¨Ubungsaufgaben zur Vorlesung Lineare Algebra II

Übungsaufgaben zur Vorlesung Lineare Algebra II
Sommersemester 2017, Prof. Dr. B. Fritzsche
Serie 11 - Abgabe am 26.06.2017 vor der Vorlesung
11-1. Sei A ∈ Cq×q hermitesch.
(a) Weisen Sie nach, dass A genau dann nichtnegativ hermitesch ist, wenn der kleinste Eigenwert von A
nichtnegativ ist.
(b) Zeigen Sie, dass A genau dann positiv hermitesch ist, wenn der kleinste Eigenwert von A positiv ist.
11-2. Seien A und B hermitesche komplexe q × q-Matrizen. Dann wird B ≤ A oder auch A ≥ B geschrieben,
wenn A − B eine nichtnegativ hermitesche komplexe q × q-Matrix ist. Zeigen Sie, dass durch ”≤” eine
Halbordnung (, die sogenannte Löwner-Halbordnung,) auf der Menge Cq×q
aller hermiteschen komplexen
H
q × q-Matrizen definiert wird, die im Fall q ≥ 2 keine (totale) Ordnung ist, und im Fall q = 1 mit der
üblichen Halbordnung ”≤” in R übereinstimmt.
11-3. Sei A ∈ Cq×q (bzw. A ∈ Rq×q ). Weisen Sie folgende Äquivalenzen nach:
(a) Es ist A genau dann nichtnegativ hermitesch (bzw. nichtnegativ definit), wenn jede Hauptuntermatrix von A nichtnegativ hermitesch (bzw. nichtnegativ definit) ist.
(b) Es ist A genau dann positiv hermitesch (bzw. positiv definit), wenn jede Hauptuntermatrix von A
positiv hermitesch (bzw. positiv definit) ist.
11-4. Seien n ∈ N und (xj )nj=1 eine Folge von Vektoren aus Cq . Bezeichne
Gn := (hxj , xk iE )nj,k=1
die zugehörige Gramsche Matrix. Beweisen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
(i) Die Vektoren x1 , x2 , . . . , xn sind linear unabhängig.
(ii) det Gn 6= 0.
(iii) Gn ∈ Cn×n
> .
11-Z. Seien K ∈ {R, C} sowie P ∈ Kq×q
> .
(a) Begründen Sie, dass h·, ·iP : Kq × Kq → K gemäß hx, yiP := y ∗ P x ein Skalarprodukt auf Kq ist und
geben Sie die zugehörige Norm k·kP an.
(b) Begründen Sie, dass
Q :=
1
8
5
√
− 3
√ − 3
7
eine positiv definite Matrix ist und skizzieren Sie
W := {x ∈ R2 : kxkQ = 1}.