Konkretes Beispiel mit Lösungsschritten

Konkretes Beispiel mit Lösungsschritten
(Bearbeitet von Bernhard Oberascher und
Susanne Rainer, Jänner 2004)
Erläuterungen zu den Lösungsschritten und
mathematische Kompetenzen
Aufgabenstellung:
Ziel ist es, jene Zahlenpaare (x/y) d.h. Punkte
P/x/y) zu finden, welche beim Einsetzen in beide
Gleichungen eine wahre Aussage ergeben.
Da es sich um 2 lineare Gleichungen handelt,
repräsentiert jede Gleichung eine Gerade. Die
Lösung besteht somit aus jenen Punkten, welche
auf beiden Geraden liegen, sozusagen den
Schnittpunkten der beiden Geraden !
Folglich gibt es 3 mögliche Lösungsfälle:
Löse das lineare Gleichungssystem
I: 2x + 3y = 3
II: 2x – y = 7
graphisch.
•
Die beiden geraden schneiden sich in einem
Schnittpunkt:
Dann besteht die Lösungsmenge aus genau
einem Zahlenpaar (x/y), wobei x der xKoordinate des Schnittpunkts entspricht und y
der y-Koordinate: L = {(x/y)}.
•
Die beiden Geraden verlaufen parallel:
Sie haben dann keinen Schnittpunkt und die
Lösungsmenge ist leer: L={}.
•
Die beiden Geraden sind identisch oder
zusammenfallend:
die Geraden haben dann unendlich viele
Punkte gemeinsam und L umfasst somit
unendlich viele Zahlenpaare, eben alle Punkte,
welche auf der in Wirklichkeit ja nur einen
Geraden liegen:
L=g!
Die Sonderfälle „Identisch“ und „Parallel“ lassen
sich ausschließen, da die Gleichung II kein
Vielfaches der Gleichung I ist (auch nicht
bezüglich der linken Seiten).
Mathematische Kompetenzen:
Die Lösung eines Gleichungssystems grafisch
interpretieren können;
Argumentieren können über mögliche
Lagebeziehungen zwischen 2 Geraden;
I: 2x + 3y = 3
3y = -2x + 3
y=
also :
−2
k=
3
−2
x +1
3
und
d=1;
| - 2x
| : (-3)
Um das Gleichungssystem lösen zu können, muss
man also nur die den Gleichungen entsprechenden
Geraden zeichnen, ihre gegenseitige Lage
studieren und gegebenenfalls die Koordinaten ihres
Schnittpunktes ermitteln.
Um nun die durch die jeweilige Gleichung
repräsentierte Gerade zeichnen zu können, wählen
wir folgenden Weg: Zuerst wandeln wir die
Gerade von der vorliegenden Normalform in die
Hauptform
y = k⋅x + d
um. Dazu müssen wir die jeweilige Gleichung
lediglich mit Hilfe geeigneter Äquivalenz Umformungen so umformen, dass y alleine auf
einer Seite steht. Haben wir schließlich die
Gleichung in diese explizite Form gebracht, lesen
wir sowohl das d (Abschnitt auf der y-Achse) als
auch das k (Steigung der Geraden) ab. Mit Hilfe
dieser beiden Zahlenwerte können wir die Gerade
dann leicht zeichnen:
• d gibt an, wo die Gerade die y-Achse
schneidet und
• k legt die Steigung bzw. Richtung der
Geraden fest. Dabei haben wir uns gemerkt:
denkt man sich k als Bruch, dann gibt der
Nenner die waagrechte Seite und der Zähler
die senkrechte Seite des sogenannten
Steigungsdreieck an ! Ist etwa k =
−2
,
3
dann bedeutet das, dass man „von d weg“
drei nach rechts und dann zwei nach unten
gehen muss, um wieder zu einem Punkt der
Geraden zu gelangen !
Mathematische Kompetenzen:
Eine Gerade von der Normalvektorform in die
Hauptform umwandeln können;
Eine Gerade in der Hauptform zeichnen können;
Wissen was d und k von der Hauptform einer
Geraden bedeuten ;
II : 2x – y = 7
-y = -2x + 7
y = 2x – 7
Analog verfahren wir bei der zweiten Geraden.
also : k = 2
und d = -7 ⇒
Man sieht auch hier, dass die beiden Geraden nicht
parallel sind, weil sie nicht das gleiche k haben.
Mathematische Kompetenzen:
Wissen dass zwei Geraden zueinander parallel
verlaufen, wenn sie die gleiche Steigung k haben;
Zeichnet man nun beide Geraden in dasselbe
Koordinatensystem, kann man die Koordinaten des
Schnittpunktes aus der Skizze ablesen und kennt
somit die Lösung des Gleichungssystems.
Im gegebenen Beispiel schneiden sich die beiden
Geraden offensichtlich im Punkt S(3/-1).
Somit ist klar, dass die Lösung des
Gleichungssystems folgenderweise lautet:
x=3
y = -1
Mathematische Kompetenzen:
Den Schnittpunk zweier Geraden anhand einer
Skizze identifizieren können;
Die Koordinaten eines Punktes ablesen können;
Die Koordinaten eines Schnittpunktes mit der
Lösung eines Gleichungssystems in Beziehung
bringen können;
I : 2x + 3y = 3
2 · 3 + 3 · (--1) = 3
6 -3 =3
3 = 3 w.A. !
Sinnvoll ist es, noch eine Probe zu machen. Man
setzt dazu das Zahlenpaar (= Schnittpunkt) in die
zwei Gleichungen des Gleichungssystems ein. Im
Falle einer richtigen Lösung sollte man auf beiden
Seiten der Gleichung den gleichen Zahlenwert,
also eine wahre Aussage erhalten !
II : 2x – y = 7
2 · 3 – (-1) = 7
6+1=7
7 = 7 w.A. !
Konkret erhält man beim Einsetzen in die
Gleichung I die wahre Aussage: 3 = 3 und beim
Einsetzen in die Gleichung II die ebenfalls wahre
Aussage: 7 = 7;
Probe:
Mathematische Kompetenzen:
Die Probe für die gefundene Lösung eines
Gleichungssystems machen können;