Aufgabenblatt 6 zur Spieltheorie SS 2017

Aufgabenblatt 6 zur Spieltheorie SS 2017
Aufgabe 6.1: Betrachten Sie das folgende extensive Spiel zwischen Spieler 1 und 2. Zunächst
wählt Spieler 1 zwischen `, m und r. Wenn Spieler 1 ` gespielt hat, kann Spieler 2 den Zug
von Spieler 1 beobachten, aber Spieler 2 kann nicht unterscheiden, ob Spieler 1 m oder r
gespielt hat. Nach dem Zug von Spieler 1, wählt Spieler 2 zwischen a und b.
Die Auszahlungen sind wie folgt:
u1 (`, a) = 3, u1 (`, b) = 2, u1 (m, a) = 1, u1 (m, b) = 1, u1 (r, a) = 2, u1 (r, b) = 2;
u2 (`, a) = 2, u2 (`, b) = 1, u2 (m, a) = 2, u2 (m, b) = 4, u2 (r, a) = 1, u2 (r, b) = 4.
Zeichnen Sie den Spielbaum und bestimmen Sie die Normalform sowie alle Nash-Gleichgewichte
in reinen Strategien (geben Sie auch den zugehörigen Spielpfad an).
Aufgabe 6.2: Betrachten Sie folgendes 2-Personen-Spiel:
Zunächst wählt SP1 zwischen den Aktionen f1 (fortsetzen) und z1 (zugreifen);
das Spiel endet, wenn SP1 z1 wählt; ansonsten ist SP2 am Zug, der zwischen f2 u. z2 wählt;
das Spiel endet, wenn SP2 z2 wählt; ansonsten ist SP1 am Zug, der zwischen f3 u. z3 wählt;
das Spiel endet, wenn SP1 z3 wählt; ansonsten ist SP2 am Zug, der zwischen f4 u. z4 wählt
und das Spiel endet.
Anmerkung: Obwohl die Aktionen z(ugreifen) bzw. f (fortsetzen) auf jeder Stufe für jeden Spieler die gleichen sind, sind sie hier mit der Stufennummer versehen. Das soll die
Interpretation der Strategien der Spieler erleichtern (man muss das nicht machen).
a) Wie sieht der Spielbaum eines solchen Spiels aus? Handelt es sich um ein Spiel mit
vollkommener oder unvollkommener Information?
b) Wie viele Endknoten hat das Spiel? Wieviele Info-Mengen?
c) Wie viele und welche reine Strategien hat SP1? Wie lautet die Antwort für SP2?
d) Es sei von folgenden Auszahlungen (Nutzen) an den Endknoten ausgegangen:
Wenn SP1 z1 (z auf Stufe 1) wählt: (1,1);
Wenn SP1 z3 (z auf Stufe 3) wählt: (2,2)
Wenn SP2 z2 (z auf Stufe 2) wählt: (0,3)
Wenn SP2 z3 (z auf Stufe 4) wählt: (1,4)
Wenn SP2 f4 (f auf Stufe 4) wählt: (3,3)
Anmerkung: Das modelliert folgendes Spiel über vier Stufen = zwei Runden:
Ein Topf von Geld enthält initial 2 Euro. Mit jeder Runde, in der das Spiel noch nicht beendet
ist, vermehrt sich der Topf um einen Euro. Der Spieler am Zug kann das Spiel beenden, indem
er z ugreift. Wenn Spieler 1 am Zug ist und beendet, erhält jeder Spieler die Hälfte des Topes.
Wenn Spieler 2 am Zug ist und beendet, erhält er 1.5 Euro mehr als die Hälfte des Topfes,
Spieler 1 entsprechend weniger. Die Payoffs in den folg. Runden wäre: (2,5), (4,4), (3,6), . . ..
Bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien des Spiels (über vier
Stufen).
Aufgabe 6.3: Bestimmen Sie das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht des Spiels in der
vorherigen Aufgabe.
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