4 Spektraltheorie und harmonische Analysis

47
4
Spektraltheorie und harmonische Analysis
4.1
4.1.1
Der abstrakte Formalismus
Die Grundbegriffe aus der linearen Algebra
Es sei X ein Hilbertraum mit Skalarprodukt (·, ·) von Funktionen auf einem topologischen Raum
Z also X = L2 (Z). Es sei A ein linearer Operator in X. Ein Vektor eλ heißt Eigenvektor von
A, falls
Aeλ = λeλ
gilt. Tatsächlich gilt diese Gleichung nur auf dem Punktspektrum. Wir werden sie aber formal
(d.h., irgendwie sinnvoll definiert) auf dem ganzen Spektrum betrachten.
Wir betrachten die eλ als Spaltenvektoren und bilden aus ihnen eine Matrix (Operator) F−1 =
(· · · eλ · · · ). Hier durchläuft λ das Spektrum von A. Im n-dim Fall ist F−1 eine n × n-Matrix
(wir nehmen an, daß alle Eigenwerte einfach sind). Es sei F der zu F−1 inverse Operator. Der
Einfachheit halber nehmen wir an, daß F−1 = F∗ . F ist also eine Matrix (Operator), die aus
Zeilenvektoren eλ gebildet wird. Es gilt also (eλ , eµ ) = δλµ .
F bildet den Raum X in einen neuen Raum Y ab, dessen Elemente Funktionen auf dem Spektrum
sind. F : X −
→ Y. Die Elemente in X seien g, f , die in Y seien ĝ, fˆ. Es ist also
ĝ(λ) = (Fg)(λ) = (eλ , g)
Weiter sei Λ die aus den Eigenwerten gebildete Diagonalmatrix. Dann gilt
AF−1 = F−1 Λ ⇐⇒ FAF−1 = Λ ⇐⇒ A = F−1 ΛF
Eine Diagonalmatrix ist ein einfacher Fall eiens Multiplikationsoperators.
Man sieht leicht, daß Potenzen von A ebenfalls mit der Transformation F diagonalisiert werden.
Es gilt An = F−1 Λn F ⇐⇒ FAn F−1 = Λn . Allgemein gilt für analytische Funktionen h(λ)
Fh(A)F−1 = Λ ⇐⇒ A = F−1 h(Λ)F
Damit kann man leicht abstrakte Differentialgleichungen lösen. Angenommen, wir haben in X
eine Gleichung der Form
ġ(t) = Ag(t) , g(0) = g0
zu lösen. Wir transformieren diese Gleichung nach Y. Das ergibt
ĝ˙ = Fġ = FAg = FAF−1 Fg = FAF−1 ĝ = Λĝ
wobei Λ ein Diagonaloperator (oder im allgemeinen ein Multiplikationsoperator) ist. Diese
Gleichung läßt sich leicht lösen. Es ist
ĝ(t) = eΛt ĝ(0)
wobei eΛt wieder ein Multiplikationsoperator ist. Als Lösung in X erhält man nach inverser
Transformation
g(t) = F−1 eΛt Fg0
Zu einem gegebenen Operator eine solche Transformation (und auch die Rücktransformation)
zu finden, ist nicht leicht. Von besonderem Interesse ist dieser Algorithmus, wenn es gelingt,
eine größere Menge von Operatoren mit einer einzigen Transformation zu diagonalisieren. Aus
der linearen Algebra ist bekannt, daß das für eine Menge kommutierender Operatoren der Fall
ist. Damit stehen folgende Aufgaben:
48
4 SPEKTRALTHEORIE UND HARMONISCHE ANALYSIS
• Es sei ein Raum X gegeben.
• Es sei eine einfach zu bestimmende Transformation F : X −
→ Y gegeben.
• Man bestimme die Menge aller Operatoren, die sich mit Hilfe dieser Transformation
diagonalisieren läßt.
• Man erstelle eine möglichst große Tabelle mit Bildern und Urbildern der Transformation.
Die Frage, welche Operatoren sich mit ein und derselben Transformation diagonalisieren lassen,
beantwortet folgender fundamentaler
Satz: Zwei Operatoren lassen sich mit der selben Transformation diagonalisieren gdw. sie kommutieren.
Beweis: ⇐= Es seien A und B zwei Operatoren und F die gemeinsame diagonalisierende Transformation. Dann gilt A = F−1 ΛA F und B = F−1 ΛB F, wobei ΛA und ΛB die entsprechenden
Diagonalmatrizen seien. Da Diagonalmatrizen kommutieren, bolgt
AB = F−1 ΛA FF−1 ΛB F = F−1 ΛA ΛB F = F−1 ΛB ΛA F = F−1 ΛB FF−1 ΛA F = BA
=⇒ Wir geben für diese Beweisrichtung nur die Beweisidee an. Wir zeigen, daß für Matrizen
mit einfachen Eigenwerten, kommutierende Matrizen dieselben Eigenvektoren haben.
Es sei AB = BA und eλ Eigenvektor von A mit Eigenwert λ, also Aeλ = λeλ . Dann gilt
ABeλ = BAeλ = λBeλ
D.h., Beλ ist ebenfalls Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Beλ liegt also in dem von eλ
aufgespannten Eigenraum. Es gibt also ein β mit Beλ = βeλ , d.h. B hat dieselben Eigenvektoren
wie A und damit dieselbe diagonalisierende Transformation.
Im Allgemeinen läßt sich diese Richtung mit derselben Idee, aber größerem technischen Aufwand
beweisen.
4.1.2
Fouriertransformation und Faltung
Wir suchen also eine übersichtliche Menge kommutierender Operatoren. Das gelingt besonders
gut, wenn auf Z die Struktur einer kommutativen Gruppen gebeben ist, d.h., wenn Z eine
kommutative topologische Gruppe ist. Das sei im weiteren der Fall.
Z sei eine kommutative Gruppe mit der binären Operation a, z ∈ Z =⇒ az ∈ Z. Es sei Ca der
durch (Ca g)(z) = g(az) definierte Verschiebungs- oder Shiftoperator in C(Z). Diese Operatoren kommutieren. Daher gibt es nach dem Satz von Kakutani-Markow eine gemeinsames
stationäres Maß der adjungierten Operatoren, also ein Maß µ ∈ C∗ mit
Z
Z
hCa g, µi = hg, µi ⇐⇒
g(az)µ(dz) =
g(z)µ(dz) , ∀a ∈ Z, ∀g ∈ X
Z
Z
Dieses Maß wird – in unserem speziellen Fall, daß Z eine kommutative Gruppe ist – Haarsches
Maß genannt. Im allgemeineren Fällen, z.B. wenn Z nur eine Halbgruppe ist, existiert ebenfalls
ein gemeinsames invariantes Maß für eine Menge von kommutierenden Operatoren. Außerdem
kommutieren die Ca mit der algebraischen Struktur in C. Es gilt Ca (g · f ) = (Ca g) · (Ca f ).
Desweiteren ist leicht zu beweisen, daß C−1
= Ca−1 (hier ist a−1 das inverse Element zu a
a
bezüglich der Gruppenstruktur in Z).
49
4.1 Der abstrakte Formalismus
Es sei X = L2 (µ) der von C und µ generierte Hilbertraum mit dem Skalarprodukt (g, f )µ =
hf · g, µi und Ca die Erweiterung von Ca in X. Für den adjungierten von Ca in X (nicht zu
verwechseln mit dem adjungierten in C∗ ) gilt wegen
(Ca g, f )µ = hf · Ca g, µi = hf · Ca g, (C∗a)−1 µi = hC−1
a (f · Ca g), µi =
−1
−1
−1
= hCa f · (Ca Ca g), µi = hCa f · g, µi = (g, C−1
a f )µ
D.h., im Hilbertraum X ist der zu Ca adjungierte Operator der inverse Operator C−1
a .
Es seien eλ die Eigenfunktionen von Ca zum Eigenwert λ(a), also
Ca eλ = λ(a)eλ
Es sei Y ein – hier nicht genauer spezifizierter – Raum von Funktionen von λ. Wir definieren
eine Transformation F : X −
→ Y nach der Vorschrift
ĝ(λ) = (Fg)(λ) = (eλ , g)µ
und nennen sie Fouriertransformation. Y ist der entsprechende Fourierraum. Diese Transformation diagonalisiert die Verschiebungsoperatoren wegen
−1
−1
(FCa g)(λ) = (eλ , Ca g)µ = (C−1
a eλ , g)µ = λ(a )(eλ , g)µ = λ(a )(Fg)(λ)
Die Menge der mit Ca kommutierenden Operatoren läßt sich wie folgt beschreiben: Es sei zu
einer festen Funktion g der Operator
Z
f (x)g(zx−1 )µ(dx)
(Ag f )(z) =
Z
definiert. Er wird Faltungsoperator genannt. Man sieht leicht, daß Ag f = Af g. Deshalb wird
durch f ∗ g = Ag f = Af g in X eine kommutative bilineare Operation definiert, die Faltung
genannt wird.
Satz: Ag Ca = Ca Ag
Beweis:
Z
Z
−1
(Ca Ag f )(z) =
f (x)g(zax )µ(dx) =
f (x)g(z(xa−1 )−1 )µ(dx) =
ZZ
ZZ
f (ay)g(zy −1)µ(d(ay)) = (Ca f )(y)g(zy −1)µ(dy) = (Ag Ca f )(z)
=
Z
Z
Damit ist klar, daß F auch Ag diagonalisiert, d.h. FAg F−1 ist ein Multiplikationsoperator in
Y. Es gilt (Faltungsidentität)
F(f ∗ g) = (Ff ) · (Fg)
Der Kern des vorgestellten Schemas besteht aus Fouriertransformation und Faltung und läßt
sich auf vielfältige Art verallgemeinern, etwa auf Halbgruppen anstelle von Gruppen.
Im Folgenden stellen wir ein paar typischen Beispiele für den vorgestellten abstrakten Formalismus vor. Von speziellem Interesse ist insbesondere (F1)(λ). Dabei benutzen wir die Bezeichnungen, die historisch entstanden sind und sich zum Teil leicht von denen die im abstrakten
Teil benutzt wurden unterscheiden.
?
ÜA: Einige Formeln sind mit =. Sie sind genauso wie die freigelassenen Formeln als Übungsaufgaben zu verstehen.
50
4 SPEKTRALTHEORIE UND HARMONISCHE ANALYSIS
4.2
4.2.1
Additive Gruppen und Halbgruppen im
Rn
Die klassische Fouriertransformation
Z = R,
Raum/Gruppe
Shift-Operator (SO)
(Ca g)(x) = g(x + a)
Haarsches Maß
µ(dx) = dx
R
(a, b) =
a(x)b(x)dx
Skalarprodukt (SP)
eλ (x) = eiλx
Eigenfunk. (EF) des SO
Eigenwertgl.
Faltung
Fouriertr. (FT)
inverse Fouriertr. (IFT)
SP der EF
Faltung der EF
x, a −
→ x+a
Ca eiλx = eiλa · eiλx
R
a∗b =
a(y)b(x − y)dy
R iλx
â(λ) = (Fa)(λ) =
e a(x)dx
R −iλx
1
e
â(λ)dλ
(F−1 â)(x) = 2π
eiλx , eiµx = 2πδ(λ + µ)
FT der Eins
eiλx ∗ eiµx = 2πeiµx δ(λ − µ)
R iλx
(F1)(λ) =
e dx = 2πδ(λ)
a ∗ 1 = â(0) = 2πF−1 (â(λ) · δ(λ))
Integral
Typische Anwendung: Lösung der Diffusionsgleichung
ut (x, t) = Duxx (x, t) , u(x, 0) = u0 (x)
R
Mit û(µ, t) = Fu = eiµx u(x, t)dx folgt nach zweimaligem partiellen Integrieren
ût (µ, t) = −Dµ2 û(µ, t)
Die Lösung dieser Gleichung ist
2
û(µ, t) = e−Dµ t û0 (µ)
mit û0 = Fu0 . Die Rücktransformation u = F−1 û ergibt
Z
Z
Z
1
1
iµy
−iµx −Dµ2 t
−iµx −Dµ2 t
e u0 (y)dy dµ =
e
e
û0 (µ)dµ =
e
e
u(x, t) =
2π
2π
Z
Z
Z
(x − y)2
1
1
−iµ(x−y) −Dµ2 t
√
exp −
e
e
dµ dy =
u0 (y)dy
=
u0 (y)
2π
4Dt
4πDt
4.2 Additive Gruppen und Halbgruppen im
4.2.2
Rn
51
Die klassische Laplacetransformation
Hier ist Z = R+ . Das fürt dazu, daß Z nur eine Halbgruppe ist. Der Verschiebungsoperator kann
deshalb nur für negative Verschiebungen definiert werden und keinen inversen. Das führt dazu,
daß Funktionen nur “nach rechts” verschoben werden dürfen. Implizit wird immer angenommen,
daß eine Funktion g(t) für negative t den Wert 0 hat.
Raum/Halbgruppe
Z = R+ ,
Shift-Operator (SO)
(Ca g)(t) = g(t − a)
Haarsches Maß
µ(dx) = dx
R∞
(a, b) = 0 a(t)b(t)dt
Skalarprodukt (SP)
eλ (x) = e−λx
Eigenfunk. (EF) des SO
Eigenwertgl.
Faltung
Fouriertr. (FT)
inverse Fouriertr. (IFT)
t, a −
→t+a
Ca e−λt = eλa · e−λt
Rt
(a ∗ b)(t) = 0 a(s)b(t − s)ds
R∞
â(λ) = (Fa)(λ) = 0 e−λt a(t)dt
SP der EF
e−λx , e−µx
Faltung der EF
e−λx ∗ e−µx =
=
(F1)(λ) =
FT der Eins
a∗1 =
Integral
1
λ+µ
e−λt −e−µt
µ−λ
R −λx
e
Rt
0
dx = λ−1
a(s)ds
1
tk−1
1 ∗ · · · ∗ 1 = (k−1)!
F(1 ∗ · · · ∗ 1) = λ−k
k-Faltungen der Eins
FT davon
Typische Anwendung: Resolvente von Halbgruppen. Die Gleichung ġ(t) = Ag geht, wenn A
nicht explizit von der Zeit abhängt, nach Laplacetranformation in die Gleichung (λ − A)ĝ = g0
über. Der Anfangswert erscheint, weil nach partieller Integration
Z ∞
Z ∞
∞
−λt
−λt
e−λt g(t)dt = g(0) + λĝ(λ)
e ġ(t)dt = e g(t) + λ
0
t=0
0
folgt. Hier wirkt, daß es sich bei Z nur um einen Halbgruppe, keine Gruppe handelt.
Allgemein lassen sich mit dieser Methode lineare gewöhnliche Differentialgleichungen und MemoryGleichungen mit homogenen Kernen lösen.
52
4 SPEKTRALTHEORIE UND HARMONISCHE ANALYSIS
4.3
4.3.1
Gruppen und Halbgruppen in
N
Folgen I (additive Zahlentheorie)
Völlig analog zur klassischen Laplacetransformation für Funktionen g(t) mit t ≥ 0, kann man
einen Formalismus für Folgen (an )∞
n=0 entwickeln. Die abstrakte Fouriertransformation heißt
hier erzeugende oder generierende Funktion. Die Rolle von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen spielen hier lineare rekursive Folgen. Eine Gegenüberstellung der wichtigsten
Objekter dieser beiden Theorien findet sich im nächsten Abschnitt.
Z = N,
Raum/Halbgruppe
Shift-Operator (SO)
(Ck a)(n) = an−k
Haarsches Maß
µn = 1
P∞
(a, b) =
n=0 an bn
Skalarprodukt (SP)
eλ (n) = xn
Eigenfunk. (EF) des SO
Eigenwertgl.
Faltung
Fouriertr. (FT)
inverse Fouriertr. (IFT)
SP der EF
Faltung der EF
Ck xn = x−k · xn
Pn
(a ∗ b)(n) =
k=0 ak bn−k
P∞ n
A(x) = (Fa)(x) =
n=0 x an
dn
(F−1 â)(n) = n!1 dx
n â(x) x=0
1
xn , y n = 1−xy
xn ∗ y n =
(F1)(x) =
FT der Eins
a∗1 =
Integral (Summe)
k-Faltungen der Eins
FT davon
n, k −
→n+k
1 ∗···∗1 =
F(1 ∗ · · · ∗ 1) =
xn+1 −y n+1
x−y
1
1−x
Pn
k=0 ak
n+k−1
n
1
(1−x)k
Typische Anwendungen gibt es in der Kombinatorik (Partitionen) und additiven Zahlentheorie
(Bestimmung der Anzahl von Lösungen von linearen diophantischen Gleichungen).
Als Beispiel betrachten wir zwei Partitionierungsaufgaben. Es sei an die Anzahl von Zerlegungen
von n mit geraden Summanden und bn die Anzahl von Zerlegungen von n mit ungeraden
Summanden und Fa (x) und Fb (x) die entsprechenden erzeugenden Funktionen. Es ist
1
(1 −
− x4 )(1 − x6 ) · · ·
1
Fb (x) =
(1 − x)(1 − x3 )(1 − x5 ) · · ·
Fa (x) =
x2 )(1
Offenbar ist
F (x) = Fa (x)Fb (x) =
(1 − x)(1 −
x2 )(1
1
− x3 )(1 − x4 )(1 − x5 ) · · ·
die erzeugende Funktion von P (n), der Zerlegungen von n ohne Einschränkungen. Das läßt sich
folgendermaßen erklären: Wir betrachten eine konkrete Partition von n. Sie besteht aus geraden
4.3 Gruppen und Halbgruppen in
N
53
und ungeraden Summanden. Wir fassen diese zu na und nb mit n = na + nb zusammen. Die
Anzahl von Partitionen p(n, na , nb ), wobei die Summe der geraden und ungeraden Summanden
na bzw. nb sind, sind dann p(n, na , nb ) = ana · bnb . Die Anzahl aller Partitionen P (n) ist dann
die Summe über alle p(n, na , nb ), wobei n = na + nb zu berücksichtigen ist, also
P (n) = a0 bn + a1 bn−1 + a2 bn−2 + . . . + an−1 b1 + an b0 .
Das ist gerade die Faltung (an ) ∗ (bn ).
4.3.2
Folgen II
In N lassen sich auch andere Verschiebungsoperatoren definieren, denen anders definierte Halbgruppen zugrunde liegen.
Raum/Halbgruppe
Shift-Operator (SO)
Haarsches Maß
Skalarprodukt (SP)
Eigenfunk. (EF) des SO
Eigenwertgl.
Faltung
Fouriertr. (FT)
inverse Fouriertr. (IFT)
SP der EF
Faltung der EF
FT der Eins
Integral (Summe)
k-Faltungen der Eins
FT davon
Z = N,
?
n, k −
→
(Ck a)(n) = (n − k + 1) · · · (n + 1)nan−k
µn = 1/n!
P∞
(a, b) =
n=0
1
a b
n! n n
eλ (n) = xn
Ck xn = x−k · xn
Pn
n
(a ∗ b)(n) =
k=0 k ak bn−k
P∞ xn
A(x) = (Fa)(x) =
n=0 n! an
n
d
(F−1 â)(n) = dx
n â(x) x=0
xn , y n = exy
xn ∗ y n = (x + y)n
(F1)(x) = ex
Pn
a∗1 =
k=0
1 ∗ · · · ∗ 1 = kn
F(1 ∗ · · · ∗ 1) = ekx
n
k
ak
Beweis der Faltungsidentität:
! ∞
!
∞
∞ X
∞
∞ X
m
X
X
X
X xk
xn
xm
xn+k
an
bk
=
an bk =
am bm−j =
n!
k!
n!k!
j!(m
−
j)!
n=0
m=0 j=0
k=0 n=0
k=0
m
∞
∞
X
X
m!
xm
xm X
am bm−j =
(a ∗ b)m
=
m!
j!(m
−
j)!
m!
j=0
m=0
m=0
Hier wurde in der Doppelsumme die Substitution n = j, k = m − j ⇐⇒ j = n, m = k + n
vorgenommen.
54
4 SPEKTRALTHEORIE UND HARMONISCHE ANALYSIS
4.3.3
Folgen III (Multiplikative Zahlentheorie)
Eine weitere
P Anwendung der Methode gibt es in der multiplikativen Zahlentheorie. Summen
der Form k|n ak bedeuten, es wird über alle die Elemente ak der Folge summiert, deren Index
k ein Teiler von n ist. Die Fouriertransformation heißt hier Dirichletreihe.
Z = N,
Raum/Halbgruppe
Shift-Operator (SO)
n, k −
→ nk
(Ck a)(n) = ank
Haarsches Maß
µn =
?
P∞
Skalarprodukt (SP)
(a, b) =
Eigenfunk. (EF) des SO
es (n) = n−s
Eigenwertgl.
Faltung
Fouriertr. (FT)
inverse Fouriertr. (IFT)
n=1
an bn
Ck n−s = k −s · n−s
P
(a ∗ b)(n) =
k|n ak bn/k
P∞
−s
A(s) = (Fa)(s) =
n=1 an n
(F−1 â)(n) =
xn , y n =
SP der EF
xn ∗ y n =
Faltung der EF
(F1)(x) = ζ(s)
FT der Eins
(Riemannsche Zetafunktion)
(Fnj )(x) = ζ(s − j)
FT von Potenzen
Faltung zweier Einsen
Faltung von Potenz mit Eins
FT von ∗k der Eins
1 ∗ 1 = τ (n) (Zahl der Teiler)
(nj ) ∗ 1 = σj (n) (Summe der j-ten Potenzen der Teiler)
F(1 ∗ · · · ∗ 1) = ζ k (s)
Es sei h(n) eine multiplikative Funktion, d.h., eine Funktion für die für Teilerfremde i und
j gilt: h(ij) = h(i)h(j). Es sei n = pk11 · · · pkmm die Primzahlzerlegung von n. Dann ist h(n) =
h(pk11 ) · · · h(pkmm ). Aus der Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung folgt, daß die Menge der Produkte aller möglicher Potenzen aller Primzahlen mit der Menge der naturlichen Zahlen indentisch
ist. Hieraus folgt für multiplikative Funktionen h
∞
X
h(n) =
∞
YX
h(pj )
p∈P j=0
n=1
die multiplikative Eigenschaft der Dirichletreihe. Diese Formel auf die Potenzfunktion angewendet ergibt
ζ(s) =
∞
X
n=1
−s
n
=
∞
YX
p∈P j=0
p−sj =
1
1 − p−s
p∈P
Y
55
4.4 Zusammenhänge zwischen Funktionen und Folgen
4.4
Zusammenhänge zwischen Funktionen und Folgen
n∈N
Definition
f (n)
erz. Funktion
F (x) =
∞
P
xn f (n)
n=0
f (n) =
Faltung
(g ∗ f )(n) =
1 (n)
F (0)
n!
n
P
j=0
g(n − j)f (j)
Fg∗f (x) = Fg (x) · Ff (x)
g∗f = (µa,1 ∗g)∗(µa,−1 ∗f )
kan. Funktion
µa (n) = an
µ0 = 1
(Sa f )(n) = µa ∗ f
=
(S1 f )(n) =
n
P
j=0
n
P
an−j f (j)
f (j)
j=0
FSa f (x) = Ff (x)/(1 − ax)
Differenz
0
FJa f (x) = Ff (λ)/(λ − a)
(Da f )(t) = µa,−1 ∗ f
(∆1 f )(n) = f (n) − f (n − 1)
(D0 f )(t) = f 0 (t) + f (0)δ(t)
Sa ∆a f = ∆a Sa f = f
F∆a f (x) = (1 − ax)Ff (x)
δk (n) = (0, ..., 0, 1, 0, ...)
δk ∗ δm = δk+m
Fδk (x) = xk
Shift
(Ja f )(t) = µa ∗ f
Z t
0
=
ea(t−t ) f (t0 )dt0
Z0 t
(J0 f )(t) =
f (t0 )dt0
(∆a f )(n) = µa,−1 ∗ f
(∆a f )(n) = f (n) − af (n − 1)
kan. Basis
0
Fg∗f (λ) = Fg (λ) · Ff (λ)
g∗f = (µa,1 ∗g)∗(µa,−1 ∗f )
µa (t) = eat
µ1 = 1
Summe
t ∈ R+
Z ∞
F (λ) =
e−λt f (t)dt
0 Z
c+i∞
1
f (t) =
eλt F (λ)dλ
2πi c−i∞
Z t
(g ∗ f )(t) =
g(t − t0 )f (t0 )dt0
f (t)
(Ck f )(n) = f (n + k)
(Da f )(t) = f 0 (t) − af (t) + f (0)δ(t)
Ja Da f = Da Ja f = f
FDa f (x) = (λ − a)Ff (λ)
?
δτ (t) = δ(t − τ )
δτ ∗ δσ = δτ +σ
Fδτ (λ) = e−λτ
(Cτ f )(t) = f (t + τ )
Ck f = (fk , fk+1 , ...)
FCk f (x) =
(C−k f )(n) = f (n − k)
C−k f = (0, ..., 0, f0, f1 , ...)
FC−k f (x) = xk Ff (x)
δk ∗ f = C−k f
(C−τ f )(t) = f (t − τ )
FC−τ f (λ) = e−τ λ Ff (λ)
Ck C−k f = f
Cτ C−τ f = f
C−k Ck f 6= f
C−τ Cτ f 6= f
56
4 SPEKTRALTHEORIE UND HARMONISCHE ANALYSIS
Einige weitere Operationen mit den kanonischen Funktionen sind in der folgenden Tabelle
zusammengestellt.
n+k−1 n
a
k−1
µa,k (n) =
Spezialfälle
µa,1 (n) = µa (n) = an
µa,1 (t) = µa (n) = eat
µa,2 (n) = (n + 1)an
µa,2 (t) = teat
(n + 2)(n + 1) n
a
2
µa,0 (n) = (1, 0, 0, 0, ...)
µa,3 (t) =
µa,3 (n) =
µa,−1 (n) = (1, −a, 0, 0, ...)
µa,−2 (n) = (1, −2a, a2 , 0, ...)
1
(1 − ax)k
µa,k (t) =
tk−1 at
e
(k − 1)!
Definition
t2 at
e
2
µa,0 (t) = δ(t)
µa,−1 (t) = δ 0 (t)−aδ(t)
µa,−2 (t) = δ 00 (t)−2aδ 0 (t)+a2 δ(t)
Fµa,k (x) =
Faltung I
µa,k ∗ f = Ska f
µa,k ∗ f = Jka f
µa,−k ∗ f = ∆ka f
µa,−k ∗ f = Dka f
µa,0 ∗f = f
µa,0 ∗f = f
Faltung II
an+1 − bn+1
a−b
aµa − bµb
=
a−b
= Sa Sb δ0
Shift
Produkt
(µa ∗µb )(t) =
µa ∗µb
µa ∗µb
1
(1 − ax)(1 − bx)
µa,k ∗µa,m = µa,k+m
Fµa ∗µb (λ) =
1
(λ − a)(λ − b)
µa,k ∗µa,m = µa,k+m
C1 µa = aµa
(µa ·f )(n) = an fn
Fµa ·f (x) = Ff (ax)
Differenz
eat − ebt
a−b
µa − µb
=
a−b
= Ja Jb δ0
(µa ∗µb)(n) =
Fµa ∗µb (x) =
Faltung III
Fµa,k (λ) =
1
(λ − a)k
erz. Funktion
∆a µa,k = µa,k−1
∆a µa = δ0
Zu beachten ist:
(∆a f )(0) = f (0), d.h. f (−1) = 0 wird gesetzt.
(Ja f )(0) = 0 für stetige Funktionen.
(µa ·f )(t) = eat f (t)
Fµa ·f (λ) = Ff (λ − a)
Da µa,k = µa,k−1
Da µa = δ0
57
4.5 Nichtlineare Probleme
4.4.1
Gegenüberstellung von Differenzen- und Differentialgleichungen
Lineare Rekursion
Lineare Differentialgleichung
fn = a1 fn−1 + ... + ak fn−k
f (k) (t) = a1 f (k−1) + ... + ak f (0)
Ansatz: fn = xn
Charakteristische Gleichung:
Ansatz: f (t) = ext
Charakteristische Gleichung:
xk = a1 xk−1 + ... + ak
xk = a1 xk−1 + ... + ak
Allgemeine explizite Lösung:
Allgemeine explizite Lösung:
fn = c1 xn1 + ... + ck xnk
f (t) = c1 ex1 t + ... + ck exk t
Bestimmung der speziellen Lösung





4.5

f0
f1
..
.
fk−1

 
 
=
 
1
x1
..
.
1
x2
..
.
...
...
..
.
1
xk
..
.
x1k−1 x2k−1 . . . xkk−1





c1
c2
..
.
ck


 
 
=
 
f (0)
f 0 (0)
..
.
f (k−1) (0)





Nichtlineare Probleme
Fouriertransformation und Faltung sind lineare Operatoren, die natürlicherweise in linearen
Räumen wirken. Die Fouriertransformation ist deshalb auch eine Methode zum Lösen spezieller (verschiebungsinvarianter) linearer partieller Differentialgleichungen. Wichtige Gleichungen
in der klassischen Physik sind nichtlinear. Eine Methode zur Lösung solcher Gleichungen ist
die Verallgemeinerung der Idee der Fouriertransformation (“transformiere Operatoren in Multiplikationsoperatoren”) auf nichtlineare Probleme.
Eine sehr fruchtbare Möglichkeit ist die sogenannte “Solitonentheorie” oder “Methode der inversen Streutheorie” (siehe z.B. die Korteweg-de-Vries-Gleichung).
Eine andere Methode, die eng mit der konvexen Analysis zusammenhängt, findet man durch
4.5.1
Umdefinierung der linearen Operationen
Von besonderer Bedeutung ist eine weitere Algebraisierung indem man in X zwei algebraische
Operationen, eine punktweise Addition ⊕ und eine punktweise Multiplikation ⊗ einführt. Eine
Linearkombination ist dann
(λ1 w1 ) ⊕ (λ2 w2 )
und ein Skalarprodukt
M (f, g)µ =
f (z) ⊗ g(z)
z
Zu diesen Operationen gibt es neutrale Elemente 00(z) und 1(z).
Zu beachten ist, daß die Eigenwertaufgabe jetzt Aeλ = λ ⊗ eλ lautet.
Wir führen hier zwei Beispiele an, von denen das zweite die eigentliche Methode in der konvexen Analysis darstellt. Das erste Beispiel, die sogenannte WKB-Methode, hängt von einem
Parameter h ab. Sie beinhaltet die konvexen Analysis als Grenzfall h −
→ 0.
58
4 SPEKTRALTHEORIE UND HARMONISCHE ANALYSIS
4.5.2
Der WKB-Formalismus
Die klassische Mechanik gilt als Grenzfall der Quantenmechanik, wenn das Plancksche Wirkungsquantum ~ nach Null geht. Die Herleitung klassischer Gleichungen aus quantenmechanischen wird WKB-Methode genannt. Das spiegelt sich aus mathematischer Sicht darin wider,
daß die folgenden Formeln für h −
→ 0 in die Formeln der konvexen Analysis übergehen.
Z = Rn
X = C(Rn )
a(x)
− b(x)
− h
h
+e
(a ⊕ b)(x) = −h log e
Raum/Gruppe
Addition
Multiplikation
(a ⊗ b)(x) = a(x) + b(x)
Null
00 = +∞
1 = 0
Eins
Skalarprodukt
(a, b) = −h log
Shift-Operator
R
e−
a(x)+b(x)
h
dx
(Cy g)(x) = g(x + a)
ex∗ (x) = hx, x∗ i, x∗ ∈ X∗
Eigenfunk. (EF) des SO
Cy hx, x∗ i = hx + a, x∗ i = ha, x∗ i + hx, x∗ i = ha, x∗ i ⊗ hx, x∗ i
R a(y)+b(x−y)
h
dy
a ∗ b = −h log e−
R − a(x)+hx,x∗ i
h
dx
(Fa)(λ) = −h log e
Eigenwertgl.
Faltung
Fouriertr.
(F−1 â)(x) =
h·, x∗ i, h·, y ∗i =
inverse Fouriertr.
SP der EF
h·, x∗ i ∗ h·, y ∗i =
Faltung der EF
(F1)(λ) =
FT der Eins
a∗1 =
Integral
1∗1 =
1 ∗···∗1 =
Faltung der Eins
Faltung von Einsen
Der Beweis der Faltungsidentität läuft folgendermaßen ab:
F (a ∗ b) = −h log
= −h log
Z
Z
−
e
e−
Z Z
hx,x∗ i
h
e−
1
dx = −h log e
exp − (a ∗ b)(x) dx =
h
Z
a(y)+b(x−y)
1
h
exp − −h log e−
dy dx =
h
hx,x∗ i+(a∗b)(x)
h
hx,x∗ i
h
e−
a(y)+b(x−y)
h
Z
−
hx,x∗ i
h
dydx =
Z
Z
∗i
∗i
− b(x)
− hy,x
− a(y)
− hx,x
h
h
h
h
e
dx
e
e
dy
=
= −h log
e
= −h log
= F (a) + F (b) = F (a) ⊗ F (b)
59
4.5 Nichtlineare Probleme
Typische Anwendung: Lösung der Schrödingergleichung in der WKB- oder hydrodynamischen
Form: Die Lösung der Gleichung
2
1 ∂
∂
h ∂2
w+
w =
w
∂t
2 ∂x
2 ∂x2
läßt sich als Superposition von schon bekannten Lösungen darstellen. Sind w1 und w2 Lösungen,
dann ist auch jede “Linearkombination”
w1 +λ1
w2 +λ2
w = (λ1 w1 ) ⊕ (λ2 w2 ) = −h log e− h + e− h
Lösung der Gleichung.
4.5.3
Konvexe Analysis
Wie bereits erwähnt sind infimale Faltung und Legendretransformation ein Grenzfall des WKBFormalismus. Der entscheidende Grund dafür ist das asymptotische Verhalten von Integralen
von Exponentialfunktionen mit einem großen Exponenten (hier ein kleiner Wert h in Nenner
des Exponenten). Diese Verhalten ist als “Laplace-Prinzip” oder “Method of steepest descent”
bekannt und gründet sich auf folgenden Grenzwert:
Z
1
lim − log e−nf (x) dx = inf f (x)
x
n→∞
−
n
Raum/Gruppe
Addition
Multiplikation
Null
Eins
Skalarprodukt
Shift-Operator
Eigenfunk. (EF) des SO
Eigenwertgl.
Faltung
Fouriertr.
inverse Fouriertr.
SP der EF
Faltung der EF
FT der Eins
Integral
Faltung der Eins
Z = Rn
X = C(Rn )
(a ⊕ b)(x) = min{a(x), b(x)}
(a ⊗ b)(x) = a(x) + b(x)
00 = +∞
1 = 0
(a, b) = inf x a(x) + b(x)
(Cy g)(x) = g(x + a)
ex∗ (x) = hx, x∗ i, x∗ ∈ X∗
Cy hx, x∗ i = hx + a, x∗ i = ha, x∗ i + hx, x∗ i = ha, x∗ i ⊗ hx, x∗ i
a ∗ b = inf y a(y) + b(x − y)
(Fa)(λ) = inf x a(x) + hx, x∗ i
(F−1 â)(x) =
h·, x∗ i, h·, y ∗i = −χ{0} (x∗ + y ∗ )
h·, x∗ i ∗ h·, y ∗i = h·, y ∗i − χ{0} (x∗ − y ∗)
(F1)(λ) =
a ∗ 1 = inf y a(y)
1∗1 = 1
60
4 SPEKTRALTHEORIE UND HARMONISCHE ANALYSIS
Bemerkung: Der Grenzübergang h −→ 0 ist ein typischer nichttrivialer Limes, bei dessen
Übergang sich die dahinterstehenden mathematischen Methoden prinzipiell ändern. Weitere
nichttriviale Grenzübergänge dieser Art sind: Masse nach 0 (reduziert die Ordnung der Differentialgleichung in der Zeit), Diffusionskoeffizient nach 0 (reduziert die Ordnung der Differentialgleichung im Ort) und der Grenzübergang q −
→ 1 in der sogenannten “q-Theorie”.
4.6
4.6.1
Beispielaufgaben
Cauchy-Prozeß
Im allgemeinen läßt sich ein Markovprozeß in R durch eine Gleichung ct (x, t) = Ac mit Anfangswert c(x, 0) = c0 (x) und einem Markowgenerator A beschreiben. Ein Beispiel ist doie
Diffusionsgleichung ct (x, t) = Dcxx (x, t), die sich mit Fouriertransformation für konstantes D
lösen läßt. Eine weitere explizit lösbare Gleichung ist (es sei a > 0 gegeben)
Z
∂
a
c(x0 , t) − c(x, t) 0
c(x, t) =
dx
∂t
π R
(x − x0 )2
ÜA Löse diese Gleichung, d.h. finde die Operatorhalbgruppe T(t) mit c(·, t) = T(t)c0 .
4.6.2
Memory-Gleichungen
Viele physikalische Prozesse erfüllen kein Markowprinzip oder – äquivalent – können nicht
durch eine Halbgruppe beschrieben werden. Das ist der Fall, wenn die zukünftige Evolution
des Zustandes nicht nur vom augenblicklichen Zustand sondern auch von seiner Vorgeschichte
abhängt. Solche Gleichungen werden häufig Memory-Gleichungen genannt und zeigen in einigen Aspekten prinzipiell anderes Verhalten als autonome Gleichungen mit Halbgruppen als
Lösungen. Es sei u(t) die gesuchte Lösung so einer Gleichung.
Typisch sind für solche GleiRt
chungen, daß sie zeitliche Integraloperatoren der Form 0 k(t − t0 )u(t0 )dt0 in der Zeit enthalten,
deren Kern k die aus der Vergangenheit übertragene Information enthält. Entartet der Kern
zur Deltafunktion,verschwindet der Einfluß aus der Vergangenheit.
Ein besonders einfaches Beispiel für Integralkerne für Memory-Gleichungen sind Exponentialfunktionen.
ÜA Löse folgende Gleichung (es seien a, c > 0)
Z t
u̇(t) + cu(t) − ac
e−a(t−τ ) u(τ )dτ = 0, u(0) = u0
0
und bestimme insbesondere u∞ = lim u(t) aus der gefundenen Lösung. Warum läßt sich u∞
t→∞
nicht direkt aus der Gleichung durch setzen von u̇(t) = 0 und t = ∞ berechnen und warum ist
die Konstante u∞ nicht Lösung der Gleichung?
4.6.3
Additive Zahlentheorie
Es sei n ≥ 0 eine ganze Zahl und an die Anzahl der Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen
und Umfang n. Hierbei zählen kongruente Dreiecke als ein Dreieck.
Die ersten Glieder der Folge an sind
(an )∞
n=0 = 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8, 12, ...
ÜA Bestimme an , die Anzahl von Möglichkeiten, die Zahl n als Summe von drei ganzen Zahlen
a + b + c = n mit den Nebenbedingungen a ≥ b ≥ c > 0 und b + c > a darzustellen.