Aufgabe 2 (35 Punkte) - Professur für Künstliche Intelligenz und

Prof. Dr. Manfred Schmidt-Schauß
Künstliche Intelligenz/Softwaretechnologie
Fachbereich Informatik und Mathematik/ Institut für Informatik
Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main
Automatische Deduktion
Sommersemester 2017
Aufgabenblatt Nr. 2
Abgabe: Montag 19. Juni vor der Vorlesung
Aufgabe 1 (15 Punkte)
Wir stellen uns die Frage, ob es eine Menge gibt, die genau alle Mengen enthält, die sich selbst nicht
als Element enthalten. Um das Problem zu lösen, definieren wir die Frage in Logik erster Stufe mit der
Signatur Σ = (F, P) = (∅, {∈}) mit ar(∈) = 2 als:
∃x∀y : ¬ ∈ (y, y) ⇐⇒ ∈ (y, x)
Oder in Infix Schreibweise:
∃x∀y : ¬y ∈ y ⇐⇒ y ∈ x
a) (10 Punkte) Überprüfen Sie die Aussage durch Resolution mit Faktorisierung. Geben Sie dabei die
neue Signatur, alle Zwischenschritte und Unifikatoren an.
b) (5 Punkte) Welchen Namen trägt die definierte Menge bzw. das definierte Problem?
Aufgabe 2 (35 Punkte)
Angenommen wir haben eine zwei stellige, nicht triviale, Kompositionsfunktion >, die aus zwei Funktionen
eine neue, optimierte Funktion erstellt mit: f > g(x) = f (g(x)) aber f > g 6= f ◦ g als Code. Wir notieren
diese Äquivalenzrelation mit ≡.
Sei weiter id eine Konstante mit id > f ≡ f (Der Ausdruck id > f könnte z.B. eine Optimierung von f
erzwingen). Wir wollen zeigen, dass auch f > id ≡ f gilt.
Dazu definieren wir die Aussage in Logik erster Stufe mit der Signatur Σ = (F, P) = ({id, >}, {≡}),
ar(≡) = 2, ar(>) = 2 und ar(id) = 0 als:
∀f : f > id ≡ f
Wobei Infix Schreibweise für > und ≡ verwendet wurde. Um die Aussage zu beweisen, benötigen wir aber
weitere Axiome:
A1
i) ∀x : ∀y : x ≡ y ⇐⇒ (∀z : x > z ≡ y > z)
ii) ∀x : ∀y : x ≡ y ⇐⇒ (∀z : z > x ≡ z > y)
A2 ∀x : ∀y : ∀z : ∀r : (x > y) > z ≡ r ⇐⇒ x > (y > z) ≡ r
A3 ∀x : id > x ≡ x
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Das erste Axiom ist eine teilweise Axiomatisierung von ≡, das Zweite stellt die Assoziativität von >
bezüglich ≡ dar und das Dritte die Definition der id Konstanten.
Beweisen Sie die Aussage mittels Resolution mit Faktorisierung. Geben Sie zunächst die erstellten Klauselmengen und die neue Signatur an und danach alle weiteren Zwischenschritte und Unifikatoren.
Hinweis: Ein normaler Beweis durch Widerspruch könnte so aus sehen: Angenommen es gibt a mit
a > 1 6≡ a. Dann gilt:
∃x : (a > 1) > x 6≡ a > x
=⇒ ∃x : a > (1 > x) 6≡ a > x
=⇒ ∃x : 1 > x 6≡ x
was zum Widerspruch führt.
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