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Research Collection
Working Paper
Zuverlässigkeit technischer Systeme - Computerunterstützte
Verarbeitung von stochastischen Grössen mit dem Programm
VaP
Author(s):
Petschacher, Markus
Publication Date:
1993
Permanent Link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-000915638
Rights / License:
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ETH Library
Zuverlässigkeit
technischer
Systeme
Computerunterstützte Verarbeitung von
stochastischen Grössen mit dem Programm
Markus Petschacher
August
1993
Bericht Nr. 199
Birkhauser
Verlag Basel
•
Boston
•
Berlin
Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zürich
VaP
Die Deutsche Bibliothek
-
CIP-Einheitsaufnahme
Petschacher, Markus:
Zuverlässigkeit technischer Systeme : computerunterstützte
Verarbeitung von stochastischen Grössen mit dem Programm
VaP / Markus Petschacher. Institut für Baustatik und
Konstruktion, Eidgenössische Technische Hochschule (ETH),
Basel; Boston ; Berlin : Birkhauser, 1993
Zürich.
-
(Bericht / Institut
für Baustatik und
Konstruktion, ETH Zürich
; Nr.
199)
ISBN 3-7643-2967-X
NE: Institut tür Baustatik und Konstruktion <Zürich>: Bericht
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© 1993 Birkhauser
Verlag Basel, P.O. Box 133,
Papier
Gedruckt auf säurefreiem
Printed in Switzerland
ISBN 3-7643-2967-X
987654321
CH-4010 Basel
Zuverlässigkeit technischer Systeme
Computerunterstützte Verarbeitung
stochastischen Größen mit dem
von
Programm
VaP
Markus Petschacher
Institut für Baustatik und Konstruktion
Eidgenössische Technische Hochschule
Zürich
August
1993
Zürich
(ETH)
Vorwort
Weder die Welt noch die
Ingenieuren gestalteten technischen Systeme
Die vom Ingenieur entwickelten Modelle
beschränken sich jedoch in allzuvielen Fällen auf deterministische Aussagen,
auf die Gewinnung einiger weniger Zahlenwerte, die im Anschluß an die Berech¬
nung beurteilend interpretiert werden müssen.
verhalten
sich
Wenn
die
von uns
deterministisch.
eigentlichen
Variablen solcher Modelle im Sinne der
Zuverlässig¬
keitstheorie als stochastische Größen auffaßt, d.h. mit ihren jeweiligen Vertei¬
lungsdichten einsetzt, ergibt sich das Ergebnis der Berechnung natürlich
ebenfalls als Verteilungsdichte. Als Grundlage für die Entscheidungen des Inge¬
nieurs steht dann ungleich mehr Information bereit.
man
Die
Anwendung solcher probabilistischer Methoden setzt jedoch Computerpro¬
gramme voraus, welche die komplexen Berechnungen einfach und sicher erledi¬
gen. Will man solche Methoden dem praktisch tätigen Ingenieur nahebringen,
muß zudem eine interaktive, möglichst einfach zu bedienende, flexible und vor
allem auch schnelle Software bereitgestellt werden, die im übrigen keine Pro¬
grammierkenntnisse voraussetzen darf.
Herr Markus Petschacher hat sich dieser Problematik angenommen. Er stellt
hier zusammen mit allen nötigen Grundlagen, die eher für den Spezialisten von
-
Interesse sind
der Fachwelt mit seinem
Programm VaP einen sog. Variablen
Prozessor zur Verfügung, der diesen Ansprüchen hervorragend gerecht wird.
Dieses Programm erschließt auch dem nicht spezifisch vorgebildeten Ingenieur
die Zuverlässigkeitstheorie 1. Ordnung mit den für die Berechnung kleiner Wahr¬
scheinlichkeiten nötigen Erweiterungen, also FORM, dann das Monte Carlo Ver¬
fahren
und
schließlich
numerische
zwei
integrationsalgorithmen. Die
Schnittstelle zwischen Benutzer und Computer ist auf ein Minimum an Menüs
und Dialogen beschränkt. Auch die Interaktivität ist im hohen Maß gegeben, da
zwischen Eingabe und Berechnung durch einfaches Aufrufen aus Menüs belie¬
big hin und her gewechselt werden kann, die Eingaben sofort auf Logik und Kon¬
sistenz geprüft werden und die Berechnungen selbst außerordentlich schnell
-
ablaufen.
Besonders verdienstlich ist, daß Herr Petschacher
che
Beispiele anfügt
und damit eine kurze
Denkweise mitliefert. Das
stungsfähigkeit
Programm
Zürich, im August 1993
Schluß
Einführung
einige ganz einfa¬
probabilistische
in die
selbst wird in der erreichten Form und Lei¬
in Lehre und Praxis, und nicht
leisten und ganz sicher
am
nur
im Bauwesen,
gute Dienste
begeisterte Anwender finden.
Prof.
Jörg Schneider
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
1.1
Anlaß der Arbeit
1
1.2
Aufgabenstellung
2
1.3
Geschichtlicher Überblick
3
1.4
Begriffsdefinitionen
5
1.5
Einschränkungen
7
1.6
Zur Arbeit
8
2
2.1
2.2
2.3
Abriß der
Zuverlässigkeitstheorie
Grundsätzliche
Bemerkungen
Das technische System
Bausteine der Zuverlässigkeitstheorie
13
2.3.1
Grenzzustandsfunktion
13
2.3.2
Wahrscheinlichkeit
15
2.3.3
Basisvariable
17
2.3.4
Modellunschärfen
und Korrelationen
2.3.6
2.4
2.5
3
3.1
Zeitvariante Probleme
2.5.1
Übersicht
2.5.2
Irreversibles
2.5.3
Reversibles
20
22
22
23
24
25
28
28
Versagen
Versagen
29
30
Zuverlässigkeitsanalyse
Zur
Berechnung der Versagenswahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeitsintegral
3.1.1
3.1.2
Transformation in den Standardraum
3.1.3
3.2
10
19
Abhängigkeiten
Zuverlässigkeit von Elementen
Zuverlässigkeit von Systemen
2.4.1
Seriensystem
2.4.2
Parallelsystem
2.4.3
Zuverlässigkeit gemischter Systeme
2.3.5
9
Berechnungsverfahren
Numerische Integration
3.2.1
Vorbemerkungen
3.2.2
Verfahren zur Ermittlung
3.2.3
33
33
34
36
37
37
der Momente
37
3.2.2.1
Gauß-Hermite Quadraturformel
37
3.2.2.2
Erweiterte Quadraturformeln
39
Anpassung
einer
Verteilungsfunktion
40
Simulationsverfahren
Simulationsverfahren
Inhaltsverzeichnis
41
3.3
3.3.1
Grundsätzliches
41
3.3.2
Crude Monte Carlo
42
3.3.3
Importance Sampling
Erwartungswertbildung
43
3.3.4
3.4
45
Approximationsverfahren
47
3.4.1
Übersicht
47
3.4.2
48
3.4.3
Näherung der Grenzzustandsfläche
Quadratische Näherung der Grenzzustandsfläche
3.4.4
Die Suche des Minimums
50
Approximationsverfahren
3.4.5
3.4.6
3.4.7
3.4.8
den Verfahren
49
3.4.4.1
Allgemeines
3.4.4.2
HL-RF Methode
51
3.4.4.3
Erweiterungen
52
3.4.4.4
Liniensuche
53
zu
Approximation
Systemzuverlässigkeit
Berechnung komplizierter Systeme
Sensitivitätsanalyse
Erwartungswertbildung
54
55
57
57
60
imHL-RF
Tail
50
imHL-RF
3.4.9
Lineare
3.5
4.1
61
3.5.3
3.5.4
Abbruchkriterien
64
3.5.5
Numerische
Festlegungen
Der
4.3
Ableitung
Variablenprozessor VaP
Die Benutzerschnittstelle
67
67
68
70
Programmaufbau
4.2.1
Allgemeines
Die Realisierung von VaP
4.2.2
4.2.2.1
Das Konzept
71
71
72
72
4.2.2.2
Die Klassen für die
4.2.2.3
Die Klassen für die Ablaufkontrolle
76
4.2.2.4
Die Klassen für die
78
Visualisierung
Modellbeschreibung
Objektbereich Compiler
Übersicht
4.3.1
4.3.2
Lexikalische
4.3.3
Syntaxanalyse
Semantische Analyse
Erzeugung des Syntaxbaums
4.3.5
62
66
Der
4.3.4
61
64
für VaP
Grundlagen
4.1.1
Einleitung
4.1.2
Objekt-Orientierte Programmierung
4.1.3
4.2
61
Vorbemerkungen
Ansprüche an die Genauigkeit
Bestimmung der Schrittlänge
3.5.2
4
Algorithmus
Ergänzungen
3.5.1
3.6
Algorithmus
Ergänzungen
Analyse
73
79
79
80
81
81
82
Inhaltsverzeichnis
4.4
84
Objektbereich Workspace
Übersicht
4.4.1
Klassen für die
4.4.2
84
Speicherung
Repräsentation einer Grenzzustandsfunktion
Objektbereich Analysis
Klassen für die Zuverlässigkeitsanalyse
4.5.1
Klassen zur Unterstützung der Analyse
4.5.2
Abschließende Bemerkungen
4.4.3
4.5
4.6
5
5.1
5.2
87
89
89
91
92
4.6.1
Schlußwort
93
4.6.2
Erweiterungsmöglichkeiten
93
Anwendung
von
VaP
Stahlbetonträger
95
5.1.1
Das Rechenmodell
95
5.1.2
Das stochastische Modell
96
5.1.3
97
5.1.4
Formulierung des Grenzzustands
Berechnung der Versagenswahrscheinlichkeit
5.1.5
Weitere Einblicke
Einfacher
101
101
Das Rechenmodell
Einflußgrößen
der Rißtheorie
5.2.1.1
Die
5.2.1.2
Die sukzessive Rißtheorie
5.2.1.3
Einfache Platte auf
Biegung
101
103
104
104
Das stochastische Modell
5.2.2
99
100
Rißweiten im Stahlbetonbau
5.2.1
106
5.2.2.2
Prinzipielle Fragestellungen
Bedingte Wahrscheinlichkeit
5.2.2.3
Totale Wahrscheinlichkeit
108
5.2.2.1
5.3
85
107
Winkelstützmauer
109
System und bodenmechanisches Modell
5.3.2
Versagensmöglichkeiten
5.3.2.1
Biegeversagen
5.3.2.2
Versagen durch Weggleiten
5.3.2.3
Versagen durch Grundbruch
109
5.3.1
110
110
111
111
5.3.3
Das stochastische Modell
112
5.3.4
Versagenswahrscheinlichkeit des Systems
Schlußfolgerung
113
5.3.5
116
Zusammenfassung
117
Summary
118
Nomenklatur
119
Literatur
121
in
Inhaltsverzeichnis
A
Anhang
A1
Syntax
A2 Ableitung des Multinormalintegrals
A 3 Ergänzungen zum HL-RF Algorithmus
129
130
A3.1
Grenzzustandsfunktion mit Parametern
130
A3.2
Der
131
A3.3
A4
127
allgemeine Fall
Behandlung von Parallelsystemen
Point-EstimateMethod
A 4.1
Methode nach
A 4.2
Methode nach
133
134
[Evans, 1972]
[Li, 1992]
IV
135
135
Einleitung
1
Vorstellung, daß jedes Bauwerk, das wir erstellen, von vornherein mit
einer gewissen Wahrscheinlichkeit des Einsturzes belastet sein soll, ist nicht ver¬
einbar mit dem Verantwortungsbewußtsein des Ingenieurs und sie ist deshalb
untragbar....", aus [Stüssi, 1969].
"... Die
"... / think it is
generally accepted that the concept of safety can only be based
upon a probability approach, and that the levels of risk which are acceptable
must be speeified...", aus [Rowe, 1969].
Anlaß der Arbeit
1.1
Deterministische
Aussagen über das Verhalten, die Eignung oder z.B. die
Sicherheit technischer Systeme kennzeichnen die gegenwärtige Situation in der
Praxis. Genügt das technische System den Anforderungen, ist es gebrauchs¬
tauglich oder kann es als sicher angesehen werden? In ein mathematisches
Modeil, das ein solches System beschreibt, werden die Einflußgrößen mit mehr
oder weniger sorgfältig gewählten Zahlenwerten eingesetzt und eindeutig defi¬
nierte Randbedingungen vorausgesetzt. Eine solche deterministische Beschrei¬
bung liefert dann eine die Situation kennzeichnende Zahl zurück. Damit
entstehen allerdings Probleme bei der Interpretation des gewonnenen Ergebnis¬
ses.
Auf Grund eines einzelnen Zahlenwertes
lyse
sind solche
Die
der Zeit,
Fragen
aus
einer deterministischen Ana¬
kaum beantwortbar.
geometrischen Ort und weiteren Parametern abhängigen
Einwirkungen auf ein technisches System und dessen Eigenschaften sind
variable bzw. unscharfe Größen und beruhen zum Teil auf mangelhaften Infor¬
mationen. Sie werden als stochastische Größen interpretiert. Berücksichtigt man
diesen Sachverhalt, so wird eine probabilistische Analyse eines technischen
Systems notwendig. Man erhält aus einer solchen Berechnung aussagekräftige
Ergebnisse: nicht nur eine einzige Zahl, sondern Mittelwert und Standardabwei¬
chung, einen Verteilungstyp oder die Wahrscheinlichkeit, daß eine bestimmte
Aussage zutrifft. Ein wahrscheinlichkeitstheoretischer Ansatz ist als Erweiterung
eines deterministischen zu verstehen [Ditlevsen et al., 1990].
von
vom
Das Bestreben, mit Hilfe eines
probabilistischen Ansatzes die Modellbeschrei¬
bung eines technischen Systems zu erweitern, kann im Begriff der Zuverlässig¬
keitstheorie zusammengefaßt werden. Dieser Ansatz gewinnt im technischen
Bereich verstärkt an Bedeutung, besonders bei Systemen mit hohem Gefähr¬
dungspotential für den Mensch und die Umwelt. Die Wurzeln für solche Ansätze
liegen in der Bayes'schen Wahrscheinlichkeitstheorie, die vom englischen
Mathematiker Thomas
Bayes
aus
dem Jahr 1768 stammt. Mit dieser Theorie
Einleitung
lassen sich Informationen
aus
verschiedenen Quellen verarbeiten, die ursächlich
Zusammenhang besitzen. Auch subjektive Einschätzungen
verhaltes können berücksichtigt werden.
keinen
eines Sach¬
Entwicklung der Analyseverfahren der Zuverlässigkeitstheorie ist heute
schon weit gediehen. Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten kann auf unter¬
schiedliche Weise erfolgen und die Verfahren dazu werden laufend verbessert.
Auf der Ebene der Anwendung und der praktischen Umsetzung der Zuverlässig¬
keitstheorie besteht jedoch ein Nachholbedarf.
Die
komplexen Problemen wird heute in vielen Fällen ein probabilistischer
Ansatz verwendet. Solche Beispiele finden sich in Bereichen mit hohem Scha¬
denspotential, wie z.B. der Offshore-Technik. Die probabilistische Modellbildung
bewirkt, im Gegensatz zur traditionellen deterministischen, ein vertiefteres Ver¬
ständnis für die jeweilige Problematik. Die Berechnung solcher Systeme bleibt
allerdings Spezialisten vorbehalten, denn die dafür notwendige Software ver¬
langt außerordentliche Kenntnisse in der Bedienung. Anwendungen dieser Art
untermauern zwar generell die Notwendigkeit probabilistischer Ansätze, sie tra¬
gen aber nicht zur Förderung einer allgemeinen Akzeptanz der Theorie bei.
Daraus resultiert eine skeptische Haltung der Fachwelt, denn diese kann der
Theorie kaum folgen und die Methoden "von Hand" nicht anwenden. Das zu
lösende Problem besteht deshalb in der geeigneten Unterstützung des Prakti¬
kers bei der Anwendung der Zuverlässigkeitstheorie.
Bei
Es
zeigt sich,
daß die Arbeit eines Praktikers einen
dynamischen
Verlauf besitzt.
analysiert ein probabilistisches Modell. Bessere Informationen
Einflußgrößen werden in das Modell einbezogen. Auf
anfangs
Grund des aktuellen Kenntnisstands erfolgt dann wiederum eine Analyse, die
eine Neubeurteilung des Problems erlaubt. Aus der Sicht dieses typischen
Ablaufs begründet sich die Forderung nach einer adäquaten Unterstützung.
Ähnlich wie die FE-Methode nur mittels geeigneter Software zu einer allgemein
verwendeten Berechnungsmethode wurde, soll dies auch auf dem Gebiet der
Probabilistik möglich sein. Der praktisch tätige Ingenieur benötigt anschauliche
und einfach anzuwendende Hilfsmittel zur Berechnung von Zuverlässigkeitspro¬
blemen. Nur mit der Bereitstellung geeigneter Software kann die Zuverlässig¬
keitsanalyse in die tägliche Arbeit des Ingenieurs eingehen.
Er formuliert und
über
unscharfe
1.2
Aufgabenstellung
Das Ziel dieser Arbeit ist es, das Bayes'sche Denken im allgemeinen und die
Zuverlässigkeitstheorie im besonderen mit einem Computerprogramm zu unter¬
Programm namens VaP soll für
den praktizierenden Ingenieur ein Hilfsmittel angeboten werden, das in der tägli¬
chen Arbeit die Anwendung der Zuverlässigkeitsanalyse erlaubt. Die Bearbeistützen. Mit dem in dieser Arbeit entwickelten
Einleitung
tung von Problemstellungen benötigt eine einfach und intuitiv zu bedienende
Software, die nachfolgend angeführten Anforderungen entsprechen muß:
•
•
•
VaP
Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten
Erwartungswert aus bedingten Wahrscheinlichkeiten
Sensitivitätsanalyse
benötigt deshalb folgende Unterstützungen für den Arbeitsablauf:
Verwendung verschiedener Berechnungsverfahren
interaktive Definition der Grenzzustandsfunktion
gleichzeitige Verwaltung mehrerer Funktionen
interaktive Festlegung der stochastischen Größen
vom Benutzerdefinierte Verteilungen
Im weiteren wird VaP auf einfache
Beispiele angewendet, um damit die Vorzüge
der entwickelten Lösung zu präsentieren. Gleichzeitig können die angeschnitte¬
nen praktischen Fälle als Anregung für den Anwender dienen.
1.3
Geschichtlicher
Überblick
Die
Entwicklung der Zuverlässigkeitstheorie wird hier vor allem im Zusammen¬
hang mit dem Bauwesen erörtert. Sie ist aber auch unter dem Aspekt der allge¬
meinen Forschung im Bauwesen zu sehen, die auch heute noch von einer
deterministischen Denkweise geprägt ist. Es wurden zwar beispielsweise Lasten
und Widerstände als unsichere Größen erkannt, ihre Berücksichtigung in den
Bemessungsformeln erfolgt aber mit fixen oberen und unteren Werten. Dabei gilt
die Forderung nach einem geeigneten Abstand, dem sogenannten Sicherheits¬
abstand, dieser Werte. Diese
starren Vorschriften sind heute im Fluß und ändern
sich in dem Maße, als die Konstruktionen
komplizierter
und
anspruchsvoller wer¬
den und die
ten
Fragen differenzierter. Normen und Vorschriften, z.B. die sogenann¬
Eurocodes, werden im übrigen zusehends von Überlegungen im Sinne der
Probabilistik beeinflußt.
Der Schritt
von
der deterministischen
zur
probabilistischen Denkweise liegt
dem
Praktiker eher fern. Die traditionellen Ansätze haben sich bewährt und das Ver¬
sagen von Bauwerken ist selten. Meistens kann bei solchen Vorkommnissen
ohnehin menschliches Fehlverhalten als Ursache angegeben werden. Die
Anwendung
tiv, weil die
Zuverlässigkeitstheorie ist außerdem
Rechenmethoden i.a. aufwendig sind.
der
für den Praktiker unattrak¬
nachfolgende kurze Darstellung der historischen Entwicklung der Zuverläs¬
sigkeitstheorie stützt sich auf die Ausführungen in [Madsen et al., 1986]. Für
Die
Einleitung
eine genauere und
angegebene
tiefergehende Beschreibung
wird auf
[Abdo, 1989]
und die
Literatur verwiesen.
langsam vorangehende Entwicklungen in
der Zuverlässigkeitstheorie statt. Einige wichtige Vertreter aus dieser Periode
seien hier genannt. Der Deutsche M. Mayer (1926) empfahl schon früh, bei der
Bemessung von Tragwerken die Einflußgrößen mit ihren Mittelwerten und Vari¬
anzen zu berücksichtigen. A. M. Freudenthal (1947) behandelte das fundamen¬
tale Problem der Zuverlässigkeit eines Elements in einer Struktur unter
stochastischer Belastung. Diese Arbeit fand dann auch erstmals größere Reso¬
nanz in der Fachwelt. Der Schweizer E. Basler (1960) erkannte die Wichtigkeit
des Einflusses der relativen Streuung von Zufallsgrößen auf den Sicherheitsab¬
stand. Beide empfahlen die Quantifizierung der Sicherheit im Bemessungspro¬
zeß unter Berücksichtigung von Mittelwert und Streuung der Einflußgrößen.
Vor dem Jahr 1960 fanden erste,
nur
Zuverlässigkeitstheorie war im Zeit¬
Zunächst mußte der philosophische Hinter¬
Eine Phase wachsenden Interesses
raum
1967 bis 1974
zu
bemerken.
an
der
grund aufbereitet werden. Die Erkenntnis, daß es sich bei der mathematischen
Modellierung nur um eine unvollständige Abbildung der Natur handelt und die
Berücksichtigung aller möglichen Versagensursachen kaum möglich ist, erfor¬
derte eine Loslösung von einer isolierten mathematischen Betrachtung. Turkstra
(1970) postulierte, daß es sich beim Entwurf eines Bauwerks um ein Problem
der Entscheidungsfindung handelt. Die Randbedingungen formulieren das
Gefährdungspotential einer Problemstellung, wobei zahlreiche Unsicherheiten in
dessen Beschreibung und die Frage, was als Gefahr akzeptierbar ist, die Situa¬
tion kennzeichnen.
(1967) propagierte Einführung eines sogenannten Sicherheitsin¬
dex, der als Maß für die Zuverlässigkeit eines Bauwerks zu verstehen ist, wurde
von Lind (1973) aufgegriffen. Er leitete von diesem Index einige Sicherheitsfakto¬
ren für Lasten und Widerstände ab. Sie fanden nach einiger Modifizierung Ein¬
Die
von
Cornell
zug in Konstruktionsnormen verschiedener Länder.
Die
Zuverlässigkeitstheorie
Probleme mit
die
nur
beschränkte sich
zu
jener Zeit
im wesentlichen auf
zwei stochastischen Größen in linearen
Zusammenhängen,
Kapazität dienten. Bei
Beschreibung einer Beanspruchung und einer
genauerer Betrachtung zeigt sich jedoch, daß diese wiederum
zur
aus
vielen sto¬
chastischen Variablen unterschiedlichster Form bestehen, und daß die mathe¬
matische
Beschreibung technischer Systeme
oft nichtlineare Funktionen enthält.
Die bis dato entwickelten Methoden mußten also erweitert werden.
Insbesondere
zeigte sich, daß der Sicherheitsindex von Cornell unterschiedliche
Ergebnisse bringt, wenn das selbe Problem in verschiedener Weise mathema¬
tisch formuliert wird. Dieses sogenannte Invarianzproblem wurde von Hasofer
und Lind in einer richtungsweisenden Arbeit (1974) gelöst. Bei dem von ihnen
vorgeschlagenen Verfahren, das als Methode der 2.Momente bekannt wurde,
Einleitung
erfolgt eine lineare Transformation der Zufallsgrößen, die mittels einer Nor¬
mierung erreicht wird. Der Sicherheitsindex wird seither als minimaler Abstand
vom Ursprung des Raumes der standardisierten Variablen zur Grenzzustandsgleichung definiert. Damit gelang die sogenannte invariante Darstellung des Ver¬
sagensproblems, die unabhängig von der mathematischen Formulierung gleiche
Ergebnisse liefert. Rackwitz (1977) und Fießler haben diese Methode auf belie¬
bige Verteilungstypen erweitert.
Zuverlässigkeitstheorie wichtigen Erweiterungen ist die
Berechnung probabilistischer Probleme eine transparente Aufgabe geworden.
Es konnte nun daran gegangen werden, Verfeinerungen und Erweiterungen der
Analysemethoden voranzutreiben. Z.B. wurden Zufallsprozesse für Lasten ent¬
Mit diesen
für die
wickelt, die somit die Dimension Zeit enthielten und eine realistischere Beschrei¬
bung ermöglichten.
Gleichzeitig wurden auch systematische Untersuchungen über das Schadens¬
geschehen im Bauwesen und die wirklichen Ursachen von Schadensfällen
durchgeführt. Der Grund für ein Versagen eines Bauwerks liegt selten im sto¬
chastischen Charakter von Lasten oder Widerständen, also in der ungünstigen
Kombination mehrerer solcher Größen, sondern in der Dominanz menschlicher
Fehlleistungen,
1.4
Matousek und Schneider
(1976).
Begriffsdefinitionen
wichtigsten in der Arbeit verwendeten Begriffe sind nachfolgend
gestellt. Die Definitionen in der Begriffsliste sind kursiv gedruckt.
Die
•
zusammen¬
Basisvariable X bzw. Y
Variable in der Grenzzustandsfunktion, die mindestens durch zwei
Momente definiert ist und i.a. als zeitinvariant angenommen wird.
Wenn kein
teilung
Größe)
•
Verteilungstyp angegeben ist, dann wird eine Normalver¬
(Synonym: Zufallsvariable, stochastische
angenommen.
Element
System, für die ein Grenzzu¬
standformuliert werden kann und für die eine quantitative Bewertung
der VersagenswahrscheinlichkeitbezügWch ihrer Funktion möglich ist.
kleinste Einheit in einem technischen
•
Grenzzustand
Beschreibung
eines Zustands, bei dem das betrachtete Element in
einem technischen
erfüllen.
System
die Grenze erreicht, seine Funktion
zu
Einleitung
Grenzzustandsfunktion
mathematische
Funktion
von
G(X)
Formulierung für das Verhalten eines Elements als
Basisvariablen und weiteren deterministischen Größen.
Grenzzustandsgleichung G(X) 0
mathematische Formulierung des Grenzzustandes;
standsfunktion wird gleich Null gesetzt. Sie trennt
Bereich vom Versagensbereich.
=
die
Grenzzu¬
den sicheren
Modell, logisches
Formulierung eines bestimmten Ereignisses
System, dargestellt in logischen Verknüpfungen
für ein
technisches
der Elemente, z.B. in
Form eines Fehlerbaums.
Modell, probabilistisches
Gesamtheit
der
Grenzzustandsfunktionen
als
minimale
Schnitt¬
menge; eine quantitative Bewertung der Versagenswahrscheinlichkeit
bezüglich der Funktion des technischen Systems ist möglich.
Modell, stochastisches
Gesamtheit aller Basisvariablen, die durch eine geeignete Transfor¬
mation als unkorrelierte Basisvariablen erscheinen.
Momente
zentrale Momente einer Basisvariable; das erste Moment
dem
Erwartungswert,
entspricht
das zweite der Varianz. Höhere Momente, in
einer normierten Form, sind die Schiefe und die Kurtosis
Modellvariable
zusätzliche Basisvariable modelliert die, durch die
übrigen Basis¬
variablen nicht erfaßten Unscharfen.
Originalraum
Wahrscheinlichkeitsraum, der durch die Basisvariablen X definiert ist.
Rechenmodell
Beschreibung der Beziehungen in einem technischen
System, beispielsweise bei Bauwerken die Kontinuumsmechanik.
mathematische
Schnittmenge, minimale
Darstellung der Elemente in einem logischen
form, die das Systemverhalten wiedergibt.
Modell in einer Minimal¬
Standardraum
Wahrscheinlichkeitsraum, der durch standardisierte, normalverteilte
Basisvariablen Y definiert ist.
Einleitung
System, technisches
eine beliebige Anordnung (z.B. Bauteil, Baugruppe, Gerät, Anlage,
System), die für Untersuchungen und Analysen als Betrachtungsein¬
heit interpretierbar ist. Es kann sich dabei um eine Funktions- und/
oder Konstruktionseinheit handeln.
Versagensbedingung G(X) < 0
charakterisiert ein ausgefallenes Element in einem
System; die dazugehörige Grenzzustandsfunktion hat
kleiner oder gleich Null.
technischen
einen Wert
Versagenswahrscheinlichkeit Pf
Wahrscheinlichkeit, daß während eines Bezugzeitraumes to der
Grenzzustand überschritten wird und damit die gestellte Anforderung
an
ein Element nicht erfüllt ist.
Verteilungsdichte fx(x)
Ableitung der Verteilungsfunktion nach
lungsdichte besitzt den Wert 1.
x; die Fläche unter der Vertei¬
Verteilungsfunktion Fx(x)
Funktion, die jene Wahrscheinlichkeit angibt,
einen Wert kleiner oder gleich x annimmt.
daß die Basisvariable X
Wahrscheinlichkeitsintegral
Integral über die gemeinsame Verteilungsdichte aller Basisvariablen,
dessen obere Integrationsgrenze durch die Grenzzustandsgleichung
gegeben ist. Das Ergebnis hat einen Wert zwischen 0 und 1.
Zuverlässigkeit
Komplement zur Versagenswahrscheinlichkeit.
1.5
Für
Einschränkungen
jedes technische System existiert ein objektives Gefährdungspotential. Das
Ziel ist, die in diesem Potential enthaltenen Gefahren
zu
erkennen und durch
geeignete Maßnahmen abzuwehren. Der subjektiv erkannte Teil dieses Poten¬
tials kann durch die Zuverlässigkeitstheorie erfaßt werden. Das Computerpro¬
gramm VaP bietet eine Unterstützung für die notwendige probabilistische
Analyse, indem es gestattet, vorhandene Risiken zu ermitteln und dann akzep¬
tierbaren, und damit bewußt eingegangenen Risiken gegenüber zu stellen. Die
Festlegungen in diesem Zusammenhang sind eine Frage der Wertung und damit
politischer Natur.
Einleitung
Ein Teil des
Gefährdungspotentials geht hingegen auf grobe Fehlhandlungen
der beteiligten Menschen zurück, auf den sogenannten gross human error. Es
läßt sich z.B. feststellen, daß lediglich ca. 20% der Versagensursachen eines
Tragwerks dem stochastischen Charakter von Lasten und Widerständen zuzu¬
schreiben ist. Die verbleibenden 80% werden durch ein fehlerhaftes Verhalten
beteiligten Menschen am Bauprozeß verursacht. Für tiefergehende Untersu¬
chungen sei in diesem Zusammenhang auf die Literatur [Matousek et al., 1976],
[Matousek, 1982] und [Schneider, 1985] verwiesen. Dieser Teil des Gefähr¬
dungspotentials kann in der vorliegenden Arbeit selbstverständlich nicht berück¬
sichtigt werden.
der
Durch sozusagen normales, d.h. statistisch erfaßbares Fehlverhalten des Men¬
schen können allerdings gewisse technische Systeme beeinflußt werden. Der
beteiligte Mensch muß dann als ein unsicheres Element im technischen System
gesehen werden. Eine Einbindung des unzuverlässigen Menschen in die Zuver¬
lässigkeitsanalyse in Form einer stochastischen Größe ist prinzipiell möglich,
siehe [Ellingwood, 1992].
1.6
Zur Arbeit
Das entwickelte
erster Linie ein
Computerprogramm, der Variablenprozessor (VaP), soll in
Hilfsmittel für die Berechnung von Zuverlässigkeitsproblemen in
Lehre sein. Mit dem vorliegenden Programm VaP wird die Zuver¬
Forschung und
lässigkeitstheorie
für den Anwender verständlicher. Die entwickelten Rechenver¬
fahren sind leicht anwendbar.
Neu in dieser Arbeit ist die interaktive
Lösung
zur
Erfassung von Grenzzustandsgroße Flexibilität in der
funktionen und stochastischen Größen. Somit wird eine
Handhabung des Programms erreicht.
Neu ist im weiteren auch eine
das
angepaßte Strategie
im
Minimierungsprozeß
für
Approximationsverfahren.
Computerprogramms war die Formulierung einer eigenen
Metasprache notwendig. Mit dieser Metasprache wer¬
den dann die Begriffe der Zuverlässigkeitstheorie in eine interne Datenstruktur
für den Computer umgesetzt. Die Programmierung erfolgt entsprechend moder¬
ner Anforderungen an die Schnittstellengestaltung und objektorientiert, damit
eine zukünftige Erweiterung des Programms VaP einfach bleibt.
Zur
Realisierung
des
Grammatik in Form einer
2
2.1
Abriß der
Zuverlässigkeitstheorie
Grundsätzliche
Bemerkungen
Zuverlässigkeitstheorie ist ein Werkzeug für die Vorbereitung von Entschei¬
dungen. Sie benützt wissenschaftliche Methoden, um dem Ingenieur in schwieri¬
gen Situationen zu helfen. Das Maß der Zuverlässigkeit, oder im gegenteiligen
Sinn der Versagenswahrscheinlichkeit Df, ist nicht absolut zu verstehen, sondern
relativ in dem Sinne, daß es eine Reihung von grundsätzlich geeigneten Syste¬
men nach ihren Zuverlässigkeiten bezüglich eines definierten Versagensereig¬
nisses gestattet, [Ditlevsen et al., 1990]. In jedem System kann wiederum eine
Reihung im Hinblick auf verschiedene Versagensereignisse vorgenommen wer¬
den. Die Zuverlässigkeitstheorie bietet, formal betrachtet, einen logischen, kon¬
sistenten Rahmen und quantitative Methoden für wahrscheinlichkeitsbezogene
Aussagen. Sie gestattet, das in bestimmter Hinsicht Bessere aussagekräftig vom
weniger Guten zu unterscheiden.
Die
Begriff Zuverlässigkeit eines technischen Systems steht die Bedin¬
gung, daß das technische System eine festgelegte Funktion unter vorgegebe¬
nen Bedingungen während einer festgelegten Zeitdauer mit vorgegebener
Wahrscheinlichkeit erfüllt, siehe bei [Schneider et al., 1993]. Dabei können
jedoch einzelne, redundante Teile ausfallen, sofern die Funktionstüchtigkeit des
technischen Systems erhalten bleibt. Bei der Ausgangslage muß allerdings
Hinter dem
unterschieden werden, ob
es
sich
um
ein intaktes oder ein bereits teilweise feh¬
System handelt. In dieser Arbeit wird ausschließlich
0 gesprochen.
zum Zeitpunkt t
lerhaftes
men
von
intakten
Syste¬
=
System versteht sich als eine für die Analyse abbildbare
Betrachtungseinheit. Konkret kann es sich um Konstruktionseinheiten (Bauteil,
Baugruppe) oder um Funktionseinheiten (Gerät, Anlage, System) handeln, siehe
[Birolini 1985]. Eine Unterteilung in Elemente definiert die kleinsten Einheiten,
für die ein spezifisches Versagensereignis formuliert werden kann.
Das technische
Ein Element ist dabei
beispielsweise
das
Biegemoment
in einem Schnitt eines
Trag¬
werks, mit allen seinen kennzeichnenden Größen. Es kann aber auch die Durchbie¬
gung eines Balkens, an festgelegter Stelle, oder die Verkehrsdichte an einer
Kreuzung
sein.
Der Zustand, bei dem das betrachtete Element in einem technischen
erfüllen, wird Grenzzustand genannt. Im wei¬
leitet sich davon die Bezeichnung Grenzzustandsfunktion ab, die für die
Grenze erreicht, seine Funktion
teren
System die
mathematische
Formulierung
zu
dieses Grenzzustands verwendet wird.
Ein solcher Grenzzustand wird
mechanische
System
in eine
beispielsweise
durch eine
Einwirkung,
die durch das
Beanspruchungsgröße umgesetzt wird,
und den
Abriß der
Zuverlässigkeitstheorie
Tragwerks bestimmt. Wird ein einfacher Biegeträger betrachtet, so
Biegemoment an irgendeiner Stelle des Balkens die
Größe des plastischen Biegewiderstandes. Das System versagt, denn es kann die
geforderte Aufgabe nicht mehr erfüllen.
Widerstand des
erreicht in diesem Fall das
Die Gesamtheit der Elemente und ihre
die Funktion des technischen
Systems.
logischen Verknüpfungen beschreiben
Wenn alle Elemente für das Gesamtver¬
halten relevant sind und das technische
System
Zustand verbleibt, d.h. seine Funktion nicht mehr
kohärenten
Versagens in diesem
erfüllt, spricht man von einem
im Fall des
System.
Ein Rechenmodell beschreibt die mathematischen
Zusammenhänge in einem
einzelnen Einflußgrößen im
System in deterministischer Weise. Die
Rechenmodell sind zufällige Realisationen dieser Größen. Das Resultat einer
Berechnung ist dann natürlich ebenfalls ein zufälliger Wert. Die quantitative
Beschreibung dieser zufälligen Eigenschaften erfolgt durch die Zuordnung eines
technischen
stochastischen Modells.
Anstatt der zufälligen Realisationen werden stochastische Größen, in der Regel mit
wenigen statistischen Kennwerten, in das Rechenmodeli eingesetzt. An die Stelle
einer bestimmten Realisation einer
lungsfunktion
mit ihren
typischen
Einwirkung tritt dann beispielsweise eine Vertei¬
kennzeichnenden Größen.
Versagen eines Elements, das sogenannte Versagensereignis, wird mit sei¬
ner Versagenswahrscheinlichkeit ausgedrückt. Dies entspricht einer quantitati¬
ven Bewertung der Funktion dieses Elements. Genauso kann die Funktion eines
technischen Systems quantitativ bewertet werden. Der Begriff der Zuverlässig¬
keitwird im technischen Sinn als das Komplement zur Versagenswahrscheinlich¬
Das
keit definiert.
Die
Versagenswahrscheinlichkeit Pf muß, insbesonders bei kleinen
Wahrschein¬
lichkeiten, als operative, und nicht als reale Größe verstanden werden. Sie hängt
getroffenen Annahmen ab. So beeinflussen das sto¬
Eingangsgrößen und für die Kapazität eines techni¬
schen Systems, besonders aber die Formulierung der einzelnen Grenzzustände
die Versagenswahrscheinlichkeit Df. Wesentlich ist die an sich triviale Feststel¬
lung, daß es zu einer falschen Bewertung der Versagenswahrscheinlichkeit
kommt, wenn maßgebende Versagensmöglichkeiten nicht berücksichtigt
von
der Gesamtheit der
chastische Modell für die
werden.
2.2
Das technische
System
Bei der
Beschreibung der Funktion eines technischen Systems muß mit der
mathematischen Grundlage begonnen werden. Hinsichtlich des Verhaltens
eines Systems oder seiner Elemente erfolgt eine Beschreibung meist in algorith¬
mischer Form. Die Verbindung zu einem übergeordneten System bilden die Ein-
10
Abriß der
Zuverlässigkeitstheorie
gangs- und Ausgangsvariablen, siehe Bild (2.1). Diese sind, allgemein gesehen,
instationäre stochastische Prozesse. Die funktionale Beziehung zwischen
Eingangs- und Ausgangsgrößen wird
Die
Beschreibung
des
in Form eines Rechenmodells
Systemverhaltens
angegeben.
kann in der Mechanik mit der Kontinuums-
mechanik
erfolgen. Für Problemstellungen bei Tragwerken stehen z.B. die Metho¬
den der Statik und Dynamik zur Verfügung.
Das Rechenmodell soll eine unverzerrte
nischen
Systems
im
nierenden Zustand
Beschreibung
Übergangsbereich vom
des Verhaltens des tech¬
funktionierenden
zum
nicht funktio¬
geben.
Bei deterministischen Ansätzen kommen oft Modelle
Grenzbetrachtungen ableiten. Es
zur
Anwendung, die
die Variablen verwendet. Dieser Art erfährt das Rechenmodell eine
formuliert nicht exakt einen
sich
aus
werden dabei obere und untere Fraktilwerte für
Verzerrung
und
äquivalenten Grenzzustand.
Für die
probabilistische Betrachtung ist eine korrekte mittelwerttreue Erfassung
des Grenzzustands notwendig. Die in der Zuverlässigkeitstheorie verwendeten
Rechenmodelle müssen auf den Erwartungswerten ihrer Einflußgrößen basie¬
ren, siehe [Melchers, 1987].
Anlehnung an [Abdo, 1989] sei hier folgende formale Übersicht für die
matische Beschreibung des Systemverhaltens angegeben.
In
Abb.(2.1)
mathe¬
Funktionale Beschreibung des Verhaltens eines technischen Systems
Rückkopplung
Die
Eingangsfunktion X(.)
kann als eine Funktion der
Umgebungseigenschaften
e, des Ortes r und der Zeit t aufgefaßt werden. Das System H(.) besitzt zusätz¬
lich die Eigenschaften d. Der Ausgang S(.), die Antwort, ist dann eine Funktion
aller kennzeichnenden Größen:
S(e,d,r,t)
Das
System
=
H(d,r,t)X(e,r,t)
(2.1)
wird als zeitinvariant bezeichnet,
wenn
der
Zeitpunkt der Einwirkung
H(.) kann dann
keinen Einfluß auf die Antwort hat. Die Variable t in der Funktion
entfallen:
S(e,d,r,t)
=
H(d,r)X(e,r,t)
(2.2)
11
Abriß der Zuverlässigkeitstheorie
In einem weiteren Schritt wird ein
System als gedächtnislos bezeichnet, wenn
das Antwortverhalten nur von den Einwirkungen des betrachteten Zeitpunktes
abhängt und nicht von den vorangegangenen Ereignissen beeinflußt wird. Der
Parameter t hat dann keine Bedeutung und fällt vollkommen aus der Betrachtung
heraus:
S(e,d,r)
Gl.(2.3)
Systeme.
Durch
=
H(d,r)X(e,r)
beschriebene
(2.3)
Systeme
nennt
man
zeitinvariante, gedächtnislose
System kann auch Rückkopplungseffekte aufweisen.
Systemausgang indirekt die Variablen des Eingangs.
Ein technisches
beeinflußt der
Ein
Hierbei
System mit Rückkopplungseffekten ist beispielsweise eine schwingungsanfäl¬
lige Fußgängerbrücke, bei der das Verhalten der Brücke das Verhalten des
schwingungserzeugenden Fußgängers beeinflußt.
Abb.(2.2)
Abbildung
eines technischen
Systems
Gl.(2.3)
L
_^
Grenzzustandsfunktion
min.Schnittmenge
F
=
an
unF;
Gj(X)
Versagensbedingung
Gj(X)<0
Versagenswahrscheinlichkeit
pf
12
=
P{unGj(X)
<
0}
sich
Abriß der
Um
von
der funktionalen
Beziehung
einer
zu
Zuverlässigkeitstheorie
wahrscheinlichkeitsbezogenen
kommen, muß das technische System als Summe einzelner Bau¬
Aussage
steine gesehen werden, siehe Bild (2.2).
zu
Ein technisches
System kann bei einer Berechnung nur im Hinblick auf ein
bestimmtes Versagensereignis untersucht werden. Unter diesem Gesichtspunkt
wird das technische System in kleinere, operative Einheiten, in die Elemente zer¬
legt. Das logische Modell ergibt sich aus der Verknüpfung aller Elemente mit
logischen Operatoren und bildet das Systemverhalten im Hinblick auf das Versa¬
gensereignis ab. Eine anschauliche Form dafür ist ein Fehlerbaum.
Die
Einfiußgrößen, also die Eingangsgrößen im Sinne von Gl.(2.3) und die
Systemeigenschaften, werden mit ihren statistischen Merkmalen berücksichtigt.
Die Gesamtheit dieser, als Basisvariablen bezeichneten, Einflußgrößen bildet
das stochastische Modell. Das mathematische
wird Grenzzustandsfunktion genannt, da
es
Äquivalent
sich
um
zum
Grenzzustand
eine Funktion
von
Basis¬
variablen handelt.
Im mathematischen Sinn läßt sich
jedes Versagensereignis eine Versa¬
gensbedingung formulieren, die eine quantitative Bewertung der Versagens¬
wahrscheinlichkeit des entsprechenden Elements gestattet. Aus dem logischen
Modell wird eine, für die weiteren Berechnungen vorteilhafte Form, die minimale
Schnittmenge, gebildet. Das probabilistische Modell beschreibt die logischen
Zusammenhänge der Grenzzustandsfunktionen.
2.3
Bausteine der
2.3.1
Grenzzustandsfunktion
nun
für
Zuverlässigkeitstheorie
Ein Grenzzustand ist die
Element eines
Beschreibung eines Zustands, bei dem das betrachtete
technischen Systems seine Funktion gerade nicht mehr erfüllt.
Jeder Grenzzustand eines technischen
Form
G(X)
=
0
gebracht
Systems,
kann in die mathematische
werden.
Bei einer konventionellen deterministischen
Analyse eines Grenzzustands
wer¬
den für die
Eingangsgrößen x Mittelwerte, Fraktilwerte oder andere definierte
Größen eingesetzt. Das Ergebnis ist dann ein einzelner Wert, der bei genaue¬
rem Hinsehen wenig Aussagekraft besitzt:
g
=
G(x1,...,xn)
(2.4)
Bei der Beurteilung der
Moment
mögliche
Biegemoment
M^
Kippsicherheit
eines
Stahlbetonträgers
berechnet werden. Das Verhältnis
M wird herkömmlich als Maß für die
13
von
muß das theoretisch
Mkrit
zu
maximalen
Kippsicherheit gewertet. Der
Abriß der
Zuverlässigkeitstheorie
Quotient verändert sich,
ßen eingesetzt werden.
Parameterstudien
bezüglich
geben
wenn
z.B. für die
Aufschluß über die
imperfektionen des Trägers andere Grö¬
Empfindlichkeit des Rechenmodells
der Variation einer Größe. Werden mehrere solcher Größen variiert,
jedoch die Übersicht und brauchbare Aussagen auf Grund der zahl¬
reichen Ergebnisse sind kaum noch möglich.
verliert
man
In der
Zuverlässigkeitstheorie werden hingegen für die Einflußgrößen des
Rechenmodells weitere verfügbare Informationen berücksichtigt. Im Sinne einer
statistischen Beschreibung einer kennzeichnenden Größe wird jetzt von einer
Basisvariable gesprochen. Eine Größe, mit X; bezeichnet, beschreibt die
Gesamtheit aller möglichen Werte eines spezifischen Merkmals. Wird die
Bezeichnung Xj verwendet, handelt es sich um eine ganz bestimmte Realisation
von Xj. Der Vektor der berücksichtigten Basisvariablen X
[Xi...XrJT definiert
das stochastische Modell. Als Resultat einer Analyse der Grenzzustandsfunktion
G(X) ergibt sich wiederum eine stochastische Größe, die den ganzen Informati¬
onsgehalt der Basisvariablen in sich vereint. Der probabilistische Ansatz kann
demnach als Erweiterung eines deterministischen Ansatzes verstanden werden,
der die verfügbare, zusätzliche Information verarbeitet.
=
G
G(X1,...,Xn)
=
(2.5)
Das kritische Moment
M^ hängt im Wesentlichen von den getroffenen Annahmen
Steifigkeiten und der Imperfektionen ab. Diese unsicheren Einflußgrö¬
ßen werden mit ihren zusätzlichen statistischen Informationen berücksichtigt. Der
Quotient von M^ zu maximalen Moment M besitzt dann selbst einen Erwartungs¬
wert und eine Streuung.
bezüglich
Das Problem der
Ungleichung
che
der
Zuverlässigkeit
eines technischen
Systems
wird
nun
als
formuliert. Damit wird der n-dimensionale Raum 9tn in zwei Berei¬
geteilt.
G(X)<0
Versagensbereich
G(X)
sicherer Bereich
>
Die Fläche
0
G(X)
=
0
grenzt den sogenannten sicheren Bereich
vom
Versagens¬
bereich ab.
Ein
Tragwerk versagt, wenn es die ihm zugedachte Funktion nicht mehr erfüllt.
[CEB, 1991] läßt sich eine Einteilung in zwei wesentliche Gruppen von
Grenzzuständen geben:
Gemäß
Bauwerke müssen tragsicher sein (ultimate limit state): mit dieser Bedingung wird
zwangsläufig der Begriff Sicherheit verbunden, da Leib und Leben bei einem Trag¬
werkkollaps bedroht sein können.
Bauwerke müssen gebrauchstauglich sein (serviceability limit State): diese Bedin¬
Erfüllung der geplanten Funktionalität eines Bauteils. Ist diese
gung beschreibt die
14
Abriß der Zuverlässigkeitstheorie
nicht mehr
gegeben,
Folgen sich oft auch
können Betriebsunterbrüche oder
-Störungen eintreten, deren
monetär bewerten lassen.
Wahrscheinlichkeit
2.3.2
gemeinsamen Verteilungsdichte fx(x) der Basisvariablen X im
Raum 9?" ist definitionsgemäß 1. Die Wahrscheinlichkeit, bezogen auf einen
Zeitraum tn, daß die Grenzzustandsfunktion kleiner oder gleich Null wird, heißt
Versagenswahrscheinlichkeit Df:
Der Inhalt der
pf
1
P(G(X)
=
-
pf
=
<
Versagenswahrscheinlichkeit
0)
P(G(X)
>
0)
Zuverlässigkeit
Tragwerke typischen Grenzzustände sind in der Regel mit unterschied¬
Versagenswahrscheinlichkeiten verbunden. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein
Tragwerk seine Tragfunktion nicht mehr erfüllt, besitzt einen Wert in der Größenord¬
nung von 10'5 pro Jahr, während für die Wahrscheinlichkeit, daß ein Tragwerk nicht
mehr gebrauchstauglich ist, ein Wert im Bereich von 10"1...10"3 pro Jahr typisch ist.
Die zwei für
lichen
Der
Begriff
der Wahrscheinlichkeit wird unterschiedlich
interpretiert.
gesehen gibt es den klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriff von
Laplace (1820). Aus einem Zufallsexperiment, wie z.B. beim Würfeln, ergeben
sich endlich viele Elementarereignisse vom Typ A. Die Wahrscheinlichkeit, daß
das Ereignis A auftritt, wird als der Quotient der Anzahl günstiger Ereignisse nA
zur Gesamtanzahl der möglichen Ereignisse n definiert, P(A)
n^/n.
Historisch
=
begründete Definition stammt von Laplace
(1931). Er definiert die empirische Wahrscheinlichkeit aus der Beobachtung
einer Serie von n Versuchen. Darin wurde z.B. das Ereignis vom Typ A insge¬
samt n^-mal beobachtet. Der Quotient nA/n bildet die Wahrscheinlichkeit für das
Ereignis A, wenn n gegen Unendlich geht.
Eine andere, ebenfalls historisch
Bei der
Zuverlässigkeitstheorie
handelt
ment. Die Wahrscheinlichkeit wird in der
es
sich
Regel
um
ein
Entscheidungsinstru¬
als Grad des Vertrauens in eine
Aussage interpretiert. Damit wird dem Umstand Rechnung getragen, daß in die
Berechnung der Versagenswahrscheinlichkeit viele subjektive Einschätzungen
als Randbedingungen eingehen. Dieser Ansatz ist nicht als relative Wahrschein¬
lichkeit zu deuten. Doch ist das Gedankenspiel durchaus erlaubt, sich bei der
Interpretation der Wahrscheinlichkeit künstliche Experimente vorzustellen. Real
verfügbare, frequentistisch begründete Aussagen können analog zur Einbindung
von
Wissen und
Erfahrungen gesehen werden. Auf
diese Weise wird die Ein¬
schätzung der Wahrscheinlichkeit des Zutreffens einer Aussage quantifizierbar.
Eine wichtige Rolle spielt in der Zuverlässigkeitstheorie noch die Verarbeitung
neuer
bzw. zusätzlicher Informationen, die
trauens
bezüglich
der
zu
anfänglichen Aussage
15
einem veränderten Grad des Ver¬
führt.
Abriß der
Zuverlässigkeitstheorie
Im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie können mathematische
Beziehungen
wichtige Axiome, die auf Kolmogorov (1931) zurückgehen,
bilden die Basis. Dazu wird eine Menge S von Elementarereignissen definiert.
Die Menge A definiert eine Teilmenge daraus. Das erste Axiom besagt, daß
jedem zufälligen Ereignis E e A eine reelle Zahl, die spezifische Wahrscheinlich¬
keit zugeordnet ist, 0 < P(A) < 1. Das zweite Axiom besagt, daß die Wahrschein¬
lichkeit zu Eins wird, wenn es sich um ein sicheres Ereignis handelt, P(S)
1.
Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit vieler, sich gegenseitig ausschliessender
Ereignisse Aj ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aus den Einzelereignis¬
definiert werden. Drei
=
P(^jAj)
sen,
]TAj. Dieser dritte Satz wird das Additionsaxiom genannt.
=
Aus den vorstehend formulierten Axiomen lassen sich weitere
Beziehungen
ableiten, wobei nachfolgend die wichtigsten festgehalten seien:
Die
Komplementärwahrscheinlichkeit eines Ereignisses
P(Ä)
Eine
=
1
-
lautet:
P(A)
(2.8)
Verallgemeinerung des Additionsaxioms beschreibt
Ereignis A oder B eintritt:
die Wahrscheinlichkeit
daß entweder das
P(A u B)
=
P(A) + P(B)
-
P(A n B)
(2.9)
Die Wahrscheinlichkeit eines
nis B
Ereignisses A unter der Bedingung, daß das Ereig¬
bereits eingetreten ist, wird die bedingte Wahrscheinlichkeit genannt:
P(A| B)
Aus
=
P(A n B)/P(B)
(2.10)
Gl.(2.10) läßt sich dann der Multiplikationsatz ableiten:
P(AnB)
=
P(B)P(A|B)
(2.11)
Gl.(2.11) kann auf mehrere Ereignisse A bis Z erweitert werden.
Ereignisse voneinander unabhängig sind, also P(A| B)
P(A) ist,
die Wahrscheinlichkeit, daß die Ereignisse A und B eintreten:
=
P(AnB)
=
P(B)P(A)
Ereignisse Aj,
dann kann mit dem Satz
der totalen Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit für das
gegeben
lichkeit ergibt
werden. Mit Hilfe des Additionsaxioms und der
P(B)
=
dann lautet
(2.12)
Existieren einander sich ausschließende
von
Wenn zwei
bedingten
Ereignis
Wahrschein¬
sich:
^P(Ai)P(B|Ai)
(2.13)
16
B
Abriß der Zuverlässigkeitstheorie
Der Satz
Bayes (1763) ergibt sich als Verallgemeinerung der bedingten
Wahrscheinlichkeit, indem der Multiplikationssatz und der Satz der totalen Wahr¬
scheinlichkeit angewendet werden. Die Bayes'sche Formel lautet:
von
P(A,IB)
'I
'
P(A..)P(B|A;)
'
'
Ergebnis
Das
(2.14)
=
£P(Aj)P(B|Aj)
Gl.(2.14) bildet eine sogenannte a posteriori Wahr¬
scheinlichkeit, da hier bezüglich des Ereignisses A, eine Aussage gemacht wird,
nachdem das Ereignis B eingetreten ist. Analog dazu wird P(Aj) als eine a priori
P(Aj|B)
der
Wahrscheinlichkeit bezeichnet.
Basisvariable
2.3.3
Diejenigen Einflußgrößen in der Grenzzustandsfunktion, die mit ihren statisti¬
schen Merkmalen berücksichtigt werden, heißen Basisvariablen. Sie sind nor¬
malerweise als Verteilungsfunktion mit allen notwendigen kennzeichnenden
Größen, mindestens aber durch zwei Momente definiert. Sie werden i.a. als zeit¬
invariant angenommen. Als Synonyme für Basisvariable
Zufallsvariable oder ganz generell stochastische Größe.
gelten
die
Begriffe
Die
Betondruckfestigkeit hängt von zahlreichen Einflußfaktoren ab, woraus sich eine
gewisse Schwankungsbreite im Wert der erreichbaren Festigkeit ergibt. Auch bildet
die theoretisch mögliche Abflußmenge eines Wildbachs eine unscharfe Größe, da
die Form und die Oberflächenbeschaffenheit in jedem Querschnitt des Flusses
anders sind.
Die Gesamtheit der Basisvariablen bilden das stochastische Modell für das tech¬
nische
Bei
System.
der
Definition
Unscharfe und
Zufälligkeit,
eines
Zufälligkeit
stochastischen
einer
Modells sind
Einflußgröße begrifflich
Ungenauigkeit
zu
bzw.
unterscheiden. Die
die einem Phänomen anhaftet, kann nicht beeinflußt werden, wäh¬
Ungenauigkeiten durchaus der Fall ist, siehe [Ditlevsen et al.,
1990]. Die Auslegung ob ein beobachteter Sachverhalt unscharf oder zufällig ist,
hängt somit auch vom Standpunkt der Betrachtung ab.
rend dies bei
So können z.B. die
Abmessungen eines vorfabrizierten Bauteils, begründet durch
Herstellungsprozeß, durch laufende Nachkontrollen erfaßt werden. Es zeigt
sich eine gewisse Schwankungsbreite. Der Meßmethode selbst kann jedoch schon
ein systembezogener Fehler anhaften, der eine gewisse Zufälligkeit besitzt. Durch
den
die Wahl eines anderen Meßverfahrens können die Unscharfen der Methode selbst
beeinflußt werden. Der Wert in der
Streuung
der
Abmessungen
wird sich dann
ebenfalls dadurch verändern.
jede Einflußgröße in einem technischen System, die einen stochas¬
tischen Charakter besitzt, ungeachtet ob es sich um Zufälligkeit oder Unscharfe
handelt, im stochastischen Modell gleich erfaßt. Diese als Basisvariablen X
Es wird
nun
17
Abriß der
Zuverlässigkeitstheorie
bezeichneten Größen sind durch ihre
Merkmale
Verteilungsfunktionen über die jeweiligen
vollständig
Zuverlässigkeitstheorie wichtigsten kennzeichnenden Größen, der
Erwartungswert E[X] und die Standardabweichung D[X], bestimmt. Für viele
Merkmale lassen sich kontinuierliche Verteilungsfunktionen, z.B. Normal- oder
Lognormalverteilung, angeben, die eine mehr oder weniger gute Erfassung der
Einflußgröße erlaubt.
beschrieben. Für jede Basisvariable sind damit ebenfalls
x
die für die
Liegt
so
für eine
kann
Einflußgröße eine Menge X {x^,..., xn} von Beobachtungen
daraus eine Schätzung ihres Erwartungswertes errechnet werden:
=
n
1
E[X]=ji
I^xi
=
vor,
i
=
(2.15)
1
Ebenso läßt sich die Standardabweichung ermitteln, wobei der Divisor (n-1) aus
einer Überlegung stammt, die zu einer asymptotisch erwartungstreuen Schät¬
zung führt, siehe
D[X]=a
[Rackwitz, 1990]:
=
J-l^^-ji)2
Die Varianz, Var
[X]
der Beobachtungen.
=
d
,
(2.16)
ist ein alternatives Maß für die
Streuung
der
Menge
Die höheren Momente werden in einer normierten Form verwendet. Aus dem
dritten Moment wird die Schiefe
^
=
Die Schiefe
Vß-j
berechnet:
stp?)3
<217>
gibt die Abweichung
von
der
Symmetrie
vierte Moment wird in seiner normierten Form als Kurtosis
Iy
ßp^yj-v^
=
Verteilung an.
ß2 bezeichnet:
einer
Das
(2.18)
—
Verteilungshügels. Die normierten
Anpassung einer geeigneten Vertei¬
Die Kurtosis ist ein Maß für die Form des
höheren Momente werden
vor
allem
zur
lungsfunktion benötigt.
entsprechen den Flächenmomenten in der
Erwartungswert entspricht dem Schwerpunkt, die Varianz dem Träg¬
heitsmoment und die Standardabweichung dem Trägheitsradius.
Die zentralen Momente in der Statistik
Mechanik. Der
18
Abriß der Zuverlässigkeitstheorie
2.3.4
Modellunschärfen
Neben den Unscharfen, die durch die Basisvariablen beschrieben werden, erge¬
ben sich noch zusätzliche, dem Modell anhaftende Unscharfen. Diese soge¬
nannten Modellunschärfen rühren von der in der
möglichen mathematischen Formulierung
Regel
nur
näherungsweise
des Grenzzustandes selbst her. Das
Gegebenheiten nur bedingt.
Problemstellung sind i.a. unvollständig.
verwendete Rechenmodell erfaßt die natürlichen
Die
verfügbaren
Informationen über die
grundsätzliche Einteilung nach der Ursache solcher Unscharfen ist nachfol¬
gend angegeben, siehe in diesem Zusammenhang [Der Kiureghian, 1989a]:
Eine
•
Unscharfen im stochastischen Modell
Einerseits beeinflussen Meßunschärfen und unvollkommene Beob¬
achtungen die Güte der kennzeichnenden statistischen Größen für
eine Basisvariable. Verstärkte Untersuchungen erlauben eine Anpas¬
sung an die Gegebenheiten, sie sind aber nicht immer durchführbar.
Andererseits ergeben sich Unscharfen durch die Verwendung verein¬
fachter stochastischer Modelle für komplizierte Vorgänge in der Natur.
•
Unscharfen im mathematischen Modell
ergeben sich aus der Verwendung vereinfachter mathematischer
Modelle zur Beschreibung der Funktion eines technischen Systems.
Mit einer bestimmten Formulierung läßt sich nicht immer die gesamte
Sie
Bandbreite der Grenzzustände erfassen. Der Unterschied
Ergebnis zu tatsächlichem Wert kann
gedeutet werden, siehe Bild (2.3).
tischem
tion
•
von
theore¬
als statistische Fluktua¬
Unscharfen im
logischen Modell
Bei der Beschreibung eines Systemversagens muß mit einfachen
logischen Modellen gearbeitet werden. Diese lassen eine wirklich¬
keitsnahe Erfassung der Systemfunktion oft nur bedingt zu.
probabilisti¬
eindeutige Zuordnung in
Die beschriebenen Ursachen der Unscharfen im angenommenen
das
sich
überlagern
angeführte Schema nicht
schen Modell
zum
Teil. Auch ist eine
immer
möglich.
grundsätzlich als zusätzliche Basisvariablen im pro¬
babilistischen Modell berücksichtigt werden. Die Unterscheidung, welchen Typs
die Basisvariable ist, hat jedoch einen Einfluß auf die Art der Maßnahme, die zu
einer Einengung des Unschärfebereichs führen kann. Dies können zusätzliche
Messungen, ein verfeinertes mathematisches Modell oder Überwachungs- und
Kontrollstrategien sein. In allen Fällen führt eine tiefergehende Untersuchung zu
einem besseren Verständnis des Problems und zu einer Verkleinerung der
Modellunschärfen müssen
Modellunschärfen
19
Abriß der
Zuverlässigkeitstheorie
Abb. (2.3)
Streuung zwischen experimentellen (re) und theoretischen (r^
Ergebnissen, die in einem Histogramm zusammengefaßt sind.
Diagramm
Histogramm
r«
n
„sff
>
=
Häufigkeit
rt
Streubereich
JCL
(a)
Wt
(b)
Modellunschärfen zeigen sich z.B. beim Vergleich zwischen Experimenten und
Theorie. Es ist gewöhnlich ein physikalisch oder empirisch begründetes Rechen¬
modell
gegeben,
das sich als Funktion
von
Basisvariablen anschreiben läßt.
Werden die beobachteten Realisationen der Basisvariablen
scheidet sich der errechnete, theoretische Wert
Ein solcher Sachverhalt ist in Bild
vom
eingesetzt, so unter¬
experimentellen Ergebnis.
(2.3) dargestellt.
Die Unscharfen
der
ergeben sich aus der Verwendung idealisierter Modelle, wie z.B. bei
Berechnung der Durchstanzlast einer Flachdecke, oder durch Verwendung
empirisch ermittelter Faktoren, wie sie z.B.
vorkommen. Aus diesen Vereinfachungen
natürlicherweise Unterschiede
Die
zu
in den Abflußformeln des Wasserbaus
in den Rechenmodellen
ergeben
sich
real gemessenen Werten.
Streuung um die Gerade re
rt in Bild (2.3)-(a) zeigt die Abweichungen
zwischen experimentellen Ergebnissen und Rechenmodell. Stehen genügend
viele solcher Werte zur Verfügung, kann diese Information statistisch ausgewer¬
tet werden, wie dies in Bild (2.3)-(b) durch ein Histogramm symbolisiert ist. In der
=
Grenzzustandsfunktion wird, wie hier im einfachsten Fall, die Modellunschärfe
als neue Basisvariable im theoretischen Modell berücksichtigt. Eine tieferge¬
hende Diskussion über die mathematische Form der
Modellunschärfen ist in
2.3.5
Abhängigkeiten
[Ditlevsen
et al.,
Berücksichtigung
von
1990] gegeben.
und Korrelationen
Die Kovarianz Cov [X, Y]
zweier Basisvariablen X und Y ist ein
spezielles
gemischtes Moment 2.Ordnung. Sie erfaßt eine lineare Abhängigkeit zwischen
n paarweisen Beobachtungen zweier Merkmale berechnet
sich die Kovarianz wie folgt:
zwei Größen. Aus
Cov[X,Y]=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]
ll.\.(xt-rix)(y-i~Yn
i
=
1
20
=
(2.19)
Abriß der
In der
Zuverlässigkeitstheorie
werden solche
Zuverlässigkeitstheorie
Abhängigkeiten
zwischen den
Basisvariablen mit einer Korrelationsmatrix R beschrieben. Die sogenannten
Korrelationskoeffizienten
py
in der Matrix sind normierte Größen:
Cov[X,Y]
pxv
D
A
,nnn^
mit:"1^1
(2-2°)
.±
=
[X]| D [Y]
A
0 nicht
Wichtig ist festzustellen, daß bei einem Korrelationskoeffizienten pXY
zwingend gefolgert werden darf, daß die Basisvariablen X und Y voneinander
unabhängig sind. Wenn andererseits pXY*0 ist, muß deshalb noch kein kau¬
saler Zusammenhang zwischen zwei Basisvariablen gegeben sein. In umge¬
kehrter Reihenfolge der Argumentation ist ein solcher Schluß jedoch möglich.
Wenn also zwei Basisvariablen voneinander unabhängig sind, kann damit auf
0 geschlossen werden.
pXY
=
=
Tragwerken aus Stahlbeton ist z.B. eine Abhängigkeit zwischen der Betondruck¬
festigkeit an zwei benachbarten Stellen eines Trägers festzustellen, da sie aus der
selben Charge stammen sie sind korreliert. Hingegen kann eine Abhängigkeit der
Festigkeiten zwischen zwei Bauteilen festgestellt werden, auch wenn sie nicht aus
der selben Charge hergestellt wurden. Eine Korrelation kann deshalb gegeben sein,
weil der Beton der Elemente aus dem selben Werk stammt. Bezüglich der Festigkeit
des Bewehrungsstahls und der des umgebenden Betons lassen sich hingegen
keine Abhängigkeiten aufzeigen, womit der Schluß auf unkorrelierte Größen zuläs¬
sig ist.
Bei
-
Der Korrelationskoeffizient p ist invariant gegenüber einer linearen Transforma¬
Koordinatensystems. Diese Tatsache bringt Vorteile bei der Transforma¬
tion des
tion der Basisvariablen.
Berücksichtigung solcher Abhängigkeiten bei der Berechnung der Versa¬
genswahrscheinlichkeit ist mathematisch möglich. Über die Kovarianz
Cov [X, Y] ist allerdings in vielen Fällen der Praxis sehr wenig bekannt. Die Kor¬
relation hängt, wie es aus Gl.(2.19) ersichtlich ist, vom Bereich der zur Verfü¬
Eine
gung stehenden
Daten ab.
Sie ändert sich,
wenn
sich die Grenzen
der
kann die Zweck¬
zugrundeliegenden Daten ändert. Aus diesem Gesichtspunkt
mäßigkeit einer Berücksichtigung von Korrelationen hinterfragt werden. Das sto¬
chastische Modell wird zwar genauer, allerdings zum Preis von neuen statistisch
zu untermauernden Größen. Eine Eingrenzung ergibt sich immer mit der Unter¬
suchung von zwei Extremfällen, nämlich durch die Berechnung der Fälle der vol¬
0. Dies
len Korrelation, pXY
1, und diejenige mit fehlender Korrelation, pXY
Erkennt¬
einfache
Weise
wertvolle
bringt in einer ersten Phase der Analyse auf
=
=
nisse über den Einfluß einer Korrelation.
Im Unterschied dazu existiert ein Korrelationskoeffizient zwischen zwei Grenzzu-
gemeinsamen Versagensraum gibt, ausge¬
drückt als existierende Durchschnittsmenge {Gj(X)<0nG;(X)<0} *0, siehe
[Cui et al., 1991]. Der Korrelationskoeffizient ist in diesem Fall proportional zur
Größe der Durchschnittsmenge des Versagensraumes. Eine Abhängigkeit von
standsfunktionen,
wenn
es
einen
21
Abriß der
Zuverlässigkeitstheorie
Grenzzuständen ist immer dann
gegeben,
wenn
in den Grenzzustandsfunktio-
gemeinsame
hingegen keine Korrelation
gegeben ist, also keine gemeinsamen Basisvariablen existieren, so bedeutet
dies eine leere Durchschnittsmenge
0, und damit
{Gj(X)<0nGj(X)<0}
Basisvariablen vorkommen. Wenn
nen
=
fehlt eine Korrelation.
Zuverlässigkeit von
2.3.6
Elementen
System läßt sich im Sinne der Zuverlässigkeitstheorie in ein¬
zelne Elemente zerlegen. Diese beschreiben klar definierte Teilfunktionalitäten
des Systems, müssen aber nicht dessen baulichen oder organisatorischen Tei¬
len entsprechen. Die Beschreibung der Funktion eines Elements erfolgt mit einer
Grenzzustandsfunktion Gj(X).
Ein technisches
Rahmentragwerks läßt sich durch wenige Elemente beschrei¬
ben, indem für bestimmte, kritische Querschnitte die Grenzzustände formuliert wer¬
Die Funktion eines
den. Diese definieren z.B. das Erreichen des
zufolge
plastischen Moments
an
dieser Stelle
der äußeren Kräfte als Versagen.
Elemente können
nur
zwei Zustände einnehmen. Sie können funktionieren, d.h.
sicher oder aktiv sein, oder sie können versagen, d.h. unsicher oder inaktiv sein
oder ausfallen. Das Versagensereignis F, ist das Versagen eines Elements, d.h.
die beschreibende
Grenzzustandsbedingung Gj(X)
ist kleiner oder
gleich Null.
Ein Element im System Rahmen versagt, wenn der damit assoziierte Querschnitt
plastifiziert. Es hängt vom zugrunde gelegten Werkstoffgesetz ab, wie sich das Ele¬
ment dann weiter verhält, ob es ausfällt oder noch einen Beitrag zur Tragfunktion
des Rahmens leistet.
Versagenswahrscheinlichkeit
Df berechnet
werden. Diese läßt sich als die Wahrscheinlichkeit, daß die Grenzzustandsfunk¬
Für die weitere Betrachtung muß die
tion kleiner oder
pf
=
gleich Null ist,
P(G(X)<0)
=
ausdrücken:
(2.21)
P(F)
Bezeichnung Versagen oder Ausfall wird nicht notwendigerweise ein phy¬
sikalisches Versagen formuliert, sondern es ist ganz allgemein ein unerwünsch¬
ter Zustand darunter zu verstehen. Die Elemente können von beliebiger
Komplexität sein. Sie müssen lediglich für eine Zuverlässigkeitsuntersuchung als
Einheit betrachtbar sein. Einzelne Elemente eines Systems können in ein Teilsy¬
Mit der
stem zusammengezogen werden.
2.4
Zuverlässigkeit
Es sind zwei
von
Systemen
grundsätzliche Formen
logischen Elementanordnungen zu
unterscheiden, nämlich das Serien- und das Parallelsystem. Sie haben eine
von
22
Abriß der
Betrachtung der Systemzuverlässigkeit. In vielen Fällen
elementaren Systeme als Beschreibung des logischen Modells
große Bedeutung
können diese
Zuverlässigkeitstheorie
für die
ausreichend sein.
Seriensystem
2.4.1
Seriensystem ist eine logische Ofl-Verbindung von Elementen, d.h. das
oder des n-ten Elements führt zum
Versagen des ersten oder des zweiten
Versagen des Systems. Das läßt sich gut als Kette veranschaulichen, siehe
Bild (2.4)-(a). An der Erfüllung der geforderten Funktion sind alle Elemente glei¬
chermaßen beteiligt. Das Versagen eines einzigen Elements führt zum Versa¬
gen des ganzen Systems. Somit gibt das schwächste Glied in einem
Seriensystem die Versagensgrenze an. Ein wichtiges Merkmal für das Serien¬
Das
...
system ist das Fehlen einer Redundanz.
Abb.(2.4)
Beispiele
von
Seriensystemen
(a)
-
(a) Kette
und
(b) Fachwerk
(b)
Statisch bestimmte
Systeme haben keine Redundanz. Praktisch alle statisch
bestimmten Tragwerke, siehe Bild (2.4)-(b), gehören zu der Klasse der Seriensy¬
steme. Auch einige statisch unbestimmte Tragwerke können dazugezählt werden,
wenn eine perfekte Plastifizierung angenommen wird und das Erreichen einer kine¬
matischen Kette als
Versagensereignis
definiert ist, siehe
[Madsen
et
al., 1986].
Versagenswahrscheinlichkeit eines Seriensystems entspricht der Vereini¬
gungsmenge der Versagenswahrscheinlichkeit seiner Elemente. Für m seriell
angeordnete Elemente gilt:
Die
mm
m
pfs
=
P(U(Gj(X)<0)) =P(UFj) =1-P(nFj)
i=1
i=1
(2.22)
i=1
Versagenswahrscheinlichkeit sind in Gl.(2.23) gegeben.
unkorrelierte, also unabhängige Elemente, so gibt die linke
Triviale Grenzen für die
Handelt
es
Grenze in
sich
um
Gl.(2.23)
den exakten Wert
an:
maxtPCF^p^^PCF,)
(2.23)
23
Abriß der Zuverlässigkeitstheorie
Die Grenzen in
Gl.(2.23) können zu groben Aussagen über die Versagenswahr¬
scheinlichkeit von Seriensystemen dienen.
Einengung des
gegeben werden, die
[Ditlevsen, 1979b]:
Eine
Intervalls kann mit den beiden
Bedingungen
in
Gl.(2.24)
als die sogenannten Ditlevsen Bounds bekannt sind, siehe
m
P(F1)
Y {P(Fi)-max
+
^"™
1
=
I
s*
.[P(F,n F,)]}
'
I
<pf,
'
'
2
(2.24)
m
Pfs<P(F1)
^maxj<i[0,P(Fi)-P(FinFj)]
+
i
=
2
Die Grenzen werden durch die
paarweisen Durchschnittsmengen der Einzeler¬
eignisse gebildet. Die Breite des Intervalls, Df>mjn < Dfs < Pfmax, hängt von der
Reihung der Einzelereignisse ab. Eine optimale, obere Grenze kann nach der
von Hunter gegebenen Methode erzielt werden, [Hunter, 1976]. Ein Verfahren
zur Berechnung der unteren Grenze findet sich in [Bennett, 1988].
Parallelsystem
2.4.2
Das
Parallelsystem
ist eine
logische >AA/D-Verbindung
muß das erste und das zweite
das
Tragwerke bezogen,
lichen
Zwei
Gruppen
es
und auch das n-te Element versagen, damit
hier von einem redundanten System.
bedeutet dies die
Möglichkeit,
eine Last auf unterschied¬
Wegen abzutragen.
von
Parallelsystemen
Redundanz. Bei diesen
bezug auf die Redundanz im
Gruppe bilden Systeme mit passiver
müssen in
weiteren unterschieden werden. Die erste
wenn
Elementen, d.h.
...
System versagt. Man spricht
Auf
von
Systemen werden einzelne Elemente
erst dann
aktiv,
andere bereits versagt haben.
Eine Hochwasserentlastung ist z.B ein solches System. Bei starkem Wasserzulauf
steigt der Wasserspiegel des Retentionsbeckens. Erreicht der Wasserspiegel die
kritische Marke, so versagt die Funktion der Staumauer, das Wasser zurückzuhal¬
ten. Erst in diesem Augenblick wird ein Überlauf aktiv, d.h. das Wasser beginnt über
die Oberkante der Hochwasserentlastung zu fließen.
Im weiteren kann die
Beschreibung eines passiven Elements mit dem Komple¬
ment der Versagenswahrscheinlichkeit P(Fj) erfolgen. Die Beschreibung des
Systemverhaltens wird dadurch zwar aufwendig, sie gestattet aber einen mathe¬
matischen Übergang zu der zweiten Gruppe, der Systeme mit aktiver Redun¬
danz.
Systeme mit aktiver Redundanz sind von besonderer Wichtigkeit. Bei diesen
Systemen sind alle Elemente gleichzeitig wirksam. Der Ausfall eines Elements
24
Abriß der
Umverteilung von Teilfunktionalitäten
Elemente, aber nicht zum Versagen des Systems.
führt
einer
zu
auf
Zuverlässigkeitstheorie
weniger ausgelastete
perfektes Parallelsystem mit aktiver
Redundanz gilt in der Mechanik das sogenannte Danielssystem (Daniels, 1944). Es
handelt sich dabei z.B. um ein Bündel von Drähten, wie in Bild (2.4)-(a) dargestellt.
Diese weisen zufällige Eigenschaften auf, z.B. voneinander unabhängige Werte der
Zugfestigkeiten. Zu Beginn ist die angreifende Last gleichmäßig auf alle Drähte ver¬
teilt. Auch nach dem Ausfall eines Drahtes wird eine ideale Umverteilung der Last,
gleichmäßig auf die verbleibenden Drähte, angenommen. Das Systemverhalten
läßt sich z.B. für den Sonderfall eines ideal-spröden Werkstoffverhaltens analytisch
angeben, siehe [Hohenbichler et al., 1987].
Als ein eher theoretisches
Abb.(2.5)
Beispiele
von
für ein
Beispiel
Parallelsystemen
-
(a) Danieissystem und (b) Rahmen
(b)
(a)
Die
die
Versagenswahrscheinlichkeit des Parallelsystems mit aktiver Redundanz ist
Durchschnittsmenge der Versagenswahrscheinlichkeit seiner Elemente und
lautet
allgemein:
m
m
pf,p
=
P{n(Gj(X)<o)} =P(nFj)
i
=
i
1
=
Versagenswahrscheinlichkeit der Gl.(2.25)
linke Grenze gibt den exakten Wert an, wenn
Triviale Grenzen für die
Gl.(2.26) gegeben. Die
(2.25)
1
sind in
die Ele¬
mente unkorreliert sind.
nP(Fi)<pfp<min[P(Fi)]
2.4.3
(2.26)
Zuverlässigkeit gemischter Systeme
Vorausgesetzt wird in dieser Arbeit immer ein kohärentes System, daß sich
durch folgende Eigenschaften beschreiben läßt, [Birolini, 1985]: Der Zustand
des technischen Systems hängt vom Zustand aller Elemente ab, d.h. alle Ele¬
mente sind relevant. Nach dem Ausfall eines Elements bleibt dieses im inaktiven
Zustand, unabhängig
vom
Ausfall anderer Elemente.
25
Abriß der
Zuverlässigkeitstheorie
Systeme sind in der Regel komplexe Kombinationen von seriellen
und parallelen Teilsystemen. Das dem Rechenmodell zugeordnete logische
Modell steht in Abhängigkeit zu der Formulierung des Versagensereignisses. Es
kann sich für verschiedene Fragestellungen unterscheiden, [Spaethe, 1992].
Technische
Es wird z.B. ein
Rahmentragwerk
ideal-plastischem Materialverhalten ange¬
Versagensereignis. In diesem
Fall muß, unter Annahme eines ideal-plastischen Materialgesetzes, eine bestimmte
Anzahl von Querschnitten gleichzeitig plastifizieren. Eine einzelne Gelenkkette for¬
muliert einen Grenzzustand und somit ein Element des logischen Modells. Alle
möglichen Gelenkketten bzw. die entsprechenden Elemente ergeben ein Serien¬
system, da die wahrscheinlichste kinematische Kette zum Systemversagen führt.
nommen.
mit
Das Erreichen einer Gelenkkette bildet das
Beschreibung des Systems Rahmen ergibt sich, wenn das
Erreichen eines statisch unzulässigen Gleichgewichtzustands als Versagen defi¬
niert wird. Dazu muß an jenen Stellen, an denen sich Fließgelenke bilden können,
Eine
zu
vorher andere
ein Grenzzustand, d.h. ein Element, formuliert. Beim Ausfall eines
neuen
Elements
ausgefallenen Elemente berücksichtigt werden. Ein statisch
unzulässiger Zustand ist erst dann gegeben, wenn eine genügende Anzahl von Ele¬
menten ausgefallen ist. Die Reihenfolge der Elementausfälle geben einen soge¬
der im Sinne eines logischen Modells ein
nannten Versagenspfad
an,
Alle
darstellt.
Parallelsystem
möglichen Versagenspfade, also die Permutation der
der
Elementausfälle, bilden dann ein übergeordnetes Seriensystem.
Reihenfolge
müssen die bereits
Systemverhalten muß in geeigneter Form dargestellt werden. Möglichkeiten
zur Visualisierung der Versagensformen eines technisches System sind soge¬
nannte logische Bäume. Diese Darstellung ist immer dann möglich, wenn ein
technisches System in Teilsysteme zerlegt und diesen jeweils eine bestimmte
Funktion zugeordnet werden kann, [Giannini etal., 1991].
Das
Logische Bäume sind eine graphische Darstellung der möglichen Systemzu¬
stände. Eine gebräuchliche Form ist der Fehlerbaum. In einem Fehlerbaum wer¬
den die möglichen Folgen von Ereignissen beschrieben, die zu einem
Systemversagen, dem Hauptereignis {top-eventj, führen können. Die logische
Verzweigung definiert den kausalen Zusammenhang zwischen den Ereignissen
des jeweiligen Teilsystems {low-level events) und dem übergeordneten Ereignis
(high-level event). Jeder dieser logischen Pfade, vom Hauptereignis ausgehend,
endet im Versagensereignis eines Elements.
Alle
möglichen Pfade des Fehlerbaums werden in die für die Zuverlässigkeits¬
analyse geeignete Form der minimalen Schnittmenge gebracht. Die Elemente
des logischen Modells sind in dieser Minimalform in der Art angeordnet, daß
genau das Systemverhalten wiedergegeben ist. Es handelt sich dabei um Paral¬
lelsysteme, die ihrerseits ein Seriensystem bilden. Die Elemente in einer mini¬
malen Schnittmenge besitzen eine aktive Redundanz. Die Form der Gl.(2.27)
kann mit den Regeln der Mengenlehre immer gefunden werden. Ein praktisches
Verfahren zur Konstruktion der minimalen Schnittmenge ist in [Barlow et al.,
1975] beschrieben.
26
Abriß der
Zuverlässigkeitstheorie
Für ein kohärentes
System läßt sich immer eine minimale Schnittmenge ange¬
ben. Die logischen Operatoren zur Beschreibung lauten AND und OR. Hingegen
dürfen die Operatoren NOT, ein Element arbeitet nicht, und ECLUSIVE-OR nicht
vorkommen, denn sie würden kein kohärentes System beschreiben. Eine
A/OT-Bedingung kann jedoch immer mit ihrem Komplement dargestellt werden.
Damit wird dann wiederum ein aktives Element beschrieben, was der geforder¬
ten
Voraussetzung entspricht.
Die
Versagenswahrscheinlichkeit eines technischen Systems, dargestellt
minimale Schnittmenge, wird wie folgt geschrieben:
n
Pf
=
mi
P(un(Gi)k(X)<o)}
=
p
(
\
uofJ
\i
i=1k=1
mi
n
s
als
(2.27)
ik-1
< 0 definiert ist.
Ergänzend sei festgestellt, daß ein Systemversagen mit G
Die entsprechende mathematische Form der minimalen Schnittmenge, die das
Verhalten des Systems Gsys beschreibt, lautet:
Gsys
mini[maxkGik(X)]
=
(2.28)
Sind die Elemente des
hung
für die
Systems statistisch unabhängig,
Versagenswahrscheinlichkeit:
n
n
rrij
Pf=lP{n(Glk(X)<0)}
iti
=
rtij
gilt folgende
Bezie¬
\
£P nFi>k
jtl
k-1
/
so
Vk-1
(2.29)
'
Die Elemente eines
Systems sind voneinander abhängig, sobald gleiche Basis¬
variablen in den zugehörigen Grenzzustandsfunktionen vorkommen, siehe
Kapitel 2.3.5. Für den allgemeinen Fall lassen sich Wahrscheinlichkeitsgrenzen
mit dem Expansionstheorem für Seriensysteme angeben, siehe [Barlow et al.,
1975] oder [Rackwitz, 1991]. Die Versagenswahrscheinlichkeit lautet:
P(UFj)
=
i=1
mitSk
XKOk~1sk
(2.30)
k-1
Y
=
P(F= nF:
n... n
R )
1 <^ <i2<... <ik<n
In dieser Formel bedeutet
der
j
elementaren
Fj das Teilsystem, von dem die Durchschnittsmenge
Versagensereignisse Fy gebildet wird, d.h. Fj cl Fy.
=
Eine genaue
Berechnung der Versagenswahrscheinlichkeit dieser Parallelsy¬
notwendig, um zu genauen Aussage über das Gesamtsystem zu
gelangen, siehe [Hohenbichler et al., 1983]. Die Teilsummen Sk der Gl.(2.30)
steme ist
27
Abriß der
Zuverlässigkeitstheorie
ergeben abwechselnd, mit steigendem k, verbesserte obere bzw. untere Gren¬
zen für die Versagenswahrscheinlichkeit des Systems. Wenn n gegen Unendlich
strebt, wird mit Gl.(2.30) der exakte Wert erreicht. Die gewonnenen Grenzen
hängen allerdings von der Reihung der Versagensereignisse Fj ab. Die Ordnung
der Fj in der Summe Sk kann für die obere bzw. die untere Grenze unterschied¬
lich sein.
Bestimmung der optimalen Reihung ist beispielsweise in [Dit¬
levsen, 1979b] angegeben. Die Herleitung der Grenzen in Gl.(2.24) von
Gl.(2.30) zeigt [Hohenbichler et al., 1983].
Ein Verfahren
zur
2.5
Zeitvariante Probleme
2.5.1
Übersicht
Zuverlässigkeitsproblemen muß das Systemverhalten in
Abhängigkeit vom Zeitpunkt t beschrieben werden. Dies ist eigentlich immer der
Fall, denn die Eigenschaften technischer Systeme unterliegen praktisch immer
einem gewissen Alterungsprozeß und die Systemeingänge sind oft stochas¬
Bei
zeitvarianten
tische Prozesse in der Zeit. Die Zeit kann in herkömmlichen Zeiteinheiten, wie
Belastungszyklen gemessen werden. Die Dimension Zeit
fällt bei der Annahme von zeitunabhängigen Eigenschaften der Basisvariablen
einem Jahr, oder in
heraus.
Generell kann eine
Versagensbedingung
einer Grenzzustandsfunktion in der
Form
G
=
(2.31)
£a-£<0
geschrieben werden. Darin bedeuten £a eine irgendwie bestimmte und festge¬
legte akzeptable Grenze und £ eine beliebige Antwort eines technischen
Systems. Der Begriff Versagensereignis impliziert das Versagen einer Funktion,
d.h. G(£)<0. Damit wird aber nicht zwingend, wie schon erwähnt, ein Kollaps
beschrieben. Das Versagensereignis muß begrifflich differenziert betrachtet wer¬
den, indem in manchen Fällen
akzeptierten Zustand
Die Grenze
zen.
£a
in
zu
es
besser ist,
vom
unerwünschten oder nicht
sprechen.
Gl.(2.31)
muß nicht einen festen, deterministischen Wert besit¬
Sie kann ihrerseits einen verlaufenden
Übergang
vom
zulässigen
in den
unzulässigen Bereich besitzen. Damit läßt sich einerseits ein Grad eines Scha¬
densausmaßes oder eine subjektiv empfundene Größe formulieren. Die Größe
£a kann in Anbetracht dieser Interpretation als zusätzliche Basisvariable in die
Grenzzustandsfunktion eingeführt werden.
28
Abriß der Zuverlässigkeitstheorie
Eine unscharfe Grenze läßt sich gut bei Gebrauchstauglichkeitsproblemen aufzei¬
gen. Ob eine Durchbiegung unzulässig ist, hängt von der Empfindung des Betrach¬
subjektiver Einschätzungen lassen sich in einem
Meinungsspektrum abbilden. Der akzeptable Wert für die Durchbiegung ist eine
unscharfe Größe, die einen Mittelwert und eine Streuung besitzt.
ters
ab.
Mehrere
solcher
Ein Element bzw. die Grenzzustandsfunktion beschreibt einen unerwünschten
gefaßte Begriff läßt eine Reihe von Möglichkeiten der
Auslegung zu. Je nach der Konsequenz eines Versagensereignisses ergeben
sich unterschiedliche Formulierungen für die Berechnung der Versagenswahr¬
scheinlichkeit. In Anlehnung an [Östlund, 1991] läßt sich eine grundsätzliche
Einteilung des System- bzw. Elementverhaltens angegeben.
Zustand. Dieser sehr weit
2.5.2
Irreversibles
Abb. (2.6)
Versagen
Verhalten eines irreversiblen
Systems
in der Zeit
Zeitpunkt des
Austritts
Sa
riA^JUL
Versagensereignissen verharrt das technische System nach
Versagensereignis im unerwünschten Zustand, bis eine Reparatur oder
Bei irreversiblen
einem
der vollkommene Ersatz die Funktionalität wieder herstellt.
Tragwerken sind das z.B. Tragwerkskollaps, Korrosion oder bleibende Verfor¬
mungen. Im Wasserbau ist das z.B. der Geschiebetransport. Im Grundbau sind das
z.B. Rutschung oder Setzung aus Konsolidierung.
Bei
Versagen ist gegeben, wenn der Zeitpunkt des ersten Ereignisses, besser
als Zeitpunkt t des ersten Austretens bezeichnet (first passage time), innerhalb
eines vorgegebenen Zeitraums to, z.B. die Nutzungsdauer, liegt, siehe Bild (2.6).
Die Wahrscheinlichkeit des ersten Austretens ist gefragt. Alle Basisvariablen,
speziell die Extremwertverteilungen, beziehen sich auf diesen Zeitraum to, der in
diesen Fällen implizit gegeben ist. Die Wahrscheinlichkeit, daß innerhalb des
Zeitraums t0 ein unzulässiger Zustand eintritt, lautet:
Ein
(2.32)
pf=P(E -$<0)
29
Abriß der
Zuverlässigkeitstheorie
Reversibles Versagen
2.5.3
Bei reversiblen
weise mit
\\
>
Versagensereignissen befindet
£a
sich das technische
im unerwünschten Zustand, siehe Bild
System
zeit¬
(2.7).
Bei Tragwerken sind das z.B. unerwünscht große Schwingungsamplituden oder
kurzfristige, unerwünscht große Verformungen. Im Wasserbau sind das z.B. uner¬
wünscht hohe Wasserstände oder unerwünscht kleine
Die
Versagenswahrscheinlichkeit läßt
Durchflußmengen.
sich bei diesem Fall in zweierlei Hinsicht
formulieren:
Zeitspannen tj betrachtet werden, in denen ein uner¬
wünschter Zustand, definiert durch Gl.(2.31), vorherrscht. Die Summe der Zeit¬
spannen, die sogenannte Exkursionszeit Xq, wird auf die Zeitperiode to bezogen.
Ein Versagen des technischen Systems ist gegeben, wenn die akzeptable
Exkursionszeit xa überschritten wird. Daraus folgt die Formulierung der Versa¬
genswahrscheinlichkeit zu:
Einerseits können die
Pf
Wird
dies
=
P(ia-x<0)
mit:
x
gefordert, daß die akzeptable
der Formulierung in Gl.(2.32).
Abb.(2.7)
=
JLJ
lXAt^>y
Systems
*b
Andererseits kann die Anzahl der
von
(2.33)
gleich Null ist,
so
entspricht
in der Zeit
Cjüo
^Vr
Zustand auftritt,
=
Exkursionszeit xa
Verhalten eines reversiblen
Sa
f
ns
*44
Ereignisse,
Zeitt
At3^4
in denen ein unerwünschter
Interesse sein. Die Anzahl der Austritte
n
ergibt
nach der
v. Ein
Normierung
zugrunde gelegten Zeitperiode to,
Versagen des technischen Systems ist gegeben, wenn die vorhandene Austre¬
tensrate v kleiner oder gleich der akzeptablen va ist. Daraus resultiert die Formu¬
lierung der Versagenswahrscheinlichkeit:
mit der
die Austretensrate
30
Abriß der Zuverlässigkeitstheorie
pf
=
mit:
P(va-v<0)
v
=
(2.34)
——-
gefordert, daß die akzeptabler Austretensrate
spricht dies der Formulierung in Gl.(2.32).
Wird
Die
gleich
va
Null ist,
so
ent¬
probabilistische Betrachtung von Forderungen an die Gebrauchstauglichkeit im
Möglichkeit zu differenzierten Aussagen. Eine Verletzung des
Bauwesen bietet die
Grenzzustands kann durchaus tolerierbar sein, sofern
es
sich
um
ein reversibles
"wie wahrscheinlich ist eine
Fragen
lange dauert die Exkursionszeit"
oder "wie oft findet eine Überschreitung des zulässigen Grenzwertes statt" stellen.
Die Antworten bilden dann gute Grundlagen für Entscheidungen. Ein inakzeptabler
Ereignis
handelt. Es lassen sich verschiedene
Überschreitung
der
zulässigen Rißweite",
-
"wie
-
Zustand ist in manchen Fällen auch monetär bewertbar womit eine wirtschaftliche
Optimierung des
Bauteils
möglich ist,
[Vrouwenvelder, 1991].
Möglichkeit hingewiesen werden, daß ein reversi¬
Versagensereignis eventuell bei Teilsystemen einen irreversiblen Zustand
Im weiteren muß noch auf die
bles
siehe z.B.
hervorrufen kann.
31
Abriß der
Zuverlässigkeitstheorie
32
Zuverlässigkeitsanalyse
3
3.1
Zur
3.1.1
Wahrscheinlichkeitsintegral
Berechnung der Versagenswahrscheinlichkeit
Ausgangspunkt jeder Zuverlässigkeitsanalyse ist die Grenzzustandsfunktion
G(X), mit dem Vektor der Basisvariablen X
[X1l...,Xn]T. Die Variablen bilden
einen n-dimensionalen Raum, entsprechend der Anzahl der Basisvariablen im
Vektor X. Da Versagen durch G(X) < 0 definiert ist, wird dieser Bereich als Ver¬
sagensraum bezeichnet. Entsprechend definiert G(X)>0 den sicheren oder
Überlebensbereich. Die Begrenzung beider Räume ist mit G(X) 0 definiert und
wird als Grenzzustandsgleichung bezeichnet. Oft findet sich dafür auch das
Symbol 3F. Die Grenzzustandsgleichung definiert eine Hyperfläche im
n-dimensionalen Raum. Per Definition ist die Zuverlässigkeit das Komplement
der Versagenswahrscheinlichkeit Df, die mit dem Wahrscheinlichkeitsintegral und
der Grenzzustandsfunktion als Integrationsrand berechnet wird:
=
=
Pf
=
P[G(X)<0]
f(X)dx
=
G(X
Der
(3.35)
<0
Gl.(3.35) ist die gemeinsame Verteilungsdichte f(X) des Vektors
der Basisvariablen X, die in der Regel nicht bekannt ist. Daraus resultieren die
Schwierigkeiten bei der Berechnung der Versagenswahrscheinlichkeit. Ana¬
lytische Lösungen existieren nur für einige einfache Grenzzustandsfunktionen
mit bestimmten Verteilungstypen. Die sogenannten Randverteilungen der ein¬
zelnen Variablen sind hingegen meistens mit ihren ersten beiden Momenten und
ihrem Verteilungstyp gegeben.
Im
Integrand
in
allgemeinen Fall ist
die errechnete
Versagenswahrscheinlichkeit eine Funk¬
tion eines Parameters q. Aus dieser bedingten Versagenswahrscheinlichkeit
Pf(q) muß in einem Entscheidungsprozeß die Frage nach der totalen, ungewich¬
teten Wahrscheinlichkeit Df beantwortet werden können. Eine natürliche Defini¬
tion, [Ditlevsen
verschiedenen
Pf
=
et
al., 1990], ist die Bildung des gewichteten Mittels der
Df(q):
Jpf(q)f(q)dq
(3.36)
Gewichtungsfunktion muß die Bedingung, f(q)>0, erfüllen und bei einer
1.
Integration über alle möglichen Werte q den Wert 1 ergeben, ff(q)dq
Zusätzlich muß das Integral über die Funktion f(q) eine monoton steigende bzw.
Die
=
ergeben. Mit diesen Eigenschaften entspricht die Gewichtungs¬
funktion f(q) einer Verteilungsdichte. Die bedingten Wahrscheinlichkeiten bilden
fallende Kurve
33
Zuverlässigkeitsanalyse
somit eine Basisvariable. Mit
Gl.(3.36) wird demnach die ungewichtete, totale
Wahrscheinlichkeiten Df bestimmt.
Transformation in den Standardraum
3.1.2
Die bei der
benötigen
blen C
=
Lösung
Zuverlässigkeitsproblemen
von
den Vektor der Mittelwerte
DRD als
Beschreibung
m
verwendeten Methoden
und die Kovarianzmatrix der Basisvaria¬
des stochastischen Modells. Vorerst bleibt der
der einzelnen Basisvariablen außer Acht. Die
Verteilungstyp
Diagonalmatrix D
enthält die Standardabweichungen. Die Korrelationen zwischen den Basisvaria¬
blen, siehe Kapitel 2.3.5, werden mit der Matrix R beschrieben. Im Fall von
unabhängigen Basisvariablen wird sie zur Einheitsmatrix, R I.
=
Es erweist sich im
allgemeinen
Fall als
zweckmäßig, die Transformation Y
=
T(X)
vorzunehmen. Die Basisvariablen X werden dadurch als unkorrelierte, standardi¬
Normalverteilungen
sierte
Y
abgebildet.
Diese besitzen einen Nullvektor als Mit¬
telwertvektor und eine Einheitsmatrix als Kovarianzmatrix. Der Vektor Y,
abhängig
von
der Form der
originalen Verteilungsdichte f(X),
nannten Standardraum. Die Transformation ist
steigend
umkehrbar,
ist. Die wesentlichen Vorteile sind die
fache mathematische Form der
<p(y)
=
Mathematisch betrachtet, handelt
mation, die sich in
folgender
ist
definiert den soge¬
sofern F(X) stetig
Rotationssymmetrie
Verteilungsdichte:
(2%)-n/2exp(-^-)
er
und die ein¬
(3.37)
es
sich dabei
um
eine
Form anschreiben läßt, siehe
orthogonale Transfor¬
[Der Kiureghian et ai.,
1986]:
Y
=
rD~1(X-m)
(3.38)
Darin ist r die Inverse der unteren Dreiecksmatrix L, r
=
L~1. Die Dreieckszer¬
LLT. Die
D~1RD~1
legung der Korrelationsmatrix R liefert die Matrix L, R
dafür notwendige Voraussetzung einer positiven, definiten Matrix ist mit der Kor¬
relationsmatrix R gegeben. Wegen der symmetrischen Verhältnisse in R, wird
vorzugsweise das Choleskyverfahren, [Press et al., 1990], zur Dreieckszerle¬
gung verwendet. Der Grenzzustandsfunktion G(X) im Originalraum entspricht
die Grenzzustandsfunktion g(Y) im Standardraum:
=
G(X)
=
G(m + LDY) s g(Y)
=
(3.39)
Von den Basisvariablen werden
äquivalente, standardisierte Normalverteilungen
gebildet, indem die Randverteilungen transformiert werden. Für eine Realisation
einer Basisvariable bedeutet das y
<I>~1(Fx(x)). Das Modell von Nataf, siehe
[Liu et al., 1986], kann nun zur Beschreibung der gemeinsamen Verteilungs¬
=
dichte verwendet werden:
34
Zuverlässigkeitsanalyse
f (x)
Darin ist
=
fx(.)
9n(y,
R0)-V^
3.40
7-^-
Verteilungsdichte einer Basisvariablen X, eben eine Randver¬
teilung, und <p(y) die Verteilungsdichte einer Standardnormalverteilung. Mit der
n-dimensionalen Verteilungsdichte
<pn(y, R0) wird noch die zusätzliche, durch
die
die Transformation nicht erfaßte Information über die Korrelationen der Basisva¬
riablen beschrieben. Die Elemente der
sen
aus
den
Integralgleichung
gegebenen
äquivalenten Korrelationsmatrix Rq müs¬
Korrelationskoeffizient
mit
folgender
py
errechnet werden:
7 7pCj-E[x..] vxj-E[x..n
pü= J Jhöncr hW-M^J'Pa^'^
(3-41)
-oo-oo
In dieser Formel ist
dardnormalverteilung
cp2(.,.)
die
Verteilungsdichte
der zweidimensionalen Stan¬
mit Korrelationskoeffizient
p0jj. Der wesentliche Vorteil des
verwendeten Natafmodells liegt in der Unabhängigkeit der Matrix Rq vom jeweili¬
gen Punkt der Transformation, siehe Kapitel 2.3.5.
Das Modell setzt voraus, siehe [Der Kiureghian et al., 1986], daß einerseits die
einzelnen Randverteilungen stetig und deren Verteilungsfunktionen monoton
steigend
sind. Im weiteren muß der errechnete Wert p0
y
schen -1 und 1 liegen. Der Unterschied zwischen
definitionsgemäß
zwi¬
py und p0jj ist für die
gebräuchlichen Verteilungstypen sehr klein. In [Der Kiureghian et al., 1986] sind
deshalb halbempirische Formeln für die rasche Berechnung des Verhältnisses
k
p0(jj/pjj angeführt, die ein iteratives Anwenden der Gl.(3.41) nicht mehr erfor¬
derlich machen. Bei zwei Basisvariablen mit Normalverteilung ist der Koeffizient
=
k=1.
Eine schon früher bekannte
Basisvariablen
wurde in
Möglichkeit
in den Standardraum
[Hohenbichler
der
ist die
allgemeinen Transformation
von
Rosenblatt-Transformation. Sie
al., 1981] für die Zuverlässigkeitsanalyse empfohlen.
gemeinsame Verteilungsfunktion Fx(.) korrelier¬
ter Basisvariablen immer als Produkt bedingter Wahrscheinlichkeiten ausge¬
drückt werden kann. Dieses Verfahren hängt allerdings von der Reihung der n
Basisvariablen ab, woraus sich somit n! Möglichkeiten ergeben. Dieser Umstand
tritt nur dann auf, wenn einige der Basisvariablen in Form einer mehrdimensio¬
nalen Verteilung gegeben sind. Solche stochastischen Modelle sind bei prakti¬
et
Sie nützt die Tatsache, daß die
schen
Problemen
eher
selten.
Wenn
hingegen
z.B.
Mittelwert
oder
Standardabweichung einer Basisvariablen ihrerseits stochastische Größen sind,
liegt eine eindeutige Reihenfolge der Transformation vor. In diesem Fall ist die¬
ses Verfahren invariant bezüglich der Anordnung. Für ausführlichere Informatio¬
nen wird auf die angegebene Literatur verwiesen.
35
Zuverlässigkeitsanalyse
Berechnungsverfahren
3.1.3
Die
Berechnung
Versagenswahrscheinlichkeit Df in Gl.(3.35) kann mit unter¬
schiedlichen Verfahren erfolgen. Sie werden in dieser Arbeit in die numerische
Integrations-, die Simulations- und in die Approximationsverfahren eingeteilt.
Jedes bietet gewisse Vor- und Nachteile. Die Entwicklung der Näherungsverfah¬
ren beispielsweise ist auch im geschichtlichen Zusammenhang zu sehen. Sie
entstanden aus dem Umstand, daß die früheren Computerleistungen für
umfangreiche Simulationen nicht ausreichten. Heute kehrt sich das Bild, denn
mit den immer leistungsfähigeren Computern verschwindet das Argument der
Rechenzeit.
der
Die crude
Monte-Carlo Simulation,
anschauliche Methode, erhält wieder
eine
einfache, aber dafür
größere Beachtung.
angeführten gewichteten Integrationsverfahren bieten den
Vorteil, mit wenigen Berechnungen von G(X) auszukommen und dennoch relativ
genaue Ergebnisse für die Momente zu liefern. Der Aufwand steigt bei einer
Anzahl von n Basisvariablen, unter Berücksichtigung der hier verwendeten Inte¬
grationsregel, mit dem Faktor (n2+1). Mit der Anpassung einer Verteilung an die
Momente der Grenzzustandsfunktion kann eine erste Aussage über die Versa¬
genswahrscheinlichkeit gemacht werden.
Die in dieser Arbeit
Die Simulationsverfahren können entweder, wie vorher erwähnt,
zur
Bestim¬
mung der Momente oder zur direkten Berechnung der Versagenswahrscheinlich¬
keit verwendet werden. Sie sind von der Anzahl der Basisvariablen weitgehend
angesprochene Aufgabe von Vorteil ist. Bei der
zweiten Form der Verwendung muß allerdings festgestellt werden, daß es beim
einfachen Monte-Carlo Verfahren bei kleinen Versagenswahrscheinlichkeiten zu
Problemen bezüglich der Güte des Resultats oder des Rechenaufwands kommt.
Deshalb werden Verfahren mit verbesserter Strategie im Simulationsablauf, wie
das importance sampling angewendet.
unabhängig,
Eine
was
Näherung
für die erste
des Wertes der
Versagenswahrscheinlichkeit
Methode der 2.Momente berechnet, im Unterschied
Verfahren, findet bei den Approximationsverfahren
wird
mit der
den vorher genannten
die ganze Berechnung im
zu
Grenzzustandsgleichung wird dabei genähert. Bei der
sogenannten First Order Reliability Method (FORM) wird sie linearisiert, d.h.
durch eine Hyperebene ersetzt. Dieses Approximationsverfahren zeichnet sich
u.a. durch seine kurze Berechnungszeit aus. Als weitere Information kann die
Sensitivität einer Basisvariable bezüglich der Versagenswahrscheinlichkeit
angegeben werden. Um die Genauigkeit des Ergebnisses zu steigern kann die
Grenzzustandsgleichung durch eine Kurve 2.0rdnung, Second Order Reliability
Method (SORM), genähert werden.
Standardraum statt. Die
Grundlagen der Verfah¬
ren beschrieben. Auf die Berechnung des Integrals Gl.(3.36) wird ebenfalls in
den jeweiligen Kapiteln eingegangen.
In den
folgenden Kapiteln
werden die mathematischen
36
Zuverlässigkeitsanalyse
3.2
Numerische
3.2.1
Vorbemerkungen
Integration
Integrationsverfahren, auch Quadraturregeln genannt, erwei¬
sen sich bei einer geringen Anzahl von Basisvariablen in einer Grenzzustands¬
funktion G(X), als effiziente Möglichkeit, die statistischen Momente zu
bestimmen. Diese statistischen Kenngrößen beschreiben die resultierende Ver¬
teilungsfunktion, die den ganzen Informationsgehalt der Basisvariablen in sich
vereint. Ein Moment wird durch die Integration der Grenzzustandsfunktion,
gewichtet mit der gemeinsamen Verteilungsdichte der Basisvariablen berechnet:
Die Numerischen
E[Gk(X)]
|Gk(X)fx(x)dx
=
(3.42)
—oo
näherungsweise Berechnung
der Momente, Gl.(3.42), angegeben. Ein gebräuchlicher Ansatz ist die Entwick¬
lung in eine Taylorreihe um die Mittelwerte der Basisvariablen. Die Berechnung
der partiellen Ableitungen der Grenzzustandsfunktion bezüglich der Variablen
macht diesen Ansatz allerdings sehr aufwendig. Ein anderes Verfahren, die
Point Estimate Methode (PEM), benötigt dagegen nur die Kenntnis des Verlaufs
In der Literatur sind verschiedene Ansätze für die
der Grenzzustandsfunktion. Dabei werden bestimmte Realisationen des Vektors
gewichtet aufsummiert. Grenzen sind diesen numerischen
durch die Anzahl der Variablen und die geforderte Genauigkeit
der Basisvariablen
Verfahren
nur
gesetzt.
Verfahren
3.2.2
3.2.2.1
zur
Ermittlung der Momente
Gauß-Hermite Quadraturformel
Vorerst wird die Situation im Standardraum betrachtet. Für eine Anzahl
von n
unabhängigen standardisierten Normalverteilungen lautet die gemeinsame Ver¬
teilungsdichte:
w
=
—^exp(-5vTy)
2
(2jc)n/2
(3'43)
Verteilungsdichte kann immer mit der in Kapitel 3.1.2
besprochenen Transformation geschlossen werden. Das k-te Momente einer im
Standardraum abgebildeten Grenzzustandsfunktion g(Y), ergibt sich aus der
Berechnung folgenden Integrals, siehe [Zhou et al., 1988]:
Auf diese Form der
oo
E
[gk(Y)]
=
-L J exp(-yTv)gk( J2"y)dy
ijTZ
_oo
37
(3.44)
Zuverlässigkeitsanalyse
Gl.(3.44) läßt sich mit der Gauß-Herrnite Integrationsregel berech¬
V2 y
nen, wobei folgende Substitutionen zu beachten sind: zum ersten wird z
gebildet, der Vektor y entspricht den m Nullstellen des Hermitepolynoms der
Ordnung (2m-1), und zum zweiten wird w a/rc^2 gesetzt, der Vektor a steht für
Der Ausdruck
=
=
die
m
Gewichte. Die Grenzzustandsfunktion wird mit den durch
Realisationen für die Basisvariablen berechnet. Das
multipliziert.
Summenformel angeben:
Gewichten
entsprechenden
bekannten
w
Diese
z
bestimmten
Ergebnis wird dann mit dem
Rechnung läßt sich mit der
m
E
[gk(Z)]
X Wjg1^j,... ,znj)
=
j
=
(3.45)
i
Integrationsvorschrift, die in dieser Arbeit verwendet wird, ist eine soge¬
5 Intergrationspunkte verwendet werden.
nannte Regel ö.Ordnung, bei der m
Die Berechnung der Gewichte Wj und der Integrationsstellen Zj können [Zhou et
al., 1988] entnommen werden. Die Bestimmung des ersten Moments, die Varia¬
blen Z sind im Standardraum definiert, ergibt folgende Rechenvorschrift:
Die
=
E
[g(Z)]
2
=
^
-r-
-^g(O) +
n + 2
X£-^2 t9
4-n
Y
i
2(n
2
+
[g(7n + 2)-g(-Vn~+2)]
2)2
(—> —) + 9(—>"—)
(3-46)
Jn + 2 Jn + 2
Jn + 2 Jn + 2
+g(—->-, —2~)+g(—2~, —?-—)
Gl.(3.46) bedeuten: g(0), die Variablen werden alle auf Zj 0, d.h. auf ihren
Erwartungswert gesetzt, g(±a), eine Variable wird auf Zj ±a gesetzt, alle ande¬
ren bleiben auf Z
0, und g(±a, ±b), es werden zwei Variablen auf Zj ±a und
Zj ±b gesetzt, alle anderen bleiben auf Z= 0. Im dritten Summand der
Gl.(3.46) werden alle möglichen Kombinationen zwischen den Indizes i und j
gebildet. Bei einer Anzahl von n Basisvariablen ergeben sich somit insgesamt
(2n2 +1) Berechnungen der Grenzzustandsfunktion.
In
=
=
=
=
=
Randverteilungen der Basisvariablen X bekannt.
Um die Gl.(3.46) im Originalraum anwenden zu können, muß eine Transforma¬
tion, siehe Kapitel 3.1.2, der entsprechenden Integrationspunkte vom Standard¬
raum zurück in den Originalraum erfolgen:
Im
allgemeinen
X
=
Fall sind die
T"1(Z)
(3.47)
Durch Einsetzten der mit
funktion
G(X), ergeben
Gl.(3.47)
berechneten Punkte
Xj
sich die statistischen Momente im
38
in die Grenzzustands¬
Originalraum.
Zuverlässigkeitsanalyse
Integrationsvorschriften in diesem Zusammenhang wird auf [Zhou et
al., 1988] verwiesen. Ein Vergleich verschiedener numerischer Integrationsfor¬
meln mit der Monte Carlo Methode, allerdings nur für normal- und lognormalverteilte Variablen, ist in [Gorman, 1984] zu finden.
Für andere
Erweiterte Quadraturformeln
3.2.2.2
Berücksichtigung
[Evans, 1972] zurück.
Verteilungsfunk¬
Intergrationsvorschrift ist
Ein Verfahren, das eine bessere
der Form der
ermöglicht, geht auf
grundsätzlich nur auf unkorrelierte
Die
tion
dabei die Schiefe
benötigt.
Die Notation und Form der
[G(X)]
E
Vß1
=
Variablen anwendbar. Zusätzlich werden
ß2 der Basisvariablen X
Integrationsvorschrift lautet:
und die Kurtosis
cGOp + £H, [G(x+)
-
als Information
G(x[)]
i
SXpütG^'xj+)-G(<'xj)
(3-48)
-G(x:,xJ+) + G(x:,xj:)]
In
Gl.(3.48)
gesetzt
-
bedeuten:
GQj.),
die Variablen werden alle auf ihren Mittelwert
\i ist der Mittelwertvektor,
blen werden auf einen in
G(xjl")
und
G(xj*", xj1"),
eine bzw. zwei Varia¬
A 4.1 näher definierten Wert
Anhang
gesetzt. Die Inte¬
der
3.2.2.1
unter
grationsvorschrift
analog
Kapitel
vorgestellten Methode
anzuwenden. Die Anzahl der Berechnungen der Grenzzustandsfunktion ist hier
ebenfalls (2n2 + 1).
ist
Einbezug der mit Gl.(3.47) beschriebenen Transformation kann das Ver¬
fahren verallgemeinert werden. Dabei muß allerdings auf einen Informationsver¬
lust, Schiefe und Kurtosis bleiben unberücksichtigt, hingewiesen werden. Alle
Basisvariablen werden als Normalverteilungen abgebildet und es ergibt sich die
gleiche Formulierung wie in Gl.(3.46), siehe [Li et al., 1985].
Unter
In
[Li, 1992]
wird eine
Basisvariablen,
unter
neuer
Ansatz einer Point Estimate Methode für korrelierte
Einbezug der
ersten vier
Momente, vorgestellt. Diese
Gl.(3.47) aus und benötigt weniger
Berechnungen von G(X) als die Verfahren in [Zhou et al., 1988] und in [Evans,
1972]. Die Grenzzustandsfunktion wird in eine Taylorreihe entwickelt:
Methode kommt ohne Transformation in
E[G(X)]=G(^ +
£ai(xi-|ii)+j;bi(xi-^i)2
j
1
£cj (Xj u.;)3 £dj (Xj ji.)4 + £ej (^ H;) (Xj
+
-
Die
Integration
von
-
-
i
i
+
Gl.(3.49) erfolgt
(3.49)
-
u,.)
i<j
mit einer 3-Punkt Quadraturformel. Es ist
zu
sehen, daß die ersten vier Momente und die Kovarianzen der Basisvariablen
darin enthalten sind.
Gl.(3.50) zeigt die Integrationsvorschrift, [Li, 1992]:
39
Zuverlässigkeitsanalyse
E[G(X)]
\X
+
-
=
(l-3il-|
<w*
"
+
^w[,)G(ii)
5i+1 > Gi(x^ + wi Gi<xi W
(3-50)
i
+
i<j
Bedeutung und Berechnung der darin verwendeten Konstanten ist aus
Anhang A 4.2 ersichtlich. Die Summe der Berechnungen von G(X) in Gl.(3.50)
ist i.a. (n2 + 3n + 2)/2, wenn eine vollbesetzte Korrelationsmatrix angenommen
Die
wird. Im Fall
(1
+
von
unkorrelierten Basisvariablen reduziert sich die Anzahl auf
2n) Berechnungen, da der dritte Summand in Gl.(3.50) keinen Beitrag lie¬
fert.
Diese Methode weist sich durch ihren
Erwartungswert
allerdings nur dann
geringen
Rechenaufwand
aus.
einer Grenzzustandsfunktion kann eine relativ hohe
keit
nen
erzielt werden,
wenn
Für den
Genauig¬
die ersten vier Momente der einzel¬
Basisvariablen existieren. Die in den beiden vorher erwähnten Verfahren,
al., 1988] und [Li et al., 1985], notwendige Transformation im Fall
korrelierten Basisvariablen, entfällt hier.
[Zhou
et
Die beiden
Ordnung.
vorgestellten
Die errechneten Momente
Grenzzustandsfunktion
Grad der
Verfahren sind erweiterte
Genauigkeit
bezüglich
in den
Quadraturregeln
mit
von
niedriger
G(X)
sind relativ genau, wenn die
der Basisvariablen X linear ist. Ist ein höherer
von
Ergebnissen gefordert, so
gerechnet werden,
muß mit dem
in
3.2.2.1 beschriebenen Verfahren
wobei die Anzahl
Kapitel
auf
Kosten
der
Rechenzeit
erhöht
werden
muß.
Integrationspunkte
der
Anpassung
3.2.3
einer
Verteilungsfunktion
Mit der Kenntnis der Momente einer Grenzzustandsfunktion
eine
angepaßte Verteilung
zu
G(X) ist
es
möglich,
finden, deren Momente mit denen der Grenzzu¬
standsfunktion übereinstimmen. In
gewissen Fällen genügt die Kenntnis dieser
Verteilungsfunktion F(), um Aussagen über die Versagenswahrscheinlichkeit zu
machen. Mit dem Wert der angepaßten Verteilungsfunktion an der Stelle x
0,
sich
zu:
ergibt
pf
=
Pf
=
1-F(0)
(3.5!)
Zum
Anpassen einer Verteilung an gegebene Momente können Johnson-,
Pearson- und Lamdaverteilungen verwendet werden. Im Unterschied zu den ein¬
facheren Typen wie Normal- oder Lognormalverteilung, bieten diese den Vorteil,
wesentlich anpassungsfähiger zu sein. Sie decken einen weiten Bereich von
Momentenkombinationen ab. Pearson- und Johnsonkurven können zur Anpas¬
sung an unterschiedlichste Kombinationen von Vß-j und ß2 verwendet werden.
40
Zuverlässigkeitsanalyse
Anwendungen dieser Methode der Verteilungsanpassung finden
riu, 1983] für die Lamda-Verteilung oder in [Li et al., 1985] für die
lungen.
In dieser Arbeit wird auf Johnsonkurven
zurückgegriffen.
sich in
[Grigo-
Pearsonvertei-
Die zentrale Idee
von
Johnson, siehe [Draper, 1952], ist die Transformation einer Verteilung in der
Form, daß diese dann als Standardnormalverteilung erscheint, hier als Y J[X]
=
in drei
mögliche Transformationen, als lognormal
(SJ, unbounded (Sy) und bounded (Sb) system bezeichnet, ist möglich:
geschrieben. Eine Einteilung
SL:
y
S u:
y
SB:
y
=
Y+ö7oa-(x-£),mit:£<x
=
=
y+
dsinh^ ((x
-
(3.52)
£) /%)
(3.53)
Y+S/ogr((x-£)/(£ + X-x)),mit:£<x<^ + A.
(3.54)
notwendigen Parameter y, 8, % und X einer Johnsonkurve wer¬
benötigt. [Hill et al., 1976] beschreibt einen Algo¬
rithmus zur Berechnung der notwendigen Parameter. Die in Gl.(3.52), Gl.(3.53)
und Gl.(3.54) gezeigten Transformationen ergeben eine standardisierte Normal¬
verteilung Y, siehe [Hill, 1976].
Zur
Ermittlung
der
den die ersten vier Momente
Bei einer Grenzzustandsfunktion
nen
Weise eine
Bestimmung
G(X) erfolgt
in der
der Parameter
aus
gleichen,
vorher beschriebe¬
den statistischen Momenten.
Die
angepaßte Johnsonkurve wird an der Stelle Null in einen äquivalenten Wert
einer Standardnormalverteilung transformiert. Mit dieser Größe kann die Versa¬
genswahrscheinlichkeit pf abgeschätzt werden:
pf«pf
Eine
=
(3.55)
<E>(J[G(X)]|0)
Erweiterung
auf
Systeme
möglich. Wird die in Kapitel 2.4
Systemantwort Gl.(2.28) verwendet, so kön¬
ist ebenfalls
beschriebene
Darstellungsform der
nen für das Systems
Gsys die ersten vier Momente ermitteln werden. Daraus
wird dann in analoger Weise eine Abschätzung der Versagenswahrscheinlichkeit
für das ganzen Systems vorgenommen.
3.3
Simulationsverfahren
3.3.1
Grundsätzliches
Begriff Simulationsverfahren steht für "zufälliges wählen" und "beobachten"
einer großen Anzahl von Werten, die als künstliche Experimente gedeutet wer¬
den können. Gleichzeitig ergeben sich statistische Aussagen über den simulierDer
41
Zuverlässigkeitsanalyse
Sachverhalt.
ten
Das
Approximationsverfahren,
Kapitel 3.4,
Information nicht. Aus diesem Grund und der Tatsache, daß die
geschwindigkeit
Computer steigen,
der
bietet
Verarbeitungs¬
werden Simulationsverfahren immer
attraktiver. Theoretisch liefert ein Simulationsverfahren, das als eine
Art der numerischen
Integration angesehen
groß genug
spezielle
werden kann, das exakte Resultat,
die Zahl der Realisationen
wenn
diese
ist. Simulationsverfahren,
so
muß
allgemein festgestellt werden, gestatten den Nachweis, daß Approximationen
stimmen.
Die
nötige Anzahl der Simulationen für eine vorgegebene Genauigkeit
unter¬
scheidet verschiedene Techniken und kennzeichnet somit ihre Effizienz. Eine
grundlegende Einteilung
der Verfahren ist in
[Rubinstein, 1981] gegeben.
Am einfachsten und anschaulichsten ist die
sogenannte Hit-or-Miss oder crude
Monte Carlo Methode. Speziell in der Zuverlässigkeitsanalyse gibt es neuere
Entwicklungen wie das search-based-importance sampling [Melchers, 1990],
das adaptive sampling [Bucher, 1988] oder die directional Simulation [Bjerager,
1988].
Bei der
der statistischen Momente einer Grenzzustandsfunktion
Bestimmung
erweist sich die Monte Carlo Simulation als effizient. Die Anzahl der Simulatio¬
nen
muß bei
steigender
Variablenanzahl nicht erhöht werden.
Bei der in
Kapitel 3.2 beschriebenen numerischen Integration steigt hingegen der Umfang
der Rechenoperationen quadratisch mit der Anzahl der Variablen. Als Nebenpro¬
dukt der Simulation können die Ergebnisse in Klassen zusammengefaßt werden
und ergeben ein Histogramm der Verteilungsdichte. Die verschiedenen Summationen der N Ergebnisse einer Simulation ergeben den Erwartungswert und die
Varianz der Grenzzustandsfunktion:
E[G(X)]
N
1
i
Var
<3.56)
=^XGW
[G(X)]
=
=
i
^ (E [G(Xj)2]
Entsprechend Gl.(3.57)
-
E
[G(X)]2)
(3.57)
können auch die Schiefe und Kurtosis ermittelt werden.
Mit der Kenntnis der ersten vier Momente kann, siehe
sonkurve
angepaßt
werden.
Allerdings
müssen
Kapitel 3.2.3, eine John¬
genügend viele Zufallszahlen
erzeugt werden, damit auch die höheren Momente genau genug sind.
3.3.2
Crude Monte Carlo
Die crude Monte-Carlo Methode liefert auf
zufällige Weise und unverzerrt die
Treffer im Versagensbereich und gestattet eine Aussage über die Versagens¬
wahrscheinlichkeit. Mathematisch wird dies durch eine Indikatorfunktion i(.)
42
Zuverlässigkeitsanalyse
ausgedrückt, die den Wert 1 zurückliefert, wenn G(X) < 0 ist. In allen anderen
Fällen ergibt sie den Wert 0. Eine Schätzung der Versagenswahrscheinlichkeit
pf und der dazugehörenden Varianz Var [pf -,] lauten nach [Rubinstein, 1981]:
N
1
PfÄPf
=
i
Var
[M
(3-58)
FjSI(G(X)-0)
=
1
=lpf(1-pf)
Bei kleinen Werten
(3.59)
pf werden selten Zufallsvektoren erzeugt, die ein Ergeb¬
nis im Versagensbereich liefern. Damit wird eine konsistente und erwartungs¬
Schätzung
von
Frage gestellt. Der Variationskoeffizient in Gl.(3.59)
ergibt sich aus der Annahme, daß die Menge der i(.)/N eine binomialverteilte
Größe bildet, [Rackwitz, 1990], Daraus läßt sich dann die erforderliche Anzahl
treue
von
Df in
der Simulationen berechnen,
werden soll. Der in
eine bestimmte Varianz nicht überschritten
wenn
Gl.(3.59) enthaltene Wert Df
muß dann
allerdings bei der
Festlegung
der Anzahl der erforderlichen Simulationen angenommen
da dieser im voraus noch nicht bekannt ist.
Eine gute
Gl.(3.59)
Gl.(3.58)
werden,
Schätzung
klein ist.
des Wertes Pf ist dann gegeben, wenn die Varianz in
Eine erwartungstreue Schätzung ist gegeben, wenn in
ein Gleichheitszeichen pf
pf gesetzt werden kann. Für weitere Infor¬
mationen sei hier auf [Rackwitz, 1990] verwiesen.
=
Um für kleine
Versagenswahrscheinlichkeiten
eine
gute Schätzung
zu
erhalten,
müssen Verfahren verwendet werden, die eine Reduktion der Varianz
ergeben.
Diese Techniken können als
Strategien
für die
Vorgehensweise
tion verstanden werden. Dabei wird laufend der
Problem
berücksichtigt.
Kenntnisstand über das
Je mehr über das Problem bekannt ist, desto wirksamer
sind varianzreduzierende Verfahren,
3.3.3
neue
bei der Simula¬
[Rubinstein, 1981].
Importance Sampling
Die
Generierung der Zufallsvektoren wird bei dieser Methode auf den für das
Versagen maßgebenden Bereich verlegt. Die Importanzstichprobenwahl erfolgt
in jenem Bereich, der die größten Anteile an das Wahrscheinlichkeitsintegral
Gl.(3.35) bringt. Diese wird mit der importance sampling Verteilungsdichte hv()
erweitert. Theoretisch gibt es für hv() eine optimale Form der Verteilungsdichte,
mit der eine minimale Varianz des Ergebnisses erzielt werden kann. Ist hv() im
Idealfall proportional zum Kehrwert der Wahrscheinlichkeit Pf und liefert im
Bereich
G(X)>0 den Wert 0, dann wird die Varianz ein Minimum, siehe
[Rubinstein, 1981]. Dies ist jedoch praktisch nicht von Nutzen, da Df im voraus
nicht bekannt ist. Gute Ergebnisse lassen sich erzielen, wenn die Form von
hv() ähnlich der gemeinsamen Verteilungsdichte fx() gewählt wird.
43
Zuverlässigkeitsanalyse
Eine
Schätzung
der
Versagenswahrscheinlichkeit pf, sinngemäß
zu
Gl.(3.58),
lautet:
f (V)
1
pf=.pf
=
^2l(G<V)S0)fi^
(3.60)
Eine
Möglichkeit für die Positionierung der Verteilungsdichte hv() besteht in der
Zentrierung des Mittelwertvektors my im Punkt der größten Wahrscheinlichkeit
auf der Grenzzustandsfläche [Meichers, 1989], siehe Bild (3.8). An dieser Stelle
erreicht die Verteilungsdichte fx() ihr Maximum, unter der Bedingung, daß
0 ist. Liegt hv() in diesem Bereich, ist eine hohe Rate von Treffern im
G(X)
Versagensbereich möglich.
=
Abb.(3.8)
Darstellung der Importance Sampling Methode
maximum likelihood
Für die ideale
Positionierung der Verteilungsdichte hv() sind allerdings Vorinfor¬
mationen notwendig. Diese können aus einer vorangegangenen FORM Analyse,
siehe Kapitel 3.4, gewonnen werden. Der sich aus dieser Methode ergebende
Bemessungspunkt x* entspricht i.a. einer idealen Positionierung, d.h. dem point
of maximum likelihood. In [Hohenbichler et al., 1988] ist eine Verbesserung der
FORM Resultate durch eine nachfolgende Simulation gezeigt. Dabei wird der
hohe Kenntnisstand über die Grenzzustandsfunktion ausgenützt. Wird die Simu¬
lation als alternative, kontrollierende Berechnungsmethode verstanden, so
erscheint jedoch eine unabhängige Vorgangsweise als bessere Variante. In die¬
sem Fall muß das Verfahren eine laufende Anpassung der Parameter der Vertei¬
lungsdichte hv() ermöglichen.
[Meichers, 1989]
Vergleich zur crude
In
wird der
geringere Aufwand des importance sampling im
Monte-Carlo Methode gezeigt. Die Erfolgsrate beschreibt
das Verhältnis der Trefferanzahl im Versagensbereich und der Gesamtanzahl
der Simulationen. Bei der crude Monte-Carlo Methode ist die Erfolgsrate propor¬
tional zur Versagenswahrscheinlichkeit. Wenn eine Anzahl von M Punkten im
44
Zuverlässigkeitsanalyse
Versagensbereich benötigt wird, dann sind nach Gl.(3.59) ca. M/pf Simula¬
tionen erforderlich. Hingegen läßt sich die Erfolgsrate beim importance sampling
wesentlich steigern. Wenn die Grenzzustandsgleichung G(X)
0 im Idealfall
mitten durch hv() verläuft, kann eine Erfolgsrate von nahezu 50% erreicht wer¬
=
den, siehe Bild (3.8).
Beim
importance sampling wird ein Zufallsvektor für die Basisvariablen von der
Verteilungsdichte hv() gebildet. Sie wird oftmals als eine n-dimensionale Nor¬
malverteilung gewählt. Hier zeigt sich dann auch ein weiterer Vorteil, denn mit
der Box-Müller Methode, [Press et al., 1990], lassen sich effizient Zufallszahlen
berechnen. Bei der crude Monte-Carlo Methode, Gl.(3.58), muß dagegen von
der originalen Verteilungsdichte fx() generiert werden, was numerisch wesent¬
lich aufwendiger sein kann.
Das Auffinden des
ausgezeichneten Punktes, an dem die Verteilungsdichte
hv() zentriert wird, kann mit einer vorausgehenden Maximierung von fx() an
der Kurve G(X)
0 erfolgen. Mit dem adaptive sampling, [Bucher, 1988], oder
dem search-based importance sampling, [Meichers, 1990a], wird eine iterative
Anpassung der Verteilungsdichte hv() vorgeschlagen.
=
Auf andere Verfahren, wie das directional importance
sampling, [Bjerager, 1988],
importance sampling, [Meichers, 1990b], wird hier nicht einge¬
Für weitere Informationen wird auf die angegebene Literatur verwiesen.
oder das radial
gangen.
Erwartungswertbildung
3.3.4
Die
Berechnung des Erwartungswertes einer Grenzzustandsfunktion wurde in
Kapitel 3.3.1 generell betrachtet. Es besteht aber i.a. die Notwendigkeit, von
bedingten Versagenswahrscheinlichkeiten Pf(q) die ungewichtete Versagens¬
wahrscheinlichkeit zu berechnen, siehe Gl.(3.36). Es wird in diesem Fall der
Erwartungswert E [Pf(Q)] über die gesamte Grenzzustandsfunktion gebildet. Im
weiteren kann ein solcher Erwartungswertoperator auch innerhalb des Aus¬
drucks der Grenzzustandsfunktion vorkommen. Nachfolgend wird nur auf die
Berechnung der totalen Wahrscheinlichkeit eingegangen.
Die Basisvariablen in einer Grenzzustandsfunktion sind in einem solchen Fall in
Gruppen zu unterteilen,
sprechen den konventionellen
zwei
riablen,
mit
Q
bezeichnet,
X
=
[X,
Q]T.
Die einen, mit X bezeichnet, ent¬
Basisvariablen. Die andere
bilden
solche
Größen,
Gruppe
die
von
Zufallsva¬
während
eines
Berechnungszyklus konstant gehalten werden. Für eine bestimmte Realisierung
von Q
q ergibt sich in der Berechnung i eine bedingte Versagenswahrschein¬
lichkeit Pf(qj). Die totale, ungewichtete Versagenswahrscheinlichkeit Pf und die
dazugehörige Varianz ergeben sich aus den N Durchläufen einer Monte-Carlo
=
Simulation
zu:
45
Zuverlässigkeitsanalyse
PfÄ Pt
1
=
X Pf^i>
Fl
i
(3.61)
1
=
N
VarCpf,-,]
=^X(PW-Pu)2
i
=
(3.62)
1
Versagenswahrscheinlichkeit Pf(qj) kann z.B. nach der crude Monte-Carlo
Methode oder dem importance sampling berechnet werden. Der Zufallsvektor q,
wird für jede dieser Teilaufgaben von der Verteilungsdichte f(j() gebildet.
Die
Um die Effizienz in der
lichkeit Df
zu
der
Berechnung
ungewichteten Versagenswahrschein¬
wird die Methode der antithetic variates bei der Simulation
steigern,
[Ayyub
verwendet, siehe
et
al., 1992].
Bei dieser Methode wird durch die
Einführung zweier getrennter Simulationszy¬
klen, die negativ korreliert sind, die Varianz des Erwartungswertes verringert,
siehe [Rubinstein, 1981]. In einem ersten Lauf wird die Versagenswahrschein¬
)
lichkeit pf(
ermittelt. Dabei werden zu Beginn gleichverteilte Zufallszahlen U
generiert, die im Bereich [0, 1] liegen. Mit den jeweiligen Umkehrfunktion der
Verteilungsfunktionen werden dann die Zufallszahlen für die Grenzzustands¬
funktion gewonnen:
qi(1)
=
Fq1(Uj)
(3.63)
Ein zweiter Lauf verwendet
Zufallszahlen als
q|2)
=
nun
die
Komplemente
gleichverteilten
Ausgangsgrößen:
Fö10-Ui)
Mit dem anderen Satz
wahrscheinlichkeit
Läufen wird wie
der ersten
pf(
(3-64)
von
).
Die
Zufallszahlen, Gl.(3.64), ergibt sich die Versagens¬
ungewichtete Versagenswahrscheinlichkeit Pf aus
N
folgt berechnet:
p."=ft,2=2Ri[pr+pf]
i
=
<3-65>
1
Das Verfahren der antithetic variates resultiert in einer reduzierten Varianz für
den Wert pf)2- In
[Rubinstein, 1981]
gen vorausgesetzt, eine Varianz
von
wird
Var
Ein
gezeigt, daß, gewisse Randbedingun¬
[pf 2] ^ Var [pfj] /2 möglich ist.
hybrides Verfahren, als adaptive hybrid conditional sampling in [Karamchandani et al, 1991] bezeichnet, unterteilt die Variablen in wichtige und weniger
wichtige Größen. Es wird das Prinzip entsprechend Gl.(3.61) verwendet. Dabei
46
Zuverlässigkeitsanalyse
allerdings zu beachten, daß dieses nur in solchen Fällen gilt, in denen die
E[X] +E[Y] gilt. Damit ist gemeint, daß es bei der
Bedingung E[X + Y]
Berechnung darauf ankommt, wo im Ausdruck der Erwartungswert gebildet wird,
siehe [Schall et al., 1991].
ist
=
3.4
Approximationsverfahren
3.4.1
Übersicht
Wahrscheinlichkeitsintegral, siehe Gl.(3.35), wird bei dem Approximations¬
verfahren durch Gl.(3.66) ersetzt. Daraus ergeben sich Vereinfachungen in der
Berechnung und eine neue Formulierung des Problems:
Das
pf= P(G(T[X])<0)
J
=
<p(Y)dy
(3.66)
g(Y)<o
In
Gl.(3.66)
variablen Y
wird die in
Kapitel
3.1.2 beschriebene Transformation der Basis¬
T[X] verwendet. Diese Transformation wurde
Hasofer und Lind vorgeschlagen, [Hasofer et al., 1974].
=
im
Prinzip
von
Begrenzung des Versagensbereichs bildet die linearisierte Grenzzu¬
standsgleichung, die untere ist, da es sich um den Standardraum handelt, mit
gegeben. Die Berechnung des Integrals besteht eigentlich in der Suche nach
dem kürzesten Abstand des Integrationsrandes, definiert durch die Grenzzu¬
standsgleichung g(Y) 0, zum Ursprung. Dabei handelt es sich um einen iterati¬
ven Vorgang, bei dem g(Y) jedesmal neu in eine Taylorreihe I.Ordnung
entwickelt wird. Der Betrag dieses Lösungsvektors y* wird als alternatives Maß
für die Zuverlässigkeit definiert, ß
||y*||. Dieser ß-Wert, auch als Zuverlässig¬
keitsindex bezeichnet, wird oft als ßm_ angeschrieben. Im weiteren erfolgt die
Bezeichnung schlicht mit ß.
Die obere
-oo
=
=
y* definiert einen ausgezeichneten Punkt auf der die Grenzzustands¬
gleichung g(Y) 0 approximierenden Fläche. Dieser wird in der Zuverlässigkeit¬
stheorie als Bemessungspunkt (design point) bezeichnet. Der Wert von ß bleibt
invariant bezüglich aller möglichen mathematischen Formulierungen der Grenz¬
zustandsfunktion. Eine erste Näherung der Versagenswahrscheinlichkeit lautet:
Der Vektor
=
Pf
=
(3.67)
*(-ß)
<E>(.) die Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung. Der Standardraum ist durch die n-dimensionale Verteilungsdichte der stan¬
dardisierten, unkorrelierten Normalverteilungen cpn(y) definiert. Der Inhalt des
Versagensraums, der von der Hyperebene g(Y) 0 begrenzt wird, berechnet
sich mit Gl.(3.67). Die Krümmung der Grenzzustandsfläche bleibt bei dieser
Darin bedeutet
=
47
Zuverlässigkeitsanalyse
Näherung unberücksichtigt,
Abweichungen vom korrekten Wert
ersten
weniger großen
Versagenswahrscheinlichkeit kommen
womit
der
es
zu
mehr oder
kann.
Abb. (3.9)
Grenzzustandsfläche im Standardraum
sicherer
[Ditlevsen, 1979a] wird deshalb die Einführung eines verallgemeinerten Index
empfohlen, der diesen Nachteil umgeht. In umgekehrter Reihenfolge berechnet
In
sich ein Index, mit
ßg
bezeichnet, indem
von
einem verbesserten Wert für Df ein
äquivalenter ß-Wert gesucht wird:
ßa
=
.-1,
Darin bedeutet
sierten
Die
<E>"1(.)
die Umkehrfunktion der
Verteilungsfunktion
der standardi¬
eine genauere Integration des
0 durch eine Taylorreihe
von g(Y)
Versagensbe¬
2.0rdnung im
Normalverteilung.
Berechnung
reichs,
(3.68)
-o-1^)
von
ßg bedingt
Näherung
Bemessungspunkt, ein Hyperparaboloid, erreicht wird. Solche Methoden wer¬
den Zuverlässigkeitsmethoden zweiter Ordnung genannt, die in der Literatur als
Second Order Reliability Methods (SORM) bekannt sind. Im Bemessungspunkt
schmiegen sich die beiden Näherungsflächen, sowohl Hyperebene als auch
Hyperparaboloid, an die Grenzzustandsgleichung g(Y) 0 an.
was
mit der
=
=
3.4.2
Lineare
Näherung
der Grenzzustandsfläche
Aus Bild
(3.9) ist die lineare Näherung der Grenzzustandsfläche ersichtlich. Die
Grenzzustandsgleichung im Lösungspunkt lautet:
g(/)
=
ß-aTy
=
(3.69)
0
48
Zuverlässigkeitsanalyse
Der Normalabstand der
a-Werte werden
g(Y)|Y=y*
a
Hyperebene ist mit ß gegeben. Die sogenannten
den partiellen. Ableitungen der Grenzzustandsfunktion
aus
berechnet:
=
-Vg(y)/|Vg(y)||
(3.70)
1 ist. Die Versagenswahrscheinlich¬
Gl.(3.70) wird ersichtlich, daß qJcl
keit wird näherungsweise durch Gf.(3.67) angegeben.
Aus
=
Quadratische
3.4.3
Näherung
der Grenzzustandsfläche
Eine in
[Fiessler et al., 1979] erstmals vorgeschlagene verbesserte Ermittlung
der Versagenswahrscheinlichkeit, berücksichtigt die Krümmung der Grenzzu¬
standsfläche. Dazu wird g(Y)
0 im Bemessungspunkt y* in eine Taylorreihe
2.Ordnung entwickelt, womit sich ein Hyperparaboloid der Grenzzustandsfläche
anschmiegt. Die Berechnung der Versagenswahrscheinlichkeit wird durch einen
Korrekturwert für die erste Näherung angegeben, der asymptotisch korrekte
Ergebnisse liefert.
=
[Breitung, 1984] steht ein wichtiges Theorem dazu: wenn es einen eindeuti¬
gen Bemessungspunkt y* gibt, die Grenzzustandsfunktion g(Y) in diesem Punkt
zweimal differenzierbar ist und y ein Vektor von unabhängigen, standardisierten
Normalverteilungen ist, gilt folgende Näherung:
In
n-1
Pf^H^na+ßK,)172
i
=
für:ß-*<*>
(3.71)
1
Berechnung der Hauptkrümmungen iq der Grenzzustandsfunktion g(Y) im
Lösungspunkt y* wird erforderlich. Eine orthogonale Transformation des Koordi¬
Ry, bildet den Bemessungspunkt y* so ab, daß er auf der
natensystems, y*
Achse y'n des neuen Koordinatensystems zu liegen kommt. Die dazu erforder¬
liche Rotationsmatrix R kann beispielsweise mit dem Gram-Schmidt Algorithmus
ermittelt werden. Die Näherung der Grenzzustandsfläche als Hyperparaboloid
läßt sich nun wie folgt anschreiben:
Die
=
n-1
g(y')
=
ß+^XKiyf=
(3-72)
0
1
Darin sind k, die Hauptkrümmungen des Hyperparaboloids, die sich aus den
Eigenwerten einer Matrix A ergeben. Die Elemente von A werden wie folgt
berechnet:
[RV2g(y)RT]ii
«Hl-
|Vg(y)l
fÜr:U
=
1
49
n"1
(3J3)
Zuverlässigkeitsanalyse
In
Gl.(3.73)
ist R die
Rotationsmatrix, Vg(y) der Gradient und V2g(y) die
Jakobi-Matrix der Grenzzustandsfunktion. Für den Fall
läßt sich die
von
zwei Basisvariablen
Hauptkrümmung explizit angeben, siehe [Ditlevsen
et
gng2-2gi2gig2+g22g2
v_
al., 1990]:
,o™
(9T + 92)
quadratische Näherung bezweckte Verbesserung versagt, wenn
die angeführten Voraussetzungen nicht gegeben sind. Wenn, wie es bei kleinen
ß-Werten oft vorkommt, auch höhere Ableitungen maßgebend werden, oder die
Tailorreihenentwicklung im Bemessungspunkt y* keine gute Näherung der
Grenzzustandsfläche ergibt, dann können mit Gl.(3.71) keine befriedigenden
Ergebnisse erzielt werden.
Die durch die
Genauigkeitssteigerung nur durch eine Simulation
erzielt werden. In [Hohenbichler et al., 1988] wird deshalb ein nachträgliches
importance sampling vorgeschlagen. Dabei wird der Informationsstand über das
Problem, d.h. die Kenntnis der ß und a-Werte, ausgenützt.
In solchen Fällen kann eine
Die
Vermeidung
führt
zu
-
hier
der
nur
aufwendigen
numerischen
kurz erwähnten
-
Berechnung
Variationen
der Jakobi-Matrix
SORM.
[Abdo, 1989]
Ableitungen mit einer
al., 1987] ermittelt mit
von
Näherung
sogenannten Update-Formel vor. [Der Kiureghian et
zusätzlichen, nachträglich ermittelten Punkten auf der Grenzzustandsfläche die
Hauptkrümmungen näherungsweise. In [Der Kiureghian et al., 1991] wird eine
Adaption des HL-RF Verfahrens vorgestellt, womit die Bestimmung der Haupt¬
krümmungen parallel zur Suche des Lösungspunktes erfolgt.
schlägt
eine schrittweise
3.4.4
Die Suche des Minimums
der Matrix der zweiten
Allgemeines zu den Veriahren
Die Bestimmung des Wertes ß erweist sich als die zentrale Aufgabe bei der
Anwendung von Approximationsverfahren. Voraussetzung ist generell eine ein¬
malige Differenzierbarkeit der Grenzzustandsfunktion. Will man gegebenenfalls
einen Korrekturwert für die erste Näherung der Versagenswahrscheinlichkeit
berechnen, so ist eine zweimalige Differenzierbarkeit notwendig.
3.4.4.1
Ein
Vergleich der möglichen Methoden zum Auffinden des Lösungspunktes fin¬
det sich in [Liu et al.,1991]. Dort werden die Verfahren nach Kriterien wie die all¬
gemeine Verwendbarkeit, die Konvergenzeigenschaft, die Schnelligkeit bzw. die
Anzahl der Berechnungen der Grenzzustandsfunktion und der Speicherplatzbe¬
darf im Computer untersucht. Methoden, die ohne die Berechnung der Ableitun¬
gen auskommen, wie etwa das Davidon-Fletcher-Powell Verfahren, [Press et al.,
1990], sind wegen der zahlreichen Berechnungen der Grenzzustandsfunktion
nicht anwendbar. Es zeigt sich, daß für eine nichtlineare Minimierung mit nicht-
50
Zuverlässigkeitsanalyse
Sequential Quadratic Programming Method all¬
gemein als bestes Verfahren gilt. Nachteile zeigen sich jedoch bei einer großen
Anzahl von Variablen. Der Bestimmung der zweiten Ableitungen der Randbedin¬
gung, der sogenannten Jakobi-Matrix, kann eine Grenze durch den verfügbaren
Speicherplatz im Computer gesetzt sein. Aus diesem Grund und weil der Auf¬
wand relativ hoch ist, wird allgemein jenen Verfahren der Vorzug gegeben, die
lediglich mit dem Gradienten, das ist der Vektor der partiellen Ableitungen der
linearen
Randbedingungen,
die
Grenzzustandsfunktion nach den Basisvariablen, auskommen.
spezielles Gradientenverfahren, die sogenannte HL-RF Methode, gilt als
besonders geeignet. Es handelt sich um ein spezifisches Iterationsverfahren. Mit
der Bezeichnung HL-RF wird einerseits festgehalten, daß Hasofer und Lind,
[Hasofer et al., 1974], ursprünglich dieses Verfahren für Zuverlässigkeitsanaly¬
sen empfohlen hatten. Andererseits macht diese Bezeichnung kenntlich, daß
Rackwitz und Fießler, siehe bei [Rackwitz, 1977] und [Rackwitz et al., 1978], das
Verfahren mit der Einführung der sogenannten tail approximation, Kapitel 3.4.5,
Ein
erweitert haben.
3.4.4.2
HL-RF Methode
Minimierungsaufgabe wird immer die Situation im Standardraum
betrachtet. Die Funktion g(Y) ist die Abbildung von G(X) des Originalraums und
ergibt sich aus der bereits erwähnten Transformation, Kapitel 3.1.2. Die Zielfunk¬
tion wird im Standardraum formuliert und ist mit Gl.(3.75) gegeben. Sie besitzt
eine einfache quadratische Form, deren Ableitung analytisch gebildet werden
kann. Das Auffinden des Lösungspunktes y* wird durch die Minimierung der
Bei
der
Zielfunktion erreicht.
h(y)
=
yTy
(3.75)
jeweiligen Problem ab und ist i.a. eine
nichtlineare Funktion von Basisvariablen. Die Forderung, daß die Grenzzu¬
standsfunktion den Wert Null besitzt, bildet die Randbedingung für das MinimieDie Grenzzustandsfunktion
rungsproblem,
g(y)
=
und wird im
hängt
vom
folgenden
als Restriktion bezeichnet:
(3.76)
0
Lagrange'sche Satz definiert die notwendige Bedingung für die Existenz
eines optimalen Punktes, wenn allgemein eine Zielfunktion mit einer Gleichheits¬
restriktion gegeben ist. Die Restriktion, Gl.(3.76), wird für die weitere Betrach¬
tung in eine Taylorreihe 1 .Grades
Der
g(y)
+
VgTAy
=
(3.77)
0
Gl.(3.75), in eine Taylorreihe 2.Grades entwickelt, siehe
Lagrange'sche Funktion kann nun wie folgt angeschrieben
und die Zielfunktion,
[Abdo, 1989].
Die
werden:
51
Zuverlässigkeitsanalyse
UV, *)
=
yTy + 2yTAy + AyTAy + X{g(y) + V gTAy} 10
(3.78)
y
Gl.(3.78) ist der Lagrangesche Multiplikator. Die hinreichende und
notwendige Bedingung (Kuhn-Tucker Bedingung) für die Optimalität des neuen
Iterationspunktes ergibt sich aus dem Gradienten der Lagrange'schen Funktion:
Der ArWert in
V
L(y, X)
=
2y + 2Ay + XV g
0
(3.79)
können in Matrixform
geschrieben werden. Die Unbe¬
kannten X und Ay werden mit einer Gaußschen Dreieckszerlegung separiert und
durch Rückwärtseinsetzen berechnet. Folgende rekursive Formeln ergeben sich
nach einer Lösung dieses Gleichungssystems:
Gl.(3.77)
und
Ayk
*
=
Gl.(3.79)
=
—^—2 -viv flW
=
|Vgcyk){
—^—5 tg(yk)
|vg(yk)|2
-
-
ocyk)]
v
g(yk)
-
(3.so)
yk
Yk v g(yk)]
(3.81)
Erweiterungen
[Bryla al., 1991] wurde eine Ergänzung des HL-RF Algorithmus angegeben,
mit der ein Parametervektor t berücksichtigt werden kann. Dieser Vektor t enthält
3.4.4.3
In
et
Größen,
von
gesucht
werden muß. Solche Parameter sind z.B. die Zeit oder
denen ebenfalls, zusätzlich
zu
den Basisvariablen, das Minimum
geometrische
Dimensionen in einer Grenzzustandsfunktion, die mit ihrem Wertebereich ange¬
geben werden.
Der erweiterte Vektor lautet Y
=
[Y,t]T.
Bei der Suche nach dem
Lösungs¬
für die Basisvariablen Y
Minimierungsprozeß eine Lösung
gefunden werden. Der berechnete Lösungsvektor [y*, t*]T
bildet ein Minimum der Basisvariablen bezüglich der Konfiguration der Parame¬
ter t. Die Herleitung der entsprechenden Iterationsvorschrift ist in Anhang A 3.1
angeführt.
punkt kann
in einem
und die Parameter t
Erweiterung des HL-RF Algorithmus, gegeben in [Abdo, 1989],
ermöglicht die Berücksichtigung mehrere Grenzzustandsfunktionen beim Mini¬
mierungsprozeß. Dabei entstehen vor allem Fragen der Ablaufkontrolle bei der
Umsetzung in den Computer. Bei der iterativen Suche des Lösungspunktes muß
kontrolliert werden, welche dieser Restriktionen von Bedeutung sind. Von den m
gegebenen Grenzzustandsfunktionen sind nur bestimmte für die Minimierung
Eine andere
Interesse. Die sogenannten aktiven Restriktionen werden als die aktive
Menge, [Gill et al., 1981], bezeichnet. Diese Anzahl k der aktiven Grenzzu¬
von
jedem Iterationsschritt neu ermittelt werden. Im allge¬
Ausgangsgleichungen Gl.(3.77) und Gl.(3.79) werden zu:
standsfunktionen muß in
meinen
gilt
k
< m.
Die
52
Zuverlässigkeitsanalyse
9j
=
9j(y) +v gjTAy
mit:
O
=
j
=
1
(3.82)
k
k
V
uy, X)
=
£ a. V q
2y + 2Ay +
j
=
Die Iterationsvorschrift für den
=
(3.83)
0
i
allgemeinen Fall,
Parametervektor t und mehrere
Grenzzustandsfunktionen, ist in Abschnitt A 3.2 angegeben.
angeschnittene Erweiterung ist speziell bei der Behandlung von
Parallelsystemen von großer Bedeutung. Die Durchschnittsmenge kann über
den gemeinsamen Schnittpunkt der aktiven Grenzzustandsfunktionen berechnet
werden. Die durch diesen Punkt gelegten Hyperebenen nähern den Versagens¬
bereich in erster Näherung. Bei Seriensystemen wird für jede Grenzzustands¬
funktion der eigene Lösungspunkt gesucht.
Die zuletzt
3.4.4.4
Der
Liniensuche
Minimierungsprozeß beginnt
i.a. mit den
Erwartungswerten der einzelnen
0.. Im
entspricht das einem Nullvektor y0
Iterationsschritt k wird entlang der Suchrichtung dk
Ayk gesucht. Durch eine
iterative Anpassung einer Schrittlänge vk wird der neue Punkt yk+1 berechnet:
Basisvariablen. Im Standardraum
=
=
yk+i
=
(3-84)
Yk +V*k
Minimierung wird der Punkt yk+1 solange verschoben, bis
ein Minimum, mit Bezug auf eine sogenannte Leistungsfunktion, gefunden ist.
Für diesen Vorgang, als Liniensuche bezeichnet, eignen sich verschiedene Ver¬
fahren. Die Newtonmethode, eine quadratische oder kubische Anpassung, die
Methode der falschen Position oder die Regel von Armijo stehen zur Verfügung
und weisen einen unterschiedlichen Grad des Aufwandes auf. Es muß jedoch
ein Kompromiß zwischen Genauigkeit und dem hierfür notwendigen Berech¬
nungsaufwand eingegangen werden.
Bei dieser skalaren
Eine
Möglichkeit ist die Verwendung
m(y)
=
g
Darin bedeutet
y
der
Vg(y)yT„
=^Vg<y)
-
|Vg(y)|2
c
eine Konstante, die
Leistungsfunktion
g-cgM
positiv
In [Liu
aus
[Liu
et
al.,1991]:
(3.85)
sein muß. Ihr Wert beeinflußt
nur
et al.,1991] sind für c geeignete
gering die Effizienz des Verfahrens.
Werte angegeben. Gl.(3.85) kann als Kriterium für die gewählte Schrittgröße
herangezogen werden. Der neue Punkt wird akzeptiert, wenn m(y+vd) < m(y)
ist. Die globale Konvergenz ist mit dieser Funktion jedoch nicht garantiert, sie
erhöht aber die Robustheit des HL-RF Verfahrens, siehe [Liu et al.,1991].
53
Zuverlässigkeitsanalyse
Leistungsfunktion, die ein globales Konvergieren
Schittkowski, siehe [Abdo, 1989]:
Ein anderer Ansatz für eine
gewährleistet,
v|/(y)
=
stammt
von
h(y) + Xg(y) + lrg2(y)
(3.86)
Leistungsfunktion sind die Zielfunktion h(y), die Restriktion g(y), der
Lagrange'sche Parameter X und ein Faktor r enthalten. Für den Start des Minimierungsprozesses wird r0
|X.J gesetzt. Bei den folgenden Iterationsschritten
ergibt sich der Faktor rk aus der Formel:
In dieser
=
rk
=
max[|XJ,l(rk_1 |Xj)]
(3.87)
+
praktischen Fällen ist die Rechenzeit des Computers für eine Berechnung der
Grenzzustandsfunktion G(X) die maßgebende Größe. Bei aufwendigen Analy¬
sen, wie z.B. FE-Berechnungen, die hinter einer Basisvariablen steht, ist es von
Interesse, die Anzahl der Berechnungen von G(X) möglichst klein zu halten. Die
Verwendung von Zielfunktionen kommt dieser Forderung nach.
In
3.4.5
Tail
Approximation
ß-Punktes erfolgt im Standardraum, definiert durch die
Basisvariablen Y, siehe Kapitel 3.1.2. In [Breitung, 1989] und [Breitung, 1991]
werden zwar prinzipiell die Möglichkeit der Formulierung des Optimierungspro¬
blems im Originalraum, definiert durch die Variablen X, diskutiert. Dabei wird die
log likekihood Funktion /(x) der gemeinsamen Verteilungsdichte im Originalraum
maximiert. Im Lösungspunkt wird diese Funktion und die Grenzzustandsfunktion
in eine Taylorreihe 2.0rdnung entwickelt, um so eine asymptotische Näherung
der Versagenswahrscheinlichkeit zu erhalten. Für das Auffinden des Maximums
fehlen zur Zeit allerdings noch effiziente Algorithmen, wie es sie in Form des
HL-RF Verfahrens gibt.
Die
Berechnung
des
günstig skaliert. Die Zielfunktion für die
Suche des Minimums ist einfach, vergleiche Gl.(3.75). Der Iterationsalgorithmus,
in Kapitel 3.4.4 beschrieben, erweist sich dafür als äußerst effizient. In jedem
Iterationsschritt muß allerdings eine in Kapitel 3.1.2 beschriebene Transforma¬
tion der Basisvariablen vom Originalraum in den Standardraum erfolgen. Sie
Im Standardraum sind alle Variablen
wird in der Literatur auch als Wahrscheinlichkeitstransformation bezeichnet. In
[Breitung, 1991]
sich
aus
Wenn
wird in diesem
Zusammenhang
der Transformation in den Standardraum
es
sich
um
ergeben
hingewiesen, die
können.
nicht normalverteilte Größen handelt, ist die Transformation
jedem Iterationsschritt eine linearisierte Transfor¬
durchgeführt werden. Mit dem Ansatz von [Rackwitz, 1977], der soge-
nicht linear. Es muß deshalb in
mation
auf Probleme
54
Zuverlässigkeitsanalyse
approximation, wird die Transformation gemäß Gl.(3.38) wie folgt
nannten tail
geschrieben:
y
=
r0D,~1(x-m')
(3.88)
äquivalente Korrelationskoeffizienten R0 ist vom jeweiligen Iterati¬
onspunkt im Minimierungsprozeß unabhängig. Deshalb müssen die Matrizen L0
und ihre Inverse Tn nur einmal berechnet werden, siehe [Der Kiureghian et al.,
1986]. In Gl.(3.88) ist m' der Vektor der äquivalenten Mittelwerte und D die Dia¬
gonalmatrix der äquivalenten Standardabweichungen:
Die Matrix der
m'^Xi-a'^-VFxXXj))
«¦¦
(3.89)
cpCirVx.rXj)))
—-j$-
¦
Der Gradient
<3-90>
der Grenzzustandsfunktion muß in
Vg(y)
gebildet werden. Um in der Notation von Gl.(3.88) zu
gender Ausdruck für den Vektor der ersten Ableitungen:
neu
Vg(y)
=
LTD'VG(x)
jedem Iterationsschritt
bleiben, ergibt sich fol¬
(3.91)
Systemzuverlässigkeit
3.4.6
Die erste
Näherung
der
Versagenswahrscheinlichkeit
eines durch eine Grenzzu¬
standsfunktion beschriebenen Elements lautet pf
4>(-ß). Es läßt sich analog
eine Erweiterung auf die elementaren Systeme vornehmen. Dabei wird voraus¬
=
gesetzt, daß der Versagensbereich linear begrenzt ist.
Versagenswahrscheinlichkeit eines Elements ist, wobei die Grenzzustands¬
funktion im Standardraum jetzt als Taylorreihe 1 .Ordnung geschrieben ist, durch
Die
p,
=
P({afY
+
b,£0})
=
P({Z, + b,£0})
(3.92)
Versagenswahrscheinlichkeit der in Kapitel 2.4 vorgestellten ele¬
mentaren Systeme läßt sich in erster Näherung mit einer m-dimensionalen Ver¬
teilungsfunktion $m(.) beschreiben. Auf die Herleitung wird hier verzichtet und
auf [Hohenbichler et al., 1983] verwiesen. Die Formeln für das Parallel- und das
definiert. Die
Seriensystem
lauten:
m
m
Pf)P
=
P(n{gi(Y)<o})«P(n{zi<-bi})
i
=
i
1
=
=
1
*m(-b, R)
55
(3.93)
Zuverlässigkeitsanalyse
m
Pf(S
=
m
P(U{gi(Y)<o})«i-P(n{zi<bi})
i
=
i
1
=
=
(3.94)
1
1-$m(b,R)
rtr
Darin bedeutet
Om(.,.) die m-dimensionale Verteilungsfunktion von Standardnor¬
malverteilungen, die den Vektor b der ß-Werte und die Korrelationsmatrix R als
Bestimmungsstücke besitzt. Die Korrelationskoeffizienten zwischen zwei Grenz0 und Gj(X)
zustandsflachen, die Elemente von R, Gj(X)
0, errechnen sich
aus deren Vektoren aj und
aj, siehe Gl.(3.92), den sogenannten a-Werten:
=
p..
=
aja}
mit: i,
j
=
1,...,
=
(3.95)
m
Versagenswahrscheinlichkeit von elementaren Systemen zu ermitteln, ist
es notwendig, die m-dimensionale Verteilungsfunktion Om(.) zu berechnen. Für
den 2- und 3-dimensionalen Fall können numerische Lösungen mit geringem
Rechenaufwand verwendet werden. Für höhere Dimensionen lassen sich wenig¬
stens asymptotisch korrekte Resultate angeben. Die Methode zerlegt die
m-dimensionale Verteilungsfunktion 4>m(.,.) in zwei Faktoren, siehe [Hohenbich¬
ler et al., 1983]:
Um die
4»m(b;R)
=
P{n(Zi<bi)}
1
=
^
(3.96)
P{Z1<b1}P{n(Zi<bi)|(Z1<b1)}
i
=
2
(m-1 )-dimensionale, bedingte Wahrscheinlichkeit. Dieser
Schritt lautet, allgemein geschrieben:
Der eine Faktor ist eine
4>m(b;R)
=
fcOb^^b^R^)
Die Werte des Vektors
b®
(3.97)
und der Korrelationsmatrix
R(2)
müssen
chend einer Transformation der Variablen bestimmt werden, siehe
1987].
eine
Aus
Gl.(3.97)
entspre¬
[Tang et al.,
ist ersichtlich, daß sich die Dimension des Problems
Größenordnung verringert
um
hat. Wird dieses
sich daraus ein schneller, rekursiver
Prinzip weitergeführt, so läßt
Algorithmus ableiten, der in folgender Pro¬
duktsumme resultiert:
<&m(b;R)
In
[Gollwitzer
=
et
*(b1)«(b£2))...*(b;!lm))
(3-98)
al., 1988] wird ein Korrekturfaktor für Gl.(3.98) angegeben, mit
dem nichtlineare Grenzzustandsflächen besser
56
berücksichtigt werden
können.
Zuverlässigkeitsanalyse
Berechnung komplizierter Systeme
3.4.7
Um
komplizierte technische Systeme berechnen zu können, müssen oft itera¬
tive, aufwendige Berechnungsverfahren in die Formulierung einer Grenzzu¬
standsfunktion eingebunden werden. Am Beispiel von Tragwerken, die meist
eine komplexe Geometrie aufweisen, soll im folgenden nur kurz auf die Proble¬
matik hingewiesen werden.
Das Verhalten eines
Tragwerks
Einwirkungen kann nicht immer durch eine
einfache Grenzzustandsfunktion in expliziter Form beschrieben werden. Die
mechanischen Zusammenhänge sind oft kompliziert. In vielen Fällen läßt sich
eine algorithmische Form, wie etwa die Finite Element Methode (FEM), ange¬
ben. Die Systemantwort S läßt sich durch solche Algorithmen beschreiben und
ist eine Funktion von Basisvariablen, S
Z(X). Daraus wird ersichtlich, daß
neben der Transformation T(.), Kapitel 3.1.2, noch eine sogenannte mechani¬
sche Transformation Z(.) berücksichtigt werden muß:
unter
=
g(Y)«G(T[Z<X)]fT[X])
(3.99)
In einer solchen Grenzzustandsfunktion,
Gl.(3.99), sind die Basisvariablen in
impliziter und expliziter Form gegeben. Die Verbindung des probabilistischen
Ansatzes mit der algorithmischen Methode wird in diesem Fall als Finite Element
Reliability Method (FERM) bezeichnet, [Der Kiureghian, 1989b]. Beim Aufsu¬
chen des ß-Punktes, Kapitel 3.4.4, muß der Gradient der Grenzzustandsfunktion
in jedem Iterationspunkt neu berechnet werden. Auf Gl.(3.99) angewendet,
ergibt sich:
Vg
=
LTD' [VsG(s,x)lxJs
x
+VxG(s,x)ls]
(3.100)
Darin sind die Matrizen L und D' für die Transformation der Basisvariablen in
den Standardraum
explizit gegebenen
Jakobi-Matrix
notwendig.
Der Gradientenvektor
Basisvariablen X
läßt sich
VxG(s, x) bezüglich der
leicht bestimmen.
Bei
der
allerdings Probleme auf. Es müssen die partiellen
Ableitungen einer Antwortgröße, wie Spannung oder Verformung in einem spezi¬
ellen Punkt, bezüglich der Änderung einer Eingangsgröße berechnet werden.
Solche Berechnungen werden in den herkömmlichen FE-Programmen nicht
unterstützt, weshalb spezielle Erweiterungen notwendig sind.
3.4.8
Js
v
tauchen
Sensitivitätsanalyse
Sensitivitätsanalyse
Ableitungen
Versagens¬
Ergeb¬
nisse sagen oft mehr aus als die berechnete Versagenswahrscheinlichkeit
selbst. Ein großer Vorteil des Approximationsverfahrens liegt in der einfachen
Berechnung solcher Sensitivitäten bezüglich eines Parameters 9. Sie werden
quasi als Nebenprodukt geliefert.
Unter
wird die
Berechnung
von
der
wahrscheinlichkeit nach den interessierenden Größen verstanden. Diese
57
Zuverlässigkeitsanalyse
In
[Breitung, 1989a] wird eine asymptotische Näherung für die Sensitivität der
Versagenwahrscheinlichkeit angegeben. Das Resultat leitet sich aus einer
asymptotischen Betrachtung mehrdimensionaler Integrale mit Hilfe der Laplace
Methode ab. Die partielle Ableitung von Df lautet:
JjLpf«Jl/(X,e)pf
In
Gl.(3.101)
ist die
(3.101)
log-likelihood
Funktion der
gemeinsamen Verteilungsdichte,
/(x)
erfolgt die Betrachtung der Sensitivität
/og(fx(x)),
im Standardraum und es wird immer die erste Näherung für die Versagenswahr¬
scheinlichkeit verwendet, Pf
<E>(-ß). Die partielle Ableitung von Df lautet in die¬
enthalten. Im weiteren
=
=
sem
Fall:
&P, -*-fi)j§
(3.102)
=
Diese
Formulierung
kann auch auf den
äquivalenten Zuverlässigkeitsindex ßg
ß verwendet wird, siehe Bild (3.9). Um
weiter
zu
entwickeln, muß der rechte Differenzialoperator
Gl.(3.102)
analytisch
näher betrachtet werden. Die Herleitungen der folgenden Ableitungen befinden
sich in [Madsen et al., 1986], [Abdo, 1989] oder [Ditlevsen et al., 1990].
erweitert werden, indem dieser statt
In der Formel für die
Hyperebene im Bemessungspunkt, siehe Kapitel 3.4.2,
kommen die a-Werte vor. Sie sind proportional zu den negativen Gradienten der
Grenzzustandsfunktion, cc--Vg(y). Für den einfachsten Fall, wenn der Para¬
meter eine Basisvariable ist, läßt sich folgende Formel angeben:
\r~
=
dyj
Im
ai
-ii^nr
=
(3-103)
||Vg||
'
allgemeinen Fall
muß unterschieden werden, ob der Parameter 6 in
expliziter
g(Y) vorkommt, Gl.(3.104)-(a), oder ob es
Basisvariable handelt, Gl.(3.104)-(b).
Form in der Grenzzustandsfunktion
sich
um
eine Größe in einer
w
(a)
de
HR
^
(b)
K'
Als
Beispiel
ag
||Vg||d9
1
=
w
v
=
(3-104)
,
_Z9_?y
|| vgjiae
de
wird hier bei einer normalverteilten
Basisvariable, die der standardi¬
sierten Form y;
(xs u,j) /a.{ entspricht, die Sensitivität
ihrer
werts
und
Standardabweichung betrachtet.
=
angewendet,
dann
-
ergeben
sich nach
bezüglich ihres Mittel¬
Wird
Gl.(3.104)-(b)
einigen Umformungen folgende Formeln:
58
Zuverlässigkeitsanalyse
(a)
(b)
Die
dß
ai
dfij
ai
dß
afß
da,
0";
Sensitivitätsanalyse
(3.105)
kann nicht
auf Ebene der Elemente
nur
erfolgen,
son¬
dern läßt sich auch auf Serien- und
Parallelsysteme anwenden. Dazu werden
Kapitel 3.4.6 herangezogen. In analoger Weise
partielle Ableitung der m-dimensionalen Vertei¬
Gl.(3.93)
Gl.(3.94) aus
Gl.(3.102) muß dabei eine
lungsfunktion <L>m(.) bezüglich eines
und
dem
zu
Parameters 6 berechnet werden:
i-1
m
Av-**-!
1
=
aß,
1
m
-^[1-*m(b,R)]=-X
i
=
1
(3.106)
.Ldp de
j=i Ku
dß
de
rao>mdß.
m
äßi
ri
de
' -1 aomdp;
m
ri
^
2-3pJ
de
(3.107)
In
[Ditlevsen et al., 1990] werden die ausführlicheren analytischen Ausdrücke für
Gl.(3.106) und Gl.(3.107) angegeben, die hier im Anhang A 2 zusammengefaßt
sind. Einfachere Ausdrücke für die Versagenswahrscheinlichkeit von Serien- und
Parallelsystemen werden in [Madsen, 1986] angegeben.
asymptotischer Aussage bezüglich des Sensitivität der Versagenswahr¬
scheinlichkeit für ein Seriensystem basierend auf den trivialen Grenzen gemäß
Kap.2.4.2. Folgender Wert kann für Df s angegeben werden:
Eine
äkPi.--I«-ßPÄß.
(3.108)
de
Bei der in
Kapitel 3.4.6 erfolgten Betrachtung über elementare Systeme, ist zu
Grunde gelegt, daß jede Grenzzustandsfunktion mit ihrem ß-Wert und ihren Kor¬
relationen bezüglich der anderen Grenzzustandsfunktionen berechnet wird. Auf
diese Weise ergeben sich der Vektor b und die Korrelationsmatrix R. Bei einem
Parallelsystem kann jedoch in vorteilhafter Weise der gemeinsame Lösungs¬
punkt ß* der (aktiven) Grenzzustandsfunktionen berechnet werden, was der
Erweiterung des HL-RF Algorithmus auf mehrere Restriktionen in [Abdo, 1989]
entspricht.
[Abdo, 1989] steht, daß die Ableitung der Zielfunktion nach einer Restriktion
gleich ihrem negativen Lagrange'schen Multiplikator ist, 3h(y)/dgj
-Xv siehe
Gl.(3.81) in Kapitel 3.4.4.2. Die Ableitung des gemeinsamen Lösungspunktes ß*
nach einem Parameter e läßt sich demnach folgend angeben:
In
=
59
Zuverlässigkeitsanalyse
dß*
_zlyi8gj
<3109>
tä-^lhä
2ßj-i
Die Sensitivität der
sich im weiteren
Versagenswahrscheinlichkeit für ein Parallelsystem pf>p
analog zu Gl.(3.102) angeben, siehe [Madsen et al., 1986].
läßt
Erwartungswertbildung
3.4.9
Wie in
Kapitel 3.3.4 bereits ausgeführt, ist oft die Notwendigkeit, von bedingten
Versagenswahrscheinlichkeiten Pf(q) die ungewichtete Versagenswahrschein¬
lichkeit zu berechnen. Die Aufgabe besteht in der Bildung des Erwartungswerts
E [pf(Q)], der mit den Minimierungsverfahren in Kapitel 3.4.4 einfach berechnet
werden kann.
Es sei wiederholt, daß in diesem Fall die Basisvariablen in zwei
Q unterteilt sind, X
=
[X,
Q]T.
Die
Gruppen X und
Versagenswahrscheinlichkeit wird für ver¬
schiedene Realisationen des Vektors der Basisvariablen Q
pf(q)
=
P
(G(X, q)
<
0). Die ß-Werte
aus
=
q
berechnet,
den
bedingten VersagenswahrscheinGl.(3.36) beschriebene
weitere, unabhängige Basisvariable U
lichkeiten bilden ihrerseits eine Basisvariable. Um die mit
Integration auszuführen,
eingeführt werden:
U
=
muß zuerst eine
-0"1(Pf(Q))
(3.110)
Die Basisvariable U ist normalverteilt. Aus
standsfunktion formuliert werden, siehe
h(Q,U)
Zur
Gl.(3.110) kann
[Wen et al., 1987]:
=U-<ET1(Pf(Q))
Berechnung
eine
neue
Grenzzu¬
(3.111)
Gl.(3.111) ist eine verschachtelte Anwendung des Approxi¬
mationsverfahrens notwendig. In der äußeren Schleife erfolgt ein Minimierungs¬
prozeß bezüglich des Vektors der Basisvariablen [Q, U]T, mit der Restriktion
0. Zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit muß in jedem
h(Q, U)
Iterationsschritt wiederum ein Minimierungsprozeß erfolgen. Dabei wird jetzt der
Vektor der Basisvariablen X minimiert. In dieser inneren Schleife gilt die Restrik¬
tion G(X|Q=q)
0. Im Fall einer ersten Näherung der Versagenswahrschein¬
lichkeit pf(q) kann der errechnete ß-Wert direkt zurückgeliefert werden. Wenn
der Minimierungsprozeß in der äußeren Schleife beendet ist, kann die totale Ver¬
sagenswahrscheinlichkeit als euklidsche Norm des Lösungsvektors angegeben
von
=
=
werden:
pf
=
*(-|| [Q, U] ||)
(3.112)
60
Zuverlässigkeitsanalyse
Es wären noch tiefere
Form
wie in
sind
Verschachtelungen in der
al., 1991] ausgeführt. Grenzen
[Schall
numerischen Genauigkeit gesetzt.
et
3.5
Ergänzungen
3.5.1
Vorbemerkungen
Bei stark
gekrümmten
im HL-RF
Gl.(3.111) denkbar,
jedoch aus Gründen der
von
Algorithmus
Grenzzustandsfunktionen kann der klassische
Algorith¬
[Fießler, 1979], infolge schlechten Konvergenz¬
verhaltens zu keiner Lösung führen. So wurden in [Abdo, 1989] und [Liu et
al.,1991] Verbesserungen aufgezeigt, die selbst bei extremen Verhältnissen das
Auffinden des Lösungspunktes ermöglichen. Den Vorschlägen ist die Einführung
einer Leistungs- bzw. Zielfunktion gemeinsam, die den Erfolg des Minimierungsprozesses widerspiegelt. Mit der damit verbundenen Liniensuche kann generell
das Konvergenzverhalten stark beeinflußt werden.
mus von
Rackwitz und Fießler,
Die hier
vorgeschlagenen Erweiterungen ergeben sich aus der Tatsache, daß
der Gradient der Grenzzustandsfunktion im vorgestellten Variablenprozessor
ausschließlich numerisch gebildet wird.
Das bereits erwähnte
Hauptkriterium, ob sich ein bestimmtes Verfahren zur
Lösung des Optimierungsproblems eignet, ist die Anzahl der Funktionsaufrufe
von G(X). Um diese möglichst gering zu halten, muß bei der Konzeption eines
geeigneten Suchalgorithmus für den ß-Punkt, das optimale Zusammenspiel der
folgenden drei Komponenten gewährleistet sein:
•
•
•
Die Liniensuche
Minimierung der Leistungsfunktion.
Die Abbruchkriterien zur Bestimmung des Lösungspunktes.
Das finite Differenzenverfahren zur Näherung des Gradienten.
zur
Diese Teilbereiche beeinflussen sich
gegenseitig und müssen gut aufeinander
abgestimmt werden. Eine Beschreibung der grundsätzlichen Aspekte findet sich
in [Gill et al., 1981]. Die Umsetzung dieser einzelnen Punkte im Minimierungs¬
prozeß wird in den nachfolgenden Kapiteln beschrieben.
3.5.2
Ansprüche
an
die
Genauigkeit
gewünschte Genauigkeit beeinflußt den Abbruch der Suche, den minimalen
Abstand zwischen zwei benachbarten Iterationspunkten oder den bedingten
Fehler bei der finiten Differenzenbildung. Die durch den Computer gegebene
Genauigkeit e^ ergibt sich aus der internen Darstellung der Zahlen. Die relative
Genauigkeit e& hängt von den Werten der Grenzzustandsfunktion in den
Die
61
Zuverlässigkeitsanalyse
benachbarten
keit kann wie
eA
=
Iterationspunkten ab. Eine
folgt angegeben werden:
untere Grenze der relativen
£m(1 +l9(E[X])[)
Genauig¬
(3.113)
Die
Ermittlung der Genauigkeit ea ist, wenn keine exakten Referenzwerte vor¬
handen sind, unmöglich. Die Eingrenzung von ea mit Hilfe einer Differenzenta¬
belle, wie in [Gill et al., 1981] empfohlen, ist auf Grund der vielen erforderlichen
Berechnungen der Grenzzustandsfunktion nicht praktizierbar.
Ein weiterer
wichtiger Gesichtspunkt ist die geeignete Skalierung des Problems.
Die Größenordnungen der Ergebnisse und der Werte der Basisvariablen sollen
in einem vernüftigen Verhältnis stehen. Das Konvergenzverhalten des Minimierungsprozesses kann dadurch stark beeinflußt werden. Im Falle des HL-RF
Algorithmus werden die normierten Größen Y verwendet, siehe Kapitel 3.4.4.
Sie besitzen Werte im Intervall
[-5, 5] und erfüllen somit diese Voraussetzung.
aus den partiellen Ableitungen können im Vergleich zum Wert der
Grenzzustandsfunktion größere Unterschiede aufweisen. Um bei der finiten Dif¬
ferenzenberechnung eine relativ hohe Genauigkeit zu erzielen, muß dies durch
eine geeignete Wahl des Intervalls berücksichtigt werden.
Die Werte
3.5.3
Bestimmung
der
Schrittlänge
Die
Festlegung der Schrittlänge v muß in jedem Iterationsschritt k neu erfolgen.
Entlang der Suchrichtung dk wird ein optimaler Punkt gesucht, der die Leistung¬
sfunktion ¥(.), siehe Gl.(3.86), minimiert. Der Funktionsverlauf wird entlang die¬
ser Suchrichtung als ein quadratisches bzw. kubisches Polynom genähert. Die
Berechnung zusätzlicher Punkte ist erforderlich. Grundsätzlich soll der dafür not¬
wendige Rechenaufwand niedrig gehalten werden. Die Leistungsfunktion,
GI.(3.86),
wird
*(v)
=
verallgemeinert wie folgt geschrieben:
h(yk + vdk) + ^g(yk + vdk) + lrg2(yk + vdk)
(3.114)
Gesucht wird das lokale Minimum der
beschränkt sich im wesentlichen auf
Kompromiß
wird dabei zwischen dem Auffinden des echten Minimums und
einem ausreichenden
dient das
¥(v)
Abstieg der
Goldstein-Armijo Prinzip:
-
¥(0)
Darin bedeutet
tion
an
Gl.(3.114). Die Minimierungsaufgabe
die Lösung dieses Unterproblems. Ein
<
u.v¥'(0)
^'(O)
der Stelle
v
Funktion
=
die
Y(v) eingegangen.
Als Kriterium
(3.115)
Ableitung der Zielfunktion nach der Grenzzustandsfunk¬
0:
62
Zuverlässigkeitsanalyse
V(0)
Der Wert
2ykrdk (Xk+rkg(yk)) V gkTdk
(3.116)
+
=
¥(v) muß unterhalb der Linie /(v)
¥(0) + uv'FXO) liegen. Der Bei¬
wert \i sollte innerhalb der Grenzen 0 < u, < 0.5 liegen, [Gill et al., 1981]. Ein
zusätzliches, praktisches Kriterium für die Wahl einer richtigen Schrittweite ver¬
langt, daß der Betrag der Ableitung ebenfalls genügend reduziert wird:
von
'
v-cc
mit:
=
0<T|<1
(3.117)
0<oc<v
Der Wert r\ legt die Genauigkeit fest, mit der v einem stationären Punkt auf der
Funktion *F(v) zustrebt. Um den Definitionsbereich der Variablen und den der
Funktion nicht
zu
verlassen, müssen Schranken gegenüber extremen v-Werten
bestehen:
°<Mvklldk||^k
(3.118)
Damit verbunden ist dann auch die Garantie, daß der dem
legene Lösungspunkt gefunden
verlangt, damit mindestens eine Änderung
Leistungsfunktion *F(v) erreicht wird.
Startpunkt nächstge¬
Schrittlänge b\ ist deshalb
Größenordnung von e^ in der
wird. Eine minimale
Für die Liniensuche wird ein
finden. Zu
Beginn
der
Interpolationspolynom verwendet,
um
das Minimum
eines neuen Iterationschrittes stehen die Werte
¥(0), ¥'(0)
und *P(v0), mit v0
1, zur Verfügung. Damit läßt sich eine quadratische Parabel
durch diese Punkte legen. Bei einem extremen Verhältnis von Y(oto) zu ¥(0)
wird ein Zwischenpunkt mit der Schrittweite
v0 zusätzlich berechnet. Dieser
Umstand tritt vor allem in der Anfangsphase des Minimierungsprozesses auf.
Würde ein extremer Werte ¥(vn) berücksichtigt werden, ergäbe sich daraus eine
längere Liniensuche. Dieser zusätzliche Punkt wird in Abhängigkeit vom vorge¬
zu
=
nannten Quotienten berechnet:
Y(0)<10Y(v0)
:
^(0)<1004/(v0)
v0
^o
:
=
=
¥(0)<1000¥(vo)
:
v0
=
¥(0)>1000¥(v0)
:
v0
=
vo
V2
v0/4
(3.119)
v0/8
Mit den
Bedingungen in Gl.(3.119) läßt sich eine geeignetere Parabel definieren,
als dies unter Berücksichtigung eines Extrempunktes möglich ist. Sollte die
gewählte Schrittwerte den Kriterien, Gl.(3.115), Gl.(3.117) und Gl.(3.118) nicht
entsprechen, wird die Liniensuche fortgesetzt. Wird der neue Suchbereich
geeignet gewählt, indem der Startpunkt immer die linke Grenze des Intervalls
63
Zuverlässigkeitsanalyse
bleibt,
so
kann der
neu
berechnete Wert
*F(vj)
zur
Konstruktion einer kubischen
Interpolationskurve genützt werden.
Abbruchkriterien
3.5.4
Die Abbruchkriterien müssen sicherstellen, daß die
Lösung
in einer
wird. Sie stehen im direkten
vernüftigen
Zusammenhang
gefunden
gewählten Lösungsverfahren. Beim hier verwendeten Gradientenverfah¬
ren wird in jedem Iterationsschritt ein Teilproblem, die Minimierung der Leistung¬
sfunktion ¥(.), wie in Kapitel 3.5.3 beschrieben, gelöst. Generell kann gesagt
werden, daß in der Umgebung der Lösung die folgenden Bedingungen erfüllt
sein müssen, siehe [Gill et al., 1981]:
Anzahl
zu
von
Iterationen
dem
¥<yk-i)-*cy^<^(i +WI)
(3-120)
||yk-i-ykll<^o+lyk|)
(^d
|G(xk)|<xc
(3.122)
Bedingungen garantieren, daß die Folge der Punkte {X|J zum
Lösungspunkt konvergieren. Die dritte Bedingung, Gl.(3.122), überprüft die
geforderte Bedingung, daß der Lösungspunkt auf der Grenzzustandsgleichung
liegen muß. Bei der Größe des Wertes xp muß berücksichtigt werden, daß
infolge der genäherten Berechnung der ersten Ableitungen schon Ungenauigkeiten bestehen. Deshalb kann ein zu kleiner Wert von xp eine falsche Genauigkeit
vortäuschen. Die Schranke xc wird in Abhängigkeit vom Startwert G(x0) des
Minimierungsprozesses festgelegt. Wenn mit den Erwartungswerten der Basis¬
variablen begonnen wird, dann gilt:
Die ersten beiden
x
Für all
=
^(1+|G(E[X])|)
jene Fälle,
in denen der
(3.123)
Algorithmus
nicht
zu
einer
Lösung führt, müssen
noch Kriterien für den außerordentlichen Abbruch erörtert werden. Wesentlich
Iterationen. Ein anderer Grund für ein
vorzeitiges
Ende der Iteration ist gegeben, wenn der Gradient der Leistungsfunktion positiv
wird, ^r"(0)>0. Generell kann gesagt werden, daß ein Versagen des Algorith¬
mus mit einem ungenügenden Abstieg in der Leistungsfunktion zusammen¬
ist die maximale Anzahl
von
hängt.
3.5.5
Numerische
Ableitung
partiellen Ableitungen von G(X) werden mit finiten Differenzen genähert.
Das Konvergenzverhalten des Algorithmus hängt stark von der damit erzielten
Genauigkeit der ersten Ableitungen ab. Bei einer schlechten Näherung findet die
Suche des neuen Punktes nicht entlang des steilsten Abstiegs dk statt. Ergeben
Die
64
Zuverlässigkeitsanalyse
sich Probleme in der Liniensuche,
des
so
resultiert dies in einer
Verschlechterung
Konvergenzverhaltens.
Näherung der ersten Ableitung wird aus einer Vorwärtsdifferenz berechnet.
Für jede Variable ist in diesem Fall nur eine zusätzliche Berechnung der Grenz¬
zustandsfunktion notwendig. Der Operator für die Bildung der Vorwärtsdifferenz
Die
lautet:
G(x + hF)-G(x)
-v
(3-124>
&*»-—k—
Ungenauigkeiten der partiellen Ableitungen, die sich aus der näherungswei¬
sen Berechnung mit Gl.(3.124) ergeben, liegen in der Wahl des Intervalls hF.
Der geeignete Wert kann nur durch eine Variation der Schrittweite gefunden
werden, um damit Unstetigkeiten im Funktionsverlauf festzustellen. Für jede
Basisvariable muß eine eigene Schrittweite hF gefunden werden. Es wäre zu
aufwendig, diese Werte hp in jedem Punkt neu zu berechnen. Sie werden des¬
halb nur zu Anfang für einen typischen Punkt, z.B. für den Mittelwert einer Basis¬
variable, berechnet. Das optimale Intervall hp soll für die Bandbreite der Werte
im Minimierungsprozeß die relativ besten Näherungen ergeben.
Die
{Oill et al., 1981] ist ein Algorithmus zur Berechnung eines geeigneten Inter¬
valls hp beschrieben. Hierbei sind mindestens zwei, im Mittel vier Berechnungen
In
der Grenzzustandsfunktion für eine Basisvariable erforderlich. Dieser Mehrauf¬
Beginn des Minimierungsprozesses zahlt sich dann jedoch durch ein
verbessertes Konvergenzverhalten wieder aus. Der berechnete Wert hF(E [X])
für eine Basisvariable X wird in ein relatives Intervall 5p umgewandelt:
wand
zu
5F
ME[X])
¦
<3-125)
TTwm
Steuerung des Einflusses der Intervallbreite bei den
liegt innerhalb der Grenzen 0 < X < 1. Mit nachstehen¬
Berechnungen.
der, einfacher Formel läßt sich dann für jeden beliebigen Punkt Xj das Intervall
hp(xj) angeben:
Der Wert X dient
zur
Der Wert
hpCXj)
Wenn X
=
0
(3.126)
ÖFC1 -«-^IXil)
=
gesetzt wird,
so
jedem Iterationspunkt das gleiche Intervall
Sinn, wenn das optimale finite Differenzeninter¬
wird in
verwendet. Das hat dann einen
weitgehend unabhängig vom Wert der Variablen ist. Anderenfalls kann mit
1 eine Abhängigkeit zu |xj| formuliert werden.
dem Wert X
vall
=
65
Zuverlässigkeitsanalyse
Festlegungen
3.6
für VaP
Grundlagen für die Berechnung der
Versagenswahrscheinlichkeit zusammengestellt. Bei der im nachfolgenden
Abschnitt besprochenen Realisierung von VaP wurde darauf Wert gelegt, daß
verschiedene Methoden der Berechnung des Wahrscheinlichkeitsintegrals zur
Verfügung stehen.
Im Abschnitt 3 sind die mathematischen
Aus
der
Gruppe
der
Gauß-Hermit Quadraturformel in
Quadraturformeln in
Integrationsverfahren
numerischen
Kapitel
Kapitel
3.2.2.1
wurden
die
und die beiden erweiterten
3.2.2.2 realisiert. Für die
Berechnung
von
Erwar¬
tungswertoperatoren in der Grenzzustandsfunktion wird das Verfahren nach [Li,
1992] verwendet.
Gruppe der
Methode, Kapitel 3.3.2,
Aus
der
Simulationsverfahren
wurde
die
crude
Monte-Carlo
Erwartungswertoperatoren werden
Verfahren der antithetic variates, Kapitel 3.3.4, berechnet.
realisiert.
mit dem
Approximationsverfahren, Kapitel 3.4, wurde die Näherung erster Ord¬
nung für die Versagenswahrscheinlichkeit (FORM) realisiert. Die Berechnung
des Erwartungswertes aus bedingten Wahrscheinlichkeiten ist ebenfalls mit die¬
ser Methode möglich (Kapitel 3.4.9). In der Grenzzustandsfunktion vorkom¬
mende Erwartungswertoperatoren werden mit der numerischen Integration
gemäß Kapitel 3.2.2.2 berechnet.
Bei den
In der
zur
Zeit
vorliegenden
Rechenverfahren
nur
Version des
Computer-Programms
VaP wurden die
soweit realisiert, daß der Benutzer ein Element, d.h. eine
Grenzzustandsfunktion bearbeiten kann.
Prinzipiell
ist die
Erfassung
von
Syste¬
möglich, sie wurden aber im Rahmen dieser Arbeit nicht realisiert. Im weite¬
sind auch Korrelationen zwischen den Basisvariablen nicht berücksichtigt.
men
ren
Möglichkeit der Verarbeitung von Korrelationen zwischen den Basisvariablen
und die Behandlung von Systemen sind Gegenstand einer in Aussicht genom¬
menen Erweiterung von VaP.
Die
66
4
Der
Variablenprozessor
4.1
Grundlagen
4.1.1
Einleitung
VaP
Bereitstellung eines Computerpro¬
gramms zur Verarbeitung von stochastischen Variablen, wurden hauptsächlich
von der Überlegung getragen, ein Werkzeug für die Praxis bereitzustellen. Des¬
halb galt die Forderung, die Interaktion mit dem Computer möglichst einfach zu
gestalten. Die Form der Bedienung, speziell die Eingabe des Problems, sollte
der gewohnten mathematischen Schreibweise entsprechen. Der Benutzer muß
mit den ihm vertrauten Symbolen arbeiten können, um sein Problem in einfacher
Weise zu beschreiben. Diese natürliche Bedienung ist der zentrale Ansatzpunkt
und begründet die Art der vorgestellten Lösung.
Die Motivation und die Grundideen für die
Zuverlässigkeitstheorie aufbauend wurden die mathe¬
matischen Methoden zur Berechnung von Wahrscheinlichkeitsintegralen und
Erwartungswerten in einem interaktiven, benutzerfreundlichen Computerpro¬
gramm implementiert. Es hat die Bezeichnung Variablenprozessor erhalten, weil
damit die grundsätzliche Aufgabe beschrieben wird, nämlich stochastische
Auf den
Grundlagen
Variablen
zu
der
verarbeiten. In dieser Arbeit wird die Kurzform VaP verwendet.
Programmiersprachen und ihre Terminologie in Englisch gehal¬
ten sind, finden sich im folgendem Abschnitt einige Anglizismen. Dies auch des¬
halb, weil ihre Bedeutung oft nur schwer mit einem deutschen Wort wiederzu¬
geben ist.
Da die meisten
Konzeption war eine wesentliche Randbedingung, den Zeitaufwand für
die Berechnung eines Wertes der Grenzzustandsfunktion G(X) möglichst gering
2nm mal der Funktionswert
zu halten. Bei einer FORM Analyse wird ca. N
G(X) berechnet. Dieser Faktor ergibt sich aus der Anzahl n der Variablen, der
Anzahl m der Durchläufe bei der Suche des ß-Punktes und aus der Methode der
Bei der
=
numerischen Differentiation der Grenzzustandsfunktion, die i.a. eine zusätzliche
Berechnung verlangt. Mit der crude Monte Carlo Methode sind, je nach Problem¬
stellung, in der Regel weit mehr als 10000 Aufrufe der Grenzzustandsfunktion
erforderlich. Selbst bei einer Importance Sampling Methode sind noch ungefähr
1000 Berechnungen notwendig. Diese Zahlen sollen nur einem qualitativen Ver¬
gleich dienen.
vorgestellte Lösung ist eine interaktive Software, bei der Grenzzu¬
standsfunktionen nicht als Objektcode angebunden werden können. Sie werden
Die hier
durch eine interne Datenstruktur beschrieben. Um kurze Antwortzeiten bei der
67
Der
Variablenprozessor
VaP
Analyse eines Problems zu bekommen,
lungsform gefunden werden.
muß eine
möglichst
effiziente Darstel¬
Bei der
Analyse von Zuverlässigkeitsproblemen tauchen Begriffe wie stochasti¬
sche Variable, Erwartungswert, Grenzzustandsfunktion oder System auf. Die
Abbildung dieser abstrakten, mathematischen Größen und Begriffe als Daten¬
struktur im Computer wird in dieser Arbeit auf objektorientierte Weise realisiert.
Der größte Unterschied zur konventionellen Programmierung besteht in der Tat¬
sache, daß der Problem- und der Lösungsbereich dem Wesen, den Relationen
und den Verknüpfungen nach gleich ist. Es besteht nicht die Notwendigkeit, das
Problem primär in eine Datenstruktur und die zugehörigen Algorithmen abzubil¬
den, sondern die Hauptaufgabe liegt in der Formulierung, was gemacht werden
muß, und nicht wie es zu erfolgen hat. Natürlich ergeben sich später Fragen bei
der Realisierung, wie spezielle Anforderungen programmtechnisch ausgeführt
werden sollen.
Programmiersprache, Objective-C, ist eine hybride Realisierung
der Objekt Orientierten Programmierung (OOP), [Cox, 1991]. Sie beinhaltet alle
Eigenschaften der C-Sprache und wichtige Merkmale von Smalltalk-80.
Objective-C weist nur eine geringfügige Erweiterung der konventionellen
C-Sprache auf. Das Prinzip dieser Programmierweise wird im folgenden
Die verwendete
Abschnitt kurz erläutert.
4.1.2
Das
Objekt-Orientierte Programmierung
Konzept
der OOP,
[Cox, 1991],
läßt sich mit fünf
Hauptmerkmalen beschrei¬
ben:
•
Object:
Objekt ist eine abgekapselte Abstraktion;
ein
Status, der durch eine Liste
Attribute
von
besitzt einen internen
Attributen definiert ist. Die Werte der
spezifizieren das Objekt. Des
auch eine Liste
•
von
es
Nachrichten, auf die
weiteren kennt das
es
Objekt
antworten kann.
Message:
spezielles Symbol oder
dem Objekt zugängliche
eine Nachricht wird durch einen Namen, ein
deren
Kombination
dargestellt,
die eine
Aktion auslösen kann. Nachrichten können
ganz einfacher Art
sein, oder aber auch Parameter beinhalten, die dann gegebenenfalls
von
die Art der Antwort steuern.
•
Class:
eine Klasse ist eine Schablone
beinhaltet in ihrer
Beschreibung
tes, eine Liste
Attributen
zum
Erstellen eines
einen Namen für die
Objektes. Sie
Art des Objek¬
(und deren Art) und eine Liste von Nach¬
richten mit den entsprechenden Methoden, auf die ein Objekt einer
Klasse antworten kann. Methoden, die eine Instanz einer Klasse
von
erzeugen, sind
speziell gekennzeichnete Nachrichten.
68
Diese instanz-
Der
Variablenprozessor
VaP
erzeugenden Nachrichten werden der sogenannten Metaklasse
gesendet, wobei der exakte Mechanismus von der jeweiligen Pro¬
grammiersprache abhängt.
•
Instance:
Objekt mit den selben Proportionen, die in der
Klassenbeschreibung definiert sind. Die Attribute, ein Teil dieser Pro¬
portionen, sind spezifisch für eine Instanz.
eine Instanz ist ein
•
Method:
Anweisungen defi¬
niert, wie ein Objekt auf eine bestimmte Nachricht antwortet. Typi¬
mit einer Methode wird eine Liste
von
detailierten
scherweise sendet eine solche Methode wiederum Nachrichten
Objekten.
Jede Nachricht
zu
einer Klasse muß eine
zu
entsprechende
Methode dort vorfinden.
Zusammenfassend kann gesagt werden, daß Objekte Instanzen von Klassen
sind. Sie antworten auf Nachrichten, entsprechend den Methoden und Attribu¬
ten, die in der Klasse beschrieben wurden. Die Werte der Attribute gehören ein¬
deutig
Objekt und sind dynamischer
Objekt antwortet, beeinflussen.
zum
wie ein
Natur. Sie können die Art und Weise,
Um Probleme mit der
auf weitere
•
Objekt-Orientierten-Programmierung
Begriffe kurz eingegangen werden, [Cox, 1991]:
zu
lösen, muß noch
Abstraction:
darunter versteht
man
ein
konzeptionelles Vorgehen
in der Problemlö¬
sung. Es spiegelt Ideen, Konzepte und allgemeine Verhältnisse wider,
ohne in das Detail zu gehen. Auf die Software bezogen, bedeutet
dies, daß Feinheiten der Implementation vorerst vernachlässigt
den.
Lediglich einige sprachenspezifische Begriffe
wer¬
müssen verwendet
werden.
•
Encapsulation:
Ergebnis einer Abkapselung
das
ist eine Einheit mit bestimmten Rän¬
dern, einer klar definierten Schnittstelle und einer geschützten inter¬
nen
Darstellung.
In
der
hier verwendeten
werden sogenannte Strukturen
•
•
Sprache Objective-C
(structures) verwendet,
die eine freie
Zugriffsmöglichkeit unterbinden.
Inheritance and Multiple Inheritance:
im Sinne des OOP-Paradigmas, bedeutet dies, daß Klassen jene
Merkmale, die andere Softwarekomponenten beschreiben, vererbt
bekommen, d.h. sie haben direkten Zugriff auf deren Attribute und
Methoden. Damit ergibt sich eine Klassenhierarchie, an deren Anfang
die abstrakte Klasse "Object" steht.
Polymorphism:
in der Objekt orientierten Problemlösung wird vor allem der operatio¬
neile Polymorphismus (operational polymorphism) verwendet. Mit
dem Senden derselben Nachricht an verschiedene Objekte, antwortet
69
Der
Variablenprozessor
jedes
auf eine
VaP
eigene
Art. Die
Unterstützung
dieser
Fähigkeit
wird
durch das Binden einer bestimmten Methode während der Laufzeit
an
den Namen einer Nachricht erreicht. Dieses, auch
dynamisches Bin¬
den genannt, ist eines der wichtigsten Fähigkeiten einer objektorien¬
tierten Programmiersprache.
Die mit diesen
Begriffen beschriebenen Möglichkeiten bieten Rahmenbedingun¬
gen, mit denen neue Aufgabenstellungen leichter gelöst werden können. Der
Aufwand der Programmierung wird geringer, da auf existierende, ausgetestete
Software-Komponenten zurückgegriffen werden kann. Praktisch bedeutet dies
das Wiederverwenden
Objektiv-C
von
Klassen.
grundsätzliche Möglichkeit, jederzeit auf den privaten
Bereich eines Objektes zuzugreifen. Dies ist für hybride Sprachen eine der grö߬
ten theoretischen Schwachpunkte und gleichzeitig eine ihrer wesentlichsten
pragmatischen Stärken. Sogenannter low-level code kann oft am besten im kon¬
ventionellen Sinn entwickelt werden, um eine effiziente Maschinennutzung zu
erreichen. Im Gegensatz läßt sich sogenannter user-level code geeignet in
Objekten unterbringen. Dabei ist auf eine gute Verbindung zwischen beiden
In
Niveaus
zu
strukte der
besteht die
achten. In diesem Schnittstellenbereich werden üblicherweise Kon-
C-Sprache verwendet,
um
auf die Attribute der
Objekte
direkt
zuzu¬
greifen.
4.1.3
Die Benutzerschnittstelle
Die Schnittstelle zwischen Mensch und
Computer, die zusehends mehr Auf¬
merksamkeit findet, wird von arbeitspsychologischen Elementen beeinflußt. Ihre
Funktion beeinflußt ganz wesentlich die Akzeptanz des Programms beim
Anwender. Eine gut gestaltete Benutzerschnittstelle reduziert auch das Maß der
Fehleingaben
und
steigert somit die Effizienz
in der
Nutzung.
Compiler zur Erfassung der Grenzzustandsfunk¬
tion ist ein Schritt in dieser Richtung. Der Benutzer muß sich nicht mehr mit den
Details einer speziellen Programmiersprache oder einem bestimmten Formalis¬
mus auseinandersetzen. Er hat lediglich die Regeln der Arithmetik zu berück¬
sichtigen. Der große Vorteil liegt in der einfachen Bedienung des Programms.
Alle Definitionen von Grenzzuständen oder Systemen erfolgen während der
Laufzeit. Der Verteilungstyp einer Variablen oder die Formulierung des Grenzzu¬
standes können beliebig verändert bzw. ergänzt werden. Daraus wird die große
Flexibilität dieser Lösung ersichtlich. Natürlich benötigen solche Lösungen im
Vergleich zu Programmen, deren Grenzzustandsfunktionen zum Zeitpunkt des
Compilierens bereits definiert sind, mehr CPU-Zeit. In Anbetracht der stetig stei¬
genden Computerleistung verliert dieses Argument jedoch an Bedeutung.
Der in dieser Arbeit entworfene
Es erscheint
wichtig,
Software und deren
Begriff der Zuverlässigkeit auch auf den Bereich
Bedienung zu projizieren. Jede Software ist fehlerhaft.
den
70
der
Der
Der
Variablenprozessor VaP
steigt potentiell mit dem Grad der
gewünschten Zuverlässigkeit. Ein Grundprinzip kann jedoch festgestellt werden:
je einfacher ein Programm gestaltet ist, desto eher können grobe logische Fehler
vermieden werden. Mit der Anwendung der objektorientierten Programmierung
werden die Begriffe der Zuverlässigkeitstheorie direkt als Klassen realisiert.
Logische Fehler im Konzept des Programms können dabei schon mit dem
geeigneten Entwurf solcher Klassen und deren Methoden vermieden werden.
Spätere Erweiterungen sind ebenfalls einfacher zu realisieren.
Aufwand
zur
Suche
von
Fehlern im Code
Aspekt der Gestaltung der Benutzerschnittstelle ist ihre äußere
Erscheinungsform. Die Qualität einer Software-Lösung hängt im großen Maß
von ihrer Bedienbarkeit ab. Eine gute und einfach gestaltete Schnittstelle sollte
nachstehenden Kriterien entsprechen:
Ein anderer
•
•
Einheitliches
Erscheinungsbild für ähnliche Abläufe.
Informative Fehlermitteilungen.
•
Reversibilität
•
Kontrolle über
•
von
Befehlen.
Programmabläufe.
Einfache, selbsterklärende Dialoge.
Diesen Kriterien wurde bei der Erarbeitung
von
VaP
große Aufmerksamkeit
geschenkt.
4.2
Der
4.2.1
Allgemeines
Das
Programmaufbau
Programm
VaP läuft in der hier beschriebenen Form auf einer NeXT-Work-
station. Das verwendete
Betriebssystem heißt MACH und ist eine Weiterent¬
entspricht den modernen Anforderungen
wicklung
bezüglich Multitasking und Multiprozessorfähigkeit und ist vollkommen kompati¬
bel zum BSD 4.3 UNIX. Die graphische Oberfläche heißt NeXTSTEP und ist
des klassischen UNIX. MACH
eine auf Fenstern basierende Schnittstelle, die über Maus und Tastatur bedient
Programmierumgebung steht das in der Software-Ausstattung enthal¬
tene Application-Kit, siehe [NeXT, 1991], zur Verfügung. Mit der gebotenen Ent¬
wicklungsumgebung und dem OOP Paradigma war es möglich, in relativ
einfacher Weise die Schnittstelle und die Ablaufgestaltung des Programms an
die gestellten Forderungen in Kapitel 4.1.3 anzupassen. Die in VaP vorkommen¬
den Dialoge und graphischen Darstellungen benutzen wesentliche Teile der exi¬
stierenden Klassen im Application-Kit.
wird. Als
Systems wird durch ein logisches Modell
beschrieben. Eine ansprechende Form der Darstellung der Zusammenhänge ist
ein Fehlerbaum. Die einzelnen Versagensereignisse in diesem logischen Baum
Das Verhalten eines technischen
71
Der Variablenprozessor VaP
bilden Grenzzustandsfunktionen. Der Benutzer wird zuerst diese Elemente
ana¬
erhalten. Der
lysieren wollen, um später
Aussagen
System zu
ist
deshalb
die
und Analyse einer
Definition
Ausgangspunkt jeder Bearbeitung
dann
über das
Grenzzustandsfunktion.
eingegeben und in
weiterer Folge programmintern auf die korrekte Schreibweise überprüft. Alle in
dieser Funktion verwendeten Namen, die sogenannten Bezeichner, repräsentie¬
ren i.a. eine Basisvariable. In einem folgenden Schritt wird diesen Basisvariablen
eine Verteilungsfunktion mit den entsprechenden Parametern zugeordnet. Dafür
stehen eine Reihe von Verteilungstypen zur Verfügung, die wahlweise verwen¬
Die Grenzzustandsfunktion wird als
algebraischer
Ausdruck
det werden können. Wenn alle Bezeichner definiert
sind, können Werte dieser
Grenzzustandsfunktion berechnet werden. Je nach der
Fragestellung,
wie etwa
nach den statistischen Momenten oder nach der Wahrscheinlichkeit, daß dieser
Ausdruck kleiner als Null ist, muß die
adäquate Methode gewählt werden.
später etwa zusätzliche Informationen verarbeitet werden, so bedeutet
dies eine Veränderung von Parametern in einer Basisvariablen. In manchen Fäl¬
len ist die Anpassung des Modells an veränderte Gegebenheiten notwendig.
Dann muß der anfangs eingegebene Ausdruck z.B. durch Hinzufügen von
Sollen
Modellvariablen erweitert werden.
wird
vom
Diese modifizierte Grenzzustandsfunktion
Programm wiederum gelesen
und der Benutzer wird
neuen, zusätzlichen Basisvariablen einen
kann eine neuerliche
Analyse
Aus diesem Szenarium ist
zu
Verteilungstyp
der Grenzzustandsfunktion
erkennen, daß
es
aufgefordert,
den
zuzuordnen. Danach
erfolgen.
sich bei der
Behandlung
eines
Zuverlässigkeitsproblems um einen interaktiven Vorgang handelt. Die Form des
Arbeitsablaufes ist gewissermaßen zirkulär, indem Definitionen jeder Art, Ergän¬
zungen im stochastischen Modell und Berechnungen der Grenzzustandsfunktio¬
nen aufeinander folgen. Dieser Bearbeitungszyklus ist dadurch begründet, daß
der Benutzer ständig neue Informationen in das Problem einbinden will. Das
Konzept von VaP kommt diesem interaktiven Charakter der Bearbeitung entge¬
gen.
4.2.2
Die
Realisierung
von
VaP
Konzept
Organisation des Programms VaP kann, entsprechend eines generellen
Konzeptes in der OOP, in die drei Bereiche Model, View und Controller, was kurz
als MVC-Paradigma bezeichnet wird, unterteilt werden, siehe [Cox, 1991]. Die
Bereiche View und Controller dienen zur Ablaufkontrolle des Programms, zur
Darstellung von Informationen und zur Erfassung von Eingaben. Sie erscheinen
dem Benutzer als Schnittstelle und gestalten den Arbeitsablauf und die Interak¬
tion. Im Bereich Model erfolgt die interne Datendarstellung und deren Aufberei¬
tung für die Berechnungen. Hier werden die abstrakten Begriffe der
Zuverlässigkeitstheorie in entsprechenden Speicherstrukturen abgebildet.
4.2.2.1
Das
Die
72
Der
Abb.(4.10)
Variablenprozessor
VaP
Zusammenstellung der allgemeinen Klassen; die neu geschaffenen
Klassen (dick umrandet) sind in die bestehende Klassenhierarchie (dünn
umrandet) eingebunden.
Die beiden Bereiche View und Controller machen einen
tumfang des Programms
großen
Teil im Quelltex-
Aufgabenzuteilung dieser beiden Bereiche
zum
Zuteilung der Funktionen in
Klassen nicht immer möglich ist. Die in VaP neu geschaffenen Klassen in den
Bereichen View und Controller sind in Bild (4.10) dick umrandet. Sie werden
nachfolgend kurz beschrieben.
überschneiden sich
4.2.2.2
aus.
Die
Teil, weshalb eine klare
Visualisierung
ist zuständig für die Darstellung der Verteilungsdichte
Die Klassen für die
Die Klasse PDFView
Basisvariablen und des
Histogramms
aus
einer
einer crude Monte Carlo Simulation.
übergeordneten Klasse View vererbte und hier
funktional erweiterte Methode display. Bei ihrer Ausführung erfolgt zuerst eine
geeignete Skalierung des Darstellungsbereichs am Bildschirm, dann das Zeich¬
nen der Achsen mit ausgewählten Marken und zuletzt das Zeichnen des Funkti¬
onsverlaufs. In Bild (4.11) ist das Ergebnis einer Nachricht display für eine
Extremwertverteilung, Gumbel für Größtwerte, dargestellt.
Die Klasse besitzt eine,
von
der
PDFView dient auch als
übergeordnete, sogenannte Superklasse. Von ihr sind
die Klassen VarView und MCView abgeleitet worden. In den letztgenannten sind
allerdings auch wesentliche Teile zur Kontrolle eines Dialogs enthalten. Sie kön¬
nen somit nicht ausschließlich dem Wew-Bereich zugewiesen werden.
73
Der
Variablenprozessor
Abb.(4.11)
Darstellung
VaP
der
Verteilungsdichte
einer Basisvariablen
DM
0.10
0.05
0.00
10
25
Die Klasse VarView wurde
tion
zu
gestalten.
Dialog bei der Variablendefini¬
hinzugefügten Methoden ermöglichen die
geschaffen,
Die in dieser Klasse
um
den
Steuerung des Vorgangs der Definition von Basisvariablen. Der Benutzer
auf diese Weise nicht die alphanumerische Form der Grammatik benützen.
Abb.(4.12)
Definition der Basisvariablen R, "R:LN(200, 20)"
0QÜ5-
lllllll
YY%:
osoc
150
200
250
74
muß
Der
Variablenprozessor
VaP
Alle in einer Grenzzustandsfunktion vorkommenden Variablen werden zirkulär
bearbeitet. Für eine solche Basisvariable werden die Parameter
gelesen.
eingegeben
und
Dabei kann entweder die Definition über die ersten beiden Momente
oder mittels der dem
Verteilungstyp entsprechenden spezifischen Parametern
erfolgen. Je nach Verteilungstyp müssen eventuell noch die Ränder der Vertei¬
lung angegeben werden. Wenn diese Werte, entsprechend des angewählten
Verteilungstyps, im zulässigen Definitionsbereich liegen, wird eine Instanz der
Klasse Stoch Var erzeugt bzw. deren Attribute verändert. Danach wird in VarView
die Methode
die
display ausgeführt,
lung
der
Verteilungsdichte,
der
Superklasse PDFView vererbt ist.
quasi
Quittung der Definition, eine Darstel¬
Bild (4.12).
Der Benutzer erhält als Resultat,
von
als
siehe
Die Klasse MCView ist die zentrale Klasse, die
Carlo Simulation
zur
Steuerung der crude Monte
eingebundenen Methoden
wurde. Die in MCView
geschaffen
Eingabe der notwendigen Parameter und kontrollieren den Ablauf
Berechnung.
steuern die
der
Abb.(4.13)
Monte Carlo Simulation
Monte Carlo
¦¦:¦¦¦¦¦:¦¦¦::¦
¦
¦
:¦.¦
¦
¦.¦¦¦
¦¦¦
¦
¦
¦
¦
..
¦
¦
¦¦¦
:M];YYY^MY-YY.
¦¦¦¦¦¦¦.¦.¦
¦¦¦
¦¦-¦¦
¦¦¦¦
¦¦¦¦¦¦¦
¦¦¦¦
¦¦.
¦'¦
¦
¦
¦:
.¦¦¦¦¦¦
7Y.YY~;~~
¦
y.v--.¦:¦.¦:¦.'
'•
i:.-.::¦ '¦:':'-:
f
Hl l4nh
'¦¦\-/-::-\--'.'-'.-.-.iiYii
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¦.-;¦(¦.¦.---.
Y+mf
.
-::
"i
iiiiriinin'fi.¦;¦¦:¦¦:
.;.-:¦:¦:¦
_*,
JliSrf^*
<0j: 0.074898
Über
einen
lationen für
Dialog müssen die Anzahl der Durchläufe und die Anzahl der Simu¬
jeden Durchlauf festgelegt werden, siehe Bild (4.13). Bei der Berech-
75
Der
Variablenprozessor
VaP
nung wird
ein
dargestellt.
Der Benutzer sieht in Echtzeit die
Histogramm
gramms. Wahlweise kann
für
die
der Grenzzustandsfunktion
Entwicklung
der
G(X)
eines Säulendia¬
Analyse
Histogramm
festgelegt werden. Alle Werte werden
unmittelbar nach erfolgter Eingabe auf ihre Konsistenz überprüft. Da solche
Simulationen sehr zeitintensiv sein können, wurde hier das Prinzip, dem Benut¬
zer die Ablaufkontrolle zurückzugeben,
umgesetzt. Nachdem die Simulation
kann
der
wurde,
gestartet
Vorgang jederzeit über den Dialog abgebrochen wer¬
den. Ebenso ist ein neuerlicher Start der Analyse möglich.
das
Die
vor
Beginn
Werte
die Anzahl der Klassen für
und dessen Grenzen
Klasse TextView dient
zur
probabilistischen Berechnung.
ditor. In einem Fenster
am
Visualisierung
der
Rechenergebnisse
einer
Realisiert ist diese Klasse als ein einfacher Texte¬
Bildschirm werden alle Resultate
protokolliert, ent¬
neue
Ergebnis wird,
sprechend der Reihenfolge ihrer Berechnung. Jedes
unabhängig von der aktuellen Schreibposition, der Position des Cursors, an das
Ende des Textes angehängt. Der Benutzer hat somit eine chronologische Auf¬
zeichnung seiner Tätigkeiten. Ergänzende Kommentare können beliebig hinzu¬
gefügt und unnötige gelöscht werden, siehe Bild (4.15).
4.2.2.3
Die Klassen für die Ablaufkontrolle
Die Klasse
Inspector dient
zur
Bildschirm erscheint ein Fenster
Abb.(4.14)
Dialog
für die
Erfassung der Eingabe über die Tastatur.
mit zwei Bereichen, siehe Bild (4.14).
Erfassung
Am
einer Grenzzustandsfunktion
Inspector
Limit State Function
Texteditor
zur
Eingabe
;¦ ¦:-.-.;¦:;:¦;¦:¦:-.¦:-:-:-¦-¦¦;;:¦:¦.-:¦:;:¦
:¦:¦¦:
¦-¦-¦^.v.-.v:v.v.:.v^:v..>:::v-
undefmed variable
undefined variable
Rückmeldung
der erkannten Basisvariablen
YYfY:
Der Benutzer schreibt in den oberen Teil, einem einfachen Texteditor, die Grenz¬
zustandsfunktion hinein. Mit dem Drücken der RETURN-Taste wird der Inhalt
ausgelesen
und dem Parser
gesendet.
76
Nach
erfolgtem
Lesen des Ausdrucks
Der
erscheint im
untenliegenden
Variablenprozessor
VaP
Teil eine
Auflistung der vorgefundenen Basisvaria¬
blen. Kommen in einem Ausdruck einige Basisvariablen vor, die bereits im über¬
geordneten Workspace definierte sind, so erscheinen dann die dazugehörigen
Variablendefinitionen. Der im Inspector angezeigte Ausdruck ist die aktive
Grenzzustandsfunktion des jeweilig aktiven Dokuments. Andere Grenzzustands¬
funktionen werden über den Menüpunkt Activate aktiviert und danach im
Inspector ausgewiesen.
VaPApp, stellt die grundlegende Ablaufkontrolle des Programms
bereit. VaPApp empfängt sogenannte Events, die sich aus der Interaktion des
Benutzers mit dem Computer ergeben, und leitet sie in Form von Nachrichten an
die entsprechenden Objekte weiter. In dieser Klasse wird das Menü, alle Fenster
und Dialoge der Anwendung verwaltet. Alle globalen Informationen, die alle
Objekte betreffen, sowie bestimmte, global verfügbare Instanzen werden eben¬
falls hier gespeichert. Beim Start von VaP wird eine Instanz der Klasse VaPApp
gebildet, die dann ihrerseits Instanzen aller zentralen Dialoge, sowie Klassen für
die Eingabe und Analyse schafft.
Die Klasse
Abb.(4.15)
Mehrere
parallel bearbeitbare Dokumente
in VaP
llli llllil
!!§!!!
HH tHHl
ilPlf^
r
scroilbarer Texteditor für die Resultate
iJll IISI IUI II
iljliiä
¦
¦'.¦.'¦¦
¦
.
¦."
«8
MiSMMWMWilW^^
77
Der
Variablenprozessor VaP
Zur
Bearbeitung
legt.
eines
Zuverlässigkeitsproblems
wird i.a. ein Dokument ange¬
Ein solches Dokument ist eine Instanz der Klasse VaPDoc. Das äußere
Erscheinungsbild
am
Bildschirm ist ein Fenster mit einem Texteditor, der eine
Instanz der Klasse Text View ist Die interne Datenstruktur bildet eine Instanz der
Workspace. Sie verwaltet alle in diesem Dokument definierten Größen
und stellt sie für spätere Analysen bereit. Die Instanz der Klasse VaPDoc bildet
eine in sich abgeschlossene Einheit, wodurch es möglich ist, mehrere Probleme
parallel zu bearbeiten, siehe Bild (4.15).
Klasse
4.2.2.4
Die Klassen für die
Modellbeschreibung
zeigt in einer Übersicht Bild (4.16). Die Komponenten
heißen Compiler, Workspace und Analysis. Diese bestehen ihrerseits aus meh¬
reren Klassen und werden weiterhin jeweils als Objektbereich bezeichnet.
Den /tfodeABereich in VaP
Abb.(4.16)
Das
Prinzip des Variablen Prozessors
Compiler
^
VaPApp
11 Result
Analysis
VaPDoc
Workspace
) [
|
TextView
^
Durch das Zusammenwirken der vorher beschriebenen
Bereichen View und Controller wird die Definitionen
und die
Ausgabe
der Resultate
von
Komponenten
Grenzzustandsfunktio¬
ermöglicht.
in
der
Information
den
wird
Aufbereitung
folgenden Kapiteln
che Compiler, Workspace und Analysis beschrieben.
nen
Verarbeitung und
für die Objektberei¬
Die interne
78
in den
Der
4.3
Objektbereich Compiler
4.3.1
Übersicht
Compiler
Anweisungen
Ein
übernimmt eine
Beschreibung
Variablenprozessor VaP
eines Prozesses und wandelt die
Menge von Befehlen um, die vom Computer ausgeführt
werden können. Compiler können für umfangreiche Programmiersprachen oder
für Kleinsprachen, die eine spezialisierte Aufgabe erfüllen, geschrieben werden.
Ein Interpreter hat im Vergleich dazu eine andere Funktion, denn er bietet nicht
die Möglichkeit eines ausführbaren Formats. Jede Eingabe wird unmittelbar
danach ausgeführt, so wie es bei einem Taschenrechner der Fall ist.
in eine
Beschreibung einer Sprache dient eine Grammatik. Eine Reihe von
Regeln legt die Anwendung der Grammatik fest. Die Definitionen sind in einer
Metasprache verfaßt. Eine spezielle und sehr flexible Form ist die erweiterte
Backus Naur Form (EBNF), siehe [Wirth, 1984]. Berühmte Computersprachen
wurden mit Hilfe der EBNF beschrieben und realisiert, siehe hiezu [Aho et al.,
1992].
Zur formalen
Zuverlässigkeitstheorie
werden hier mit
Hilfe der EBNF beschrieben. Diese Grammatik bildet dann den
Ausgangspunkt
Die
Begriffe
und
Darstellungsformen
der
matik für die
Compilers. Im Anhang A1 ist die Definitionen der Gram¬
Metasprache der Zuverlässigkeitstheorie zusammengestellt.
Abb.(4.17)
Klassen für die
für die Konstruktion des
Erfassung
von
Ausdrücken
-
Objektbereich Compiler
Parser
Object
Scanner
Zur
Eingabe wurden die Klassen
nur jeweils eine Instanz gebildet, die
Erfassung
fen. Es wird
einer
Scanner und Parser geschaf¬
dann
global
für alle VaPDocs
Workspace des
aktuellen VaPDoc können Informationen in jeweils beiden Richtungen ausge¬
tauscht werden. Eine Übersicht der Funktionsweise ist in Bild (4.18) gegeben.
verfügbar ist. Zwischen
dem Parser, dem Scanner und dem
Bearbeitungsablauf einer Eingabe läßt sich für den Compiler in die Phasen
der lexikalischen, syntaktischen und semantischen Analyse sowie in die Phase
der Code-Erzeugung für den Syntaxbaum einteilen. In jedem dieser Arbeits¬
schritte muß der Zugriff auf die Symboltabelle möglich sein und der Benutzer
durch eine geeignete Fehlerinformation unterstützt werden. Der Parser fordert
Symbole an, die ihm der Scanner liefert. Der Ablauf der Definition einer Grenz¬
Der
zustandsfunktion wird
nachfolgend beschrieben.
79
Der
Variablenprozessor VaP
Abb.(4.18)
Zusammenhang zwischen Eingabe, Objektbereich Compiler und
Workspace eines Dokumentes
Anforderung
von
dem
Symbolen
<
>
Symbole und Attribute
Symboltabelle
Symboltabelle
Verwaltung
4.3.2
Lexikalische
Analyse
Die lexikalische
Analyse erfolgt durch den Scanner. Die Eingabe, eine Menge
von Zeichen, wird in Symbole zerlegt, die dann zum Parser weitergeschickt wer¬
den. In der Welt der Computer steht ein Symbol für ein Wort oder einen Opera¬
tor. Gleich wie in der Grammatik für die Sprache, in der es z.B. Subjekt, Prädikat
und Objekt als Bausteine für einen Satz gibt, wird das Prinzip auf Grenzzu¬
standsfunktionen angewendet.
Wechselbeziehung zwischen der Eingabe und dem
Parser. Er liest immer um ein Zeichen voraus, um mehrdeutige Zeichenfolgen
unterscheiden zu können. Die vom Scanner erzeugten Symbole werden vom
Parser sozusagen angefordert und dann verbraucht. Eine wichtige Aufgabe des
Scanners besteht in der Eliminierung von Leerräumen und bestimmten, nicht
Der Scanner steht in einer
sichbaren Kontrollzeichen. Müßte der Parser diese behandeln, würde dies
Schwierigkeiten
in der Definition der Grammatik führen. Einzelne
chen, als auch eine
Folge
von
Eingabezeichen,
bilden ein
Symbol,
zu
Eingabezei¬
wie sie in der
Grammatik definiert sind.
Ziffernfolge wird das Symbol const erzeugt. Die Zahl wird für den Parser
Weiterverarbeitung bereitgestellt. Bezeichner dienen in dieser Sprache als
Für eine
zur
Namen für stochastische Variablen, Grenzzustandsfunktionen und ähnliche Kon-
Symbol ident verwendet. Sobald der Scanner ein solches
Symbol
festgestellt, ob ein solcher Bezeichner nicht schon zu
einem früheren Zeitpunkt gefunden wurde. Jeder Bezeichner wird dazu in einer
Symboltabelle eingetragen und verwaltet. Alle Symbole vom Typ ident gelten
somit im Rahmen eines Workspace global. Ein Verweis auf diesen Eintrag wird
strukte. Dafür wird das
erkennt, wird
an
den Parser
zurückgeliefert.
80
Der
Spezielle Zeichenfolgen
als
dienen
Schlüsselworte.
Variablenprozessor
Sie
sind
reservierte
Bezeichner und dürfen nicht als Variablennamen oder Funktionsnamen
det werden. Der Scanner liefert für
Symbole,
eingebaute
Funktionen die
pi,
geliefert werden. In der jetzigen Version von
der im Anhang A1 angeführte Sprachumfang realisiert.
4.3.3
verwen¬
gleichnamigen
Symbole if,
VaP ist allerdings
etc. Im Falle von Kontrollstrukturen könnten die
wie sin,
while und andere
nur
VaP
Syntaxanalyse
Im Prozeß der
Syntaxanalyse
wird ein mathematischer Ausdruck auf seine Rich¬
tigkeit im Sinne der Grammatik überprüft. Der Parser fordert solange Symbole
vom Scanner an, bis ihm ein EOS (end of stream) geliefert wird. Wenn an einer
bestimmten Stelle der Analyse ein erwartetes Symbol vom Scanner nicht gelie¬
fert wird, erfolgt eine entsprechende Fehlermitteilung an den Benutzer. Der ver¬
wendete Parser ist ein sogenannter Bottom-Up-Parser. Die Reihenfolge der
Knotenerzeugung erfolgt von unten nach oben, wie im Bild (4.19) angedeutet.
implementierte Methode ist eine Shift-Reduce-Syntaxanalyse. Es wird ver¬
sucht, eine Zeichenfolge auf ein Symbol der Grammatik zu reduzieren. In jedem
Reduktionsschritt wird eine Teilzeichenfolge durch ein entsprechendes Symbol
ersetzt. Die Bottom-Up-Syntaxanalyse erfolgt von links nach rechts durch die
sogenannte Rechtsreduktionen.
Die
Ein
Beispiel,
"R
S*2", soll den Vorgang verdeutlichen. Zuerst wird dieser Aus¬
druck reduziert auf "<expression> S*2", weiter auf "<term> S*2" und schlie߬
-
-
lich auf "<factor>
-
S*2". Dann
folgt der nächste Teilausdruck, "<factor>
<expression>*2". Dieser Vorgang vollzieht sich solange, bis alle Elemente auf
das Symbol <factor> reduziert worden sind oder ein solcher Schritt nicht mehr
erfolgen kann.
-
-
erfolgt die Erzeugung des Syntaxbaums in umgekehrter Reihenfolge.
Dieser Vorgang wird allgemein als Produktion bezeichnet. In diesem Schritt
erfolgt das Setzen von Attributen, entsprechend den Operatoren und Operan¬
Danach
den, die während der Reduktionsschritte erkannt wurden. Während des Vor¬
gangs der Produktion werden
gleichzeitig
die <fector>-Elemente semantisch
überprüft.
4.3.4
Semantische
Analyse
Analyse ist die Typüberprüfung. Der Com¬
piler muß kontrollieren, ob die Operanden eines Operators den Spezifikationen
der Grammatik entsprechen. Wenn ein nicht zulässiger Bezeichner gefunden
wird, muß eine Fehlermitteilung den Benutzer aufmerksam machen und der Vor¬
gang des Parsens abgebrochen werden.
Ein wesentlicher Teil der semantische
81
Der
Variablenprozessor VaP
Allgemein
dürfen keine rekursiven
Zuweisungen,
z.B. der Form
gen. Jeder Bezeichner in einer Grenzzustandsfunktion darf
nur
x
=
x +
1, erfol¬
eine stochasti¬
sche Variable oder eine in VaP vordefinierte Funktion
Ausdrücken,
die ein
im Sinne der
repräsentieren. Bei
Zuverlässigkeitstheorie beschreiben,
System
lediglich für eine Grenzzustandsfunktion stehen. Ist eine
Zeitpunkt der syntaktischen Analyse noch nicht definiert, so
können die Bezeichner
solche Größe
zum
implizit angenommen.
Größen festgelegt werden.
wird sie
In einer
späteren Phase
müssen dann diese
Aufgabe der semantischen Analyse besteht bei der Definition von
Erwartungswerten. Innerhalb dieses Operators müssen die Variablen explizit
angegeben werden, über die integriert werden soll. Diese Bezeichner dürfen nur
einmal in einem Erwartungswertoperator verwendet werden, was vorallem bei
verschachtelten Operationen von Bedeutung ist. Mehrfachverwendungen wer¬
den als Fehler zurückgemeldet.
Eine weitere
4.3.5
Erzeugung des Syntaxbaums
Berechnung des Werts einer Grenz¬
zustandsfunktion stützt sich auf die Verwendung eines Stacks. Der syntaktisch
zu analysierende String ist in einem Eingabebuffer gespeichert. Im Stack wer¬
den die Grammatiksymbole und die notwendigen Informationen aus den Teilaus¬
drücken gehalten, die ihrerseits auf diese Art bewertet werden. Das Teilergebnis
im Stack muß für den weiteren Vorgang festgehalten werden. Der Stack wird nun
kontinuierlich abgearbeitet, bis, an der Spitze angelangt, das Resultat zurückge¬
liefert wird. Hier zeigt sich auch der Nachteil dieser Art der Realisierung. Für
jede Berechnung einer Grenzzustandsfunktion muß der Ausdruck neuerlich
durch den Scanner und Parser laufen, was unnötige Operationen ergäbe. Aus
Eine zunächst
naheliegende
Methode
zur
diesem Grund mußte eine andere, effizientere Form
Abb.(4.19)
Ein
Syntaxbaum
für den Ausdruck "R
-
gewählt werden.
S*2"
-
cn
c
j-
id
*
c
o
zum
Eintrag fü rR
c
UJ
id
zum
2.0
Eintrag für S
82
Der
Im
Programm
VaP wird deshalb ein
Syntaxbaum
Variablenprozessor
für die interne
Darstellung
VaP
des
Ausdruckes einer Grenzzustandsfunktion verwendet, der in diesem Fall das
Endprodukt
Compilers bildet. Dieser Syntaxbaum muß nur einmal erstellt
werden und kann dann beliebig oft durchlaufen werden. Damit ist eine Entkopp¬
lung vom Parser gegeben, siehe Bild (4.18).
des
Die Konstruktion eines
nach der
gibt
es
Syntaxbaums
für einen Ausdruck
Übersetzung des Ausdrucks
keine Klammern. Die
entspricht dem Konzept
in die Postfixform. In einer Postfix-Notation
Dekodierung ist eindeutig durch die Position und
die Anzahl der
Argumente bestimmt. Es werden Unterbäume für die Unteraus¬
drücke erzeugt, in welchem jeder Operator und jeder Operand durch einen Kno¬
ten (node) symbolisiert wird.
Alle Knoten im
Syntaxbaum besitzen einen Zeiger eval, der auf die jeweilige
Funktion, die zur Berechnung des Unterausdrucks notwendig ist, zeigt. Zusätz¬
lich gibt es wahlweise Felder, in denen die weitere Information eines Operanden
enthalten ist, oder einen Zeiger auf eine Instanz der Klasse Local. Am Baum¬
ende befinden sich die sogenannten Blätter {leafs). Von hier aus werden dann
die Information bei einer Berechnung weitergegeben. Bei der Operandenart
const wird einfach die im Knoten gespeicherte Zahl zurückgeliefert. Im Fall von
id, also i.a. einer Basisvariablen, steht im Knoten die Adresse einer Instanz
Local. Dieser wird die Methode value
der stochastischen Größe
zu
gesendet,
um so
die aktuelle Realisation
bekommen, siehe Bild (4.19).
Die Knoten eines
Syntaxbaums sind als C-Strukturen mit verschiedenen Feldern
realisiert. Zur Erzeugung eines Knotens im Syntaxbaum werden Funktionen ver¬
wendet, die einen Zeiger auf den neuen Knoten liefern. Sie fordern dynamisch,
während der Laufzeit, den Speicherplatz an. Die Konstruktion des Syntaxbaums
für einen Ausdruck ist, wie schon erwähnt, durch den Vorgang der syntaktischen
Analyse gesteuert.
Syntaxbaums besitzt jeder linke Nachfolger eine höhere
Priorität als der rechte, siehe Bild (4.19). Die Berechnung des Ausdruckes erfolgt
in der gleichen Reihenfolge wie bei der Knotenerstellung. Dazu wird vom ober¬
sten Knoten solange nach links entwickelt, bis bei einem Blatt angelangt, ein
Wert zurückgeliefert wird. Dann wird der Vorgang im letzten Knoten auf die
rechte Seite fortgesetzt. Dort gilt dann wieder die Regel, daß zuerst die linke,
und dann die rechte Seite durchlaufen wird. Der Syntaxbaum wird auf diese
Weise von unten beginnend zur Spitze hin durchlaufen. An der Spitze angelangt,
wird das Ergebnis des Ausdrucks zurückgeliefert.
In einem Knoten des
Bewertung des Syntaxbaums erweist sich deshalb als besonders schnell, da
der Vorgang des Durchlaufens der Baumstruktur als rekursiver Prozeß realisiert
wurde. Jeder Knoten übergibt seiner Operatorfunktion eval sich selbst als Zei¬
ger. Damit ist es möglich, die zur Berechnung notwendigen Informationen der
jeweiligen Funktion bereitzustellen.
Die
83
Der
Variablenprozessor VaP
4.4
Objektbereich Workspace
4.4.1
Übersicht
Objektbereich Workspace setzt sich aus den in Bild (4.20) gezeigten Klas¬
sen zusammen. Die Aufgabe besteht in der Erfassung aller während einer
interaktiven Sitzung definierten Größen. Die Informationen werden gespeichert
und für die spätere Analyse bereitgestellt.
Der
Workspace von der gleichnamigen Bezeichnung
konzeptionelle Gliederung zu unterscheiden, siehe auch Bild (4.16).
Es ist der Name der Klasse
die
Abb.(4.20)
Klassen für die
für
Datenspeicherung Objektbereich Workspace
-
Local
LimitState
Entry
Object
Workspace
StochVar
System
Workspace dient zur Speicherung aller erkannten Bezeichner. Sie
werden in Abhängigkeit der Reihenfolge ihrer Definition in eine Symboltabelle
eingetragen. Die Realisation der Symboltabelle erfolgt im Programm VaP als
Binärbaum. In dieser Baumstruktur sind alle Bezeichner alphabetisch geordnet
und schnell auffindbar. Bei sehr vielen Einträgen kann diese Speicherstruktur
Die Klasse
unvorteilhaft werden. Das Auffinden einer
Anzahl im Mittel
Eintragung
dauert mit zunehmender
länger.
Realisierung in Form einer Hash-Tabelle, die relativ kon¬
stante Antwortzeiten, unabhängig von der Anzahl der Eintragungen, bei einem
Suchvorgang gewährleistet. Im weiteren ist hier auch die, für ein Dokument zen¬
trale Fehlerbehandlung organisiert. Eine Variable error wird auf YES gesetzt,
wenn irgend ein Fehler im Objektbereich Compiler oder Analysis passiert. Die
Aktion wird dann sofort unterbrochen. Eine entsprechende Fehlermitteilung
Eine Alternative ist die
informiert den Benutzer und setzt
Für
error
auf NO.
Compiler erkannten Bezeichner wird eine Instanz jener Klasse
erzeugt, die seinem Typ im Sinne der Grammatik entspricht. Diese Klassen lei¬
ten sich alle von der Superklasse Entry ab, die als abstrakter Begriff für eine Ein¬
tragung in der Symboltabelle steht. Von ihr wurden Unterklassen geschaffen, die
den Begriffen der Zuverlässigkeitstheorie entsprechen.
jeden
vom
84
Der
Eine
Eintragung
in der
Symboltabelle
besteht
aus
Variablenprozessor
VaP
einer konventionellen C-Struk-
Name, die Zeiger, die auf den linken bzw. rechten
Nachfolger in der Speicherstruktur weisen und ein Referenzzähler, der die
Kopien dieses Eintrags zählt, enthalten. In einem weiteren Feld, als link bezeich¬
tur. Als Information sind der
net, wird auf eine Instanz der entsprechenden Unterklasse
Objekt
In diesem
sind die weiteren
Klassen für die
4.4.2
spezifischen
von
Entry verwiesen.
Information enthalten.
Speicherung
Beschreibung einer Grenzzustandsfunktion wurde die Klasse Limitstate
geschaffen. In ihr werden folgende Informationen gespeichert:
Zur
•
expr
für den
Syntaxbaum, vom Objektbereich Compiler erzeugt,
gebenen Ausdruck.
der
•
einge¬
locals
erfaßt alle in der Grenzzustandsfunktion vorkommenden Variablen
und
organisiert sie
in einer lokalen
Symboltabelle.
Eintragungen
Die
in dieser Tabelle besitzen eine Instanz der Klasse Local.
•
code
enthält die
•
Syntax des Ausdrucks als Zeichenkette.
result
enthält das
Ergebnis
der letzten
Berechnung
und ist eine Instanz der
Klasse Value.
•
rtype
beschreibt die Art der
Analyse, deren Ergebnisse in result stehen.
Zugriff auf die Information
Änderung. Es werden nachfolgend einige wichtige Methoden erklärt:
Die Methoden in der Klasse LimitState erlauben den
bzw. deren
•
isDefined
getestet, ob alle vorkommenden Variablen zum Zeitpunkt
der Abfrage bereits definiert sind. Es werden alle Elementen in der
lokalen Symboltabelle locals geprüft. Wird dabei das Ergebnis NO
zurückgeliefert, bewirkt es den Abbruch der geplanten Analyse.
dabei wird
•
isDeterministic
es
werden in der
gleichen
Art alle Elemente in der
Symboltabelle
Ergebnis YES handelt es sich um eine
deterministische Funktion, womit ein probabilistische Berechnung
nicht möglich ist.
locals getestet. Bei einem
•
value
expr, indem diese Baumstruktur rekursiv
durchlaufen wird. Von den Enden, den sogenannten Blättern begin¬
bewertet den
Syntaxbaum
nend, werden die Teilergebnisse zurückgeliefert, bis
wieder
angekommen,
der Funktionswert
85
am
Startpunkt
zurückgeliefert wird.
Der
Variablenprozessor
Eine
gewisse
VaP
Logik, die Begriffe der Grammatik in Objekte
umzusetzen, bildet die Klasse Local. Sie ist nicht direkt in der Symboltabelle der
Instanz Workspace auffindbar. Sie dient als Verbindungselement zwischen den
lokalen Variablen die im Syntaxbaum vorkommen und der jeweiligen Eintragung
in der Symboltabelle. Solcher Art ist jeder Bezeichner global im Rahmen einer
Ausnahme in der
Instanz der Klasse VaPDoc verfügbar. Die Attribute dieser Klasse sind:
•
x
enthält den aktuellen Rechenwert
jener Instanz, auf die der Zeiger
in
weist. Das kann die Realisation einer Basisvariablen oder der aktuelle
Wert einer Grenzzustandsfunktion sein.
•
in
Verbindung zur Eintragung in der Symboltabelle einer Instanz der
Klasse Workspace. Die Speicherstruktur der Eintragung in der Sym¬
boltabelle enthält link, die auf die dazugehörige Instanz verweist.
die
In Local haben die
leitung
von
folgenden
Methoden
hauptsächlich
die
Aufgabe der Weiter¬
Nachrichten. Die bereits unter LimitState beschriebenen Methoden
bedeuten hier:
•
isDefined
der Instanz link, die in einem Feld der
beile
•
gespeichert
Eintragung
in der
Symbolta¬
ist, wird die Nachricht isDefined gesendet.
isDeterministic
wie im vorigen Fall, wird der Instanz link die Nachricht isDeterministic
gesendet.
•
value
der Inhalt der Instanzvariable
nung
•
x
wird dem
Syntaxbaum
für die Berech¬
zurückgeliefert.
entry
liefert die Adresse der
Eintragung
link in der
Symboltabelle
im Works¬
pace des Dokuments.
Die Klasse StochVar erfaßt die Informationen einer Basisvariablen. Eine Instanz
dieser Klasse enthält
•
folgende
defined
ist auf YES gesetzt,
•
•
Informationen:
gewählte Verteilungsfunktion die
eingegebenen kennzeichnenden Größen zulässig sind.
type
bezeichnet den Typ der Basisvariablen. Es stehen die in der Gramma¬
tik angegebenen grundsätzlichen Verteilungen zur Verfügung.
wenn
für eine
moments
in diesem Vektor sind die ersten vier Momente der
Verteilung gespei¬
chert. Im weiteren wird dort der Mode, die Stelle
an
lungsdichte ihr Maximum besitzt, gespeichert.
86
der die Vertei¬
Der
Variablenprozessor
VaP
bound
•
Berechnung notwendigen Hilfsgrößen
Länge des Vektors hängt vom Typ ab.
dieser Vektor enthält die für die
des
Verteilungstyps.
Die
functions
•
Zeiger weist auf einen Satz von Funktionen,
bung jeder Basisvariablen notwendig sind.
dieser
die
zur
Beschrei¬
Nachfolgend ist eine Zusammenstellung der wichtigsten Methoden in StochVar
gegeben. Die beiden ersten, bereits unter LimitState beschriebenen Methoden
liefern hier konkrete Informationen zurück.
isDefined
•
liefert den Inhalt
von
defined zurück.
isDeterministic
•
liefert YES zurück,
deterministisch als
wenn
Typ gewählt wurde.
cdf
•
berechnet den Wert der
•
Verteilungsfunktion
übergebene Realisation
pdf
x.
berechnet den Wert der
Verteilungsdichte
gebene
Realisation
für eine als
für eine als
Argument
Argument über¬
x.
inv
•
berechnet den Wert der Umkehrfunktion der
eine als
Verteilungsfunktion
für
Argument übergebene Wahrscheinlichkeit p.
domain
•
prüft,
ob ein als
tionsbereichs
Argument übergebener
liegt.
Punkt
x
innerhalb des Defini¬
random
•
liefert einen Zufallswert für die
4.4.3
Verteilungsfunktion zurück.
Repräsentation einer Grenzzustandsfunktion
Übersicht über die Speicherstruktur für eine Grenzzustandsfunktion ist in
Bild (4.21) schematisch dargestellt. Der Ausdruck, G
R-S*2, wird dazu im
Eine
=
Kontext mit den Datenstrukturen, die sich
aus
dem
Vorgang
des Einlesens erge¬
ben, betrachtet. Es sind Instanzen der Klassen LimitState, StochVar und Local
dargestellt, die dynamisch alloziert und verknüpft werden. Die Pfeile der Verbin¬
dungen geben die Richtung an, in die Nachrichten gesendet werden können.
Die im Ausdruck der Grenzzustandsfunktion enthaltenen Bezeichner "G", "R"
und "S" sind in der
Symboltabelle
im
Workspace, bezeichnet mit table, eingetra¬
gen. Bei "G" besteht eine Verbindung zu einer Instanz der Klasse LimitState, für
"R" und "S" gibt es je eine Verbindung zu einer Instanz der Klasse StochVar.
Nachfolgend werden,
sen
wenn
nicht
explizit geschrieben,
mit ihren Klassennamen verwendet.
87
die Instanzen
von
Klas¬
Der
Variablenprozessor
VaP
Parser erzeugten Elemente abgespeichert. Die
auf den Syntaxbaum. In der lokalen Symboltabelle weist ein
In LimitState sind alle
vom
Variable expr zeigt
Zeiger locals auf den
Anfang eines Binärbaums, in dem die Basisvariablen die¬
ser Grenzzustandsfunktion zusammengefaßt sind. Jede Eintragung in locals
besitzt ihrerseits einen Zeiger auf eine Instanz der Klasse Local. Über diese Ver¬
bindung kann auf die Eintragung in der globalen Symboltabelle des Workspace
zugegriffen werden.
(4.21) weiter angeführten schematischen Darstellungen der Instan¬
zen von Local und Stoch Var enthalten die wichtigsten Methoden. Die Blätter des
Syntaxbaums mit den Bezeichnern, gekennzeichnet mit id, weisen auf eine
Basisvariable hin. Bei der Berechnung des Syntaxbaums wird der jeweiligen
Instanz Local öle Nachricht value gesendet. Diese Methode liefert den aktuellen
Die in Bild
Wert, eine bestimmte Realisation der Basisvariable zurück.
Abb.(4.21)
Verknüpfung
der Daten für eine Grenzzustandsfunktion "G
=
R
-
S*2"
isDefined
isDeterministic
value
V
88
entry
Der
4.5
Objektbereich Analysis
4.5.1
Klassen für die
Variablenprozessor VaP
Zuverlässigkeitsanalyse
In diesem Bereich werden alle für die
Analyse notwendigen Klassen zusammen¬
gefaßt. Eine Zusammenstellung im Bild (4.22) des Objektbereichs Analysis zeigt
die Hierarchie der Klassen. Einige Klassen werden benötigt, um allgemeine
Funktionen zur Verfügung zu stellen. Der eigentliche Teil der probabilistischen
Analyse ist in den Unterklassen von Analysis enthalten.
Vom
Menüpunkt Method aus werden die Verfahren zur Berechnung von Versa¬
genswahrscheinlichkeiten und statistischen Momenten einer Grenzzustands¬
funktion angewählt, siehe Bild (4.23). Die mit dem Menüpunkt assoziierte
Methode wird gestartet und berechnet die momentan aktive Grenzzustandsfunk¬
tion des Workspace im jeweiligen Dokument. In der präsentierten Version des
Computerprogramms VaP sind die Methoden für die Zuverlässigkeitsanalyse in
den folgenden Klassen organisiert worden.
Abb.(4.22)
Klassen für die Berechnung
Object
-
Objektbereich Analysis
Random
Approx
Analysis
Simulation
Value
Numeric
AppIStatistics
Primitives
In der
übergeordneten Klasse Analysis sind die Grundfunktionen für jede
Berechnungsaufgabe definiert. Die aktive Grenzzustandsfunktion wird zu
Beginn jeder Berechnung überprüft, ob alle Basisvariablen definiert sind oder ob
es
sich
um
eine deterministische Funktion handelt. Die Methoden isDefined und
isDeterministic, siehe Kapitel 4.4, werden dafür benötigt. Solche Fragestellun¬
gen müssen vor jeder Berechnung geprüft werden, da zwischenzeitlich der
Benutzer Definitionen hätte ändern können. Auch können
gewisse Vorausset¬
zungen für die Anwendung einer Methode nicht gegeben sein. Beispielsweise
müssen die ersten vier Momente aller Basisvariablen für die numerische Integra¬
tion nach [Li et al., 1985] existieren, siehe auch Kapitel 3.2. Die Bereitstellung
von temporären Speicherstrukturen, die für die Berechnungen notwendig sind,
wird den jeweiligen Unterklassen zugeordnet. Diese Speicherstrukturen sind
generell Instanzen der Klasse Value.
89
Der
Variablenprozessor
Abb.(4.23)
VaP
Das Menü Method zur
Verwaltung der Berechnungsmethoden
Klasse:
Analysis
Approx
Simulation
Numeric
In der Klasse
Approx ist das Approximationsverfahren FORM, Kapitel 3.4, reali¬
wichtigster Teil ist der Minimierungsprozeß zur Suche des ß-Punktes,
den Erweiterungen aus Kapitel 3.5, darin enthalten. Da solche Berechnun¬
siert. Als
mit
gen i.a. nicht zeitintensiv sind, wird die Kontrolle während des
gangs dem Benutzer nicht
zurückgegeben.
Berechnungsvor¬
Approx sind folgende Methoden
In
definiert:
•
hlrfSearch
sucht den
ß-Punkt
und liefert den Vektor der a-Werte und den
des Vektors der standardisierten
•
Normalverteiiungen, Uy" ||,
tailApproximation
äquivalente Normalverteilung,
gradient
berechnet die
•
siehe
Kapitel
berechnet den Gradienten der Grenzzustandsfunktion
Kapitel
•
zurück.
3.4.5.
G(X),
siehe
3.5.3.
meritFunction
berechnet den Wert der
Schittkowski, siehe
•
Betrag
Leistungsfunktion
Kapitel 3.4.4.
nach dem
Vorschlag
von
dMeritFunction
berechnet die
Ableitung
der
Leistungsfunktion,
siehe
Kapitel
3.4.4.
Die crude Monte Carlo Simulation, Kapitel 3.3, ist mit der Klasse Simulation
bereitgestellt. Nach dem Aufruf über das Menü
einige Simulationen vorweg durchgeführt, um
werte für die Momente der
werden mit der Methode initialize
auf diese Weise
Grenzzustandsfunktion,
E
[G(X)n]
,
grobe
zu
bekommen.
Daraus lassen sich Grenzen berechnen, die eine
geeignete Darstellung
teilungsdichte
als
Nach
erscheint ein
Dialog,
Histogramm
ermöglichen.
dieser
eine Instanz der Klasse MCView, der
90
zur
Anhalts¬
der Ver¬
Vorberechnung
Eingabe notwen-
Der Variablenprozessor VaP
diger Steuerungsparameter auffordert,
Kapitel 4.2.2.1. Die Methode simu¬
late startet die Simulation, indem ein Teilprozeß, ein sogenannter thread,
alloziert wird. Dieser führt die eigentliche Berechnung durch. Nach einer Anzahl
von 100 Berechnungen wird das Histogramm der resultierenden Verteilungs¬
dichte jeweils neu gezeichnet. Wenn der Bildausschnitt zu klein wird, werden die
Achsen automatisch angepaßt. Dabei wird der verfügbare Zeichenbereich neu
skaliert und die Einteilung der Achsenmarken, sowie deren Beschriftung neu
festgelegt.
Drei numerische
siehe
Integrationsverfahren, Kapitel 3.2, sind
in der Klasse Numeric
enthalten. Die einzelnen Methoden werden über das Menü
aufgerufen,
Bild
Basisvariablen i.a.
(4.23). Da Berechnungen bei einer geringen Anzahl
von
nicht zeitintensiv sind, erhält der Benutzer die Kontrolle während der
nicht zurück. In Numeric sind die
siehe
Ausführung
folgenden Methoden definiert:
integratel
•
berechnet die ersten vier Momente
von
G(X)
nach
[Zhou
von
G(X)
nach
[Evans, 1972].
et
al., 1988].
integrate2
•
berechnet die ersten vier Momente
expectation
•
berechnet den
4.5.2
Klassen
zur
Erwartungswert von G(X)
nach
[Li, 1992].
Unterstützung der Analyse
Zur
Unterstützung der vorher beschriebenen Rechenverfahren sind verschie¬
dene Funktionen in allgemeinen Klassen zusammengefaßt. Es wird nachfolgend
nur kurz auf drei typische Klassen eingegangen.
Die Klasse Value
repräsentiert i.a. einen Wert, der ein Skalar, ein Vektor oder
eine Matrix sein kann. Der Speicherplatz wird dabei dynamisch angefordert. Um
die notwendigen Informationen für diese flexible Darstellungsform bereitzustel¬
len, sind Attribute für den Rang, die Größe und die Form des Datensatzes vor¬
handen. Im weiteren ist noch ein
Zeiger vorhanden, der auf den dynamisch
Speicherbereich zeigt. Value enthält Methoden zur Erzeugung und
Kopieren einer Instanz und zur Darstellung des gespeicherten Datensatzes
allozierten
zum
am
Bildschirm.
wichtige Methoden zur Manipulation von Instan¬
zen der Klasse Value. Im speziellen sind das Methoden wie z.B. die Berechnung
der Inversen, die Dreieckszerlegung nach dem Gram-Schmidt Verfahren, die
Multiplikation von Matrizen oder die Eigenwertberechnung einer Matrix. Diese
Methoden werden beispielsweise von den Approximationsverfahren, siehe
Kapitel 3.4, benötigt. Beim Start von VaP wird nur eine Instanz dieser Klasse
angelegt, die dann global für alle Dokumente verfügbar ist.
Die Klasse Primitives enthält
91
Der
Variablenprozessor
Die Klasse
VaP
AppIStatistics
Statistik. Beim Start
von
enthält zahlreiche Funktionen
VaP wird ebenfalls
nur
aus
dem Gebiet der
eine Instanz dieser Klasse ange¬
legt. Die global verfügbaren Methoden sind z.B. die Berechnung des Normalinte¬
grals O(x), die dazugehörige Umkehrfunktion *"1(p) oder die Gammafunktion
T(x). Diese Klasse ist die umfangreichste in bezug auf die Anzahl der bereitge¬
stellten Methoden. AppIStatistics stellt im weiteren Funktionen zur Verfügung,
die in den Methoden pdf, cdf und inv der Klasse StochVar benötigt werden, siehe
Kapitel 4.4.
Ein für die Simulation
wichtiger Teil ist ein guter Generator für Zufallszahlen, der
sowohl bei einer geringen als auch bei einer großen Anzahl von Simulationen
hohen Ansprüchen genügt. Aus diesem Grund bietet die Organisation des
Zufallsgenerators als Objekt eine ideale Möglichkeit, um spätere Erweiterungen
einfach zu gestalten.
Die Klasse Random enthält eine Methode random, die
zahlen liefert. Wenn die Instanz
gleichverteilte
Zufalls¬
gebildet
Systemzeit des Computers ver¬
erhalten. In random ist ein linearer kongru¬
Folge von Zufallszahlen nach folgender,
von
Random
wird, initialisiert eine
Methode initialize den Generator. Dafür wird die
wendet,
um
daraus eine Startzahl
enter Generator
zu
enthalten, der die
rekursiver Formel bildet:
Xj
Der
=
(4.1)
(axi_1+c)MODm
Multiplikator
a, das Inkrement
c
und der Modulus
m
sind
positive, ganzzah¬
Wert Xj ist der Rest einer Division (axi_1 +c)/m. Der
lige
Wertebereich lautet demzufolge 0 < x; < m -1, woraus dann eine Zufallszahl
Werte. Der
neue
werden kann. Die erzeugten Zufallszahlen
wiederholen sich nach einer bestimmten Anzahl von Durchläufen in Gl.(4.1). Die
Uj
=
x/m
im Intervall
[0,1] gebildet
Länge dieses Zyklus wird Periode p des Generators genannt. Um möglichst eine
effiziente Ausnützung zu erhalten, wird eine sogenannte volle Periode ange¬
m gefordert. Diese kann durch eine geeignete Wahl der
strebt, d.h. es wird p
=
Parameter
a
und c, in
Abhängigkeit
vom
Modulus m, erzielt werden.
In VaP wurden in Random für die Parameter die Werte
c
=
453816693 verwendet. Der Modulus
der sich
4.6
aus
der
größten
m
hat den Wert
darstellbaren ganzen Zahl,
Abschließende
a
m
vergrößert
=
1664525 und
=
um
2147483648,
1, ergibt.
Bemerkungen
"... In einer Welt der
Ungewißheit kommt es darauf an, die Kosten eines
so gering wie möglich zu halten....", aus [Dahrendorf, 1983].
92
Irrtums
Der
Variablenprozessor VaP
Schlußwort
4.6.1
In diesem
Kapitel wird die Realisierung einer interaktiven Software vorgestellt,
mit der, allgemein gesprochen, stochastische Variablen verarbeitet werden kön¬
nen. Mit dem Computerprogramm VaP werden Grenzzustandsfunktionen und
das dazugehörige stochastische Modell in einfacher Weise definiert. Die vorge¬
stellte Lösung erleichtert den Zugang zur Zuverlässigkeitstheorie und bietet dem
praktisch tätigen Ingenieur ein modernes Hilfsmittel. Die Anwendung von VaP
setzt allerdings immer noch eine gute Kenntnis der Theorie voraus. Denn nur mit
diesem Wissen können die Ergebnisse der Berechnungen sachgerecht verarbei¬
tet bzw. interpretiert werden.
VaP erlaubt einen
gewissen spielerischen Umgang bei der Bearbeitung eines
Problems. Der Benutzer kann seine Grenzzustandsfunktionen und Basisvaria¬
blen
in
einfacher, rascher Weise ändern und Wahrscheinlichkeiten
erneut
Vergleich der Ergebnisse ist dann oft mehr herauslesbar
als vom Einzelergebnis selbst. VaP ermöglicht diese Art der Interaktion, da alle
Definitionen während der Laufzeit des Programms erfolgen. Die solcher Art
erhaltenen Rückmeldungen bewirken eine Sensibilisierung des Benutzers und
fördern dessen Kritikfähigkeit gegenüber den nackten Zahlen aus deterministi¬
schen Berechnungen.
berechnen. Aus dem
Mit der
Zuverlässigkeitstheorie können komplexe Problemstellungen behandelt
Einsatzmöglichkeiten von VaP zu erweitern, bedarf es Ergän¬
zungen. Es werden deshalb in der Folge einige diesbezügliche Aspekte angeris¬
sen. Der Sprachumfang der entwickelten Metasprache im Anhang A1 enthält
bereits einige dafür notwendige Erweiterungen.
werden. Um die
4.6.2
Erweiterungsmöglichkeiten
Systemen ermöglichen. Jede
Eingabe wird zuerst in die Form der minimalen Schnittmenge gebracht, d.h. ein
Seriensystem mit Parallelsystemen als Elemente. Als Beispiel dient ein System
Die erste
Erweiterung
muß die
Verarbeitung
von
mit fünf Elementen, die einen Grenzzustand
Beschreibung
Gsys
=
der
Systemfunktion
[F,n(F2 u F3)
n
sei in
Fj
=
Gj(X) < 0
beschreiben. Die
folgender, logischer Form gegeben:
(F3 u F4u F5) ]
u
[(F1uF5)n(F3uF4)n(F2uF3uF5)]
Eingabe aus Gl.(4.2) in die minimale Schnitt¬
menge um. Bei der im Anhang A1 vorgeschlagenen Grammatik wird für den
A/VD-Operator n die Zeichenfolge "&&" und für den 0/?-Operator u die Zeichen¬
folge "IJ" verwendet. Das Zwischenergebnis einer solchen Umformung enthält
keine überflüssigen Elemente mehr und lautet:
Der Parser wandelt als erstes die
93
Der
Variablenprozessor
VaP
G'sys =(F1nF3)u(F3nF5)u(F4n F6)
(F1nF3nF4)u(F1nF3nF5)
Gl.(4.3) wird dann im zweiten Schritt eine Darstellung
det, analog zu einer Grenzzustandsfunktion:
Von
Gsys
=
als
Syntaxbaum gebil¬
min{max[G1,G3],max[G3,G5],...}
(4.4)
Erweiterung betrifft die Adaption der HL-RF Methode. Für die Berech¬
nung von Parallelsystemen, wie sie in Gl.(4.3) vorkommen, muß der Fall meh¬
rere Grenzzustandsfunktion, siehe Anhang A 3.3, berechnet werden können.
Generell muß an dieser Stelle gesagt werden, daß für die drei Bereiche
Integrations-, Simulations- und Approximationsverfahren der Umfang der Metho¬
den noch ausgebaut werden muß.
Die zweite
Bei bestehenden Bauten kommt
man
nicht umhin,
Inspektionsergebnisse
in die
Beurteilung mit einfließen zu lassen. Diese zusätzliche Information führt zu einer
bedingten Wahrscheinlichkeit P(A|B). Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A,
unter der Bedingung, daß das Ereignis B bereits eingetreten ist, lautet:
P(A|B)
=
^
(4.5)
Problemstellungen macht ebenfalls die vorher aufgezeigten Erweiterun¬
gen nötig. Speziell müßte eine Erweiterung von bedingten Ereignissen der Form
P(A|B 0) implementiert werden, siehe [Ditlevsen et al., 1990].
Diese
=
Zusammengefaßt wären noch Erweiterungen aufzuzählen, die
komplexe stochastische Modelle zu beschreiben. Damit ist z.B. die
es
erlauben
Berücksichti¬
gung von Korrelationen zwischen den Basisvariablen in einer Grenzzustands¬
funktion gemeint oder die Definition von Bayes'schen Variablen. Bei dieser
speziellen Art von Basisvariablen sind der Mittelwert
chung ebenfalls stochastische Größen.
und die Standardabwei¬
Erweiterung betrifft die Möglichkeit, komplexe Rechenmo¬
delle zu berücksichtigen. Um kompliziertere Berechnungen in VaP einbinden zu
können, muß entweder der Sprachumfang in Anhang A1 auf Prozeduren und
den dazugehörigen Kontrollstrukturen erweitert werden, oder es muß die Mög¬
lichkeit der Einbindung externer Programmpakete als Teilprozesse bestehen.
Der erste Punkt zielt auf eine Art Programmiersprache, die der anfänglichen
Idee einer natürlichen Schreibweise widerspräche. Der zweite Punkt stellt
gewisse Voraussetzungen an das Betriebssystem und die einzubindende
Ein letzter Punkt einer
Software.
94
Anwendung
5
Die
von
VaP
nachfolgenden, illustrativen Beispiele
sollen die Interaktion mit dem
terprogramm VaP demonstrieren. Die Auswahl fiel dabei auf
aus
dem Bauwesen.
Compu¬
Problemstellungen
Die mathematischen Modelle wurden bewußt einfach
gehalten, da vornehmlich die Umsetzung des probabilistischen Ansatzes gezeigt
werden soll.
5.1
Einfacher
5.1.1
Das Rechenmodell
Stahlbetonträger
rechteckförmiger Einfeldträger mit einer Gleichlast aus Eigenlast g und Nutz¬
last p wird bezüglich seiner Biegetragsicherheit beurteilt. Andere Versagensfor¬
men, z.B. ein Versagen auf Querkraft, wären analog zu untersuchen.
Ein
Der Querschnitt mit den
allgemein bezeichneten Abmessungen und das stati¬
sche System sind aus Bild (5.24) ersichtlich. Auf dem Balken liegt eine 0.15 m
dicke Dachkonstruktion mit 5 m Spannweite, die allerdings keine statisch rele¬
vante Verbindung mit dem dargestellten Träger besitzt.
Abb.
(5.24)
Stahlbetonträger (a) Querschnitt
-
und
(b) statisches System
-g.p
a
=0
8/200
3
26
^sv
A
=
Ms
0
4
(b)
Abmessungen b 0.25 m und h 0.75 m, die Stützweite L 8.0 m und die
1593 mm2 (3026) werden als deterministische Größen festge¬
Bewehrung As
legt. Die Betonqualität entspricht der Würfeldruckfestigkeit B35/25, [SIA 162,
1989]. Der Bewehrungsstahl besitzt die Güte S500, [SIA 162,1989]. Der Träger
Die
=
=
=
=
95
Anwendung
VaP
von
wird durch die
Eigenlast g
und die Nutzlast p auf Biegung
gemoment in Feldmitte ist in folgender Form angegeben:
Mg.P
=
!!r(9
Ein Modellfaktor
+
beansprucht.
Das Bie¬
(5-5)
P)
Gl.(5.5) berücksichtigt global die von der idealen Voraus¬
setzung abweichende Wirkung aus den Lasten. Für einen Stahlbetonquerschnitt
mit rechteckiger Druckzone kann der Biegewiderstand bekanntlich nach folgen¬
m
in
der Formel berechnet werden:
Mu=h-kü^
(5.6)
'bdf„r"8,ydAsfy
Fließspannung
maßgebende Beton¬
druckfestigkeit. Der Faktor k beschreibt die Völligkeit der Spannungsverteilung in
der Betondruckzone. Entsprechend einer Annahme für die Arbeitslinie des
Betons ist 0.5 < k < 0.66, siehe hierzu die Bemerkung bei den Basisvariablen.
Darin bedeuten
5.1.2
fy
die
des Stahls und
fc
die
Das stochastische Modell
(5.1) zeigt alle als Basisvariablen verwendeten Größen. Sie werden als
unabhängige Größen angenommenen. Die Informationen über die Verteilungs¬
typen, deren Erwartungswert und Standardabweichung muß in vielen Fällen aus
der Literatur entnommen werden. Oftmals bleibt dem Ingenieur nichts anderes
übrig, als auf Grund rationaler Überlegungen eine geeignete Verteilung anzu¬
nehmen. In diesem Beispiel wurden die Parameter und Verteilungen der Basis¬
variablen entsprechend eines Vorschlags des [JCSS, 1992] gewählt.
Tabelle
Um die Unscharfen in der
deckung
zu
Lage
der
Biegebewehrung, respektive
der Betonüber¬
erfassen, wird eine stochastische Größe C formuliert. Sie ergibt sich
Betonüberdeckung, Bügel- und halbem Durchmesser der Biege¬
bewehrung. Für die Höhe C wird, analog der Betonüberdeckung von untenlie¬
genden Eisen in Balken, hier eine Normalverteilung angenommen. Der
als Summe
aus
Mittelwert wird
aus
u,c
=
nom+5[mm]+0sv + 0s/2
ermittelt. Die Bezeich¬
nung nom steht für nominell und kann vereinfacht mit dem in der Norm angege¬
benen Rechenwerten der Betonüberdeckung gleichgesetzt werden. Die
Standardabweichung hängt
und wird
ste
zu ct
=
5
Abmessungen
mm
von
im wesentlichen
gesetzt. In [Casciati
et
von
al., 1991] wurden für verschieden¬
Betonbauten statistische
Die
der Wahl der Distanzhalter ab
Erhebungen zusammengestellt.
Zugfestigkeit der Bewehrung Fy und die Betondruckfestigkeit Fc werden
gemäß [JCSS, 1992] als Lognormalverteilungen definiert und mit der in
Anhang A1 definierten Syntaxform LN(nom+60,30) und LN(nom + 10,5) in
[N/mnr] hier angeschrieben. Der erste Ausdruck innerhalb der Klammern ent¬
spricht dem Mittelwert und der zweite der Standardabweichung der Verteilung.
96
Anwendung
Die nom-Werte können der Norm
von
VaP
[SIA 162,1989], entsprechend den
dort ange¬
entnommen werden. Zur Beschrei¬
gebenen Rechenwerten fy>nom und fcw.min
bung der Unsicherheiten bezüglich der Betonarbeitslinie wird die Basisvariable
als Lognormalverteilung LN(0.55, 0.05) definiert, siehe [Ditlevsen et al., 1990].
K
Die beiden Anteile der
Belastung unterscheiden sich in ihrer Charakteristik. Die
Eigenlast G bleibt im Laufe der Nutzungsdauer des Balkens konstant. Sie wird
als Normalverteilung mit einem Mittelwert entsprechend der normgemäßen
Ermittlung und einem Varianzkoeffizienten Vq 0.08 gewählt. Die Nutzlast P ist
ein stochastischer Prozeß, der hier vereinfacht durch eine Gumbelverteilung für
Maximalwerte, auch als Type 1 Largest (T1L) bezeichnet, für die Größe der
Belastung beschrieben wird. Eine erste Annahme für die Größe des Mittelwerts
3kN/m2 gewählt. Nach Multiplikation mit der Einflu߬
der Nutzlast wird mit q
15kN/m. Der Varianzkoeffi¬
3x5
breite, siehe Kapitel 5.1.1, ergibt sich jxp
=
=
=
zient wird mit
Wirkung
Vp
=
0.2
=
angesetzt. Zusätzlich werden die Unscharfen in der
der Lasten auf den
Träger
durch die in
ble M beschrieben. Die Größe M ist z.B. in
Gl.(5.5) enthaltene Modellvaria¬
[JCSS, 1992] als Normalverteilung
N(1.0,0.1) definiert.
Tab.(5.1)
Biegebalken, Zusammenstellung
Variable
fx(-)
der verwendeten Basisvariablen
E[X]
D[X]
Einheit
Kommentar
0.05
0.005
[m]
Betortdeckung
C
N
Fe
LN
35
5
[N/mm2]
Betonfestigkeit
Fy
LN
510
30
[N/mm2]
Stahlfließgrenze
G
N
35.0
2.8
[kN/m]
Eigengewicht
K
LN
0.55
0.05
[]
Betongesetz3
M
N
1.0
0.1
[]
Modellvariableb
P
T1L
15.0
3.0
[kN/m]
Nutzlast
a.
für linear-elastische Betonarbeitslinie k
=
2/3 und für
b. erfaßt die Unscharfen des Lasteffekts auf das
Formulierung des
5.1.3
ideal-plastische k
=
1/2.
Tragwerk.
Grenzzustands
Versagen des Stahlbetonträgers ist durch Biegebruch in der Feldmitte des
Trägers möglich. Der Grenzzustand wird durch folgende Versagensbedingung
Ein
beschrieben:
G,
=
(5.7)
Mu-Mg-Mp<0
Gl.(5.6) in Gl.(5.7) ergibt sich der Eingabetext
für diese Grenzzustandsfunktion. Die Bedingung "< 0" muß nicht eingegeben
werden, da sie vorgabegemäß implizit angenommen wird. In Bild (5.25) ist der
entsprechende analytische Ausdruck, wie er in den Texteditor des EingabefenDurch Einsetzen
von
Gl.(5.5)
und
97
Anwendung
von
VaP
hineingeschrieben wird, gezeigt. Nachdem die Taste RETURN gedrückt
Programm den Befehl, den Inhalt des oberen Teilfensters zu
analysieren.
sters
wird, erhält das
Der
Zeichenfolge im Texteditor wird
Compiler, siehe Kapitel 4.3.
ausgelesen und durchläuft den Objekt¬
syntaktischen und logischen
Fehler erkannt, so erscheinen in dem darunterliegenden Kontrollfenster alle in
der Grenzzustandsfunktion vorkommenden Basisvariablen, siehe Bild (5.25).
Die zu diesem Zeitpunkt noch unbekannten Variablen werden mit dem Hinweis
"undefined variable" versehen. Gleichzeitig erfolgt unter dem Menüpunkt
Activate eine Eintragung, in diesem Fall "G1".
nun
bereich
Abb.
(5.25)
Werden keine
Eingabe der Grenzzustandsfunktion Gl.(5.7)
uncsefinea variable
undefined variafeie
undefined vertäfele
¦::¦:¦>.¦¦¦¦.
:;'v:;:i;:~;'sj
¦¦¦¦
-
¦¦
¦¦
¦¦¦¦
¦
¦¦
¦¦¦'¦'¦.¦:¦'¦¦¦.¦
'.¦¦-¦.:
-.;
.-.¦
.¦..;.
¦.
¦
..
~':
xS0pi;:~:;
¦¦¦¦'¦¦''¦:.¦-;.'-'-----.
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y-Y
¦
¦
<
¦¦¦¦¦¦¦
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¦
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¦
¦¦-:':'":¦¦- :':¦
'¦¦.¦y'YY :¦-'¦"¦.'
::¦
undefined variable
undefined variable
undefined variable
:
urtdefineJ variable
'¦'¦
undefined variable
¦
-'¦ ¦¦:
¦¦
v.v
¦¦:.¦¦¦
.
Iy^yM 'i-:
¦
¦¦¦¦¦¦¦:¦¦:¦;
¦:¦¦¦¦¦.¦¦¦.¦¦¦¦:::¦¦
:'¦¦¦¦
YYYYyYYYYMSf
¦
¦
¦
¦
¦
.
yndafineiivatiafele
¦¦.
¦
.
¦¦¦¦:¦:
¦¦
¦
¦::¦¦;¦¦
¦¦.¦¦¦
In einem
folgenden Arbeitsschritt werden nun die zur Grenzzustandsfunktion
gehörenden Basisvariablen definiert. Dies erfolgt in einem eigenen Dialog, der
den Benutzer zur Eingabe des Verteilungstyps, des Mittelwerts und der Stan¬
dardabweichung auffordert. Im Variablendialog besteht auch die Möglichkeit,
eine Basisvariable als deterministisch
als Konstante
zu
zu
definieren, womit sie dann eigentlich
bezeichnen ist. Auf diese Art werden alle Basisvariablen der
Grenzzustandsfunktion definiert. Eine Grafik gibt dem Benutzer einen Eindruck
vom Verlauf der Verteilungsdichte des jeweiligen Merkmals.
Dieser Vorgang der Definition wiederholt sich für jede neu eingegebene Grenz¬
zustandsfunktion. Kommen in dieser bereits definierte Basisvariablen vor, so
müssen
lediglich
die
neu
hinzugekommenen Basisvariablen
Alle
definiert werden.
eingegebenen Grenzzustandsfunktionen erscheinen in alphabetischer Rei¬
henfolge unter dem Menüpunkt Activate. Durch Anwählen eines Namens in
98
¦
Anwendung
diesem Untermenü, erscheint der
Bild
ren
dazugehörige Ausdruck
im
(5.25), und bildet dann die aktive Grenzzustandsfunktion,
Operationen erfolgen.
Berechnung
5.1.4
der
von
VaP
Eingabefenster,
an
der alle weite¬
Versagenswahrscheinlichkeit
Tragsicherheit des Stahlbetonträgers beurteilt, so handelt es sich beim
Versagen des Balkens um ein irreversibles Ereignis, siehe Kapitel 2.5. Die
Frage, wie wahrscheinlich ein Versagen innerhalb der Referenzzeitperiode ist,
sei hier gestellt. Die Versagenswahrscheinlichkeit berechnet sich als Wahr¬
scheinlichkeit, daß der durch Gl.(5.7) beschriebene Grenzzustand eintritt:
Wird die
Pf
Abb.
=
P(G1(X)<0)
(5.26)
(5.8)
Resultat einer
FORM-Analyse und einer numerischen Integration
Grenzzustandsfunktion Gl.(5.8)
bieyuruj.vap
Gl
=(1
-
—
/me/Dissertation/vaps
K"AsxFy/(b*(h-C)xFc))*AsxFy*(h-C)- M'fG+PyiOOOT^/S
Variables ofGl:
As
D
0.002
C
N
0.055
0.005
Fc
LN
3.545
0.142
Fy
LN
6.233
0.059
G
N
K
LN
L
D
M
N
1
0.1
P
GL
13.65
0.428
b
D
0.25
h
D
0.75
23
1.61
-0.602
0.091
8
Results with FORM for G1:
HL- Index
=
3.599
Probability
Name
Alpha
x-Design
C
0.0437
0.056
Fc
-0.0624
33.559
Fy
-0.3047
477.326
G
0.1735
24.006
K
0.0398
0.555
M
0.4796
1.173
P
0.7998
28.186
=
(V
I Numerical Integration (Zhou/Nowak)
mean=
0.218 sdev=
0.00016
=
0.2)
of function Gl:
0.053 skew= -0.235 kurt=
99
3.078
der
Anwendung
von
VaP
Die
angesprochene Referenzzeitperiode ist implizit durch die Extremwertvertei¬
lung der Nutzlast P gegeben. Der Wahrscheinlichkeitsopertor P(.) in Gl.(5.8) ent¬
spricht nun einer Berechnung mit VaP. Dazu stehen die Verfahren, die im
Objektbereich Analysis, Kapitel 4.5, organisiert sind, zur Verfügung. Mit dem
Befehl FORM, über das Menü angewählt, wird die Grenzzustandsfunktion G1
entsprechend der Formulierung in Gl.(5.8) analysiert.
(5.26) ist das Ergebnis einer
Versagenswahrscheinlichkeit pf
In Bild
FORM-Analyse dargestellt. Neben
1.6x10~4 und dem Zuverlässigkeitsindex
der
3.6, werden noch die a-Werte, und die Bemessungswerte der Basisvaria¬
ß
blen xd in Tabellenform ausgewiesen.
solchen
=
=
Eine
ergänzende Aussage über die Charakteristik der Grenzzustandsfunktion
kann mit der Berechnung der statistischen Momente gemacht werden. Über das
Menü wird ein numerisches Integrationsverfahren angewählt. Dieses liefert dann
die ersten vier Momente der Grenzzustandsfunktion. Bild (5.26) zeigt im unteren
Bereich das Ergebnis einer solchen Berechnung gemäß Kapitel 3.2.2.1.
Kenngrößen für die Grenzzustandsfunktion läßt sich nun
eine Johnsenkurve des Lognormal-Systems (SJ entwickeln, siehe Kapitel 3.2.3.
Für die erforderliche Transformation Gl.(3.52) ergeben sich die Parameter zu
12.81, X -1 und £ 0.896. An der Stelle x 0 ergibt sich der
7 5.018, 5
-3.61.
äquivalente Wert der Normalverteilung zu y
Aus den statistischen
=
=
=
=
=
=
Da die Größe Y per Definition eine standardisierte Normalverteilung ist, läßt sich
nun eine Schätzung für die Versagenswahrscheinlichkeit sehr einfach angeben.
Gemäß
Gl.(3.55), siehe Kapitel 3.2.3, ergibt sich:
pf
=
<E>(-3.61)
=
1.5X10"4
(5.9)
Weitere Einblicke
5.1.5
Aus der FORM
Analyse ergeben sich Bemessungswerte xd, die im Sinne der
Norm [SIA 160, 1989] zur Bestimmung von Lastfaktoren bzw. Widerstandsbei-
werten benutzt werden können:
(a)
7n
=
(b)
7R
=
Belastung
xd/xk
für die
xk/xd
für den Widerstand
(5.10)
Die in
Gl.(5.10) verwendete Bezeichnung xk steht für die charakteristischen
Werte der Basisvariablen, wie sie in den Normen zu finden sind. Damit ist im sta¬
tistischen Sinn ein Fraktilwert gemeint, der für eine bestimmte Über- bzw. Unter-
schreitungswahrscheinlichkeit steht. Für
100
die Nutzlast P wird eine Fraktile
von
Anwendung
von
VaP
F1(q) wird dann in die
gewählt. Der charakteristische Wert xk
Gl.(5.10)-(b) eingesetzt, woraus sich ein als Lastfaktor bezeichneter Wert
q
90%
=
=
berechnen läßt:
yp
=
28.2/18.9
=
(5.11)
1.49
Ergebnis in Gl.(5.11) entspräche
für eine Leitgefahr
1.5, wie er in
yq
Das
=
Die a-Werte in Bild
der
Größenordnung nach dem Lastfaktor
[SIA 160,1989] verwendet wird.
den Grad des Einflusses einer Basisvariablen
Erweiterung an der Versagenswahrschein¬
lichkeit Df, siehe Kapitel 3.4.8. Aus diesem Gesichtspunkt ist die Basisvariable P
die einflußreichste Größe und somit von entscheidender Bedeutung für eine
Aussage über die Zuverlässigkeit des Balkens. Hier müßte bei einer tiefergehen¬
den Analyse des Problems angesetzt werden und mehr über die Charakteristik
der Nutzlast erforscht werden. Es würde sich beispielsweise lohnen den Variati¬
onskoeffizient VP oder auch das Verhältnis der Mittelwerte von Eigenlast und
Nutzlast, m
nG/u.p, zu variieren, siehe [Ditlevsen et al., 1990].
am
Ergebnis ß
(5.26) zeigen
der
bzw. mit einer kleinen
=
umgekehrten Sinn zeigt sich, daß Basisvariablen mit kleinem a-Wert nicht
von Bedeutung sind. In diesem Fall könnte die betreffende Einflußgröße in der
Grenzzustandsfunktion deterministisch auf den Erwartungswert gesetzt werden.
Die Anzahl der Basisvariablen würde solcher Art verringert werden, was sich
dann auch in einer kürzeren Berechnungszeit niederschlägt.
Im
5.2
Rißweiten im Stahlbetonbau
5.2.1
Das Rechenmodell
5.2.1.1
Die
Die Ein flußgrößen der Rißtheorie
Zugfestigkeit
des Betons
f^
Formel, die einen aus Versuchen gewonnenen Parameter C
mann et al., 1969].
fct
=
halbempirischen
enthält, siehe [Heil¬
berechnet sich nach einer
™T
(5-12)
Biegezugfestigkeit gibt es, von der reinen Zugfestigkeit abgeleitet,
Beziehung, die von der konstruktiven Höhe h des Bauteils abhängt:
Für die
Wi =fct(0.6 + 0.4h-a25)
Eigenspannungszustände
(5.13)
Zugfestigkeit des Betons ab. Die Rißlast
wird hauptsächlich durch die Zugfestigkeit
mindern die
und damit das kritische Lastniveau
eine
101
Anwendung
von
VaP
des Betons bestimmt, und beeinflußt somit das Verhalten des Bauteils während
der
Erstrißbildung.
Die
Verbundeigenschaft
In
Gl.(5.12) ist fc die Würfeldruckfestigkeit des Betons.
chen Verbunds beschrieben. Die
und
x(8) wird mit der Theorie des verschiebli¬
Relativverschiebung 8 von Bewehrungsstab
des Stahls
umgebendem Beton können mit unterschiedlichen Ansätzen erfaßt werden.
in Gl.(5.14) angegebene Form geht auf [Noakowski, 1978] zurück. Die
Die
Baustoffparameter A und N müssen
aus
Größen werden zahlreiche Einflüsse
berücksichtigt,
die
Lage
<c(8)
des
=
Bewehrungsstabes
Versuchen ermittelt werden. In diesen
wie die
Betonüberdeckung,
und deren Oberflächenbeschaffenheit.
fcA8N
(5.14)
Das
Beanspruchungsniveau der Zugzone os hängt von den geometrischen
Verhältnissen und der Art der Belastung ab. Die Stahlspannung os(t) ist eine
Funktion der Belastung S(t). Das Auffinden der Dehnungsebene, und damit die
Bestimmung von os, ist ein iterativer Vorgang.
Nutzung eines Bauteils kann eine lineare Beziehung
zwischen Stahlspannung cfs und Belastung angenommen werden. Bei der weite¬
ren Betrachtung des Problems kann deshalb mit der Stahlspannung gerechnet
werden, losgelöst von einer direkten Koppelung an eine äußere Schnittkraft.
Im Bereich der normalen
Bei der
Belastungsgeschichte
des Bauteils
S(t) handelt
es
sich
einen stochastischen Prozeß in der Zeit. Der zeitliche Verlauf der
generell um
Belastungsin¬
langsam ändernde Größe angenommen. Es
Belastung für einen beliebigen Zeitpunkt t als quasi
tensität wird als eine sich
ist des¬
halb
statisch
zulässig, die
wirkend anzusehen.
Abb.
(5.27)
veränderliche Nutzlast
S(t),
mit einer
Extremwertverteilung beschrieben
CO/
102
Anwendung
von
VaP
Die sukzessive Rißtheorie
5.2.1.2
[Krips, 1984] entwickelte Theorie der sukzessiven Rißbildung, gestattet
Beschreibung der Rißentstehung bei einem Beanspruchungsniveau ober¬
Die in
eine
halb der kritischen Rißlast. Es lassen sich theoretisch maximale und minimale
Rißabstände
a
Rißabstände
zeigt,
jede
für
Laststufe
angeben, amax
=
2amin.
Das
Spektrum
daß sich ein kleinerer Rißabstand mit höherer Wahrschein¬
größerer. Dieser Tatsache trägt [Krips, 1984]
folgender Gewichtungsfunktion Rechnung:
lichkeit einstellt als ein
Ansatz
f(Ti)
mit dem
(5.15)
1/(ti/oq-2)
=
der
In
Gl.(5.15) ist T| eine normierte Größe, die sich auf den Rißabstand bei der Erst¬
rißbildung bezieht, tj
a/le1. Mit dieser Gewichtungsfunktion f(TQ, sie erfüllt
die Voraussetzungen einer Verteilungsdichte, wird gemäß Gl.(3.36) in
Kapitel 3.1.1 über die theoretisch möglichen Rißabstände integriert. Das Ergeb¬
nis der summierten Realtiwerschiebungen 8 zwischen Bewehrungsstab und
umgebenden Beton ist der mittlere Wert der Rißweite wm. Das Resultat läßt sich
gemäß [Krips, 1984] für die weitere Betrachtung in einer bereits vereinfachten
=
Form anschreiben:
wm
w^ 1.6a-0.7]
=
(5.16)
ds
"
mit:
w1
=
2
1
1+N11 + N
.^srlf^yr
1-N
In dieser Formel bedeutet w-| die Erstrißweite und a kennzeichnet das Bean¬
spruchungsniveau. Im einzelnen bedeutet osr die Spannung im Bewehrungsstab
beim Entstehen des ersten Risses, Aosr ist der
Spannungssprung
im Beweh¬
Übergangs von
infolge
ergibt. Im weiteren ist ds der Stabdurchmesser, A und
N die Verbundparameter des Verbundgesetzes und fc die Würfeldruckfestigkeit
des Betons. Die Stahlspannung os beschreibt eine Beanspruchung oberhalb der
kritischen Rißlastniveaus, das durch die Stahlspannung beim Erstriß asr gekenn¬
rungsstahl,
der sich
Zustand I in Zustand II beim Ent¬
des
stehen des ersten Risses
zeichnet ist.
bezüglich der theoretisch minimalen und maxi¬
malen Rißabstände ebenfalls Aussagen gemacht werden können. In einer ana¬
logen Form lassen sich nach [Krips, 1984] folgende, ebenfalls vereinfachte
Ausdrücke, mit Wi und a gemäß Gl.(5.16), angeben:
Ergänzend
sei
hinzugefügt,
daß
(a)
wmin=Wl[1.125a-0.375]
(b)
wmax=Wl [2.25a-1.25]
103
Anwendung
5.2.1.3
Als
von
VaP
Einfache Platte auf Biegung
Beispiel
wird eine
einachsig gespannte Platte mit 0.3 m Höhe angenommen.
Sie hat eine Betonqualität B30/20 nach [SIA 162,1989]. Die Bewehrung besteht
aus 016/150, (As
1341 mm2/m). Der Abstand des Bewehrungsschwerpunkts
zum Biegezugrand wird mit der Höhe c
30 mm beschrieben. Sie setzt sich aus
der Betonüberdeckung und dem halben Stabdurchmessers zusammen. Trotz
des Einflusses der Betonüberdeckung auf Verbundgesetz und Stahlspannung,
=
=
wird die Größe
Abb.
(5.28)
c
vereinfacht als deterministischer Wert angenommen.
Rechteckquerschnitt beim Erstriß
Zustand 1
Für reine
Biegebeanspruchung,
lassen sich
Zustand 2
explizite Formeln für die Stahlspan¬
nungen angeben. Dabei wird eine lineare Verteilung der Betonspannungen über
die Höhe der Druckzone angenommen. Für die in Gl.(5.16) eingehenden Grös¬
sen, der
Spannungssprung im Bewehrungsstab AGsr
spannung asr, gelten folgende Ausdrücke:
a„
sr
mit:
5.2.2
_ts
2h
A(ysr
=
(5.18)
asr-fcUl(-7r-1)Ff.
bd'
ct,fl
(5.19)
=
6h(1-cx/3)
cx
x
=
ESAS(
=-r-z
und die kritische Stahl¬
1
A.
+
EcbdW
2Ecbd
c
.
ESAS
Das stochastische Modell
Die Parameter in der Formel
Gl.(5.16)
für die mittlere Rißweite, A, N, C, und
Fc,
werden als Basisvariablen definiert. Es wird vorausgesetzt, daß alle Basisvaria¬
blen unabhängig sind. Bis auf die Stahlspannung Zs sind alle Basisvariablen in
104
Anwendung
von
VaP
diesem
Beispiel zeitlich invariant. Mit der Theorie der Extremwertverteilungen,
siehe z.B. [Gumbel, 1958], läßt sich der stochastische Prozeß S(t) als zeitinvari¬
antes Problem darstellen. Im weiteren wird vereinfacht für die Stahlspannung Is
eine ähnliche Extremwertverteilung wie für die Belastung S verwendet, da eine
proportionale Beziehung angenommen wird, siehe Bild (5.27).
Tab.(5.2)
Zusammenstellung der verwendeten Basisvariablen
Variable
w
E[X]
D[X]
Einheit
Kommentar
Fe
LN
30
5
[N/mm2]
Betonfestigkeit
C
N
0.24
0.04
H
Beiwert
A
N
0.29
0.01
H
Verbundgesetz
N
N
0.30
0.01
H
Verbundgesetz
Wa
LN
0.2
0.02
[mm]
subjektive Grenze
*s
T1L
200
40
[N/mm2]
Stahlspannung
Die sich
mit
Mittlere Rißweite,
ergebende
mittlere Rißweite ist eine Zufallsvariable und wird deshalb
bezeichnet. Der Ausdruck in
Wm
Gl.(5.16)
wird zuerst einer Simulation in
VaP unterworfen. Die
Stahlspannung os ist dabei als deterministische Größe
angesetzt. Das Ergebnis der crude Monte Carlo Simulation ist ein Histogramm,
Bild (5.29), das eine große Aussagekraft über die Streuung der mittleren Ri߬
weite besitzt. Im weiteren könnte eine Verteilungsdichte fWm() angepaßt wer¬
den. Die aus der Berechnung zusätzlich gewonnen Informationen sind der
und
die
0.131mm
Erwartungswert
Streuung
E[Wm(a)]
0.017mm der mittleren Rißweite, immer unter der Bedingung
D[Wm(as)]
200 N/mm2.
ac
=
=
=
Abb.
(5.29)
Rißweite
Wm, gegeben
eine bestimmte Realisation
Zs
=
os
n
Os
=
200
N/mm2
1000
730
500-
250
¦
0.050
'"
r^-rril,
?b*
l
0.075
0.100
In der resultierenden Zufallsvariablen
0.125
Wm
0.150
0.175
m
0500
sind alle im Modell angenommenen
Unscharfen enthalten. Alternativ können mit einer numerischen
105
w.
Integration für
Anwendung
von
VaP
Gl.(5.16) die ersten vier Momente der mittleren Rißweite berechnet werden.
Bild (5.30) zeigt die numerischen Ergebnisse aus der Monte Carlo Simulation
und zweier Integrationsverfahren, wie sie auf dem Bildschirm als Antwort
erscheint.
Abb.
(5.30)
Die Zufallsvariable mittlere Rißweite
=
verschiedene
Berechnungen
/Dissertahon/varis
krips.vap
|Wm
Wm,
2*(crs(b, d, h, As, E, Fc, Q'dcrsfb, d, h, As, E, Fc, q
D/8" 1/E*( 1 +N)/(FcxA))A( \i\ 1+N))x
(1.6x(s2/crs(b, d, h, As, E, Fc, C)H( l-N)/( 1+IM)) 0.7)
-
Variables ofWm:
A
N
0.29
As
D
0.001
0.01
C
N
0.24
D
D
16
E
D
2.le+05
Fc
LN
N
N
b
D
1
d
D
0.3
h
D
0.26
S2
D
200
0.04
3.396
0.1
0.3
0.01
|Results with crude Monte Carlo method for Wm: (3 runs with each
1.
0.017
p=
o
S=
0.017
p=
0
S=
0.017
p=
0
S=
0.017
p=
0
m=
0.133
s=
2.
m=
0.132
3.
m=
0.133
m=
0.133
10000
samples)
| Numerical Integration (Zhou/Nowak) of function Wm:
mean=
0.132
sdev=
0.017 skew=-0.158 kurt=
3.019
| Numerical Integration (Evans) of function Wm:
mean=
5.2.2.1
0.132 sdev=
0.017 skew= -0.158 kurt
=
3.017
Prinzipielle Fragestellungen
Risse werden meist mit ihrer Rißweite
qualitativ eingestuft.
Anforderungen
an die zulässige Rißweite kann in Funktion des Bauteils und in Abhängigkeit von
den Umweltbedingungen gesehen werden. Grenzwerte ergeben sich, ganz all¬
gemein betrachtet, aus Überlegungen hinsichtlich der Gebrauchstauglichkeit
und werden umschrieben mit Begriffen wie akzeptabel oder erlaubt. Die Defini¬
Die
tion solcher Grenzen in Form eines deterministische Wertes ist rational kaum
nachvollziehbar. Die
Festlegung des Wertes wa ist unterschiedlich, da die betrof¬
fenen Personen oder befragten Experten immer eine subjektive Meinung abge¬
ben. Die zulässige Öffnungsweite, ab der ein Riß als inakzeptabel zu betrachten
ist, muß deshalb als unscharfe Größe angesehen werden. Aus diesem Grund
106
Anwendung
wird hier die
siehe Tabelle
akzeptable Rißweite
(5.2).
als zusätzliche Basisvariable
Zuverlässigkeitstheorie können
gestellt werden. Eine übliche Frage, auf
Mit der
von
VaP
Wa definiert,
Fragen an diesen Bauteil
die hier Bezug genommen wird, lautet:
Wie wahrscheinlich ist der Fall, daß die mittlere Rißweite größer als ein Grenz¬
wert Wa ist? Als Versagen wird das erste Auftreten des Ereignisses Wa < Wm
definiert. Speziell bei der Beurteilung der Gebrauchstauglichkeit eines Bauteils
können Überschreitungen der zulässigen Grenze toleriert werden, denn dieser
Zustand ist i.a. reversibel. In solchen Situationen muß eine Versagensbedingung
gemäß Kapitel 2.5.3 verwendet werden.
interessante
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Überschreitet die mittlere Rißweite einen zulässigen Wert, so verletzt der betref¬
fende Bauteil eine geforderte Bedingung. Er erfüllt die an ihn gestellte Anforde¬
rung nicht mehr. Die Frage ist die nach der Wahrscheinlichkeit bzw. nach dem
zugehörigen Index ß, daß innerhalb der angenommenen Nutzungsdauer diese
Grenze überschritten wird. Die Grenzzustandsbedingung lautet:
5.2.2.2
G1(aJ
Abb.
Wa-Wm(a)<0
=
(5.31)
Sicherheitsindex
ß
für
(5.20)
Gl.(5.20), Ergebnisse einer
FORM
Analyse
275
300
ß
n
8
7
10-10
10-8
6
10"6
5
10"4
4
3
IO'2
2
io-1
0.5
1
¦
as
0
150
Legende:
175
wa
=
Wa:
Die
Berechnung
FORM
Analyse,
225
200
0.2
LN
[N/mm2]
mm
(0.2,0.02) [mm]
dieser Wahrscheinlichkeit, pf
P(G1(os) <0), erfolgt mit einer
die in Bild (5.31) für verschiedene Werte von os zusammenge¬
=
ß-Werte für Gl.(5.20) entspricht
Ergänzend ist noch das Ergebnis gezeigt,
faßt ist. Der Verlauf der
den Kurve.
250
der grauen, tiefer liegen¬
wenn für die akzeptable
0.2 mm gesetzt wird. Diese schwarze,
Grenze ein deterministischer Wert wa
oben liegende Kurve nähert sich der grauen mit wachsender Beanspruchung cs.
=
107
Anwendung
von
VaP
Speziell bei Fragen
der
Gebrauchstauglichkeit
erweisen sich die einfachen
Methoden wie crude Monte Carlo Methode und FORM als sinnvolle
Analysever¬
Größenordnung von Df liegt um ca. zwei Zehnerpotenzen höher als
bei Problemstellungen, die Traglast betreffend. Damit wird insbesondere die
crude Monte Carlo Methode zu einem brauchbaren Werkzeug.
fahren. Die
5.2.2.3
Totale Wahrscheinlichkeit
In der
vorherigen Betrachtung entspricht jedem ß ein konstantes Beanspru¬
chungsniveau. Die totale Versagenswahrscheinlichkeit Df erfordert die Integra¬
tion über die Verteilungsdichte der Stahlspannung, die gemäß der getroffenen
Vereinfachung die Belastung reflektiert. Folgende Berechnung ist zu machen:
E[pf]
=
J Pf(os)f2s(Gs)das
(5.21)
Diese
Integration ist durch Definition einer neuen Grenzzustandsfunktion mög¬
lich. Die Eingabe in VaP benötigt nur geringe Änderungen, wenn ein bereits ein¬
gegebener Ausdruck als Vorlage im Inspector verwendet wird.
G2
Abb.
=
Wa- wm(og<o|x8
(5.32)
(5.22)
Totale Wahrscheinlichkeit nach
Gl.(5.22)
-/Dissertation/vaj^
|G2
=
Wa-
2x(crs(b, d, h, As, E, Fc, C)"dcrs(b, d, h, As, E, Fc, C)
1/EX( 1+Ny(Fc"A)n 1/( 1+N))"
(1.6It(S2/crs(b, d, h, As, E, Fc, C)f(( 1-N)/( 1+N)) 0.7) |
D/8"
-
Results with FORM for G2 with
Beta= 1.303
Probability
S2
respectto {S2}:
=
0.09746
Name
Alpha
x-Design
A
-0.1439
0.288
C
0.6050
0.272
Fc
-0.1048
29.447
N
0.0895
0.301
Wa
-0.5397
0.186
Parameter
Die
S2
-0.5503
267.129
G2
-0.8349
-1.088
Eingabe des
definitionsgemäß
Gl.(5.22) steht, kann entfallen, da es
angenommen wird. Bild (5.32) zeigt den Eingabetext für die
Grenzzustandsfunktion G2. Die FORM Analyse dieses Ausdrucks durchläuft nun
eine verschachtelte Optimierung, Kapitel 3.4.9, und ergibt die totale WahrscheinZeichens "<", wie
es
in
108
von
VaP
[Knut, 1991]
ver¬
Anwendung
lichkeit als Resultat. Für die
Interpretation
der a-Werte wird auf
wiesen.
5.3
Winkelstützmauer
5.3.1
System
Das
Beispiel
und bodenmechanisches Modell
einer Winkelstützmauer wird hier mit einem einfachen Rechenmo¬
dell nach der Coulomb'schen Theorie behandelt. Die
horizontal und die
Abb.
(5.33)
Verteilung des
Winkelstützmauer
(b)
-
aktiven Erddrucks
Schichtung der Böden ist
ist dreiecksförmig.
(a) allgemeine Bezeichnung
der
Abmessungen
und
bodenmechanische Verhältnisse
Auflast p
Ersatzebene
H
aidi
b
jvm
(a)
B
(b)
allgemeinen Bezeichnungen für die Abmessungen der Winkelstützmauer
sind in Bild (5.33)-(a) angegeben, in diesem Beispiel werden für diese Größen
{a, d, t, e, H} die Werte (0.5, 0.4,1.0, 0.5, 4.0} [m] verwendet. Die Breite B des
Die
Fundaments wird im Sinne einer Parameterstudie
von
1.6
m
bis 2.6
Die Bodenverhältnisse sind mit der Bodendichte y und dem inneren
winkel (p gegeben.
m
variiert.
Reibungs¬
Fundamentplatte wird als stabilisierende Auflast betrachtet.
Eine fiktive Ersatzebene, siehe Bild (5.33)-(b), trennt diesen Bereich vom anste¬
Der Boden über der
henden Boden. Global betrachtet, wird
nun
diese erweiterte Winkelstützmauer
angesehen. Dieser Ansatz gilt zwar als konservatives Rechenmo¬
dell, bringt aber wesentliche Vereinfachungen in der Berechnung.
als Monolith
Der Erdruck
Bild
an
der Ersatzebene stellt sich unter dem Winkel 8
(5.34)-(b), womit sich folgender Erddruckbeiwert ergibt:
109
=
cp ein,
Anwendung
von
VaP
cos<p
K
(5.23)
=
(1
+J2sin-<p)
Die
Beanspruchung direkt an der geschalten Betonwand ist für die lokale
Betrachtung von Interesse. Der Wandreibungswinkel wird hier vernachlässigt,
8
0, Bild (5.34)-(a), womit sich folgender Erddruckbeiwert ergibt:
=
k.
=
^(45-9/2)
(5.24)
Die effektive Kohäsion und der
passive
Erddruck werden in der
folgenden
Betrachtung vernachlässigt.
Versagensmöglichkeiten
5.3.2
Abb.
(5.34)
Erddruck aus Erdlast und Auflast
(a) lokale und
(b) globale Betrachtung der Winkelstützmauer
Auflast p
(a)
Auflast p
-a,p
-a,y
Kante 0
5.3.2.1
Biegeversagen
Lokal betrachtet, kann ein
Versagen
der Winkelstützmauer durch das Erreichen
Biegetragfähigkeit im Schnitt 1-1, Bild (5.33)-(a), gegeben sein.
tende Biegemoment zufolge der Erdlast und der Auflast beträgt:
der
Mi
=
kah
f (H-e)3
(H-e):
(5.25)
Die Grenzzustandsfunktion ist definiert als Differenz
Schnitt 1-1 und dem
G,
=
Biegemoment M-|.
Das auftre¬
Die
Mu-M^O
Biegewiderstand Mu
Versagensbedingung lautet:
von
(5.26)
110
im
Anwendung
von
VaP
Die Widerstandsseite wird hier nicht näher betrachtet, sie kann aber entspre¬
chend Kapitel 5.1.1 detaillierter in Gl.(5.26) berücksichtigt werden. Der Normal¬
kraftanteil
zufolge der
ebenfalls vernachlässigt.
Mauerlast
wird
aus
Gründen
der
Übersichtlichkeit
Versagen durch Weggleiten
Die Tragfähigkeit auf Weggleiten des Fundaments hängt von der Auflast V
des Reibungswiderstandes zwischen Boden und Fundamentsohle ab.
Schubwiderstand T ergibt sich zu:
5.3.2.2
T
In
ASV
=
Gl.(5.27) ist As
und
Der
(5.27)
ein
Reibungsbeiwert. Die treibende Kraft H ist die Summe der
horizontalen Erddruckanteile. Versagen ist gegeben, wenn der Schubwiderstand
T kleiner oder gleich dem horizontalen Erddruck H wird:
G2
=
AsV-H<0
(5.28)
Versagen durch Grundbruch
Die Tragfähigkeit des Baugrundes wird in Form eines Grundbruchversagens
erfaßt. Eine allgemeine dreigliedrige Tragfähigkeitsformel, siehe z.B. [Lang et al.,
1982], gibt eine Bruchspannung On an, die dann in eine Grenzbelastung umge¬
5.3.2.3
rechnet werden kann:
ou
=
cNcXc + YltNq^q +
Y2|N^Y
(5.29)
Die
Tragfähigkeitsfaktoren N und die Beiwerte X in Gl.(5.29), können in ana¬
lytischer Form angegeben werden. Gemäß [Lang et al., 1982] lauten die Tragfä¬
higkeitsfaktoren:
Nq
=
exp{% tam~) tan2
(^ +|)
<5-3°)
NY=1.8(Nq-1)ten<p
Nc=(Nq-1)cof<p
Mit den Beiwerten X wird die
H/V, berück¬
Lastangriffes, tandR
sichtigt. Für eine horizontale Fundamentsohle ergeben sich folgende Ausdrücke:
Xq=
[1-0.5H(V
+
Neigung
bccofcp)
-
Xy=
[1-0.7H(V + bccofcp)
des
=
-5
-1
]
~5
-1
]
*c=V(1-V/(rV1)
111
(5 31)
v
*
'
Anwendung
von
VaP
Theoretisch sind die Summanden in
Gl.(5.29) voneinander abhängig, doch wird
vereinfachend die Korrelation außer Acht gelassen. In den Formeln ist im weite¬
ren die Breite b der Aufstandsfläche enthalten, die dem doppelten Abstand der
Resultierenden vom
luftseitigen Rand der Fundamentsohle entspricht,
b
=
2M0/V.
für die
Der
Da die Kohäsion
Bruchspannung
zu c
=
0
gesetzt ist, vereinfacht sich die Formel
ou.
Grenzzustand, als Differenz
statischer
Bruchspannung
Sohlspannung ergibt folgende Grenzzustandsbedingung:
G,
=
o\ -o.
Die mittlere
b
von
(5.32)
<0
Sohlspannung
mittlerer
zu
ov wird ebenfalls auf die modifizierte Aufstandsbreite
bezogen:
V
5.3.3
Die
(5.33)
Das stochastische Modell
Belastung
der Stützmauer besteht
aus
dem aktiven Erddruck. Die Parame¬
ter, wie das Gewicht der anstehenden, oberen Bodenschicht r-|, die Intensität
der Nutzlast P und die Größe des
dazugehörigen Reibungswinkels O-j,
wie sie in
Gl.(5.23) und Gl.(5.24) vorkommt, werden als stochastische Größen definiert.
Eine Zusammenstellung ist in Tabelle (5.3) gegeben.
Tab.(5.3)
Winkelstützmauer, Zusammenstellung der verwendeten Basisvariablen
Einheit
Kommentar
0.07
[]
Reibungsbeiwert
30
3.0
[]
Reibungswinkel
LN
19.0
1.0
[kN/m3]
Bodendichte
<>2
LN
34
3.0
[]
Reibungswinkel
r2
LN
21.0
1.1
[kN/m3]
Bodendichte
Mu
LN
100
10.0
[kNm]
Biegewiderstand
P
T1L
5.0
1.0
[kN/m2]
Auflast
X
fx(-)
HX
°X
As
u
0.55
*1
LN
Ti
[Alber, 1992] sind generelle Verfahren zur Schätzung von Bodenparametern
angeführt. Da zu diesem Zeitpunkt z.B. noch keine Information über den Rei¬
bungsbeiwert an der Fundamentsohle vorhanden ist, kann der Beiwert Ag in
Funktion des Reibungswinkels <I>2 berechnet werden. Für eine bestimmte Reali¬
sation der Größen gilt:
In
112
Anwendung
as
tan
=
(kq>9)
Der Wertebereich
von
VaP
(5.34)
k
liegt im Intervall 2/3 < k < 1. Im weiteren
Normalverteilung N(0.55,0.07) als erster Ansatz verwendet.
von
wird für
eine
As
Versagenswahrscheinlichkeit des Systems
5.3.4
Die Winkelstützmauer ist mit den im
den beschrieben. Tritt
nur
angegebenen Grenzzustän¬
eine dieser beschriebenen Versagensformen ein,
Kapitel
5.3.2
dann versagt die Konstruktion. Im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie handelt
es
sich
ein
um
Seriensystem:
G^8«G1uG2uG3
(5.35)
Berechnung der einzelnen Grenzzustandsfunktionen erfolgt
Analyse, deren Ergebnisse in Bild (5.35) zu sehen sind.
Die
Abb.
(5.35)
FORM
Analyse
der einzelnen
urmidbau.vaj)
Results with FORM for G1:
Beta
Name
Alpha
Gami
0.1681
19.337
Mu
-0.7673
63.617
P
0.0834
5.154
Phil
-0.6133
23.358
—
Grenzzustandsfunktionen, B
=
mit einer FORM
2.2
m
/me/Dissertation/vaps
=
4.010
pf=
3.0387 le-05
=
4.214
pf
=
1.25347e-05
=
5.163
pf=
1.21728e-07
!
x-Design
Results with FORM for G2:
Beta
Name
Alpha
x-Design
As
-0.9124
0.281
Gami
0.0343
19.072
P
-0.0057
4.815
Phil
-0.4077
25.149
Results With FORM for G3:
Beta
Name
Alpha
Gami
0.0227
19.058
Gam2
-0.0215
20.950
P
0.0134
4.899
Phil
-0.5308
22.708
Phi2
-0.8468
21.876
x-Design
i
113
Anwendung
VaP
von
Näherungsformeln für die Versagenswahrscheinlichkeit eines
Seriensystems, siehe Gl.(2.23) in Kapitel 2.4.1, können obere und untere Gren¬
zen angegeben werden. Die untere Grenze bildet die größte Wahrscheinlichkeit
Mit den einfachen
PffGi, die obere Grenze ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten:
3.04x10~5 < pf
Ein
der
<
sys
4.30x10"5
(5.36)
äquivalenter Zuverlässigkeitsindex ßsys läßt sich durch die Umkehrfunktion
Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung angeben:
-1
ß
-$
=
Ksys
(5.37)
(Pf, sys)
Gl.(5.36) angegebene Bereich für die Versagenswahrscheinlichkeit des
Systems bieten schon eine sehr gute Aussage. Einen besseren Wert bringt der
in Kapitel 3.4.6 beschriebene Ansatz der ersten Näherung für ein Seriensystemverwendet. Die notwendigen Bestimmungsgrößen für das Multinormalintegral in
Gl.(3.94) sind der Vektor b, er enthält die drei ß-Werte, und die Korrelationsma¬
trix R, sie beschreibt die Abhängigkeit der Grenzzustände. Die Korrelationskoef¬
fizienten in R ergeben sich aus der Multiplikation der Vektoren der a-Werte,
Gl.(3.95). Die einzelnen Größen sind Bild (5.35) zu entnehmen. Der Vektor b
Der in
und die Matrix R lauten:
4.01
b
=
R
4.21
=
5.16
1
0.255
0.331
0.255
1
0.217
0.331
0.217
1
(5.38)
näherungsweise Berechnung des Integrals erfolgt nach dem in [Tang et al.,
1987] angegebenen Verfahren. Das Ergebnis der rekursiven Berechnung lautet:
Die
-5
Pf, sys
=
4.30x10
ß
=
(5.39)
3.93
w-*'w
^sys
Berechnung der Momente nach [Evans, 1972] von der mathematisch
äquivalenten Formulierung für das Seriensystem, siehe Gl.(2.28) bzw. den Aus¬
druck in Bild (5.36), kann analog zum Kapitel 5.1.4 zur Abschätzung der Versa¬
genswahrscheinlichkeit herangezogen werden.
Eine
In Bild
(5.36)
ist
zu
besten den gege¬
3.2.3. Eine Schätzung der Versagens¬
sehen, daß eine S(j-Johnsonkurve sich
am
anpaßt, siehe Kapitel
wahrscheinlichkeit für das System kann in analoger Weise zu Kapitel 5.1.4
0 ergibt sich für eine äquivalente Normal¬
gegeben werden. An der Stelle x
-3.88. Damit kann dann eine Schätzung für die Versa¬
verteilung der Wert z
genswahrscheinlichkeit angegeben werden:
benen Momenten
=
=
pf
=
5.32x10
-5
(5.40)
114
Anwendung
Abb.
(5.36)
Numerische
Integration
issertatjcm/vaj)s
min(
=
((H-e)A3/6xGam 1 + P"(H-e)/2)xtan(45-Phi l/2f2,
wstmv(H, B, a, d, e, t, Phi 1, Garn 1, P)' As-wstmh(H, B,
wstmm(H, B, a, d, e, t, Phi 1, Garn 1, P, Phi2, Gam2)
)
Mu
-
I Numerical Integration (Evans)
mean
¦type
|ajV
39.975 sdev=
=
Su-system: g
=
0: snv
=
VaP
der
Gmndbau.vaf)
JGsys
von
=
-3.88
=
of function
-1.832, d
->
pf
=
=
P),
Gsys:
0.142 kurt=
10.681 skew=
a, d, e, t, Phi 1, Garn 1,
6.126, xl
=
3.138
61.741, xi
=
20.983
5.316839e-05
Um den Einfluß der Fundamentbreite
zu
bestimmen, zeigt Bild (5.37) eine Varia¬
1.6<B<2.6[m] sind die ßpWerte der Komponenten und der
äquivalente ßsys-Wert aufgetragen, entsprechend den vorherigen Rechnungen.
Der Verlauf von ßsys, anfangs von ß2 beeinflußt, nähert sich asymptotisch dem
Wert von ßi. Das Biegeversagen der eigentlichen Stützmauer bestimmt in die¬
sem Beispiel mit wachsender Fundamentbreite B die Versagenswahrscheinlich¬
keit und wird zum schwachen Glied des Seriensystems. Es zeigt sich deutlich,
daß mit den gegebenen Parametern für Mu keine höhere Systemzuverlässigkeit
tion
von
B. Für
erzielbar ist, auch
Abb.
(5.37)
wenn
das Fundament immer breiter wird.
ß-Werte aus einer FORM Analyse
G1? G2, G3 und für das System Gsys
Variation der Fundamentbreite B;
die Grenzzustandsfunktionen
für
ß
Pf
6
****^
10"8
5
10"6
\
—
4
10-4
J>
,-""
***>»
IW.
Psys
3
io-2
10"1
0.5
2
1
0
B[m]
1.6
2.2
1.8
sen
werden. Es lassen sich auch
einer
Verteilung, in
2.6
pfSys kann gemäß Kapitel 3.4.8 ange¬
Aussagen über die kennzeichnenden Grös¬
diesem Beispiel für die Basisvariable Ag, angeben. Sie
Der Einfluß einzelner Basisvariablen auf
geben
2.4
115
Anwendung
kommt
von
VaP
in der Grenzzustandsfunktion
G2 vor. Wird der Ansatz gemäß
Gl.(3.108) für die Ableitung der Versagenswahrscheinlichkeit des Seriensystems
zugrunde gelegt, so kommt nur von Grenzzustandsfunktion G2 ein Beitrag. Für
den Mittelwert und die Standardabweichung von As läßt sich folgende Sensitivi¬
tät bezüglich
pfSys angeben:
nur
^»(tfßj^V
-0.00072
'S
(5.41)
2
3Pf,sys
„/D,ß2aA,
-ys«<p(ßo)
5.3.5
_
^=0.2785
—
Schlußfolgerung
Der Grundbau bietet sich für die
Anwendung probabilistischer Modelle geradezu
an, da nur auf diese Weise die naturgegebenen Schwankungen erfaßt werden
können. Viele der Bodenkennwerte werden allerdings als weitgehend subjektive
Größen in die Berechnung einfließen, die nur durch wenige Beobachtungen
gestützt sind.
Am
Beispiel der Winkelstützmauer wurde die Behandlung eines Seriensystems
gezeigt. Dabei reichen einfache Grenzbetrachtungen für Aussagen über das
System aus. Ebenfalls gute Ergebnisse für die Versagenswahrscheinlichkeit
Pf,sys bietet die Anpassung an die Momente von Gsys mit einer Johnsonkurve.
Der Einfluß kennzeichnender Größen einer bestimmten Basisvariable, wie z.B.
der Mittelwert oder die
keit
zeigt eine
Standardabweichung,
Sensitivitätsanalyse.
116
an
der
Versagenswahrscheinlich¬
Zusammenfassung
Zuverlässigkeitstheorie bietet, formal betrachtet, einen logischen, konsisten¬
ten Rahmen und quantitative Methoden für wahrscheinlichkeitsbezogene Aussa¬
gen. Die Zuverlässigkeitstheorie ist ein Werkzeug für die Vorbereitung von
Entscheidungen. Sie benützt wissenschaftliche Methoden, um dem Ingenieur in
schwierigen Situationen zu helfen. Das Maß der Zuverlässigkeit ist nicht absolut
zu verstehen, sondern relativ in dem Sinne, daß es eine Reihung von grundsätz¬
lich geeigneten technischen Systemen nach ihren Zuverlässigkeiten bezüglich
eines definierten Versagensereignisses gestattet. In jedem System kann wiede¬
rum eine Reihung im Hinblick auf verschiedene Versagensereignisse vorgenom¬
men werden. Sie gestattet, das in bestimmter Hinsicht Bessere aussagekräftig
vom weniger Guten zu unterscheiden.
Die
Die theoretischen und mathematischen
Grundlagen der Zuverlässigkeitstheorie
werden zusammengestellt. Das probabilistische Modell eines technischen
Systems ist die Summe eines logischen und eines stochastischen Modells. Ein
logisches Modell mit seinen Elementen, den einzelnen Grenzzuständen, dient
zur Beschreibung der Funktion des Systems. Die Gesamtheit der Einflußgrößen
mit ihren statistischen Merkmalen, die sogenannten Basisvariablen, bilden das
stochastische Modell.
Konzept und die Realisierung eines als Variablenprozessor bezeichneten
Computer-Programms wird beschrieben. Dabei ist die einfache Definition und
Bewertung von Grenzzuständen die zentrale Anforderung. Die programmtechni¬
sche Umsetzung der theoretischen Begriffe erfolgt in objektorientierter Weise.
Das
Grenzzustandsfunktionen und Basisvariablen werden interaktiv, während der
Programms definiert und gegebenenfalls auch verändert. Zur
Berechnung der Versagenswahrscheinlichkeit sind Integrations-, Simulations¬
und Approximationsverfahren implementiert. Die vorgestellte intuitive Benutzer¬
oberfläche weist eine hohe Robustheit in der Bedienung auf.
Laufzeit des
Handhabung des Variablenprozessors wird an einigen Beispielen
aus dem konstruktiven Ingenieurbau gezeigt. Dabei läßt sich auch der typische
dynamische Charakter einer Problembearbeitung demonstrieren.
Die Art der
117
Summary
Formally, reliability theory provides a logical framework and the quantitative
methods necessary to make probabilistic Statements. Reliability theory is a
decision-making tool using scientific methods to help civil engineers solve
difficult problems. Reliability results can not be interpreted absolutely, but rather
in a relative sense. Reliability theory allows ranking technical Systems when
ordering
defined failure event. Within each separate System, a further
with respect to different failure events is possible. Reliability theory
enables
the
confronted with
a
engineer
to
distinguish the
better
Solution
from
the
poorer
alternative.
The theoretical and mathematical bases of
combination of
a
logical
model and
a
reliability theory
presented. The
in a probabilistic
are
stochastic model results
logical model, with its constituent elements and
limit states, provides the description of the system's function. All the
quantities with their Statistical characteristics, the so-called basic
model of a technical system. The
individual
influence
variables, form the stochastic model.
subsequent development of a Computer program
called Variables Processor VaP are described. The principal requirements for a
Computer program are the easy definition and quick evaluation of the limit states.
The development of the program is along object-oriented lines. Limit State
The
conceptual
basis and
functions and basic variables
are
defined and, should the Situation arise,
changed during the running time of the program. Integration, Simulation, and
approximation methods are implemented for calculating the probability of failure.
A robust, intuitive user interface is presented.
The Variables Processor program is exemplified by
problems. These examples also demonstrate the
problem-solving.
118
simple structural engineering
typical dynamic character of
Nomenklatur
Fettgedruckte Buchstaben
a,
kennzeichnen i.a. Vektoren und Matrizen.
i.a. ein Skalar oder die Realisation einer Basisvariable.
x
allgemeiner Parameter,
0
ein
x*, y*
Lösungsvektor des Minimierungsprozesses, entspricht den
Bemessungspunkten im Originalraum bzw. im Standardraum.
X, U
Basisvariable, Zufallszahl.
X(t)
Basisvariable, ein stochastischer Prozeß.
A
allgemein eine Matrix oder ein Vektor von Basisvariablen.
1
Einheitsmatrix.
X, Y
Vektor der Basisvariablen im
standardisierten
z.B. der Mittelwert.
Originalraum
Normalverteilungen.
bzw. im Raum der
C
Kovarianzmatrix.
R
Matrix der Korrelationskoeffizienten.
u,x
Mittelwert bzw.
ax
Standardabweichung
Vx
Varianzkoeffizient der Basisvariable X,
Jß^
Schiefe der Zufallszahl X, normalisiertes 3.Moment.
ß2
Kurtosis der Zufallszahl X, normalisiertes 4.Moment.
Px
x
fx(x)
Erwartungswert der Basisvariable
X.
der Basisvariable X.
Korrelationskoeffizient
von
Wahrscheinlichkeits- oder
Xj
und
ox/u,x.
Xj.
Verteilungsdichte
einer Basisva¬
riable X.
Fx(x)
Verteilungsfunktion
der Basisvariable X.
Fx1(x)
Umkehrfunktion der
Verteilungsfunktion
<p(x)
Verteilungsdichte der standardisierten Normalverteilung.
O(x)
Verteilungsfunktion
der standardisierten
d>"1(p)
Umkehrfunktion der
Verteilungsfunktion
der Basisvariable X.
Normalverteilung.
der standardisierten
Normalverteilung.
cpn(x,C)
n-dimensionale
Verteilungsdichte der standardisierten Nor¬
malverteilung.
3>n(x,C)
n-dimensionale
Verteilungsfunktion
malverteilung.
119
der standardisierten Nor¬
Nomenklatur
Originalraum.
Gj()
Grenzzustandsfunktion im
9iO
Grenzzustandsfunktion im Standardraum.
VG(X)
Differenzialquotienten,
standsfunktion im Originalraum.
der Gradient der Grenzzu¬
Vg(X)
Vektor der
Differenzialquotienten,
der Gradient der Grenzzu¬
Vektor der
standsfunktion im Standardraum.
T[]
Transformationsoperator,
Transformation eines Vektors
Zufallszahlen in einen Vektor
von
von
standardisierten Normalver¬
teilungen.
PO
Wahrscheinlichkeitsoperator.
Pf
Versagenswahrscheinlichkeit.
ß
Zuverlässigkeitsindex.
E[X,]
Erwartungswert von Xj.
D[Xj]
Standardabweichung von Xj.
Cov
[X„X,]
Kovarianz
Var
[X.,]
Varianz
von
Xj
und
Xj.
von
Xj.
1
Bedingung,
zu
VJ
logischer Ofl-Operator.
r>
logischer ^A/D-Operator.
llyll
Euklidsche Norm bzw.
aT,AT
transponierter Vektor,
A-1
invertierte Matrix.
to
Bezugszeitraum.
t
Zeit.
p
geschätzter Wert,
lesen als
"gegeben...".
-
Betrag
bzw.
hier als
eines Vektors y.
transponierte Matrix.
Beispiel die Wahrscheinlichkeit.
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126
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Evaluate Functions of Random
A
A1
Anhang
Syntax
Grammatik
Nachfolgend wird eine
chungen und Systemen
erweiterte Backus Naur
Validlnput
Beschreibung von Grenzzustandsgleiin der Zuverlässigkeitstheorie angegeben. Dazu wird die
Form (EBNF) verwendet:
zur
=
[LimitStateDefinition
|
SystemDefinition]
SystemDefinition
Identifier
Set
w="
VarDefinition
|
EOS.
=
w{"
w}".
Set
=
{*|\"
STerm
/*
series
STerm
STerm}.
OR,
system,
*/
=
F&&"
SFactor
/* parallel
SFactor
SFactor}.
|
w("
Set
LimitStateDefinition
Identifier
Relation
(«<"
intersection
AND,
system,
"="
")".
=
Expression
[Relation]
«<="
|
«="
|
|
">"
|
«>=")
=
{Identifier}.
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["-"]
=
Term
{ ("-"
I
w+")
Term}.
=
Factor
[Condition].
=
Condition
w|"
*/
=
Identifier
Term
union
{("*"
|
V")
Factor}.
127
Expression.
Anhang
Factor
=
Number
Identifier
|
"(" Expression ")"
|
Expectation
FunctionCall
"]".
Type Distribution.
":"
Distribution
")".
Expression}]
{","
=
Identifier
=
"(" NumericLiteral
NumericLiteral
"<"
I
")"
">".
=
|
>XD"
WN"
|
WU"
"T1L"
Nw"
NumericLiteral
Number
"SE"
|
"GA"
|
BB"
=
Number
=
{Number}.
|
{Letter
Digit}.
=
{Digit}
Digit
["-"]
Char
i
WT3S".
|
Letter
=
"SLN"
|
>w".
{Char}
Identfier
"LN"
|
WT2L"
|
CharacterLiteral
*
[Condition]
[Expression
"("
VarDefinition
|
Factor].
["-"]
=
Identifier
Type
[w/v"
FunctionCall
|
=
"[" Expression
"E"
Expectation
|
{Digit}]
["." Digit
Digit
{Digit}].
w&"
w("
|
[(V
"E")
=
"
...
J
•
Digit
Letter
•
|
"0"
=
"\"
I
(EOL
|
w'"
|
w\")
.
.
=
w["
...
"a"
w9".
...
...
"z"
|
"A"
...
"Z".
Eckige Klammern, [ ], bedeuten, daß die eingeschlossenen Grammatikbegriffe
wahlweise vorkommen können. Spitze Klammern, { }, bedeuten, daß die ein¬
geschlossenen Grammatikbegriffe, null mal oder mehrmals wiederholt, ange¬
wendet werden können. Mehrere Möglichkeiten in einer Liste werden durch
einen vertikaler Balken, |, getrennt. Runde Klammern, ( ), gruppieren mehrere
Begriffe.
128
Anhang
A2
Ableitung
des
Multinormalintegrals
partielle Ableitung der m-dimensionalen Verteilungsfunktion der standardi¬
sierten Normalverteilung, kurz als Multinormalintegral bezeichnet, wird bei der
Berechnung von Sensitivitäten in Serien- bzw. Parallelsystemen benötigt,
Kapitel 3.4.8. Die oberen Integrationsgrenzen des Multinormalintegrals 3>m(.)
wird durch den Vektor x beschrieben. Es wird nachfolgend die Ableitung für das
Parallelsystem gezeigt, [Ditlevsen etal., 1990]:
Die
m
i
=
i-1d<I> dr-
d® dx
r
.
*i
lL
(A.1)
de
j-r-'j
Multinormalintegrals $m(.,.) nach der Größe Xj
beschrieben. Sie berechnet sich als Produkt aus der Verteilungsdichte der stan¬
dardisierten Normalverteilung q>(.) und aus dem um eine Größenordnung redu¬
zierten Multinormalintegrals *„,_.,(., •):
Als erstes wird die
^m
mit:
In der
Xj;
r{
aus
=
Ableitung
des
(A-2)
9(xi^m_1(xi,Ri)
Rj
S^RjS"1
=
GI.(A.2)
Ri
x',
bedeutet
Spalte i
R gebildet,
aus x
gebildeter
x^sr^x'-rlxi)
neuer
Vektor ohne dem Element
der Korrelationsmatrix R ohne dem Element i; R1 wird
steht für die
der Matrix
ein
R'-r!(r!)
=
bei der die Zeile i und
nalmatrix mit den Elementen S.
kk
=
VRi,kk>
Spalte i fehlen; Zj
m't dem Index k
=
Ableitung des Multinormalintegrals 3>m(-, •)
lationskoeffizienten
rjj gezeigt:
Als zweites wird die
ao
ist eine
1,...,
m
Diago¬
-1.
nach dem Korre¬
a<&
(A.3)
-1
mit:
Rjj^V:1
=
RiJ-[r!ir3 Lrü1rül
-1
»U
"
V
[-[H
in
'
In der
und
xj;
GI.(A.3)
fj'J
bedeutet
steht für die
x'J,
ein
Spalte
aus x
AJ
gebildeter Vektor ohne den Elementen Xj
i der Korrelationsmatrix R ohne den Elementen i
129
Anhang
und
j; R'J
wird
der Matrix R
aus
j fehlen; 2jj
ten i und
mit dem Index k
=
Als drittes wird die
ist eine
1,...,
gebildet, bei der die Zeilen i und j sowie
Diagonalmatrix mit den Elementen X.. kk
die
=
Spal¬
VRjj.kk.
m-1.
Ableitung
des Korrelationskoeffizienten
ry
nach einem Para¬
meter 0 beschrieben:
da/
drjj
da,
i
de
de
^
=
-(.
D
mit:
+
j
(A.4)
de
ßDr^Vg
(A.5)
da
=
3a"
"5yT
ay^y
i-'i
Für den zweidimensionalen Fall der
Verteilungsfunktion der standardisierten
Normalverteilung <J>2(.) lassen sich folgende einfachen Formen für die partiellen
Ableitungen angeben, aus [Ditlevsen et al., 1990]:
Aa»2(-ß1,-ß2;p)
a^dß^a^dßg a<E>2dP
äj^de "äß^de +äp He
=
ao,
ß2-pß1
ao2
ß!-pß2
(A.6)
)
(A.7)
V1-P2
ao.
ao„
*-w?f2
Die
den
rß2-pßl,
r)
<P(
=
jeweiligen Ableitungen nach den Zuverlässigkeitsindizes ß, erfolgen
in Kapitel 3.4.8 beschriebenen Formeln.
A3
Ergänzungen
A 3.1
Grenzzustandsfunktion mit Parametern
In
[Bryla
blen
(A.8)
,
^TTv^Xv
Y
et
zum
HL-RF
Algorithmus
al., 1991] wird der Fall beschrieben,
um
einen
Vektor
t
von
nach
wenn
Parametern
130
der Vektor der Basisvaria¬
ergänzt wird,
siehe
hiezu
Anhang
Kapitel
3.4.4.3. Die
ten Vektor y=
,T
[Y,t]
Eine
•
Kapitel 3.4.4.2 werden hier für den erweiterMatrizenform angeschrieben:
in
21
0
Vyg Ay
0
1
Vtg
VygTVtgT
in
Gleichungen
At
0_
-2y~
(A.9)
0
—
L-g(y)J
X
Dreieckszerlegung des Gleichungssystems GI.(A.9) nach Gauß ergibt:
21
0
Vyg
0
I
Vtg
lVygTVtgT-(l||Vyg||2 ||Vtg||2)
+
Die Unbekannten in
zu
GI.(A.10) werden
Ay
-2y
At
0
X
g(y)
+
(A.10)
VygTy
durch Rückwärtseinsetzen
separiert,
was
den Formeln für die Iteration führt. Im k-ten Schritt der Minimumsuche werden
die Größen
X
folgend berechnet:
=
|VygTI2+2lvtgT||2
At
[g(yk)-VygTy]
=
|vygT||2 2|VtgT|2
(A.11)
[VygTy-g(y)]Vtg
(A.12)
+
1
Ay
A 3.2
In
2
VygT| +2||VtgT||
Der
allgemeine
[Abdo, 1989]
gtVyg^-gMlVyg-y
(A.13)
Fall
wird die
Erweiterung
des HL-RF
Algorithmus
auf mehrere
Grenzzustandsfunktionen bzw. Restriktionen diskutiert. In diesem Abschnitt wird
die Iterationsvorschrift für mehrere Restriktionen und eine zusätzliche Berück¬
sichtigung
von
Parametern t
gezeigt.
der einzelnen Grenzzustandsfunktionen V g; bil¬
den die Zeilen der Matrix G, wobei bezüglich den Vektoren der Basisvariablen Y
Die
unabhängigen Gradienten
und der Parameter t wie im
G=
[Vyg^Vtgj]
=
Kapitel
{G
A 3.1 unterschieden wird:
(A.14)
Gt}
131
Anhang
Die
Gleichungen
Eine
in
Kapitel
Dreieckszerlegung
21
0
0
I
analog
3.4.4.3 werden
nach Gauß
GI.(A.9) angeschrieben.
zu
ergibt:
[Ay
-2y
At
0
=
(A.15)
u
lGjGtT-l(GjGy
+
Durch Rückwärtseinsetzen
spunktes. Die
k-ten Schritt
AYk
K
Werte für die Basisvariablen und Parameter werden im
neuen
<Gy, kGy, k + 2Gt, kGt, k)
=
(rk
~
T
können noch
AtN
(A.20)
=
=
=
die
Ay und At
bezüglich der
[ayi]
mit:
[ati]
mit: ati
diag[||Vgj||]
sich
Ayk
=
wer¬
Basisvariablen normierten
Diagonalmatrix
N enthält die
Euklidschen Normen:
Durch Einsetzen der
ergeben
(A.17)
(A.18)
Gy, kYk)
-
(A.16)
(A.19)
entsprechenden
N
yk
(Gy, kVk rk)
Gradienten der Grenzzustandsfunktionen und die
At
-
AyN
Darin bilden die Matrizen
Ay
rk)
-
einige Vereinfachungen gemacht
Teilmatrizen
die
Gy und Gt aufgeteilt:
Rechnung
den. Die Matrix G wird in
Gt
(GJ, kyk
_1
T
T
2
=
"1
2Gt, k (GJ, kGy, k + 2GuGt, k>
Für die weitere
Gy
ergeben sich die Formeln für die Suche des Lösung¬
Gy> k (Gj, kGy> k+2Gl kGt k)
=
=
-r+Gjy
folgend berechnet:
=
Atk
2GtTGt) U
=
a*=
folgende
1
=
Vyg,
diag
GI.(A.19)
r4 Vyg-,
Vtg-,
und i
und i
[Jv g^V g]
und
GI.(A.20)
1...m
=
=
1
...m
mit:i
in
=
1...m
GI.(A.16), GI.(A.17)
und
GI.(A.18)
Iterationsformeln:
Ayik(Zyfk + Itkr1
(Ajkyk-Nk1rk) -yk
132
(A.21)
Anhang
Atk
h
In
Atk(Lyk Stk)-1 (Ajyk-Nk1rk)
(A.22)
2Nk1 (\k+\k)"1 W\-*l.M
(A.23)
=
=
+
GI.(A.21), GI.(A.22)
und
GI.(A.23)
ist
Sy
die Korrelationsmatrix der linearisi¬
erten, aktiven Restriktionen im Punkt yk:
zy
St
A 3.3
"
=
AyAy
(A.24)
AtTAt
Behandlung
von
Parallelsystemen
gemeinsame Lösungspunkt mehrerer Restriktionen bietet die Möglichkeit,
eine Durchschnittsmenge von Versagensbereichen {PlQjOO^O} in erster
Näherung zu berechnen. Der gemeinsame Versagensbereich wird dabei durch
die im gemeinsamen Lösungspunkt y* definierten Hyperebenen begrenzt. Aus
Bild (A.38) ist der Vorteil einer solchen Vorgangsweise gegenüber einer Berech¬
nung der einzelnen ß-Punkte, y-| und y2, zu sehen. Der dunkel gefärbte Sektor
weist eine bessere Näherung der Durchschnittsmenge auf, als der hell gefärbte.
Der
Abb. (A.38)
Gemeinsamer
ß-Punkt bei Parallelsystemen
.Näherung
<0)n(g2(Y)<0)
9i(Y)
=
0
Die wesentliche
Schwierigkeit
im HL-RF Algorithmus besteht im Auffinden des
gemeinsamen ß-Punktes. Es bedarf
einer
133
Erweiterung der Liniensuche
im Mini-
Anhang
mierungsprozeß. Die Bestimmung der aktiven Menge der Restriktionen muß lau¬
fend, in jedem Iterationsschritt neu festgelegt werden. Dabei ist darauf zu
achten, daß die aktive Menge immer
nur um
eine Restriktion erweitert bzw.
ver¬
mindert wird.
Zur
Bestimmung der aktiven Menge kann nach einer Methode
von
Buys und
Rockafellar, siehe [Gill et al., 1981], vorgegangen werden. Dieser Vorschlag wird
sinngemäß
auf die
Leistungsfunktion
™
V(y)
n(y)+£
=
i
In der
igf(y)
2
Xj,
wird immer
die
aus
zu
Kapitel
3.4.4.4
X
für
gjCy)
<
-^
für
gj(y) >
(A.25)
y
sind die Restriktion
gj(y),
Lagrange'schen
=
maxpminE^l.icru.^lmintXfll)]
r*-
die
h(y)
[y, t] [y, t]. Der Faktor
Xj des jeweiligen Iterationsschrittes gebildet:
minimierende Zielfunktion
dem kleinsten
angewendet:
xx
gXf
1
Leistungsfunktion GI.(A.25)
Parameter
r
=
^9i(y)
+
in
(A.26)
min [X?] gesetzt. Bei den
Minimierungsprozesses wird r°
folgenden Iterationsschritten ergibt sich der Faktor r aus der Bedingung in
Gl.(A.26). Eine Restriktion gilt als aktiv, wenn die Bedingung g{(x) < X/r erfüllt
Für den Start des
=
ist, andernfalls ist sie inaktiv.
Eine andere
Möglichkeit der Bestimmung der aktiven Menge bietet die von
Hestans und Powell gegebene Update-Formel, siehe [Gill et al., 1981]. Der fik¬
tive Lagrange'sche Multiplikator Xt wird zur Bestimmung der aktiven Restriktio¬
nen herangezogen:
\
=
Xj-minag^x),^)
Wenn
es
Xj > 0
auf eine aktive hin.
A 4
In den
chung
sich
um
(A.27)
eine inaktive Restriktion handelt,
gilt X,
=
0, andernfalls weist
Point-Estimate Method
angeführten Gleichungen werden der Mittelwert
o, die Schiefe
Vß-j
und die Kurtosis
134
ß2 verwendet.
ja, die Standardabwei¬
Anhang
A 4.1
Die
Methode nach
[Evans, 1972]
Integrationsvorschrift
lautet:
E[G(X)] =cG(u) + £Hj[G(xf)-G(x:)]
i
^JPij[G(xf,xJ+)-G(x^xj:)
(A.28)
i<j
-G(x:,Xj+)
Die Konstanten in
<
=
x+
=
C
G(x:,x:)]
GI.(A.28)
werden nach
\i
+
a+c
H.
+
=
1
folgenden
*,=lJhrR;
lJ^+Ri
1-S
=
+
x"
=
u. +
a"o
Formeln berechnet:
<A29>
(A.30)
1(S2-T)
ll^
(A-31)
2Rj
Pij=(4RiRj)-1
Die
Hilfsgrößen
in
GI.(A.31) lauten:
i
H2,i
A 4.2
Die
H,i
Methode nach
[Li, 1992]
Integrationsvorschrift
E[G(X)]
+
=
\X [ <w*
j
lautet:
(1-^-! £w°)G(ii)
+
-
6i+ 1} Gi(X^ + Wi Gi(Xi)]
+slGiJ(xr.xJ+)5ij
135
(A'32)
Anhang
Integrationspunkte für GI.(A.32)
Die Gewichte und
w+
w"
=
a+ (a+
Der Wert für w0
x+
=
n
+
-
folgt
a+o
GI.(A.33)
x"
=
n
(A.33)
=
a"
(a"
zu,
w°
a")
aus
sind:
a+)
-
=
1
-
w+
-
w".
a"o
+
(A.34)
Ermittlung der x+ und x" Werte benötigt die Berechnung eines Faktors a, mit
dem die Standardabweichung multipliziert wird. Wenn für eine Basisvariable alle
Die
vier Momente existieren,
a
=
gilt:
a
^
=
^
Im Fall, daß für eine Basisvariable kein 4.Moment existiert,
«*.
^>p*
überhaupt nur
ben sich folgende
Ist
a+
=
1
fa-Jy*
„¦.
der Mittelwert und die
(A.35)
ergibt sich:
(A.36)
Standardabweichung verfügbar,
erge¬
einfache Werte:
et"
=
(A.37)
-1
In den 5-Faktoren ist die Information über die Korrelation zwischen den Basisva¬
riablen enthalten. Zur einfacheren
werden
5jj
5i
Handhabung der Methode nach [Li, 1992],
folgende Hilfsgrößen eingeführt:
=
=
p5j/(a+a)
X«ii
j
""d
mit:
5n
=
1
(A-38)
«.£«,
'
136