Mathematik fuer Informatiker - weblearn.hs-bremen.de

Mathematik
Klausuren zur höheren Analysis und Stochastik
Prof. Dr. Thomas Risse
www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI
www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs
Fachbereich Elektrotechnik & Informatik
Hochschule Bremen
WS 2006/2007
Inhaltsverzeichnis
1 Klausur Numerik und Stochastik, WS04
2
2 Klausur Dgl, mehrdimensionale Analysis und Stochastik, SS03
8
3 Klausur Dgl, mehrdimensionale Analysis und Stochastik, WS01
12
4 Klausur Dgl, mehrdimensionale Analysis und Stochastik, WS98m
17
5 Klausur Integration, Fourier-Reihen und Dgl, WS98
20
6 Klausur Fourier-Reihen, Dgl und Laplace-Transformation, WS97w
23
7 Klausur Fourier-Reihen, Dgl und Laplace-Transformation, WS97
26
8 Klausur Fourier-Reihen, Dgl, Laplace-Transformation, mehrdimensionale Analysis, SS97
29
9 Klausur Dgl & mehrdimensionale Analysis, WS96
32
10 Klausur Dgl & mehrdimensionale Analysis, WS95
35
1
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
1
2
Klausur Numerik und Stochastik, WS04
Klausur MAI 3
Numerik & Stochastik
15.2.05
Name
Matrikel
Fragestellung genau lesen! Keine Halben Sachen abgeben!
Gegebenenfalls genaue Antworten – keine Näherungen!
NUR Spickzettel zulässig!
Keine symbolisch rechnenden, keine graphischen Taschenrechner!
1. Für welche p und U ist 1.008913445455642 · 1029 ≈
Begründen Sie.
100
50
∈ IF(10, p, L, U ) ?
(5 Pkt)
2. Gegeben IF = IF(10, 2, L, U ) mit rounding by chopping.
Begründen Sie: Ist die Multiplikation in IF assoziativ?
(2 Pkt)
7 1
3. Sei A =
. Für welche p ist A in IF(10, p, L, U ) mit rounding by
2 1/3
chopping regulär? für welche p singulär?
(2 Pkt)

 
3 5
7
x



y = b ?
4. Wieviele Lösungen hat Ax = −7 2 −1
(2 Pkt)
10 3
8
z
9 7
5. Berechnen Sie cond1 (A) und cond∞ (A) für A =
.
(3 Pkt)
4 3
Was heißt das für Ax = b ?
(1 Pkt)
6. Ax ∼
= b sei das linear least squares Problem, eine ’Ausgleichsparabel’ zu m
gegebenen Meßpunkten (ti , yi ) für i = 1, . . . , m zu bestimmen.
a) Welche Dimension hat A ?
(1 Pkt)
b) Was ist A, was b und wie ist Ax ∼
= b zu lösen?
(1 Pkt)
c) Welches Ergebnis erwarten Sie, wenn A quadratisch ist?
(1 Pkt)
9+x
7. Was haben die Funktionen g1 (x) = x2 + x − 3, g2 (x) = x3 , g3 (x) = 1+3x
und
2
g4 (x) = x 2x+3 gemeinsam? Welche ist in welchem Sinn am besten? (5 Pkt)
8. Um die Zuverlässigkeit eines Systems S zu steigern, kann man das System
verdreifachen (triple modular redundancy, TMR): ein unabhängiger voter
V vergleicht die Ausgaben der drei gleichen, unabhängigen Systeme.
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
3
S
in
S
V
out
S
Das Gesamt-System T M R ist genau dann operational, wenn voter und
mindestens zwei S operational sind. Sei p = P (S ist operational) und q =
P (V ist operational). Bestimmen Sie P (T M R ist operational).
(3 Pkt)
Sei p = 0.9 und q = 0.99. Bestimmen Sie P (T M R ist operational) numerisch und interpretieren Sie Ihr Ergebnis.
(1 Pkt)
9. X sei eine in [0, 1] gleichverteilte ZV. Zeigen Sie, daß dann Y = 2X − 1 eine
in [−1, 1] gleichverteilte ZV ist.
(1 Pkt)
Berechnen Sie E(Y ) und D2 (Y ).
(2 Pkt)
10. Sei a=[1 2 3] eingegeben. Was gibt MATLAB auf jede der folgenden vier
Eingaben a^2, a.^2, a’*a und a*a’ zurück?
(4 Pkt)
11. Was rechnet MATLAB bei der Zuweisung x=A\b
(2 Pkt)
12. Vergleichen Sie die MATLAB-Funktionen plot, fplot und ezplot. (1 Pkt)
(Summe 37 Punkte)
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
4
Lösungen der Klausur MAI 3
Numerik & Stochastik
15.2.05
1. Für welche p und U ist 1.008913445455642 · 1029 ≈ 100
∈ IF(10, p, L, U ) ?
50
Begründen Sie.
(5 Pkt)
1 n = 100
ist Vielfaches welcher maximalen Zehner-Potenz, d.h. welche
50
Potenzen von 2 und insbesondere von 5 kommen in Primfaktorzerlegung
von n vor? (aus Vorlesung) 1 für Unterscheidung der Faktoren mod 5 = 0
und mod 5 6= 0, 1 für Kürzen, 1 für Beobachtung bzgl. Vielfache von 5 bzw.
25, 1 für Intepretation des Ergebnisses
100
50
Q100
Q100
100 · 99 · · · 52 · 51
i=51,5|i i
i=51,56 | i i
=
= Q50
· Q50
50 · 49 · · · 2 · 1
i=1,5|i i
i=1,56 | i i
100 · 95 · 90 · 85 · 80 · 75 · 70 · 65 · 60 · 55 99 · · · 96 · 94 · · · 56 · 54 · · · 51
·
50 · 45 · 40 · 35 · 30 · 25 · 20 · 15 · 10 · 5
49 · · · 46 · 44 · · · 6 · 4 · · · 1
2 · 19 · 9 · 17 · 8 · 3 · 7 · 13 · 6 · 11 99 · · · 96 · 94 · · · 56 · 54 · · · 51
·
=
1·9·4·7·3·1·2·3·1·1
49 · · · 46 · 44 · · · 6 · 4 · · · 1
=
zeigt, daß 5 6 | 100
, daß also 100
kein Vielfaches von 10 ist. Daher müssen
50
50
alle Stellen einer Zahl mit 29 + 1 Ziffern
dargestellt werden, so daß p ≥ 30
und U ≥ 29 gelten muß, damit 100
in IF(10, p, L, U ) exakt dargestellt
50
werden kann.
2. Gegeben IF = IF(10, 2, L, U ) mit rounding by chopping.
Begründen Sie: Ist die Multiplikation in IF assoziativ?
(2 Pkt)
2 für durchgerechnetes Beispiel
nein: sei a = 9.5, b = 1.2 und c = 3.7. Dann gilt a, b, c ∈ IF und einerseits
fl(fl(a ∗ b) ∗ c) = fl(fl(11.40) ∗ c) = fl(11 ∗ 3.7) = fl(40.7) = 40 sowie
andererseits fl(a ∗ fl(b ∗ c)) = fl(a ∗ fl(4.44)) = fl(9.5 ∗ 4.4) = fl(41.8) = 41.
7 1
3. Sei A =
. Für welche p ist A in IF(10, p, L, U ) mit rounding by
2 1/3
chopping regulär? für welche p singulär?
(2 Pkt)
1 für singulär für p = 1, 1 für regulär für p > 1
Wegen det(A) = 37 − 2 = 31 6= 0 ist A in exakter Arithmetik regulär.
Für p = 1 ist A wegen fl( det(A)) = fl(fl(7∗fl( 13 ))−2) = fl(fl(7∗0.3)−2) =
fl(fl(2.1) − 2) = fl(2 − 2) = 0 singulär.
p mal
Für p > 1 ist A wegen fl(
p−1 mal
z }| {
) = fl(fl(7 ∗ 0.3 . . . 3) − 2)
det(A) = fl fl(7 ∗ fl( 31 )) − 2
p−1 mal
p−1 mal
)
z }| {
z }| {
= fl(fl(2. 3 . . . 3 1) − 2) = fl(2. 3 . . . 3

3

4. Wieviele Lösungen hat Ax = −7
10
(
z }| {
−2) = 0. 3 . . . 3 regulär.
 
5
7
x


2 −1
y = b ?
3
8
z
(2 Pkt)
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
5
1 für A ist singulär, 1 für keine oder unendlich viele Lösungen je nach b
Da det(A) = 0 (subtrahiere die zweite von der ersten Zeile, um die letzte
Zeile zu erhalten), ist A singulär, d.h. Ax = b hat je nach b keine oder
unendlich viele Lösungen.
9 7
5. Berechnen Sie cond1 (A) und cond∞ (A) für A =
.
(3 Pkt)
4 3
Was heißt das für Ax = b ?
(1 Pkt)
1 für ||A||, 1 für ||A−1 ||, 1 für cond1 (A) = cond∞ (A), 1 für Bewertung
−3
7
−1
Zunächst ist det(A) = −1 und damit A regulär. A =
. Es
4 −9
gilt ||A||1 = 13 sowie ||A−1 ||1 = 16 und daher cond1 (A) = 208. Es gilt
||A||∞ = 16 sowie ||A−1 ||∞ = 13 und daher auch cond∞ (A) = 208.
Eine Koeffizienten-Matrix mit der Konditionszahl 208 1 ist eher schlecht
konditioniert: die Lösung x von Ax = b wird sensitiv auf Änderungen in
A bzw. in b reagieren!
6. Ax ∼
= b sei das linear least squares Problem, eine ’Ausgleichsparabel’ zu m
gegebenen Meßpunkten (ti , yi ) für i = 1, . . . , m zu bestimmen.
a) Welche Dimension hat A ?
(1 Pkt)
b) Was ist A, was b und wie ist Ax ∼
= b zu lösen?
(1 Pkt)
c) Welches Ergebnis erwarten Sie, wenn A quadratisch ist?
(1 Pkt)

 

yo
1 t1 t21
 
xo
 y1 
1 t2 t2 
2
 

A=
=  ..  = b ist eine m × 3-Matrix.
 in Ax = A x1  ∼
..

 . 

.
x2
2
1 tm tm
ym
Löse etwa das linearen Gleichungssystem der Normalengleichungen.
Wenn A quadratisch ist, so wird durch Ax ∼
= b genau die Parabel bestimmt, die die drei Meßpunkte interpoliert (das Residuum verschwindet!)!
9+x
7. Was haben die Funktionen g1 (x) = x2 + x − 3, g2 (x) = x3 , g3 (x) = 1+3x
und
x2 +3
g4 (x) = 2x gemeinsam? Welche ist in welchem Sinn am besten? (5 Pkt)
√
√
1 für gemeinsamer Fixpunkt ist 3, je 1 für |gi0 ( 3)| mit Bewertung
√
Alle drei haben den gemeinsamen Fixpunkt 3. Die Konvergenzgeschwindigkeit des Fixpunktverfahrens xk+1 = g(xk ) ist durch |g 0 (x∗ )| im Fixpunkt
x∗ bestimmt: falls |g 0 (x∗ )| > 1 lokal divergent, falls |g 0 (x∗ )| < 1 lokal konvergent, falls |g 0 (x∗ )| √
= 0 optimal
√ lokal konvergent.
0
0
g1 (x) = 2x + 1 ⇒ g1√
( 3) = 2 3 + 1 ≈ 4.4, also lokal divergent
1
0
0
g2 (x) = −3 x2 ⇒ g2 ( 3) = −1, also lokal divergent
√
√
−26
0
0
g30 (x) = (1+3x)
3) = 16√−26
⇒
|g
(
3)| < 1, also lokal konvergent
2 ⇒ g3 (
3
3+27
√
x2 −3
0
0
g4 (x) = 2x2 ⇒ g4 ( 3) = 0, also optimal lokal konvergent
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
6
8. Um die Zuverlässigkeit eines Systems S zu steigern, kann man das System
verdreifachen (triple modular redundancy, TMR): ein unabhängiger voter
V vergleicht die Ausgaben der drei gleichen, unabhängigen Systeme.
S
in
S
out
V
S
Das Gesamt-System T M R ist genau dann operational, wenn voter und
mindestens zwei S operational sind. Sei p = P (S ist operational) und q =
P (V ist operational). Bestimmen Sie P (T M R ist operational).
(3 Pkt)
Sei p = 0.9 und q = 0.99. Bestimmen Sie P (T M R ist operational) numerisch und interpretieren Sie Ihr Ergebnis.
(1 Pkt)
1 für drei S und V sind unabhängig . . . , 2 für zwei aus drei . . . , 1 für
P (T M R ist operational) > p
P (T M R ist operational)
= P (V ist operational und mindestens zwei S sind operational)
= P (V ist operational) · P (mindestens zwei S sind operational)
= q·P
(alle drei S sind operational) =
(genau zwei3S sind operational)+q·P
3 2
2
3
3
q 2 p (1 − p) + qp = q(3 p − 3 p + p ) = q(3 p2 − 2 p3 ) = 0.99(3 · 0.81 − 2 ·
0.729) = 0.99(2.43 − 1.458) = 0.99 · 0.972 = 0.96228 > p. Das TMR-System
hat eine höhere Zuverlässigkeit als S.
9. X sei eine in [0, 1] gleichverteilte ZV. Zeigen Sie, daß dann Y = 2X − 1 eine
in [−1, 1] gleichverteilte ZV ist.
(1 Pkt)
Berechnen Sie E(Y ) und D2 (Y ).
(2 Pkt)
1 für P (y ∈ [a, b]) ≈ b − a oder für die Wahrscheinlichkeitsdichte von Y , je
1 für E(Y ) bzw. D2 (Y )
P (y ∈ [a, b]) = P (2X − 1 ∈ [a, b]) = P (2X ∈ [a − 1, b − 1]) = P (X ∈
|[a,b]|
[ a−1
, b−1
]) = b−1
− a−1
= 12 (b−a) = |[−1,1]|
also ist Y in [−1, 1] gleichverteilt.
2
2
2
2
Die Wahrscheinlichkeitdichte von Y ist f (x) = 21 χ[−1,1] (x).
1
R∞
R1
E(Y ) = −∞ xf (x) dx = −1 xf (x) dx = 41 x2 −1 = 41 (1 − 1) = 0 und
1
R∞
R1 2
D2 (Y ) =
(x − 0)2 f (x) dx =
x f (x) dx = 1 x3 = 1 (1 − −1) = 1 .
−∞
−1
6
−1
6
3
10. Sei a=[1 2 3] eingegeben. Was gibt MATLAB auf jede der folgenden vier
Eingaben a^2, a.^2, a’*a und a*a’ zurück?
(4 Pkt)
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
7
je 1
??? Error using ==> mpower Matrix must be square.
ans = 1
4
1 2 3
ans = 2 4 6
3 6 9
ans = 14
9
11. Was rechnet MATLAB bei der Zuweisung x=A\b
(2 Pkt)
1 für lineares Gleichungssystem per Gauß-Elimination mit partieller Pivotierung falls A quadratisch, 1 für Lösung des linear least squares Problem,
falls A nicht quadratisch
mldivide(A,B) and the equivalent A\B perform matrix left division (back slash).
A and B must be matrices that have the same number of rows, unless A is a scalar,
in which case A\B performs element-wise division – that is, A\B = A.\B.
If A is a square matrix, A\B is roughly the same as inv(A)*B, except it is computed in a different way. If A is an n-by-n matrix and B is a column vector with
n elements, or a matrix with several such columns, then X = A\B is the solution
to the equation AX = B computed by Gaussian elimination with partial pivoting
(see Algorithm for details). a warning message is displayed if A is badly scaled or
nearly singular.
If A is an m-by-n matrix with m ~= n and B is a column vector with m components, or a matrix with several such columns, then X = A\B is the solution
in the least squares sense to the under- or overdetermined system of equations AX = B. In other words, X minimizes norm(A*X-B), the length of the vector
AX-B. The rank k of A is determined from the QR decomposition with column
pivoting (see Algorithm for details). The computed solution X has at most k
nonzero elements per column. If k < n, this is usually not the same solution as
x = pinv(A)*B, which returns a least squares solution.
12. Vergleichen Sie die MATLAB-Funktionen plot, fplot und ezplot. (1 Pkt)
plot für Vektor gegen Vektor am flexibelsten, fplot nur zur Darstellung der
Graphen von Funktionen y = f (x), ezplot beeindruckt durch Berücksichtigung von Unstetigkeitsstellen (Polen, Lücken) expliziter, impliziter Funktionen und Funtionen in Parameter-Darstellung
(Summe 37 Punkte)
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
2
8
Klausur Dgl, mehrdimensionale Analysis und
Stochastik, SS03
Klausur
Differentialgleichungen
30.9.03
Prof. Dr. Th. Henning
Prof. Dr. Th. Risse
Name
Matrikel
Als einziges Hilfsmittel sind handgeschriebene Spickzettel zugelassen!
Integrale sind entweder durch nachvollziehbare Nebenrechnung
oder durch Auswertung einer verifizierten Stammfunktion zu lösen!
p
1. Die Differentialgleichung y 00 = a 1+(y 0 )2 mit y(0) = h und y 0 (0) = 0
beschreibt ein unter Eigengewicht durchhängendes Seil y = y(x). Was bedeuten wohl die Anfangsbedingungen? Lösen Sie die Differentialgleichung
durch die naheliegende Substitution z = y 0 .
(5 Pkt)
2. Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
y (4) − 4 y (3) + 7 y (2) − 6 y 0 + 2 y = 2 x2 .
(6 Pkt)
3. Lösen Sie das Anfangswertproblem y 0 (1 + x3 ) = a x2 y mit y(1) = 1 für
konstantes a ∈ R.
(3 Pkt)
4. Beschreiben Sie das zwei-maschige Netzwerk
Ro
ı
R1
L1
R2
L2
ı1
ı2
durch ein System
bestimmen Sie die Ko von
Differentialgleichungen,
0 d.h.
ı̇1 (t)
ı1 (t)
ı1 (t)
g1
effizienten in
= 0
=A
+
(3 Pkt)
ı̇2 (t)
ı2 (t)
ı2 (t)
g2
5. Lösen Sie das System von zwei Differentialgleichungen (g1 , g2 ∈ R)
0 y1 (x)
3 3
y1 (x)
g
=
+ 1
0
y2 (x)
3 −5
y2 (x)
g2
mit den Anfangsbedingungen y1 (0) = 0 und y2 (0) = 0.
(8 Pkt)
Summe (25 Pkt)
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
Lösungen Klausur
Differentialgleichungen
9
30.9.03
p
1. Die Differentialgleichung y 00 = a 1+(y 0 )2 mit y(0) = h und y 0 (0) = 0
beschreibt ein unter Eigengewicht durchhängendes Seil y = y(x). Was bedeuten wohl die Anfangsbedingungen? Lösen Sie die Differentialgleichung
durch die naheliegende Substitution z = y 0 .
(5 Pkt)
1 für Interpretation der Anfangsbedingungen und Substitution, je 1 für Trennen und Integration, je 1 für Auswerten der Anfangsbedingungen
√
√
0
2 und Trennen arsinh z = ln(1 + 1+z 2 ) =
1+z
Substitution
liefert
z
=
a
R dz
R
√
= a dx = a x+C und Auflösen z(x) = sinh(a x+C). Die Anfangs1+z 2
bedingung y 0 (0) = z(0) = 0 wird von z(x) = y 0 (x) = sinh(a x) befriedigt.
Wiederholtes Trennen liefert y(x) = a1 cosh(a x)+C. Die Anfangsbedingung
y(0) = h wird von y(x) = a1 ( cosh(a x) − 1) + h befriedigt (Kettenlinie).
2. Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
y (4) − 4 y (3) + 7 y (2) − 6 y 0 + 2 y = 2 x2 .
(6 Pkt)
2 für EW, d.h. NS, 1 für homogene Lösung, 1 für Ansatz und Einsetzen
für die partikuläre Lösung, 1 für Koeffizientenvergleich, 1 für allgemeine
Lösung
Die allgemeine Lösung y der DGL ist die Summe aus der allgemeinen
Lösung yhom der zugehörigen homogenen DGL und einer partikulären Lösung yp der inhomogenen DGL: y = yhom + yp .
(i) Allgemeine Lösung der homogenen DGL
Eine Lösung der charakteristische Gleichung λ4 − 4 λ3 + 7 λ2 − 6 λ + 2 =
0 findet man durch Raten: λ1 = 1. Durch Polynomdivision erhält man
dann λ4 − 4 λ3 + 7 λ2 − 6 λ + 2 = (λ − 1)(λ3 − 3 λ2 + 4 λ − 2) und weiter
λ3 − 3 λ2 + 4 λ − 2 = (λ − 1)(λ − 1 − j)(λ − 1 + j).
Die Eigenwerte lauten also λ1 = λ2 = 1, λ3 = 1 + j und λ4 = 1 − j. Das
Fundamentalsystem besteht aus yhom1 = ex , yhom2 = x ex , yhom3 = ex cos x
und yhom4 = ex sin x. Die allgemeine Lösung der homogenen DGL wird
durch die Linearkombination yhom = c1 ex + c2 x ex + c3 ex cos x + c4 ex sin x
gebildet.
(ii) Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL
Einsetzen des Lösungsansatzes yp = A + B x + C x2 in die DGL führt mit
(4)
yp0 = B + 2 C x, yp00 = 2 C und yp000 = yp = 0 auf die Bestimmungsgleichung
14 C − 6 B − 12 Cx + 2 A + 2 B x + 2 C x2 = 2 x2 für die Koeffizienten A, B
und C.
Durch Koeffizientenvergleich erhält man hieraus A = 11, B = 6 und C = 1.
Mit dem Ansatz lautet somit eine partikuläre Lösung yp = 11 + 6 x + x2 .
Mit (i) findet man die allgemeine Lösung y = yp + yhom = 11 + 6 x + x2 +
c1 ex + c2 x ex + c3 ex cos x + c4 ex sin x.
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
10
3. Lösen Sie das Anfangswertproblem y 0 (1 + x3 ) = a x2 y mit y(1) = 1 für
konstantes a ∈ R.
(3 Pkt)
1 für Trennen und linke Seite, 1 für rechte Seite integrieren, 1 für Auflösen
und Anfangsbedingung
2
x
Trennung der Variablen führt auf dyy = a 1+x
3 dx. Die linke Seite kann direkt
integriert werden, die rechte Seite wird durch die Substitution z = 1 + x3
integriert. Nach der Rücksubstitution erhält man y = c (1 + x3 )a/3 .
Einsetzen der Anfangsbedingung und Logarithmieren liefert 0 = ln(c 2a/3 ) =
ln(c)+ a3 ln a3 = ln c+ a3 ln 2. Auflösen nach der Integrationskonstanten ergibt
3
c = 2−a/3 und das Ergebnis lautet y = 2−a/3 (1 + x3 )a/3 = ( 1+x
)a/3 .
2
4. Beschreiben Sie das zwei-maschige Netzwerk
Ro
ı
R1
ı1
L1
R2
ı2
L2
durch ein System
bestimmen Sie die Ko
d.h.
von
Differentialgleichungen,
0 ı1 (t)
g1
ı̇1 (t)
ı1 (t)
(3 Pkt)
=A
+
effizienten in
= 0
g2
ı2 (t)
ı2 (t)
ı̇2 (t)
je 1 für Differentialgleichung, 1 für System in Vektordarstellung
Nach den Kirchhoff’schen Regeln gilt ı(t) = ı1 (t) + ı2 (t) sowie
im oberen Kreis L1 ddtı1 + R1 ı1 + Ro ı = L1 ddtı1 + (R1 + Ro )ı1 + Ro ı2 = U
im unteren Kreis L1 ddtı1 + R1 ı1 = L2 ddtı2 + R2 ı2
nach Einsetzen
bzw. L2 ddtı2 + Ro ı1 + (R2 + Ro )ı2 = U
Das System von DGl lautet in der Vektor- oder Matrix-Darstellung also
!
!
0 R1 +Ro
1
Ro
ı1 (t)
ı̇1 (t)
ı1 (t)
L1
L1
L1
+U 1
= 0
=−
R2 +Ro
Ro
ı̇2 (t)
ı2 (t)
ı2 (t)
L
L
L
2
2
2
5. Lösen Sie das System von zwei Differentialgleichungen (g1 , g2 ∈ R)
0 y1 (x)
3 3
y1 (x)
g
=
+ 1
y20 (x)
3 −5
y2 (x)
g2
mit den Anfangsbedingungen y1 (0) = 0 und y2 (0) = 0.
(8 Pkt)
1 für EW, je 1 für EV, 1 für Lösung des homogenen Systemes, 2 für Lösung
des inhomogenen Systemes, 2 für Anfangsbedingung
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
11
Das zugehörige
~y 0 = A~y hat das charakteristische Poly homogene System
3 − λ
3 nom p(λ) = = −(3 − λ)(5 + λ) − 9 = λ2 + 2λ − 24 mit den
3
−5 − λ
beiden Nullstellen λ1 = 4 und λ2 = −6. Die Nullstellen sind die EW des
Differentialgleichungssystemes.
Zum EW λ1 = 4 gehören
von (A−λ1 )~v = ~0, hier
die EV ~v , d.h.die
Lösungen
3−4
3
v1
also die Lösungen von
= ~0, nämlich der Unterraum
−5 − 4
v2
3
v1
3
{~v } =
=R
.
v2
1
Zum EW λ2 = −6 gehören die EV ~v , d.h. die Lösungen
von (A − λ2 )~v =
3
v1
~0, hier also die Lösungen von 3 + 6
= ~0, nämlich der
3
−5
+
6
v
2
v1
1
Unterraum {~v } =
=R
.
v2
−3
Die
des
zugehörigen
Systemes
bilden den Vektorraum
Lösungen
homogenen
1
3 4x
y1 (x)
e−6x : c1 , c2 ∈ R . (Probe!)
e + c2
= c1
−3
1
y2 (x)
Eine inhomogene Lösung bestimmt sich aus der linken Seite (Polynome der
Ordnung 0) durch
yi = di . Eingesetzt ergibt sich
den kanonischen
Ansatz
g1
0
3 3
d1
1 −3 g2
mit der Lösung d1 = −5 g24
+
das LGS
=
und
g2
d2
0
3 −5
−3 g1 +3 g2
d
. Die Lösungsgesamtheit der inhomogenen Gleichung ist also
24
2 =
1
3 4x
y1 (x)
e−6x +
e + c2
= c1
−3
1
y2 (x)
1
24
−5 g1 − 3 g2
−3 g1 + 3 g2
: c 1 , c2 ∈ R
(wie-
der Probe!).
Endlich sind die Anfangsbedingungen zu befriedigen, d.h. es sind die Koeffizienten c1 und c2 so zu bestimmen, daß y1 (0) = 0 und y2 (0) = 0
72 c1 + 24 c2 = 5 g1 + 3 g2
erfüllt ist. Es ergibt sich das LGS
mit der Lösung
24 c2 − 72 c2 = 3 g1 − 3 g2
1
1
(3 g1 +g2 ) und c2 = 60
(−g1 +3 g2 ). (Probe!) Die Lösung unter Berückc1 = 40
sichtigung der Anfangsbedingungen ist also
−g1 +3 g2
60
1
e−6x +
−3
1
24
−5 g1 − 3 g2
−3 g1 + 3 g2
y1 (x)
=
y2 (x)
3 g1 +g2
40
3 4x
e +
1
(wieder Probe!)
Summe (25 Pkt)
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
3
12
Klausur Dgl, mehrdimensionale Analysis und
Stochastik, WS01
Klausur
Name
Laplace, mehrdimensionale Analysis, Stochastik
22.2.02
Matrikel
1. Klassifiziere die Differentialgleichung y 00 + 9 y = g(x). Welche Lösungsverfahren kommen in Frage? Welches physikalische System wird durch die DGl
modelliert?
(2 Pkt)
Löse diese Differentialgleichung für einen Einheitsrechteck-Impuls g von
1ZE bis 2ZE mit den Anfangsbedingungen y(0) = yo und y 0 (0) = vo mithilfe
der Laplace-Transformation (mit Probe und Plausibilitätsbetrachtung für
selbstgewählte Werte von yo und vo ).
(10 Pkt)
2. Wo haben die Graphen von f (x) = x3 und g(x) = 2x − 4 minimale und
maximale Abstände? (Skizze, Plausibilität überprüfen)
(12 Pkt)
3. Über einen binären Kanal werden dreimal mehr H’s als L’s übertragen. Dabei werden 20% der H und 30% der L fehlerhaft übermittelt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird (irgend)ein Zeichen fehlerhaft übertragen? Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird H bzw. L empfangen? Mit welcher
Wahrscheinlichkeit wurde H bzw. L gesendet, wenn H bzw. L empfangen
wurde?
(4 Pkt)
4. Ein passionierter Radfahrer beobachtet in einer Vielzahl von Fällen, daß er
69.15% der anderen Radfahrer überholt und entsprechend von 30.85% der
anderen Radfahrer überholt wird.
Wie schnell ist der passionierte Radfahrer?
(4 Pkt)
Zusatz: Welche fehlenden Angaben können/müssen wie erhoben werden?
(2 Pkt)
Summe (32+2 Pkt)
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
13
Lösungen Klausur Laplace, mehrdimensionale Analysis, Stochastik 22.2.02
1. Klassifiziere die Differentialgleichung y 00 + 9 y = g(x). Welche Lösungsverfahren kommen in Frage? Welches physikalische System wird durch die DGl
modelliert?
(2 Pkt)
1 für Klassifikation: lineare DGl zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, je nach g homogen/inhomogen, 1 für schwingendes, ungedämpftes
System, durch g erregt.
Löse diese Differentialgleichung für einen Einheitsrechteck-Impuls g von
1ZE bis 2ZE mit den Anfangsbedingungen y(0) = yo und y 0 (0) = vo mithilfe
der Laplace-Transformation (mit Probe und Plausibilitätsbetrachtung für
selbstgewählte Werte von yo und vo ).
(10 Pkt)
1 für L(g), 1 für Laplace-Transformation der DGl, 1 für Auflösen, 1 für
Rücktransformation der yo - und vo -Terme, 2 für Partialbruchzerlegung oder
Äquivalentes, 1 für allgemeine Lösung, 1 für Probe, 2 für Plausibilität
Es ist g(x) = H(x − 1) − H(x − 2). Laplace-Transformation der DGl liefert
L(y 00 ) + 9L(y) = L(g) und per Differentations- und Verschiebungsregel
z 2 L(y )(z) − y(0)z − y 0 (0) + 9L(y )(z) = L(g )(z)
= L(H(x−1))(z) − L(H(x−2))(z)
1
= (e−z − e−2z )
z
aufgelöst also (z 2 + 9)L(y )(z) = yo z + vo + (e−z − e−2z ) z1 und endlich (hier
per Partialbruchzerlegung)
vo
e−z
e−2z
yo z
+
+
−
z 2 + 9 z 2 + 9 z(z 2 + 9) z(z 2 + 9)
e−z − e−2z 1
z
vo
= yo L( cos(3x))(z) + 3 L( sin(3x))(z) +
−
9
z z2 + 9
L(y )(z) =
−z
−2z
−z
−2z
mit letztem Term e −e
L( cos(3x))(z) =
( z1 − z2z+9 ) = 19 L(g)(z)− e −e
9
9
1
1
1
L g (z) − 9 L(H(x − 1) cos(3(x − 1)))(z) + 9 L(H(x − 2) sin(3(x − 2)))(z).
9 ( )
Die allgemeine Lösung für beliebige yo und vo ist also
vo
1
sin(3x) + g(x)
3
9
1
1
− H(x − 1) sin(3(x − 1)) + H(x − 2) sin(3(x − 2))
9
9
y(x) = yo cos(3x) +
Probe: Für x außerhalb der Unstetigkeitsstellen x = 1 und x = 2 gilt
y 0 (x) = −3yo sin(3x) + vo cos(3x) −
sowie
H(x−1)
3
cos(3(x − 1)) +
H(x−2)
3
cos(3(x − 2))
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
14
y 00 (x) = −9yo cos(3x)−3vo sin(3x)+H(x−1) sin(3(x−1))−H(x−2) sin(3(x−2))
zusammen also
y 00 (x) + 9 y(x) = −9yo cos(3x) − 3vo sin(3x)
+H(x − 1) sin(3(x − 1)) − H(x − 2) sin(3(x − 2))
+9yo cos(3x) + 3vo sin(3x) + g(x)
−H(x − 1) sin(3(x − 1)) + H(x − 2) sin(3(x − 2)) = g(x)
Für yo = 0 = vo befindet sich das System von 0 bis 1 in Ruhe. Die Erregung
durch g hat zwei Komponenten in der Lösung zur Folge: ’steigende Flanke’
wie auch ’fallende Flanke’ spiegeln sich in den zugehörigen H · sin-Anteilen
wider.
Für yo 6= 0 6= vo besteht die Lösung aus der ungedämpften Schwingung, wie
sie ab 0 besteht, überlagert von den Folgen der externen Erregung.
2. Wo haben die Graphen von f (x) = x3 und g(x) = 2x − 4 minimale und
maximale Abstände? (Skizze, Plausibilität überprüfen)
(12 Pkt)
2
1 für a2 (u, v) = (u−v)2 + (f (u)−g(v)) , je 1 für jede der beiden Ableitungen
plus =0, 2 für Fallunterscheidung, je 1 für potentielle Extremwertstelle, je
1 für Auswertung der hinreichenden Bedingung bzw. Min/Max, 1 für Skizze
& Plausibilität
Das Quadrat A des Abstandes a zweier Punkte, je einer auf jedem der
2
beiden Graphen, ist durch A(u, v) = a2 (u, v) = (u − v)2 + (f (u) − g(v))
gegeben. Notwendig für eine Extremwertstelle ist, daß die beiden partiellen
Ableitungen zugleich verschwinden:
1
2
1
2
1
2
∂A
∂u
∂A
∂v
= (u − v) + (u3 − 2v + 4)3u2 = 0
= −(u − v) − (u3 − 2v + 4)2 = 0
1 + 2 sowie 2 1 + 3u2 2 liefern ein zu diesem nichtlinearen Gleichungssystem mit seinen zwei Gleichungen in den beiden Unbekannten u und v
äquivalentes, aber faktorisiertes Gleichungssystem
(u3 − 2v + 4)(3u2 − 2) = 0
und
(u − v)(3u2 − 2) = 0
Wir unterscheiden die beiden Fälle 3u2 = 2 bzw. 3u2 6= 2:
q
q
2
2
Sei 3u = 2 oder eben u = ± 3 . Für u = + 23 ist dann 5v = 8+u+2u3 =
q
q
q
7
2
2
8 + 23 (1 + 34 ), also v = 85 + 15
und
für
u
=
−
ist dann 5v =
3
3
q
q
7
2
8 + u + 2u3 = 8 − 23 (1 + 43 ), also v = 58 − 15
. Es ergeben sich die beiden
q3
q
2 8
7
potentiellen Extremwertstellen (u1 , v1 ) = (+ 3 , 5 + 15 23 ) ≈ (0.8, 2) und
q
q
2 8
7
(u2 , v2 ) = (− 3 , 5 − 15 23 ) ≈ (−0.8, 1.2).
Sei dagegen 3u2 6= 2. Dann folgt u = v sowie u3 − 2u + 4 = 0 mit der
reellen NS u3 = −2 und den beiden konjugiert komplexen NS u4,5 = 1 ± j.
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
15
Es ergibt sich eine weitere potentielle Extremwertstelle (u3 , v3 ) = (−2, −2),
die als Schnittpunkt der Graphen von f und g natürlich ein Minumum ist.
Für die hinreichenden Bedingungen werden die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung benötigt:
∂2A
∂u2
= 2 + 30 u4 − 24(v − 2)u und
∂2A
∂v∂u
= −2 − 12 u2 =
∂2A
∂u∂v
und
∂2A
∂v 2
= 10
Zu untersuchen ist, ob in den potentiellen Extremwertstellen (ui , vi ) jeweils
fuu fvv − fuv fvu > 0 gilt (wegen des Satzes von Schwarz ist fuv = fvu ).
q
q
2
7
2
1. In (u1 , v1 ) = (+ 23 , 85 + 15
= (2 + 30 · 49 − 24(− 52 +
) gilt fuu fvv − fuv
3
q q
q
2
2
2
7
2 2
46
48
)
10
−
(2
+
12
)
=
(
+
− 112
)10 − 100 ≈ 57 > 0,
)
15
3
3
3
3
5
3
15
also Extremwertstelle, und zwar Minimum, da fuu und fvv zugleich
positiv sind!
q
q
2
7
2
2. In (u2 , v2 ) = (− 23 , 85 − 15
) gilt fuu fvv − fuv
= (2 + 30 49 + 24(− 52 −
3
q q
q
7
2
2
2 2
46
48
2
)
10
−
(2
+
12
)
=
(
−
− 112
)10 − 100 ≈ −100 < 0,
)
15
3
3
3
3
5
3
15
also keine Extremwertstelle!
2
= (2 + 30 · 16 − 24(−2 −
3. In (u3 , v3 ) = (−2, −2) gilt fuu fvv − fuv
2
2)(−2))10 − (2 + 12 · 4) = 290 · 10 − 2500 > 0, also Extremwertstelle,
und zwar Minimum, da fuu (u3 , v3 ) = 290 und fvv (u3 , v3 ) = 10 zugleich positiv sind! Übrigens ist (u3 , v3 ) sicher Minimumsstelle, weil die
Graphen von f und g sich in (−2, −8) schneiden; (u3 , v3 ) ist globale
Minimumsstelle, weil (−2, −8) der einzige Schnittpunkt ist.
3. Über einen binären Kanal werden dreimal mehr H’s als L’s übertragen. Dabei werden 20% der H und 30% der L fehlerhaft übermittelt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird (irgend)ein Zeichen fehlerhaft übertragen? Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird H bzw. L empfangen? Mit welcher
Wahrscheinlichkeit wurde H bzw. L gesendet, wenn H bzw. L empfangen
wurde?
(4 Pkt)
1 für: P (fehlerhafte Übertragung eines Zeichens) = P (H gesendet & feh3
=
lerhaft übertragen) + P (L gesendet & fehlerhaft übertragen) = 43 15 + 14 10
3
3
9
+ 40 = 40 = 0.225,
20
1 für: P (H empfangen) = P (H gesendet & korrekt übertragen) + P (L ge3
3
sendet & fehlerhaft übertragen) = 43 45 + 41 10
= 24
+ 40
= 27
= 0.675
40
40
1/2 für: P (L empfangen) = 1 − P (H empfangen) = 1 − 0.675 = 0.325,
1 für P (H gesendet|H empfangen) = P (H gesendet & H empfangen)/P (H
empfangen) = 43 45 40
= 98 = 0.8,
27
1/2 für: P (L gesendet|L empfangen) = P (L gesendet & L empfangen)/P (L
3 40
3
empfangen) = 41 10
= 13
= 0.230769
13
4. Ein passionierter Radfahrer beobachtet in einer Vielzahl von Fällen, daß er
69.15% der anderen Radfahrer überholt und entsprechend von 30.85% der
anderen Radfahrer überholt wird.
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
16
Wie schnell ist der passionierte Radfahrer?
(4 Pkt)
Zusatz: Welche fehlenden Angaben können/müssen wie erhoben werden?
(2 Pkt)
1 für: die Geschwindigkeit X aller Radfahrer sei Normal-verteilt mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ, 1 für Umrechnen auf Standard-Normalverteilung Y = (X − µ)/σ, 1 für: P (Y < 0.5) = 0.6915, 1 für: Y <
0.5 ⇐⇒ (X − µ)/σ < 0.5 ⇐⇒ X − µ < σ/2 ⇐⇒ X < µ + σ/2,
also P (X < µ + σ/2) = 0.6915, die Geschwindigkeit des passionierten
Radfahrers ist also gerade um die halbe Standardabweichung größer als die
Durchschnittsgeschwindigkeit aller Radfahrer.
Zusatz: µ und σ sind selbst oder per Nachfrage etwa beim VCD zu erheben.
Summe (32+2 Pkt)
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
4
17
Klausur Dgl, mehrdimensionale Analysis und
Stochastik, WS98m
Klausur
Laplace, mehrdimensionale Analysis, Stochastik
Name
9.2.99
Matrikel
1. Klassifiziere die Differentialgleichung y 00 + 4y = 0. Welche Lösungsverfahren
kommen in Frage?
(1 Pkt)
Löse diese Differentialgleichung mit den Anfangsbedingungen y(0) = 0 und
y 0 (0) = 2 mithilfe der Laplace-Transformation (mit Probe).
(5 Pkt)
2. Eine Hochspannungsleitung f (x) = cosh x führe über eine schiefe Ebene
g(x) = 12 x. Skizziere den Sachverhalt und berechne den Abstand zwischen
Leitung (=Seil) und Ebene (=Grund) für |x| < 2.
(6 Pkt)
3. Die Oberfläche A eines Reflektors sei mit f (x, y) = x2 + y 2 durch
A = {(x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ D} ⊂ R3
√
D = {(x, y) :
3
2
≤ x2 + y 2 ≤
√
8
, | arctan xy |
2
mit
< π4 } ⊂ R2
beschrieben. Klassifiziere und skizziere diese Fläche. Berechne den FlächenInhalt |A| durch Verwenden von Polarkoordinaten (Substitution). (6 Pkt)
Zusatz: Die Fläche A ist die Mantelfläche eines Rotationskörpers, wenn die
zweite Bedingung (| arctan xy | < π4 ) an die Punkte von A entfällt. Verifiziere
das Ergebnis.
(2 Pkt)
4. Bei Kollisionen im Ethernet warten jeder der betroffenen Sender eine jeweils
auszuwürfelnde Zeitspanne, bevor sie den nächsten Sendeversuch starten.
Die Wartezeit X sei Exponential-verteilt mit Erwartungswert 50µsec. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, daß zum einen X kleiner als 40µsec,
zum anderen größer als 60µsec ausfällt.
(je 2 Pkt)
Summe (22+2 Pkt)
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
18
Lösungen Klausur Laplace, mehrdimensionale Analysis, Stochastik 9.2.99
1. Klassifiziere die Differentialgleichung y 00 + 4y = 0. Welche Lösungsverfahren
kommen in Frage?
(1 Pkt)
Löse diese Differentialgleichung mit den Anfangsbedingungen y(0) = 0 und
y 0 (0) = 2 mithilfe der Laplace-Transformation (mit Probe).
(5 Pkt)
2 für Transformation, 1 für Auflösen, 1 für Rücktransformation, 1 für Probe
einerseits homogene lineare DGl mit konstanten Koeffizienten ...
andererseits auch als System von zwei linearen DGlen mit konstanten Koeffizienten aufzufassen ...
Aus L(y 0 )(z) = zL(y )(z) − y(0) und Linearität folgt L(y 00 )(z) + L(y )(z) =
z 2 L(y )(z) − zy(0) − y 0 (0) + 4L(y )(z) = (z 2 + 4)L(y )(z) − 2 = 0. Auflösen
liefert L(y )(z) = z22+4 und Rücktransformation die Lösung y(x) = sin(2x).
Probe: y 00 + 4y = −4 sin(2x) + 4 sin(2x) = 0 und y(0) = sin 0 = 0 sowie
y 0 (0) = 2 cos(0) = 2.
2. Eine Hochspannungsleitung f (x) = cosh x führe über eine schiefe Ebene
g(x) = 12 x. Skizziere den Sachverhalt und berechne den Abstand zwischen
Leitung (=Seil) und Grund für |x| < 2.
(6 Pkt)
1 für Skizze, 1 für Ansatz, 1 für Gleichungssystem, 3 für Lösung
2
Abstandsquadrat a(u, v) = d2 (u, v) = (u − v)2 + (f (u) − g(v)) = (u −
2
=
v)2 + ( cosh(u) − v2 ) mit verschwindenden partiellen Ableitungen ∂a(u,v)
∂u
∂a(u,v)
2(u−v) + 2( cosh(u)− v2 ) sinh u = 0 und ∂v = −2(u − v) − ( cosh(u) −
v
= 0. Summation liefert ( cosh(ue ) − v2e )(2 sinh ue − 1) = 0. Der ers2)
te Faktor verschwindet nicht für |ue |, |ve | < 2, so daß sinh ue = 12 bzw.
p
√
2
5
ue = arsinh 21 und wegen
cosh
u
1
+
sinh
u
e =
e = 2 durch Einsetzen
√
√
2( arsinh 21 − ve ) + ( 25 − v2e ) = 0 und damit 25 ve = 2 arsinh 12 + 25 bzw.
√
ve = 54 arsinh 12 + 55 folgt. Der minimale Abstand der beiden Kurven ist also
q
√
√
√
2
4
arsinh 12 − 105 )2 .
d = d(ue , ve ) = ( arsinh 21 − 45 arsinh 21 − 55 ) + ( 25 − 10
q
√ 2
√
2
Zusammengefaßt gilt also d = 51 ( arsinh 12 − 5) + 4( 5 − arsinh 12 ) =
√
√
5
arsinh 12 − 5).
5 (
3. Die Oberfläche A eines Reflektors sei mit f (x, y) = x2 + y 2 durch
√
A = {(x, y, f (x, y)) :
3
2
≤ x2 + y 2 ≤
√
8
, | arctan xy |
2
< π4 } ⊂ R3
beschrieben. Klassifiziere und skizziere diese Fläche. Berechne den FlächenInhalt |A| durch Verwenden von Polarkoordinaten (Substitution). (6 Pkt)
Zusatz: Die Fläche A ist die Mantelfläche eines Rotationskörpers, wenn die
zweite Bedingung (| arctan xy | < π4 ) an die Punkte von A entfällt. Verifiziere
das Ergebnis.
(2 Pkt)
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
19
1 für Skizze, 1 für Ansatz, 1 für partielle Ableitungen, 2 für Substitution, 1
für Integration
RR p
1 + fx2 + fy2 dx dy =
Es gilt fx = 2x und fy = 2y, so daß |A| =
D
RR p
1 + 4x2 + 4y 2 dx dy zu berechenen ist. In Polarkoordinaten gilt |A| =
D
√
R ρ=√8/2 p
R π/4
Rp
R√
π
π 2
√
ρ 1+4ρ2 dρ dϕ = π2
1+4ρ2 ρ dρ = 16
t dt = 16
t3
3
ϕ=−π/4 ρ= 3/2
√
p
√ 3
3 8/2
π
π
π
2
(33 −23 ) = 19
π, da für die Substitution
= 24 ( t) = 24 1 + 4ρ √ = 24
24
3/2
t = 1 + 4ρ2 eben ρ dρ = 81 dt gilt.
4. Bei Kollisionen im Ethernet warten jeder der betroffenen Sender eine jeweils
auszuwürfelnde Zeitspanne, bevor sie den nächsten Sendeversuch starten.
Die Wartezeit X sei Exponential-verteilt mit Erwartungswert 50µsec. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, daß zum einen X kleiner als 40µsec,
zum anderen größer als 60µsec ausfällt.
(je 2 Pkt)
Für die Dichte gilt f (x) = α e−αx und für die Verteilungsfunktion P (X <
1
. Insbesondere ist P (X < 40µs) =
x) = F (x) = 1 − e−αx mit α = 50µs
−4/5
F (40) = 1 − e
≈ 1 − 0.45 = 0.55 sowie P (X ≥ 60µs) = 1 − P (X <
−6/5
60µs) = 1 − (1 − e
= e−6/5 ≈ 0.30
Summe (22+2 Pkt)
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
5
20
Klausur Integration, Fourier-Reihen und Dgl,
WS98
Klausur
Differentialgleichungen
Name
1. Bestimme
23.11.98
Matrikel
R
(x+1) dx
√
x3 −2 2x2 +2x
mit Probe
(5 Pkt)
2. Die Funktion f (x) = ( π2 −|x|)χ[−π/2,π/2] (x) für x ∈ [−π, π) sei 2π-periodisch
auf R fortgesetzt. Skizziere f , untersuche die Symmetrie-Eigenschaften von
f und berechne die Fourier-Reihe von f , in reeller oder komplexer, möglichst
kompakter Darstellung.
(7 Pkt)
Zusatz: Berechne auch die jeweils andere Darstellung und überprüfe die
Übereinstimmung.
(8 Pkt)
3. Löse y 0 + sin(x) y = 0 mit y(0) = 1 und die ’linearisierte’ DGl y 0 + x y = 0
mit y(0) = 1. Inwiefern stimmen die beiden Lösungen für kleine x, also für
x nahe bei 0, eben für |x| 1 überein?
(4 Pkt)
1
1
4. Leite die DGl ü + RC
u̇ + LC
u = 0 für die Spannung u(t) am Parallelschwingkreises bestehend aus Widerstand R, Kondensator C und Induktivität L her.
(2 Pkt)
Löse diese DGl durch Überführen in ein System von zwei DGlen erster Ordnung.
(8 Pkt)
Wie sind die Anfangsbedingungen u(0) = uo und u̇(0) = vo zu berücksichtigen?
(2 Pkt)
Zusatz: Berechne u(t) mit Anfangsbedingungen u(0) = uo und u̇(0) = vo
zur Probe auch direkt.
(6 Pkt)
Summe (28+14 Pkt)
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
Lösungen Klausur
R
1. Bestimme
21
Differentialgleichungen
(x+1) dx
√
x3 −2 2x2 +2x
23.11.98
mit Probe
(5 Pkt)
3 für Partialbruchzerlegung, 1 für Integration, 1 für Probe
Partialbruchzerlegung mit Ansatz
a(x−
√
2)2 +bx(x−
√
2)+cx
x+1
√
x3 −2 2x2 +2x
a
x
=
+
b√
x− 2
+
c
√
(x− 2)2
=
1
2
und per KoeffizientenR (x+1) dx
√
vergleich im Zähler b = − 12 sowie c = 1 + 22 . Damit gilt x3 −2
=
2
√ 2x +2x
√
√
R
R
R
1
dx
√
− 12 x−dx√2 +(1+ 22 ) (x−dx
= 12 ln x− 12 ln |x− 2|+(1+ 22 ) x−−1√2 +
2
x
2)2
q
√
2+ √2
+ C.
C = ln x−x√2 − 2(x−
2)
√
x(x− 2)2
liefert für x = 0 schon a =
√
2. Die Funktion f (x) = ( π2 −|x|)χ[−π/2,π/2] (x) für x ∈ [−π, π) sei 2π-periodisch
auf R fortgesetzt. Skizziere f , untersuche die Symmetrie-Eigenschaften von
f und berechne die Fourier-Reihe von f , in reeller oder komplexer, möglichst
kompakter Darstellung.
(7 Pkt)
Zusatz: Berechne auch die jeweils andere Darstellung und überprüfe die
Übereinstimmung.
(8 Pkt)
1 für Skizze, 1 für Symmetrie, d.h. für bk = 0, 1 für ao , 4 für ak
f ist gerade. Also ist bk = 0 für alle k ∈ N.
Rπ
R π/2
2
ao = π1 −π f (x) dx = π2 o (π/2 − x) dx = π2 (π 2 /4 − 21 π4 ) = 41 π.
π/2
Rπ
R π/2
ak = π1 −π f (x) cos(kx) dx = π2 o ( π2 −x) cos(kx) dx = π2 ( π2 k1 sin(kx)o −
π/2
π/2
x 1 sin(kx)
− 12 cos(kx) ) = − 22 (cos( k π) − 1) und damit ak =
k
2
k
o
k π
o
2
2
(1 − cos( k2 π)), also erstens a4k = 0, zweitens a4k+1 = (4k+1)
2 π (1 −
2
2
π
1
cos( 2 )) = (4k+1)2 π , drittens a4k+2 = (4k+2)2 π (1 − cos(π)) = (2k+1)2 π und
2
3
2
viertens a4k+3 = (4k+3)
2 π (1 − cos( 2 π)) = (4k+3)2 π .
Wegen bk = 0 gilt ck = 12 (ak − jbk ) = 21 ak = k21π (1 − cos( k2 π)).
k2 π
ck =
1
2π
Z
π
−jkx
f (x)e
1
2π
dx =
−π
π/2
−jkx 1 1
= 4 −jk e
−
−π/2
1
2π
Z
Z
π/2
−π/2
( π2 − |x|)e−jkx dx
o
−jkx
(−x)e
dx −
−π/2
1
2π
Z
π/2
x e−jkx dx
o
o
π/2
j −jkx π/2
1 1
1
1 1
1
= 4k
e
+ 2π
(x − −jk
) e−jkx −π/2 − 2π
(x − −jk
) e−jkx o
−jk
−jk
−π/2
π/2
j −jkx π/2
1 j
1 j
= 4k
e
+ 2π
(x − kj ) e−jkx −π/2 + k21π − 2π
(x − kj ) e−jkx k
k
−π/2
π/2
−jkx π/2
−jkx −jkx π/2
−jkx −jkx = j e4k − j e4k + e2k2 π + k21π − j e4k − e2k2 π −π/2
=
1
k2 π
−
1
k2 π
−π/2
j k2 π
(e
−j k2 π
+e
)=
−π/2
1
k2 π
(1 − cos( k2 π)).
3. Löse y 0 + sin(x) y = 0 mit y(0) = 1 und die ’linearisierte’ DGl y 0 + x y = 0
mit y(0) = 1. Inwiefern stimmen die beiden Lösungen für kleine x, also für
x nahe bei 0, eben für |x| 1 überein?
(4 Pkt)
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
22
je 1 für etwa Trennnung der Veränderlichen, 2 für ’in quadratischer Näherung’
R
R
= − sin x dx liefert ln y = cos x + co und damit
y 0 /y = − sin x oder dy
y
y(x) = c1 ecos x , wegen
y(0)R = 1 endlich y(x) = ecos x−1 .
R
y 0 /y = −x oder dy
= − x dx liefert ln y = − 12 x2 + co und damit y(x) =
y
2
2
c1 e−x /2 , wegen y(0) = 1 endlich y(x) = e−x /2 .
Taylor-Parabel von y(x) = ecos x−1 ist y(x) ≈ 1 + (−ecos x−1 sin x)|x=0 x1 +
2
(ecos x−1 (sin2 x − cos x))x=0 x2 = 1 − 12 x2 .
2
2
Taylor-Parabel von y(x) = e−x /2 ist auch y(x) ≈ 1 + (−e−x /2 x)|x=0 x1 +
2
2
(e−x /2 (x2 − 1))x=0 x2 = 1 − 12 x2 .
1
1
u̇ + LC
u = 0 für die Spannung u(t) am Paral4. Leite die DGl ü + RC
lelschwingkreises bestehend aus Widerstand R, Kondensator C und Induktivität L her.
(2 Pkt)
Löse diese DGl durch Überführen in ein System von zwei DGlen erster Ordnung.
(8 Pkt)
Wie sind die Anfangsbedingungen u(0) = uo und u̇(0) = vo zu berücksichtigen?
(2 Pkt)
Zusatz: Berechne u(t) mit Anfangsbedingungen u(0) = uo und u̇(0) = vo
zur Probe auch direkt.
(6 Pkt)
1 für System, 1 für Koeffizienten-Matrix, 1 für p(b), 1 für Fallunterscheidung, 1 für Lsg. zu zwei reellen NS, 1 für Lsg. zu doppelter NS, 2 für Lsg.
zu konjugiert komplexen NS
Für ıC = C u̇, ıR = R1 u und ı̇L = L1 u gilt ıC + ıR + ıL = 0, also auch
1
1
u̇ + LC
u = 0.
ı̇C + ı̇R + ı̇L = 0 und damit C ü + R1 u̇ + L1 u = 0 bzw. ü + RC
u̇
0
1
u̇ = v
u
Sei u̇ = v. Dann hat
bzw.
= −1 −1
−1
−1
v̇ = LC
u + RC
v
v̇
v
LC
RC
−b
1 1
1
2
das charakteristische Polynom p(b) = −1 −1
= b + RC b + LC mit
−
b
LC
RC
q
√
C
1
1
1
Nullstellen b1,2 = − 2RC ± 4R2 C 2 − LC 2 = − 2RC
(1 ± √1L L − 4R2 C ).
Fallunterscheidung je nach Vorzeichen des Radikanden liefert die Lösung u:
zwei reelle NS b1,2 : u(t) = c1 eb1 t + c2 eb2 t
eine doppelte NS bo : u(t) = (co + c1 t)ebo t
zwei konjugiert komplexe NS xo ± jyo : u(t) = exo t (cc cos(yo t) + jcs sin(yo t))
Berücksichtigung der Anfangsbedingungen u(0) = uo und u̇(0) = vo durch
Lösen des LGS:
zwei reelle NS: c1 + c2 = uo und c1 b1 + c2 b2 = vo
eine doppelte NS: c1 = uo und c1 bo + c1 = vo
zwei konjugiert komplexe NS: cc = uo und xo cc + jcs yo = vo
Summe (28+14 Pkt)
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
6
23
Klausur Fourier-Reihen, Dgl und
Laplace-Transformation, WS97w
Wiederholer-Klausur
Name
Differentialgleichungen
9.2.98
Matrikel
1. Die Funktion f (t) = χ[−π/2,π] (t) für t ∈ [−π, π) sei 2π-periodisch auf R fortgesetzt. Skizziere f , untersuche die Symmetrie-Eigenschaften von f und
berechne die Fourier-Reihe von f , hier wenigstens die ersten sieben Terme (Gleichanteil, Grundschwingung und ersten zwei Oberschwingungen).
(6 Pkt)
Zusatz: Berechne auch die jeweils andere Darstellung (reell- bzw. komplexwertig) und überprüfe die Übereinstimmung.
(8 Pkt)
2. Klassifiziere die folgenden DGlen und skizziere jeweils ein Lösungsverfahren:
a) (x + 1)y 0 − y/(x − 1) = 0
(1 Pkt)
0
2
b) y − (x + 4y) = 1
(2 Pkt)
c) LC ü(t) + RC u̇(t) + u(t) = Uo cos(ωerr t)
(1 Pkt)
3. An der Reihenschaltung des Widerstandes R und der Kapazität C liegt ab
t = 0 die Spannung uerr (t) = Uo e−t/τerr sin(ωt) an. Stelle die DGl für uC (t)
auf und bestimme klassisch die Lösung uC (t) mit der Anfangsbedingung
uC (0) = 0.
(12 Pkt)
Zusatz: Skizziere den Lösungsweg per Laplace-Transformation. (4 Pkt)
4. Löse y 0 − y = ex mit y(0) = 0 per Laplace-Transformation und verifiziere
die Rücktransformation und das Ergebnis (Probe).
(6 Pkt)
5. Korrigiere die Druckfehler im Beispiel zur Differentation der Laplace-Transformation und in den Ausführungen zur Integration der Laplace-Transformation auf S.32 des Skriptes.
(6 Pkt)
Summe (34+12 Pkt)
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
Lösungen Wiederholer-Klausur
24
Differentialgleichungen
9.2.98
1. Die Funktion f (t) = χ[−π/2,π] (t) für t ∈ [−π, π) sei 2π-periodisch auf R fortgesetzt. Skizziere f , untersuche die Symmetrie-Eigenschaften von f und
berechne die Fourier-Reihe von f , hier wenigstens die ersten sieben Terme (Gleichanteil, Grundschwingung und ersten zwei Oberschwingungen).
(6 Pkt)
Zusatz: Berechne auch die jeweils andere Darstellung (reell- bzw. komplexwertig) und überprüfe die Übereinstimmung.
(8 Pkt)
1 für Skizze und für f weder gerade noch ungerade, 1 für a0 , 1 für a2k , 1 für
a2k+1 , 1 für b2k , 1 für b2k+1
ao =
R
1 π
1
π
Rπ
−π/2
dt =
13
π = 32 , i.e. zweimal Gleichspannungsanteil, und ak =
π2
−(−1)n
= −1
(0 − sin(k π2 )) = sin(kπ/2)
, d.h. a2n−1 = (2n−1)π
und
kπ
kπ
cos(kt) dt
a2n = 0R für n = 1, 2, , . . ..
π
1
(cos(kπ) − cos(kπ/2)), d.h. b2n−1 = (2n−1)π
und
bk = π1 −π/2 sin(kt) dt = −1
kπ
−1
−1
n
b2n = 2nπ (1 − (−1) ), also b2(2n−1) = (2n−1)π und b4n = 0 für n = 1, 2, , . . ..
P
−(−1)n cos((2n−1)t)
f (t) = 43 + π1 ∞
+ sin((2n−1)t)
− sin(2(2n−1)t)
).
n=1 (
2n−1
2n−1
2n−1
π
−π/2
Zusammen also f (t) ≈
3
4
+
1
π
( cos t + sin t + sin 2t − 13 cos 3t + 31 sin 3t).
2. Klassifiziere die folgenden DGlen und skizziere jeweils ein Lösungsverfahren:
a) (x + 1)y 0 − y/(x − 1) = 0
(1 Pkt)
0
2
b) y − (x + 4y) = 1
(2 Pkt)
c) LC ü(t) + RC u̇(t) + u(t) = Uo cos(ωerr t)
(1 Pkt)
R 1
R dy
1
x−1
a) Trennung der Veränderlichen y = x2 −1 dx, also ln y = 2 ln | x+1 | + c
q
und damit y(x) = c x−1
.
x+1
b) die zugehörige homogene DGl y 0 = (x + 4y)2 wird durch Substitution
0
z = x + 4y und damit z 0R = 1 + 4y 0 in z 4−1 = z 2 überführt. Trennung
dz
1
der Veränderlichen liefert 1+4z
2 = 2 arctan(2z) = x + c und damit z =
1
tan(2x + c) = x + 4y sowie yhom = 18 (tan(2x + c) − 2x).
2
Die inhomogene DGl ist durch durch Variation der Konstanten zu lösen:
y 0 = ((1+tan2 (2x+c))(2+c0 )−2)/8 eingesetzt liefert (1+tan2 (2x+c))c0 =
8 + 32x2 , was trennbar ist!
c) linear mit konstanten Koeffizienten und rechte Seite wie im ’Rezept’.
3. An der Reihenschaltung des Widerstandes R und der Kapazität C liegt ab
t = 0 die Spannung uerr (t) = Uo e−t/τerr sin(ωt) an. Stelle die DGl für uC (t)
auf und bestimme klassisch die Lösung uC (t) mit der Anfangsbedingung
uC (0) = 0.
(12 Pkt)
Zusatz: Skizziere den Lösungsweg per Laplace-Transformation. (4 Pkt)
2 für Aufstellen der DGL (uC + uR = uerr , ı = C u̇C , uR = Rı), 1 für charakteristisches Polynom und NS, 1 für uhom , 2 für Lösungsansatz us , 4 für Lösung
LGS, 1 für uC = uhom + us , 1 für Berücksichtigung der Anfangsbedingung
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
25
Für uC gilt die Differentialgleichung uR (t) + uC (t) = Rı(t) + uC (t) =
RC u̇C (t) + uC (t) = Uo e−t/τerr sin(ωt) mit Anfangsbedingung uC (0) = 0.
Die zugehörige homogene Differentialgleichung RC u̇C (t)+uC (t) = 0 hat we−1
gen p(b) = RC b + 1 mit der Nullstelle RC
die Lösungsgesamtheit uhom (t) =
−t/(RC)
ce
.
Der Ansatz us (t) = (a cos(ωt) + b sin(ωt))e−t/τerr für eine spezielle Lösung
führt auf das LGS
−RCωa + (1 − RC/τerr )b = Uo und (1 − RC/τerr )a + RCωb = 0
Uo
o RCω/(1−RC/τerr )
mit der Lösung a = R−U
2 C 2 ω 2 +(1−RC/τ
2 und b = R2 C 2 ω 2 +(1−RC/τ
2 . So ist
err )
err )
die Lösungsgesamtheit der inhomogenen Differentialgleichung
2
2
2
Uo
R C ω
us (t) = c e−t/(RC) + R2 C 2 ω2 +(1−RC/τ
cos(ωt) + sin(ωt))e−t/τerr
2 ( − 1−RC/τ
err )
err
Die Anfangsbedingung uC (0) = 0 bestimmt die Integrationskonstante c und
damit die Lösung uC (t) = −a e−t/(RC) + (a cos(ωt) + b sin(ωt))e−t/τerr .
1 für L anwenden und auflösen, 1 für L rechte Seite, 1 für Rücktransformation
der Faktoren, 1 für Faltung
oω
(RCz + 1)L(uC (t))(z) = Uo L(e−t/τerr sin(ωt))(z) = (z+1/τUerr
aufgelöst
)2 +ω 2
Uo
1
ω
liefert L(uC (t))(z) = RC z+1/(RC) (z+1/τerr )2 +ω2 und damit etwa per Faltung
(oder auch per Partialbruchzerlegung) die Lösung
uC (t) =
Uo
RC
(e−t/τerr sin(ωt) ∗ e−t/(RC) )(t)
4. Löse y 0 − y = ex mit y(0) = 0 per Laplace-Transformation, verifiziere die
Rücktransformation und das Ergebnis (Probe).
(6 Pkt)
1 für L, 1 für Auflösen, 1 für Rücktransformation, 2 für Verifikation der Rücktransformation, 1 für Probe
1
1
und damit L(y)(z) = (z−1)
Es ist (z − 1)L(y)(z) = z−1
2 und per Rücktransformation (Verifikation per partieller Integration) y(x) = x ex .
Probe: y 0 − y = ex (x + 1) − x ex = ex .
5. Korrigiere die Druckfehler im Beispiel zur Differentation der Laplace-Transformation und in den Ausführungen zur Integration der Laplace-Transformation auf S.32 des Skriptes.
(6 Pkt)
je 2 pro Druckfehler
Summe (34+12 Pkt)
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
7
26
Klausur Fourier-Reihen, Dgl und
Laplace-Transformation, WS97
Klausur
Name
Differentialgleichungen
E3E
23.1.98
Matrikel
1. Die Funktion f (t) = χ[−π,π/2] (t) für t ∈ [−π, π) sei 2π-periodisch auf R fortgesetzt. Skizziere f , untersuche die Symmetrie-Eigenschaften von f und
berechne die Fourier-Reihe von f , hier wenigstens die ersten sieben Terme (Gleichanteil, Grundschwingung und ersten zwei Oberschwingungen).
(6 Pkt)
Zusatz: Berechne auch die jeweils andere Darstellung (reell- bzw. komplexwertig) und überprüfe die Übereinstimmung.
(8 Pkt)
2. Klassifiziere die folgenden DGlen und skizziere jeweils ein Lösungsverfahren:
a) xy 0 − y/x = 0
(1 Pkt)
b) x2 yy 0 + x3 y 2 = 1
(2 Pkt)
c) LC ü(t) + u(t) = Uo sin(ωerr t)
(1 Pkt)
3. An der Reihenschaltung des Widerstandes R mit der Induktivität L liegt
ab t = 0 die Spannung uerr (t) = Uo e−t/τerr sin(ωt) an. Stelle die DGl für
ı(t) auf und bestimme klassisch die Lösung ı(t) mit der Anfangsbedingung
ı(0) = 0.
(12 Pkt)
Zusatz: Skizziere den Lösungsweg per Laplace-Transformation. (4 Pkt)
4. Löse y 0 + y = ex mit y(0) = 0 per Laplace-Transformation und verifiziere
das Ergebnis (Probe).
(6 Pkt)
5. Korrigiere die Druckfehler im Beispiel ¨mathematisches Pendel¨ des Skriptes auf S.34.
(6 Pkt)
Summe (34+12 Pkt)
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
Lösungen Klausur
Differentialgleichungen
27
E3E
23.1.98
1. Die Funktion f (t) = χ[−π,π/2] (t) für t ∈ [−π, π) sei 2π-periodisch auf R fortgesetzt. Skizziere f , untersuche die Symmetrie-Eigenschaften von f und
berechne die Fourier-Reihe von f , hier wenigstens die ersten sieben Terme (Gleichanteil, Grundschwingung und ersten zwei Oberschwingungen).
(6 Pkt)
Zusatz: Berechne auch die jeweils andere Darstellung (reell- bzw. komplexwertig) und überprüfe die Übereinstimmung.
(8 Pkt)
1 für Skizze und für f weder gerade noch ungerade, 1 für a0 , 1 für a2k , 1 für
a2k+1 , 1 für b2k , 1 für b2k+1
R π/2
ao = π1 −π dt = π1 32 π = 32 , i.e. zweimal Gleichspannungsanteil, und ak =
R
−(−1)n
1
1 π/2
cos(kt) dt = kπ
sin(kπ/2), d.h. a2n−1 = (2n−1)π
und a2n = 0.
π −π
R
π/2
1
−1
(cos(kπ) − cos(kπ/2)), d.h. b2n−1 = (2n−1)π
bk = π1 −π sin(kt) dt = kπ
P
−(−1)n cos((2n−1)t)
1
und b2n = 2nπ
(1 − (−1)n ), so daß f (t) = 34 + π1 ∞
−
i=1 (
2n−1
(1−(−1)n ) sin(2nt)
sin((2n−1)t)
+
).
2n−1
2n
Zusammen also f (t) ≈
3
4
+
1
π
( cos t − sin t + sin 2t − 31 cos 3t − 13 sin 3t).
2. Klassifiziere die folgenden DGlen und skizziere jeweils ein Lösungsverfahren:
a) xy 0 − y/x = 0
(1 Pkt)
2
0
3 2
b) x yy + x y = 1
(2 Pkt)
c) LC ü(t) + u(t) = Uo sin(ωerr t)
(1 Pkt)
R dx
R dy
−1
= x2 , also ln y = −x + c und
a) Trennung der Veränderlichen
y
damit y(x) = c e−1/x .
b) die zugehörige homogene DGl x2 y 0 + x3 y = 0 ist linear (!) und von erster
Ordnung, also durch Trennung der Veränderlichen lösbar: y 0 = −xy oder
2
ln y = − 12 x2 und damit yhom = c e−x /2 .
Die inhomogene DGl ist durch durch Variation der Konstanten zu lösen.
2
2
Sei y(x) = c(x) e−x /2 . Dann ist y 0 (x) = (c0 (x) − x c(x))e−x /2 , so daß sich
2
aus c0 (x)c(x) = x−2 e−x durch Trennen der Veränderlichen mit 21 c2 (x) =
R −2 −x2
√
2
x e
dx = − x1 e−x − π erf(x) die Lösung ergibt.
c) linear mit konstanten Koeffizienten und rechte Seite wie im ’Rezept’.
3. An der Reihenschaltung des Widerstandes R mit der Induktivität L liegt
ab t = 0 die Spannung uerr (t) = Uo e−t/τerr sin(ωt) an. Stelle die DGl für
ı(t) auf und bestimme klassisch die Lösung ı(t) mit der Anfangsbedingung
ı(0) = 0.
(12 Pkt)
Zusatz: Skizziere den Lösungsweg per Laplace-Transformation. (4 Pkt)
2 für Aufstellen der DGL (uL + uR = uerr , uL = Lı̇, uR = Rı), 1 für charakteristisches Polynom und NS, 1 für ıhom , 2 für Lösungsansatz ıs , 4 für Lösung LGS,
1 für ı = ıhom + ıs , 1 für Berücksichtigung der Anfangsbedingung
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
28
Für den Strom gilt die DGl L ddtı + R ı(t) = Uo e−t/τerr sin(ωt) mit der Anfangsbedingung ı(0) = 0.
Die zugehörige homogene Differentialgleichung ddtı + R
ı(t) = 0 hat wegen
L
R
−tR/L
p(b) = b + L die Lösungsgesamtheit ıhom (t) = c e
.
Der Ansatz ıs (t) = (a cos(ωt) + b sin(ωt))e−t/τerr für eine spezielle Lösung
führt auf das LGS −Lωa+(R−L/τerr )b = Uo und Lωb+(R−L/τerr )a = 0 mit
Uo (R−L/τerr )
−Uo Lω
der Lösung a = (R−L/τ
2
2 2 und b = (r−L/τ
2
2 2 und damit auf die
err ) +L ω
err ) +L ω
Lösungsgesamtheit der inhomogenen Differentialgleichung ıs (t) = c e−tR/L +
Uo
− Lω cos(ωt) + (R − L/τerr ) sin(ωt))e−t/τerr . Die Anfangs(R−L/τerr )2 +L2 ω 2 (
bedingung ı(0) = 0 bestimmt die Integrationskonstante c und damit ı(t)=
Uo
L
L ω e−tR/L + ( − L ω cos(ωt) + (R − τerr
) sin(ωt))e−t/τerr .
(R−L/τerr )2 +L2 ω 2
1 für L anwenden und auflösen, 1 für L rechte Seite, 1 für Rücktransformation
der Faktoren, 1 für Faltung
oω
(z + R
)L(ı(t))(z) = Uo L(e−t/τerr sin(ωt))(z) = (z+1/τUerr
aufgelöst liefert
L
)2 +ω 2
die Lösung ı(t) = Uo (e−t/τerr sin(ωt) ∗ e−tR/L )(t) per Faltung oder auch per
Partialbruchzerlegung.
4. Löse y 0 + y = ex mit y(0) = 0 per Laplace-Transformation und verifiziere
das Ergebnis (Probe).
(6 Pkt)
1 für L, 1 für auflösen, 2 für Partialbruchzerlegung oder Faltung 1 für Rücktransformation, 1 für Probe
1
1
und damit L(y)(z) = (z−1)(z+1)
. PartialbruchzerEs ist (z+1)L(y)(z) = z−1
1
1
1
legung liefert L(y)(z) = 2 ( z−1 − z+1 ) und Rücktransformation dann eben
y(x) = 12 (ex − e−x ) = sinh(x).
Probe: y 0 + y = 21 (ex + e−x + ex − e−x ) = ex .
5. Korrigiere die Druckfehler im Beispiel ¨mathematisches Pendel¨ des Skriptes auf S.34.
(6 Pkt)
je 1 pro Druckfehler
Summe (34+12 Pkt)
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
8
29
Klausur Fourier-Reihen, Dgl, Laplace-Transformation, mehrdimensionale Analysis, SS97
Klausur
Name
Differentialgleichungen – 1.Hälfte
I3I1/A1
30.5.97
Matrikel
1. Die Funktion f (t) = χ[−π/4,π/4] (t) für t ∈ [−π, π) sei 2π-periodisch auf ganz
R fortgesetzt (Skizze). Berechne die Fourier-Reihe von f – hier wenigstens
die ersten neun Terme (Gleichanteil, Grundschwingung und ersten sieben
Oberschwingungen) – auf unendlich viele Dezimalstellen genau. (15 Pkt)
Zusatz: Berechne auch die jeweils andere Darstellung (reell- bzw. komplexwertig) und überprüfe die Übereinstimmung.
(15 Pkt)
2. An der Reihenschaltung des Widerstandes R mit der Induktivität L liegt
ab t = 0 die Spannung uerr (t) = Uo sin(ωt) an. Stelle die DGl für ı(t) auf,
löse die DGl per Laplace-Transformation und bestimme so den Strom ı(t)
mit der Anfangsbedingung ı(0) = 0.
(20 Pkt)
Zusatz: Bestimme ı(t) in quadratischer Näherung für kleine t, d.h. berechne
die ersten drei Terme der Taylor-Reihe von ı(t) und zeige damit, daß ı(t)
für kleine t unabhängig von R ist.
(10 Pkt)
3. Gegeben f (x) = x2 und g(x) = 12 x − 1. Berechne den Abstand d von f
und g, d.h. bestimme die beiden Punkte (u, f (u)) und (v, g(v)) auf den
Graphen von f und g mit minimalem Abstand d und eben diesen Abstand.
(18 Pkt)
4. Bestimme die Tangential-Ebene von f (x, y) = x2 − y 2 + 1 allgemein in
(xo , yo ) und speziell im Ursprung ~0 (Skizze?). Begründe geometrisch und
analytisch, ob der Ursprung eine Extremwertstelle ist.
(12 Pkt)
Summe (50 Pkt)
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
Lösungen Klausur
30
Differentialgleichungen – 1.Hälfte
I3I1/A1
30.5.97
1. Die Funktion f (t) = χ[−π/4,π/4] (t) für t ∈ [−π, π) sei 2π-periodisch auf ganz
R fortgesetzt (Skizze). Berechne die Fourier-Reihe von f – hier wenigstens
die ersten neun Terme (Gleichanteil, Grundschwingung und ersten sieben
Oberschwingungen) – auf unendlich viele Dezimalstellen genau. (15 Pkt)
Zusatz: Berechne auch die jeweils andere Darstellung (reell- bzw. komplexwertig) und überprüfe die Übereinstimmung.
(15 Pkt)
2 für f gerade, also bk = 0, 1 für a0 , je 1 für a8l+k für k = 0, .., 7, 4 für allgemeine
Darstellung
Rπ
Rπ
f gerade, also bk = π1 −π f (t) sin kt dt = 0. Für ak = π1 −π f (t) cos kt dt
R π/4
R π/4
= π2 o cos kt dt ist ao = π2 o dt = π2 π4 = 12 , i.e. zweimal GleichspanR π/4
π/4
2
nungsanteil, und√ak = π2 o cos kt dt = √π2 k1 sin(kt)—0 = kπ
sin( k4 √
π).
2
2
2
π
2π
3π
4π
5π
Wegen sin 4 = 2 , sin √4 = 1, sin 4 = 2 , sin 4 = 0, sin 4 = −
,
√ 2
2
2
6π
7π
8π
sin 4 = −1, sin 4 = − 2 , sin 4 = 0 ergibt sich a8l = 0, a8l+1 = (8l+1)π ,
a8l+2 =
2
, a8l+7
− (8l+6)π
1)t) +
2
(8l+6)π
2
(8l+2)π
√
√
2
a8l+4 = 0, a8l+5 = − (8l+5)π
, a8l+6 =
√
√
P
∞
2
2
= − (8l+7)π
, zusammen also f (t) = 41 + l=1 ( (8l+1)π
cos((8l +
2
,
(8l+2)π
a8l+3 =
2
,
(8l+3)π
√
cos((8l + 2)t) +
√
cos((8l + 6)t) −
2
(8l+7)π
2
(8l+3)π
√
cos((8l + 3)t) −
2
(8l+5)π
cos((8l + 5)t) −
cos((8l + 7)t)).
2. An der Reihenschaltung des Widerstandes R mit der Induktivität L liegt
ab t = 0 die Spannung uerr (t) = Uo sin(ωt) an. Stelle die DGl für ı(t) auf,
löse die DGl per Laplace-Transformation und bestimme so den Strom ı(t)
mit der Anfangsbedingung ı(0) = 0.
(20 Pkt)
Zusatz: Bestimme ı(t) in quadratischer Näherung für kleine t, d.h. berechne
die ersten drei Terme der Taylor-Reihe von ı(t) und zeige damit, daß ı(t)
für kleine t unabhängig von R ist.
(10 Pkt)
3 für Aufstellen der DGL (uL + uR = uerr , uL = Lı̇, uR = Rı), 3 für LaplaceTransformation (Linearität., Ableitung, sinus), 2 für Auflösen nach L(ı), 8 für
a
, je 2 für zbz+c
Partialbruchzerlegung (3 für Ansatz, 1 für Lz+R
2 +ω 2 ), 4 für Rücktransformation
Für den Strom gilt die Differentialgleichung L ddtı +R ı(t) = Uo sin(ωt) mit der
Anfangsbedingung ı(0) = 0. Laplace-Transformation liefert LL( ddtı )(z) +
ω
ω
1
RL(ı)(z) = Uo z2 +ω
2 = (Lz + R)L(ı)(z), also L(ı)(z) = Uo z 2 +ω 2 Lz+R .
Partialbruchzerlegung liefert
L(ı)(z) =
Uo
R2 +ω 2 L2
2
ωL
z+ω R
+ −ωzL2 +ω
( Lz+R
)=
2
Uo ω L
R2 +ω 2 L2
1
1
+ z2−z
+R
( z+R/L
+ω 2
L z 2 +ω 2 )
Per Rücktransformation gewinnt man die Lösung
ı(t) =
Uo ω L
R2 +ω 2 L2
(e−t R/L − cos(ωt)) + R2U+ωo R2 L2 sin(ωt).
Die zugehörige homogene Differentialgleichung ddtı + R
ı(t) = 0 hat wegen
L
−tR/L
p(b) = b + R
die
Lösungsgesamtheit
ı
(t)
=
c
e
.
hom
L
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
31
Der Ansatz ıs (t) = b1 sin(ωt) + bo cos(ωt) für eine spezielle Lösung führt auf
das LGS −Lωbo + Rb1 = Uo und Lωb1 + Rbo = 0 und damit auf die Lösung
o
der inhomogenen Differentialgleichung ıs (t) = c e−tR/L + L2 ωRU
2 +R2 sin(ωt) −
LωUo
cos(ωt) und mit der Anfangsbedingung ı(0) = 0 eben auf ı(t) =
L2 ω 2 +R2
LωUo
o
e−tR/L − cos(ωt)) + L2 ωRU
2 +R2 sin(ωt).
L2 ω 2 +R2 (
Für kleine t wird unter Verwendung der ersten drei Glieder der TaylorReihen von e−tR/L , cos(ωt) und sin(ωt) der Strom näherungsweise durch
R2 2
ω2 2
RUo
RωUo
o
t + 2L
ı(t) ≈ L2LωU
1− R
2 t − 1 + 2 t ) + L2 ω 2 +R2 (ωt) = t( − L2 ω 2 +R2 +
ω 2 +R2 (
L
RωUo
1 R2 +L2 ω 2
o
o 2
+ t2 L2LωU
= ωU
t bestimmt. Für kleine t ist also der
L2 ω 2 +R2 )
ω 2 +R2 2
L2
2L
Strom unabhängig von R.
3. Gegeben f (x) = x2 und g(x) = 12 x − 1. Berechne den Abstand d von f
und g, d.h. bestimme die beiden Punkte (u, f (u)) und (v, g(v)) auf den
Graphen von f und g mit minimalem Abstand d und eben diesen Abstand.
(18 Pkt)
2 für Ansatz d(u, v), 2 für Begründung d2 , je 2 für partielle Ableitungen, 6 für
Lösen des Gleichungssystemes, 2 für komplexe Lsg., 2 für d
a(u, v) = d2 (u, v) = (u − v)2 + (u2 − 21 v + 1)2 und du = 2(u − v) + 2(u2 −
1
v + 1)2u = 0 sowie dv = −2(u − v) − 2(u2 − 12 v + 1) 12 = 0. dv = 0 liefert
2
v = 25 (u2 + 2u + 1) und du + dv = 0 liefert 2(u2 − 12 v + 1)(2u − 12 ) = 0.
Entweder 2u− 21 = 0, d.h. u = 14 . Dann folgt v = 58 und damit wird zwischen
11
v, g(v)) = ( 58 , − 16
(qu, f (u)) = ( 14 , 161 ) und (q
) der minimale Abstand d =
√
1
9
9
( 14 − 85 )2 + ( 16
+ 11
)2 = 64
+ 16
= 83 5.
16
4. Bestimme die Tangential-Ebene von f (x, y) = x2 − y 2 + 1 allgemein in
(xo , yo ) und speziell im Ursprung ~0 (Skizze?). Begründe geometrisch und
analytisch, ob der Ursprung eine Extremwertstelle ist.
(12 Pkt)
je 1 für partielle Ableitungen, 1 für allg. Tangential-Ebene, 1 für TangentialEbene in ~0, 1 für fx = 0 = fy , 3 für fxx fyy − (fxy )2 < 0, 1 für ‘also keine
Extremwertstelle’, 3 für f (0, y) und f (x, 0) und Vergleich mit f (0, 0) = 1
z = f (xo , yo ) + 2xo (x − xo ) − 2yo (y − yo ) in (xo , yo ) und z = 1 in ~0.
geometrisch: z = 1 (waagerechte Tangentialebene) spricht für Extremwertstelle, f (x, 0) = 1 + x2 > 1 zugleich mit f (0, y) = 1 − y 2 < 1 bedeutet: ~0 ist
keine Extremwertstelle.
analytisch: fx = 0 = fy in ~0, aber fxx fyy − (fxy )2 = 2(−2) − 02 = −4 < 0.
Also ist ~0 keine Extremwertstelle.
Summe (50 Pkt)
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
9
32
Klausur Dgl & mehrdimensionale Analysis,
WS96
Klausur
Differentialgleichungen
E3N
Name
14.1.97
Matrikel
1. An der Reihenschaltung des Widerstandes R mit der Induktivität L liegt
ab t = 0 die Spannung u(t) = Uo sin(ωt) an. Bestimme den Strom ı(t) mit
der Anfangsbedingung ı(0) = 0.
(4 Pkt)
Bestimme ı(t) in quadratischer Näherung für kleine t, d.h. berechne die
ersten drei Terme der Taylor-Reihe von ı(t) und zeige damit, daß ı(t) für
kleine t unabhängig von R ist.
(3 Pkt)
2. Zwischen welchen Stellen zweier geradliniger Hochspannungsleiter und bei
welcher Spannung ist ein Überschlag zu erwarten?
Die Leiter seien als die Strecken von p~o = (2, −2, 0) bzw. ~qo = (0, 2, −2)
nach p~1 = (0, 2, 2) bzw. ~q1 = (−2, −2, 0) gegeben. Bestimme die Punkte
minimalen Abstandes und diesen Abstand unter Verwendung der Parameterdarstellung der beiden (windschiefen) Strecken im R3 .
(5 Pkt)
~ r) der im Ursprung befindlichen Punktladung Q sei
3. Im elektrischen Feld E(~
die Probeladung q von ~ro = (ρ, 0, 0) nach ~r1 = (ρ, 0, h) mit ρ, h > 0 zu
bewegen. Welche Arbeit W ist dazu aufzuwenden?
(1 Pkt)
Bestimme durch Berechnung des Kurvenintegrals die Arbeit W , die aufzuwenden ist, um q schraubenförmig in einer Umdrehung um die z-Achse von
~ro nach ~r1 zu bewegen (Skizze).
(3 Pkt)
~
Welche drei Eigenschaften von E implizieren jeweils seine Konservativität?
Was bedeutet diese für die aufzuwendende Arbeit W ?
(2 Pkt)
4. Schüttgut S in einem Silo wird verdichtet, so daß seine Dichte d(x, y, z)
(Masse/Volumen) etwa proportional zur Höhe des darüberliegenden Schüttgutes anwächst, d.h. d(x, y, z) = do +c(h−z), wobei h die Füllhöhe des Silos
an der Stelle (x, y) ist und do sowie c Materialkonstanten des Schüttgutes
sind.
RRR
Bestimme die Masse M =
d(x, y, z) dx dy dz einer quaderförmigen SiloS
Füllung S = {(x, y, z) : |x| ≤ xo , |y| ≤ yo , z ∈ [0, h]}.
(2 Pkt)
Summe (20 Pkt)
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
Lösungen Klausur
Differentialgleichungen
33
E3N
14.1.97
1. An der Reihenschaltung des Widerstandes R mit der Induktivität L liegt
ab t = 0 die Spannung u(t) = Uo sin(ωt) an. Bestimme den Strom ı(t) mit
der Anfangsbedingung ı(0) = 0.
(4 Pkt)
1 für homogen, 1 für inhomogenen Ansatz, 1 für LGS plus Lösung, 1 für
Anfangsbedingung
Bestimme ı(t) in quadratischer Näherung für kleine t, d.h. berechne die
ersten drei Terme der Taylor-Reihe von ı(t) und zeige damit, daß ı(t) für
kleine t unabhängig von R ist.
(3 Pkt)
1/2 für exp-Reihe, 1/2 für sin-Reihe, 1/2 für cos-Reihe, 1/2 für gliedweise
Summation, 1 für explizite Summe
Für den Strom gilt die Differentialgleichung L ddtı +R ı(t) = U0 sin(ωt) mit der
Anfangsbedingung ı(0) = 0. Die zugehörige homogene Differentialgleichung
dı
+R
ı(t) = 0 hat wegen p(b) = b + R
die Lösungsgesamtheit ıhom (t) =
dt
L
L
−tR/L
ce
.
Der Ansatz ıs (t) = b1 sin(ωt) + bo cos(ωt) für eine spezielle Lösung führt auf
das LGS −Lωbo + Rb1 = Uo und Lωb1 + Rbo = 0 und damit auf die Lösung
o
der inhomogenen Differentialgleichung ıs (t) = c e−tR/L + L2 ωRU
2 +R2 sin(ωt) −
LωUo
cos(ωt) und mit der Anfangsbedingung ı(0) = 0 eben auf ı(t) =
L2 ω 2 +R2
LωUo
o
e−tR/L − cos(ωt)) + L2 ωRU
2 +R2 sin(ωt).
L2 ω 2 +R2 (
Für kleine t wird unter Verwendung der ersten drei Glieder der TaylorReihen von e−tR/L , cos(ωt) und sin(ωt) der Strom näherungsweise durch
R2 2
ω2 2
RUo
RωUo
o
1− R
t + 2L
ı(t) ≈ L2LωU
2 t − 1 + 2 t ) + L2 ω 2 +R2 (ωt) = t( − L2 ω 2 +R2 +
ω 2 +R2 (
L
RωUo
1 R2 +L2 ω 2
o
o 2
+ t2 L2LωU
= ωU
t bestimmt. Für kleine t ist also der
L2 ω 2 +R2 )
ω 2 +R2 2
L2
2L
Strom unabhängig von R.
2. Zwischen welchen Stellen zweier geradliniger Hochspannungsleiter und bei
welcher Spannung ist ein Überschlag zu erwarten?
Die Leiter seien als die Strecken von p~o = (2, −2, 0) bzw. ~qo = (0, 2, −2)
nach p~1 = (0, 2, 2) bzw. ~q1 = (−2, −2, 0) gegeben. Bestimme die Punkte
minimalen Abstandes und diesen Abstand unter Verwendung der Parameterdarstellung der beiden (windschiefen) Strecken im R3 .
(5 Pkt)
1 für Ansatz, 1/2 je Parameterdarstellung, 1/2 je partielle Ableitung, 1 für
LGS incl. Lösung, 1 für Punkte und Abstand, 2 Zusatz für Minimum
Es gilt ~r1 (s) = (2, −2, 0) + s(0 − 2, 2 − −2, 2 − 0), also ~r1 (s) = (2, −2, 0) +
s(−1, 2, 1) und ~r2 (t) = (0, 2, −2) + t(−2 − 0, −2 − 2, 0 − −2), also ~r2 (t) =
(0, 2, −2) + t(−1, −2, 1). Dann ist d2 (s, t) = |~r1 (s) − ~r2 (t)|2 = (2 − s + t)2 +
2
(−2 + 2s − 2 + 2t)2 + (s + 2 − t)2 , so daß einerseits ∂d ∂s(s,t) = −2(2 − s +
t) + 4(−4 + 2s + 2t) + 2(s + 2 − t) = 0 iff −8 + 6s + 2t = 0 oder 3s + t = 4
2
und andererseits ∂d ∂t(s,t) = 2(2 − s + t) + 4(−4 + 2s + 2t) − 2(s + 2 − t) = 0
iff −8 + 2s + 6t = 0 oder s + 3t = 4. Zusammen also 3(4 − 3t) + t = 4 oder
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
34
t = 1 und daher auch s = 1. Es gilt ~r1 (1) = (1, 0, 1) und ~r2 (1) = (−1, 0, −1)
√
sowie d2 (1, 1) = 22 + 0 + 22 . Damit ist der minimale Abstand d(1, 1) = 2 2.
~ r) der im Ursprung befindlichen Punktladung Q sei
3. Im elektrischen Feld E(~
die Probeladung q von ~ro = (ρ, 0, 0) nach ~r1 = (ρ, 0, h) mit ρ, h > 0 zu
bewegen. Welche Arbeit W ist dazu aufzuwenden?
(1 Pkt)
Bestimme durch Berechnung eines Kurvenintegrals die Arbeit W , die aufzuwenden ist, um q schraubenförmig in einer Umdrehung um die z-Achse
von ~ro nach ~r1 zu bewegen (Skizze).
(3 Pkt)
~
Welche drei Eigenschaften von E implizieren jeweils seine Konservativität?
Was bedeutet diese für die aufzuwendende Arbeit W ?
(2 Pkt)
1 für Skript W ≈ |~r1o | − |~r11 |
1 für Integral, 1 für Substitution, 1 für Berechnung
~ = 0, Integrabilitätsbedingungen
je 1 für Potentialfunktion, rot E
Für F~ (~r) = c |~r~r|3 gilt allgemein W = c( |~r1o | − |~r11 | ), hier also speziell W =
c( ρ1 − √ 21 2 ).
ρ +h
Eine Parameter-Darstellung der angegebenen Schraubenlinie ist hier ~r(t) =
(ρR cos(2πt), ρ sin(2πt), htR ) für t ∈ [0, 1]. Also gilt für die Arbeit W =
2
1
1
c o F~ (~r(t)) · ~r˙ (t) dt = c o √ h t dt 3 und mit der Substitution u = ρ2 + h2 t2
2
ρ +h2 t2
R
und du = 2h2 t dt eben W = 2c √duu3 = − √cu = . √ 2 c 2 2 —01 = c ( ρ1 −
ρ +h t
√ 1
ρ2 +h2
) = c(
1
|~
ro |
−
1
|~
r1 |
), wie zu erwarten, da F~ konservativ ist.
4. Schüttgut S in einem Silo wird verdichtet, so daß seine Dichte d(x, y, z)
(Masse/Volumen) etwa proportional zur Höhe des darüberliegenden Schüttgutes anwächst, d.h. d(x, y, z) = do +c(h−z), wobei h die Füllhöhe des Silos
an der Stelle (x, y) ist und do sowie c Materialkonstanten des Schüttgutes
sind.
RRR
Bestimme die Masse M =
d(x, y, z) dx dy dz einer quaderförmigen SiloS
Füllung S = {(x, y, z) : |x| ≤ xo , |y| ≤ yo , z ∈ [0, h]}.
(2 Pkt)
1/2 je Integral dx bzw. dy, 1 für Integral dz
Rx Ry Rh
M = −xo o −yo o o (do + c(h − z))dz dy dx = 4 xo yo ((do + ch)z − 2c z 2 )—h0 =
4 do xo yo h + 2 c xo yo h2 .
Summe (20 Pkt)
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
10
35
Klausur Dgl & mehrdimensionale Analysis,
WS95
Klausur
Differentialgleichungen
Name
E3N1
17.1.96
Matrikel
R
R
1. Zeige: Für f~(x, y, z) = (x + yz, y + zx, z + xy) gilt C1 f~ · d~r = C2 f~ · d~r,
wobei C1 und C2 zwei Wege vom Ursprung ~0 nach (1, 1, 1) sind.
R
a) Berechne C1 f~ · d~r für C1 mit Parametrisierung ~r1 (t) = t(1, 1, 1) für
t ∈ [0, 1],
(2 Pkt)
R
b) Berechne C2 f~ · d~r für C2 mit Parametrisierung ~r2 (t) = (t, t2 , t3 ) für
t ∈ [0, 1],
(2 Pkt)
R
c) Warum ist für diese Funktion f~ das Kurven-Integral C f~ · d~r grundsätzlich unabhängig vom p~ und ~q verbindenden Weg C für beliebige aber fest
gewählte Anfangs- und Endpunkte p~ und ~q?
(1 Pkt)
2. Verifiziere den Gauß’schen Integralsatz im Beispiel: Gegeben das Vektorfeld
V~ : R3 → R3 mit V~ (~r) = V~ (x, y, z) = (x2 + yz, y 2 + zx, z 2 + xy) und als
Bereich B der Einheitswürfel B = {(x, y, z) : 0 ≤ x, y, z ≤ 1}.
a) Bestimme eine Parameterdarstellung für jede der sechs Seiten des Einheitswürfels, also für die Oberfläche A von B.
(2 Pkt)
RR
~ wobei die Flächen-Normalen nach außen weisen
b) Berechne
V~ · dA,
A=∂B
(Igel). Nutze die Symmetrie.
(3 Pkt)
RRR
c) Berechne
div V~ (x, y, z) dx dy dz und vergleiche das Ergebnis mit dem
RR B
~ aus b).
Integral
V~ · dA
(4 Pkt)
A=∂B
3. In welcher Zeit kühlt ein Körper von 100o auf 25o bei einer Umgebungstemperatur von 20o ab, wenn er in 10 Minuten auf 65o abkühlt? (Nach Newton
gilt ddtT = −k(T − To ) für eine Konstante k > 0)
(4 Pkt)
4. An dem Widerstand R und der Induktivität L – in Serie geschaltet – liege
die Spannung u(t) = kt für eine Konstante k > 0 an. Bestimme den Strom
ı(t) unter der Anfangsbedingung ı(0) = 0.
(6 Pkt)
(Summe 24 Punkte)
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
Klausur-Lösungen
Differentialgleichungen
36
E3N1
??.1.96
R
R
1. Zeige: Für f~(x, y, z) = (x + yz, y + zx, z + xy) gilt C1 f~ · d~r = C2 f~ · d~r,
wobei C1 und C2 zwei Wege vom Ursprung ~0 nach (1, 1, 1) sind.
R
a) Berechne C1 f~ · d~r für C1 mit Parametrisierung ~r1 (t) = t(1, 1, 1) für
t ∈ [0, 1],
(2 Pkt)
R1
R
R1
f~(~r) · d~r = 0 f~(t, t, t) · (1, 1, 1) dt = 0 (t + t2 , t + t2 , t + t2 ) · (1, 1, 1) dt =
RC11
3(t + t2 ) dt = 3( 21 t2 + 31 t3 )|10 = 52 .
0
R
b) Berechne C2 f~ · d~r für C2 mit Parametrisierung ~r2 (t) = (t, t2 , t3 ) für
t ∈ [0, 1],
(2 Pkt)
R
R
R1
1
f~(~r) · d~r = 0 f~(t, t2 , t3 ) · (1, 2t, 3t2 ) dt = 0 (t + t5 , t2 + t3 t, t3 + tt2 ) ·
C2
R1
(1, 2t, 3t2 ) dt = 0 (t + t5 + 2t3 + 2t5 + 3t5 + 3t5 ) dt = ( 21 t2 + 12 t4 + 96 t6 )|10 = 52 .
R
c) Warum ist das Kurven-Integral C3 f~ · d~r grundsätzlich unabhängig vom
~0 und (1, 1, 1) verbindenden Weg C?
(1 Pkt)
Weil die Funktion F (x, y, z) = 21 (x2 + y 2 + z 2 ) + xyz wegen grad F =
, ∂F , ∂F ) = (x + yz, y + zx, z + xy) = f~ eine Stammfunktion von f~ ist.
( ∂F
∂x ∂y ∂z
2. Verifiziere den Gauß’schen Integralsatz im Beispiel: Gegeben das Vektorfeld
V~ : R3 → R3 mit V~ (~r) = V~ (x, y, z) = (x2 + yz, y 2 + zx, z 2 + xy) und als
Bereich B der Einheitswürfel B = {(x, y, z) : 0 ≤ x, y, z ≤ 1}.
a) Bestimme eine Parameterdarstellung für jede der sechs Seiten des Einheitswürfels, also für die Oberfläche A von B.
(2 Pkt)
Die Seite Bx=0 = {~r = (0, y, z) : 0 ≤ y, z ≤ 1} ist der Schnitt von B
mit der Ebene x = 0, die Seite Bx=1 = {~r = (1, y, z) : 0 ≤ y, z ≤ 1}
ist der Schnitt von B mit der Ebene x = 1, usw. Etwa für ~r ∈ Bx=0 ist
∂~
r
∂~
r
× ∂z
= (0, 1, 0) × (0, 0, 1) = ~ey × ~ez = ~ex
∂y
RR
~ wobei die Flächen-Normalen nach außen weisen
b) Berechne
V~ · dA,
A=∂B
(Igel). Nutze die Symmetrie.
(3 Pkt)
RR
R1R1
~=−
Es gilt Φx=0 :=
V~ · dA
(0 + yz, y 2 + 0, z 2 + 0) · ~ex dy dz =
0 0
A=Bx=0
R1R1
R1
RR
R R
~ = 1 1 (1+
− 0 0 yz dy dz = − 0 z2 dz = − 41 und Φx=1 :=
V~ · dA
0 0
A=Bx=1
R
R
R
1 1
1
yz, y 2 +z, z 2 +y) · ~ex dy dz = 0 0 (1+yz) dy dz = 0 (1+ z2 ) dz = 1 + 41 . Analog
ergibt sich für die anderen beiden Seiten-Paare Φy=0 = Φz=0 = − 41 und
Φy=1 = Φz=1 = 1 + 14 , so daß insgesamt Φ = Φx=0 + Φx=1 + Φy=0 + Φy=1 +
Φz=0 + Φz=1 = 3 folgt.
RRR
c) Berechne
div V~ (x, y, z) dx dy dz und vergleiche das Ergebnis mit InB
tegral
RR
A=∂B
~ aus b).
V~ · dA
(4 Pkt)
Th. Risse, HSB: Mathematik WS06
37
RRR
R1R1R1
Wegen div V~ (~r) = 2x+2y+2z = 2(x+y+z) ist
div V~ dB = 0 0 0 2(x+
R1R1
R1 B
y +z) dx dy dz = 2 0 0 ( 12 +y +z) dy dz = 2 0 ( 21 + 21 +z) dz = 2(1 + 12 ) = 3,
womit der Gaußsche Integralsatz für dieses Beispiel verifiziert ist.
3. In welcher Zeit kühlt ein Körper von 100o auf 25o bei einer Umgebungstemperatur von 20o ab, wenn er in 10 Minuten auf 65o abkühlt? (Nach Newton
(4 Pkt)
gilt ddtT = −k(T − To ) für eine Konstante k > 0)
R
dT
= −k(T − To ) also ln(T − To ) = T dT
= −kt + c liefert T = To + ce−kt
dt
−To
und wegen T (0) = T1 damit T (t) = To + (T1 − To )e−kt , speziell also T (t) =
20+80 e−kt , wobei sich k aus T (10) = 60 = 20+80 e−k 10 zu 2 = e10k oder zu
k = 0.1 ln 2 bestimmt. Also folgt aus 25 = 20+80 e−0.1(ln 2)t ln 16 = 0.1(ln 2)t
= 40 Minuten.
oder t = 10 lnln16
2
4. An dem Widerstand R und der Induktivität L – in Serie geschaltet – liege
die Spannung u(t) = kt für eine Konstante k > 0 an. Bestimme den Strom
ı(t) unter der Anfangsbedingung ı(0) = 0.
(6 Pkt)
Die Differentialgleichung L ddtı + Rı = kt hat p(b) = Lb + R mit der NS − R
L
R
und damit ıhom (t) = c e− L t .
Der Ansatz ıp (t) = d1 t + do liefert eingesetzt Ld1 + R(d1 t + do ) = kt und
Lk
per Koeffizientenvergleich ıp (t) = Rk t − R
2.
Damit ist die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung
R
Lk
ı(t) = c e− L t + Rk t − R
2 . Aus der Anfangsbedingung ı(0) = 0 ergibt sich
k
Lk − R
t
L − 1).
die Lösung ı(t) = R t + R
2 (e