden Eigenschaften
i) L/K ist endlich.
ii) L ist von endlichem Typ über K.
äquivalent sind.
Die Hauptanwendung dieses Resultats ist der Hilbert’sche Nullstellensatz, eines der Grundresultate der algebraischen Geometrie:
Aufgabe 5 (3 Punkte). Ist K algebraisch abgeschlossen und I ⊆
K[X1 , . . . , Xn ] eine Teilmenge, so gibt es genau dann einen Punkt
p ∈ K n mit f (p) = 0 für alle f ∈ I, wenn das von I erzeugte Ideal nicht ganz K[X1 , . . . , Xn ] ist.
Hinweis: Man überlege sich zunächst, dass man I als Ideal annehmen
darf. Sodann wähle man sich ein maximales Ideal, das I enthält und
verwende den algebraischen Nullstellensatz.
Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper hat also jedes beliebig große polynomielle Gleichungssystem in beliebig vielen Variablen,
das nicht aus offensichtlichem Grunde keine Lösung hat, auch wirklich
eine.
Aufgabe 6 (5 Bonuspunkte). Leiten Sie das Auswahlaxiom aus dem
Zorn’schen Lemma her.