¨Ubungen zur Theoretischen Physik IV: Thermodynamik und
Werbung
Übungen zur Theoretischen Physik IV: Thermodynamik und Statistik Prof. F.-G. Mertens, SS 2005 Blatt 11 Abgabe: Montag, 27. Juni 2005, bis 14 Uhr vor Zi. 01.504 Aufgabe 29: Ultrarelativistisches Elektronengas (5 Punkte) Wird ein Elektronengas komprimiert, so wächst die mittlere Energie der Elektronen; wird sie mit mc2 vergleichbar, so werden relativistische Effekte wesentlich. Wir betrachten nun den Fall, dass die Energie der Elektronen groß im Vergleich zu mc2 sein soll; die Energie-Impuls-Beziehung eines Teilchens lautet dann ε ≈ cp. (a) Schreiben Sie die großkanonische Zustandssumme Z und das großkanonische Potenzial Φ(T, V, µ) nieder und ersetzen Sie die Summe über die Quantenzustände k durch ein Integral über ε. Verfahren Sie analog für die innere Energie U . Zeigen Sie durch partielle Integration von Φ, dass P V = 31 U. (b) Zeigen Sie, dass für die innere Energie pro Teilchen bei Temperatur T = 0 die Beziehung U = 34 εF N gilt, wobei εF die Fermi-Energie bezeichne. Aufgabe 30: Quantenkorrekturen zur idealen Gasgleichung Das großkanonische Potenzial für das ideale Fermi- bzw. Bose-Gas lautet i X h ln 1 ± eβ(µ−εk ) . Φ(T, V, µ) = ∓kB T (4 Punkte) k Verwenden Sie nicht-relativistische Einteilchenenergien εk = genden für Korrekturen zum klassischen Grenzfall eβµ ¿ 1. ~2 k 2 2m . Wir interessieren uns im fol- (a) Entwickeln Sie Φ bis zur zweiten Ordnung in eβµ . (b) Berechnen Sie aus dieser Entwicklung die Teilchenzahl N und den Druck P . Geben Sie damit die thermische Zustandsgleichung für das Fermi- bzw. Bose-Gas bis einschließlich 2U quadratischer Ordnung in N V an. Bestimmen Sie anhand der Beziehung P = 3V die innere Energie U und die spezifische Wärme CV . Skizzieren Sie den Graph von CV (T ). Aufgabe 31: Temperaturen von Sonne und Erde (2 Punkte) (a) Schätzen Sie mit Hilfe des Virialsatzes die mittlere Temperatur TS des Sonneninneren ab. (b) Berechnen Sie die Temperatur der Erdoberfläche anhand der Annahme, dass diese ein schwarzer Körper im thermischen Gleichgewicht ist, also ebensoviel Wärme abstrahlt wie sie von der Sonne empfängt. Daten: Sonnenmasse MS = 2 · 1030 kg, Sonnenradius RS = 7 · 108 m, Entfernung Erde–Sonne RES = 1, 5 · 1011 m, Oberflächentemperatur der Sonne TOS = 5800 K.
