Serie 9 zu Asymptotische Geometrie

Prof. Dr. V. Schroeder
FS 2009
Serie 9 zu Asymptotische Geometrie
Besprechung: Freitag den 15. Mai 2009 in der Übungsstunde.
Zuerst was zum Warm-up.
Aufgabe 1 (Wegzusammenhang auf Quasimetrischen Räumen)
Sei (Z, ρ) ein metrischer Raum, z1 , z2 ∈ Z, ρ(z1 , z2 ) = 1. Nehme an es gibt kein x ∈ Z mit
ρ(z1 , x) = 1/2. Kann (Z, ρ) dann wegzusammenhängend sein? Wenn ja, Beispiel. Wenn nein,
Beweis.
Selbe Frage wenn ρ lediglich eine Quasimetrik ist (und die Topologie wie in Serie 8).
Als Hauptgang möchten wir nun zeigen, dass quasisymmetrische Abbildungen folgende überraschende Eigenschaft haben.
Satz
Sei f : (Z, ρ) → (Z 0 , ρ0 ) eine η−QS Abbildung zwischen uniform perfekten quasimetrischen
Räumen. Dann ist f P-QS.
Seien a, b, x ∈ Z und t := ρ(a, x)/ρ(b, x). Wir müssen also zeigen t0 ≤ C max{tα , t1/α }.
Der Beweis beruht auf der Idee, dass man in uniform perfekten Räumen “Zwischenpunkte”
finden kann die eine Art geometrische Reihe bilden. Das folgende Lemma illustriert dies.
Lemma 1
Sei (Z, ρ) uniform perfekt. Dann gibt es Zahlen 0 < λ1 ≤ λ2 < 1 so dass für jedes Paar
a, b ∈ Z ein x ∈ Z existiert mit
λ1 ρ(a, b) ≤ ρ(x, a) ≤ λ2 ρ(a, b).
(4)
Bemerkung: Die Umkehrung gilt sogar auch, aber das brauchen wir hier nicht.
Aufgabe 2
Beweise dieses Lemma.
Aufgabe 3
Jetzt wollen wir den Satz zeigen. Zumindest a. und b. sollte jeder machen.
a. Nehme an t ≥ 1 in der Notation von oben. Nach dem Lemma gibt es Zwischenpunkte
a = x0 , x1 , . . . , xs so dass
λ1 ρ(xi , x) ≤ ρ(xi+1 , x) ≤ λ2 ρ(xi , x), i = 0 . . . s − 1,
und so dass der letzte Punkt xs ungefähr gleich weit von x ist wie b, d.h.
λ1 ρ(xs , x) ≤ ρ(b, x) ≤ ρ(xs , x).
Zeige, dass dann aus der η-Quasisymmetrie von f folgt
t0 ≤ H s+1 für ein geeignetes H.
(∗)
0
b. Zeige andererseits t ≥ λ−s
2 . Nun gilt (∗) natürlich auch für jedes H ≥ H, insbesondere
kann man annehmen H ≥ 1/λ2 . Folgere jetzt aus den beiden Ungleichungen und der
Annahme H ≥ 1/λ2 eine Abschätzung der Form
t0 ≤ Htα für ein α ≥ 1.
Dies Beweist schon mal den Satz im Fall t ≥ 1.
Sei jetzt t < 1. Wir wollen Punkte zwischen b und x finden, so dass die Bilder davon
rasch gegen f (x) gehen. Dies ist möglich, denn wenn f 4 erfüllt mit λ1 , λ2 , dann
erfüllt es natürlich dieselbe Eigenschaft für λn1 , λn2 für alle n. Insbesondere können wir
annehmen, dass η(λ1 ) ≤ 1/2.
c. Finde jetzt eine Folge b = x0 , x1 , . . . , xr , so dass
λ1 ρ(xi , x) ≤ ρ(xi+1 , x) ≤ λ2 ρ(xi , x) i = 0, . . . , r − 1,
und
λ1 ρ(x, xr ) ≤ ρ(a, x) ≤ ρ(x, xr ),
und
ρ0 (f (xi+1 ), f (x)) ≤ (1/2)ρ0 (f (xi ), f (x)).
Folgere
ρ0 (f (xr ), f (x)) ≤ 2−r ρ0 (f (b), f (x)),
und mit ρ0 (f (a), f (x)) ≤ η(1)ρ0 (f (xr ), f (x)) schliesslich
t0 ≤ H2−r für ein geeignetes H.
(♠)
d. Zeige andererseits
ρ(a, x) ≥ λr+1
1 ρ(b, x),
und kombiniere dies mit (♠) zu
t0 ≤ 2Htβ .
Dies beweist den Satz.
Aufgabe 4 (Beispiel einer nicht-P aber QS Abbildung)
Betrachte die Abbildung
f : {e−n! : n = 2, 3, . . .} → R
x 7→
−1
.
log(x)
Es wird in der Literatur behauptet, dass diese Abbildung QS, aber nicht P-QS ist. Das sieht
eigentlich relativ einleuchtend aus, aber da nirgends ein Beweis zu finden ist, ist es vielleicht
recht tricky. Man denke in angemessenem Ausmass dar¨über nach.