13. Lineare Algebra und Koordinatenwechsel.

13. Lineare Algebra und
Koordinatenwechsel.
In dieser Vorlesung behandeln wir die Vorzüge von
Koordinatenwechseln. Insbesondere werden wir über
geeignete Koordinatenwechsle zu einer Klassifikation
der lineare Abbildungen der Ebene kommen.
1. Invariante Geraden.
Satz. Sei pA (x) := x2 − Spur(A) · x + det(A). Dann
ist
Klaus Johannson, Lineare Algebra (L2/L5)
2
. Lineare Algebra (L2/L5)
pA (A) = 0
Beweis. durch Nachrechnen. ♦
Satz. Die Eigenwerte der Matrix A ∈ Mat2 R sind
gegeben durch
λ1/2 =
1
2
q
Spur(A) ±
Spur2 (A) − 4 det(A)
Beweis. Nach Definition sind die Eigenwerte λ ∈ R
die Lösungen pA (λ) = 0, für das Minimalpolynom
pA von A. ♦
Satz. Jede lineare Abbildung L : R2 → R2
det L 6= 0 ist eine Bijektion.
Beweis. Es gibt eine Matrix A ∈ Mat2 R mit
mit
L = LA
Setze B := A−1 . Dann ist
(LA ◦ LB )(v) = LA (LB (v)) = A(Bv) = AA−1 v = v
Somit ist LA ◦ LB = id.
Klaus Johannson, Lineare Algebra (L2/L5)
§13 Koordinaten.
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Ebenso zeigt man
LB ◦ LA = id
Also ist LB eine Links- und eine Rechts-Inverse von
LA . Demnach ist L = LA eine Bijektion. ♦
Satz. Jede lineare Abbildung L : R2 → R2
det L 6= 0 bildet Geraden auf Geraden ab.
mit
Beweis. Genauer bildet L die Gerade
g = { u + t(v − u) | t ∈ R }
auf die Gerade
L(g) := { L(u) + t(L(v) − L(u)) | t ∈ R }
ab, denn L(u + t(v − u)) = L(u) + t(L(v) − L(u)) da
L eine lineare Abbildung ist. ♦
Satz. Sei L : R2 → R2 eine lineare Abbildung mit
det L = 1
und
Spur(A) > 2
Dann gibt es eine invariante Gerade, d.h. eine Gerade
g ⊂ R2 mit
0∈g
und L(g) = g
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. Lineare Algebra (L2/L5)
Beweis. Da det A = 1 und SpurA > 2, hat L
zwei verschiedene Eigenwerte λ1/2 ∈ R. Zu jedem
Eigenwert gibt es einen 1-dimensionalen Eigenraum
E(L, λi ) := ker(A − λi I) 6= ∅
mit
E(L, λ1 )∩E(λ2 ) = {0} und R2 = E(L, λ1 )+E(L, λ2 )
Also sind
gi := E(L, λi ), i = 1, 2
zwei invariante Geraden. ♦
2. Klassifikation von Linearen Abbildungen.
Definition. Sei det A = 1. Dann
A heißt elliptisch ⇔ Spur < 2
A heißt parabolisch ⇔ Spur = 2
A heißt hyperbolisch ⇔ Spur > 2.
Beispiele.
cos α
(1) Spur
− sin α
2, for all α 6= 0.
sin α
cos α
= cos2 α + sin2 α = 1 <
Klaus Johannson, Lineare Algebra (L2/L5)
§13 Koordinaten.
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Dies ist eine Drehung.
1 b
(2) Spur
= 1 + 1 = 2.
0 1
Dies ist eine Scherung
λ
0
(3) Spur
= λ + λ1 > 2.
0 1/λ
3. Koordinatenwechsel.
Sei L : R2 → R2 eine lineare Abbildung. Die Standard Einheitsvektoren
1
0
e1 =
und e2 =
0
1
definieren das Standard Koordinatensystem. Angenommen wir entscheiden uns ein anderes Koordinatensystem zu wählen.
Frage. Was müssen wir ändern.
Antwort. Wir müssen die Beschreibungen von linearen Abbildungen ändern.
Jede Beschreibung einer linearen Abbildung hängt
nämlich von der Wahl eines Koordinatensystems ab.
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. Lineare Algebra (L2/L5)
Sehen wir uns das jetzt einmal genauer an.
Um eine lineare Abbildung L überhaupt anzugeben
brauchen wir eine Matrix
A ∈ Mat2 R.
Diese könnte man eine ”Beschreibungsmatrix” nennen. Denn sie beschreibt durch die Vorschrift
L(x) := Ax
eine lineare Abbildung.
a b
Die Koeffizienten
dieser Matrix A sind
c d
(bzgl. der Basis e1 , e2 ) gegeben durch:
Ae1 := ae1 + ce2
Ae2 := be1 + de2
Diese Koeffizienten ändern sich aber bei einer anderen
Koordinatenwahl.
Hierzu das am besten ein Beispiel zur Illustration:
Ae1 =
3
2
3 1
und
2 5
1
1
3
1
0
=
=3
+2
= 3e1 +2e2
5
0
2
0
1
Beispiel. A =
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§13 Koordinaten.
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und
Ae2 =
3
2
1
0
1
1
0
=
=1
+5
= 1e1 +5e2
5
1
5
0
1
Wir sagen die lineare
Abbildung hat die Beschrei3 1
bungsmatrix
bzgl. der Basis e1 , e2 .
2 5
Wir ändern jetzt das Koordinatensystem indem wir ein
neues Koordinatensystem statt durch die bisherigen
Basisvektoren e1 , e2 festlegen, z. B. durch die Wahl
der Vektoren
2
1
v1 :=
und v2 :=
1
1
als neue Basisvektoren.
Wie
lautet nun die Beschreia b
bungsmatrix B =
in der neuen Basis v1 , v2 ?
c d
Es muss ja wieder gelten
(1) L(v1 ) = Bv1 = av1 + cv2
(2) L(v2 ) = Bv2 = bv1 + dv2
Betrachten wir Gleichung (1). Wir haben
3 1
2
7
Av1 =
=
2 5
1
9
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. Lineare Algebra (L2/L5)
Also müssen wir das Gleichungssystem
7
2
1
2
= av1 + cv2 = a
+c
=
9
1
1
1
1
a
1
c
Nun ist
2
1
1
1
−1
=
2
−1
1
1
und so
a
2
=
c
−1
1
7
23
·
=
1
9
2
Also lautet die Beschreibungsmatrix für L im Koordinatensystem v1 , v2 :
23 ?
B=
2 ?
Die zweite Spalte berechnet man genauso. Diesmal
indem man das zweite Gleichungssystem (2) löst.
In den meisten Fällen wird die Beschreibungsmatrix
im neuen Koordinatensystem nicht einfacher aussehen.
Aber es gilt:
Satz. Determinante und Spur einer linearen Abbildung sind für jedes Koodrdinatensystem gleich.
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§13 Koordinaten.
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Beweis. ohne Beweis. ♦
Satz. Sei A ∈ Mat2 R eine Matrix mit
det A = 1 und SpurA > 2
Dann hat A zwei invariante Eigengeraden g1 , g2 .
Seien vi ∈ gi nicht-verschwindende Vektoren. Dann
ist die Beschreibungsmatrix für A bzgl. der neuen
Basis v1 , v2 eine Diagonalmatrix.
Beweis. Wir haben
Av1 = λ1 v1 und Av2 = λ2 v2
also lautet die Beschreibungsmatrix in dem neuen Koordinatensystem
λ1 0
B=
0 λ2
Dies beweist den Satz. ♦
Bemerkung. Wir sehen also, dass sich alle linearen
Abbildungen mit det = 1 und Spur > 2 geometrisch
wie Diagonalmatrizen verhalten. Hieraus beweist man
dann z.B. leicht, dass hyperbolische Matrizen Kreise
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. Lineare Algebra (L2/L5)
auf Kreise usw. abbilden. Wir käonnen aber darauf
nicht mehr eingehen.
Literature.
K. Jänich, Lineare Algebra
S. Lang, Linear Algebra
H. Zieschang, Lineare Algebra und Geometrie
Klaus Johannson, Lineare Algebra (L2/L5)