1 Elementare Begriffe elektrischer und magnetischer Felder

Springer-Lehrbuch
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Adolf J. Schwab
Begriffswelt der Feldtheorie
Elektromagnetische Felder,
Maxwell-Gleichungen, Gradient,
Rotation, Divergenz
7., bearbeitete und ergänzte Auflage
Prof. Dr. -Ing. Dr. -Ing. h.c. mult. Adolf J. Schwab
Ordinarius i. R.
Institut für Elektroenergiesysteme
Karlsruher Institut für Technologie KIT
Karlsruhe, Deutschland
ISSN 0937-7433
ISBN 978-3-642-34565-4
DOI 10.1007/978-3-642-34566-1
ISBN 978-3-642-34566-1 (eBook)
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I shall avoid as much as I can, those questions which, though they have elicited the
skill of mathematicians, have not enlarged
our knowledge of science.
James Clerk Maxwell
No mathematical purist could ever do the
work involved in Maxwell's treatise. He
might have all the mathematics, and much
more, but it would be to no purpose, as he
could not put it together without the physical guidance. This is in no way to his discredit, but only illustrates different ways of
thought.
Oliver Heaviside
VI
Vorwort
Vorwort zur siebten Auflage
Die Maxwell-Gleichungen bilden das theoretische Fundament der gesamten
Elektrotechnik. Häufig treten sie nur implizit in Erscheinung, beispielsweise
in der Regelungstechnik oder Digitaltechnik, dagegen führt in der Elektromagnetischen Verträglichkeit, der Antennentheorie, der rechnergestützten
numerischen Berechnung elektrischer und magnetischer Felder in der Energietechnik, Plasmaphysik, Elektromedizin usw. kein Weg an ihnen vorbei.
Trotz ihrer Bedeutung sind viele Studierende mit diesen Gleichungen nicht
im gewünschten Maße vertraut, manchem Elektrotechniker bleiben sie Zeit
seines Lebens ein Buch mit sieben Siegeln. Das liegt meist daran, dass sich
klassische Bücher über Feldtheorie häufig an der historischen Entwicklung
des Wissens über Elektrizität und Magnetismus orientieren und gewöhnlich
zu Beginn elektrostatische und magnetostatische Felder einschließlich der
ihnen innewohnenden Energie und Kräfte sowie ihre Wechselwirkung mit
Materie sequentiell behandeln. Historisch entstandene Begriffe, wie Induktion und Verschiebung werden gewöhnlich als eigenständige physikalische
Größen ohne Beachtung ihrer generischen Gemeinsamkeiten, hier beispielsweise in Form von Flussdichten, behandelt. Das vorliegende Buch versucht,
einen Beitrag zu einer systematisch strukturierten elektromagnetischen Feldtheorie zu leisten mit dem Ziel, Studierenden der Elektrotechnik und Praktikern, die bisher nur wenig Berührung mit der Feldtheorie hatten, einen leicht
verständlichen schnellen Einstieg zu vermitteln.
Insbesondere unterscheidet sich dieses Buch vom bisherigen Schrifttum
durch folgende innovativen Konzepte:
– Betonung generischer Gemeinsamkeiten skalarer und vektorieller Feldgrößen von Strömungsfeldern, elektrischen und magnetischen Feldern.
– Explizite Definition der Flussdichte von Vektorfeldern statt impliziter Definition über das Flussintegral, beispielsweise im Fall der dielektrischen
Verschiebung (siehe 1.1.1.2).
– Konsequente Unterscheidung zwischen Quellen- und Wirbelfeldern gemäß
dem Helmholtzschen Zerlegungssatz, nach dem ein allgemeines Vektorfeld aus einem Quellenfeld X Q und einem Wirbelfeld X W zusammengesetzt sein kann (Hauptsatz der Vektoranalysis, siehe 2.3).
Vorwort
VII
– Einführung inverser Operatoren div 1 und rot 1 , die trotz anfänglich vermuteter Erhöhung der Komplexität eine elegante, übersichtliche Lösung
der Maxwell-Gleichungen in Differentialform erlauben (Kapitel 7).
– Durch obige inverse Operatoren mögliche, mathematisch formale Begründung der Darstellung eines Vektorfelds E(r) als Gradient eines Skalarfelds
(r), anstatt der üblicherweise anzutreffenden verbalen Erklärungen vom
Typ „Wegen rot E = 0 und rot grad = 0 lässt sich ein wirbelfreies Vektorfeld darstellen als Gradient eines Skalarfelds...“
– Herleitung der Ausbreitungsgleichung elektromagnetischer Wellen unter
Verzicht auf die so genannte Lorentz-Eichung (siehe 8.6). Für die Zeitgenossen Maxwells war der Kunstgriff der Lorentz-Eichung mangels einer
genaueren Vorstellung über den von Maxwell eingeführten Verschiebungsstrom äußerst genial und hilfreich. Der Verzicht auf die Lorentz-Eichung
macht aber die Natur des von Maxwell eingeführten Verschiebungsstroms
gerade erst transparent und lässt alle Zweifel an seiner Existenz verstummen.
– Weitgehender Verzicht auf die in der mathematischen Vektoranalysis
durchaus berechtigten ja sogar unverzichtbaren Hinweise vom Typ „Ist
die Funktion stetig und zwei Mal differenzierbar...“. Bei physikalischen
Fragestellungen impliziert meist schon die Anschauung das Vorliegen der
erforderlichen Voraussetzungen, was ständiges explizites Zitieren und
übertriebene mathemathische Strenge meist entbehrlich macht. Sollte dies
einmal nicht zutreffen, wird dies spätestens bei einer physikalisch nicht
sinnvollen Lösung klar. Alle oben erwähnten innovativen Konzepte sind
weniger der Wahrung mathematischer Strenge zu verdanken, als dem Ringen um ein klares Verständnis elektromagnetischer Phänomene. Bereits
Maxwell und Heaviside haben auf die unterschiedlichen Sichtweise von
Physik und Mathematik hingewiesen (siehe Zitate Seite V).
Alle hier aufgeführten neuen Konzepte wurden und werden in Fachkreisen
teilweise noch immer kontrovers diskutiert. Erfreulicherweise finden sie aber
immer mehr Zustimmung, da sie die Feldtheorie trotz anfänglich gefühlter
Erhöhung der Komplexität letztlich doch wesentlich einfacher und transparenter machen.
Erfahrungsgemäß bereiten schon die in den Maxwell-Gleichungen verknüpften physikalischen Größen Fluss, Induktion, Verschiebungsdichte etc.
dem Anfänger nachhaltiges Unbehagen, weswegen zunächst eine verglei-
VIII
Vorwort
chende Analogiebetrachtung der Größen des elektrischen und magnetischen
Felds sowie des Strömungsfelds vorangestellt wird. Anschließend folgt eine
ausführliche Interpretation der Maxwell-Gleichungen in Integralform.
Die Differentialform der Maxwell-Gleichungen verlangt nach einer eingängigen Erläuterung der Abkürzungen rot und div, die sich unter konsequenter
Verwendung des anschaulichen Zusammenhangs zwischen Wirbelstärken
und Wirbeldichten sowie Quellenstärken und Quellendichten zwanglos aus
der Integralform ergeben.
Nach Einführung der Begriffe Gradient, Potential und Potentialfunktion folgen die Potentialgleichungen für raumladungsfreie und raumladungsbehaftete
Felder. Der Herleitung des skalaren magnetischen Potentials und des magnetischen Vektorpotentials schließen sich die skalare und vektorielle Potentialgleichung magnetischer Felder an.
Ein eigenes Kapitel stellt neue Integraloperatoren rot -1, div -1, grad -1 vor.
Diese neuen Integraloperatoren stellen eine wertvolle Bereicherung des Nabla-Kalküls dar, leisten einen Beitrag zur Didaktik der Elektrodynamik und
haben sich bei zahllosen Problemen, beispielsweise der Herleitung von Potential- und Wellengleichungen für skalare und vektorielle Potentiale, der
Wellengleichung elektromagnetischer Wellen usw., bewährt.
Im Rahmen der Einteilung elektrischer und magnetischer Felder nach ihrer
Zeitabhängigkeit wird großer Wert auf das Verständnis der Begriffe quasistatische und quasistationäre Felder sowie auf die Herleitung der Wellengleichung gelegt. Schließlich lässt sich aus den leicht verständlichen Leitungsgleichungen eine gewisse Systematik in Begriffe wie Telegrafengleichung, Wellengleichung, Diffusionsgleichung, Laplace-Gleichung, HelmholtzGleichung, nicht zuletzt die bekannte Schrödinger-Gleichung bringen, die
wesentlich zur Erleichterung des Einstiegs in das fachspezifische Schrifttum
beiträgt. Dass der Unterschied zwischen elektrischen und magnetischen Feldern nicht so groß ist, wie der technische Alltag zu glauben Anlass gibt, erläutert ein Kapitel über die Lorentz-Invarianz der Maxwell-Gleichungen.
Gleichzeitig erlaubt die Lorentz-Transformation ein intimes, korrektes Verständnis des Unterschieds zwischen Ruheinduktion und Bewegungsinduktion (siehe 3.1.1 und 9.7).
Dem zunehmenden Einsatz von Rechnern bei der Lösung von Feldproblemen wird ein umfangreiches Kapitel über die numerische Berechnung von
Potentialfeldern gerecht, in dem das Ersatzladungsverfahren, das Differen-
Vorwort
IX
zenverfahren, die Methode der Finiten Elemente, die Boundary-Element-Methode, die Momentenmethode sowie die Monte-Carlo-Methode vorgestellt
werden. Insbesondere wird dabei auf das Wie der Berücksichtigung von Randbedingungen eingegangen.
Die vorstehende Aufzählung der Inhalte lässt erkennen, dass der Leser
schrittweise von einfachen Definitionen physikalischer Größen zu schwierigen Begriffen, Gleichungen und Verfahren hingeführt wird. Das Buch sollte
daher von Anfang an und Kapitel für Kapitel gelesen werden. Wer dieser Empfehlung folgt, wird sich in kürzester Zeit eine gute Grundlage für das tiefere
Eindringen in die Theorie elektrischer und magnetischer Felder aneignen.
Auf vielfachen Wunsch aus dem anfänglichen Leserkreis wurde ab der vierten Auflage eine von Dr.-Ing. Friedrich Imo erstellte Aufgabensammlung angegliedert, die wesentlich zur Veranschaulichung der im Hauptteil vorgestellten Begriffe beiträgt.
Im Laufe der Evolution dieses Buches haben zunehmend mehr Personen
durch wertvolle Hinweise und kritische Anmerkungen zur Erstellung des
Manuskripts, gegebenenfalls auch durch Korrekturlesen, beigetragen. Ihnen
sei an dieser Stelle, auch im Namen aller Leserinnen und Leser, einmal mehr
sehr herzlich gedankt. Ohne Priorisierung seien in alphabetischer Reihenfolge genannt: Sonja Ander, Ulrike Bächle, Peter Fischer, Monika Gappisch,
Bernd Glomb, Armin Hudetz, Hans Krattenmacher, Michael Kroeck, Michael Lenz, Gerdi Ottmar, Birgitta Scherr, Prof. Manfred Schneider, Prof. Uwe
Siart, Uta Stabel, Petra Wöhr und Michael Hans Wolfsperger. Für allzeit
gewährte IT-Unterstützung danke ich den Herren Matthias Kahl, Sebastian
Klenk und Kai Mössner. Frau Sigrid Cuneus vom Springer-Verlag danke ich
für die rasche Fertigstellung und die ansprechende Ausstattung des Buches.
Zum Wohl der Leser einer 8. Auflage bittet der Autor um Rückmeldungen
etwaiger Fehler sowie um Anregungen zur weiteren Verbesserung dieses Buches an [email protected] oder [email protected].
Karlsruhe, November 2012
Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing. h.c. mult.
Adolf J. Schwab
Inhaltsverzeichnis
1 Elementare Begriffe elektrischer und magnetischer Felder .......................1
1.1 Feldstärke, Fluss und Flussdichte von Vektorfeldern .............................4
1.1.1 Elektrisches Vektorfeld E ....................................................................4
1.1.1.1 Elektrische Feldstärke, elektrischer Fluss ........................4
1.1.1.2 Elektrische Flussdichte, Verschiebungsdichte ................7
1.1.2 Magnetisches Vektorfeld H...............................................................11
1.1.3 Elektrisches Strömungsfeld J ............................................................13
1.2 Materialgleichungen .......................................................................................14
1.3 Grenzflächenverhalten von Vektorfeldern ..............................................14
2 Arten von Vektorfeldern ......................................................................................21
2.1 Elektrische Quellenfelder ...........................................................................21
2.2 Elektrische und magnetische Wirbelfelder .............................................25
2.3 Allgemeine Vektorfelder ..............................................................................26
3 Feldtheorie-Gleichungen .....................................................................................29
3.1 Maxwell-Gleichungen in Integralform ......................................................30
3.1.1 Induktionsgesetz in Integralform (Faradaysches Gesetz)
Wirbelstärke elektrischer Wirbelfelder .........................................31
3.1.2 Durchflutungsgesetz in Integralform (Ampèresches Gesetz)
Wirbelstärke magnetischer Wirbelfelder ......................................34
3.1.3 Gaußsches Gesetz des elektrischen Felds
Quellenstärke elektrischer Felder ...................................................40
3.1.4 Gaußsches Gesetz des magnetischen Felds
Quellenstärke magnetischer Felder ................................................41
3.2 Kontinuitätsgesetz in Integralform
Quellenstärke elektrischer Strömung ........................................................42
XII
Inhaltsverzeichnis
3.3 Maxwell-Gleichungen in Differentialform .............................................. 47
3.3.1 Induktionsgesetz in Differentialform
Wirbeldichte elektrischer Wirbelfelder ....................................... 48
3.3.2 Durchflutungsgesetz in Differentialform
Wirbeldichte magnetischer Wirbelfelder ..................................... 51
3.3.3 Divergenz des elektrischen Felds
Quellendichte elektrischer Felder ............................................... 53
3.3.4 Divergenz des magnetischen Felds
Quellendichte magnetischer Felder ............................................... 55
3.4 Kontinuitätsgesetz in Differentialform
Quellendichte elektrischer Strömung ....................................................... 56
3.5 Analyse von Vektorfeldern bezüglich ihrer Wirbel- und
Quellennatur .................................................................................................... 54
3.6 Die Maxwell-Gleichungen in komplexer Schreibweise ..................... 58
3.7 Integralsätze von Stokes und Gauß ........................................................... 59
3.8 Ergänzende Betrachtungen zum Induktionsgesetz ............................... 65
3.8.1 Bewegungsinduktion ......................................................................... 67
3.8.2 Beispiel zur Umlaufspannung ......................................................... 67
3.8.3 Netzwerkmodell des Induktionsvorgangs ................................... 68
4 Potentialfunktion, Gradient, Potentialgleichung,........................................ 73
4.1 Potentialfunktion und Potential eines elektrostatischen Felds .......... 76
4.2 Ermittlung der Potentialfunktion ausgewählter
Ladungsverteilungen ..................................................................................... 81
4.2.1 Potentialfunktion einer Punktladung außerhalb
des Ursprungs .................................................................................... 81
4.2.2 Potentialfunktion einer Linienladung .......................................... 83
4.2.3 Potentialfunktion einer allgemeinen
Ladungskonfiguration ..................................................................... 85
4.3 Gradient eines Potentialfelds ...................................................................... 87
4.4 Potentialgleichungen .................................................................................... 92
4.4.1 Potentialgleichungen für raumladungsfreie Felder ................... 92
4.4.2 Potentialgleichung für raumladungsbehaftete Felder................ 95
4.4.3 Integraloperator -1 ........................................................................... 98
4.5 Elektrisches Vektorpotential ..................................................................... 104
4.6 Vektorpotential des Strömungsfelds ....................................................... 106
5 Potential und Potentialfunktion magnetischer Felder ........................... 109
5.1 Magnetisches Skalarpotential ................................................................... 109
Inhaltsverzeichnis
XIII
5.2 Potentialgleichung des magnetischen Skalarpotentials ..................... 114
5.3 Magnetisches Vektorpotential .................................................................. 115
5.4 Potentialgleichung des magnetischen Vektorpotentials .................... 121
6 Einteilung elektrischer und magnetischer Felder .................................... 125
6.1 Stationäre Felder . ......................................................................................... 129
6.1.1 Elektrostatische Felder ................................................................... 129
6.1.2 Magnetostatische Felder ................................................................ 130
6.1.3 Statisches Strömungsfeld (Gleichstrom-Strömungsfeld) ...... 131
6.2 Quasistationäre Felder ................................................................................ 135
6.2.1 Quasistatische elektrische Felder ................................................ 135
6.2.2 Quasistatische magnetische Felder ............................................. 137
6.2.3 Quasistatische Strömungsfelder ................................................... 139
6.2.4 Strömungsfelder mit Stromverdrängung ................................... 139
6.3 Nichtstationäre Felder – Elektromagnetische Wellen ....................... 145
6.3.1 Natur der Wellenausbreitung ....................................................... 137
6.3.2 Wellengleichung im Fernfeld ........................................................ 149
6.3.3 Wellengleichung für vorgegebene Anregungen
J(r,t) und (r,t) .................................................................................. 152
6.3.3.1 Retardierte Potentiale ....................................................... 152
6.3.3.2 Wellengleichungen für die retardierten
Potentiale in der Lorentz-Eichung ................................ 153
6.3.3.3 Wellengleichungen für die retardierten
Potentiale ohne Lorentz-Eichung.................................. 159
6.3.3.4 Herleitung der Potentialgleichung mit
Hilfe des inversen Operators rot-1 = –rot -1 .............. 163
6.3.3.5 Abschließende Bemerkungen ......................................... 165
6.3.4 Hertzsche Potentiale ........................................................................ 168
6.3.5 Energiedichte elektrischer und magnetischer Felder
Energieflußdichte elektromagnetischer Wellen ........................ 170
7 Integraloperatoren div –1, rot –1, grad–1 ......................................................... 173
7.1
7.2
7.3
7.4
Integraloperator div-1 .................................................................................... 175
Integraloperator rot-1 .................................................................................... 178
Integraloperator grad-1 ................................................................................. 180
Berechnung eines allgemeinen Vektorfelds E(r) .................................. 180
8 Spannungs- und Stromgleichungen langer Leitungen ........................... 183
XIV
Inhaltsverzeichnis
9 Typische Differentialgleichungen der Elektrodynamik
bzw. der mathematischen Physik ................................................................... 195
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
Verallgemeinerte Telegraphengleichung ................................................ 195
Telegraphengleichung mit a,b>0; c=0 ................................................... 196
Telegraphengleichung mit a>0; b=0; c=0 ............................................... 197
Telegraphengleichung mit b>0; a=0; c=0 ............................................... 199
Helmholtz-Gleichung .................................................................................. 200
Schrödinger-Gleichung ............................................................................... 204
Lorentz-Invarianz der Maxwell-Gleichungen ...................................... 206
10 Numerische Feldberechnung ........................................................................... 215
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
Finite-Elemente-Methode ....................................................................... 216
Differenzenverfahren ............................................................................. 231
Ersatzladungsverfahren ......................................................................... 236
Boundary-Element-Methode ............................................................... 239
Momenten-Methode .............................................................................. 241
Monte-Carlo-Methode ........................................................................... 246
Allgemeine Bemerkungen zur numerischen Feldberechnung....... 248
Anhang .......................................................................................................................... 251
A1
A2
A3
A4
A5
Einheiten der verwendeten Größen ........................................................ 251
Skalar- und Vektorintegrale ...................................................................... 253
Vektoroperationen in speziellen Koordinatensystemen .................... 254
Die inversen Operatoren rot –1, div –1 und grad –1 ................................ 259
Komplexe Darstellung sinusförmiger Größen ...................................... 266
Aufgabenteil ................................................................................................................ 269
1 Elementare Begriffe elektrischer und magnetischer Felder .................. 271
1.1
1.2
1.3
1.4
Skalarfelder .................................................................................................... 271
Vektorfelder ................................................................................................... 272
Fluss als Oberbegriff .................................................................................... 274
Geschichtete Dielektrika ............................................................................ 277
2 Arten von Vektorfeldern ................................................................................... 283
2.1 Gradienten-, Quellen- und Wirbelfelder ................................................ 283
3 Feldtheorie-Gleichungen .................................................................................. 285
3.1 Induktionsgesetz .......................................................................................... 285
3.2 Induktionsspannung ................................................................................... 287
Inhaltsverzeichnis
XV
3.3 Wirbelfelder .................................................................................................. 289
3.4 Durchflutungsgesetz; Induktivität .......................................................... 290
3.5 Durchflutungsgesetz; Feldstärkeverlauf ................................................ 293
3.6 Magnetische Umlaufspannung ................................................................ 295
3.7 Magnetischer Fluss ..................................................................................... 296
3.8 Magnetischer Kreis ..................................................................................... 298
3.9 Satz vom Hüllenfluss: Kapazität ............................................................. 300
3.10 Satz vom Hüllenfluss: Feldstärke und Potential ................................. 301
3.11 Induktionsgesetz in Differentialform
Divergenz des elektrischen Felds ............................................................. 303
3.12 Integral- und Differentialform des Gaußschen Gesetzes ................. 304
3.13 Wirbeldichte des magnetischen Felds ................................................... 305
3.14 Integralsatz von Gauß ............................................................................... 307
4 Gradient, Potential, Potentialfunktion ........................................................ 309
4.1 Potentialverteilung im Dielektrikum einer Koaxialleitung ............... 309
4.2 Elektrisches Potential und elektrische Feldstärke .............................. 314
5 Potential und Potentialfunktion magnetostatischer Felder .................. 319
5.1 Magnetfeld eines gleichstromdurchflossenen Leiters ........................ 319
5.2 Magnetfeld einer Zweidrahtleitung ......................................................... 324
5.3 Feldgrößen einer Koaxialleitung .............................................................. 325
6 Berechnung von Feldern aus ihren Quellen- und
Wirbeldichten ....................................................................................................... 333
6.1 Quellenfeld ..................................................................................................... 333
6.2 Wirbelfeld ....................................................................................................... 335
7 Einteilung elektrischer und magnetischer Felder .................................... 337
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
Stationäre Felder: Gleichstromfeld ......................................................... 337
Quasistationäre Felder: Stromverdrängung .......................................... 339
Stromverdrängung im Rundleiter ............................................................ 344
Die schirmende Wirkung von Wirbelströmen ..................................... 345
Elektromagnetische Wellenfelder ............................................................ 351
Helmholtz-Gleichung ................................................................................. 352
Literaturverzeichnis ................................................................................................ 359
Sachverzeichnis ......................................................................................................... 365
1
Elementare Begriffe elektrischer und
magnetischer Felder
Elektrische und magnetische Felder sind in unserer modernen Welt allgegenwärtig. Geläufig sind die Felder in der Umgebung von Antennen der Tonund Fernsehrundfunksender sowie des Mobilfunks aber auch die Felder in
der Umgebung von Antennen für das Autoradio, das Fernsehen, die Funkuhr,
oder drahtlose Rechnernetze. Ferner gibt es Felder natürlichen Ursprungs, so
das Magnetfeld der Erde, das die Kompassnadel bewegt, das ständig vorhandene elektrische Feld zwischen der negativ geladenen Erde und der positiv
geladenen Ionosphäre sowie die sehr starken elektrischen Felder zwischen
der Erde und Wolkendipolen bei Gewittern. Ja sogar im menschlichen Körper herrschen Felder. Ingenieure sind darüber hinaus auch mit Feldern in
der Umgebung von Hochspannungsfreileitungen, in rotierenden elektrischen
Maschinen und Transformatoren, Halbleiterbauelementen und passiven
elektronischen Komponenten, mit anderen Worten, in allen denkbaren elektrischen und elektronischen Komponenten und Systemen vertraut:
– Elektrische Felder treten zwischen spannungführenden Elektroden sowie
in der Umgebung elektrischer Ladungen und zeitlich veränderlicher Magnetfelder auf.
– Magnetische Felder treten zwischen magnetischen Polschuhen, in der Umgebung stromführender Leiter und Spulen sowie freier Ströme (Verschiebungsströme, Teilchenströme) auf.
Elektrische und magnetische Felder können einzeln existieren oder miteinander gekoppelt sein. In letzterem Fall spricht man von elektromagnetischen
Feldern bzw. elektromagnetischen Wellen. Sie verdanken ihre Entstehung beschleunigten oder verzögerten elektrischen Ladungen außerhalb oder innerhalb von Leitern. In letzterem Fall spricht man von Antennen, die elektro-
A. J. Schwab, Begriffswelt der Feldtheorie, Springer-Lehrbuch,
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