ElMag - Formelsammlung

ElMag - Formelsammlung
S. Reinli
Inhaltsverzeichnis
M. Gisler
26. Januar 2017
1 Mathematische Grundlagen
1.1 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Differentialrechnung . . . . . . . . . . .
1.3 Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung
1.4 Integralgesetze . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Weiteres . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
3
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6
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2 Elektrostatische Analyse (ES, Electrostatic Analysis)
2.1 Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Differenzialgleichungen der elektrostatischen Analyse
2.3 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Stationäre Strömungsanalyse (SCD, Stationary Current Distribution)
3.1 Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Differenzialgleichungen der elektrostatischen Analyse . . . . . . . .
3.3 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Magnetostatische Analyse (MS, Magnetostatic Analysis)
4.1 Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Differenzialgleichungen der magnetostatischen Analyse
4.3 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Magnetoquasistatische Analyse (MQS, Magnetoquasistatic Analysis)
5.1 Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Differenzialgleichungen der magnetoquasostatischen Analyse . . . .
5.3 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Maxwell Gleichungen
6.1 Maxwell Gleichungen . . . . . . . . . .
6.2 Erstes Maxwell-Gesetz . . . . . . . . .
6.3 Zweites Maxwell-Gesetz . . . . . . . . .
6.4 Drittes Maxwell-Gesetz . . . . . . . . .
6.5 Viertes Maxwell-Gesetz . . . . . . . . .
6.6 Elektromagnetische Wellengleichung . .
6.7 Randbedingungen . . . . . . . . . . . .
6.8 Randwertproblem . . . . . . . . . . . .
6.9 Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10 Grundlagen zu den Maxwellgleichungen
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7 FEM (Finite-Element-Methode)
8 Anwendungen
8.1 Dielektrische Berechnung von Hochspannungsgeräten . .
8.2 Wirbelströme in Transformatoren . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Elektromagnetische Analyse von Elektrischen Maschinen
8.4 Eigenwertanalyse von Wellenleitern . . . . . . . . . . . .
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Mathematische Grundlagen
1.1
Vektorfelder
1.1.1
Divergenz
Die Divergenz beschreibt die Quellendichte eines Skalarfeldes. Interpretiert man ein Vektorfeld als Strömungsfeld,
so gibt die Divergenz für jede Stelle die Tendenz an, ob ein Teilchen in der Nähe zu diesem Punkt hin- bzw. von
diesem Punkt wegfliesst. Es sagt damit aus, ob und wo das Vektorfeld Quellen (Divergenz grösser als Null) oder
Senken (Divergenz kleiner als Null) hat. Ist die Divergenz überall gleich Null, so bezeichnet man das Feld als
quellenfrei.
~ ∇F
~ BF
div F
Bx
1.1.2
BF BF
B y Bz
Rotation
Interpretiert man ein Vektorfeld als Strömungsfeld, so gibt die Rotation für jeden Ort an, wie schnell und um
welche Achse ein mitschwimmender Körper rotieren würde. Ein Vektorfeld, dessen Rotation überall null ist, nennt
man wirbelfrei.
p
F 3 q y p F 2 qz
BF
BFz BFy BFx BFz y
B
Fx
~
~
rotpFq ∇ F pF1 qz pF3 qx B y Bz êx
Bz Bx êy
Bx B y êz
pF2qx pF1qy
1.1.3
ex
B
det B x
Fx
ey
B
Bx
Fy
ez B Bx Fz Gradient
Der Gradient zeigt in einem Vektorfeld immer in die Richtung des steilsten Anstiegs.
Bf Bx
B f êx B f êy B f êz
gradp f q ∇ f BB yf Bx
By
Bz
Bf
Bz
1.1.4
Vektorpotential
Das Vektorpotential A(r) ist eine Hilfsgrösse um den Umgang mit der magnetischen Flussdichte B(r) zu vereinfachen.
B µH
B rot A
¸
ϕ Adr
C
1.1.5
Vektorfeldoperatoren
Nabla-Operator ∇
Laplace-Operator ∆
Operator um kontextabhängig
Operator um einem Skalarfeld
Divergenz, Rotation oder Gradient darzustellen
die Divergenz seines Gradienten zuzuordnen
∇F BF
Bx
BF
By
BF
Bz
∆F B2 F
Bx2 F
B2 F2
By
B2
B z2
~ divpgradpF
~qq
∆F
~ ∇ p∇ F
~q
∆F
S. Reinli
M. Gisler
26. Januar 2017
ElMag - Formelsammlung (Revision : 1.0)
1.1.6
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Rechenregeln
• rotpgrad f q 0
• divprot ~
vq 0
“Gradientenfeld ist wirbelfrei”
“Feld der Rotation ist quellenfrei”
• divp f ~
vq pgrad f q ~
v
f div ~
v
• rotp f ~
vq pgrad f q ~
v
f rot ~
v
• rotprot ~
vq gradpdiv ~
vq ∆~
v
1.1.7
Laplace-Operator Koordinatentranfsormation
• Laplace-Operator in kartesischen Koordinaten
∆Upx, y, zq B2 B2 B2
B x2 B y2 B z2
• Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten
∆Upρ, ϕ, zq 1 B
ρ Bρ
B
U
ρ
Bρ
1 B2U
r2 B ϕ2
B2U
B z2
• Laplace-Operator in Kugelkoordinaten
∆Upr, ϑ, ϕq 1.2
1.2.1
1 B
r2 B r
2
r
BU Br
1
B
2
r sinpϑq B ϑ
B
U
sinpϑq
Bϑ
1
B2U
r2 sin2 pϑq B ϕ2
Differentialrechnung
Ableitungsregeln
Konstantenregeln
Faktorenregeln
Summenregel
Produktregel
Quotientenregel
Kettenregel
Potenzregel
c1
01
pcuq1 cu1
pu vq1 u1 v1
puvq1 u1v uv1
p uv q1 u vuuv
dv
y upvpxqq; y1 du
dv dx
puaq1 aua1
p u1 q1 uu
?
1
f pxq x; f 1 pxq 2 ?
x
u
1
ln u u
p f 1q1p yq f 1pxq
1
1
2
1
2
Wurzelregel
Logarithmusregel
Differentation der Umkehrfunktion
S. Reinli
M. Gisler
1
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ElMag - Formelsammlung (Revision : 1.0)
1.2.2
Seite 4 von 19
Ableitung elementarer Funktionen
Funktion
Ableitung
Funktion
C (Konstante)
0
sec x
x
1
sec1 x
xn (n P R)
nxn1
arcsin x
p|x| 1q
1
x
x12
arccos x
p|x| 1q a
1
xn
xnn 1
arctan x
1
?
2 x
arccot x
?x
?x pn P R, n , 0, x ¡ 0q
n
ex
pb P R q
ebx
ax
pa ¡ 0q
abx
pb P R, a ¡ 0q
ln x
loga x
pa ¡ 0, a , 1, x ¡ 0q
n
n x
sin x
cos2 x
cos x
arcsec x
x
sinh x
cosh x
ax ln a
cosh x
sinh x
babx ln a
tanh x
1
x
1
1
loga e x
x ln a
coth x
px , 0 q
arcoth x
p|x| ¡ 1q
sin2 x
1
cosh2 x
1
sinh2 x
1
a
arsinh x
sin x
1
cos2 x
1
x
1
cos x
M. Gisler
1
bebx
x
p|x| 1q
S. Reinli
x
a 12
artanh x
px , kπ, k P Zq
a 12
arcossec x
cos x
cot x
1 x2
ex
sin x
π
1q , k P Zq
2
1 x2
1
x2
1 1 x2
px ¡ 1 q
px , p2k
a
1
arscosh x
tan x
sin2 x
1
1
1
0.4343
lg e x
x
lg x
p x ¡ 0q
?1 n1
Ableitung
sec2 x
r f pxqsn pn P Rq
cosec2x
ln f pxq
p f pxq ¡ 0q
a
1 x2
1
x2 1
1
1 x2
x2 1 1
nr f pxqsn1 f 1 pxq
f 1 pxq
f px q
26. Januar 2017
ElMag - Formelsammlung (Revision : 1.0)
1.3
Seite 5 von 19
Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung
Form: y2 a1 y1 a0 y f pxq
Homogene Differentialgleichung: f pxq 0
Allgemeine Lösung einer DGL: Y yH yP
Störglied: f pxq
Inhomogene Differentialgleichung: f pxq , 0
Homogene Lösung yH
1.3.1
Durch Mitternachtsformel
lösen:
?
b b2 4ac
λ1,2 2a
Charakteristisches Polynom:
λ2 a1 λ a0 0
A1eλ x A2eλ x
yH eλ x pA1 A2 xq
yH e a x pA cospbq
Falls λ1 , λ2
yH
λ2
Falls λ1,2 a2 jb
Falls λ1
2
1
1
1
2 1
1
B sinpbqq
Partikuläre Lösung yP durch Form des Störglieds f pxq
1.3.2
Allgemeines Vorgehen:
1. Ermitteltes yP n mal ableiten
2. Ableitungen in DGL einsetzen
3. Koeffizientenvergleich
Störglied gpxq
Ansatz yp
k (Konstante)
A
xn
pn pxq bn xn
k emx
k cospb xq
k sinpb xq
k1 cospb xq
b1 x
k2 sinpb xq
k emx cospb xq
k emx sinpb xq
emx pk1 cospb xq
k coshpb xq
k sinhpb xq
k1 coshpb xq
b0
k2 sinpb xq
k2 sinhpb xq
k coshpb xq
k emx sinhpb xq
emx pk1 coshpb xq
em x
kx
pn pxq emx
x pk1 cospb xq
x
k2 sinhpb xq
emx
k2 sinpb xqq
pk1 cospb xq k2 sinpb xqq
x pk1 coshpb xq k2 sinhpb xqq
x emx pk1 coshpb xq k2 sinhpb xqq
emx
S. Reinli
M. Gisler
An xn
A1 x
A0
A emx
A cospb xq
B sinpb xq
emx pA cospb xq
A coshpb xq
B sinpb xqq
B sinhpb xq
emx pA coshpb xq
B sinhpb xqq
pA x Bq emx
pAn xn A1 x A0q emx
pA1 x B1q cospb xq pA2 x B2q sinpb xq
emx ppA1 x B1 q cospb xq pA2 x B2 q sinpb xqq
pA1 x B1q coshpb xq pA2 x B2q sinhpb xq
emx ppA1 x B1 q coshpb xq pA2 x B2 q sinhpb xqq
26. Januar 2017
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1.4
Seite 6 von 19
Integralgesetze
1.4.1
Der Satz von Gauss
Das Volumenintegral über die Divergenz eines Vektorfeldes wird in ein Oberflächenintegral umgewandelt.
ˆ
˛
~
~
~ dA
div Fdv F
BV
V
1.4.2
Der Satz von Stokes
Das Oberflächenintegral über die Rotation eines Vektorfeldes wird in ein Kurvenintegral umgewandelt.
ˆ
˛
~ F
~ dA
~ d~s
rot F
BA
A
1.4.3
Der Satz von Green
Die Greensche Formel beschreibt den Zusammenhang zwischen Wegintegral und einem Oberflächenintegral.
ˆ
BF2 BF1 dA ˛ F~ d~s
Bx B y
BA
A
1.5
Weiteres
Die Bedeutung der nachfolgenden Integralgleichungen ist die fundamentale Grundlage elektromagnetische Feldtheorie.
Der elektrische Strom erzeugt das elektrische Feld in seiner Umgebung (Gausssches Gesetz), der elektrische
Strom erzeugt das quellenfreie rotationssymmetrische magnetische Feld (Coulombsches Gesetz), die Verteilung
des magnetischen Feldes durch eine geschlossene Kurve ist der gesamte Strom durch die entsprechende Fläche
(Ampèresches Gesetz) und das zeitvariante magnetische Feld induziert eine elektrische Spannung (Faradaysches
Gesetz).
Durch die Gesetze von Stokes und Gauss können diese 4 Gesetze in die Maxwellgleichungen überführt werden.
Elektrostatik
Die Elektrostatik befasst sich mit ruhenden elektrischen Ladungen,
Ladungsverteilungen und den elektrischen Feldern geladener Körper
Die Phänomene der Elektrostatik rühren von den Kräften her, die
elektrische Ladungen aufeinander ausüben. Diese Kräfte werden vom
coulombschen Gesetz beschrieben.
Elektrodynamik
Die Elektrodynamik befasst sich mit bewegten elektrischen Ladungen
und mit zeitlich veränderlichen elektrischen und magnetischen Feldern.
Diese Vorgänge werden durch die Maxwellgleichungen beschrieben.
1.6
Einheiten
Name
Zeichen
Einheit
Elektr. Feld
~
E
Elektr. Flussdichte
~
D
Elektr. Stromdichte
~J
Spannung
U
Induktivität
L
Kapazität
C
Energie
W
Permeabilität
µ0
Spez. Leitfähigkeit
σ
rEs mV
rDs mC
r Js mA
rUs V
rLs VsA H
rCs F
rWs J Ws
rµ0s 4π107
rσs mS
S. Reinli
M. Gisler
2
2
Name
Zeichen
Einheit
Magn. Feld
~
H
Magn. Flussdichte
~
B
Elektr. Widerstand
R
Strom
I
Magn. Spannung
Vm
Magn. Fluss
φ
Ladung
Q
Permittivität
0
Spez. Widerstand
ρ
rHs mA
rBs mVs T
rRs Ω
rIs A
rVms A
rφs Wb Vs
rQs C As
r0s 8.854 1012
rρs Ωm
2
Θ
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2
Seite 7 von 19
Elektrostatische Analyse (ES, Electrostatic Analysis)
Die elektrostatische Analyse arbeitet mit dem elektrostatischen (ruhenden) Feld. In diesem Fall ist die elektrische
Ladung stationär verteilt (Ladungsverteilung ändert sich nicht). Mittels dieser Analyse kann das elektrische Feld,
die Kapazität und die Energie in den elektrischen Komponenten berechnet werden.
2.1
Integralgleichungen
Gausssches Gesetz
~ εE
~ durch eine geschlossene orientierte
Der Fluss des Vektors D
Fläche (A) ist gleich der gesamten elektrischen Ladung Q, die von der
Fläche (A) umgeben ist.
"
"
~
~ Q
~
~ dA
D dA Q oder
E
ε
pAq
Wirbelfreiheit des
elektrostatischen Feldes
pAq
~ über jede
Das Kurvenintegral des elektrostatischen Feldes E
geschlossene orientierte Kurve (C) ist gleich null. Das heisst das
Kurvenintegral des elektrische Feldes ist nur von der Position des
Anfangs- und Endpunkt abhängig.
˛
~ 0
~ dl
E
pCq
˛
pCq
Elektrisches Skalarpotential
˛P2
~ ~ dl
E
~ ~ dl
E
P1
˛P2
~ 0
~ dl
E
P1
pC1 q
pC2 q
Das elektrische Skalarpotential
Bezugspunkt (PB ).
ϕP1
˛PN
~
~ dl
E
ϕP2
und
P1
UP1 P2
eines
˛PN
Punktes
gegenüber
dem
~
~ dl
E
P2
˛P2
ϕP ϕP 1
2
~
~ dl
E
P1
Elektrische Energie
Falls eine Umwandlung von
kartesischen
Koordinaten
in
Zylinder- oder Kugelkoordinaten
nötig ist müssen die Gesetze der
Flächen- und Volumenelemente
beachtet
werden
(Bronstein
S.540 & S.546)
S. Reinli
M. Gisler
W2D
1
2
¨
ρ ϕ dA
W3D
1
2
12
¨
A
ρ ϕ dV
V
A
W2D
˚
D E dA
W3D
21
˚
D E dV
V
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2.2
Differenzialgleichungen der elektrostatischen Analyse
Gradient
~
E
Divergenz
Bϕ e~ Bϕ e~ Bϕ e~ ∇ ϕ grad ϕ
Bx x B y y Bz z
Poisson-Gleichung
B2ϕ B2ϕ B2ϕ ∆ϕ ρ
ε
Bx2 B y2 Bz2
2.3
Seite 8 von 19
ρ
BDx BDy BDz ∇ D~ div D~
Bx B y Bz
Laplace-Gleichung
B2ϕ B2ϕ B2ϕ ∆ϕ 0
Bx2 B y2 Bz2
Randbedingungen
• Der geerdete Rand
ϕpx, y, zq 0
• Der Rand mit bekannten Potential
ϕpx, y, zq A
• Der Rand der Symmetrie
Bϕpx, y, zq 0
Bn
• Der Rand zwischen zwei Materialien
ϕ2
1 E1 2 E2
ϕ1
2.4
•
•
Randwertproblem
B2ϕ B2ϕ B2ϕ 0
Bx2 B y2 Bz2
ϕpx, y, zq 0 P Γe
2.5
• ϕpx, y, zq 0 P Γb
•
Bϕpx, y, zq 0 P Γ
s
Bn
Vorgehen
1. Partielle Differentialgleichung 2. Ordnung des Potentials aufstellen (Poisson oder Laplace)
2. Koordinatentransformation wenn nötig
3. Vereinfachung der partiellen DGL in eine gewöhnliche DGL
Von welcher Variable hängt das Potential ab
4. Aufstellen der Randbedingungen
Randwerte für Potential und E-Feld
5. Gewöhnliche DGL 2x integrieren und nach Potential auflösen
6. Randwerte einsetzen und unbekannte Konstanten bestimmen
S. Reinli
M. Gisler
26. Januar 2017
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3
Seite 9 von 19
Stationäre Strömungsanalyse (SCD, Stationary Current Distribution)
Die stationäre Strömungsanalyse wird für die Berechnung des Ersatzwiderstands gebraucht
3.1
Integralgleichungen
Elektrische Stromdichte
Die elektrische Stromdichte kennzeichnet wie dicht zusammengedrängt
ein elektrischer Strom fliesst. Damit ist auch die Belastung eines Leiters
durch den Strom bekannt.
~J dI ~n
dA
¨
~
~J dA
I
r~Js mA2
pAq
Kontinuitätsgleichung
Der herausfliessende Strom aus einer geschlossenen Fläche ist gleich
der Abnahme der Ladung
˚
˚
d%
dQ
d
I
% dV dV
dt
dt
dt
pVq
pVq
Dies resultiert in der Kontinuitätsgleichung (Allgemeiner Fall)
"
˚
d%
~
~
dV
I
J dA dt
pAq
pV q
Ohmsches Gesetz
J
σE
R%
σ
1
%
Gσ
S. Reinli
M. Gisler
l
A
A
l
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3.2
Differenzialgleichungen der elektrostatischen Analyse
Kontinuitätsgleichung
Sagt aus wieviel Ladung auf dem Volumen auftritt
div ~J ∇~J 3.3
Seite 10 von 19
Bρ
Bt
Laplace Gleichung
B2ϕ B2ϕ B2ϕ ∆ϕ 0
Bx2 B y2 Bz2
Randbedingungen
• Der geerdete Rand
ϕ0
• Der Rand mit bekannten Potential
ϕU
• Der Rand der Symmetrie
Bϕ 0
Bn
• Der Rand zwischen zwei Materialien
σ1 J1
3.4
•
•
dϕ2
dn
1
σ2 dϕ
dn
J2
Randwertproblem
B2ϕ B2ϕ B2ϕ 0
Bx2 B y2 Bz2
ϕpx, y, zq 0 P Γe
3.5
• ϕpx, y, zq U P Γb
•
Bϕpx, y, zq 0 P Γ
s
Bn
Vorgehen
1. Partielle Differentialgleichung 2. Ordnung des Potentials aufstellen (Poisson oder Laplace)
2. Koordinatentransformation wenn nötig
3. Vereinfachung der partiellen DGL in eine gewöhnliche DGL
Von welcher Variable hängt das Potential ab
4. Aufstellen der Randbedingungen
Randwerte für Potential und E-Feld
5. Gewöhnliche DGL 2x integrieren und nach Potential auflösen
6. Randwerte einsetzen und unbekannte Konstanten bestimmen
S. Reinli
M. Gisler
26. Januar 2017
ElMag - Formelsammlung (Revision : 1.0)
4
Seite 11 von 19
Magnetostatische Analyse (MS, Magnetostatic Analysis)
Die magnetostatische Analyse basiert auf der gleichmässigen Bewegung des elektrische Stroms. Der elektrische
Strom ist über die Zeit konstant. Die magnetostatische Analyse wird für die Berechnung der Ersatzinduktivität
von elektrischen Komponenten gebraucht.
4.1
Integralgleichungen
Ampèresches Gesetz
Das Ampèresche Gesetz definiert die Verteilung des magnetischen
Feldes durch eine geschlossene Kurve und dem gesamten Strom durch
die entsprechende Fläche
˛
¨
~
~
~
~J dA
H dl pCq
˛
pCq
pAq
~ µ0
~ dl
B
¨
pAq
~
~J dA
~ µ0 µr H
~
B
Durchflutungsgesetz
˛
pCq
˛
pCq
Coulombsches Gesetz
~ ~ dl
H
ņ
Ik
θ
k 1
~ µ0
~ dl
B
ņ
Ik
θ
k 1
Der magnetische Fluss durch eine geschlossene Fläche ist immer Null.
Somit sind die magnetische Feldlinien immer geschlossen. Es gibt keine
magnetische Monopole. Das magnetische Feld ist quellenfrei
‹
~ 0
~ dA
B
pAq
S. Reinli
M. Gisler
26. Januar 2017
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4.2
Seite 12 von 19
Differenzialgleichungen der magnetostatischen Analyse
Differenzialgleichung der Durchflutung
Vektorpotential
~ ∇H
~ ~J
rot H
~B
~
∇A
~ ∇B
~ µ0~J
rot B
4.3
~ µ0~J
∆A
~0
∇A
~0
∆A
Randbedingungen
~0
• Magnetische Isolierung ~n A
• Der Rand zwischen zwei Materialien ~n A~1
• Der Rand zwischen zwei Materialien B1
4.4
~n A~2
dA2
1
B2 Ñ dA
dn
dn
Randwertproblem
~ µ0~J
• ∆A
~0
• ~n A
4.5
Vorgehen
1. Partielle Differentialgleichung 2. Ordnung des Vektorpotentials aufstellen (Poisson oder Laplace)
2. Koordinatentransformation wenn nötig
3. Vereinfachung der partiellen DGL in eine gewöhnliche DGL
Von welcher Variable hängt das Vektorpotential ab
4. Aufstellen der Randbedingungen
Randwerte für Vektorpotential und B-Feld
5. Gewöhnliche DGL 2x integrieren und nach Vektorpotential auflösen
6. Randwerte einsetzen und unbekannte Konstanten bestimmen
S. Reinli
M. Gisler
26. Januar 2017
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5
Seite 13 von 19
Magnetoquasistatische Analyse (MQS, Magnetoquasistatic Analysis)
Die magnetoquasistatische Analyse wird gebraucht um bei Wechselstrom die Ersatzwiderstände eines Gerätes
zu berechnen. Weil es sich um langsam ändernde Felder handelt muss der Verschiebungsstrom von Maxwell
nicht beachtet werden.
5.1
Integralgleichungen
Ampèresches Gesetz
Das Ampèresche Gesetz definiert die Verteilung des magnetischen
Feldes durch eine geschlossene Kurve ist der gesamte Strom durch die
entsprechende Fläche
˛
¨
~
~
~
~J dA
H dl pCq
˛
pCq
Coulombsches Gesetz
pAq
~ µ0
~ dl
B
¨
pAq
~
~J dA
~ µ0 µr H
~
B
Der magnetische Fluss durch eine geschlossene Fläche ist immer Null.
Somit sind die magnetische Feldlinien immer geschlossen. Es gibt keine
magnetische Monopole. Das magnetische Feld ist Quellenfrei
‹
~ 0
~ dA
B
pAq
Faradaysches
Induktionsgesetz
Der zeitabhängige magnetische Fluss induziert elektrische Spannung in
der vom Fluss durchflossenen Spule.
ui
BBΦtm
Φm
˛
pCq
S. Reinli
M. Gisler
‹
pSq
~
~ dS
B
~ B
~ dl
E
Bt
und
‹
pSq
ui
˛
pCq
~
~ dl
E
~
~ dS
B
26. Januar 2017
ElMag - Formelsammlung (Revision : 1.0)
5.2
Seite 14 von 19
Differenzialgleichungen der magnetoquasostatischen Analyse
Differenzialgleichung der Durchflutung
Vektorpotential
Die Stromdichte besteht aus dem statischen Teil
und dem induzierten Teil
J σ E “Statisch”
~
~ B A “Induziert”
E
Bt
~ ∇H
~ ~J
rot H
~ ∇B
~ µ0~J
rot B
BA~ µ ~J
0
Bt
~ jωµ0 σA
~ µ0~J
∆A
~ µ0 σ
∆A
5.3
Randbedingungen
~0
• Magnetische Isolierung ~n A
• Der Rand zwischen zwei Materialien ~n A~1
• Der Rand zwischen zwei Materialien B1
5.4
~n A~2
dA2
1
B2 Ñ dA
dn
dn
Randwertproblem
BA~ µ ~J
0
Bt
~ jωµ0 σA
~ µ0~J
• Frequenzbereich: ∆A
~0
• ~n A
~ µ0 σ
• Zeitbereich: ∆A
5.5
Vorgehen
1. Partielle Differentialgleichung 2. Ordnung des Vektorpotentials aufstellen (Poisson oder Laplace)
2. Vereinfachung der partiellen DGL
Von welcher Variable hängt das Vektorpotential ab
BA~ jωA~
Bt
3. Aufstellen der Randbedingungen
Randwerte für Vektorpotential und B-Feld
4. Welche Form hat die DGL
Homogen f:pxq f pxq 0
Inhomogen f:pxq f pxq C
5. DGL mittels Ansatz über Homogene und Partikuläre Lösung Y YH
YP
Homogene Lösung: Charakteristisches Polynom
Partikuläre Lösung: Mittels Störterm, K ist konstant und einsetzen
S. Reinli
M. Gisler
26. Januar 2017
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6
6.1
Seite 15 von 19
Maxwell Gleichungen
Maxwell Gleichungen
Gesetz
Differentialform
Differentialform
1. Art
2. Art
~ ∇D
~ ρ
div D
~
div E
2.
~ ∇B
~0
div B
~ ∇H
~ 0
div H
3.
~ ∇E
~ BB
rot E
Bt
~ ∇E
~ µ BH
rot E
Bt
1.
4.
6.2
~ ∇B
~ µ0 p J
rot B
BD q
Bt
¸
ρ
~ ∇H
~ σE
~
rot H
BV
¸
BV
¸
BBEt
BA
¸
BA
~
~ dA
D
´´´
V
~0
~ dA
B
~ ds E
~ ds
H
˜
A
ρ dV
Q
BB dA
Bt
Erstes Maxwell-Gesetz
Gausssches Gesetz für Elektrische Felder
Differentialform
Das E-Feld ist ein Quellenfeld. Die Ladung ist die
Quelle des elektrischen Feldes.
6.3
Integralform
Integralform
Der elektrische Fuss durch die geschlossene
Oberfläche eines Volumen ist direkt proportional
zur elektrischen Ladung in seinem inneren.
Zweites Maxwell-Gesetz
Gausssches Gesetz für Magnetische Felder
Differentialform
Integralform
Das B-Feld ist quellenfrei. Es gibt keine
magnetische Monopole (Magnet welcher nur
ein Pol hat).
Der magnetische Fluss durch die Oberfläche eines
Volumen ist gleich der magnetischen Ladung in
seinem inneren, nämlich Null.
6.4
Drittes Maxwell-Gesetz
Induktionsgesetz
Differentialform
Integralform
Jede Änderung des B-Feldes führt zu einem
elektrischen
Gegenfeld.
Die
Wirbel
des
elektrischen Feldes sind von der zeitlichen
Änderung der magnetischen Flussdichte abhängig
(Induktionsgesetz).
Die elektrische Zirkulation (Umlaufintegral eines
Vektorfeldes über einen geschlossenen Weg) über
eine Kurve einer Fläche ist gleich der negativen
Änderung des magnetischen Flusses durch die
Fläche.
6.5
Viertes Maxwell-Gesetz
Durchflutungsgesetz
Differentialform
Integralform
Die Wirbel des Magnetfeldes hängen von der
Stromdichte und von der elektrischen Flussdichte
ab. Die zeitliche Änderung der Flussdichte
wird als Verschiebungsstromdichte bezeichnet
(Durchflutungsgesetz)
Die magnetische Zirkulation über eine Kurve
einer Fläche ist gleich der Summe aus dem
Leitungsstrom und der zeitlichen Änderung des
Flusses durch die Fläche.
S. Reinli
M. Gisler
26. Januar 2017
ElMag - Formelsammlung (Revision : 1.0)
6.6
Seite 16 von 19
Elektromagnetische Wellengleichung
Eine Elektromagnetische Welle erfüllt immer die nachfolgenden Gleichung. Anhand dieser ist ersichtlich das für
die Welle keine Ladung nötig ist sonder das E-Feld und das B-Feld beschäftigen sich mit sich selber und weil ein
E-Feld und B-Feld nach sich zieht und umgekehrt. Damit breitet sich die Welle aus.
~0
div E
~0
div B
~ 0 µ 0 B E
rot H
Bt
~
~ BB
rot B
Bt
BH~
~
rot E µ0
Bt
Magnetisches Feld
2~
~
~ µσ B H µ B H 0
∆H
Bt
B t2
~
6.7
Elektrisches Feld
2~
~
~ µσ B E µ B E 0
∆E
Bt
B t2
Randbedingungen
Ht2
Am Rand zwischen zwei Materialien Bn1 Bn2
Am Rand zwischen zwei Materialien Et1 Et2
Am Rand zwischen zwei Materialien Dn1 Dn2
• Am Rand zwischen zwei Materialien Ht1
•
•
•
6.8
Randwertproblem
~ µσ BH~
• Zeitbereich: ∆H
Bt
µ BBtH~ 0
2
2
~ j ωµσH
~
• Frequenzbereich: ∆H
~ 0
ω2 µH
• Sobald eine Welle auf einen Rand trifft wird
immer ein Teil reflektiert und der andere geht
durch
6.9
Vorgehen
1. Partielle Differentialgleichung 2. Ordnung der Welle aufstellen (Elektrisch oder Magnetisch)
2. In Frequenzbereich transformieren (Annahme sinusförmige Anregung)
BF~ jωF
Bt
3. Differentialgleichung vereinfachen
4. Aufstellen der Randbedingungen
Randwerte für E-Feld und H-Feld
5. Wellengleichung mittels Charakteristischem Polynom lösen da Homogen
6. Bestimmung der Unbekannten Amplituden mittels den Randbedingungen
S. Reinli
M. Gisler
26. Januar 2017
ElMag - Formelsammlung (Revision : 1.0)
6.10
Seite 17 von 19
Grundlagen zu den Maxwellgleichungen
Die Maxwell Gleichungen beschreiben, dass die Feldlinien eines sich ändernden Magnetfeldes von ringförmigen
elektrischen Feldlinien umgeben sind, auch ohne Vorhandensein von elektrischen Leitern. Darauf die Theorie
der elektromagnetischen Wellen auf. Grundlage der Maxwellschen Theorie sind die Maxwellschen Gleichungen.
Es zeigt sich, dass die Lösungen der Gleichungen elektromagnetische Wellen beschreiben.
Elektrische Kraft
~ qE
~
F
~ q p~
~q
F
vB
Elektrische Raumladungsdichte
Sagt aus wieviel Ladung sich im Raum befindet
ρ
cµ
0
0
Kapazität
C
7
Wellenimpedanz eines Isolators
Z
c
µ0
Induktivität
Q
U
Magnetische Energie
W
Elektrische Stromdichte
Sagt aus wie die Ladung rämumlich verteilt ist
~J ρ ~
v
Q
V
Wellenimpedanz der Luft
Z0
Magnetische Kraft
21 L I2
L
NΦ
I
Elektrische Energie
W
12 C U2 12 Q U
FEM (Finite-Element-Methode)
• Das FEM ist ein Verfahren für die Feldberechnung in einer Simulation (Software)
• Die geometrische 2D Anordnung wird mit einem Gitter aus Dreiecken vernetzt. In jedem Dreieck wird das
Feld mathematisch approximiert.
• Die geometrische 3D Anordnung wird mit einem Gitter aus Tetraeder vernetzt. In jedem Dreieck wird das
Feld mathematisch approximiert.
• Grosse 3D Modelle brauchen viel RAM und CPU-Zeit, weil viele Elemente vorhanden sind und für jedes
die Feldgleichungen gelöst werden müssen
• Je kleiner die Elemente sind desto genauer kann das Feld berechnet werden.
• Höhere Genauigkeit führt gleichzeitig zu höherem Speicherbedarf und längerer Rechungszeit
S. Reinli
M. Gisler
26. Januar 2017
ElMag - Formelsammlung (Revision : 1.0)
8
8.1
Seite 18 von 19
Anwendungen
Dielektrische Berechnung von Hochspannungsgeräten
• Das elektrische Feld einer geometrischen Anordnung hängt von den Abständen zwischen den Elektroden
und den geerdeten Flächen ab.
• Die Felderhöhung entsteht an scharfen Ecken und Kanten
• Abrundung dieser scharfen Stellen verringert das elektrische Feld
• Falls eine Abrundung nicht möglich ist, wird eine elektrische Abschirmung eingebaut
8.2
Wirbelströme in Transformatoren
• Das magnetische Streufeld eines Transformators induziert in den Wicklungen Wirbelströme
• Diese Wirbelströme sorgen für eine zusätzliche Erwärmung der Bauteile im Trafo
• Die Wirbelströme können nur über Simulationen berechnet werden.
8.3
Elektromagnetische Analyse von Elektrischen Maschinen
• Das magnetische Feld wird durch die Statorwicklung erzeugt
• Die Leiter im Rotor werden vom magnetischen Feld durchflossen. Durch die magnetischen Kräfte des
Feldes wird das Drehmoment erzeugt.
• Durch Simulationen können die Kennwerte der elektrischen Maschine berechnet werden
8.4
Eigenwertanalyse von Wellenleitern
• Das Design von Wellenleitern basiert auf der Eigenwertanalyse
• Eigenwertanalyse: Eigenwert (Wellenausbreitungskonstante), Eigenvektor (Feldverteilung für gegebene
Frequenz)
Wellengleichung
d2 E
pω2 µ γ2qEz
dy2
Even Mode
cospk 2d q Ñ k S. Reinli
M. Gisler
2n 1
d
0
π
Lösung der Wellengleichung
j γy B sinpk yq e j γx
EA
cos
p
k
y
q
e
looooooooomooooooooon looooooooomooooooooon
Even Modes
Odd Mode
sinpk 2k q Ñ k Odd Modes
2n
d
π
26. Januar 2017
ElMag - Formelsammlung (Revision : 1.0)
8.4.1
S. Reinli
Seite 19 von 19
Eigenwertanalyse Homogener Wellenleiter
M. Gisler
26. Januar 2017