Universität Konstanz

Projektpraktikum
Paul-Fallen
Robin Marzucca, Florian Froning,
Thomas Spieker und Andreas Liehl
SS 2012
Universität Konstanz
1
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
3
2 Grundlagen
2.1 Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Elektrisches Feld . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Multipole . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Paul-Fallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Quadrupolpotential . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Die Bewegungsgleichung . . . . . . . . . .
2.2.3 Näherungslösung der Bewegungsgleichung
2.2.4 Stabilität der Teilchenbahnen . . . . . . .
2.2.5 Abweichungen von der idealen Paul-Falle
2.2.6 Aufbauten und Anwendungen . . . . . . .
2.3 Ausblick: weitere Teilchenfallen . . . . . . . . . .
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3
3
3
5
6
8
8
11
13
15
18
20
21
3 Versuchsvorbereitung
22
3.1 q/m-Bestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Fallversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Der
4.1
4.2
4.3
Versuch
26
Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Weitere Aufbauten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2
1 Einleitung
Im Jahr 1989 erhielt Wolfgang Paul den Nobelpreis für die Entwicklung der Paul-Falle. Mit
dieser ist es möglich, Ionen in einem elektrischen Quadropol-Feld zu fangen. Darüberhinaus
findet die Falle auch Anwendung im Massenspektrometer. In diesem Versuch soll eine PaulFalle aus einfachen Mitteln aufgebaut und das Verhalten von Bärlappsporen, Lycopodium
clavatum, in dieser untersucht werden.
2 Grundlagen
Zunächst wollen wir im Grundlagenteil die für unsere Experimente notwendigen Grundlagen erläutern.
2.1 Elektrostatik
Die Elektrostatik beschreibt das Verhalten von ruhenden, geladenen Teilchen und die daraus resultierenden Phänomene. Man fand experimentell heraus, dass es zwei verschiedene
Arten von Ladungen gibt, Positive und Negative. Dabei stoßen sich gleichnamige Ladungen ab und Unterschiedliche ziehen sich an. Die Kraft der Anziehung bzw. Abstoßung
für zwei Teilchen mit Ladungen q1 und q2 ist durch das nach seinem Entdecker benannte
coulombsche Gesetz gegeben:
F~C =
1
q1 q2
· 2 ~er
4πε0 r
(1)
wobei r der Abstand der beiden Teilchen, ~er der Einheitsverbindungsvektor und ε0 =
As
8, 854 · 10−12 Vm
ist. Es lässt sich leicht nachrechnen, dass z.B. für zwei Elektronen die
Coulomb-Kraft um über 40 Größenordnungen größer als die Gravitationskraft ist.
Im Folgenden wollen wir die Elektrostatik ohne Materie betrachten, d.h. es sollen keine
zusätzlichen Ladungen durch Influenzeffekte auftreten.
2.1.1 Elektrisches Feld
Analog zum Gravitationskraftfeld eines Teilchens induziert ein geladenes Teilchen ebenfalls
ein Kraftfeld, man spricht vom elektrischen Feld. Dieses lässt sich durch die elektrischen
Feldlinien veranschaulichen. Die Form der Feldlinien hängt dabei von der Anzahl bzw.
Größe und Beschaffenheit der Ladungen ab. Gemäß Konvention zeigen die elektrischen
Feldlinien immer von positiven zu negativen Ladungen hin. Abbildung (1) zeigt die elektrischen Feldlinien zweier Punktladungen.
3
Abbildung 1: Auf der Skizze sind die elektrischen Feldlinien, sowie die Äquipotentiallinien
für a) eine positive und b) eine negative Punktladung zu sehen. [Dem09]
Gemäß Definition ist die elektrische Kraft auf ein Teilchen mit Ladung q gegeben durch:
~ r)
F~el = q · E(~
(2)
Aus Gleichung (1) lässt sich so relativ leicht das elektrische Feld für eine Punktladung Q
am Ort ~r0 lesen, es gilt hier:
~ r) = Q · ~r − r~0
E(~
4πε0 |~r − r~0 |3
Aus dem linearen Zusammenhang mit der Ladung Q lässt sich auch das elektrische Feld für
eine räumliche Ladungsdichte % berechnen. Mit dem Superpositionsprinzip geht die Summe
dann in ein Integral über und man erhält die allgemeine Gleichung für ein elektrisches Feld:
~ r) =
E(~
1
4πε0
Z
%(~r)
V
~r − ~r0
0
3 dV
0
|~r − ~r |
(3)
0
−~
r
~ r 1 0 lässt sich das elektrische Feld als Gradientenfeld
Mit Hilfe der Identität |~r~r−~
= −∇
|~
r−~
r|
r 0 |3
ausdrücken. Es gilt dann:
~ r) = −∇Φ(~
~ r)
E(~
(4)
mit dem skalaren elektrischen Potential:
Z
1
%(~r)
Φ(~r) =
dV 0
4πε0 V |~r − ~r0 |
(5)
Daraus folgt auch, dass das elektrostatische Kraftfeld einer Ladung zeitunabhängig bzw.
konservativ ist, d.h. das Linienintegral über ein elektrostatisches Feld ist wegunabhängig.
Führt man Letzteres vom Ort ~r zum Ort ~r0 aus, so beschreibt es die Potentialdifferenz
zwischen den beiden Orten, was man auch als elektrische Spannung U bezeichnet:
Z ~r
~ r0 )d~r0
U := Φ(~r) − Φ(~r0 ) =
E(~
(6)
~
r0
Damit lassen sich Äquipotentialflächen definieren, also Flächen konstanten Potentials. Abbildung (1) zeigt neben den elektrischen Feldlinien der Punktladungen auch die Äquipotentialflächen. Da der Gradient eines Skalarfeldes immer senkrecht auf seiner Niveaumenge
4
steht, folgt aus Gleichung (4), dass die Äquipotentialflächen immer senkrecht zu den elektrischen Feldlinien sind. Weiter hängen die Äquipotentialflächen ebenfalls von der Anzahl
bzw. Form und Beschaffenheit der Ladungen ab.
Die Energie eines Teilchens mit Ladung q welches eine Spannung U durchlaufen hat ist
schließlich gegeben durch:
Wl = q · U
2.1.2 Poisson-Gleichung
Die Berechnung von elektrischen Feldern und Potentialen führt häufig über die PoissonGleichung, eine partielle Differentialgleichung, die wir über eine der Maxwell-Gleichungen
der Elektrostatik erhalten. Es gilt:
~ ·E
~ =%
∇
(7)
ε0
d.h. ein elektrisches Feld wird durch eine räumliche Ladungsdichte % erzeugt.
Setzen wir nun Gleichung (4) in Gleichung (7) ein, so erhalten wir direkt die PoissonGleichung:
%
~ ·E
~ = −∇
~ · ∇Φ
~
∇
=
ε0
%
(8)
⇔
4Φ = −
ε0
Unter Abwesenheit von elektrischen Ladungen, wie z.B. im Vakuum vereinfacht sich die
Poisson-Gleichung zur Laplace-Gleichung und es gilt:
4Φ = 0
(9)
Beispiel Plattenkondensator: Wir wollen nun beispielhaft mit Hilfe der PoissonGleichung das elektrische Feld eines Plattenkondensators mit Plattenabstand d berechnen1 .
Dazu verwenden wir die Näherung, dass das elektrische Feld im Inneren des Kondensators
bei ausreichend großer Fläche der Kondensatorplatten als homogen angenommen werden
kann, d.h. die Feldlinien sind parallel. Dadurch vereinfacht sich das Problem auf eine Dimension und es gilt:
∂2Φ
=0
∂x2
d.h. das elektrische Potential hat die Form:
Φ(x) = a1 · x + a2
Die Konstanten a1 und a2 erhalten wir aus den Randbedingungen. Das Koordinatensystem
sei dabei so gewählt, dass die eine Platte sich bei x = 0 und die andere bei x = d befindet.
Die Randbedingungen lauten dann:
Φ(0) = a2
Φ(d) = a1 · d + a2
1
nach [Dem09]
5
woraus a1 =
Φ(d)−Φ(0)
d
Φ(x) = −
= − Ud resultiert. Das Potential ergibt sich zu
U
· x + Φ(0)
d
woraus direkt das elektrische Feld des Plattenkondensators folgt:
(4)
E =−
U
∂Φ
=
∂x
d
(10)
2.1.3 Multipole
In Abschnitt 2.1.1 haben wir elektrische Monopole in Form von Punktladungen diskutiert.
Wir wollen nun mehrere verschiedene solcher Ladungen in einem System betrachten; man
spricht dann von Multipolen.
Für eine beliebige Ladungsverteilung % kann es sein, dass das Integral im elektrischen
Potential (Gleichung (5)) nicht mehr analytisch lösbar ist. Mit einer Taylorentwicklung
und etwas Rechenaufwand ergibt sich für große Abstände r:
1 1
Φ(~r) =
4πε0 r
Z
V0
|
0
0
dV %(~r )
{z
}
Z
1 1
~r ·
4πε0 r3
+
V0
|
Gesamtladung Q
dV 0~r0 %(~r0 )
{z
}
Dipolmoment p
~
1 1
4πε0 2r5
+
Z
2
dV 0 %(~r0 ) 3 ~r0 · ~r − r02 r2 ± · · ·(11)
V0
wobei der erste Term den Monopolterm und der zweite den Dipolterm beschreibt, welcher
z.B. für zwei Punktladungen mit entgegengesetzten Ladungen +q und −q dominiert, da
dann Q = 0 gilt.
Der dritte Term in Gleichung (11) beschreibt den für uns interessanten Quadrupolterm.
Dieser besteht im Grunde genommen aus je zwei positiven und zwei negativen Ladungsschwerpunkten. Die einfachste Form eines Quadrupols sind dabei vier Punktladungen wobei
die Dipole parallel und und so angeordnet sind, dass eine quadratische Struktur entsteht.
(Abbildung (2)). Der Quardupolterm ist der dominierende Term wenn Q = 0 und P~ = 0
gilt. Zur Berechnung des Quadrupolpotentials formen wir den dritten Summanden noch
etwas um:

Z
V
dV 0 %(~r0 ) 3 ~r0 · ~r
2
− r02 r2
Z
=
0
V
0
=
X
=
X
i,j
dV 0 %(~r0 ) 

X
i,j
Z
xi xj
V0
3xi x0i xj x0j − r02
X
δij xi xj 
i,j
dV 0 %(~r0 ) 3x0i x0j − r02 δij
xi xj Qij
i,j
mit dem Quadrupolmoment Qij =
Tensor zweiter Stufe.
0 %(~
0 ) 3x0 x0 − r 02 δ
dV
r
ij , einem symmetrischen
i j
V0
R
6
Das Quadrupolpotential erhalten wir nach Gleichung (11) durch:
xi xj
1 X
ΦQ (~r) =
Qij 5
8πε0
r
(12)
i,j
Alternativ lässt sich das Quadrupolpotential auch aus der Überlagerung zweier Dipolpo~
~
tentiale an den Orten ~r − d2 und ~r + d2 berechnen. In folgendem Beispiel wollen wir das
Quadrupolpotential einmal anhand des Quadrupoltensors berechnen, was, wie wir später
sehen werden, zumindest anschaulich eine gute Näherung an unsere Paul-Falle darstellt.
Abbildung 2: Die Skizze zeigt a) die Anordnung eines Quadrupols bestehend aus vier
Punktladungen und b) das Potential, sowie dessen Äquipotentiallinien.
[Wik12]
Beispiel Punktladungen: Wir wollen nun beispielhaft den Quadrupoltensor und das
Quadrupolpotential eines Quadrupols, bestehend aus vier Punktladungen (siehe Abbildung
(2)) berechnen. Die räumliche Ladungsdichte ist hier gegeben durch:
a a
a a %(~r) = q · δ(z) · δ x ±
δ y∓
−δ x±
δ y±
2
2
2
2
Es gilt Qii = 0, ebenso wie Q13 = Q23 = 0. Lediglich Q12 = Q21 liefert hier einen Beitrag:
Z a
a a a Q12 = q
δ x±
δ y∓
−δ x±
δ y±
3x0 y 0 − x02 − y 02 dx0 y 0
2
2
2
2
5 2
1 2
= q −2 · a − 2 · a
4
4
= −3qa2
(13)
Damit sieht der Quadrupoltensor wie folgt aus:


0 1 0
Q = −3qa2  1 0 0 
0 0 0
Das Quadrupolpotential für den Quadrupol bestehend aus vier Punktladungen erhalten
wir nun nach Gleichung (12) durch:
ΦPktQ (~r) = −
3qa2 xy
4πε0 r5
7
Die Äquipotentiallinien in der xy-Ebene sind in Abbildung (2b)) geplottet, dessen mathematische Beschreibung man durch Lösen der Gleichung 2 xy2 5/2 = const. erhält2 , was
(x +y )
allerdings keine einfache geometrische Form liefert.
2.2 Paul-Fallen
Eine Paul-Falle ist ein Aufbau, um geladene Teilchen mit Hilfe eines elektrischen Wechselfeldes zu fangen und zu speichern. Der Name stammt von seinem Entwickler Wolfgang
Paul (1913 - 1993), der dafür 1989 auch den Nobelpreis der Physik zugesprochen bekam.
Eine Paul-Falle besteht im Wesentlichen aus mehreren Elektroden, an die ein elektrisches
Wechselfeld angelegt wird. Dabei baut sich im Innern der Falle ein periodisch oszillierendes
Quadrupolfeld auf, welches die geladenen Teilchen, z.B. kleine geladene Sporen bis hin zu
einzelnen Ionen, fokussiert. Die Anordnung der Elektroden ist unter anderem abhängig
von der Anwendung der Paul-Falle; so gibt es völlig unterschiedliche Einsatzgebiete und
Aufbauten (siehe hierzu auch Abschnitt 2.2.5).
2.2.1 Quadrupolpotential
Zunächst einmal wollen wir das Potential für eine ideale, lineare Paul-Falle näher betrachten. Die Falle besteht dabei aus insgesamt drei Elektroden, einem zweischaligen Hyperboloid gleichen Potentials U2(t) und einem Rotationshyperboloid mit dem entgegengesetzten
Potential − U2(t) (siehe auch Abbildung (3)). Die Zeitabhängigkeit dieser Potentiale ergibt sich später aus dem statischen Potential im Innern der Falle. Warum sich bei dieser
Elektrodenanordnung ein Quadrupolfeld aufbaut, kann man sich klarmachen, indem man
den in Abschnitt 2.1.3 betrachteten Quadrupol aus vier Punktladungen um die Achse,
die durch die positiven Punktladungen gegeben ist, rotieren lässt. Von daher läge es auch
nahe, den Quadrupoltensor für die in der Paul-Falle vorherrschende Raumladungsdichte
zu errechnen. Dies wäre jedoch aufgrund der nun räumlichen Ausdehnung der Elektroden
deutlich aufwändiger. Stattdessen kann man sich intuitiv auch überlegen, dass eine Teilchenfokussierung genau dann am besten möglich ist, wenn eine Rückstellkraft F~R für die
Teilchen vorliegt, die proportional zum Abstand r des Teilchens von der Fallenmitte ist,
denn für diesen Fall erhält man eine harmonische Schwingung des Teilchens um den Fallenmittelpunkt. Aus diesem Grund bietet es sich an, das Quadrupolpotential anhand der
Poisson-Gleichung herzuleiten.
Da die Rückstellkraft F~R für die Teilchen gemäß Gleichung (2) proportional zum elek~ ist, d.h. nach Gleichung (4) erhalten wir damit ein Quadrupolpotential
trischen Feld E
welches quadratisch in den Komponenten x, y, und z ist und keine linearen Terme in diesen Koordinaten enthält. Weiter fordern wir, dass die Rückstellkraft für ein Teilchen in
der Fallenmitte identisch null ist, d.h. hier verschwinden auch Potential und Feld. Damit
können wir für das Potential folgenden Ansatz wählen:
ΦPF (x, y, z) = ax2 + by 2 + cz 2
2
(14)
xy
= const. für ein C ∈ R geplottet, um den genauen
(C+x2 +y2 )5/2
Verlauf der Äquipotentiallinien um den Nullpunkt deutlicher sichtbar zu machen. Qualitativ ändert
diese Konstante C jedoch nicht viel.
Tatsächlich wurde hier die Gleichung
8
Abbildung 3: Die Skizze zeigt den Aufbau einer idealen, linearen Paul-Falle und definiert
zugleich die Abstände der Elektroden von der Fallenmitte als r0 und z0 .
Zwischen den Elektroden liegt die Spannung U0 an. [UK00]
Da im Innern der Falle im Idealfall ein Vakuum (bzw. in unserem Aufbau Luft) herrscht,
gilt für die räumliche Ladungsdichte hier % = 0, d.h. die Poisson-Gleichung (Gleichung
(8)) vereinfacht sich zur Laplace-Gleichung (Gleichung (9)) und es gilt:
4ΦPF = 2a + 2b + 2c = 0
(15)
Aufgrund der Rotationssymmetrie um die z-Achse gilt zunächst a = b und somit folgt aus
Gleichung (15):
c = −2a
Damit gilt für das Quadrupolpotential:
ΦPF (x, y, z) = a · x2 + y 2 − 2z 2
bzw. wenn wir mit r den horizontalen Abstand zur z-Achse bezeichnen, lautet das Potential
in Zylinderkoordinaten:
ΦPF (r, z) = a · r2 − 2z 2
(16)
Abbildung (4) zeigt dieses Potential, ein sog. Sattelpotential, für eine positive Konstante
a. Hier sieht man leicht, dass die Bewegung eines Teilchens nur für z = 0 stabil wäre3 , was
praktisch jedoch nahezu nicht realisierbar ist. Alle anderen Startpositionen der Teilchen
würden relativ schnell instabil. Aus diesem Grund liegt es nahe, dass es nicht möglich ist,
Teilchen mit einem statischen Feld zu fangen, d.h. der Faktor a darf keine Konstante sein,
sondern muss zeitabhängig sein. Genauso können wir die Äquipotentiallinien plotten die
wir erhalten durch die Gleichung:
r2 − 2z 2 = const.
3
Die Tatsache, dass das Potential hier nur für z = 0 stabil ist rührt allerdings auch anhand der Tatsache,
dass die Konstante a positiv gewählt wurde. Wäre sie negativ, erhielten wir Stabilität für r = 0.
9
Abbildung 4: Der Plot zeigt das Sattelpotential des Quadrupolfeldes im Innern der Falle.
Da die Konstante a hier noch unbestimmt ist, spielt die Skalierung hier keine
Rolle und wurde deshalb weggelassen.
Diese Gleichung nimmt die gleiche Form an, wie die Gleichung eines Hyperboloids, welche
lautet:
x2 y 2 z 2
+ 2 − 2 = ±1
a2
b
c
wobei das Vorzeichen der rechten Seite davon abhängt, ob es sich um ein einschaliges bzw.
Rotationshyperboloid oder ein zweischaliges Hyperboloid handelt. Der Plot der Äquipotentiallinien ist in Abbildung (5) dargestellt. Man kann hier deutlich die Analogie zu den
Äquipotentiallinien in Abbildung (2) zu erkennen, dessen Quadrupolanordnung näherungsweise die Projektion der Fallenanordnung auf eine Ebene darstellt. Hier wird auch klar,
warum die Elektroden hyperboloidisch geformt sein müssen, nämlich um eben genau das
gewünschte Potential zu erhalten. Um den Faktor a im Potential zu bestimmen betrachten
Abbildung 5: Der Plot zeigt die Äquipotentiallinien des Potentials in einer idealen linearen
Paul-Falle. Da hier die Konstante unbekannt ist, spielt die Skalierung hier
keine Rolle und wurde weggelassen.
10
wir die Randbedingung:
!
ΦPF (r = r0 , z = 0, t) = ar02 =
⇔
a =
U (t)
2
U (t)
2r02
(17)
wobei r0 der in Abbildung (3) definierte horizontale Abstand der Fallenmitte zur Elektrode
in rotationshyperboloidischer Form ist. Weiter müssen wir wie oben bereits diskutiert das
Quadrupolpotential nun zusätzlich zeitabhängig machen.
Aus der zweiten Randbedingung lässt sich noch ein Zusammenhang zwischen r0 und z0
herstellen. Es gilt:
U (t) 2 !
U (t)
2z = −
2
2r02 0
√
2 · z0
⇔
r0 =
ΦPF (r = 0, z = z0 , t) = −
(18)
Zuletzt betrachten wir noch die anliegende Spannung zwischen den Elektroden. Wie bereits
diskutiert muss diese zeitabhängig sein. Um eine stabile Bewegung der Teilchen zu erhalten
bietet sich hier eine periodisch oszillierende Spannung an. Wir setzen daher:
U (t) = U0 + V0 cos(ωt)
mit U0 als zusätzliche Gleichspannung, V0 als Amplitude der Wechselspannung und ω
als Kreisfrequenz Letzterer. Warum wir zusätzlich zur Wechselspannung hier noch eine
Gleichspannung anlegen, werden wir zu späterem Zeitpunkt klären.
Damit lautet nun das Potential in der Paul-Falle:
ΦPF (r, z, t) =
U0 + V0 cos(ωt)
2
2
·
r
−
2z
2r02
(19)
2.2.2 Die Bewegungsgleichung
Nun wollen wir aus dem eben erhaltenen Potential die Bewegungsgleichung für die Teilchen
herleiten. Nach Gleichung (4) erhalten wir das elektrische Feld über den Gradienten des
Potentials. Ebenso gilt nach Gleichung (2) der proportionale Zusammenhang zwischen
elektrischem Feld, wobei für Letztere nach Newton F~ = m~r¨ gilt. Es ist also:
~ PF
m~r¨ = −q · ∇Φ
Damit erhalten wir folgende Bewegungsgleichungen:
q(U0 + V0 cos(ωt))
·x = 0
mr02
q(U0 + V0 cos(ωt))
ÿ +
·y = 0
mr02
2q(U0 + V0 cos(ωt))
z̈ −
·z = 0
mr02
ẍ +
11
Die Bewegungsgleichungen für die x- und y-Komponente sind also identisch, weshalb wir im
Folgenden für diese Komponenten verallgemeinert r schreiben werden. Wir substituieren
nun die Zeit t um eine dimensionslose transformierte Zeit ξ zu erhalten:
ωt = 2ξ
⇔
dt =
2
dξ
ω
(20)
wodurch sich die Differentialgleichungen transformieren zu:
d2 r 4q(U0 + V0 cos(2ξ))
+
·r = 0
dξ 2
mr02 ω 2
d2 z 8q(U0 + V0 cos(2ξ))
−
·z = 0
dξ 2
mr02 ω 2
(21)
(22)
Weiter ersetzen wir die Konstanten in den beiden Gleichungen durch die beiden dimensionslosen Transformationsparameter:
8qU0
mr02 ω 2
4qV0
mr02 ω 2
az = −2ar = −
(23)
qz = −2qr =
(24)
Anschaulich bedeuten diese beiden Parameter das Verhältnis der potentiellen Energie im
2
Gleich- bzw. Wechselspannungsfeld Epo≈ = e · U zur kinetischen Energie Ekin = mv
2 =
mr02 ω 2
2
an. Damit erhalten wir für r- und z-Komponente eine identische Differentialgleichung, die man auch als mathieusche Differentialgleichungen bezeichnet:
d2 u
+ (au − 2qu cos (2ξ)) · u = 0
dξ 2
(25)
Die exakte Lösung dieser Differentialgleichung führt uns sehr weit in die Mathematik rein
und würde deshalb hier zu weit greifen. Wir wollen uns deshalb zunächst die Bewegung der
Teilchen anschauen. Dazu lösen wir die Differentialgleichung numerisch (z.B. mit Matlab).
Entscheidend bei der Lösung der Differentialgleichung ist, dass es stabile und instabile Lösungen gibt. Dabei hängt die Stabilität nicht von den Anfangsbedingungen, sondern nur
von den Parametern au und qu ab. Darauf wollen wir später, in Abschnitt 2.2.4, noch einmal
eingehen. Abbildung (6) zeigt nun beispielhaft den Graph der Lösung der mathieuschen
Differentialgleichung. Dabei wurden in beiden Fällen unterschiedliche Anfangswerte verwendet. Wie bereits erwähnt wirkt sich dies aber nicht auf die Stabilität der Lösungen,
sondern lediglich auf die Amplitude der Oszillationen aus, was ein Blick auf die Skalierung zeigt. Die absoluten Werte der Skalierung sind hier allerdings mit großer Vorsicht zu
genießen, da zum einen die Anfangswerte zunächst ohne Rücksicht auf Größenordnungen
gewählt wurden und zum anderen die Differentialgleichung in Abhängigkeit der transformierten Zeit ξ = ω2 t t gelöst wurde, wir notieren hier lediglich, dass u die Einheit einer
Länge hat und ξ dimensionslos ist. Dies wirkt sich nicht nur auf die Amplitude, sondern
vor allem auch auf die dimensionslose Zeitskala aus, welche eben nun viel größere Werte
im Vergleich zur absoluten Zeit t annimmt.
12
Abbildung 6: Die Abbildung zeigt den Graph der Lösung der mathieuschen Differentialgleichung für qu = 0, 1 und au = 0 und die Anfangsbedingungen a)
u(0) = 0, u̇(0) = 1 und b) u(0) = 1, u̇(0) = 0, d.h. die beiden Lösungen
bilden ein Fundamentalsystem der Lösung.
2.2.3 Näherungslösung der Bewegungsgleichung
Die die mathieusche Differentialgleichung analytisch nicht so einfach möglich ist, wollen
wir zunächst eine Näherungslösung betrachten. Aus Abbildung (6) liegt die Vermutung
nahe, dass es sich bei der Bewegung der Teilchen im Innern der Falle um eine Überlagerung
aus zwei Schwingungen handelt:
• Die Mikrobewegung, welche durch eine hohe Frequenz und eine kleine Amplitude
gekennzeichnet ist
• und die Makrobewegung, dessen Frequenz deutlich niedriger, dafür die Amplitude
jedoch deutlich größer als die der Mikrobewegung ist.
Weiter betrachten wir nun den Fall au qu , d.h. die zusätzliche Gleichspannung beträgt
nahezu null. Die mathieusche Differentialgleichung (Gleichung (25)) vereinfacht sich zu:
d2 u
≈ 2qu cos (2ξ) · u
dξ 2
(26)
Wir wollen zunächst die Lösung für die Mikrobewegung berechnen. Dazu teilen wir die
Bewegung der Teilchen auf, wobei die Mikro- bzw. Makrobewegung jeweils linear additiv
eingehen. Wir schreiben also für u:
u(ξ) = Xu (ξ) + su (ξ)
| {z }
| {z }
M akrobew.
(27)
M ikrobew.
Bei Betrachtung der Mikrobewegung können wir nähern, dass sich während einer Periode
der Mikrobewegung die Oszillation der Makrobewegung kaum verändert hat, d.h. X(ξ) ≈
2
d2 s
const. =: X und d dξu(ξ)
≈ dξ
2
2 . Andererseits können wir aufgrund des geringen Beitrags der
Mikrobewegung s zur Gesamtbewegung u diesen Teil vernachlässigen, d.h. x(ξ) ≈ X(ξ) =
X. Damit erhalten wir als Differentialgleichung für die Mikrobewegung:
d2 s
= 2qu cos (2ξ) X
dξ 2
(28)
13
Da uns jedoch auch die Lösung für die Mikrobewegung in Abhängigkeit der Zeit interessiert,
resubstituieren wir den Parameter ξ mit der in Gleichung (20) gegebenen Vorschrift und
erhalten als Differentialgleichung der Mikrobewegung in Abhängigkeit der Zeit:
d2 s
ω2
=
qu X cos (ωt)
dt2
2
(29)
Die Lösungen der beiden Differentialgleichungen lauten dann:
qu X
cos (2ξ)
2
qu X
su (t) = −
cos (ωt)
2
su (ξ) = −
(30)
(31)
d.h. die Mikrobewegung ist eine harmonische Oszillation mit der Kreisfrequenz der anliegenden Wechselspannung. Weiter sieht man anhand Gleichung (24), dass die Amplitude der
Mikrobewegung reziprok quadratisch mit der jener Wechselspannungsfrequenz ist. Darauf
werden wir später noch einmal eingehen.
Um die Lösung für die Makrobewegung zu erhalten, setzen wir zunächst Gleichungen (27)
und (30) in die mathieusche Differentialgleichung für au qu (Gleichung (26)) ein, wobei
wir nun allerdings die Makrobewegung nicht mehr als zeitunabhängig ansehen können, d.h.
deren Ableitung verschwindet nun nicht mehr. Es ergibt sich:
d2 u
2
2
=
2q
cos
(2ξ)
−
q
cos
(2ξ)
X(ξ)
u
dξ 2
(32)
Um nun die Beschleunigung der Makrobewegung zu erhalten, mitteln wir die Beschleunigung der Gesamtbewegung über eine Mikrobewegung. Damit ergibt sich:
d2 u
d2 X
= 2
2
dξ
dξ
=
=
1
2π
Z
2π
d2 u
dξ
dξ 2
0

Z 2π
Z 2π

1 

2qu cos (2ξ) dξ −
qu2 cos2 (2ξ) dξ 

 · X(ξ)
2π
0
0
|
{z
}
=0
= −
qu2
2
· X(ξ)
(33)
was die Schwingungsgleichung des ungedämpften harmonischen Oszillators ist. Hier müssen
wir wieder die Resubstitution (vgl. Gleichung (20)) vornehmen, um die Makrobewegung
ebenfalls in Abhängigkeit der Zeit zu erhalten. Es ergibt sich schließlich:
⇔
d2 X
q2ω2
=
−
X(t)
dt2
8
X(t) = C1 cos(Ωt) + C2 sin(Ωt)
(34)
wobei C1 und C2 Konstanten sind, die sich aus den Anfangsbedingungen ergeben. Die
Kreisfrequenz Ω der Makrobewegung hängt also mit der Kreisfrequenz ω der Wechselspannung zusammen. Für die r- bzw. z-Komponente lauten dann die Beträge der Kreisfrequenz
14
Ω:
√
qr2 ω
2qV0
=
· =
2 2
mr02 ω
r
√
qz2 ω
2qV0
=
· =2
2 2
mr02 ω
r
Ωr
Ωz
(35)
(36)
d.h. die Frequenz der Makrobewegung ist reziprok proportional zur Frequenz der Mikrobewegung, bzw. des Wechselfeldes.
Diesen Zusammenhang wollen wir auch nochmal in einem Graphen verdeutlichen. Im Vergleich zur Lösung, die in Abbildung (6a) dargestellt ist, hat sich die Frequenz der Wechselspannung in Abbildung (7) halbiert. Es ist deutlich zu sehen, dass die Frequenz der
Makrobewegung nun deutlich größer ist, wobei hier zu beachten sei, dass, wie auch anhand
Gleichungen (35) bzw. (36) zu sehen, nicht der Zusammenhang halbe Wechselspannungsfrequenz gleich doppelte Makrobewegungsfrequenz gilt. Ebenso haben wir diskutiert, dass
die Amplitude der Mikrobewegung reziprok quadratisch zur Wechselspannungsfrequenz ist.
Im Vergleich zu Abbildung (6a) ist die Amplitude der Mikrobewegung in Abbildung (7)
aufgrund der doppelten Frequenz nun deutlich größer4 .
Abbildung 7: Die Abbildung zeigt eine Lösung der mathieuschen Differentialgleichung mit
qu = 0, 4 und au = 0 und den Anfangsbedingungen u(0) = 0, u̇(0) = 1.
2.2.4 Stabilität der Teilchenbahnen
Wie bereits erwähnt besitzt die mathieusche Differentialgleichung stabile und instabile
Lösungen. Dazu wollen wir kurz die Abhängigkeit der Stabilität von den Parametern au
und qu diskutieren. Die exakte Herleitung ist relativ kompliziert und geht tief in die Floquet-Theorie hinein, jedoch wollen wir die Grundzüge hier kurz skizzieren.
Zunächst benötigen wir den Satz von Floquet für die mathieusche Differentialgleichung.
4
Wie bereits in Abbildung (6) sind auch hier die absoluten Werte der Skalierung irrelevant für die physikalische Lösung, da hier die Differentialgleichung in Abhängigkeit der transformierten Zeit gelöst wurde.
Dies gilt auch für alle weiteren Lösungsplots.
15
Dieser besagt, dass die Gleichung immer mindestens eine Lösung u besitzt mit der Eigenschaft:
u(ξ + π) = σu(ξ)
(37)
für ein σ ∈ C, welches insbesondere von den Parametern a und q abhängig ist. Auf den
Beweis wollen wir an dieser Stelle verzichten und verweisen stattdessen auf weiterführende Literatur wie z.B. [Sch12]. Daraus lässt sich aber auch folgern, dass sich die Lösung
schreiben lässt als:
u(ξ) = eiβξ P (ξ)
(38)
wobei P eine π-periodische Funktion und β der charakteristische Exponent der mathieuschen
Differentialgleichung, auf den wir gleich noch einmal zurückkommen wollen ist. Dies lässt
sich leicht beweisen, indem wir σ = eiβπ5 setzen, d.h. β ist ebenfalls abhängig von den
Parameters a und q:
P (ξ + π)
=
e−iβ(ξ+π) u(ξ + π)
(37)
e−iβξ e|−iβπ
{z } σu(ξ)
=
=σ −1
=
e−iβξ u(ξ) = P (ξ)
Man kann sich nun überlegen, für welche Werte des charakteristischen Exponenten die
Lösung der mathieuschen Differentialgleichung stabil bzw. instabil ist. Dazu betrachten
wir das Fundamentalsystem der Lösung der Differentialgleichung. Dieses besteht aus zwei
Funktionen:
u1 (ξ) = eiβξ P (ξ)
u2 (ξ) = u1 (−ξ) = e−iβξ P (−ξ)
Die Lösung der Differentialgleichung erhalten wir dabei aus der Linearkombination von u1
und u2 . Da die Funktion P periodisch ist, hängt die Stabilität also nur von der Exponentialfunktion ab. Da die Lösung eine Linearkombination aus u1 und u2 ist, wird für komplexes
β stets eine der beiden Lösungen instabil, da dort eine reelle Exponentialfunktion mit positivem Exponenten entsteht. Es lässt sich weiter zeigen, dass der charakteristische Exponent
für den Fall dass =(β) 6= 0 stets die Form β = n ± iν mit n ∈ Z und ν ∈ R besitzt, d.h. die
Grenze zwischen stabilen und instabilen Bewegungen bilden die Lösungen u mit β ∈ Z.
Die Software Wolfram Mathematica bietet eine Implementation zur Berechnung des
charakteristischen Exponenten. Damit lassen sich nun die Stabilitätsdiagramme der mathieuschen Differentialgleichung (Abbildung (8)) plotten, wobei wir anhand des Zusammenhangs aus Gleichung (24) die Stabilitätskurven für die r- und z-Komponente plotten
können, die nun eben voneinander abhängig sind. Dabei entstehen Bereiche in denen nur
die r- oder z-Komponente stabil ist, d.h. insgesamt die Teilchenbewegung dort instabil.
Es gibt aber auch kleine Bereiche, in denen die Lösung in alle Raumrichtungen stabil ist.
Einer dieser Bereiche ist ebenfalls in Abbildung (8) dargestellt. Aus diesen Diagrammen
5
Genaugenommen müsste hier der Faktor sigma noch mit einer Konstanten R ∈ R multipliziert werden.
Da die mathieusche Differentialgleichung jedoch linear und homogen ist, lässt sich dieser Faktor auch
in die Funktion u(ξ) verschieben.
16
Abbildung 8: Die Skizze zeigt a) das Stabilitätsdiagramm für die Parameter az und qz , wobei die Stabilitätsbereiche der z-Komponente rot bzw. die der r-Komponente
blau gefärbt sind, und b) den Ausschnitt des Bereichs um az = 0, d.h. U0 = 0
in dem sowohl die Bewegung in z- als auch die in r-Richtung stabil ist. [Bla07]
sehen wir, dass für au = 0 die Grenze zwischen stabiler und instabiler Lösung bei qu ≈ 0, 9
liegt6 . Dies lässt sich wieder anhand einer numerischen Lösung der Differentialgleichung
darstellen. Abbildung (9) zeigt zwei Lösungen, wobei die eine so gerade noch stabil ist und
die andere gerade nicht mehr.
Abbildung 9: Die Abbildung zeigt Lösungen der mathieuschen Differentialgleichung für
au = 0 , die Anfangsbedingungen u(0) = 0, u̇(0) = 1, sowie die Parameter
a) qu = 0, 9 wo die Lösung gerade noch stabil ist und b) qu = 0, 91 wo die
Lösung nicht mehr stabil ist.
6
Etwas genauer liegt dieser Wert bei qu ≈ 0, 908
17
2.2.5 Abweichungen von der idealen Paul-Falle
Bisher haben wir die Bewegung der Teilchen immer unter idealen Bedingungen diskutiert.
Dies ist in der Realität nicht der Fall. Wir wollen deshalb nun noch auf zwei Effekte
eingehen, die den realen Bedingungen entsprechen: die Gravitation und die Luftreibung.
Die Gravitation wirkt nur in z-Richtung, d.h. die Bewegungsgleichung für den Radialteil
(Gleichung (21)) bleibt unverändert. Bei der Gleichung in axialer Richtung wirkt zusätzlich
die konstante Gravitationskraft F~ = m~g , wobei ~g = −g~ez mit g = 9, 81 sm2 . Dadurch
verändert sich die Gleichung der z-Komponente (Gleichung (22)) zu:
d2 z
4g
+ (az − 2qz cos (2ξ)) · z + 2 = 0
2
dξ
ω
Im Vergleich zur mathieuschen Differentialgleichung (Gleichung (25)) ist diese Gleichung
noch schwerer analytisch lösbar, weshalb wir uns wieder auf die qualitative, numerische
Lösung beschränken wollen.
Entscheidend hierbei ist, dass durch die konstante Beschleunigung in z-Richtung die Stabilität der Lösung nicht maßgeblich beeinträchtigt wird. Dies beweist auch Abbildung
(10), welche die Lösung der Differentialgleichung in z-Richtung unter Berücksichtigung der
Erdgravitation zeigt. Dabei ist wieder die Aufteilung der Bewegung in Mikro- und Makrobewegung zu erkennen. Ebenfalls sieht man, dass die Oszillation nicht mehr exakt um die
Fallenmitte, sondern etwas nach unten versetzt stattfindet, was eine logische Konsequenz
aus der konstanten Kraft in z-Richtung ist. Um diesen Effekt sichtbar zu machen müssen
zwar deutlich kleinere Anfangswerte gewählt werden, was dadurch bedingt ist, dass z die
Einheit m hat, d.h. die Verschiebung beträgt nur wenige Zentimeter. Dies ist hier relevant,
da der Effekt in der Praxis durchaus zu sehen ist, wie später noch deutlich wird. Zuletzt
wollen wir noch die Luftreibung berücksichtigen. Da der Radius r und die Geschwindigkeit ~v der Teilchen relativ klein ist, ist hier die Stokes-Reibung zulässig. Diese wirkt
immer entgegengesetzt der Bewegungsrichtung und ist proportional zur Geschwindigkeit
Abbildung 10: Die Abbildung zeigt die Lösung der Bewegungsgleichung der z-Komponente
unter Berücksichtigung der Gravitation. Dabei wurden die Parameter qz =
0, 1 , az = 0, ν = 40 Hz mit ω = 2πν und die Anfangsbedingungen z(0) =
0, 01, ż(0) = 0 verwendet.
18
des Teilchens. Es gilt:
F~R = −6πηr~v
(39)
wobei hier η die Viskosität des Fluids in dem das Teilchen sich befindet ist. Mit dieser zusätzlich wirkenden Kraft erhalten wir für die r- und z-Komponente folgende beiden
Bewegungsgleichungen, wobei wir in der z-Komponente gleich die Erdgravitation berücksichtigen wollen:
0 =
0 =
d2 r
24πηr dr
+ (ar − 2qr cos (2ξ)) · r +
·
dξ 2
mω 2 dξ
d2 z
24πηr dz
4g
+ (az − 2qz cos (2ξ)) · z +
·
+ 2
2
2
dξ
mω
dξ
ω
Auch hier wollen wir uns wieder auf die numerische Lösung beschränken, wodurch sich
letzten Endes die Teilchenbahn auch relativ gut simulieren lässt. Wir nehmen an, die Falle
befinde sich in Luft, d.h. für die Viskosität setzen wir η = ηLuf t = 17, 1 µPas. Weiter
wählen wir notwendige Parameter für den Plot der Lösung:
• ν = 40 Hz, d.h. ω = 2πν = 251, 3
1
s
• m = 10−11 kg
• r = 15 µm
Mit diesen Parametern, welche nebenbei durchaus realen Versuchsbedingungen entsprechen, wie wir später sehen werden, können wir die Bewegungsgleichung lösen und die
Lösungsfunktion plotten. Der Plot ist in Abbildung (11) dargestellt. Wie man physikalisch erwarten würde erhalten wir für die radiale Komponente eine gedämpfte Schwingung,
wobei sich diese wieder in Mikro- und Makrobewegung aufteilen lässt, und für die axiale Komponente ebenfalls eine gedämpfte Schwingung, welche jedoch leicht unterhalb des
Abbildung 11: Die Abbildung zeigt die Lösung der Bewegungsgleichung a) der rKomponente unter Berücksichtigung der Luftreibung und b) der zKomponente unter Berücksichtigung der Luftreibung und Erdgravitation.
Dabei gilt jeweils ar/z = 0 und die Anfangsbedingungen u(0) = 0, 01, u̇(0) =
(24)
0 mit u ∈ {r, z}. Weiter gilt qr = 0, 1 und qz = −2qr = −0, 2, sowie
ar = az = 0.
19
Nullpunkts stattfindet, was durch die Erdgravitation bedingt ist (s.o.). Entscheidend ist
hier wieder, dass die Stabilität der Lösung nicht von der Luftreibung bzw. Gravitation
abhängt. Dies lässt sich auch relativ sehr gut simulieren, indem man die Lösung der rbzw. z-Komponente für qu = 0, 9 und qu = 0, 91 plotten lässt. Für den Fall qu = 0, 9 ist die
Lösung gerade noch stabil, für den anderen Fall nicht mehr. Man erhält qualitativ wieder
die Plots aus Abbildung (9).
Nun lässt sich noch die Teilchenbahn simulieren, indem die Werte für die r- und z-Komponente
zu gleichen Zeiten gegeneinander aufgetragen werden und numerisch zu einer Trajektorie
verbunden werden. Dies zeigt Abbildung (12). Man sieht, dass das Teilchen relativ schnell
in Richtung Mitte der Falle gezwungen wird, wo es leicht unterhalb des Fallenmittelpunktes
mit kleiner Amplitude oszilliert.
Abbildung 12: Die Abbildung zeigt die Trajektorie eines Teilchens mit den Anfangsbedingungen und Parameters aus Abbildung (11).
2.2.6 Aufbauten und Anwendungen
Neben der oben diskutierten idealen linearen Paul-Falle gibt es viele verschiedene Möglichkeiten die Elektroden anzuordnen. Die ideale Paul-Falle ist in der Realität ohnehin
nur ein Modell und praktisch nicht umsetzbar. Wir wollen hier die populärste Bauform,
die lineare Form und zwei wichtige Anwendungen kurz vorstellen.
Da, wie bereits mehrfach erläutert, die Stabilität der Bewegung der Teilchen vom MasseLadungs-Verhältnis Letzterer abhängt, wird die Paul-Falle oft als Massenspektrometer
verwendet. Dabei nimmt man häufig vier lange Stäbe und schießt die geladenen Teilchen
(häufig Ionen) durch die Anordnung. Durch passend gewählte Parameter können nur Teilchen mit dem gewünschten Massen-Ladungs-Verhältnis die Falle durchfliegen. Es ist jedoch
auch möglich, die vier Stäbe in drei Teilstücke zu teilen, und durch Isolatorringe zu trennen, was eine Speicherung der Teilchen im Falleninneren möglich macht. Dies ist insofern
relativ praktisch da die Falle dann zwei offene Enden besitzt und so problemlos “mittels
eines Lasers zur Messung oder Kühlung der Teilchen eingegriffen werden kann, ohne die
20
Abbildung 13: Die Skizze zeigt mögliche Elektrodenanordnungen der linearen Bauform einer Paul-Falle. [Bla07]
Feldgeometrie zu stören“ 7 . Diese Form nennt man auch die lineare Bauform und wird auch
als Quadrupol-Massenspektrometer bezeichnet. Dabei sind allerdings auch andere Elektrodenanordnungen möglich, so können anstatt vier auch sechs Stabelektroden, oder auch
hintereinander geschaltete Ringelektroden verwendet werden. Die drei möglichen Elektrodenanordnungen zeigt Abbildung (13). Eine weitere wichtige Anwendung von Paul-Fallen
sind erste Ansätze zur Realisierung eines Quantencomputers. Dabei wird ebenfalls eine
lineare Bauform der Falle verwendet und so werden einzelne Ionen auf die Symmetrieachse
genau in der Mitte zwischen den Stabelektroden gezwungen. Zusätzlich wird von außen
noch ein statisches Feld angelegt, dass die Ionen die Falle nicht verlassen können. Nun
werden die Ionen mit Hilfe eines Lasers angeregt und zwar so, dass nur zwei mögliche
Zustände existieren, was die Qubits, die Basiszustände |0i und |1i, darstellt. Durch die
Schwingung der Ionen, welche durch die in Abschnitt 2.2.3 diskutierte Mikrobewegung gegeben ist, entsteht dann ein Daten-Bus. Abbildung (14) zeigt den experimentellen Aufbau
zur Realisierung eines solchen Modells.
Abbildung 14: Die Skizze zeigt den Aufbau einer linearen Paul-Falle zur Realisierung des
Grundprinzips eines Quantencomputers. [Sto04]
2.3 Ausblick: weitere Teilchenfallen
Wie man nun erahnen kann, spielt heutzutage die Fokussierung und Speicherung von geladenen - bzw. auch ungeladenen - Teilchen eine zunehmend große Rolle. Es gibt neben
7
aus [Wik12]
21
der Paul-Falle auch noch weitere Möglichkeiten, dies zu realisieren. Wir wollen hier einen
kurzen Ausblick auf andere Verfahren geben.
Sehr verwandt mit der Paul-Falle ist die ebenfalls nach seinem Entdecker benannte Penning-Falle. Sie dient auch zur Speicherung geladener Teilchen. Dabei ist das Prinzip relativ
ähnlich. Die Teilchen werden in einer Elektrodenanordnung gefangen, in der sich mittels
angelegter Spannung ein Quadrupolfeld mit Sattelpotential aufbaut. Der entscheidende
Unterschied dabei ist allerdings, dass anstatt der Wechselspannung eine Gleichspannung
angelegt wird. Das Gleichspannungsfeld allein würde, wie bereits in Abschnitt 2.2.1 erläutert wurde zu einer instabilen Bewegung der Teilchen führen. Von daher wird ein zusätzliches homogenes Magnetfeld angelegt. Die Lorentzkraft, die nun auf die Teilchen
bewegt ist immer entgegengesetzt der elektrostatischen Abbstoßung durch das Sattelpotential. Man kann sich dies anhand Abbildung (4) klarmachen. Ein wesentlicher Vorteil
der Penning-Falle im Vergleich zur Paul-Falle besteht darin, dass eine Penning-Falle
bei gleicher Fallenstärke größer gebaut werden kann, wodurch es zu weniger Wechselwirkung der geladenen Teilchen mit den Elektrodenoberflächen kommt.
Eine weitere, noch moderne Methode, ist die Methode der Laserkühlung. Sie beruht im
Wesentlichen darauf, sehr kleine Teilchen - meist geladene oder ungeladene Atome bzw. Ionen - durch Laserbestrahlung abgebremst werden. Dies geschieht schlicht durch Absorption
der Photonen, die der Laser emittiert. Dabei wird das Teilchen in einen höheren Energiezustand angeregt, aus dem es kurze Zeit später wieder in seinen Grundzustand verfällt. Bei
diesem Prozess emittiert es das absorbierte Photon wieder, entweder in die Einfallsrichtung,
wodurch sich kein Impulsübertrag ergibt, oder in eine zufällige Richtung. Mittelt man nun
alle emittierten Photonen, so ergibt sich ein Impulsübertrag des Photons auf das Teilchen
und es wird so abgebremst. Bestrahlt man die Teilchen in allen drei Dimensionen und von
beiden Seiten entsprechend, ist es so möglich die Teilchen in der Mitte zu fokussieren.
3 Versuchsvorbereitung
Bevor mit dem Aufbau des eigentlichen Versuchs begonnen werden kann, müssen zunächst
einige Informationen über die beobachteten Teilchen gewonnen werden. Wie in Abschnitt
(2.2.4) deutlich wird, können Teilchen nur unter gewissen Voraussetzungen stabil in der
Paul-Falle gefangen werden. Um dieses Voraussetzungen in unserem Aufbau gewährleisten zu können, muss also zunächst das Masse-Ladungs-Verhältnis q/m unserer Teilchen
bestimmt werden. Anhand dieses Verhältnisses können wir dann die Grenzen für Spannung U und Kreisfrequenz ω mit Hilfe von Formel (24) errechnen und somit unseren
Aufbau entsprechend einstellen. Der zweite Vorversuch sollte separat die Masse der Teilchen bestimmen, da dieser Faktor sich als großer Unsicherheitsfaktor herausstellt. Da nie
sichergestellt werden kann, dass man tatsächlich einzelne Teilchen und kein „Bündel“ beobachtet, sollte dieser Versuch mehr Aufschluss bieten.
Die Teilchen, die wir in diesem Versuch benutzen werden, sind Bärlappsporen. Diese sind
besonders gut geeignet, da sie sich elektrostatisch aufladen können und somit in elektrostatischen Felder ähnliche Eigenschaften wie Ionen aufweisen. Auch wenn ihre Größe laut
Literatur8 nur etwa (30 ± 2) µm entspricht, so sind sie doch unter gewissen Voraussetzungen gut zu beobachten. Wie bereits erwähnt, liegt ihr Nachteil jedoch darin, dass es
schwierig ist, einzelne Teilchen zu beobachten, denn aufgrund ihrer Struktur heften sich die
8
de.wikipedia.org/wiki/Bärlappsporen
22
Teilchen leicht aneinander, was dazu führt, dass man unter Umständen geladenen Teilchen
mit einem Vielfachen der Masse einzelner Sporen betrachtet.
Abbildung 15: Versuchsaufbau zu den Vorversuchen. Links: Plattenkondensator, rechts:
Fallversuch
3.1 q/m-Bestimmung
Im ersten Vorversuch zur q/m-Bestimmung wurde ein Aufbau ähnlich dem sog. MilikanVersuch benutzt. Dabei wird mit Hilfe eines Plattenkondensators ein statisches elektrisches
Feld entgegen dem Gravitationsfeld der Erde erzeugt. Da sich Bärlappsporen sich durch
Luftreibung negativ aufladen wird, die Polung entsprechend so gewählt, dass die Teilchen
eine Kraft Fel gegen die Gewichtskraft Fg erfahren. Um die Bärlappsporen in den Kondensator zu bringen, wurde im Versuch eine Pipette benutzt, so dass die Teilchen möglichst
zerstäubt (also einzeln) dem Feld ausgesetzt sind. Als zusätzlicher Effekt werden die Teilchen dadurch beschleunigt, was das Laden durch Luftreibung verstärken soll.
Sind die Teilchen nun im Plattenkondensator, so wird die Spannung nun möglichst so eingestellt, dass die Sporen darin in einen Schwebezustand versetzt werden. Das heißt, es gilt
das Kräftegleichgewicht:
Fg = Fel
q
m
=
(2)
⇔
(10)
mg = qE = q
U
d
g·d
U
(40)
23
In diesem Aufbau hatten die Kondensatorplatten einen Abstand von d = 9.8 ± 0.1 cm.
Während der Durchführung stellte sich heraus, dass es schwierig war, einzelne Teilchen
zu beobachten, da diese nur schwer kontrollierbar waren. Auch die Spannungsquelle ließ
sich nicht exakt genug einstellen um sich auf einzelne Teilchen zu konzentrieren. Stattdessen wurden nun ganze „Wolken“ von Sporen betrachtet und die Spannung so eingestellt,
dass diese sich weder auf noch abbewegten. In diesem Fall konnte man davon sprechen,
dass die Mehrheit der Teilchen sich im Gleichgewicht befanden, was eine zufriedenstellende Näherung ist. Was die Messung weiter erschwerte war die Tatsache, dass die „Wolken“
sich horizontal bewegten, was auf den Impuls durch die Pipette und Luftströmungen innerhalb des Versuchsraums zurückzuführen sind. Dennoch war die Spannung, die wir im
Gleichgewicht messen konnten, in mehreren Versuchen gut zu bestimmen, sodass wir auf
U = 1.6 ± 0.1 kV kamen. Aus bereits erwähnten Gründen musste allerdings der Fehler mit
0.1 kV recht hoch angesetzt werden.
Mit der Erdbeschleunigung g = 9.81 sm2 ergibt sich schließlich folgender Wert:
q
C
= 6.01 ± 0.44 · 10−4
m
kg
Der Fehler dieses Wertes ergibt sich aus der üblichen Fehlerfortpflanzung zu
∂ q ∂ q g
gd
q
m m δ =
δd + δU = δd + 2 δU
∂U m ∂d U
U
(41)
3.2 Fallversuch
Der zweite Vorversuch diente zur genauen Bestimmung der Masse der Bärlappsporen. Im
Fallversuch benutzen wir eine lange gläserne Röhre, in der wir die Fallzeit einzelner Sporen
auf einer vorher abgemessenen Strecke bestimmen konnten. Entgegen der Gewichtskraft
wirkt hier nur die Luftreibung, die aufgrund der Größe und geringen Geschwindigkeit der
Teilchen mit der sog. Stokes-Reibung beschrieben werden kann. Da diese Kraft von der
Geschwindigkeit der Teilchen abhängt, wird diese Kraft immer größer, bis sie schließlich
im Gleichgewicht mit der Gewichtskraft steht. An dieser Stelle gilt dann:
Fg = FStokes
(39)
⇔
6π r η v
g
s 2
δv 2
δr
δm = m
+
v
r
m =
(42)
(43)
Die Geschwindigkeit berechnen wir aus dem Zeit-Weg-Gesetz mit dem Fehler
s 2
s
δt
δs 2
v=
δv = v ·
+
(44)
t
s
t
q Mit dem Ergebnis m
aus dem ersten Vorversuch erhalten wir dann auch die Ladung
exp
der Sporen:
s
q
δm 2
δ(q/m) 2
+
(45)
q=
·m
δq = q ·
m exp
q/m
m
24
Hierfür haben wir die Fehler der Fallstrecke auf δs = 0.2 cm und den der Fallzeit auf
δt = 0.5 s abgeschätzt. Den Durchmesser haben wir wie oben beschrieben mit dem
Literaturwert dSporen = (30 ± 2) µm angenommen sowie die Viskosität der Luft9 mit
η = 17.1 µPa s.
Tabelle (1) zeigt die gemessenen Zeiten auf drei verschiedenen Strecken, sowie die errechneten Massen und die daher resultierenden Ladungen der Teilchen. Anhand dieser Werte
konnten dann der gewichtete Mittelwert der Masse m = (0.86 ± 0.02) · 10−11 kg und der
Ladung Q = (5.24 ± 0.12) · 10−15 C bestimmt werden. Die Ergebnisse stimmen auch gut
mit den Erwartungen aus der Literatur überein.
s [cm]
58.9
58.9
58.9
58.9
58.9
58.9
58.9
58.9
58.9
58.9
35.7
35.7
35.7
35.7
35.7
14.8
14.8
14.8
14.8
14.8
14.8
14.8
14.8
14.8
14.8
t [s]
16.06
15.59
19.50
23.05
39.93
41.67
19.73
12.92
15.11
30.09
12.22
33.91
17.54
16.38
14.38
4.08
7.17
15.15
8.39
7.43
4.23
4.13
4.78
4.44
4.61
3.67
3.78
3.02
2.56
1.48
1.41
2.99
4.56
3.90
1.96
2.92
1.05
2.04
2.18
2.48
3.63
2.06
0.98
1.76
1.99
3.50
3.58
3.10
3.33
3.21
v [ cm
s ]
± 0.11
± 0.12
± 0.08
± 0.06
± 0.02
± 0.02
± 0.08
± 0.18
± 0.13
± 0.03
± 0.12
± 0.02
± 0.06
± 0.07
± 0.09
± 0.45
± 0.15
± 0.03
± 0.11
± 0.14
± 0.42
± 0.44
± 0.33
± 0.38
± 0.35
m [10−11 kg]
1.81 ± 0.13
1.86 ± 0.14
1.49 ± 0.11
1.26 ± 0.09
0.73 ± 0.05
0.70 ± 0.05
1.47 ± 0.11
2.25 ± 0.17
1.92 ± 0.14
0.96 ± 0.07
1.44 ± 0.11
0.52 ± 0.04
1.00 ± 0.07
1.07 ± 0.08
1.22 ± 0.09
1.79 ± 0.25
1.02 ± 0.10
0.48 ± 0.04
0.87 ± 0.08
0.98 ± 0.09
1.72 ± 0.24
1.77 ± 0.25
1.53 ± 0.19
1.64 ± 0.22
1.58 ± 0.20
Q
10.86
11.19
8.94
7.57
4.37
4.19
8.84
13.50
11.54
5.80
8.65
3.12
6.03
6.45
7.35
10.74
6.11
2.89
5.22
5.90
10.36
10.61
9.17
9.87
9.51
[10−15 C]
± 1.05
± 1.09
± 0.85
± 0.72
± 0.41
± 0.39
± 0.84
± 1.35
± 1.13
± 0.54
± 0.87
± 0.29
± 0.58
± 0.63
± 0.72
± 1.65
± 0.71
± 0.29
± 0.58
± 0.68
± 1.56
± 1.62
± 1.28
± 1.44
± 1.36
Tabelle 1: Die Tabelle zeigt die Fallgeschwindigkeiten der Teilchen im Glasrohr mit den
daraus resultierenden Massen und Ladungen der Teilchen. Dabei gilt generell
δt = 0.2 cm und δt = 0.5 s.
Doch auch bei diesem Versuch ergaben sich einige technische Schwierigkeiten. Um die Teilchen besser beobachten zu können wurde eine Lampe benutzt, um die Sporen von einer
Seite anleuchten zu können. Dadurch erhitzte sich die Luft im beleuchteten Abschnitt im
Inneren der Röhre, sodass aufgrund des so entstandenen Auftriebs Messungen ab einem
bestimmten Zeitpunkt nicht mehr möglich waren. Außerdem machte auch hier die Größe
9
de.wikipedia.org/wiki/Viskosität
25
der Sporen einige Schwierigkeiten. Die Reflexion des Lichtes an der Glasröhre führte dazu,
dass man einzelne Teilchen leicht aus den Augen verlor, was die Messung erschwerte. Das
gewichtete Mittel sollte jedoch auch hier eine zufriedenstellende Näherung an die Masse
und Ladung der Teilchen liefern.
Allgemein lässt sich über die Vorversuche sagen, dass die Mittelung am Ende ein angemessenes Ergebnis geliefert hat. Jedoch bleibt die Frage offen, ob tatsächlich die Eigenschaften
einzelner Bärlappsporen untersucht wurden, oder ob es sich hier um mehrere Teilchen
gehandelt hat, was ein Grund für teilweise abweichende Zwischenergebnisse wäre. Im Endeffekt spielt dies für die weitere Versuchsdurchführung jedoch keine Rolle, da Werte für die
Teilchen gesucht wurden, die hier verwendet werden. Später sollten in der Paul-Falle also
Teilchen gefangen werden, die genau diesen Eigenschaften genügen.
4 Der Versuch
4.1 Versuchsaufbau
Abbildung 16: Versuchsaufbau der fertigen Paul-Falle (nicht sichtbar die Stromversorgung
mit Transformator und Verstärker)
Ein großer Teil des Versuchs bestand daraus, eine möglichst ideale Paul-Falle zu konstruieren. Da der Bau von hyperboloidischen Elektroden allerdings sehr aufwändig ist, wurden
in diesem Aufbau stattdessen beschichtete Konduktorkugeln benutzt. Das sollte an dieser Stelle keine großen Auswirkungen auf das elektrische Feld haben, da der Unterschied
zu hyperboloidischen Elektroden nur sehr gering ist. Das gilt vor allem für die Stelle in
26
der Mitte der Ringelektrode, an der die beste Stabilität der Teilchenbewegung erwartet
wird. Als Ringelektrode wurde ein Kupferdraht benutzt, der zu einem Ring mit Radius
r1 = 24.75 mm bzw r2 = 16.5 mm gebogen wurde. Um eine möglichst exakte Messung
der Durchmesser zu erzielen wurden hierfür die Innen- und Außendurchmesser der beiden
Ringe mittels einer Schieblehre gemessen und der Mittelwert bestimmt.
Aus den Vorversuchen wurde klar, dass bei einem solchen Versuchsaufbau eine Wechselspannung von bis zu 10 kV benötigt wird. Da kein Generator für eine solche Größenordnung
zur Verfügung stand, musste der Strom mittels eines selbst gebauten Transformators hochtransformiert werden. Das Eingangssignal kommt hier von einem Sinusgenerator dessen
Signal über einen Verstärker und dann zum Transformator geleitet wird. Der Transformator hat dabei ein Windungsverhältnis von 12000 Windungen, wobei der Strom auf der
Eingangsseite auf drei Drähte aufgeteilt wurde. Die Parallelschaltung des Stroms auf dieser
Seite war notwendig, damit der sehr dünne Draht bei dem angelegten Stromfluss nicht zu
heiß wird.
Zusätzlich zu diesem Aufbau wurde außerdem ein aufgeweiteter (grüner) Laser an das Stativ angebracht, da sich auch hier (wie im Vorversuch) schnell herausstellte, dass die gefangenen Bärlappsporen besser zu beobachten sind, wenn sie im Dunkeln von einer einzelnen
Lichtquelle angeleuchtet werden. Zunächst wurde eine herkömmliche Schreibtischlampe
benutzt, die allerdings nur mäßigen Erfolg brachte, da ein zu großer Teil des Raums ausgeleuchtet wurde. Zur weiteren Beobachtung wurde außerdem eine Kamera angebracht, mit
der Videos und Bilder der gefangenen Sporen gemacht werden konnten. Die Anfälligkeit
der Teilchen auf Luftzirkulation im Raum erforderte außerdem eine weitere Modifikation
des Versuchsaufbaus. Es wurde an die beiden Kugelelektroden eine Folie angebracht, die
das Innere der Falle weitestgehend von Luftströmungen schützen sollte. Nur von der Seite
auf der die Halterungen der Elektroden verlaufen gab es noch die Möglichkeit, die Bärlappsporen in die Falle einzuführen. Dies geschah auch hier wieder mit Hilfe einer Pipette,
so dass die Teilchen möglichst zerstäubt mit der Falle gefangen werden konnten.
Abbildung 17: Gefangene Bärlappsporen in der Paul-Falle
27
4.2 Auswertung
Im Verlaufe des Versuchs sollten vor allem die Stabilitätseigenschaften der Paul-Falle näher untersucht werden. Gemäß Gleichungen (23) und (24) hängt die Stabilität nur vom
Radius der Ringelektronde, dem Ladungs-Masse-Verhältnis der Teilchen, der angelegten
Wechselspannungsfrequenz und der Spannungsamplitude ab. Es wurden demnach neben
dem Radius der Ringelektrode (in Form von zwei verschiedenen Versuchsaufbauten) vor
allem die angelegte Wechselspannung V0 und die angelegte Kreisfrequenz ω variiert und
dabei die Stabilität der Teilchenbewegung beobachtet. Da in diesem Versuch keine zusätzliche Gleichspannung U0 angelegt wurde, reduziert sich die Stabilität der Falle auf Gleichung
(24) mit dem Stabilitätsparameter qz . Der Wert von qz darf an dieser Stelle wie in Abbildung (8) und (9) veranschaulicht nur einen Wert zwischen 0 und ∼ 0.9 annehmen, damit
die Teilchen in der Falle stabil gefangen werden können. Zur Veranschaulichung dieser
Grenzen wurde Gleichung (24) zu einer Funktion V0 (ω) umgeformt. Es gilt:
V0 (ω) =
qz · m · r02 2
·ω
4·q
(46)
Laut Theorie kann für die Obergrenze des Stabilitätsbereichs also nun qz = 0.9 gesetzt
werden, was im Graphen eine parabelförmige Linie ergibt (blaue Kurve in Abbildungen (18)
und (20)). Es ist also nun zu erwarten, dass alle Punkte unterhalb dieser Linie Einstellungen
sind, bei denen Bärlappsporen stabil in der Paul-Falle gefangen werden können. Abbildung
Abbildung 18: Die Abbildung zeigt die beobachteten, gefangenen Teilchen in der PaulFalle bei unterschiedlichen Frequenzen und Spannungen. Dabei bildet die
blaue Kurve die obere Grenze des Stabilitätsbereichs und die rote die untere Grenze, d.h. theoretisch sollten alle Teilchen mit Messdaten im gelben
Bereich stabil sein. Die grauen Kurven stellen die Stabilitätsgrenzen dar,
wenn man von einem halbierten Ladungs-Masse-Verhältnis ausgeht.
28
(18) zeigt, dass sich tatsächlich ein großer Teil der Messwerte in der Nähe der Obergrenze
befindet. Jedoch gibt es auch noch einige Punkte, die außerhalb dieses Bereiches liegen,
die in unseren Versuchsreihen als stabil beobachtet wurden. Auf mögliche Erklärungen für
diese Beobachtung soll in einem späteren Abschnitt näher eingegangen werden. Es findet
sich außerdem, dass es einen Bereich für kleine Spannungen und große Frequenzen, also
für kleine qz gibt, in dem die Teilchen nicht mehr stabil in der Falle gefangen werden
können. Das deutet darauf hin, dass es auch eine Untergrenze geben muss. In Abbildung
(18) zeigt sich, dass eine Parabel nach Gleichung (46) mit einem Wert von qz = 0.2 eine
zufriedenstellende Untergrenze liefern würde (rote Kurve in Abbildungen (18) und (20)).
Diese Linie wurde aufgrund dessen in die Graphik mit aufgenommen.
Eine (zumindest teilweise) Erklärung für die Boabachtungen liefert die reale Paul-Falle,
denn hier wurde von eine Idealisierung ausgegangen, die in der Praxis nicht umzusetzen
ist, wie bereits in Abschnitt 2.2.5 erläutert wurde. In der Theorie
• wird die Gravitation vernachlässigt, obwohl keine Spannung zur z-Kompensation
angelegt wurde,
• ist das Ladungs-Masse-Verhältnis der gefangenen Teilchen immer exakt das gleiche,
• ist der Begriff der Stabilität exakt definiert und es gibt einen klaren Zeitpunkt, an
dem die Falle nicht mehr stabil ist,
• gibt es innerhalb des elektrischen Feldes keine Inhomogenitäten und
• sind alle gefangenen Teichen klar erkennbar und in der Falle gut zu beobachten.
Zu diesen Punkten soll im Folgenden Stellung genommen werden:
Wenn die Gravitation vernachlässigt wird, obwohl für keine z-Kompensation gesorgt wird,
so bedeutet das, dass qz nach Abbildung (8) bis auf 0 gehen kann und die Teilchen innerhalb dieser Falle immernoch stabil sind. Das ist in der Realität nicht der Fall. Hier sorgt
die Gravitationskraft dafür, dass das Teilchen in negativer z-Richtung gezwungen wird
und dort in einem stabilen Zustand bleibt (siehe Abbildungen (10) und (11)). Je kleiner
dabei qz desto niedriger wäre als auch der stabile Punkt des Teilchens. Da wir hier aber
eine Paul-Falle endlicher Größe haben, würde das Teilchen irgendwann gegen die untere
Elektrode stoßen wurde um sich dort zu entladen. Abbildung (19) zeigt hierbei die Trajektorie eines Teilchens im Potential mit qz = 0.3 was der für unseren Versuch theoretisch
niedrigste Wert ist, da die untere Kugelelektrode nur ca. 1.7 cm unterhalb der Ringelektode angebracht ist. Im Gegensatz dazu liefert bereits Abbildung (12) eine Trajektorie
mit qz = 0.2 wobei gut zu sehen ist, dass das Teilchen sich an einem niedrigeren Punkt
„einpendelt“. Dies zeigt also nun, dass es zwar eine untere Grenze geben muss, liefert aber
keine Erklärung dafür, warum bei den Messergebnissen trotzdem Teilchen mit kleinerem
qz zu finden sind. Außerdem erklärt es nicht warum alle beobachteten Teilchen sich in der
Mitte oder nur minimal unterhalb der Ringelektrode befanden und kein einziges Teilchen
unterhalb dieser (z.B. nahe der unteren Elektrode) zu beobachten war.
Ein weiterer Unsicherheitsfaktor ist das Ladungs-Masse-Verhältnis der Teilchen. Schon
im Vorversuch war zu beobachten, dass man zwar einzelne Teilchen beobachten konnte,
jedoch musste auch da ein Mittel aus den gemessenen Werten gebildet werden. Das zeigt
also, dass zwei verschiedene beobachtete Teilchen keineswegs die gleiche Masse oder Ladung haben müssen. Es führt außerdem dazu, dass sich nicht bestimmen lässt, was für ein
Teilchen man gerade in der Falle gefangen hat. Es bleibt immer eine kleine Unsicherheit,
ob es sich im eine einzelne Spore oder eine ganze „Wolke“ handelt und wie stark sich das
29
Abbildung 19: Die Abbildung zeigt die Teilchenbahn einer Bärlappspore im Quadrupolfeld
mit qz = 0.3
Teilchen effektiv an der Luft geladen hat. Abbildung (18) zeigt, dass, wenn man davon
ausgeht, dass die beobachteten Teilchen die doppelte erwartete Masse hatten10 , die Messergebnisse besser erklärt werden könnten. Aus diesem Grund wurde auch diese Grenze in
die Abbildung mit aufgenommen (graue Kurven in Abbildungen (18) und (20)). Die anderen bisher nicht zu erklärenden stabilen und instabilen Punkte können ebenfalls (teilweise)
mit dem Ladungs-Masse-Verhältnis erklärt werden, denn Teilchen, die um ein Vielfaches
schwerer oder leichter sind, führen dazu, dass sie bei anderen Einstellungen stabil oder
instabil sind.
Das wirft allerdings auch die nächste Frage auf, denn es ist nicht eindeutig definiert, wann
die Einstellung stabil ist und wann nicht mehr. Es wäre zum Beispiel möglich, die Falle nicht mehr als stabil zu bezeichnen, obwohl sich immernoch einzelne Teilchen in der
Falle befinden. In diesem Versuch wurde genau diese Interpretation gewählt. Wenn hier
eine große Anzahl von Teilchen in der Falle gefangen wurden, so wird von einem stabilen
Zustand gesprochen, doch sobald bei Änderung der Parameter ein Großteil der Teilchen
aus der Falle gefallen sind, so wird dies als instabil bezeichnet. Das entspricht der Beobachtung der Teilchen aus den Vorversuchen, denn auch da wurde eine Mittelung für alle
Bärlappsporen gesucht, sodass man nun auch davon ausgehen muss, dass wenn der größte
Teil der Teilchen nicht mehr in der Fall gefangen bleibt, so ist die „Durchschnittsspore“
nicht stabil.
Die wahrscheinlich größte Abweichung von der idealen Paul-Falle liefert allerdings der
Versuchsaufbau selbst. Alle Teile, die im Aufbau benutzt wurde sind in gewissem Maße
fehlerbehaftet, so dass das entstandene Quadrupolfeld einige Stellen hat, an denen das Feld
die Teilchen nicht so reagieren, wie theoretisch zu erwarten wäre. Den größten Ausschlag
bildet dabei die Ringelektrode, die vor allem in z-Richtung nicht die Homogenität der hy10
Alternativ kann man hier auch von der halben Ladung oder allgemein einem halbierten Ladungs-MasseVerhältnis ausgehen.
30
perboloidisch geformten theoretischen Ringelektrode wie in Abbildung (3) liefert. Schon
bei kleinen Abweichungen in z-Richtung weicht das elektrische Feld vom theoretischen
Feld ab und so fallen die Teilchen sofort heraus. Das liefert auch die Erklärung für das
Nichtauffinden von stabilen Teilchen in der Nähe der Elektrode, denn hier ist eine stabile
Lage praktisch unmöglich zu finden.
Eine weitere Schwierigkeit bietet die zuverlässige Beobachtung der Teilchen in der Falle.
Zwar lässt sich die Sichtbarkeit der Teilchen zum Beispiel durch einen Laser verbessern,
doch auch hier muss ein Kompromiss gefunden werden zwischen einem möglichst groß ausgeleuchteten Bereich im Ring und einer möglichst kleinen Lichtquelle, um so wenig wie
möglich vom umliegenden Raum auszuleuchten. So kommt es zum Beispiel vor, dass ein
Teilchen sich in den Schatten des Lasers bewegt um kurz darauf wieder aufzutauchen. Da
sich bei den meisten Messungen viele Teilchen in der Falle befunden haben, von denen sich
einige im Schattenbereich aufhalten, kann man dann jedoch nicht mehr mit Gewissheit
sagen, ob es sich um das zuvor beobachtete Teilchen handelt.
Diese ganzen Abweichungen sorgen dafür, dass eine quantitative Auswertung des Versuchs nur bedingt möglich ist. Durch Zusammenspiel und/oder Überlagerung dieser Fehler
lassen sich fast alle Beobachtungen erklären, jedoch sorgt die große Unsicherheit in den
Messungen dafür, dass man höchstens eine Tendenz in den Messungen ausmachen kann.
Im zweiten Teil des Experiments wurde dann die zweite Ringelektrode mit Radius r2 = 16.5
mm eingesetzt. Die daraufhin durchgeführten Messungen lieferten die gleichen Beobachtungen wie bei der ersten Versuchsreihe, wie Abbildung (20) verdeutlicht.
Abbildung 20: Die Abbildung zeigt die beobachteten, gefangenen Teilchen in der PaulFalle bei unterschiedlichen Frequenzen und Spannungen. Dabei bildet die
blaue Kurve die obere Grenze des Stabilitätsbereichs und die rote die untere Grenze, d.h. theoretisch sollten alle Teilchen mit Messdaten im gelben
Bereich stabil sein. Die grauen Kurven stellen die Stabilitätsgrenzen dar,
wenn man von einem halbierten Ladungs-Masse-Verhältnis ausgeht.
31
Einzig die Untergrenze hat sich hier ein wenig geändert, dergestalt, dass nun anstatt
qz = 0, 2 ein Wert von qz = 0, 25 verändert wurde. Dies ist allerdings dadurch zu erklären,
dass der Abstand der Kugelelektroden aufgrund des kleineren Ringradius’ ebenfalls kleiner
geworden ist. Somit muss der Wert von qz größer sein als zuvor, damit der Stabilitätspunkt
nicht so nahe an die untere Kugelelektrode heran rutscht. Auch hier entspricht der theoretische Wert nicht dem in der Auswertung bestimmten, doch die Abweichungen lassen sich
analog zur ersten Versuchsreihe erklären.
Abschließend lässt sich sagen, dass es uns gelungen ist Teilchen wiederholt zu fangen und
deren Bewegung innerhalb der Falle zu beobachten. Dabei zeigte sich vor allem eine ausgeprägte Oszillation in z-Richtung, die der Mikrobewegung wie in Abschnitt 2.2.3 beschrieben, entspricht. Diese ist allerdings nur beobachtbar, da die kleine Amplitude durch die
Gravitation verstärkt wird. Da die Mikrobewegung in r-Richtung nicht verstärkt wird,
konnte sie wie erwartet nicht beobachtet werden. Zur Makrobewegung lässt sich sagen,
dass der Luftwiderstand zu einer starken Dämpfung führt, wodurch die Oszillation rasch
abklingt und daher nicht zu beobachten ist. Hierbei ist anzumerken, dass die theoretische
Makrobewegung größer gewesen wäre als der Versuchsaufbau erlaubt hätte.
Außerdem ließen sich einige Änderungen der Parameter realisieren ohne die Stabilität der
Teilchen zu gefährden, trotz dem wir die in der Theorie berechneten Stabilitätsgrenzen
nicht genau nachweisen konnten. Letztlich fehlte dazu die Genauigkeit mit der die Messungen durchgeführt werden konnten, sowie der optimale Aufbau. Um die Grenzen letztlich
besser nachzuweisen müssten zudem einzelnen Bereiche in unserem Messdiagramm systematisch “vermessen“ werden. Durch einen verbesserten Versuchsaufbau ließen sich zudem
die einzelnen Auswirkungen der oben genannten Fehlerquellen näher untersuchen, sodass
man bestimmte Abweichungen einwandfrei einzelnen Fehlerquellen zuordnen könnte.
4.3 Weitere Aufbauten
Nachdem wir die Paul-Falle aus einfachsten Mitteln aufgebaut hatten und die Stabilität
untersucht hatten, haben wir uns am Ende noch überlegt, was für Dinge man noch als
Ringelektrode und Kugelelektrode benutzen könnte. Schließlich haben wir uns dafür entschieden zunächst die Ringelektrode, die zuvor ja nur aus einem gebogenen Draht bestand
durch eine Büroklammer zu ersetzen. Hier ist es uns nur schwerlich gelungen, Teilchen zu
fangen. Nach einigen Versuchen ist es zwar gelungen ein paar wenige Teilchen zu fangen,
jedoch waren sie deutlich schwerer zu beobachten und zu fangen wir bei der Ringelektrode
zuvor. Als nächstes haben wir die Ringelektrode durch einen Rührstab eines handelsüblichen Küchen-Handrührgerätes ersetzt. Es hat sich gezeigt, dass auch mit diesem Aufbau
sehr einfach Teilchen zu fangen sind, die sich auch sehr stabil innerhalb des Rührstabes befinden. Allerdings kann man hier nur qualitative Betrachtungen machen, denn die nun noch
sehr viel stärker gestörte Symmetrie bzw. größere Abweichung von der idealen Paul-Falle
lässt kaum noch einfache Berechnungen zu. Als Letztes haben wir zusätzlich zu dem Rührgerät die Kugelelektroden durch Löffel ersetzt. Auch hier ist es uns gelungen kurzzeitig
Teilchen zu fangen. Da wir aber keine Schutzfolie mehr anbringen konnten um den Aufbau
vor Luftbewegungen zu schützen, konnten die Teilchen schnell wieder durch thermische
Einwirkung aus der Falle emittieren.
32
Literatur
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[Dem09] Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 2: Elektrizität und Optik, 5. Auflage,
Springer-Verlag, 2009
[Nol07] Nolting, Wolfgang: Grundlagen der theoretischen Physik 3: Elektrodynamik, 8. Auflage, Springer-Verlag, 2007
[UK00] Versuchsanleitung Paul-Falle, Universität Kassel
[Bla07] Blaum, Klaus; Wendt, Klaus: Skript zur Vorlesung: Massenspektrometrie und Teilchenfallen, Johannes-Gutenberg-Universität Mainz, WS 07/08
[UG09] Versuchsanleitung Paul-Falle und Flugzeit-Massenspektrometrie, Ernst-MoritzArndt-Universität Greifswald, 2009
[Dör03] Döring, Bernhard; Fritz, Peter: Staub im Käfig - das Modell einer Paul-Falle,
2003
[Wik12] Wikipedia - freie Enzyklopädie, Artikel: Paul-Falle, Hyperboloid, ...
[Sto04] Stolze, Joachim; Suter, Dieter: Quanten computing: a short course from theory to
experiment, Wiley-VCH-Verlag, 2004
[Pil06] Piltz, Christian: Quantenmechanik in einer Paul-Falle, Seminarvortrag, 2006
[Sch12] Schnizer, Bernhard: Skript zur Vorlesung: Analytische Methoden der Theoretischen
Physik, TU Graz, 2012
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Feld- und Äquipotentiallinien für eine Punktladung . . . . . . . . . . . . . .
Quadrupol aus vier Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufbau einer idealen linearen Paul-Falle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sattelpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Äquipotentiallinien in einer idealen linearen Paul-Falle . . . . . . . . . . . .
Lösung der mathieuschen Differentialgleichung für qu = 0, 1 und au = 0 . .
Lösung der mathieuschen Differentialgleichung mit qu = 0, 4 und au = 0 . .
Stabilitätsdiagramme der Teilchenbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lösungen der mathieuschen Differentialgleichung - Grenze der Stabilität . .
Lösung der Bewegungsgleichung unter Berücksichtigung der Gravitation . .
Lösung der Bewegungsgleichung unter Berücksichtigung der Luftreibung
und Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trajektorie eines Teilchens in der Paul-Falle . . . . . . . . . . . . . . . . .
mögliche Elektrodenanordnungen der linearen Bauform einer Paul-Falle . .
lineare Paul-Falle zur möglichen Realisierung eines Quantencomputers . . .
Aufbau der Vorversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
7
9
10
10
13
15
17
17
18
19
20
21
21
23
26
17
18
19
20
Gefangene Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Auswertung der ersten Messreihe (r1 = 24.75mm) . . . .
Trajektorie eines Teilchen in der Paul-Falle mit qz = 0.3
Auswertung der zweiten Messreihe (r2 = 16.5mm) . . . .
.
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28
30
31
Tabellenverzeichnis
1
Auswertung des Fallversuchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
34