Miniklausur Nr. 2

M ATHEMATIK I F ÜR I NFORMATIKER
P ROF. D R . F. E ISENBRAND
Wintersemester 2007/2008
Miniklausur Nr. 2
Vorname & Name:
Matrikelnummer:
Aufgabe:
max Punkte:
erreichte Punkte:
1
3
Übungsgruppe Nr:
2
4
3
5
Σ
12
Note:
Kontrollieren Sie diese Klausur auf Vollständigkeit: sie sollte 3 Seiten haben (Aufgaben 1–3).
Tragen Sie Name, Matrikelnummer und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf allen Seiten ein.
Lösungswege und Lösungen sind in die Klausurvorlage (evtl. auf die Rückseiten) einzutragen. Sollte
der Platz nicht ausreichen, so stellt die Klausuraufsicht zusätzliches Papier zur Verfügung. Die
Klammerung der Klausur nicht lösen! Nicht mit Bleistift und nicht in Rot schreiben!
Dauer: 15 Minuten
Zulässige Hilfsmittel: Nichtprogrammierbarer Taschenrechner, Schreibutensilien (kein Blei- oder
Rotstift).
Aufgabe 1: (Multiple Choice, jeweils 1 oder 0 oder −1 Teilpunkte)
Es sei k die letzte Stelle Ihrer Matrikelnummer. Ergibt sich bei ganzzahliger Division von k2 durch 4
• der Rest 0, so bearbeiten Sie bitte genau die Aufgabenteile (2), (5) und (8)
• der Rest 1, so bearbeiten Sie bitte genau die Aufgabenteile (1), (4) und (9)
• der Rest 2, so bearbeiten Sie bitte genau die Aufgabenteile (3), (6) und (9)
• der Rest 3, so bearbeiten Sie bitte genau die Aufgabenteile (3), (5) und (7)
(1) Sei x ∈ R. Dann gilt: x > 0 =⇒ x2 ≥ x.
◦ ja
◦ nein
(2) Sei x ∈ R. Dann gilt: x > 0 =⇒ x2 > x.
◦ ja
◦ nein
(3) Seien x, y, z ∈ R, z 6= 0. Dann gilt: x > y =⇒ x · z > y · z.
◦ ja
◦ nein
(4) Jede konvergente Folge ist beschränkt.
◦ ja
◦ nein
(5) Jede monotone Folge konvergiert.
◦ ja
◦ nein
(6) Jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teilfolge.
◦ ja
◦ nein
(7) Es gilt: n log(n) ∈ o(n2 ).
◦ ja
◦ nein
(8) Es gilt: n log(n) ∈ Ω(n2 ).
◦ ja
◦ nein
(9) Es gilt: n log(n) ∈ O(n2 ).
◦ ja
◦ nein
1
Vorname & Name:
Matrikelnummer:
Übungsgruppe Nr:
Schreiben Sie bitte deutlich und sauber. Nicht lesbare Lösungen werden mit 0 Punkten bewertet.
Aufgabe 2: (Einheiten und Nullteiler, 4 Punkte)
Wir haben gelernt, dass in Zn , n ∈ N, n ≥ 2, jedes Element entweder Einheit oder Nullteiler ist. Füllen
Sie die folgende Tabelle vollständig aus, indem Sie für jedes Element in der ersten Spalte angeben,
ob es sich um eine Einheit oder einen Nullteiler handelt. Schreiben Sie dazu in die zweite Spalte
entweder das Wort “Einheit” oder “Nullteiler”. Ist ein Element Nullteiler, so geben Sie in Spalte
drei ein vom Nullelement verschiedenes Element an, so dass das Produkt dieses Elementes mit dem
Nullteiler das Nullelement ergibt. Ist ein Element eine Einheit, so geben Sie in der dritten Spalte zur
Begründung das Inverse des Elementes an.
Sei k die letzte Stelle Ihrer Matrikelnummer. Ergibt sich bei ganzzahliger Division von k + 1 durch 3
• der Rest 0, so bearbeiten Sie bitte genau den Aufgabenteil (1)
• der Rest 1, so bearbeiten Sie bitte genau den Aufgabenteil (2)
• der Rest 2, so bearbeiten Sie bitte genau den Aufgabenteil (3)
(1)
Element aus Z14
[5]14
[6]14
[7]14
[8]14
[9]14
Einheit/Nullteiler
Begründung
Element aus Z12
[5]12
[6]12
[7]12
[8]12
[9]12
Einheit/Nullteiler
Begründung
Element aus Z15
[5]15
[6]15
[7]15
[8]15
[9]15
Einheit/Nullteiler
Begründung
(2)
(3)
2
Vorname & Name:
Matrikelnummer:
Übungsgruppe Nr:
Schreiben Sie bitte deutlich und sauber. Nicht lesbare Lösungen werden mit 0 Punkten bewertet.
Aufgabe 3: (Ein Beweis der Vorlesung, 5 Punkte)
Es sei k die vierte Stelle (von vorne) Ihrer Matrikelnummer.
• Ist k eine gerade Zahl, so bearbeiten Sie bitte genau den Aufgabenteil (1).
• Ist k eine ungerade Zahl, so bearbeiten Sie bitte genau den Aufgabenteil (2).
(1) Beweisen Sie Satz 4.20 (i) in der folgenden Form: Eine beschränkte und monoton wachsende
Folge reeller Zahlen (an )n∈N ist konvergent.
(2) Beweisen Sie Lemma 4.31 in der folgenden Form: Jede Folge (an )n∈N hat eine monoton wachsende oder monoton fallende Teilfolge.
Lösung:
Bei Bedarf auf der Rückseite weiterschreiben
3