Geometrie des Universums

Die Geometrie
des Universums
Max Camenzind
Akademie Heidelberg
November 2014
Komet 67P
Komet 67P:
Perihel: 1,2432 AE
Aphel: 5,689 AE
a = 3,463 AE
e = 0,6412
P = 6,44 a
i = 7,04
PRot = 12,4 h
67P Kometenbahn 2015
Zusammenfassung der
5 Axiome Einsteins von 1915
• Einstein1: Flache Minkowski RaumZeit wird durch
Riemann Mannigfaltigkeit ersetzt, jedoch lokal in jedem
Punkt Minkowski (EEP)  es existiert ein ds² zur
Messung der Länge (= Eigenzeit) von Weltlinien.
• Einstein2: Gravitation wird durch den metrischen
Transport auf RaumZeit beschrieben ( keine Torsion).
• Einstein3: Testkörper (auch Planeten, Neutronensterne,
Schwarze Löcher) bewegen sich auf Geodäten: ds² > 0;
Photonen auf Nullgeodäten: ds² = 0  SEP erfüllt.
• Einstein4: Materieverteilung T in der RaumZeit bestimmt die Krümmung  Ricc – R g/2 = k T
• Einstein5: Nicht-gravitative Kräfte (EM, QCD) verhalten
sich im frei fallenden System wie in der SRT  EEP erf.
Materie & Energie krümmen
die RaumZeit (Einstein 1915)
G: Newtonsche Konstante
Energie-Impuls Tensor im
Ruhsystem der Materie  Matrix
r: totale Massen-Energiedichte (Baryonen, Phot)
p: totaler Druck; Photonen, ns: p = rc²/3
Riemann-Tensor der RaumZeit
Ricci-Tensor der RaumZeit
+ Kosmologische Konstante 1917
Rik  2 Rgik  gik  (8G / c )Tik
4
1
Krümmung
Kosmol. Konstante
Materie
Rik Ricci Tensor mit Spur R = Rmm:
folgt aus Riemann Tensor
Albert Einstein 1915:
Jede Form der Materie erzeugt Krümmung R
(auch Photonen, Felder, Vakuum-Energie)
Ex1: RaumZeit eines Sterns
 Sonne, Erde, Neutronensterne, SL
Symmetrie lässt
nur 2 Funktionen
frei:
F(r): „Gravitationspotenzial“
B(r): Krümmung
des 3-Raumes
B(r) > 1: Volumen
größer als
Euklidisch
 (r,f)-Fläche
ds² = exp(2F(r)) c²dt² B²(r) dr² - r² (dq² + sin²q df²)]
 Lichtablenkung an Sonne
Gravitation krümmt
den Raum
Minkowski RaumZeit
Core eines massereichen
Sterns kollabiert auf SLoch
RaumZeit Sternkollaps
Bestätigung im Sonnensystem
• Gravitative Rotverschiebung (30% bei NS).
• Lichtablenkung an Sonne und Jupiter.
• Periheldrehung der Planeten, insbesondere von Merkur: 43`` pro Jahrhundert.
• Shapiro-Laufzeitverzögerung.
• Diese Effekte treten verstärkt auch bei
Binär-Pulsaren auf.
• Binär-Pulsare zeigen, dass Gravitationswellen existieren (gibt es in Newtonscher
Physik nicht).
Wie stellen Sie sich
unser Universum vor?
Wie groß? Wie alt? Struktur?
Antike Vorstellung
Einstein 1917
Van Gogh 1889
Das Moderne Universum
Albert Einstein
Deutsch
Allgemeine
Relativität (1915);
Statisches, geschl.
Universum (1917)
W. de Sitter
Holländer
Vakuum-Energiegefülltes expand.
Universum
“de Sitter” (1917)
A. Friedmann
Russe
H.P. Robertson
Amerikaner
A.G. Walker
Britisch
Allgemeine Herleitung der Metrik eines
isotropen und homogenen Universums in
ART “Robertson-Walker Metrik” (1935-6)
Väter des Modernen Universums
G. Lemaître
Belgier
Entwicklung eines homogenen,
expandierenden Universums
“Friedmann Modelle”
(1922/1924)
„Ur-Atom“ 1927 / 1931
hat den Big Bang erfunden
Weder Erde noch Sonne
im Zentrum des Universums !
Kosmologisches Prinzip
(Milne 1933)
1. Wir befinden uns an keiner
ausgezeichneten Position des
Universums ( kein Zentrum).
2. Das Universum ist isotrop.
 Erst von 1990 - 2008 nachgewiesen!
1998 – 2007 SDSS DR7
Isotropie der Galaxienverteilung auf Sphären
600 Mpc
420 Mpc
Jeder Punkt
ist eine Galaxie
Isotropie der CMB-Strahlung
COBE 1993 – T-Anisotropien
2006
Temperaturschwankungen DT = 30 µK in der
Hintergrundstrahlung, auf Skalen > 7 Grad,
aufgenommen durch COBE (Mission 1989–1993)
WMAP  Photosphäre isotrop
Auflösung 14´ reicht nicht ; 20´  80 Mpc
X
DT
5
 10
T
Rot: wärmer
Blau: kühler
DT < +-100 micro-Kelvin um <T> = 2,725 Kelvin
Konstruktion des Universums
Fortsetzung des antiken Modells !
Jeder Beobachter sieht einen andern Teil
Kuiper-Gürtel
Planeten-Sphären
FixsternSphären
GalaxienSphären
PhotoSphäre
Big Bang
Wir sind
scheinbar
im Zentrum
des
Universums
r=0
Jede
KugelSchale:
r = const
Dr = 100 Mpc
Kugelschalen
expandieren
mit der Zeit
r  a(t) r
Kosmische Sphären
Photosphäre des
Universums
3000 K
2,725 K
r
GalaxienSphären
Strahlungs-Sphäre
Modernes Universum
Kosmische Sphären
Photosphäre
Universum
 CMB 1965
r=0
?
 je tiefer umso jünger
381000 a
Alter des Universums in Mrd. Jahren
0
Welche Geometrie hat Kosmos?
• Wie sieht der Raum aus ds2 ?
• Aus Kosmologischen Prinzip
(Isotropie um jeden Punkt)
 räumliche Krümmung
überall konstant.
•  Nur 3 Möglichkeiten:
• 3-Sattel – negative
Krümmung: K < 0
• 3-Sphäre – positive
Krümmung: K > 0
• Flacher E3 – keine
Krümmung: K = 0
RaumZeit expandierendes Universum
 3 Friedmann-Lemaître Weltmodelle
Streckung des 3-Raumes in der Minkowski RaumZeit: r  a(t) r ;
k=0
ds² = c²dt² a²(t) [dr² + r²(dq² + sin²q df²)]
Expansion der 3-Sphäre + Erweiterung auf RaumZeit / Friedmann 1922
k = +1
ds² = c²dt² R²(t) [dc² + sin²c (dq² + sin²q df²)]
Expansion der 3-Hyperboloid-RaumZeit / Friedmann 1924
k = -1
ds² = c²dt² R²(t) [dc² + sinh²c (dq² + sin²q df²)]
Metrik ist diagonal (aus Symmetriegründen)!
a(t) : Expansionsfaktor  Streckung des 3-Raumes
R(t) : Radius des Universums  zeitabhängig
Die Geometrie des Universums
Abstand der Kugelschalen
Kugelschalen mit Radius a(t)r
Räumliche Krümmung {+1,0,-1}
r,q,f sind co-moving Koordinaten (“Labels” für Galaxien).
t: ausgezeichnete kosmische Zeit (gemessen von Atomuhren
im Zentrum von Galaxienhaufen – Virgo, Coma, …).
dr = a(t) dr : Distanzen gestreckt (isotrope Expansion).
a(t) ist eine Funktion der Zeit und r bleibt konstant.
a(t) ist als Skalenfaktor des Universums bekannt und mißt
die universelle Expansionsrate des Universums.
a(t0) = 1 normiert, wobei t0 die heutige Zeit (Alter d. Univ.).
Der Krümmungsparameter
Wk = - kc²/(H0²R0²)
c/H0: Hubble Radius
Falls R0 >> c/H0  Wk ~ 0
 so erscheint das
Universum fast flach!
 Konsequenz aus Inflation
Das Friedmann-Universum erklärt
• Dieses Friedmann-Modell des expandierenden Universums erklärt folgendes:
•  1. wie Photonen im Universum
propagieren  globale Lichtkegelstruktur;
•  2. die kosmische Rotverschiebung z;
•  3. das Hubble-Gesetz und seine nichtlineare Erweiterung für z > 0,1;
•  4. Distanzen im Universum als Func(z);
•  5. Winkeldurchmesser als Func(z).
•  6. Alter des Universums als Func(z).
Fazit
• Das Universum ist eine 4 dim. Mannigfaltigkeit,
sprich RaumZeit, salopp „eine 4D Fläche“.
• Die Isotropie der Materieverteilung lässt nur 3
Modelle zu: E³, 3-Sphäre & 3-Hyperboloid. Dies
kann mathematisch genau erschlossen werden.
•  zum sog. Krümmungsparameter k = 0,+1,-1.
• Es existiert eine ausgezeichnete Zeit t, eine sog.
geodätische Zeit.
• Galaxien werden durch ihren Abstand r und 2
Winkel bestimmt:  Rektaszension und
Deklination.
• Der einzige Freiheitsgrad:  Expansionsskalar a(t)