3 Vorlesungen über Ungeordnetes

1
Ho: KIP 3 Vorlesungen über Ungeordnetes: 20. Mai 2005
3 Vorlesungen über Ungeordnetes
20. Mai 2005 H.Horner
Inhaltsverzeichnis
1 Replikatheorie
1.1 Energielandschaft ungeordneter frustrierter
1.2 2 Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Replika Theorie . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Replika symmetrische Lösung . . . . . . .
1.5 Gebrochene Replika Symmetrie . . . . . .
1.6 Suszeptibilitäten . . . . . . . . . . . . . .
2 Dynamik
2.1 Dynamische MF-Theorie . . . . . . . . . .
2.2 Dynamische MF-Theorie für das p-Spinglas
2.3 FDT-Lösung, EA-Ordnungsparameter . . .
2.4 Modenkopplungstheorie . . . . . . . . . .
2.5 Altern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Quantensysteme
3.1 Liouville Raum und Superoperatoren
3.2 Spin-Boson Problem . . . . . . . . .
3.3 Bloch Gleichungen . . . . . . . . . .
3.4 Quantenmechanisches p-Spinglas . . .
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Systeme
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2
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3
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8
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13
13
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16
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1
2
Replikatheorie
1.1
Energielandschaft ungeordneter frustrierter Systeme
Energie
a
b
c
Phasenraum
Bei hoher Temperatur T > Tc ist der gesamte Phasenraum zugänglich. Das System ist
ergodisch und strebt ins Gleichgewicht.
Bei tiefer Temperatur T < Tc ist das System in einem der Täler, a, b, c gefangen. Es ist
jeweils nur ein Teil des Phasenraums zugänglich (ergodische Komponente, reiner Zustand).
α
Für endliche Systeme gilt dies für Zeiten t < τN ∼ eN .
Fragen:
Natur des Phasenübergangs bei Tc
Kritische Verlangsamung bei Annäherung an Tc
Natur der Tieftemperaturphase, Nichtgleichgewicht
Konfigurationsentropie als Maß der Komplexität.
Altern · · ·.
1.2
2 Modelle
Ising Spinglas: Ising Spins σi = ±1
H = − 12
X
Jij σi σj −
X
i,j
hi σi
(1.1)
i
mit zufälligen, Gauss-verteilten, Kopplungen Jij .
Anderson-Modell:
(
Jij = 0
Jij Jkj =
J 2 {δik δjl + δil δjk } für nächste Nachbarn ij
0 sonst
(1.2)
SK-Modell (Sherrington Kirkpatrik), langreichweitige Wechselwirkung
Jij = 0
Jij Jkj =
J2
{δik δjl + δil δjk }
N
(1.3)
Sphärisches p-Spinglas, kontinuierliche Freiheitsgrade ϕi , z.B. p = 3:
H = − 3!1
X
ijk
Jijk ϕi ϕj ϕk −
X
i
hi ϕi
(1.4)
3
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Jijk = 0
J2
{δil δjm δkn + 5 Permutationen}
N2
Jijk Jlmn =
(1.5)
Beide Modelle besitzen Wechselwirkungen mit unbegrenzter Reichweite.
1.3
Replika Theorie
Zustandssumme (für gegebene J··· ), β = 1/kB T
ZJ = Tr{e−βH(J) }
X
=
Z
e−βH(J)
= {dϕi } e−βH(J)
(1.6)
{σi =±1}
Freie Energie
FJ = − β1 ZJ
(1.7)
Thermodynamische Zustandsgrößen und Korrelationsfunktionen sind Ableitungen der
Freien Energie. Ist man an deren Mittelwerten interessiert, muss man die Freie Energie mitteln. Diese Größen sind ”selbstmittelnd”, i.e. deren Mittelwert ist für N → ∞
gleich dem Wert für eine Konfiguration.
F = FJ = − β1 ln(ZJ ) > − β1 ln(ZJ )
(1.8)
Identity
ln(x) = lim n1 {xn − 1}
(1.9)
n→0
Replika Trick: Man berechne (ZJ )n für ganzzahlige n und extrapoliere für n → 0. Dies
ist nicht eindeutig, da man beliebige Funktionen f (n) mit Nullstellen bei ganzzahligen n
addieren kann, z.B. sin(nπ). Man fordert daher üblicherweise, daß (ZJ )n ein Polynom in
n ist.
Man repliziert das System n-fach, z.B. für das SK=Modell σi → σiα mit i = 1 · · · N und
α = 1 · · · n, und
(ZJ )n =
β
e− 2
X
P P
α
ij
σiα Jij σjα
(1.10)
{σiα =±1}
Die Mittelung über die Jij mit (1.3) und J = 1 liefert
β2
X
(ZJ )n =
e 4N
P P
ij
αβ
σiα σiβ σjα σjβ
(1.11)
{σiα =±1}
Benutzt man die Identität (Hubbard-Stratonovich Transformation)
e
1
∆a2
2
=
q
∆
2π
Z
dq e
1
∆a2
2
e
− 12 ∆(q−a)2
=
q
∆
2π
Z
erhält man mit ∆ = 12 β 2 N , q → qαβ und a =
(ZJ )n =
β2N
4π
1 n2Z
2
{dqαβ }
X
{σiα =±1}
1
e− 2 N β
2
1 2
−aq)
dq e−∆( 2 q
1
N
P
i
σiα σiβ
1
[ 1 q 2 −qαβ N
αβ 2 αβ
P
(1.12)
P
i
σiα σiβ ]
(1.13)
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Die Summation über die σiα faktorisiert bezüglich der Gitterplätze i. Das Integral kann
für N → ∞ mittels Sattelpunktintegration ausgewertet werden. Mit
1
e2β
X
Zn (q) =
2
P
αβ
qαβ σα σβ
(1.14)
{σα =±1}
findet man die Sattelpunktgleichungen
qαβ =
∂ ln(Zn (q))
= hσα σβ iHn (q)
∂qαβ
(1.15)
Der Erwartungswert wird mit der lokalen Replika-Hamiltonfunktion
X
Hn (q) = − 21 β
qαβ σα σβ − h
X
(1.16)
σα
α
αβ
berechnet. Obige Form wurde durch ein konstantes äußeres Feld h ergänzt.
1.4
Replika symmetrische Lösung
Man sieht unmittelbar
qαα = 1
(1.17)
Die Sattelpunktgleichungen sind symmetrisch bezüglich Permutation der Replikaindizes.
Dies legt eine replikasymmetrische Lösung nahe
für α 6= β
qαβ = q
(1.18)
Damit ist
1
e 2 nβ
X
Zn (q) =
2 (1−q)+ 1 β 2 q(
2
P
α
σα )2 +βh
P
α
σα
{σα =±1}
=
q
1
2π
e
1
nβ 2 (1−q)
2
Z
dz e
− 21 z 2
X
e
√
β(h+ qz)σ
!n
σ=±1
=
q
1
2π
1
e 2 nβ
2 (1−q)
Z
1 2
dz e− 2 k
√
n
2 cosh(β(h +
Z
dz e− 2 z ln 2 cosh(β(h +
qz))
(1.19)
und für kleine n
Zn (q) = 1 + n
n
1 2
β (1
2
− q) +
q
1
2π
1 2
√
o
qz))
+ O(n2 )
(1.20)
Damit erhält man
q=
q
1
2π
Z
1 2
dz e− 2 z tanh2 (β(h +
√
qz))
(1.21)
und für die freie Energie
1
F
N
= − 14 β(1 − q)2 −
1
β
q
1
2π
Z
1 2
dz e− 2 z ln cosh(β(h +
√
qz))
(1.22)
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Entropie
S = −β 2
∂F
∂β
(1.23)
Für die replikasymmetrische Lösung wird für hinreichend tiefe Temperaturen S < 0.
Andererseits muss für ein System mit diskreten Freiheitsgraden (Spins) S ≥ 0 sein.
Stabilitätsanalyse: Hesse-Matrix, i.e. zweite Ableitung des Integranden in (1.13) um die
Sattelpunktslösung nach qαβ und qγδ muss negativ definit sein. Dies ist für Temperaturen
unterhalb der AT-Linie (Anderson-Thouless)
Tc (h) ≈ 1 −
q
3
3 2
h
4
(1.24)
verletzt.
1.5
Gebrochene Replika Symmetrie
Im der Tieftemperaturphase müssen Lösungen mit gebrochener Replikasymmetrie gefunden werden, z.B. entsprechend dem Schema
Physikalisches Bild:
Betrachte ergodische Komponenten a, b.
Überlapp:
qab =
1
N
X
hσi ia hσi ib
(1.25)
i
Verteilung der Überlapps:
PJ (q) =
X
pa pb δ(q − qab )
P (q) = PJ (q)
(1.26)
ab
wobei pa die Wahrscheinlichkeit ist, mit der das System in einer ergodische Komponente
a ist (?).
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P(q)
P(q)
qEA 1 q
kontinuierlich
qEA 1 q
diskontinuierlich
Phasenübergang:
Kontinuierlich: qEA (T ) → 0 für T → Tc . SK-Modell
Diskontinuierlich: qEA (T ) → qEA (Tc ) > 0 für T → Tc . p-Spinglas.
Für T < Tc (SK-Modell) Ultrametrizität: Falls qab < qbc dann ist qac = qab .
P (q) folgt aus der Struktur der qαβ -Matrizen.
Diskontinuierlich: 1 Schritt Symmetriebrechung qαα = 1, qαβ = q1 in Blöcken der ersten
Generation, qαβ = q0 = 0 außerhalb der Diagonalen und der Blöcke erster Generation.
Kontinuierlich: Hierarchische Replikasymmetriebrechung.
1.6
c
Suszeptibilitäten
cFC
cZFC
Tc
T
χZF C :
Abkühlen ohne Feld, Anlegen eines Feldes bei T < Tc
χZF C =
1
N
X
a
pa
X ∂ hσi i
a
i
∂h
= β(1 − qEA )
(1.27)
Dabei wurde ausgenutzt, dass innerhalb einer ergodischen Komponente Gleichgewicht
herrscht.
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χF C :
Abkühlen mit und ohne Feld, Vergleich
P
χF C =
a
1
N
hσi ia,h − a pa (0)
h
X ∂pa (h) X
hσi ia
∂h
a
i
pa (h)
= χZF C +
1
N
P
P
i
P
i
hσi ia,0
(1.28)
Für
1
Z
pa (h) ≈
e−βFa +β
χF C = χZF C + β
P
i
X
a
wobei
P
i
hσi ia ∼
√
hσi ia h
pa
√1
N
N ist.
(1.29)
X
i
hσi ia
2
(1.30)
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2
2.1
Dynamik
Dynamische MF-Theorie
Ausgangspunkt einer Behandlung mittels Dynamik ist eine Langevin-Gleichung, die
zunächst für eine Variable ϕ(t) fortmuliert sei:
ϕ̇(t) = −
∂H(ϕ(t)
+ η(t)
∂ϕ(t)
(2.1)
Dabei ist H(ϕ) die Hamiltonfunktion b.z.w die potentielle Energie, wenn man den stark
gedämpften Grenzfall betrachtet. η(t) ist eine stochastische Gauss-verteilte Kraft, die der
Kopplung an ein Wärmebad mit Temperatur T entspricht
hη(t)η(t0 )i = 2T δ(t − t0 )
hη(t)i = 0
(2.2)
Die Langevin-Gleichung hat die formale Lösung
ϕ(t) = ϕ t, {η(t > t0 > t0 )}, ϕ(t0 )
(2.3)
Korrelationsfunktionen lassen sich als als Pfadintegral, integriert über Realisierungen der
fluktuierenden Kräfte, sowie Mittelung über eine Verteilung von Anfangsbedingungen zur
Zeit t0 berechnen.
hϕ(t)ϕ(t0 ) · · ·i =
Z
Z
t0
D{η} dϕ0 ϕ t, {η}, ϕ0 ϕ t0 , {η}, ϕ0 · · · e
1
− 4T
R
t0
dt η(t)2
P (ϕ0 )
(2.4)
Ziel ist es, statt einer Integration über die fluktuierenden Kräfte, über die tatsächlichen
dynamischen Variablen ϕ(t) zu integrieren. Dies geschieht in zwei Schritten: Zunächst
benutzt man die Fourierdarstellung der δ-Funktion
δ(x − y) =
1
2π
Z
i∞
dx̂ ex̂(x−y)
(2.5)
−i∞
wobei man für (x−y) die Langevin-Gleichung (2.1) einsetzt und das Integral in (2.5) durch
ein entsprechendes Pfadintegral ersetzt. Die Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen
sei im Moment nicht betrachtet.
hϕ(t) · · ·i =
Z
D{η, ϕ̂, ϕ} ϕ(t) · · · eW({η},{ϕ̂},{ϕ})
(2.6)
mit
h
i
η(t)2
∂H(ϕ(t))
W({η}, {ϕ̂}, {ϕ}) = − dt
+ ϕ̂(t) ϕ̇(t) +
− η(t)
4T
∂ϕ(t)
Z
(
)
(2.7)
Das Pfadintegral über {η} ist letztlich ein Gauss-Integral und kann durch quadratische
Ergänzung ausgewertet werden. Damit ist
hϕ(t) · · ·i =
Z
D{ϕ̂, ϕ} ϕ(t) · · · eW({ϕ̂},{ϕ})
(2.8)
9
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mit
Z
n
h
W({ϕ̂}, {ϕ}) = dt T ϕ̂(t)2 − ϕ̂(t) ϕ̇(t) +
∂H(ϕ(t)) io
∂ϕ(t)
(2.9)
Im Gleichgewicht kann das Pfadintegral auf endliche Zeiten, z.B. t > t0 , beschränkt
werden, wobei die Verteilung der Anfangswerte ϕ(t0 ) einer Boltzmannverteilung genügen
Z
D{ϕ̂, ϕ} e
W({ϕ̂},{ϕ})
Z
=
−∞
t0
D{ϕ̂, ϕ} eW({ϕ̂},{ϕ}) Z1 e−βH(ϕ(t0 ))
(2.10)
Daraus folgen Fluktuations-Dissipations-Theoreme (FDT):
Korrelations- b.z.w. Response-Funktionen sind gegeben durch
q(t, t0 ) = hϕ(t)ϕ(t0 )i
r(t, t0 ) = δhϕ(t)i /δh(t0 )
(2.11)
Im Gleichgewicht gilt dann
∂
∂
c(t, t0 ) = −β
c(t − t0 )
0
∂t
∂t
r(t, t0 ) = r(t − t0 ) = β
2.2
(2.12)
Dynamische MF-Theorie für das p-Spinglas
Die Hamiltonfunktion des sphärischen p-Spinglas für p = 3 ist
H = 12 µ
X
ϕi (t)2 −
1
3!
i
X
Jijk ϕi ϕj ϕk −
X
hi ϕi
(2.13)
i
ijk
Verallgemeinert man (2.9) auf N Freiheitsgrade ϕi (t) erhält man
Z
Xn
h
T ϕ̂i (t)2 − ϕ̂i (t) ϕ̇i (t)+µϕi (t)−hi (t)−
W({ϕ̂}, {ϕ}) = dt
1
2
X
i
io
Jijk ϕj (t)ϕk (t)
(2.14)
jk
mit
Jijk = 0
Jijk Jlmn =
J2
{δil δjm δkn + 5 Permutationen}
N2
(2.15)
Das Pfadintegral enthält also die stochastische Wechselwirkung J··· im Exponenten. Mit
der Identität
1
eJx = e 2 J
2
x2
(2.16)
für Gaussverteilte Variable erhält man ein neues Wirkungsintegral mit retardierter effektiver Wechselwirkung
Z
W({ϕ̂}, {ϕ}) = dt
Xn
h
io
T ϕ̂i (t)2 − ϕ̂i (t) ϕ̇i (t) + µϕi (t) − hi (t)
(2.17)
i
n
o
X
J2 Z
ϕ̂i (t)ϕj (t)ϕk (t) 14 ϕ̂i (t0 )ϕj (t0 )ϕk (t0 ) + 21 ϕi (t0 )ϕ̂j (t0 )ϕk (t0 )
+ 2 dtdt0
N
ijk
10
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Die ”Mittlere Feld Näherung” besteht darin, dass man eine effektive Einteilchenwirkung
erzeugt, indem man die Freiheitsgrade der anderen Teilchen durch ihre Mittelwerte ersetzt.
Es sei
q(t, t0 ) = hϕi (t)ϕi (t0 )i
r(t, t0 ) =
δ hϕi (t)i
= hϕi (t)ϕ̂i (t0 )i
δhi (t0 )
(2.18)
wobei die gemittelten Korrelations- und Responsefunktionen für alle Teilchen gleich sind.
Die resultierende Einteilchenwirkung ist
Z
n
h
io
Wi ({ϕ̂}, {ϕ}) = dt T ϕ̂i (t)2 − ϕ̂i (t) ϕ̇i (t) − hi (t)
Z
Z
(2.19)
Z
t
+ 14 J 2 dtdt0 ϕ̂i (t)q(t, t0 )2 ϕ̂i (t0 ) + J 2 dt dt0 ϕ̂i (t)q(t, t0 )r(t, t0 )ϕi (t0 )
Daraus erhält man die Bewegungsgleichungen (h = 0, t > t0 )
∂
r(t, t0 )
∂t
∂
q(t, t0 )
∂t
= −µ r(t, t0 ) + J 2
0
= −µ q(t, t ) + J
+J 2
Z
t0
t
Z
2
t0
ds q(t, s)r(t, s)r(s, t0 )
t
Z
t0
(2.20)
ds q(t, s)r(t, s)q(s, t0 )
n
−∞
o
q(t, s)r(t, s)q(t0 , s) + 12 q(t, s)2 r(t0 , s)
(2.21)
Dabei ist µ so zu bestimmen, dass q(t, t) = 1 (Sphärisches Modell)
Diagramatische Darstellung der rechten Seiten der Bewegungsgleichungen:
Gleichgewicht: q(t, t0 ) = q(t − t0 ); r(t − t0 ) = r(t − t0 ); FDT:
∂
q(t − t0 )
r(t − t0 ) = −β ∂t
2.3
(2.22)
FDT-Lösung, EA-Ordnungsparameter
Numerische Lösung der Bewegungsgleichungen in der Nähe von Tc =
1.0
q
3
8
J
1.0
c(t)
c(t)
0.8
0.8
0.9 Tc
0.6
1.01
1.01
0.6
~ t–!
Tc
0.4
0.4
~ t !´
1.01 Tc
0.2
0.0
10-4
T > Tc
1.0001 Tc
0.2
~ e–"t
10-2
p-Spinglas
100
102
104
106
T < Tc
108
t
1010
0.0
10-3
Tc
~
10-1
SK-Spinglas
e–"t
101
~ t–!
103
105
t
11
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Edwards-Anderson Ordnungsparameter:
qEA (T ) = lim q(t)
(2.23)
t→∞
qEA(T)
Discontinuous transition
Continuous transition
Tc
T
Phasendiagramm für das p-Spinglas (p = 3)
0.8
T
0.6
Diskontinuierlicher Übergang für h < hc ,
kontinuierlicher Übergang für h > hc .
Für h < hc ist Tc,Replica < Tc,Dynamik
0.4
0.2
0.0
0.0
2.4
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
h 1.4
Modenkopplungstheorie
Übliche Herleitung im Rahmen des Mori-Zwanzig Formalismus (Götze et.al.)
Die resultierenden Bewegungsgleichungen sind formal identisch mit (2.20) und (2.21) im
Gleichgewicht.
Alternative Herleitung:
Anharmonische Entwicklung um Ruhelagen Ri im amorphen Zustand
H = H0 ({R}) +
1
2
X
ij
Φij ({R})ui uj +
1
3!
X
Ψijk ({R})ui uj uk + · · ·
(2.24)
ijk
Beschränkung auf eine (wenige) langsame Moden
ui (t) = ai ({R}) ϕ(t)
Die schnelleren Moden erzeugen renormierte Kopplungskonstanten.
In niedrigster anharmonischer Näherung erhält man (2.20) und (2.21).
(2.25)
12
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Suszeptibilität, dielektrischer Verlust
00
χ (ω) = βω
Z
100
∞
dt q(t) cos(ωt)
"''(!)
(2.26)
0
1.0
c(t)
B
0.8
10-1
0.9 Tc
1.01
0.6
~ t–!
Tc
0.4
~ t !´
1.01 Tc
0.2
1.0001 Tc
~ e–"t
0.0
10-4
10-2
100
102
104
106
108
t
10-2
10-6
1010
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
!
101
Interpretation: Der Phasenübergang in der Modenkopplungstheorie ist ein Effekt anharmonischer Bewegung in ”Käfigen”. Eine Dynamik der Käfigkonfigurationen liefert
zeitabhängige effektive harmonische und anharmonische Koppungskonstanten. Dadurch
werden sonst auftretende Singularitäten regularisiert, i.e. der Phasenübergang wird ausgeschmiert.
2.5
Altern
Numerische Lösung der Bewegungsgleichungen (2.20) und (2.21) mit Anfangsbedingung
T (t) → ∞ für t < 0. Damit sind die Integrationen in (2.21) auf s > 0 beschränkt.
q(t+tw, tw)
1
4.0
0.8
3.0
100
0.6
0.4
0.2
0
10-2
X-1(t+tw,tw)
tw
tw
100
101
102
103
104
105
106
!
2.0
102
103
104
105
106
107
~ t− κ ´
~ t κ´ ´
~ tκ
1.0
100
102
104
106
t
0.0
10-8
10-6
10-4
10-2
100
102
104
t/tw
106
Charakteristische Zeiten:
Wartezeit tw
Plateauzeit:
τp (tw ) ∼ tζw
ζ<1
(2.27)
FDT gilt für t < τp (tw )
i.e. für t < τp (tw ) befindet sich das System im ”Gleichgewicht innerhalb einer ergodischen
Komponente”
Der Abfall bei längeren Zeiten skaliert mit tw oder t−η
w , wobei η ≈ 0.1.
FDT-Verletzung:
r(t, t0 ) = βX(t, t0 ) ∂t∂ 0 q(t, t0 )
(2.28)
13
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3
Quantensysteme
3.1
Liouville Raum und Superoperatoren
Liouville-Raum:
Raum der quantenmechanischen hermiteschen Operatoren
Linearer
Â, B̂, · · · ⇔ A , B , · · · mit Skalarprodukt
AB = Tr{ÂB̂}
(3.1)
Superoperator S: Abbildung S Â = B̂ ⇔ S A = B .
Hamiltonoperator Ĥ(t), statistischer Operator ρ̂(t), Observable Â
Von Neumann Gleichung
∂
ρ̂(t)
∂t
h
i
= − h̄i Ĥ(t), ρ̂(t) ⇔
∂ ρ(t)
∂t
= L(t)ρ(t)
(3.2)
Zeitentwicklungsoperator U(t, t0 )
h Rt
ρ(t) = U(t, t0 )ρ(t0 )
U(t, t0 ) = T e
dsL(s)
t0
i
∂
U(t, t0 )
∂t
= L(t)U(t, t0 )(3.3)
Korrelationsfunktionen mit Anfangsbedingung zur Zeit t0
D
E
Â(t)B̂(t0 ) = TrA U(t, t0 ) B U(t0 , t0 ) ρ̂(t0 ) ⇔ 1 A U(t, t0 ) B U(t0 , t0 )ρ(t0 )
(3.4)
Dabei sind A, B Superoperatoren, die die Messung von  b.z.w. B̂ beschreiben:
1
2
A X ⇔
n
ÂX̂ + X̂ Â
o
(3.5)
Der Hamiltonoperator enthalte äußere Felder in der Form
Ĥ(t) = Ĥ0 −
X
hk (t)Âk
(3.6)
k
Responsefunktionen, Superoperator für ”Wackeln am System” õ
D
E
δ Âk (t)
δhl (t0 )
= TrAk U(t, t0 ) Ãl U(t0 , t0 ) ρ̂(t0 )
(3.7)
mit
Ãk (t) =
∂L(t)
∂hk (t)
n
o
ÃX ⇔ − h̄i ÂX̂ − X̂ Â = − h̄i [Â, X̂]
(3.8)
14
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Spin 21 : Basis
1 ⇔
1 0
0 1
!
x ⇔
0 1
1 0
!
0 −i
i 0
y ⇔
!
z ⇔
1 0
0 −1
!
(3.9)
Superopratoren in der 4-dimensionalen Liouville-Darstellung




σx ⇔ 




σy ⇔ 


σz ⇔ 


1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0













 
 
 
0
1
0
0
0
0
0
 
y ⇔  
1
0
0
1
 
x ⇔  
0
0
1
0
 
1 ⇔  
0
0
 

σ̃ x ⇔
2
h̄





σ̃ y ⇔
2
h̄





σ̃ z ⇔
2
h̄




0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
 
z ⇔  
0
(3.10)
1
0
0 


−1 
0
(3.11)
0
0
0
0
0
1
0
0

(3.12)
0
−1
0
0
0
0
0
0










(3.13)
Statistischer Operator
1
 m (t) 
 x

ρ(t) ⇔ 

 my (t) 
mz (t)


Hamiltonoperator für Spin
Ĥ = − 12 ∆σ̂x − 21 εσ̂z
mα (t) = 1 σα ρ(t)
1
2
(3.14)
b.z.w. Tunnelzustand
(3.15)
Liouville-Operator
L = 21 ∆σ̃ x + 12 εσ̃ z
(3.16)
15
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Teilchen: Wigner Darstellung, z.B. ρ(p, x)
x⇔x
x̃ ⇔ −
∂
∂p
p⇔p
p̃ ⇔
∂
∂x
(3.17)
Hamiltonoperator
Ĥ =
1 2
p
2m
+ V (x)
(3.18)
Liouville-Operator
!l
1
2i X 1 ∂ l V (x)
ih̄
L = − p p̃ −
−
x̃
m
h̄ l=1,3,··· l! ∂xl
2
=−
1
p p̃ − V 0 (x) x̃ + O(h̄2 )
m
(3.19)
Harmonischer Oszillator:
Ĥ =
3.2
1 2
p
2m
+ 21 mω 2 x2 − f x
L = − m1 p p̃ − {mω 2 x − f } x̃
(3.20)
Spin-Boson Problem
Quantenmechanischer Spin (Tunnelsystem) 21 , gekoppelt an ein Bad von Oszillatoren:
Hamiltonoperator
Ĥ = − 12 ∆σ̂x − 21 εσ̂z −
√1
N
X
Λk x̂k σ̂z +
1
2
Xn
k
1 2
p̂
m k
+ mωk2 x̂2k
o
(3.21)
k
Liouvilleoperator
L = 12 ∆σ̃ x + 12 εσ̃ z + √1N
X
n
o
Λk σ z x̃k +xk σ̃ z −
k
Xn
1
p
m k
p̃k + mωk2 xk x̃k
o
(3.22)
k
Zeitentwicklung (T : Zeitordnungsoperator)
h Rt
U(t, t0 ) = T e
ds L(s)
t0
i
(3.23)
Durch Mittelung über die Freiheitsgrade der Badoszillatoren erhält man eine effektive
Zeitentwicklung:
h Rt
U(t, t0 ) = T e
t
s
ds L0 (s)+ 0 ds 0 ds0
t0
t
t
R
R
σ̃ z (s)D(s−s0 )σ̃ z (s0 )+
Rt Rs
ds 0 ds
t0
t
0
σ̃ z (s)F (s−s0 )σ z (s0 )
i
(3.24)
mit
L0 = 12 ∆σ̃ x + 12 εσ̃ z
(3.25)
und
D(t − t0 ) =
1
N
X
Λ2k hxk (t)xk (t0 )iBad =
1
N
k
F (t − t0 ) =
1
N
X
k
X
k
Λ2k
δ hxk (t)iBad
=
δfk (t0 )
1
N
X
k
Λ2k
ωk
Λ2k
ωk
cos(ωk (t − t0 )) n(ωk )
sin(ωk (t − t0 ))
(3.26)
(3.27)
16
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wobei n(ω) = 12 coth( 12 βh̄ω) die mittlere Besetzungszahl eines Oszillators mit Frequenz ωk
ist.
Die effektive Zeitentwicklung enthält damit retardierte Beiträge aufgrund der Kopplung
an das Wärmebad.
Für t βh̄ gilt das ”klassische” FDT
∂
F (t) = −β ∂t
D(t)
3.3
(3.28)
Bloch Gleichungen
Zeitabteitung:
∂
U(t, t0 )
∂t
=T
t
Z
hn
L0 + σ̃ z (t)
= L0 (t)U(t, t0 ) +
t0
t
Z
t0
o
ds D(t − s)σ̃ z (s) + F (t − s)σ z (s)
i
U(t, t0 )
ds M(t, s)U(s, t0 )
(3.29)
Störungsrechnung:
(3.30)
ds M(s)
(3.31)
M(t, t0 ) = σ̃ z U(t, t0 ) D(t − t0 )σ̃ z + F (t − t0 )σ z
Markow Näherung (nur für ε = 0):
∂
U(t, t0 )
∂t
n
o
0
= L0 + M U(t, t )
M=
Z
0
mit
0
 γ m̄

L0 + M = 
 0
0

0
−γ
0
0
0 0
0 0
−γ −Ω
Ω 0





(3.32)
und
Ω = h̄1 ∆
γ = π J( h̄1 ∆) coth( 12 β ∆)
m̄ = tanh( 21 β∆)
(3.33)
wobei J(ω) die gewichtete Zustandsdichte des Bades ist
J(ω) =
1
N
X
k
Λ2k
ωk
δ(ω − ωk )
(3.34)
Die Markow-Näherung gilt für den Fall dass die charakteristische Zeitskala des Bades kurz
ist gegenüber der Zeitskala des betrachteten Spins.
Verbesserte Näherung z.B. NIBA · · ·. Unterschiedliches Verhalten für Ohm’sches, subund super-Ohm’sches Bad · · ·.
17
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3.4
Quantenmechanisches p-Spinglas
Hamiltonoperator, see (2.13) with ϕi → x̂
Ĥ =
1
2m
X
p2i + 12 µ
x2i −
X
i
i
1
3!
X
Jijk xi xj xk −
X
hi xi + {Wärmebad}
(3.35)
i
ijk
Liouville operator
L=−
n
X
X
1 X
pi p̃i − µ
xi x̃i +
Jijk 21 xi xj x̃k −
m i
i
ijk
h̄2
x̃ x̃ x̃
48 i j k
o
+ {Wärmebad}
(3.36)
Einfluß des Wärmebades in Markow Näherung
LDiss. = −γ
X
(3.37)
x̃i pi
i
Korrelations- und Response-Funktionen
q(t, t0 ) = 1 xi U(t, t0 ) xi U(t0 , t0 )ρ(t0 )
r(t, t0 ) = 1 xi U(t, t0 ) x̃i U(t0 , t0 )ρ(t0 )
(3.38)
Selbstkonsistente Bewegungsgleichungen, vergleiche (2.20) und (2.21),
n
∂2
m ∂t
2
n
∂2
m ∂t
2
+
∂
mγ ∂t
+
∂
mγ ∂t
o
0
+ µ r(t, t ) = J
o
0
2
+ µ q(t, t ) = J
+J 2
Z
t0
t
Z
t0
2
Z
ds q(t, s)r(t, s)r(s, t0 )
t
t0
(3.39)
ds q(t, s)r(t, s)q(s, t0 )
n
q(t, s)r(t, s)q(t0 , s) +
−∞
1
2
h
q(t, s)2 −
h̄2
r(t, s)2
4
i
o
r(t0 , s)
(3.40)
Unterschied zu dem klassischen Resultat:
∂2
Oszillationen
1.) Trägheitsterm (auch klassisch möglich): ∼ m ∂t
2
h̄2
2
2.) Quantenkorrektur: ∼ − 4 r(t, s)
Quantenphasenübergang
h
q(t)
Paramagnet
Spinglas
t
Experiment:
Ising-Spingläser in einem transversalen Magnetfeld, z.B. Li Hox Y1−x F4
F I N IS
T