Elfte Vorlesung: Kosmologie

Elfte Vorlesung:
Kosmologie
11.1 Das kosmologische Prinzip
11.2 Die Robertson-Walker-Metrik
11.3 Friedmannsche Weltmodelle
11.4 Das kosmologische Standardmodell
11.1
Das kosmologische Prinzip
Unsere Sonne ist eine von mehreren hundert Milliarden Sternen des Milchstraßensystems, unserer Galaxis. Etwa 6000 dieser Sterne sind bereits mit bloßem Auge sichtbar.
Die Galaxie besitzt einen Durchmesser von etwa 100.000 Lichtjahren.
Das Milchstraßensystem gehört zu einem selbstständigen Galaxienhaufen mit dem Namen Lokale Gruppe. Dieser besteht möglicherweise aus mehr als 30 Galaxien. Hierzu
gehört auch der etwa zwei Millionen Lichtjahre entfernte Andromedanebel mit einem
Durchmesser von 160.000 Lichtjahren.
Sechzig Millionen Lichtjahre entfernt finden wir den Virgo-Haufen, eine weitere Ansammlung von etwa 200 stark leuchtenden Galaxien.
Der Virgo-Haufen wiederum ist Zentrum eines lokalen Superclusters, einer Ansammlung von etwa hundert Galaxienhaufen, wozu auch die Lokale Gruppe zählt.
In weit größeren Maßstäben erkennt man zwei Galaxienansammlungen in Form großer
Mauern, welche sich über mehr als 700 bzw. 1000 Millionen Lichtjahre erstrecken.
Dem im folgenden zu diskutierenden Modell liegt folgendes von A. Einstein postulierte
kosmologische Prinzip zu Grunde:
Im Universum sind alle Positionen und Richtungen gleichwertig.
11.2
Die Robertson-Walker-Metrik
Dem kosmologischen Prinzip zufolge suchen wir dreidimensionale Räume konstanter
Krümmung. Nach H.P. Robertson und A.G. Walker machen wir dann folgenden Ansatz:
2
2
2
ds = c dt − R(t)
2
dr 2
2
2
2
2
+ r (dϑ + sin ϑ dϕ ) .
1 − kr 2
(11.1)
Definition. Die Metrik (11.1) heißt Robertson-Walker-Metrik.
Hierin sind r, ϑ, ϕ dimensionslose und zeitunabhängige Koordinaten. Diese Koordinaten werden auf typische“, d.h. radial frei fallende Galaxien mit Koordinaten (r, ϑ, ϕ) =
”
const angewandt, wobei sich die radiale Geschwindigkeit allein aus der Zeitabhängigkeit
von R(t) bestimmt. Die mit einer solchen Galaxie verbundene Uhr zeigt die Zeit t an.
Die Dynamik dieses Lösungsansatzes der Feldgleichungen wird also ausschließlich durch
den Skalenfaktor R(t) bestimmt, welcher die Dimension einer Länge hat. Den Parameter k schränken wir auf die Werte 0, +1 und −1 ein.
Der zweidimensionale Fall
Zum Vergleich betrachten wir das Wegelement der zweidimensionalen Kugeloberfläche
2
2
2
2
2
ds = R(t) (dϑ + sin ϑ dϕ ) = R(t)
2
dr 2
+ r 2 dϕ2
1 − r2
(11.2)
mit der dimensionslosen Koordinate r := sin ϑ, ϑ ∈ [0, π], und r durchläuft das Intervall
0 ≤ r ≤ 1 zweimal.
Für r = 1 ist die Metrik (11.2) singulär. Diese Singularität ist mathematischer Natur.
109
Der räumliche Anteil der Robertson-Walker-Metrik (11.1) lautet
dr 2
2
2
2
2
2
+ r (dϑ + sin ϑ dϕ ) .
R(t)
1 − kr 2
(11.3)
Für k = 1 ist die Analogie zu (11.2) offensichtlich. In Verallgemeinerung lassen wir nun
in (11.2) einen Parameter k zu:
dr 2
2
2
2
2
2
2
2
2
ds = R(t)
=
R(t)
dχ
+
f
(χ)
dϕ
(11.4)
+
r
dϕ
1 − kr 2
mit der Transformation

sin χ für k = 1


0
für k = 0 .
r = f (χ) =


sinh χ für k = −1
(11.5)
Für k = 0 ist (11.4) die Metrik einer Ebene mit Polarkoordinaten % = χ und ϕ, für k = 1
erhalten wir eine Kugeloberfläche mit Winkelkoordinaten ϑ = χ und ϕ, und k = −1 ist
die Metrik einer Pseudosphäre mit Abstandskoordinate r und Winkelkoordinate ϕ.
Die (Gauß-)Krümmungen dieser Raumformen sind K = 0, K = R12 bzw. K = − R12 .
Die Pseudosphäre kann als Fläche konstanter negativer Krümmung nicht in den R3
isometrisch eingebettet werden (siehe D. Hilbert, Grundlagen der Physik).
Wir setzen (11.5) in die Robertson-Walker-Metrik ein und erhalten
ds2 = c2 dt2 − R(t)2 dχ2 + f (χ)2 dϑ2 + sin2 ϑ dϕ2 .
(11.6)
Wir erkennen wieder die Analogie zu (11.4). Die Koordinaten durchlaufen dabei die
Werte 0 ≤ χ ≤ π für k = 1 und 0 ≤ χ ≤ +∞ für k = 0, −1.
Wir berechnen den räumlichen Abstand zweier Punkte, deren erste im Koordinatenursprung mit χ = 0 liegt. Das ist keine Einschränkung, der Raum ist ja nach dem kosmologischen Prinzip homogen. Es ist dann
Räumlicher Abstand zu einem Punkt mit χ 6= 0 :
Zχ
√
gχχ dχ0 = R(t)χ.
(11.7)
0
Alle anderen Koordinaten setzen wir konstant. Wir interpretieren daher chi als Abstandskoordinate, während R(t) einen Skalenfaktor repräsentiert.
11.3
Friedmannsche Weltmodelle
Die in (11.1) gegebene Metrik dient im folgenden als Lösungsansatz für die Einsteinschen Feldgleichungen (6.19), (6.20) mit kosmologischer Konstante Λ. Wir übernehmen
den Energie-Impuls-Tensor aus (Z-31) in kovarianter Darstellung:
P
(11.8)
Tµν = % + 2 uµ uν − gµν P.
c
Nach dem kosmologischen Prinzip sind Massendichte % und Druck P räumlich homogen:
% = %(t) und P = P (t).
110
(11.9)
Typische“ Galaxien, welche wir in dieses Modell aufnehmen, kennzeichnen sich durch
”
xi = const für i = 1, 2, 3
aus. Mit ui =
dxi
dτ
(11.10)
= 0 und g00 = 1 haben wir für die Vierergeschwindigkeit
(uµ ) = (uµ ) = (c, 0, 0, 0),
wobei uµ = gµν uν
(11.11)
(beachte, daß t die Rolle der Eigenzeit übernimmt!).
Hilfssatz. Aus (11.1) und (11.8) folgt
P R2
2 2
2 2
2
2
, P R r , P R r sin ϑ .
(Tµν ) = diag %c ,
1 − kr 2
(11.12)
Aufgabe 11.1. Beweisen Sie diesen Hilfssatz.
Hilfssatz. Für die 00-Komponente der Feldgleichungen gilt
3 d2 R
4πg
− ΛR = − 4 (%c2 + 3P )R ,
2
2
c dt
c
für die räumlichen Komponenten ergibt sich die eine Gleichung
2
2 dR
R d2 R
4πg
+ 2
+ 2k − ΛR2 = 4 (%c2 − P )R2 .
2
2
c dt
c
dt
c
(11.13)
(11.14)
Aufgabe 11.2. Beweisen Sie diesen Hilfssatz.
Die Feldgleichungen werden noch durch eine thermodynamische Zustandsgleichung ergänzt. Wir verwenden folgende Näherungen:
P = 0 als nichtrelativistische Näherung unseres heutigen Universums,
P =
%c2
3
für ein strahlungsdominiertes Universum.
(11.15)
Für die erste Gleichung stellen wir uns das Universum als inkohärente Ansammlung von
Teilchen mit nichtrelativistischen Geschwindigkeiten vor. Die Massendichte wird dann
durch die Ruhmassen der Teilchen dominiert. Die zweite Zustandsgleichung gilt exakt
für inkohärente, isotrope elektromagnetische Strahlung und näherungsweise für hoch
relativistische Teilchen. Diesen Ansatz machen wir auch für das sehr frühe Universum.
Wir setzen (11.13) in (11.14) ein und erhalten
2
1
8πg
1 dR
+ k − ΛR2 = 2 %R2 .
(11.16)
2
c
dt
3
3c
Aufgabe 11.3. Verifizieren Sie diese Identität.
Wir differenzieren diese Gleichung, und dann subtrahieren wir hiervon (11.13) multipliziert mit 32 dR
. Es folgt
dt
1 d%
3 dR
P
=−
%+ 2 .
(11.17)
c dt
Rc dt
c
Aufgabe 11.4. Überprüfen Sie auch diese Gleichung.
111
Damit können wir (11.15) präzisieren:
%mat (t)R(t)3 = const für P = 0,
%str c2
.
%str (t)R(t) = const für P =
3
4
(11.18)
Zum Beispiel liefert Differentiation der ersten Gleichung
R3
d%
dR
+ 3%R2
= 0 bzw.
dt
dt
d%
3% dR
=−
,
dt
R dt
(11.19)
und das entspricht (11.17) für den Fall P = 0.
In (11.16) setzen wir nun % = %mat + %str . Unter der Annahme, daß Strahlung und
Materie nicht koppeln, ist diese Annahme zulässig.
Satz. Mit den Setzungen (beachte hierzu (11.18))
Kmat =
8πg
%mat R3 = const ,
2
3c
Kstr =
8πg
%str R4 = const
2
3c
(11.20)
läßt sich (11.16) in die folgende Form überführen:
1
c2
dR
dt
2
−
Kstr Kmat 1
−
− ΛR2 = −k.
R2
R
3
(11.21)
Das ist das gesuchte Friedmann-Modell des Universums.
Folgerung. Führen wir das Potential
V (R) := −
Kstr Kmat 1
− ΛR2
−
R2
R
3
(11.22)
ein, so können wir auch
1
c2
dR
dt
2
+ V (R) = −k
(11.23)
schreiben.
Bemerkung. Wir beachten, daß in V 0 (R) der Term ΛR2 nach Differentiation negatives
Vorzeichen hat im Gegensatz zu den zwei ersten Summanden. Im Falle Λ > 0 trägt der
kosmologische Term also zu einer Expansion bei.
Im folgenden ist der Verlauf des Potentials V (R) für verschiedene kosmologische Parameter Λ skizziert. Hierin ist k > 0 angenommen.
112
V (R)
Λ<0
R
Λ=0
Λ>0
−k
Setzen wir Kstr = 0 und Λ = 0, so geht (11.21) über in
1
c2
dR
dt
2
−
Kmat
= −k.
R
(11.24)
Wir investieren nun (1.10):
(11.15)
Kmat
=
8πg
(1.10) 2g
%mat R3 = 2 M
2
3c
c
(11.25)
mit der Gesamtmasse M > 0. Aus (11.24) erhalten wir
M
2
dR
dt
2
−g
M2
kc2 M
=−
= const.
R
2
(11.26)
Wir bemerken die formale Ähnlichkeit des Friedmann-Modells mit dem Newtonschen
Modell aus (1.12).
Beispiel: Das Einstein-de Sitter-Universum
Dieses Modell geht aus dem Friedmann-Modell mit den Parametern Λ = 0 und k = 0
heraus. Aus der vorangegangenen Skizze lesen wir ab, daß die Geschwindigkeit der
Expansion asymptotisch gegen Null geht, d.h. es gilt
dR
−→ 0 für R → ∞.
dt
Die folgenden Skizzen sind [5], Kapitel 52 entnommen.
113
(11.27)
Für Λ < 0 geht die Expansion in eine Kontraktion über.
Die Fälle k = 1, k = 0 und k = −1 entsprechen im analogen Zweikörperproblem
der Ellipsen-, der Parabel- und der Hyperbelbahn. Das Modell Λ = 0, k = 0
heißt Einstein-de Sitter-Universum.
11.4
Das Kosmologische Standardmodell
Der belgische Priester, Physiker und Mathematiker Georges-Henri Lemaitre (1894–
1966) gilt als der Begründer der Expansions-Theorie. Diese Dynamik des Universums
im Rahmen der klassischen Allgemeinen Relativitätstheorie führte ihn umgekehrt zu
einer Singularität R(t) → 0 für t → 0 für den Skalenfaktor R(t) der Robertson-WalkerMetrik.
Zusammen mit den zugehörigen Bewegungsgleichungen für R(t) spricht man vom kosmologischen Standardmodell (ohne Inflation).
Bei Annäherung an die Singularität R = 0 werden die Aussagen im Rahmen der in
dieser Vorlesung entwickelten Theorie (und im Rahmen aller bisherigen Theorien) zunehmend spekulativ.
Die folgende Skizze ist wieder [5], Kapitel 54 entnommen. Sie stellt die Temperatur
des Universums in Abhängigkeit von seiner relativen Grösse RR0 dar; dabei ist R0 der
heutige Wert.
114
log T in K
Strahlungsdominanz
10−4 s
102 s
Materiedominanz
t0
105 a
1a
t
14
12
Entkopplung der Neutrinos
Paarerzeugung
10
Kernreaktionen
8
Plasma-Strahlungs-Gleichgewicht
6
Strahlung und Materie entkoppeln
4
Neutrale Atome
2
0
2.73 K-Strahlung
−2
−12
−8
−4
0
log RR0
In den 70er Jahren des zwanzigsten Jahrhunderts wurde das Standardmodell durch
einen inflationären Term erweitert: Demnach soll sich innerhalb des Zeitraums 10−36 s
bis 10−33 s nach der Singularität t = 0 das Universum exponentiell ausgedehnt haben
(siehe hierzu [13] und [16]).
Ein ähnliches Szenario wurde bereits von de Sitter vorgeschlagen, wobei jetzt der kosmologische Term Λ die wesentliche Rolle spielt. Demnach sollte Λ aus verschiedenen
Gründen zeitabhängig sein. Ist Λ nun groß genug, so daß Materie- und Strahlungsdruck
vernachlässigt werden können, so läßt das Friedmann-Modell eine exponentielle Lösung
des Skalenfaktors zu.
Setzen wir nämlich %mat ≈ 0, %str ≈ 0 und k ≈ 0 in (11.21) ein, so folgt
1
R2
dR
dt
2
c2
= Λ ≡ H2
3
(11.28)
mit der Hubble-Zahl H. Für Λ > 0 ist also
1 dR
=H
R dt
bzw.
d
ln R = H
dt
bzw. R(t) = const · eHt .
115
(11.29)
Mit 4t = 10−33 s erhalten wir näherungsweise
R(10−36 s + 10−33 s)
= eH4t .
R(10−36 s)
(11.30)
Gegenwärtige Modelle favorisieren H ≈ 1035 s−1 , womit das Skalenverhältnis etwa e100
betragen sollte!
Nach A. Guth (1981) und A.D. Linde (1982) formulieren wir folgendes InflationsSzenario (siehe [1]):
Nach etwa 10−36 s findet ein Phasenübergang“ bei der Symmetriebrechung der fun”
damentalen Wechselwirkung statt, bei dem das ursprüngliche energiereiche Vakuum
(Higgsfeld) in den heutigen, sehr energiearmen Zustand des Vakuums übergeht und
grundsätzlich die kinetische Energie liefern kann für ein äußerst rasches, exponentiell
verlaufendes Aufblähen des Kosmos. Nach etwa weiteren 10−33 s endet diese Inflation in
die bereits besprochene Evolution nach dem Standardmodell. Das Higgsfeld überträgt
seine Energie auf die Elementarteilchen im Kosmos (X-Bosonen, Quarks, Leptonen und
Photonen).
Bereits in (Z-34) hatten wir Λ durch einen zusätzlichen Vakuum-Massenbeitrag ausgedrückt. Obige Rechnungen verknüpfen sozusagen die inflationäre Kosmologie mit der
Physik der fundamentalen Wechselwirkungen: Das Higgs-Feld wirkt für sehr kurze Zeit
wie ein positives kosmologisches Glied Λ.
Problem der Isotropie der 3K-Hintergrundstrahlung Der russische Physiker
G. Gamov bemerkte, daß man von dem heißen Stadium des Ur-Feuerballs“ direk”
te Nachricht erhalten könne. Bald danach wird nämlich die Wechselwirkung zwischen
Strahlung und Materie so gering, daß sich das Strahlungsfeld des Universums mit diesem nun adiabatisch ausdehnt. Nach L. Boltzmann bleibt ein Hohlraumstrahlungsfeld
der Temperatur T bei adiabatischer Ausdehnung schwarz, und es gilt T 3 · V = const
mit dem Volumen V des Hohlraums. Nach Abschluß der Entstehung der Atome H und
He (auf was wir hier nicht eingehen), bleibt aber auch deren Teilchenzahl nV konstant.
Also gilt asymptotisch T 3 ∼ n. Gamov benannte nun folgende Größen: T = 109 K und
n ≈ 1024 m−3 , schließlich n0 ≈ 1m−3 für das heutige Universum. Nach Expansion auf
das 1024 -fache Volumen müßte das heutige Universum von einer Hohlraumstrahlung
von etwa 10K erfüllt sein, denn es gilt
!
T03 · 1024 V = 103·9 V = 1027 V
bzw. T03 = 103 (gemessen in Kelvin) .
(11.31)
Im Jahre 1965 fanden A.A. Penzias und R.W. Wilson mit einer großen rauscharmen
Hornantenne, die ursprünglich für die Nachrichtenübermittlung mit Satelliten gedacht
war, im Bereich von 4.08GHz eine schwache Radiostrahlung. Diese wurde nach Abzug der Beiträge der Erdatmosphäre und des Empfängerrauschens von R.H. Dicke als
die von Gamov vorhergesagte Hintergrundstrahlung erkannt. Bereits 1941 wurde die
Hintergrundstrahlung von A. McKellar aus Intensitätsverhältnissen interstellarer Absorptionslinien indirekt gefunden - aber nicht erkannt, und zwar bei einer Temperatur
von etwa 2.3K.
Das Problem ist nun folgendes: Es läßt sich zeigen, daß der seit dem Urknall kausal zusammenhängende Bereich des Universums kleiner ist als der heute beobachtbare
Ausschnitt des Universums. Es ist daher nicht verständlich, daß die Hintergrundstrahlung praktisch isotrop ist. Diese Strahlung kommt ja aus dem für uns heute sichtbaren
116
Bereich, und für Isotropie, also für die gleiche Temperatur T der Strahlung im sichtbaren Bereich, müßte ein früheres Gleichgewicht in eben diesem Gebiet verantwortlich
sein. Ein solches Gleichgewicht setzt wiederum einen kausalen Zusammenhang voraus.
Dieses Problem löst die Inflationstheorie: Die Welt war vor der Inflation so klein, daß
alle ihre Teile miteinander wechselwirken konnten.
Problem der Flachheit des Universums Die Inflationstheorie erklärt ebenfalls,
warum unsere beobachtbare Welt heute fast flach ist: Die enorme Expansion bewirkt,
daß jede ursprüngliche Krümmung eingeebnet“ wird.
”
Es könnte aber auch sein, daß unser beobachtbares Universum lediglich eine Blase“ in
”
einem größeren Universum darstellt. Die Inflation treibt dieses exponentiell auseinander, und wir erleben nur ein Universum unter vielen. Das kosmologische Prinzip würde
dann vielleicht nur in unserem Bereich gelten.
Beachten Sie aber, daß dieses Prinzip am Anfang aller unserer Untersuchungen stand
und wir uns deshalb mit unseren Vermutungen in diesem engen Rahmen bewegen
müssen!
117
Aufgaben zur elften Vorlesung
11.1 Verifizieren Sie (11.12).
11.2 Verifizieren Sie (11.13) und (11.14).
11.3 Verifizieren Sie (11.16).
11.4 Verifizieren Sie (11.17).
119