Stichworte aus der 16. Vorlesung

Zur Erinnerung
Stichworte aus der
16. Vorlesung:
Streuung:
Diffusion:
Wärmeleitung:
Kontinuitätsgleichung:
Bernoulli-Gleichung:
Experimentalphysik I SS 2011
Mittlere freie Weglänge 

j   D  grad n
1
  nB
[]  m
dW
  (T1  T2 )   Wärmeübergangszahl
dt
dW
dT

  Wärmeleitfähigkeit
dt
dx

 div(   u)  0
t

1
1
p1    u12  p2    u22
2
2
u1 A2

u2 A1

I = const.
1
p    u 2  p0
2
17-1
Viskosität und laminare Strömung
Einfluss der
„Zähigkeit“ (innere
Reibung) auf den
Strömungsvorgang:
Erinnerung:
Diffusion ↔ Teilchentransport
Wärmeleitung ↔ Energietransport
Viskosität ↔ Impulstransport
Flüssigkeitsschicht haftet an Oberfläche, Moleküle der
Randschicht wechselwirken mit Molekülen in der
Nachbarschaft
→ benachbarte Schicht wird mitgezogen
→ usw. ( → Geschwindigkeitsprofil)
Experimentalphysik I SS 2011
17-2
Viskosität und laminare Strömung
Ebene Fläche mit uo durch viskoses („zähes“) Medium
ziehen - erforderliche Kraft (nicht zur Beschleunigung,
sondern zur Überwindung der Reibung):
F   A

u
x
 FR    A 
u
x
Dynamische Zähigkeit (Viskosität)
   N 2s  Pa s
m
[alte Einheit: Poise = 0.1 Pa s]
„Bremsung“ ist proportional zur
Differenzgeschwindigkeit zwischen den
Schichten:
du  u ( x  dx)  u ( x)
u
du  u ( x)  dx  u ( x)
x
u
du  dx
x
Experimentalphysik I SS 2011
17-3
Viskosität und laminare Strömung
Typische Beispiele:
Experimentalphysik I SS 2011
17-4
Viskosität und laminare Strömung
Kugel-FallViskosimeter:
Kugel von der Oberfläche aus mit der Anfangsgeschwindigkeit u = 0 in eine Flüssigkeit fallen lassen.
Beschleunigende Kraft:
4
Fg  meff g   K   Fl     R 3K  g
3
Reibungskraft:
Schwerkraft - Auftrieb
Stokessches Gesetz
FR  6     RK  u0
Beachte: FR  u0
Gleichgewicht:
FR  Fg  0

Konstante Sinkgeschwindigkeit u0
6   RK  u0   K   Fl     RK3  g
2
1
u0   K   Fl    RK2  g 
9

Experimentalphysik I SS 2011
  1 
Bestimmung
von 
17-5
Reibungskraft und Viskosität
Geschwindigkeitsgradient quer zur Strömungsrichtung
Reibungskraft:
u
grad u z  ( ,0,0), u z ( x0  dx)  u z ( x0 )  u z ( x0  dx)
z
du
 dFR , z    dy  dz  z , (dA  dy  dz )
dx
mittleres Element:
bei x = xo bremsende Kraft
bei x = xo + dx beschleunigende Kraft
Experimentalphysik I SS 2011
17-6
Reibungskraft und Viskosität
Nettokraft:
FR  dFR ( x0  dx)  dFR ( x0 )
Taylorentwicklung:
 u z
u z 


FR    dy  dz  


 x x0  dx x x0 

FR    dy  dz  u z ( x0  dx)  u z ( x0 )
x
u
2. Ableitung
u z ( x0  dx)  u z ( x0 )  z dx
x
 2u z
FR , z    dy  dz  2  dx,
dx dy dz  dV
x
 2u z
 FR , z    dV  2
x
Eindimensionaler Strömungsgradient!!
Experimentalphysik I SS 2011
17-7
Reibungskraft und Viskosität
Verallgemeinerung auf
3 Dimensionen:
falls (∂uz /∂y) ≠ 0 und (∂uz /∂z) ≠ 0
Strömungsgradient in alle drei Raumrichtungen:
dFR , z    dV  u z
mit Laplace-Operator
2
2
2
 2  2  2
x y z
Integration über Volumen
FR , z     u z  dV
verallgemeinert für alle Komponenten:
FR     u  dV
Experimentalphysik I SS 2011
17-8
Laminare Strömung zwischen Platten
Stationäre Strömung eines viskosen Mediums
Erforderliche Kraft F 
p
A
Ziel: Bestimmung des Strömungsprofils
Es sei:
u  (0,0, u z ),
p p

0
x y
Druck hängt nicht von
x oder y ab.
Kraft auf Massenelement dm:
Kraft am Ort z2=z1+dz – Kraft am Ort z1
F1  b  dx  p( z1 ), F2  b  dx  p( z2 )  b  dx  ( p( z1 ) 
p
dz
z
d 2u z
dFR    dV  u    b  dx  dz  2
dx
p
 dz )
z
 F  b  dx  dp  b  dx 
Reibungskraft:
Experimentalphysik I SS 2011
17-9
Laminare Strömung zwischen Platten
Stationärer Fall:
d 2u z
dFR  dFz ,
  b  dx  dz  2  b  dx  dp
dx
d 2u z
1 dp




2
dx
 dz
2-fache Integration:
du z
x dp
1 x 2 dp
    C1 ,  u z ( x)  
  x  C1  C2
dx
 dz
2  dz
Randbedingungen:
du z
dx
 0  C1  0,
x 0
1 d 2 dp
u z ( x  d )  0  C2  

2  dz
Geschwindigkeitsprofil:
Experimentalphysik I SS 2011
 u z ( x) 
1
dp
 d 2  x 2 
2
dz
17-10
Laminare Strömung durch Rohre
Δp zeitlich konstant → stationäre Strömung, p = p(z)
Symmetrie erfordert u = u(r) (Zylindersymmetrie)
A

du
FR , z    2rL  z
dr
Fz  r 2  ( p1  p2 )
Reibungskraft
Druckkraft
du z
 r 2  ( p1  p2 )
dr
du z r  ( p1  p2 )

dr
 2 L
( p  p2 )
 u z (r )  1
  r dr
 2 L
p
 u z (r )  R 2  r 2 
4  L
   2rL 
Parabelförmiger Verlauf
Experimentalphysik I SS 2011
17-11
Laminare Strömung durch Rohre
Gesetz von HagenPoiseuille:
Durchsatz eines viskosen Mediums:
u z (r )  R 2  r 2 
p
,
4  L
dM
dV

dt
dt
dVdr (r , t )
p
 2 rdr  ( R 2  r 2 )
dt
4 L
dV 2 p

  r dr  ( R 2  r 2 )
dt
4 L
 V (t ) 
 p 4
 R t
8 L
Pro Zeiteinheit durchströmende Flüssigkeit:
 M
 V
t

 p 4
 R
8 z
Starke Variation von M mit Rohrradius R
Experimentalphysik I SS 2011
17-12
Gleichungen der Strömungslehre
Kontinuitätsgleichung:
Bernoulli-Gleichung:
Euler-Gleichung:

 div(   u)  0
t
Massenerhaltung
1
p    u 2  p0
2
Energieerhaltung
Ideale Flüssigkeiten,
Nicht stationär
Navier-StokesGleichungen:
Dynamik viskoser Flüssigkeiten,
Euler-Gleichungen, ergänzt um Reibungskraft

Wirbelbildung!
s. De und theoretische Ergänzung
Experimentalphysik I SS 2011
17-13
10. Wärmelehre
Temperatur:
aus mikroskopischer Theorie:
3
1
Ekin  kT  m  v 2
2
2
 Ekin  0  T  0
→ quantitative Messung von T ? Nutzbares Maß ?
grundsätzlich Mittel über große Zahl von Teilchen
thermisches Gleichgewicht (Verteilungsfunktionen)
„Körpersensorik“ gibt nur relatives Maß
Messtechnik:
Experimentalphysik I SS 2011
alle (reproduzierbar und reversibel) mit T veränderliche
Eigenschaften nutzbar:
Ausdehnung (i.d.R. Flüssigkeiten)
elektrischer Widerstand
Kontaktspannung
Wärmestrahlung
u.v.a.m.
17-14
Temperaturskalen
reproduzierbare Fixpunkte suchen, dann Unterteilung:
Celsius:
Def.:
0°C Schmelzpunkt von Eis
(genauer: Tripelpunkt H20: 0.01°C)
Def:
100°C Siedepunkt von H20 bei Normaldruck
Unterteilung in 100 Skalenteile
Fahrenheit:
„normale“ Körpertemperatur: 100°F
100°F = 37.7°C
Schmelzpunkt Eis/Salzgemisch: 0°F, 0°F = -17.8°C
Unterteilung in 100 Skalenteile
absolute Temperatur:
T = 0 K ≡ <Ekin> = 0
T von Tripelpunkt H20 festlegen
Unterteilung in Intervalle wie bei Celsius-Skala
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17-15
Temperaturskalen
Fahrenheit:
Experimentalphysik I SS 2011
17-16
Temperaturmessung
Flüssigkeitsthermometer:
Ausdehnung von Flüssigkeiten bei steigender Temperatur
Problem: Wärmeausdehnung i.d.R. nicht linear
ΔL = ß ΔT wobei ß = ß(T) ist
Eichung durch Fix-Punkte
0° C und 100° C
Ausdehnung des Gefäßvolumens
klein (oder bei Eichung
berücksichtigt)
ß(T) führt bei verschiedener
Substanz zu unterschiedlicher
relativer Ausdehnung
Experimentalphysik I SS 2011
17-17
Temperaturmessung
Widerstandsthermometer:
Variation elektrischer Größen mit der Temperatur (i.w.
Temperatur-Differenz zwischen zwei Punkten)
im Bild: Thermospannung (z.B. thermisch induzierter
Strom), wenn T1 ≠ T2
auch oft genutzt: Temperatur-Abhängigkeit des
elektrischen Widerstandes (insbesondere bei so
genannten Halbleitern)
Experimentalphysik I SS 2011
17-18
Temperaturmessung
Thermische
Ausdehnung fester
Körper:
Rohr bei A fixiert, bei B beweglich
Rohr wird mittels Wasserdampf (durchströmend) erwärmt
Zeiger wird mechanisch durch thermische Ausdehnung
bewegt
Experimentalphysik I SS 2011
17-19
Temperaturmessung
Bimetall-Thermometer:
Feste Verbindung von zwei Materialien mit
unterschiedlichem Ausdehnungskoeffizienten α
bei (z.B. T0 = 0°C) gerade
bei T > To Biegung zu einer Seite
bei T < To Biegung zur anderen Seite
Experimentalphysik I SS 2011
17-20
Thermische Ausdehnung von Festkörpern
„Mikroskopische“
Betrachtung:
T

1
kT
2
Pro Atom und Freiheitsgrad,
hier: Schwingung der Atome um
Ruhelage
für E pot,i    ri  ri , 0 
(Parabel-Potential) wird
2
ri (t ) t  ri , 0
Parabel-Potential ist gute Näherung
nur für
ri  ri , 0  ri , 0
Schwingung unter Wirkung von Parabelpotential:
 keine Änderung des mittleren Abstandes,
da ri (t ) t  ri , 0  keine Ausdehnung (T)
 thermische Ausdehnung beruht auf Abweichung
vom Parabelpotential
Experimentalphysik I SS 2011
17-21
Thermische Ausdehnung von Festkörpern
„Morse-Potential:
bessere Näherung für
Epot(ri)
(unsymmetrisch,
anharmonisch)

E pot (ri )  ED 1  e
ri
t
 ri , 0 ,

 ( ri  ri , 0 ) 2
ri  ri , 0  ri  ri , 0
In der Regel:
d ri (T ) 
0 
dT
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ri
steigt mit T
17-22
Thermische Ausdehnung von Festkörpern
Linear:
T gemessen in °C (TC)
L(TC )  L(T0  0C )  (1    TC )
α = linearer Ausdehnungskoeffizient
  TC 
L
L(T0 )
α nur näherungsweise konstant
   0    TC ,
  TC   0
spezielle Materialen: α < 0 möglich
besondere Anwendungen: α ≡ 0 erwünscht
Volumenausdehnung:
isotropes Material:
V (TC )  V0  (1    TC )3
 V (TC )  V0  (1  3  TC ),
anisotropes Material:
Experimentalphysik I SS 2011
3
  TC  1
 x  y z
17-23
Thermische Ausdehnung von Festkörpern
Abhängigkeit des
Ausdehnungskoeffizienten von der
Temperatur:
Variation von α mit T durch Änderung des Einflusses der
Anharmonizität des Potentials mit E
ΔL/L = α [K-1] ΔT
für Cu (280 K), ΔT = 80 K , L = 1000 mm
ΔL = α [K-1] ⋅ ΔT ⋅ L = 16.5 10-6 ⋅ 80 ⋅ 103 [mm]
ΔL = = 1.3 ⋅ 10-3 ⋅ 103 mm = 1.3 mm
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17-24
Thermische Ausdehnung
Thermische
Ausdehnung von
Festkörpern und
Flüssigkeiten:
Experimentalphysik I SS 2011
17-25
Thermische Ausdehnung von Festkörpern
Bolzensprenger:
Stab: Länge L,
Querschnitt q,
Elastizitätsmodul E
(z.B. für Eisen)
Kraft für Dehnung oder Stauchung um ΔL
F  E q
L
L
thermische Dehnung
L
   T
L
Verhinderung der thermischen Ausdehnung oder
Schrumpfung durch Kraft:
F  E  q    T
z.B. Eisen: α ΔT = 10-5 [1/K] 100 [K] = 10-3
(q = π R2; R = 3 mm, ΔL/L = 10-3)
F = 1011 [N/m2] ⋅ 3 ⋅ 10-5 [m2] ⋅ 10-3 = 3 ⋅ 103 [N]
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17-26
Thermische Ausdehnung von Gasen
Gase: Ausdehnung isotrop
ideales Gas: Wechselwirkungsenergie (WWE) der
Teilchen für r > ro
WWE << kT
Eigenvolumen N VTeilchen << V
Gesetz von GayLussac:
V (TC )  V0  (1   V  TC ),
p (TC )  p0  (1   p  TC ), V0  const.
 p  V 
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p0  const.
1
C 1
273,15
17-27
Thermische Ausdehnung von Gasen
Gasthermometer:
p (TC )  p0  (1   p  TC ), V0  const.
TC 
1
p

 p(TC )  p0 
p0

1 p

 p p0

p (T0 )
TC  273,15 
p0
Experimentalphysik I SS 2011
C 
17-28
Absolute Temperaturskala
Experimentell:
Kinetische Gastheorie:
Normalbedingungen:
p(TC )  p0 (1   pTC )
p V  N  k  T
p0  V0  N  k  T0,abs
p0 =105 Pa, T0,abs entspricht 0 °C

p Tabs

 (1   pTC )
p0 T0,abs
1


 Tabs  T0,abs  1 
 TC 
 273,15

 TC  273,15 C für Tabs  0 K
 T0,abs  273,15 K weil T0,abs  273,15 K bei TC  0 C
Dabei ist: TC  Tabs
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17-29
Avogadro-Konstante und Molvolumen
Stoffmenge:
1 Mol
(Anzahl der „Einheiten“: Atome oder Moleküle)
1 mol = Stoffmenge eines Systems, das aus
ebensoviel Teilchen (NA) besteht, wie 12 g des
Kohlenstoffnukleids 12C.
auf 12C bezogen: NA m12C = 12 [g] = NA 12 m*
m* = (1/12) m(12C) = mittlere Masse eines Nukleons im
12C – Kern
Avogadro-Konstante
oder Loschmidt-Zahl:
Allgemein:
NA = m*-1 = 6.022·1023 mol-1
Die Masse der Stoffmenge 1 mol ist gleich dem
„Atomgewicht in Gramm“
NA mTeilchen = ATeilchen [g]
ATeilchen = „Atomgewicht“ = mTeilchen/m*
Experimentalphysik I SS 2011
17-30
Avogadro-Konstante und Molvolumen
Avogadro-Konstante:
Bestimmung von NA:
12 g 12C durch Massenvergleich mit Massennormal
„Abzählen“ der Zahl der Teilchen, z.B. durch Methoden
der Röntgen-Strukturanalyse
1 mol Wasserstoff H2 : 2 g
1 mol Helium 4He : 4 g
1 mol Kohlenstoff 12C : 12 g
1 mol Stickstoff 14N2: 28 g
Experimentalphysik I SS 2011
17-31
Wärmemenge und spezifische Wärme
(genauer: spezifische Wärmekapazität)
Zufuhr Wärmemenge ΔQ (Energie) an Masse M
→ ΔT(ΔQ, M)
ΔQ = c M ΔT → c = ΔQ / (M ΔT)
c = spezifische Wärme (-kapazität)
c = ΔQ für M = 1 kg und ΔT = 1 K
c von Struktur des Materials abhängig
(z.B.: Zahl der Freiheitsgrade bei Gas)
alte Einheit Wärmemenge „cal“ oder „kcal“:
ΔQ = 1 kcal → 1 kg H20, 14.5 °C → 15.5 °C
Experimentalphysik I SS 2011
17-32
Allgemeine Gasgleichung für ideale Gase
Ziel:
Spezifische Molwärme(kapazität) idealer Gase
VM = Volumen der Stoffmenge 1 mol bei 1 bar und 0 °C
p V = N k T (bekannt)
für V = VM → p VM = NA k T mit NA k = R = 8.31 J /(K mol)
p VM = R T
oder für Stoffmenge n Mol
pV=nRT
V/VM = n
Experimentalphysik I SS 2011
17-33
Spezifische Molwärme idealer Gase
Mmol = Masse eines Mol [kg]
Q  c  M mol  T  C  T
Spezifische Molwärme:
Q
 c  M mol  C
T
C  
J
mol K
C = Energie (Wärmemenge) für ΔT = 1 K
allgemein: n = Zahl der Mol
Q
 n  c  M mol  n  C
T
Wärmekapazität zu unterscheiden:
ΔQ → ΔT bei V = const. → C  CV
ΔQ → ΔT bei p = const. → C  CP
Experimentalphysik I SS 2011
17-34