Ubungen Mechanik und Wärme WS12

Karl-Franzens-Universität Graz
Institut für Physik
Übungen Mechanik und Wärme WS12
6. Übungsblatt
Aufgabe 32 (1 Punkt):
Zu rechnen bis: 11/12.12.2012
Ein Körper bestehe aus einem kleinen Zylinder mit Radius r, welcher in einem größeren
Zylinder mit Radius R eingebettet ist (Abbildung 1). Das Trägheitsmoment des Körpers
sei bekannt und mit Θ bezeichnet. Eine konstante Kraft F~ wirke tangential am inneren
Zylinder unter einem Winkel α nach oben. Der Körper rollt nun und soll nicht rutschen
bzw. gleiten oder abheben.
1. Wie groß ist die Beschleunigung aS des Schwerpunktes für beliebige Winkel α?
Aufgabe 30 (1 Punkt):
Zu rechnen bis: 4/5.12.2012
2. Ab welchem Winkel α rollt der Körper nach links?
Im Apogäum (erdfernster Punkt der Umlaufbahn) ist der Erdmond 406395 km und im
Perigäum (erdnächster Punkt der Umlaufbahn) 357643 km von der Erde entfernt.
Seine Umlaufzeit beträgt T = 27.3 d.
Welche Geschwindigkeit hat der Mond im Perigäum und welche im Apogäum?
Aufgabe 31 (1 Punkt):
Zu rechnen bis: 4/5.12.2012
Eine Masse m bewegt sich in einem Zentralkraftfeld
F~ (~r) = −Ar4~er
mit einem dazugehörigen Drehimpuls L, welcher erhalten ist. A sei eine beliebige positive
Konstante und ~er ist der Einheitsvektor in radialer Richtung.
Abbildung 1: Die Kraft F~ wirkt tangential an den inneren Zylinder.
1. Bestimmen Sie zuerst das Potential U (r) und zwar so, dass U (0) = 0 ist.
2. Benutzen Sie anschließend den Energieerhaltungssatz1
E=
L2
mṙ2
+
+ U (r) ,
2
2mr2
um die kinetische Energie zu bestimmen, für welche sich das Teilchen auf einer Kreisbahn bewegt.
3. Wie groß ist der Radius dieser Kreisbahn?
Aufgabe 33 (2 Punkte):
Zu rechnen bis: 11/12.12.2012
Lässt man einen schräggestellten Stab der Länge L und Masse M mit einer Kugel der
Masse m am Ende zu Boden fallen, so landet die Kugel im Behälter, der im Abstand
l am Stab angebracht ist (Abbildung 2). Dies gelingt der Kugel obwohl aufgrund der
Schwerkraft alle Körper ohne Luftwiderstand gleich schnell fallen! Der Stab soll nicht
rutschen.
1. Welche Zeit benötigt die Kugel um in den Behälter zu fallen?
2. Welche Zeit benötigt der Stab um zu Boden zu fallen?
1 Man
vergleiche mit Skriptum Knoll, S. 122.
Daten: L = 40 cm, l = 6 cm und m = 0.3 kg
Hinweis: Lösen Sie die Bewegungsgleichung für den Stab unter der Annahme, dass
ϕ 1.
1. In welche Richtung (N, O, S, W) würde die Kugel aufgrund der Corioliskraft abgelenkt
werden?
2. Wie groß ist die bewirkte Ablenkung, wenn die Kugel am Boden auftrifft?
Hinweis: Rechnen Sie ohne Luftwiderstand und vernachlässigen Sie bei der Rechnung
Geschwindigkeitsbeiträge höherer Ordnung. Das heißt, die Vertikalgeschwindigkeit soll nur
von der Erdbeschleunigung abhängen (g = 9.81 m/s2 ).
Abbildung 2: Die Kugel landet im Behälter.
Aufgabe 34 (2 Punkte):
Zu rechnen bis: 11/12.12.2012
Ein dünner, homogener Stab mit Länge L und Masse m kann frei um die Achse im Punkt
A rotieren. Ein Stück Knetmasse, ebenfalls mit Masse m, wird mit der Geschwindigkeit
v horizontal auf das untere Ende des Stabes geworfen (Abbildung 3). Der Stab befindet
sich anfangs in Ruhe und die Knetmasse bleibt beim Auftreffen daran haften.
Mit welcher Mindestgeschwindigkeit muss man die Knetmasse werfen damit sich der
Stab einmal ganz um A dreht?
Aufgabe 36 (1 Punkt):
Zu rechnen bis: 11/12.12.2012
1. Eine Galaxie A entfernt sich von uns mit einer Geschwindigkeit von 0.35c. Eine Galaxie B, die sich von der Erde aus gesehen in direkt entgegengesetzter Richtung befindet,
entfernt sich ebenfalls mit dieser Geschwindigkeit.
Für einen Beobachter in Galaxie A:
• Wie schnell entfernt sich die Erde?
• Mit welcher Geschwindigkeit entfernt sich Galaxie B?
2. Ein Stab der Länge l = 1m in einem Bezugssystem S 0 schließt mit der x0 -Achse einen
Winkel α = 30◦ ein. Das System S 0 bewege sich relativ zu einem System S parallel
zu dessen x-Achse mit einer Geschwindigkeit von 0.9c.
Welche Länge des Stabes misst ein Beobachter von S aus?
Aufgabe 37 (2 Punkte):
Zu rechnen bis: 11/12.12.2012
Die Eulerschen Gleichungen lauten:
Θ1 ω̇1 + (Θ3 − Θ2 )ω2 ω3 = M1
Abbildung 3: Die Knetmasse trifft den Stab und bleibt haften.
Θ2 ω̇2 + (Θ1 − Θ3 )ω1 ω3 = M2
Θ3 ω̇3 + (Θ2 − Θ1 )ω1 ω2 = M3
Aufgabe 35 (2 Punkte):
Zu rechnen bis: 11/12.12.2012
Dabei ist Θ = diag(Θ1 , Θ2 , Θ3 ) der Trägheitstensor im körperfesten Koordinatensystem.
~ = ~0. Dies
Betrachten Sie einen starren Körper, auf den keine Drehmomente wirken, M
Österreichs höchstes Bauwerk ist der Donauturm in Wien (Breitengrad φ = 25◦ ) mit gilt etwa für einen frei fallenden Körper, dessen Schwerpunkt als Ursprung des Kooreiner Höhe h = 250 m. Angenommen man könnte von dessen Spitze eine Kugel mit Masse dinatensystems gewählt wird. Die kräftefreie Translationsbewegung ist gleichförmig (→
konstante Geschwindigkeit).
m = 1 kg ungehindert nach unten fallen lassen:
1. Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω
~ = (ω1 , ω2 , ω3 )T . Gehen Sie davon aus,
dass alle Hauptträgheitsmomente verschieden sind (Θi 6= Θj für i 6= j).
~ =Θ·ω
2. Was erhalten Sie für den Drehimpuls L
~ ?
Bonusaufgaben:
3. Was würde man für einen kräftefreien, symmetrischen Kreisel (also z.B. Θ1 = Θ2
und Θ3 6= Θ1 ) im körperfesten System herausbekommen, welcher keine konstante
Geschwindigkeit hat?
Sie werden auf ein gekoppeltes Differenzialgleichungssystem stoßen. Verwenden Sie
die Abkürzung
Ω=
Θ1 − Θ3
ω0
Θ1
,
wobei ω0 = ω3 = const. ist (wie Sie schnell sehen werden). Um das System zu lösen
differenzieren Sie einfach eine der Gleichungen nochmal nach der Zeit und setzen Sie
die zweite Gleichung ein. Die Differenzialgleichungen sollten nun entkoppelt und leicht
zu lösen sein.