Ubungen zu Wellen und Elektrodynamik für Chemie

Institut für Experimentelle Kernphysik
Übungen zu Wellen und Elektrodynamik für Chemie- und
Bioingenieure und Verfahrenstechniker
WS 11/12
Prof. Dr. T. Müller
Dr. F. Hartmann
Blatt 2
Bearbeitung: 11.11.2011
Zusatzinformationen zur Aufgabe:
Ladungsverteilungen, E-Felder und Potentiale
Kleine Hilfen:
Oberfläche eines Zylindermantels (Radius r; Länge L): 2πrL
Kugel: Flächenelement = Kugelschale am Radius(r) = 4πr2
Vorbemerkung:
Kraftfluss:
Definition eines Maßes für die Zahl der elektrischen Feldlinien, die durch ein Flächenelement dS mit dem Flächennormalenvektor gehen: elektrischer Kraftfluss; GAUSS:
⃗ · dS
⃗
dΦel = E
gesamter Kraftfluss durch eine Fläche S, z.B. Oberfläche eines Körpers:
∫
⃗ · dS
⃗
Φel =
E
(1)
(2)
S
⃗ ist immer nach aussen gerichtet.
Konvention: Flächenvektor dS
Beispiel: Punktladung Q in der Mitte einer Kugel mit Oberfläche S
∫
1 Q
Q
r̂ ⃗
⃗
E=
r̂; Φel =
dS
2
4πε0 r
4πε0 S r2
∫
⃗ und dS
⃗ = 4πr2 (Kugelsymmetrie; Kugeloberfläche) folgt
Mit ⃗r∥dS
S
∫
Q
1
Φel =
=
ϱdV
ϵ0
ϵ0 V
(3)
(4)
Dies ist ein klassisches Beispiel für den Satz von Gauß-Ostrogradski, der für beliebige
Volumina V mit geschlossener Oberfläche S gilt: Der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche hängt weder von der Form der Oberfläche noch von der Ladungsverteilung
ab.
Allgemein gilt in der Mathematik der Gaußsche Satz für beliebige Vektorfelder :
Der Fluss eines Vektorfeldes durch eine geschlossene Oberfläche ist gleich dem Integral
der Divergenz des Feldes über das eingeschlossene Volumen.
∫
∫
⃗
⃗
⃗
Φ=
A · dS =
div AdV
(5)
A
V
Anwendung auf das elektrische Feld und Vergleich mit obiger Formel ergibt dann
⃗ = ϱ
div E
ε0
(6)
Die im Raum verteilten Ladungen sind die Quellen (q > 0) bzw. Senken (q < 0) des
elektrostatischen Feldes.
Beispiele:
(Bild 4: “Was hinein geht geht auch wieder raus“!)
Potential und Spannung:
Ziel: Definition der Arbeit W, der potentiellen Energie und eines elektrostatischen Potentials in Analogie zur Mechanik. Dort wurde die Bewegung einer Masse m in
∫ einem Gravitationsfeld beschrieben. Dabei galt folgende Vorzeichenkonvention: W = F⃗ · d⃗s > 0:
man gewinnt
Energie (auf Kosten der potentiellen Energie)
∫
W = F⃗ · d⃗s < 0: man muss Energie aufwenden.
⃗ s
Für das elektrostatische Feld gilt: dW = F⃗ · d⃗s = q Ed⃗
∫ P2
∫ P2
⃗
⃗ s
W =
F d⃗s = q
Ed⃗
(7)
P1
P1
Wie in der Mechanik gilt: konservatives Kraftfeld ⇔ Arbeitsintegral unabhängig
∫ ∞ vom
⃗ s
Weg ⇔ jedem Raumpunkt P lässt sich die eindeutig definierte Funktion ϕ(P ) = P Ed⃗
elektrostatisches Potential im Punkt
∫ P2P zuordnen.
⃗ s heisst elektrische Spannung.
Die Potentialdifferenz ϕ(P1 ) − ϕ(P2 ) = P1 Ed⃗
Zusatz / Zusammenfassung / Vorgriff / Was man wissen sollte!!:
⃗
Das elektrostatische Feld kann durch das Vektorfeld E(x,
y, z) oder quivalent durch die
skalare Potentialfunktion ϕ(x, y, z) beschrieben werden.
∫ ∞
⃗ · d⃗s ⇔ E
⃗ = −gradϕ(x, y, z) = −∇ϕ
ϕ(p) =
E
(8)
p
⃗ =
Aus div E
ϱ
ϵ0
und div gradϕ = ∆ϕ folgt die Poisson-Gleichung,
∆ϕ = −
2
2
ϱ
ϵ0
(9)
2
∂
∂
∂
wobei ∆ ≡ div grad ≡ ∇ · ∇ ≡ ∂x
2 + ∂y 2 + ∂z 2 der Laplace-Operator ist.
Damit kann man aus einer vorgegebenen Ladungsverteilung ϱ(x, y, z) die Funktionen
⃗
ϕ(x, y, z) und E(x,
y, z) berechnen. Die Integrationskonstanten sind durch Randbedingungen festgelegt. Falls keine Ladungen vorhanden sind, geht die Poisson-Gleichung ber
in die Laplace-Gleichung
∆ϕ = 0
(10)
Definition: Flächen, auf denen ϕ = const gilt, heissen Äquipotentialflächen.
⃗ = −grad ϕ(x, y, z) steht in jedem Punkt p einer Äquipotentialflche senkrecht auf dieE
ser. ⇔ Beim Verschieben einer Ladung auf einer Äquipotentialflche wird keine Arbeit
geleistet.
Achtung, beachten sie den Unterschied zwischen Φ und ϕ, einmal haben sie es mit einem
⃗ und einmal mit einem Linienelement (Integral) (d⃗s) zu tun.
Flächen (dS)www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/∼hartmann/Wellen-Elektrodynamik WS11 12.htm