Berechnung von Top und Bottom verstärkten

Berechnung von Top und Bottom
verstärkten Zweischleifenbeiträgen
zum anomalen magnetischen Moment
des Myons im MSSM
Diplomarbeit
zur Erlangung des wissenschaftlichen Grades
Diplom-Physiker
vorgelegt von
Marco Schäfer
geboren am 16.03.1984 in Räckelwitz
Institut für Kern- und Teilchenphysik
der Technischen Universität Dresden
2009
ii
Eingereicht am 30. April 2009
1. Gutachter: Prof. Dr. Dominik Stöckinger
2. Gutachter: PD Dr. Günter Plunien
iii
iv
Kurzdarstellung
In den letzten Jahren wurde eine Diskrepanz zwischen experimentellen und theoretischen
Werten zum anomalen magnetischen Moment des Myons (g-2)µ festgestellt. Diese beläuft
sich auf über drei Standardabweichungen und kann Hinweise auf neue Physik jenseits des
Standardmodells liefern.
Im Rahmen des MSSM wurden schon Strahlungskorrekturen zu (g-2)µ auf Ein- und zum
Teil auch auf Zweischleifenniveau durchgeführt. Diese können die Abweichungen zwischen
Standardmodell und Experiment bereits erklären. Um die erlaubten Parameterbereiche
des MSSM genauer zu bestimmen, muss die Berechnung der Zweischleifenordnung jedoch
vervollständigt werden.
Ziel dieser Arbeit ist es Zweischleifendiagramme zu untersuchen, die als Korrekturen
zum Sfermion- und Bosino-Propagator Top- und Bottom-Squark-Schleifen haben. Diese
Feynman-Diagramme sind den Massen von Top und Bottom proportional und versprechen deshalb einen großen numerischen Beitrag zu (g-2)µ .
Abstract
Within recent years a discrepancy between experimental und theoretical values of the
anomalous magnetic moment of the muon (g-2)µ has been established. This discrepancy
of over three standard deviations can point towards new physics beyond the standard
model.
Radiative corrections to (g-2)µ in the MSSM have been computed on the one- and in part
on the two-loop level. They can already account for the deviations between experiment
and the standard model calculations. In order to further constrain the parameter space
of the MSSM the two-loop order computations need to be completed.
The goal of this thesis is to compute and to evaluate two-loop diagrams, which have
top- and bottom-squark-loops as corrections to their sfermion- and bosino-propagators.
These Feynman diagrams are proportional to the masses of the top and bottom quark
and can thus yield a large numerical contribution to (g-2)µ .
v
vi
Inhaltsverzeichnis
Abkürzungsverzeichnis
xi
1. Einleitung
1
2. Modelle der Teilchenphysik
5
2.1. Das Standardmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.1. Materie- und Austauschteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.2. Die Eichgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.3. Wechselwirkungen der Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.4. Der Higgs-Mechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.1.5. Teilchenmischung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.1.6. Die Quantisierung des Standardmodells . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.2. Das minimal supersymmetrische Standardmodell . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.1. Supersymmetrie - Motivation und Algebra . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.2. Komponentendarstellung und allgemeine Superfelder . . . . . . .
20
2.2.3. Chirale und reelle Superfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.2.4. Supersymmetrische Lagrange-Dichten . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.2.5. Der Teilcheninhalt des MSSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.2.6. Die Lagrange-Dichte des MSSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.2.7. Elektroschwache Symmetriebrechung und Teilchenmischung
30
. . .
3. Grundlegendes zu (g-2)
35
3.1. Das magnetische Moment ~µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.2. Das magnetische Moment in der Quantenfeldtheorie . . . . . . . . . . . .
37
3.3. Der Projektor des magnetischen Formfaktors . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.4. Messung des anomalen magnetischen Moments . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.5. Gliederung der Beiträge im Standardmodell . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.5.1. QED-Beiträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.5.2. Elektroschwache Beiträge
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.5.3. Hadronische Beiträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
vii
3.6. Theorie vs. Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Feynman-Diagramme für (g-2) im MSSM
44
47
4.1. Einschleifenordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.2. Zweischleifenordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.2.1. Zweischleifendiagramme ohne Smyonen und Sneutrinos . . . . . .
49
4.2.2. Zweischleifendiagramme mit Smyonen und Sneutrinos . . . . . . .
49
4.3. Korrektur der Einschleifendiagramme durch Sfermionen . . . . . . . . . .
50
5. Renormierung der Zweischleifendiagramme
53
5.1. Renormierung der Sleptonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
5.1.1. Die Massenterme der Sfermionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
5.1.2. Renormierungstransformation der Massenterme . . . . . . . . . .
54
5.1.3. Renormierungsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
5.1.4. Berechnung der Renormierungskonstanten . . . . . . . . . . . . .
56
5.1.5. Sektorfremde Renormierungskonstanten . . . . . . . . . . . . . . .
58
6. Methoden zur Berechnung
61
6.1. Übersicht zu FeynArts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
6.2. Berechnung der Zweischleifendiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
6.3. Berechnung der Counterterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
6.4. Herausforderungen für die Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
7. Auswertung und Diskussion der Ergebnisse
69
7.1. Vergleich der Diagrammbeiträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
7.2. Zweischleifenbeitrag an den SPS-Punkten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
7.3. Abhängigkeit von tan β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
7.4. Abhängigkeit von µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
8. Zusammenfassung
77
A. Grundlagen und Konventionen
79
A.1. Minkowskiraum und Poincaréalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
A.2. Spinoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
A.3. Grassmann-Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
A.4. Eichgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
B. Programmaufbau
B.1. Definition von δ tan β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
viii
85
85
Literaturverzeichnis
89
ix
x
Abkürzungsverzeichnis
BNL
BRS
Brookhaven National Laboratory
Becchi-Rouet-Stora
C
CERN
CKM
CP
Operation der Ladungskonjugation
Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire
Cabibbo-Kobayashi-Maskawa
Paritätstransformation gefolgt von Ladungskonjugation
CP T
DR
LHC
LSP
kombinierte Zeitumkehr-Paritäts-Ladungskonjugationstransformation
modifizierte dimensionale Reduktion
Large Hadron Collider
Lightest Supersymmetric Particle
MSSM
mSUGRA
QED
QCD
SM
Minimal Supersymmetric Standard Model
minimale Supergravitation
Quantenelektrodynamik
Quantenchromodynamik
Standardmodell
SPS
SUGRA
SUSY
VEW
Snowmass Points and Slopes
Supergravitation
Supersymmetrie
Vakuumerwartungswert
xi
1. Einleitung
Das Ziel der Physik besteht darin, unsere Welt einfach und vollständig zu beschreiben.
Als fundamentale Naturwissenschaft ist es ihre Aufgabe, möglichst alle Phänomene auf
allen Größenskalen zu erklären. Dies schließt Wechselwirkungen zwischen den Bausteinen
der Atome ebenso mit ein, wie die Entwicklung von Galaxien. Im Verlauf des letzten
Jahrhunderts ist es den Physikern gelungen ein Modell zu konstruieren, welches genau
das mit sehr hoher experimenteller Genauigkeit ermöglicht.
Dieses Modell besteht einerseits aus der Allgemeinen Relativitätstheorie nach Albert
Einstein und den darauf aufbauenden kosmologischen Modellen und andererseits aus
dem sogenannten Standardmodell der Teilchenphysik. Letzteres wird oft auch nur Standardmodell oder SM genannt. Im Gegensatz zur Allgemeinen Relativitätstheorie ist es
keine klassische Feldtheorie, sondern eine relativistisch kovariante Quantenfeldtheorie. In
den vergangenen Jahrzehnten wurde das Standardmodell immer weiter verbessert und
experimentell bestätigt. Es gilt heute als die am besten getestete Theorie zur Beschreibung unserer Welt.
Wie alle physikalischen Modelle hat es jedoch einen begrenzten Gültigkeitsbereich. Bei
Energien jenseits der elektroschwachen Skala, d.h. bei Energien von mehreren TeV,
wird ein neues Modell erforderlich. Es ist deshalb nicht nur wichtig das SM weiter
zu verbessern, sondern auch zu fragen, welche Erweiterungen zum Standardmodell es
geben kann. In einem neuen Modell muss das SM als Limes kleinerer Energien enthalten
sein. Die neuen zusätzlichen Teilchen, die innerhalb der Standardmodell-Erweiterungen
postuliert werden, aber bisher nicht entdeckt worden sind, liefern bei höheren Energien
Korrekturen zu den bisherigen Messungen.
Das Standardmodell lässt jedoch auch bei niedrigen Energien noch viele Fragen offen
(siehe zum Beispiel Kap. 2 in [1]). So erhalten die Teilchen des SM ihre Massen durch
den Higgsmechanismus [2,3]. Das dabei postulierte Higgs-Boson ist bis heute nicht experimentell nachgewiesen und das Higgs-Potential muss ad hoc eingeführt werden. Sollte das
Higgs-Teilchen existieren, wäre es das einzige skalare Teilchen im Standardmodell und
würde zu einem ästhetischen Problem führen, dem Finetuning. Die Strahlungskorrekturen zum skalaren Propagator des Higgs-Bosons führen zu quadratischen Divergenzen,
1
1. Einleitung
deren Renormierung extreme numerische Genauigkeit erfordert (siehe z.B. Kap. 1 in [4]).
Eine genaue Motivation für die Eichgruppen und die Anzahl der Familien des SM fehlt
ebenfalls. Sie müssen der Theorie von Hand hinzugefügt werden. Auch die Gravitation
ist nicht Teil des Standardmodells. Sie kann bisher nur im Rahmen der klassischen, nicht
quantisierten Allgemeinen Relativitätstheorie beschrieben werden. Eine zufriedenstellende Quantentheorie der Gravitation existiert bisher nicht.
Astrophysikalische Experimente der letzten Jahrzehnte haben das SM ebenso als unvollständig belegt. Experimente mit Neutrinos zeigen, dass diese Elementarteilchen eine
endliche Ruhemasse haben müssen (Neutrinooszillationen, siehe [5]). Die genaue Natur
der Neutrinomassen ist aber immer noch ungeklärt. Experimentelle Werte aus Beobachtungen von Rotationsgeschwindigkeiten von Galaxien sowie der Mikrowellenhintergrundstrahlung lassen sich am besten durch die Einführung von Dunkler Materie und Dunkler
Energie erklären. Für beides liefert das Standardmodell keine passenden Kandidaten.
Über 90% der Materie im Universum ist daher nicht Bestandteil des Standardmodells.
Dennoch ermöglicht das Standardmodell die elektromagnetische, die schwache und die
starke Kraft zu beschreiben. Die ersten beiden lassen sich darüber hinaus als eine vereinheitlichte Kraft, die elektroschwache Wechselwirkung, verstehen. Die vollständige Vereinheitlichung aller drei Kräfte zu einer einzigen lässt sich allerdings im SM nicht bewerkstelligen. In einer allgemeineren Theorie wäre dies bei höheren Energien möglich.
Eine Vereinheitlichung aller drei Kopplungen, eventuell sogar mit der Gravitation, wäre
zwar nicht dringend erforderlich, aber sowohl mathematisch als auch physikalisch sehr
ästhetisch. Es gibt viele Erweiterungen des Standardmodells, mit denen sich einige seiner Probleme zum Teil oder vollständig lösen lassen. Am einfachsten sind dabei wohl
Theorien mit einer zusätzlichen vierten Generation von Materiefeldern oder mit zusätzlichen Eichbosonen. Andere erweiterte Modelle postulieren zusätzliche Raumdimensionen
oder eine Symmetrie zwischen Materie- und Wechselwirkungsfeldern (Supersymmetrie).
Große vereinheitlichte Theorien, Superstring- und M-Theorie versuchen die einheitliche
Beschreibung aller Wechselwirkungen auf noch viel höheren Energieskalen zu bewerkstelligen. Obwohl einige dieser Theorien in absehbarer Zeit durch Experimente nicht
überprüfbar sind, ist es erstrebenswert sie zu untersuchen und zu verbessern.
Neue Teilchenbeschleuniger wie der LHC am CERN werden in der Lage sein erste Experimente bei Energien durchzuführen, die oberhalb der bekannten Skalen liegen und deshalb
Informationen über Physik jenseits des Standardmodells liefern werden [6]. Aber auch die
Untersuchung anderer Effekte kann Informationen über ”Beyond Standard Model“-Physik
geben und dabei sogar noch kostengünstiger sein. Als ein Beispiel wären hier Experimente
2
zum anomalen magnetischen Moment des Myons zu nennen, die vergleichsweise einfach
umzusetzen sind, aber trotzdem viele neue Erkenntnisse liefern könnten [7].
Das anomale magnetische Moment (g-2) von Elementarteilchen war bereits in den Anfangszeiten der Quantenfeldtheorie von herausragender Bedeutung. Julian Schwinger
konnte im Rahmen der Quantenelektrodynamik (QED) die Einschleifenkorrektur zum
magnetischen Moment des Elektrons berechnen [8]. Nicht zuletzt diese Vorhersage einer
Quantenfeldtheorie trug zu ihrer allgemeinen Akzeptanz bei. Die anomalen magnetischen
Momente von Elektron und Myon waren seither sehr gute Observabeln, um Quantenfeldtheorien wie die QED und insbesondere das SM zu testen, da sie relativ einfach zu
messen sind.
In renormierbaren Quantenfeldtheorien verschwindet (g-2) in nullter aber im Allgemeinen
nicht in höheren Ordnungen der Störungsrechnung. Das anomale magnetische Moment ist
demzufolge kein unabhängiger, sondern ein berechenbarer Parameter. Eine theoretische
Vorhersage kann daher mit dem Experiment verglichen werden. Die Quantenfluktuationen durch schwerere Teilchen, die zu (g-2) beitragen, sind dem Quadrat des Verhältnisses
von Elektron- bzw. Myonmasse zur Masse des schwereren Teilchens proportional. Die
Abweichung ist somit für das Myon größer und eher messbar. Dieser Sachverhalt machte
das anomale magnetische Moment des Myons in den letzten Jahrzehnten immer wieder
zur idealen Observable, um neue, höhere Energiebereiche des Standardmodells zu testen.
In jüngster Zeit zeigten sich allerdings Abweichungen zwischen dem theoretisch berechneten und dem experimentell gemessenen Wert [9, 10, 11, 12]. Diese Abweichungen könnten
durch unbekannte SM-Effekte oder unbekannte Teilchen hervorgerufen werden.
In dieser Arbeit werden Zweischleifenbeiträge zum anomalen magnetischen Moment des
Myons im MSSM untersucht. Das minimal supersymmetrische Standardmodell, kurz
MSSM, ist die einfachste Verbindung von Supersymmetrie und dem Standardmodell der
Teilchenphysik. Die Supersymmetrie erzeugt dabei aus jedem bosonischen einen fermionischen Zustand und vice versa. Weil alle bekannten Materiefelder Fermionen und alle
bekannten Wechselwirkungsfelder (Eich-)Bosonen sind, ist dies effektiv eine Symmetrie
zwischen Materie und Wechselwirkung. Jedem Teilchen des Standardmodells wird hierbei
ein Superpartner zugeordnet, wodurch der Teilcheninhalt des MSSM etwa doppelt so
groß wie der des SM ist. Im Rahmen des MSSM können einige Unzulänglichkeiten des
Standardmodells behoben werden: das Finetuning-Problem des Higgs-Bosons lässt sich
lösen, es existiert ein Kandidat für Dunkle Materie und die drei Eichkopplungen können
vereinigt werden.
3
1. Einleitung
4
2. Modelle der Teilchenphysik
Alle Modelle der Teilchenphysik müssen die Materie und ihre Wechselwirkungen beschreiben, so wie sie in der Natur beobachtbar sind. Die mathematische Darstellung
erfolgt dabei in einer relativistischen Quantenfeldtheorie. Die Quantenfelder werden im
Minkowski-Raum definiert und die physikalischen Zustände sind invariant unter Transformationen der Poincarégruppe.
Neben den Raumzeitsymmetrien werden noch innere Symmetrien der Quantenfelder beobachtet. Innere Symmetrien werden durch Eichtransformationen beschrieben und dienen
der Erklärung der beobachteten Wechselwirkungen zwischen den verschiedenen Teilchen.
Mit Ausnahme der Gravitation lässt sich damit Materie und deren Wechselwirkung
auf quantenphysikalischem Niveau beschreiben. Die Gravitation ist auf mikroskopischen
Skalen vernachlässigbar schwach gegenüber anderen Wechselwirkungen. Sie wird deshalb
im Folgenden nicht weiter betrachtet.
2.1. Das Standardmodell
Das Standardmodell der Teilchenphysik wurde vor allem durch Glashow, Salam, und
Weinberg in den 1960er und 1970er Jahren auf der Grundlage der Eichgruppe SU(3)C ×
SU(2)L ×U(1)Y entwickelt [13,14,15,16,17,18,19]. Es beschreibt die starke, schwache und
elektromagnetische Wechselwirkung der Materie. Die schwache und die elektromagnetische Kraft können einheitlich als elektroschwache Kraft erklärt werden.
2.1.1. Materie- und Austauschteilchen
Sämtliche Materie im SM lässt sich in Leptonen und Quarks einteilen. Sie nehmen alle an
der elektroschwachen Wechselwirkung teil, wobei zwischen den Quarks außerdem noch die
starke Kraft wirkt. Leptonen und Quarks sind Fermionen mit Spin 1/2. In der LagrangeDichte des Standardmodells werden sie deshalb durch Spinoren dargestellt. Die Austauschteilchen der Wechselwirkungen sind Spin 1 Bosonen und werden dementsprechend
durch Vektorfelder beschrieben.
5
2. Modelle der Teilchenphysik
Leptonen
Die Leptonen existieren in der Natur in drei Familien bzw. Generationen. Die erste besteht aus Elektron und Elektron-Neutrino, die zweite aus Myon und Myon-Neutrino und
die dritte aus Tauon und Tau-Neutrino. Alle drei Neutrinos sind elektrisch neutral und
haben Massen mν . 1 eV [20]. Elektron, Myon und Tauon sind elektrisch negativ geladen
(Qem e = −1 e) und massiv. Myon und Tau haben weiterhin endliche Lebensdauern und
können in leichtere Teilchen zerfallen. Das Elektron ist hingegen stabil.
Die geladenen, massiven Leptonen existieren in zwei Versionen in der Natur, als linkshändige und als rechtshändige Teilchen. Neutrinos gibt es im Standardmodell nur als
linkshändige Teilchen. Sie werden deshalb als masselos beschrieben, was eine gute Näherung an die Realität ist. Erweiterungen des Standardmodells um rechtshändige Neutrinos
und somit um Neutrinomassen und Neutrinooszillationen werden in dieser Arbeit nicht
beschrieben.
νe
e(L) , e(R)
Ladung Qem
0
-1
Masse
0
me
νµ
µ(L) , µ(R)
0
-1
0
mµ
ντ
τ(L) , τ(R)
0
-1
0
mµ
Spin
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Tabelle 2.1.: Eigenschaften der Leptonen
Quarks
Die Quarks können ebenfalls in drei Familien eingeordnet werden: (u,d), (c,s) und (t,b).
Im Gegensatz zu den Leptonen sind die Quarks alle massiv und elektrisch geladen. u-, cund t-Quarks tragen die Ladung Qem e = +2/3 e und d-, s-, und b-Quark Qem e = −1/3 e.
Sie existieren alle sowohl links- als auch rechtshändig. Quarks kommen in der Natur nicht
als isolierte Teilchen vor, sondern bilden, durch die starke Kraft bedingt, komposite
Teilchen aus zwei oder drei Quarks (Hadronen).
Aus den Tabellen 2.1 und 2.2 ist abzulesen, dass die zweite und dritte Generation von
Leptonen und Quarks im Grunde nur Kopien der ersten sind. Sie unterscheiden sich
nur in der Masse. Die Teilchen der dritten Familie sind die schwersten und die Teilchen
der ersten Generation die leichtesten. Es ist deshalb vorteilhaft nur eine Generation zu
betrachten (ν, e, u, d). Im Folgenden wird daher von ν-artigen und e-artigen Leptonen
6
2.1. Das Standardmodell
sowie von u-artigen und d-artigen Quarks gesprochen. Für die supersymmetrischen Partnerfelder dieser Teilchen wird im nächsten Kapitel die Bezeichnung analog benutzt.
u(L) ,
d(L) ,
c(L) ,
s(L) ,
t(L) ,
b(L) ,
u(R)
d(R)
c(R)
s(R)
t(R)
b(R)
Ladung Qem
+ 32
− 13
+ 32
− 13
+ 32
− 13
Masse
mu
md
mc
ms
mt
mb
Spin
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Tabelle 2.2.: Eigenschaften der Quarks
Austauschteilchen
Die Wechselwirkungen zwischen den Standardmodellteilchen werden durch Austauschteilchen vermittelt. Die drei Kräfte des SM werden durch die Eichfelder der drei Eichgruppen SU(3)C , SU(2)L und U(1)Y beschrieben und die Austauschteilchen sind die Quanten,
Eichbosonen mit Spin 1, dieser Felder.
Für die starke Wechselwirkung finden sich acht Gluonen (Gµ )ā , ā = 1, ..., 8, die den acht
Generatoren in der su(3)c -Algebra entsprechen. Die SU(2)L ×U(1)Y -Symmetrie ist in der
Natur zur U(1)em gebrochen. Es gibt insgesamt vier elektroschwache Eichbosonen, die
bestimmten Linearkombinationen der vier Generatoren der SU(2)L ×U(1)Y entsprechen.
Die W + -, W − - und Z 0 -Bosonen vermitteln die schwache Kraft und das Photon γ ist das
Austauschteilchen für die elektromagnetische Wechselwirkung.
Photonen und Gluonen sind masselos und elektrisch neutral. Die Gluonen tragen Farbladung und können somit direkt mit sich selbst in Wechselwirkung treten. Die Photonen
können dies nicht, da sie keine elektrische Ladung besitzen. W- und Z-Bosonen tragen
schwache Ladung und sind daher in der Lage mit sich selbst in Wechselwirkung zu treten.
Das Z 0 ist elektrisch neutral, während die W ± elektrisch geladen sind und so mit dem
Photon wechselwirken können.
Eichfeld
(W µ )+
(W µ )−
(Z µ )0
Aµ
(Gµ )ā , ā = 1, ..., 8
Ladung Qem
+1
-1
0
0
0
Masse
MW
MW
MZ
0
0
Spin
1
1
1
1
1
Tabelle 2.3.: Eigenschaften der Eichbosonen
7
2. Modelle der Teilchenphysik
Higgs-Boson
Die SU(3)C ×SU(2)L ×U(1)Y -Symmetrie der Teilchen im SM ist nur dann erhalten, wenn
die Teilchen masselos sind. Dies widerspricht der Beobachtung in der Natur. Um den
Teilchen Masse zu geben, wird ein weiteres Teilchen, das Higgs-Boson, welches mit
allen Leptonen, Quarks und Eichfeldern wechselwirkt, benötigt. Das dazu assoziierte
skalare Higgs-Feld erhält einen nicht-verschwindenden Vakuumerwartungswert (VEW)
und bricht dadurch die elektroschwache SU(2)L ×U(1)Y -Symmetrie spontan zur U(1)em Symmetrie des Elektromagnetismus. Die elektroschwachen Eichbosonen W ± und Z 0
erhalten durch diesen Mechanismus ihre Massen. Das Photon bleibt hingegen masselos.
Weil die SU(3)C -Symmetrie durch das Higgs nicht gebrochen wird, bleiben die Gluonen
ebenfalls masselos. Die Leptonen, mit Ausnahme der Neutrinos, und die Quarks werden
durch Yukawa-Wechselwirkungen mit dem Higgsfeld massiv.
Allgemein wird in dieser Arbeit das Higgs-Feld mit φ bezeichnet. Es enthält sowohl
physikalische als auch nicht physikalische Anteile. Das physikalische Higgs-Boson wird h
genannt, was mit der Parametrisierung aus Abschnitt 2.1.4, Gleichung (2.31) konsistent
ist.
h
Ladung Qem
0
Masse
mh
Spin
0
Tabelle 2.4.: Eigenschaften des physikalischen Higgs-Bosons des Standardmodells
2.1.2. Die Eichgruppen
Die Grundlage des Standardmodells ist die Eichgruppe SU(3)C ×SU(2)L × U(1)Y , d.h.
die Lagrange-Dichte des SM ist invariant unter Transformationen dieser Gruppe. Eine
U(1)Y -Transformation UY (x) mit der Eichkopplung gY , der Eichfunktion θY (x) und der
Hyperladung Y wird als
µ
¶
Y
UY (x) = exp −igY θY (x)
(2.1)
2
und eine Eichtransformation UL (x) ² SU(2)L mit Kopplung gL und den Eichfunktionen
(θL (x))a als
Ã
!
3
X
σa
UL (x) = exp −igL
(θL (x))a
(2.2)
2
a=1
geschrieben. Die σ a sind die Pauli-Matrizen und generieren die su(2)L -Algebra. Die
Hyperladung Y und der schwache Isospin T 3 eines Fermions sind mit seiner elektro-
8
2.1. Das Standardmodell
magnetischen Ladung Qem e durch die Gell-Mann-Nishijima-Relation verbunden.
Qem = T 3 +
Y
2
(2.3)
Für eine SU(3)C -Transformation gilt analog
Ã
8
X
λā
(θS (x))ā
UC (x) = exp −igS
2
ā=1
!
(2.4)
mit der starken Kopplungskonstante gS , den Eichfunktionen (θS (x))ā und den Gell-MannMatrizen λā . Für die Indizes der Algebren wird auch die Einsteinsche Summenkonvention
verwendet. Zwischen ko- und kontravarianten Indizes wird dabei nicht streng unterschieden, da die Algebren Kronecker-Metriken besitzen. Zur besseren Unterscheidung der
su(2)- und su(3)-Algebren erhalten die Indizes der su(3)C einen Querstrich.
2.1.3. Wechselwirkungen der Materie
Zunächst wird das Standardmodell mit verschwindenden Teilchenmassen betrachtet. Nur
so ist die Eichsymmetrie manifest. Die Wechselwirkungen von Leptonen und Quarks
bestimmen wesentlich, wie sie sich unter den obigen Transformationen verhalten sollen.
Die Eichtransformationen führen ganz natürlich auf Eichfelder, welche mit den Austauschteilchen der verschiedenen Wechselwirkungen identifiziert werden.
Es wird festgelegt, dass die linkshändigen Fermionen als Dubletts unter SU(2)L -Transformationen transformieren. Die rechtshändigen Fermionen transformieren als Singuletts,
d.h. sie gehen bei Transformation in sich selbst über. Bezüglich der Gruppe SU(3)C sind
alle Leptonen Singuletts und alle Quarks Tripletts. Das Higgsfeld φ ist SU(2)L -Dublett
und ein SU(3)C -Singulett.
An dieser Darstellung ist zu erkennen, dass Leptonen und Higgs-Boson nicht direkt stark,
d.h. mit Gluonen, wechselwirken. Des Weiteren ist zu sehen, dass die rechtshändigen
Fermionen nicht an der SU(2)L -Wechselwirkung teilnehmen.
Ã
Leptonen
Ã
Quarks
Q=
L=
u(L)
d(L)
ν(L)
e(L)
!
Y=
!
Y = −1 ,
1
,
3
u(R) Y =
Ã
Higgs
φ=
φ+
φ0
e(R) Y = −2
4
,
3
d(R) Y = −
(2.5)
2
3
(2.6)
!
Y=1
(2.7)
9
2. Modelle der Teilchenphysik
Die kinetischen Terme für Quarks und Leptonen in der Lagrange-Dichte enthalten partielle Ableitungen der Fermionenfelder. Diese transformieren nicht kovariant unter den
lokalen Eichtransformationen. Damit die Lagrange-Dichte wieder eichinvariant ist, müssen die partiellen Ableitungen mit eichkovarianten Ableitungen ersetzt werden. Für die
SU(3)C ×SU(2)L ×U(1)Y -Gruppe gilt
∂µ
→
Dµ = ∂ µ + igY
Y µ
σa
λā
B + igL (W µ )a + igS (Gµ )ā
2
2
2
(2.8)
Die acht Eichfelder (Gµ )ā sind die Gluonen, die die starke Wechselwirkung vermitteln.
B µ ist das Eichfeld von U(1)Y und die drei (W µ )a die Eichfelder der SU(2)L . Die B µ und die (W µ )a -Felder werden später zu Photon, W- und Z-Boson linearkombiniert. Diese
Eichfelder transformieren entsprechend den adjungierten Darstellungen ihrer jeweiligen
Gruppe.
Da vorerst nur das masselose SM betrachtet wird, enthält die Lagrange-Dichte bisher
/ = D µ γµ )
nur kinetische Terme. Für die Materiefelder lautet diese (D
/ + iQ̄DQ
/ + iē(R) De
/ (R) + iū(R) Du
/ (R) + id¯(R) Dd
/ (R)
Lmatter = iL̄DL
(2.9)
Um den gesamten Materieinhalt des SM zu erhalten, muss noch die Summe über die
drei Generationen von Fermionen ausgeführt werden. Die kovariante Ableitung muss
entsprechend den Darstellungen der Fermionfelder ausgewertet werden, auf die sie wirkt.
Diese kinetischen Terme sind eichkovariant und enthalten darüber hinaus bereits die
Wechselwirkungen der Fermionen mit den Eichfeldern. Die Forderung nach Eichinvarianz
legt somit die Wechselwirkungen bereits fest.
Kinetische Terme für die Eichfelder selbst ergeben sich durch Betrachtung der jeweiligen Feldstärketensoren. Allgemein sind Feldstärketensoren über den Kommutator der
jeweiligen kovarianten Ableitung definiert. Mit (Gµν )ā , (W µν )a und B µν werden die
Feldstärketensoren der einzelnen Eichfelder bezeichnet. Es gilt dann
1
Ĝµν = (Gµν )ā T ā = (Gµν )ā λā
2
µ
ν
= [∂ (G )ā − ∂ ν (Gµ )ā − gS fāb̄c̄ (Gµ )b̄ (Gν )c̄ ] T ā
1
Ŵ µν = (W µν )a T a = (W µν )a σ a
2
µ
ν
= [∂ (W )a − ∂ ν (W µ )a − gL εabc (W µ )b (W ν )c ] T a
B µν = ∂ µ B ν − ∂ ν B µ
10
(2.10)
(2.11)
(2.12)
2.1. Das Standardmodell
Dabei bezeichnet εabc (Levi-Civita-Symbol) die Strukturkonstanten der su(2)-Algebra.
Die Feldstärketensoren führen zu kinetischen Termen und Selbstwechselwirkungen der
Eichbosonen. Da B µ zur abelschen U(1)Y gehört, fehlt der dritte Term und es gibt keine
Selbstwechselwirkung. Die Lagrange-Dichte für die Eichfelder lautet damit
1
1
1
Lgauge = − (Gµν )ā (Gµν )ā − (W µν )a (Wµν )a − B µν Bµν
4
4
4
(2.13)
Bisher können sämtliche Fermionen und Eichfelder des Standardmodells mit Hilfe einer
(0)
Lagrange-Dichte LSM beschrieben werden.
(0)
LSM = Lmatter + Lgauge
/ + iQ̄DQ
/ + iē(R) De
/ (R) + iū(R) Du
/ (R) + id¯(R) Dd
/ (R)
= iL̄DL
1
1
1
− (Gµν )ā (Gµν )ā − (W µν )a (Wµν )a − B µν Bµν
4
4
4
(2.14)
Noch sind alle Felder masselos, denn einfache Massenterme brechen die Eichinvarianz.
Die Forderung nach Eichinvarianz legt aber die Wechselwirkungen der Leptonen, Quarks
und Eichfelder untereinander bereits fest. Massenterme für die Fermionen und Eichfelder
müssen somit auf andere Weise erzeugt werden, denn auf den Vorteil der Eichinvarianz
soll nicht verzichtet werden.
2.1.4. Der Higgs-Mechanismus
Durch den Higgs-Mechanismus wird die elektroschwache Eichsymmetrie spontan zur
Symmetrie des Elektromagnetismus gebrochen. Spontane Symmetriebrechung versteckt
die Symmetrie eigentlich nur und bricht sie nicht. Die Eichbosonen der elektroschwachen
Wechselwirkung W und Z sowie die Fermionen erhalten durch diesen Mechanismus ihre
Massen.
Die elektroschwache kovariante Ableitung
Bevor auf den Higgs-Mechanismus eingegangen wird und die Teilchen des Standardmodells massiv werden, wird noch einmal die kovariante Ableitung für den elektroschwachen
Anteil des SM betrachtet.
σa
Y
(2.15)
Dµ (B µ , W µ ) = ∂ µ + igY B µ + igL (W µ )a
2
Ã2
!
gY Y B µ + gL (W µ )3 gL [(W µ )1 − i(W µ )2 ]
i
= ∂µ +
(2.16)
2 gL [(W µ )1 + i(W µ )2 ] gY Y B µ − gL (W µ )3
11
2. Modelle der Teilchenphysik
Für die hier auftretenden Linearkombinationen der SU(2)L ×U(1)Y -Eichfelder werden
neue Bezeichnungen eingeführt. Um die nicht-diagonal Terme umzuschreiben, werden
die komplexen Felder
1
(W µ )± := √ [(W µ )1 ∓ i(W µ )2 ]
(2.17)
2
mit den entsprechenden Kombinationen der SU(2)L -Generatoren
T ± := T1 ± iT2
(2.18)
definiert. Für die Diagonalterme werden zwei neue reelle Felder Aµ und Z µ , welche
Linearkombinationen der Felder B µ und (W µ )3 sind, verwendet.
Ã
Aµ
Zµ
!
Ã
:=
cos θW sin θW
− sin θW cos θW
!Ã
Bµ
(W µ )3
!
,
cW := cos θW ,
sW := sin θW
(2.19)
Somit gilt
µ
¶
µ
¶
Y µ
Y
Y
µ
3
µ
3
µ
3
gY B + gL (W )3 T = A gL sW T + gY cW
+ Z gL cW T − gY sW
(2.20)
2
2
2
Der Winkel θW ist der schwache Mischungswinkel, auch Weinberg-Winkel genannt. Nach
Festlegung der Koeffizienten cW und sW als
gY
sW = p 2
gY + gL2
gL
cW = p
gY2 + gL2
(2.21)
wird die Gell-Mann-Relation (2.3) verwendet, um (2.20) zu vereinfachen.
gY
Y µ
B + gL (W µ )3 T 3 = Aµ gY cW Qem + Z µ (T 3 (gL cW + gY sW ) − gY sW Qem )
2
(2.22)
Es ist erkennbar, dass das neue Feld Aµ nur noch über die elektromagnetische Ladung
Qem koppelt. Es kann mit dem Photonenfeld identifiziert werden, indem die Elementarladung e wie folgt definiert wird:
gL gY
e = g Y cW = p
gY2 + gL2
e = gL sin θW = gY cos θW
(2.23)
Für Photon- und Z µ -Feld gilt somit
gY
12
Y µ
e
B + gL (W µ )3 T 3 = eQem Aµ +
Z µ (T 3 − s2W Qem )
2
sW cW
(2.24)
2.1. Das Standardmodell
Anschließend kann die bezüglich SU(2)L ×U(1)Y eichkovariante Ableitung (2.15) mit den
neuen Felder (W µ )± , Z µ und Aµ umgeschrieben werden.
gL
Dµ (Aµ , (W µ )± , Z µ ) = ∂ µ + ieQem Aµ + i Z µ (T 3 − s2W Qem )
cW
¢
gL ¡ µ + +
+i √ (W ) T + (W µ )− T −
2
(2.25)
Der Vorteil dieser neuen Felder besteht darin, dass sie mit den Masseneigenzuständen
der Eichbosonen zusammenfallen. Das heißt, dass das Higgs-Feld gerade an die Linearkombinationen (W µ )± , Z µ und Aµ koppelt. Die SU(2)L ×U(1)Y wird dabei gerade so
zur U(1)em gebrochen, dass Aµ masselos bleibt (Photon) während (W µ )± und Z µ massiv
werden (W- und Z-Bosonen).
Spontane Symmetriebrechung
Als nächstes werden den Eichbosonen Massen gegeben, indem die elektroschwache Symmetrie spontan gebrochen wird. Dazu wird das skalare Higgsfeld
Ã
φ=
φ+
φ0
!
(2.26)
benötigt. Dieses ist ein SU(2)L -Dublett mit Hyperladung Y = 1 und koppelt deswegen
über die eichkovariante Ableitung (2.25) an die elektroschwachen Eichbosonen.
Zusätzlich wird das Higgs-Potential V (φ† φ) eingeführt
V (φ† φ) = −µ2 φ† φ +
λ ¡ † ¢2
φφ
4
(2.27)
wodurch die Lagrange-Dichte für das Higgs-Feld
¡
¢
λ ¡ † ¢2
LHiggs = Dµ φ† (Dµ φ) + µ2 φ† φ −
φφ
4
(2.28)
lautet. Für µ2 > 0 und λ > 0 hat V (φ† φ) Minima bei
¯
2µ2
φ† φ¯min =
λ
(2.29)
Alle diese Minima beinhalten immer noch eine U(1)-Symmetrie. Es sind demnach unendlich viele entartete, physikalisch äquivalente Minima, die durch Eichtransformationen
13
2. Modelle der Teilchenphysik
miteinander verknüpft sind. Der Grundzustand φgs wird zu
φgs
1
=√
2
Ã
0
v
!
µ
mit
v
√
2
¶2
=
2µ2
λ
(2.30)
gewählt. Für die weiteren Betrachtungen ist es vorteilhaft φ mit dem reellen Feld h(x)
und einer allgemeinen SU(2)L -Eichtransformation UL (x) umzuparametrisieren.
Ã
φ=
φ1
!
φ2
1
= √ UL (x)
2
Ã
0
!
(2.31)
v+h
Die genaue Form der Transformation UL (x) ist nicht wichtig, denn sie kann durch eine
weitere Eichtransformation aus der Lagrange-Dichte entfernt werden. Das Feld φ hat
damit nur noch einen physikalischen Freiheitsgrad [21, 22].
Nun kann der kinetische Term der Higgs-Lagrange-Dichte ausgewertet werden. Es wird
dabei ausgenutzt, dass φ1 Ladung Qem = 1 hat und φ2 elektrisch neutral ist.
Ã
Dµ φ =
gL
∂ µ φ1 + ieAµ φ1 + i cgWL Z µ ( 12 − s2W )φ1 + i √
(W µ )+ φ2
2
!
gL
∂ µ φ2 + i √
(W µ )− φ1 − 2i cgWL Z µ φ2
2
Ã
!µ
Ã
!
¶
(W µ )+
0
1
h
v gL
= √
1+
+i
2
v
− c 1√2 Z µ
2 ∂µh
W
(2.32)
Der kinetische Anteil der Higgs-Lagrange-Dichte lautet dann
¢
Dµ φ† (Dµ φ)
· 2 2
¸µ
¶2
1
v gL
1 v 2 gL2 µ
h
2
+
µ −
=
(∂h) +
(Wµ ) (W ) +
Z Zµ 1 +
2
4
2 4c2W
v
Lkin
Higgs =
¡
(2.33)
Der erste Term in (2.33) ist der kinetische Term des physikalischen Higgs-Bosons h
und der zweite beschreibt für h 6= 0 die Wechselwirkung zwischen diesem und den
Eichbosonen der schwachen Kraft. Für verschwindendes Feld h reduziert sich Gleichung
(2.33) auf Terme, welche proportional zu v 2 sind. Diese sind als Massenterme für W- und
Z-Boson mit den Massen
MW =
v gL
2
MZ =
v gL
MW
=
2cW
cW
(2.34)
interpretierbar. Die Eichinvarianz führt somit nicht nur auf einen normalen Wechselwirkungsterm wie bei den Ableitungen der Fermionenfelder, sondern durch den VEW auch
14
2.1. Das Standardmodell
zu einem effektiven Massenterm für die Eichfelder.
Die elektroschwache Symmetrie ist hiermit spontan zur U(1)-Symmetrie des Elektromagnetismus gebrochen. Das äußert sich darin, dass das Photonenfeld Aµ immer noch
masselos ist, während W- und Z-Bosonen jetzt Masse haben.
Der zweite Term in der Higgs-Lagrange-Dichte (2.28) ist das Potential V (φ† φ).
†
Lint
Higgs = −V (φ φ)
= µ2 h 2 +
1p 2 3
λ
µ2 v 2
λµ h + h4 −
2
16
4
(2.35)
Der erste Term in Gleichung (2.35) ist ein Massenterm für das physikalische Higgs-Boson
h, wenn m2h = 2µ2 gesetzt wird. Die in h kubischen und quartischen Terme sind die
Wechselwirkung von h mit sich selbst.
Fermionmassen
Die Fermionenfelder erhalten ihre Massen ebenfalls durch die Wechselwirkung mit dem
Higgsfeld φ. Allerdings können sie nicht aus einem übergeordneten Prinzip wie der Eichinvarianz abgeleitet werden. Yukawa-Wechselwirkungsterme für die Fermionen werden
in der Lagrange-Dichte als
L0Yukawa
¶
¶
µ
µ
1 ∗ ¯
h
h
¯
= −mf f(L) f(R) 1 +
= − √ λf v f(L) f(R) 1 +
v
v
2
(2.36)
geschrieben. Die Yukawa-Kopplungen λ∗f sind spezifisch für ν-, e-, u- und d-artige Fermionen. Für h 6= 0 gibt es Wechselwirkungen zwischen den Fermionen und dem HiggsTeilchen. Aber für h = 0 bleiben nur Terme übrig, die proportional dem VEW v sind.
Sie lassen sich wie bei den Eichfeldern als Massenterme interpretieren. Die Masse des
Fermions f ist dann:
1
mf = √ λ∗f v
(2.37)
2
Das Neutrino erhält hierbei offensichtlich keine Masse, weil es kein rechtshändiges Neutrino gibt. Wird das Standardmodell mit einem rechtshändigen Neutrino betrachtet, sind
Neutrino-Massenterme und Mischungen zwischen den drei Generationen möglich.
2.1.5. Teilchenmischung
Für die bisherigen Betrachtungen war es von Vorteil die zweite und dritte Generation
von Teilchen zu vernachlässigen. In der Natur gibt es sie aber und über die Yukawa-
15
2. Modelle der Teilchenphysik
Massenterme können Teilchen verschiedener Familien miteinander mischen. Daher muss
Gleichung (2.36) auf den allgemeinen Fall umgeschrieben werden.
LYukawa = −λeij ∗ L̄i(L) φ ej (R) − λdij ∗ Q̄i (L) φ dj (R) − λuij ∗ Q̄i (L) φC uj (R) + h.c.
(2.38)
Dabei ist φC = iσ 2 φ∗ das ladungskonjugierte Higgs-Feld. Analog zu Gleichung (2.37)
werden Massenmatrizen definiert
1
meij = √ λeij ∗ v ,
2
1
muij = √ λuij ∗ v ,
2
1
mdij = √ λdij ∗ v
2
(2.39)
Die Lepton-Massenmatrix kann ohne Schwierigkeiten diagonalisiert werden, weil das
Neutrino masselos ist. Für die Quarks funktioniert dies nicht. Dieses Problem ist auf die
Tatsache zurückzuführen, dass die Eigenzustände der schwachen Wechselwirkung nicht
mit den Masseneigenzuständen zusammenfallen.
Für linkshändige Quarks wird deshalb ui (L) = (u(L) , c(L) , t(L) ) und analog für d-artige
Quarks di (L) = (d(L) , s(L) , b(L) ) in der ursprünglichen Basis geschrieben. Diese Zustände
sind mit den Masseneigenzuständen ui 0(L) , di 0(L) durch unitäre Transformationen verbunden.
ui (L) = Uiju uj 0(L)
di (L) = Uijd dj 0(L)
¡
U † uU d
¢
ij
= Vij
(2.40)
Die Matrix Vij ist die Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-Matrix (CKM), deren nicht-diagonal
Terme Übergänge zwischen Quarks verschiedener Generationen ermöglichen. Die gestrichene Basis ist die physikalische Basis, da sie die Massenmatrix diagonalisiert. Die CKMMatrix ist besonders wichtig für die Untersuchung der schwachen Wechselwirkung durch
die W-Bosonen, da diese nur an linkshändige Fermionen koppeln.
Im SM mit rechtshändigen Neutrinos können analoge Betrachtungen für die Leptonen
durchgeführt werden.
2.1.6. Die Quantisierung des Standardmodells
Die Verwendung von Eichtheorien zur Beschreibung der Elementarteilchen hat den großen
Vorteil, dass die Forderung nach Eichinvarianz die Wechselwirkungen über die kovarianten Ableitungen festlegt. Die Eichfelder, welche die Eichbosonen beschreiben, haben als
Vierervektoren vier Freiheitsgrade. Die Austauschteilchen der Wechselwirkungen, die mit
den Eichbosonen identifiziert werden, haben aber im Allgemeinen weniger Freiheitsgrade.
Demnach ist die volle Eichinvarianz unphysikalisch. Bereits auf klassischem Niveau führt
sie zu unphysikalischen Freiheitsgraden. Zur Quantisierung der Theorie muss die Eichung
16
2.1. Das Standardmodell
fixiert werden, um die Anzahl der Freiheitsgrade zu verringern. Für jedes Eichfeld werden
deshalb Eichfixierungsterme eingeführt, die die unphysikalischen Freiheitsgrade eliminieren. Solche Terme enthalten neben Eichbrechungsparametern für jedes Eichfeld auch die
unphysikalischen Freiheitsgrade des Higgs-Feldes, denn diese werden durch den HiggsMechanismus zu den longitudinalen Moden der massiven Eichbosonen.
Die Quantisierung von (nicht-abelschen) Eichtheorien mit Hilfe des Pfadintegralformalismus führt in natürlicher Weise zur Einführung von Geistfeldern. Geister sind unphysikalisch und absorbieren unphysikalische Freiheitsgrade der Eichinvarianz. Bei dieser
Methode wird ebenfalls eine Eichung gewählt, wodurch die restliche Eichinvarianz der
Theorie versteckt ist. Für Renormierungsbeweise wird die Eichinvarianz benötigt, weil
sie die Form der Terme in der Lagrange-Dichte bestimmt, die als Counterterme UVDivergenzen absorbieren. Um Yang-Mills-Theorien zu quantisieren ist es deshalb vorteilhafter, die Eichinvarianz durch BRS-Invarianz zu ersetzen. BRS-Transformationen sind
infinitesimale Transformationen der Geistfelder und der physikalischen Felder. Die unphysikalischen Freiheitsgrade aus der Eichinvarianz werden durch BRS-Transformationen
eliminiert, während die physikalischen Freiheitsgrade manifest bleiben.
Auf die Darstellung der Eichfixierungsterme wird verzichtet, da die Quantisierung des
Standardmodells nicht explizit durchgeführt wird. Methoden der Eichfixierung und Quantisierung nicht-abelscher Eichtheorien werden ausführlich in [21, 23, 24] behandelt.
Da alle Bestandteile des Standardmodells untersucht wurden, kann es in Termen von
Lagrange-Dichten wie folgt zusammengefasst werden:
LSM = Lmatter + Lgauge + LHiggs + LYukawa
/ + iQ̄DQ
/ + iē(R) De
/ (R) + iū(R) Du
/ (R) + id¯(R) Dd
/ (R)
= iL̄DL
1
1
1
− (Gµν )ā (Gµν )ā − (W µν )a (Wµν )a − B µν Bµν
4
4
4
µ
µ
¶2
¶2
1
h
1
h
2
+
µ −
µ
+ (∂h) + MW (Wµ ) (W ) 1 +
+ MZ Z Zµ 1 +
(2.41)
2
v
2
v
1p 2 3
λ
+µ2 h2 +
λµ h + h4
2
16
−λeij ∗ L̄i (L) φ ej (R) − λdij ∗ Q̄i (L) φ dj (R) − λuij ∗ Q̄i (L) φC uj (R) + h.c.
17
2. Modelle der Teilchenphysik
2.2. Das minimal supersymmetrische Standardmodell
Das minimal supersymmetrische Standardmodell ist das einfachste Teilchenmodell, welches die Poincaréinvarianz des Standardmodells um Supersymmetrie erweitert. Die Eichgruppen im MSSM sind dieselben wie im Standardmodell, womit auch alle Wechselwirkungen gleich sind.
Neben der elektroschwachen Symmetrie muss im MSSM auch die Supersymmetrie gebrochen sein. Wäre die Supersymmetrie (SUSY) nicht gebrochen, hätten Standardmodellteilchen und ihre Superpartner die gleichen Massen. Dies ist in der Natur aber nicht
zu beobachten.
2.2.1. Supersymmetrie - Motivation und Algebra
Der Ausgangspunkt jeder Quantenfeldtheorie ist ihre Lagrange-Dichte. Aus ihr werden
die Bewegungsgleichungen und Feynman-Regeln abgeleitet, mit denen das dynamische
Verhalten und die Wechselwirkungen der Felder berechnet werden. Die Symmetrien der
Lagrange-Dichte, d.h. die Invarianzen der Lagrange-Dichte unter bestimmten Transformationen, führen zu Erhaltungsgrößen der Theorie (Noether-Theorem). Diese Erhaltungsgrößen vereinfachen wiederum das Lösen der Bewegungsgleichungen.
Die Lagrange-Dichte des Standardmodells ist invariant unter Rotationen und Translationen im Minkowski-Raum, wodurch der Viererdrehimpuls und Viererimpuls erhalten sind.
Genauso entsprechen die inneren Symmetrien (Eichsymmetrien) der Quantenfelder der
SM-Lagrange-Dichte Erhaltungsgrößen. In Abschnitt 2.1 wurde gezeigt, dass EichtheoSymmetrietransformation
Erhaltungsgröße
U(1)Y
Hyperladung
SU(2)L
schwacher Isospin
SU(3)C
starker Isospin
U(1)em
elektrische Ladung
Tabelle 2.5.: Erhaltungsgrößen der Eichsymmetrien
rien vermöge der kovarianten Ableitungen die Wechselwirkungen zwischen Eich- und
Materiefeldern bestimmen. Eine dazu äquivalente Sichtweise ist: Die in der Natur beobachteten Wechselwirkungen bestimmen die möglichen Eichsymmetrien der Lagrange-
18
2.2. Das minimal supersymmetrische Standardmodell
Dichte eines Teilchenmodells.
Eine minimale Erweiterung des Standardmodells mit gleichen Wechselwirkungen ist
somit nur durch zusätzliche Raumzeitsymmetrien der Lagrange-Dichte erreichbar. Nach
dem Coleman-Mandula-Theorem [25] kann die Poincaréalgebra nur auf triviale Weise mit
anderen stetigen Symmetrien der S-Matrix verbunden werden. Dieses Theorem gilt aber
nur, falls die zusätzlichen Symmetrien Lie-Algebren erfüllen. Die einzige Möglichkeit einer nicht-trivialen Erweiterung der Poincaréinvarianz muss demnach Antikommutatoren
beinhalten [26].
Der Supersymmetriegenerator Qa (a=1,2,3,4) wird als Majorana-Spinor-Operator eingeführt. Er erfüllt mit den Generatoren der Poincarégruppe Pµ und Jµν folgende Vertauschungsrelationen:
{Qa , Qb } = −2 (γ µ C)ab Pµ
[Qa , Pµ ] = 0
(2.42)
(2.43)
[Jµν , Qa ] = − (Σµν )ab Qb
(2.44)
Dabei ist C der Operator für die Ladungskonjugation und Σµν = 4i [γµ , γν ] der Spin-1/2Drehimpulstensor.
Aus der ersten Gleichung (2.42) ist zu erkennen, dass das Nacheinanderausführen von Supersymmetrietransformationen Qa einer Translation Pµ entspricht. Gleichermaßen führen
lokale SUSY-Transformationen zu lokalen Translationen und somit zu lokalen Koordinatentransformationen. Dies ist der Ausgangspunkt für Supergravitationstheorien.
Die Relation (2.44) bedeutet, dass der Operator Qa den Spin eines Zustandes um ± 12
ändert. Insbesondere folgt daraus
Qa |Bosoni = |Fermioni ,
Qa |Fermioni = |Bosoni
(2.45)
Qa bildet demnach fermionische auf bosonische Zustände und vice versa ab. Gleichung
(2.43) impliziert dann, dass diese Bosonen-Fermionen-Paare identische Massen haben.
Um die in der Natur beobachteten Teilchen zu erklären, müssen die Superpartner der
SM-Teilchen eine Masse haben, die jenseits der untersuchten Energieskalen liegen. Das
bedeutet, dass SUSY in der Natur gebrochen ist. (Die Teilchen des Standardmodells
können nicht die Superpartner voneinander sein, denn sie transformieren nach unterschiedlichen Darstellungen der Eichgruppen). Des Weiteren folgt aus Gleichung (2.45),
dass Q nur auf Zustände und Felder wirken kann, welche die gleiche Anzahl fermionischer
und bosonischer Freiheitsgrade haben.
19
2. Modelle der Teilchenphysik
Der Supersymmetriegenerator Qa erlaubt noch eine weitere Symmetrie, die R-Invarianz
genannt wird.
eiϕR Qa e−iϕR
=
exp(−iϕγ5 )ab Qb
(2.46)
[Qa , R]
=
(γ5 )ab Qb
(2.47)
= [Jµν , R]
(2.48)
mit
[Pµ , R] =
0
Die R-Invarianz wird später mit der Erhaltung der Lepton- und Baryonzahl in Verbindung gebracht.
Es können auch mehrere Supersymmetriegeneratoren (Q)1,...,N definiert werden. Da das
Standardmodell nur minimal erweitert werden soll, wird für das MSSM nur ein SUSYGenerator Qa benötigt.
Sämtliche Raumzeitsymmetrien, die Symmetrien der Poincarégruppe wie im Standardmodell einerseits und die neu eingeführte Supersymmetrie andererseits, werden in der
Super-Poincaréalgebra zusammengefasst.
[Pµ , Pν ] = 0
(2.49)
[Pµ , Jνκ ] = i (gµν Pκ − gµκ Pν )
(2.50)
[Jµν , J%σ ] = i (gν% Jµσ − gνσ Jµ% + gµσ Jν% − gµ% Jνσ )
(2.51)
{Qa , Qb } = −2 (γ µ C)ab Pµ
(2.52)
[Qa , Pµ ] = 0
[Jµν , Qa ] = − (Σµν )ab Qb
[Qa , R] = (γ5 )ab Qb
(2.53)
(2.54)
(2.55)
2.2.2. Komponentendarstellung und allgemeine Superfelder
Für diesen Abschnitt werden Notationen und Konventionen aus dem Anhang A benötigt.
Diese orientieren sich vor allem an [4].
Majorana-Spinoren wie der Generator Q für Supersymmetrietransformationen sind zu
sich selbst ladungskonjugiert. Sie können durch links- und rechtshändige Weyl-Spinoren
20
2.2. Das minimal supersymmetrische Standardmodell
dargestellt werden. Es gilt mit A=1,2 und Ȧ = 1̇, 2̇
Ã
Q=
QA
Q̄Ȧ
!
P L Q = QA
PR Q = Q̄Ȧ
(2.56)
Dabei projiziert PL auf den linkshändigen und PR auf den rechtshändigen Anteil von Q.
Der supersymmetrische Anteil der Super-Poincaréalgebra lautet mit diesen Konventionen:
n
o
µ
Q̄Ȧ , Q̄B = 2σ̄ȦB
Pµ
h
i
[Jµν , QA ] = −(σµν )AB QB ,
Jµν , Q̄Ȧ = −(σ̄µν )ȦḂ QḂ
h
i
Ȧ
[QA , R] = QA ,
Q̄ , R = −Q̄Ȧ
o
n
Ȧ
Ḃ
{QA , QB } = 0 = Q̄ , Q̄
h
i
Ȧ
[QA , Pµ ] = 0 = Q̄ , Pµ
©
ª
QA , Q̄Ḃ = 2σAµ Ḃ Pµ ,
(2.57)
(2.58)
(2.59)
(2.60)
(2.61)
Für supersymmetrische Feldtheorien muss der Minkowski-Raum zum Superraum erweitert werden, auf welchem Superfelder definierbar sind. Die Koordinaten des Superraumes
sind z = (xµ , θA , θ̄Ȧ ) mit µ = 0, 1, 2, 3, A = 1, 2 und Ȧ = 1̇, 2̇. Die xµ sind die üblichen
reellen Koordinaten des Minkowski-Raumes während die θA und θ̄Ȧ Grassman-Zahlen
sind, d.h sie erfüllen Antivertauschungsregeln. Eine Funktion F(z) auf dem Superraum
heißt Superfeld. Eine Komponentenzerlegung von F(z) ist
F(z) =f (x) +
√
2θξ(x) +
√
2θ̄χ̄(x) + θθM (x) + θ̄θ̄N (x)
1
+ θσ µ θ̄Aµ (x) + θθθ̄λ̄(x) + θ̄θ̄θζ(x) + θθθ̄θ̄D(x) .
2
(2.62)
Dafür werden die komplexen Skalarfelder f (x), M (x), N (x) und D(x), das komplexe
Vektorfeld Aµ (x) sowie die Spinorfelder ξA (x), ζA (x), χ̄Ȧ (x) und λ̄Ȧ (x) als Entwicklungskoeffizienten eingeführt. Somit hat F(z) 16 reelle bosonische und 16 reelle fermionische
Freiheitsgrade.
Die Darstellung der Supersymmetriegeneratoren durch Differentialoperatoren können
durch die Untersuchung infinitesimaler Transformationen gewonnen werden. Bezeichne τ
den infinitesimalen und ortsunabhängigen Grassman-Transformationsparameter von Q,
dann gilt
(xµ , θ, θ̄) → (xµ − iθσ µ τ̄ + iτ σ µ θ̄, θ + τ, θ̄ + τ̄ )
(2.63)
21
2. Modelle der Teilchenphysik
und es folgt
³
´
QA = −i ∂A + iσAµ Ḃ θ̄Ḃ ∂µ
³
´
Ȧ
Ȧ
µ ȦB
¯
Q̄ = −i ∂ + iσ̄
θB ∂µ .
(2.64)
(2.65)
Auf gleiche Weise kann
¡
¢
δF(z) = F(xµ − iθσ µ τ̄ + iτ σ µ θ̄, θ + τ, θ̄ + τ̄ ) − F(x, θ, θ̄) = i τ Q + τ̄ Q̄ F
(2.66)
ausgewertet werden. Die SUSY-Transformation kann somit durch die Transformationen
der Koeffizientenfelder δf , δξA etc. dargestellt werden (siehe [4]).
Die Lagrange-Dichte für eine supersymmetrische Feldtheorie ist aus Superfeldern und
deren Ableitungen nach xµ , θ und θ̄ aufgebaut. Die Ableitungen nach θ und θ̄ vertauschen
nicht mit den Generatoren Q und transformieren infolgedessen nicht kovariant. Damit
Ableitungen von Superfeldern kovariant transformieren, müssen die partiellen Ableitungen durch chiral kovariante Ableitungen ersetzt werden.
DA = ∂A − iσAµ Ḃ θ̄Ḃ ∂µ
D̄Ȧ = ∂¯Ȧ − iσ̄ µ ȦB θB ∂µ
(2.67)
(2.68)
2.2.3. Chirale und reelle Superfelder
Chirale Superfelder Φ sind Superfelder, deren kovariante Ableitung verschwindet.
D̄Ȧ Φ = 0
DA Φ† = 0
links chiral
(2.69)
rechts chiral/antichiral
(2.70)
Jede Funktion Φ auf dem Superraum, die nur von y µ = xµ − iθσ µ θ̄ und θ abhängt, ist
automatisch links chiral und kann wie folgt in Komponenten zerlegt werden:
1
Φ(y, θ) = φ(x) − iθσ µ θ̄∂µ φ(x) − θθθ̄θ̄∂ µ ∂µ φ(x)
4
√
i
+ 2θξ(x) + √ θθ∂µ ξσ µ θ̄ + θθF (x)
2
(2.71)
Die Entwicklungskoeffizienten φ und F sind komplexe Skalarfelder und ξ ist ein komplexes
Zweierspinorfeld. Das chirale Superfeld Φ hat somit vier reelle bosonische und vier reelle
fermionische Freiheitsgrade. Summen und Produkte links chiraler Superfelder sind selbst
wieder links chirale Superfelder. Durch hermitesche Konjugation folgen die analogen
22
2.2. Das minimal supersymmetrische Standardmodell
Beziehungen für antichirale Superfelder. Produkte links chiraler mit rechts chiralen Superfeldern sind im Allgemeinen keine chiralen Superfelder.
Reelle Superfelder V = V † werden Vektorsuperfelder genannt. Aus dem chiralen Superfeld Φ können durch Φ + Φ† und Φ† Φ Vektorsuperfelder konstruiert werden. Mit den
¯ N = M ∗ , Aµ = A∗ , ζ = λ und D = D∗ ist
Identifikationen f = f ∗ = C, χ̄ = ξ,
µ
√
√
¯ + θθM (x) + θ̄θ̄M ∗ (x) + θσ µ θ̄Aµ (x)
V (z) =C(x) + 2θξ(x) + 2θ̄ξ(x)
½
¾
½
¾
i µ
i µ ¯
+ θθθ̄ λ̄(x) − √ σ̄ ∂µ ξ(x) + θ̄θ̄θ λ(x) − √ σ ∂µ ξ(x)
2
2
½
¾
1
1
+ θθθ̄θ̄ D(x) − ∂ µ ∂µ C(x)
2
2
(2.72)
eine allgemeine Komponentendarstellung des Vektorsuperfeldes V (z). Dieses ist invariant
unter einer abelschen Supereichtransformation
V
→ V + iΛ − iΛ†
(2.73)
mit dem Vektorsuperfeld iΛ − iΛ† . In der Wess-Zumino-Eichung verschwinden die Komponentenfelder C, ξ und M , so dass
VW Z = (0, 0, 0, Aµ , λ, D)
(2.74)
1
VW Z = θσ µ θ̄Aµ (x) + θθθ̄λ̄(x) + θ̄θ̄θλ(x) + θθθ̄θ̄D(x)
2
(2.75)
gilt. In dieser Eichung besitzt V nur das Vektorfeld Aµ und das Spinorfeld λ als Komponenten. Diese werden später mit einem Eichfeld und dem dazugehörigen Gauginofeld
identifiziert. Das Hilfsfeld D ist nicht dynamisch und lässt sich durch die Bewegungsgleichungen entfernen.
Aus den chiral kovarianten Ableitungen von Vektorsuperfeldern sind Feldstärken der
Vektorsuperfelder
1
WA = − D̄D̄DA V ,
4
1
W Ȧ = − DDD̄Ȧ V
4
(2.76)
konstruierbar, die selbst wieder links bzw. rechts chiral sowie invariant unter den Supereichtransformationen (2.73) sind.
Die R-Invarianz der Supersymmetriegeneratoren wird auch für links chirale Superfelder
definiert.
Φ0 (x, eiϕ θ, e−iϕ θ̄) = eiϕRΦ Φ(x, θ, θ̄)
(2.77)
23
2. Modelle der Teilchenphysik
Im MSSM ist diese Symmetrie für ϕ = π realisiert. eiπR = (−1)R heißt Materieparität
Mp für ein allgemeines Superfeld und Rp heißt R-Parität für ein Komponentenfeld. Die
Komponenten eines Superfeldes, die Standardmodellteilchen entsprechen, haben positive
R-Parität. Die R-Parität ihrer Superpartner ist negativ.
Mit der Leptonzahl L, der Baryonenzahl B und dem Teilchenspin S kann die R-Invarianz
mit Lepton- und Baryonzahlerhaltung identifiziert werden.
Mp = (−1)3(B−L) ,
Rp = (−1)3(B−L)+2S
(2.78)
Durch R-Paritätserhaltung können SUSY-Teilchen nur in gerader Anzahl erzeugt werden.
Darüber hinaus ist das leichteste supersymmetrische Teilchen (LSP) stabil und somit ein
Kandidat für Dunkle Materie.
2.2.4. Supersymmetrische Lagrange-Dichten
Die D-Terme allgemeiner und die F-Terme chiraler Superfelder gehen bei Supersymmetrietransformationen in sich selbst plus eine totale Divergenz über [4]. Aus ihnen können
deshalb supersymmetrische Wirkungen konstruiert werden.
Für eine Theorie mit n chiralen Superfeldern Φ1 , . . . , Φn sind
Z
LK =
Z
LW =
d4 θ K(Φ1 , . . . , Φn , Φ†1 , . . . , Φ†n )
(2.79)
d2 θ (W(Φ1 , . . . , Φn ) + h.c.)
(2.80)
supersymmetrische Lagrange-Dichten, wenn das Kähler-Potential K eine beliebige reelle
und das Superpotential W eine beliebige analytische Funktion ist. Um Renormierbarkeit
zu garantieren muss das Kähler-Potential von der Form
K = Φ†1 Φ1 + . . . + Φ†n Φn
(2.81)
sein. Das Superpotential ist hingegen ein Polynom dritten Grades, wobei W nur die Φi
und W † nur die Φ†i enthält.
Zur Einbeziehung von Eichfeldern wird eine Eichtransformation der chiralen Superfelder
definiert.
¡
¢
Φ(x, θ, θ̄) → exp iTa Λa (x, θ, θ̄) Φ(x, θ, θ̄)
(2.82)
Die Λa (x, θ, θ̄) sind dabei chirale Superfelder und die Ta sind die Generatoren der Eichgruppe. Für jeden Generator wird ein Vektorsuperfeld Va (x, θ, θ̄) postuliert, so dass der
24
2.2. Das minimal supersymmetrische Standardmodell
Eichfeldterm e2gVa Ta unter Eichtransformationen wie folgt transformiert.
e2gVa Ta
¡
¢
→ exp iTa Λ̄a e2gVa Ta exp (−iTa Λa )
(2.83)
Eine supersymmetrische und eichinvariante Lagrange-Dichte ist dann
Z
Lmatter =
d4 θ Φ†i exp (2gVa Ta ) Φi
(2.84)
Die kinetischen Terme für die Eichsuperfelder werden wie im Standardmodell durch
Feldstärken gebildet.
1
WA = − D̄D̄ (exp (−2gVa Ta ) DA exp (2gVa Ta ))
Z4
Lgauge =
d2 θ WA W A + h.c.
(2.85)
(2.86)
Eine allgemeine supersymmetrische und renormierbare Lagrange-Dichte hat somit die
Gestalt
L = Lmatter + Lgauge + LW
Z
Z
†
4
=
d θ Φi exp (2gVa Ta ) Φi + d2 θ WA W A + h.c.
Z
+ d2 θ W(Φi ) + h.c.
(2.87)
2.2.5. Der Teilcheninhalt des MSSM
Die Teilchen des MSSM werden in Supermultipletts zusammengefasst. Sie enthalten
gleich viele bosonische und fermionische Freiheitsgrade. Die Superpartner der StandardmodellFermionen, Sfermionen genannt, werden in linkshändigen Dubletts und rechtshändigen
Singuletts der SU(2) angeordnet. Für die Betrachtung einer Generation von Teilchen
folgt
Ã
ν̃(L)
ẽ(L)
!
Ã
,
ẽ(R) ,
ũ(L)
d˜(L)
!
,
ũ(R) ,
d˜(R)
(2.88)
Die Indizes (L) und (R) bezeichnen nicht die Händigkeit der Felder. Da die Sfermionen
skalare Felder sind, besitzen sie keine Händigkeit. Das Selektron ẽ(R) bezeichnet demnach
das Partnerfeld zum Elektron e(R) und gleichermaßen für Sneutrinos und Squarks. Somit
passt die Anzahl der Freiheitsgrade zusammen: zwei Freiheitsgrade in den Zweierspinoren
der Fermionfelder und zwei im dazugehörigen komplexen Skalarfeld.
Um nur linkshändige Teilchen in den Multipletts zu erhalten, können rechtshändige
25
2. Modelle der Teilchenphysik
Teilchensinguletts durch ihre Antiteilchen ersetzt werden. Diese Ersetzung ist bereits
im SM möglich. Im MSSM ist dies zwingend notwendig, da nur links chirale Superfelder
im Superpotential vorkommen dürfen. Die Sfermion-Superfelder sind dann
Ã
L=
!
Lν
Ã
,
Le
Ē,
Q=
Qu
!
,
Qd
Ū ,
D̄
(2.89)
Das links chirale Leptondublett Superfeld L enthält dabei ν(L) , e(L) , ν̃(L) und ẽ(L) . Das
¡
¢C
Antileptonsingulett Superfeld Ē enthält die Felder e(R) und ẽ∗(R) . Analoges gilt für das
Quark-Superfeld Q und die Antiquark-Superfelder Ū und D̄. Für die Behandlung aller
drei Generationen werden drei Kopien dieser Felder benötigt. Da das MSSM dieselben
Materiesuperfeld
Leptonen
L
Antileptonen
Ē
Quarks
Q
Antiquarks
SU(3)-Multiplett
T3
Hyperladung
1
± 12
-1
1
0
2
3
± 12
1
3
Ū
D̄
3̄
3̄
0
0
- 34
2
3
Tabelle 2.6.: Materiesuperfelder des MSSM
Wechselwirkungen wie das Standardmodell beschreiben muss, unterliegt es derselben
Eichgruppe SU(3)C ×SU(2)L ×U(1)Y . Die Eichfelder aus dem SM erhalten Spin 1/2 Fermionen als Superpartner. Zusammen mit den Eichfeldern sind diese vier-komponentigen
Majorana-Spinoren (Gauginos) in den Superfeldern enthalten.
SU(2)L :
n
o
Bµ , λ̃0
n
o
(V W )a =
(W µ )a , λ̃a , a = 1, 2, 3
SU(3)C :
(Vg )ā =
U(1)Y :
VY =
(2.90)
{(Gµ )ā , g̃ā } , ā = 1, ..., 8
Die links und rechts chiralen Komponenten der Gauginos gehen durch Ladungskonjugation auseinander hervor. Im Standardmodell reicht ein Higgsdublett φ aus, um allen
Fermionen und den drei Eichbosonen W ± und Z 0 ihre Massen zu geben. Yukawaterme
wie in Gleichung (2.38) dürfen im Superpotential nicht vorkommen, weil sie φ und φC
enthalten und damit nicht analytisch in links chiralen Superfeldern wären. Es müssen
26
2.2. Das minimal supersymmetrische Standardmodell
Eichsuperfeld
Name
Gruppe
Felder
Hyperladung
U(1)Y
Bµ , λ̃0
(V W )a
schwacher Isospin
SU(2)L
(W µ )a , λ̃a
(Vg )ā
Farbe
SU(3)C
(Gµ )ā , g̃ā
Y
V
Tabelle 2.7.: Eichsuperfelder des MSSM
demzufolge zwei Higgs-Dubletts h1 und h2 mit ihren Vakuumerwartungswerten v1 und
v2 eingeführt werden.
Ã
h1 =
Ã
h2 =
!
h1 0
h1 −
,
1
hh1 i = √
2
,
1
hh2 i = √
2
!
h2 +
h2 0
Ã
Ã
!
v1
0
!
0
v2
(2.91)
Von den insgesamt acht Freiheitsgraden dieser Felder werden drei zu den longitudinalen
Moden der massiven Eichbosonen. Nach elektroschwacher Symmetriebrechung bleiben
fünf physikalische Higgs-Bosonen übrig. Die Massen der Eichbosonen sind jetzt von
beiden VEW abhängig.
MW
gL
=
2
q
v12
+
1
MZ =
2
v22 ,
q
q
gL2
+
gY2
v12 + v22 ,
tan β =
v2
v1
(2.92)
Die Yukawa-Wechselwirkungsterme geben den Fermionen wie im SM ihre Massen.
1
meij = √ λeij ∗ v1 ,
2
1
∗
mdij = √ λdij v1 ,
2
1
muij = √ λuij ∗ v2
2
(2.93)
Im MSSM werden die Massen von u- und d-Quarks allerdings unabhängig voneinander
erzeugt. Die Superpartner der Higgs-Bosonen sind die Higgsinos. Diese links chiralen
0
Spin 1/2 Fermionen können zu vierkomponentigen Spinoren kombiniert werden ( h̃1 L
+
−
0
mit ( h̃2 L )C und h̃1 L mit ( h̃2 L )C ).
Ã
h̃1L =
h̃1
h̃1
0
!
Ã
,
−
h̃2L =
h̃2
+
h̃2
L
!
(2.94)
0
L
Die Superfelder im Higgs-Sektor sind H1 für h1 und h̃1L und H2 für h2 und h̃2L .
Ã
H1 =
H10
H1−
!
Ã
,
H2 =
H2+
H20
!
(2.95)
27
2. Modelle der Teilchenphysik
Die Voraussetzungen der erhaltenen R-Parität (Baryon- und Leptonzahlerhaltung) und
Higgs-Superfeld
H1
T3
± 12
Hyperladung
-1
H2
± 12
1
Tabelle 2.8.: Higgs-Superfelder des MSSM
der Auslöschung von Anomalien im Higgsino-Sektor (Renormierbarkeit) machen diese
Superfelder zur minimalen Erweiterung des Standardmodells. Um ein realistisches Modell
zu erhalten, müssen die Supersymmetrie und die elektroschwache Eichsymmetrie noch
gebrochen werden, denn die Felder in Tabellen 2.6, 2.7 und 2.8 sind Wechselwirkungsund keine Masseneigenzustände.
2.2.6. Die Lagrange-Dichte des MSSM
Die Lagrange-Dichte des MSSM lässt sich in einen supersymmetrischen und einen softBrechungsanteil aufteilen.
LMSSM = LSUSY + Lsoft
(2.96)
Der supersymmetrische Anteil besteht aus den Lagrange-Dichten für Eichfelder, Materiefelder und Higgsfelder. Im MSSM wird die Erhaltung der R-Parität gefordert, wodurch
die Form der Terme in LMSSM eingeschränkt wird.
¡
¢
¡
¢
Die Feldstärken für die Eichsuperfelder V Y , V W a und (Vg )ā werden jeweils mit W Y A ,
(W a )A und (W ā )A bezeichnet. Die Lagrange-Dichte der Eichfelder lautet somit
Lgauge
1
=
4
Z
d2 θ
³¡
WY
¢A ¡
WY
¢
´
a A
a
ā A
ā
+
(W
)
(W
)
+
(W
)
(W
)
A
A + h.c.
A
(2.97)
wobei über a von 1 bis 3 und über ā von 1 bis 8 summiert wird.
Für die Materie-Lagrange-Dichte folgt gleichermaßen mit den Pauli-Matrizen σa und
den Gell-Mann-Matrizen λā
Z
n
ā
Y
ā
Y
Lmatter =
d4 θ Ūi† e(−gs (Vg )ā λ̄ +gY V Y ) Ūi + D̄i† e(−gs (Vg )ā λ̄ +gY V Y ) D̄i
+Q†i e(gs (Vg )ā λ
(V W )a σa +gY V Y Y ) Q + Ē † e(gY V Y Y ) Ē
i
i
i
o
a
Y
W
+ L†i e(gL (V )a σ +gY V Y ) Li
28
ā +g
L
(2.98)
2.2. Das minimal supersymmetrische Standardmodell
Für die SU(3)-Transformationen der D̄ und Ū müssen die komplex konjugierten GellMann-Matrizen λ̄ā verwendet werden, da diese Antiquark-Superfelder als Farbantitripletts transformieren. Über den Generationsindex i wird von 1 bis 3 summiert.
Die Mischungen zwischen den drei Generationen von Teilchen entstehen durch den Superpotentialterm der Higgs-Lagrange-Dichte.
Z
LHiggs =
4
n
W
a
Y
H1† e(gL (V )a σ +gY V Y ) H1
dθ
+
Z
Z
†
+ d2 θ WMSSM + d2 θ̄ WMSSM
W
a
Y
H2† e(gL (V )a σ +gY V Y ) H2
o
(2.99)
WMSSM = µH1 · H2 − λeij (H1 · Li ) Ēj − λdij (H1 · Qi ) D̄j − λuij (Qi · H2 ) Ūj
(2.100)
Dabei gilt X · Y = ²AB X A Y B für SU(2)-Dubletts X, Y . Die λij sind wie bereits im Standardmodell die Yukawa-Kopplungen. Diese Yukawa-Wechselwirkungen führen zu Massentermen für Fermionen und Sfermionen, sobald die Higgsfelder ihre nicht-verschwindenden
Vakuumerwartungswerte erhalten. Der supersymmetrische Higgs-Parameter µ hat die
Dimension einer Masse, wodurch der erste Term in Gleichung (2.100) als HiggsinoMassenterm interpretierbar ist.
Der zweite Term der MSSM-Lagrange-Dichte wird benötigt um die Supersymmetrie zu
brechen. Soft-brechende Terme lassen sich als supersymmetrische Wechselwirkungsterme
mit einem chiralen Superfeld η = θθ f0 , welches einen Vakuumerwartungswert erhält,
verstehen. Eine allgemeine renormierbare soft-brechende Lagrange-Dichte kann mit η als
Z
Lgen
soft
=
Z
4
†
† (2gVa Ta )
d θ η ηΦ e
Φ+
Z
2
A
d θ ηWA W + h.c. +
d2 θ W(, η, Φ) + h.c. (2.101)
geschrieben werden. Das Feld η wird somit zu einem Botschafterfeld, welches die Supersymmetriebrechnung aus einem versteckten Sektor in den beobachtbaren Sektor übermittelt.
Für das MSSM kann Lsoft in drei Typen von Brechungstermen zerlegt werden: Massenterme für Skalarfelder, Massenterme für Gauginos und Brechungsterme aus dem Superpotential WMSSM .
Massenterme für Skalarfelder
Lscal
soft =
∗
(M2q̃ )ij q̃j(L) − ũ∗i(R) (M2ũ )ij ũj(R) − d˜∗i(R) (M2d˜)ij d˜j(R)
−q̃i(L)
−˜l∗ (M2 )ij ˜lj(L) − ẽ∗ (M2 )ij ẽj(R) − m2 |h1 |2 − m2 |h2 |2
i(L)
l̃
i(R)
ẽ
1
(2.102)
2
29
2. Modelle der Teilchenphysik
Die Massenmatrizen der Sfermionen in Lscal
soft sind hermitesche 3×3-Matrizen im
Raum der Generationen von Teilchenfeldern. Durch diese Terme erhalten die Sfermionen Massenterme, die nicht durch den Higgs-Mechanismus entstehen.
Massenterme für Gauginos
Lgaugino
soft
´
1³ ¯
¯
¯
= − M1 λ̃0 PL λ̃0 + M2 λ̃a PL λ̃a + M3 g̃ā PL g̃ā + h.c.
2
(2.103)
In den Gaugino-Massentermen sind M1 , M2 und M3 komplexe Massenparameter
für die Gauginos der Eichgruppen (siehe Tab. 2.7) und PL ist der Projektor für die
links-händigen Spinorkomponenten.
Brechungsterme aus dem Superpotential
£
e e
∗
d d
˜
˜∗
LW
soft = − h1 · li(L) (f A )ij ẽj(R) + h1 · q̃i(L) (f A )ij dj(R)
¤
+q̃i(L) · h2 (f u Au )ij ũ∗j(R) + h.c. − (Bµh1 · h2 + h.c.)
(2.104)
Diese soft-brechende Lagrange-Dichte enthält die trilinearen Brechungsterme f k Ak
(3×3-Matrizen im Generationenraum) und den Brechungsparameter B für die
Higgs-Felder. Die Parameter A und B haben dabei die Dimension einer Masse.
2.2.7. Elektroschwache Symmetriebrechung und
Teilchenmischung
Wie im Standardmodell wird auch im MSSM die elektroschwache Symmetrie durch den
Higgs-Mechanismus spontan zur Symmetrie des Elektromagnetismus gebrochen, wodurch
Massenterme generiert werden. Mit den Vakuumerwartungswerten v1 und v2 können die
Higgs-Dubletts durch
1
h1 = √
2
30
Ã
v1 + φ01 − iχ01
√
− 2φ−
1
!
,
1
h2 = √
2
Ã
√
2φ+
2
0
v2 + φ2 + iχ02
!
(2.105)
2.2. Das minimal supersymmetrische Standardmodell
parametrisiert werden. Nach Einführung von tan β = v2 /v1 , (0 ≤ β ≤ π/2) sind die acht
Masseneigenzustände durch
Ã
G0
A0
!
Ã
=
!Ã
cos β sin β
− sin β cos β
χ01
χ02
!
Ã
,
G±
H±
!
Ã
=
cos β sin β
− sin β cos β
!Ã
φ±
1
φ±
2
!
(2.106)
Ã
H0
h0
!
Ã
=
cos α sin α
− sin α cos α
!Ã
φ01
φ02
!
,
tan 2α = tan 2β
MA2 + MZ2
π
, − ≤α≤0
2
2
MA − MZ
2
gegeben. Die G0 und G± sind hierbei die unphysikalischen Goldstone-Bosonen, welche
zu den transversalen Moden der Z 0 - beziehungsweise W ± -Bosonen werden, während
die Felder H 0 , h0 , A0 und H ± fünf physikalische Higgs-Bosonen sind. Die Massen der
Eichbosonen und Standardmodellfermionen wurden bereits in Abschnitt 2.2.5 angegeben.
Nach der elektroschwachen Symmetriebrechung können Teilchen mit gleichen Quantenzahlen mischen. Dies bedeutet, dass sich die elektrisch geladenen Higgsinos und Gauginos
zu Charginos kombinieren lassen, welche als Masseneigenzustände definiert werden können. Gleichermaßen mischen die elektrisch neutralen Higgsinos und Gauginos zu den
Neutralinos. Darüber hinaus mischen auch die Sfermionen einer Generation.
Charginos Für die SU(2)L -Gauginos lassen sich Ladungszustände λ± = 2−1/2 (λ1 ∓ λ2 )
analog zu den Ladungszuständen W ± definieren. Die Massenterme der Gauginos
aus Lgaugino
, der Higgsinos aus WMSSM und der Gaugino-Higgsino-Wechselwirkung
soft
nach der elektroschwachen Symmetriebrechung lassen sich dadurch zu
¡ − ¢T ¡ + ¢
Lcha
X ψ + h.c.
mass = − ψ
(2.107)
zusammenfassen, wenn ψ und X wie folgt definiert sind:
Ã
ψ+ =
Ã
X=
λ+
h̃2
+
!
Ã
,
M2
√
2MW cos β
ψ− =
√
λ−
h̃1
!
(2.108)
−
2MW sin β
µ
!
(2.109)
Durch unitäre Matrizen U und V kann die Matrix X diagonalisiert werden.
U ∗ XV −1 = Mdiag
cha ,
χ+ = Vψ + ,
χ− = Uψ −
(2.110)
31
2. Modelle der Teilchenphysik
Die zugehörigen Masseneigenzustände χ± können zu Dirac-Spinoren, den Charginos, kombiniert werden.
Ã
!
χ+
χ̃+
c =
χ−
, c = 1, 2
T
(2.111)
c
Neutralinos Für die neutralen Higgsinos und Gauginos können die Betrachtungen gleichermaßen durchgeführt werden. Mit (ψ 0 )T = (λ0 , λ3 , h̃01 , h̃02 ) lauten die HiggsinoGaugino-Massenterme
Lneu
mass = −
Die Massenmatrix

M1
1 ¡ 0 ¢T ¡ 0 ¢
ψ
Y ψ + h.c.
2
0


0
M2
Y=
 −M c s
MZ cβ cW
Z β W

MZ sβ sW −MZ sβ cW
(2.112)
−MZ cβ sW
MZ sβ sW
MZ cβ cW
0
−µ
−MZ sβ cW
−µ
0






(2.113)
wird durch eine unitäre Matrix Z diagonalisiert.
Z ∗ YZ −1 = Mdiag
neu ,
χ0 = Zψ 0
(2.114)
und die Masseneigenzustände χ0 können abschließend zu Majorana-Spinoren, den
vier Neutralinos χ̃0n , zusammengefasst werden.
Ã
χ̃0n =
χ0
χ0
!
, n = 1, 2, 3, 4
T
(2.115)
n
Sfermionen Die links- und rechtshändigen Sfermionen (Sleptonen und Squarks) mischen ebenfalls in Masseneigenzustände. Die Massenterme aus der soft-brechenden
Lagrange-Dichte und dem Superpotential (nach elektroschwacher Symmetriebrechung) lassen sich wie folgt zusammenfassen.
Lsfer
mass
32
³
´
†
†
= − f˜(L)
, f˜(R)
Msfer
Ã
f˜(L)
f˜(R)
!
(2.116)
2.2. Das minimal supersymmetrische Standardmodell
Zur Diagonalisierung von Msfer wird wiederum eine unitäre Matrix Usfer benötigt.
Ã
f˜1
f˜2
Ã
!
= Usfer
f˜(L)
f˜(R)
!
,
†
Usfer Msfer Usfer
= Mdiag
sfer
(2.117)
Eine genauere Darstellung der Massenmatrix wird in Kapitel 5 für die Renormierung der Sleptonmassen gegeben, deswegen wird an dieser Stelle darauf verzichtet.
33
2. Modelle der Teilchenphysik
34
3. Grundlegendes zu (g-2)
Magnetische Eigenschaften von Körpern spielten in der Geschichte der Physik eine entscheidende Rolle. Viele Phänomene des Elektromagnetismus können in der klassischen
Physik beschrieben werden, aber die atomare Struktur der Materie in unserem Universum
kann nur quantenmechanisch erklärt werden. Die Untersuchung magnetischer und elektrischer Eigenschaften der Atome haben oft zu neuen Erkenntnissen in der Quantenmechanik beigetragen und eine erhebliche Rolle beim Verständnis von Quantenphänomenen
gespielt. Es werden deshalb im Folgenden einige Grundlagen magnetischer Momente
rekapituliert, bevor auf das anomale magnetische Moment des Myons eingegangen wird.
3.1. Das magnetische Moment ~µ
In der klassischen Elektrodynamik ist das magnetische Dipolmoment einer Drahtschleife,
~ 2 umschließt, definiert als
durch die ein Strom I fließt und die dabei eine Fläche |A|
~
~µ = I · A
(3.1)
Das Magnetfeld einer solchen Drahtschleife entspricht dem eines kurzen Stabmagneten
~ wirkt auf die Drahtschleife ein Drehmo(eines Dipols). In einem äußeren Magnetfeld B
ment ~τ und sie besitzt die potentielle Energie W .
~
~τ = ~µ × B
~
W = −~µ · B
(3.2)
Dieser Fall kann auf ein Elektron in der Atomhülle übertragen werden, denn es entspricht
einem Kreisstrom um den Atomkern. Die Stromstärke und der Flächenvektor lassen sich
durch die Elementarladung e, die Elektronenmasse me und den Bahndrehimpuls ~l des
Elektrons ausdrücken, so dass für das magnetische Dipolmoment ~µl folgt
~µl = −
e ~
· l = −γl · ~l
2me
(3.3)
mit dem gyromagnetischen Verhältnis für das Moment des Bahndrehimpulses γl . Die
potentielle Energie ist dadurch dem Betrag des Bahndrehimpulses proportional. Auf
35
3. Grundlegendes zu (g-2)
atomaren Skalen muss die klassische Physik durch die Quantenmechanik ersetzt werden.
Alle Betrachtungen erfolgen analog und liefern die gleichen Ergebnisse. Der Drehimpuls
ist in der Quantenphysik aber quantisiert, was zu einer Aufspaltung der Energieniveaus
im Atom führt (normaler Zeeman-Effekt). Unter Berücksichtigung der relativistischen
Massenzunahme des Elektrons verschieben sich die Energieniveaus zusätzlich. Die experimentellen Messungen dieser Effekte bestätigten sowohl die Quantenmechanik als auch
die Spezielle Relativitätstheorie.
Durch die Experimente von Stern und Gerlach zeigte sich, dass Elektronen außer Masse
und Ladung eine weitere intrinsische Eigenschaft haben müssen. Goudsmit und Uhlenbeck vermuteten, dass das Elektron einen intrinsischen Drehimpuls ~s hat. Dieser sollte
denselben Quantisierungsregeln wie der Bahndrehimpuls ~l unterliegen und infolge dessen
zu einem magnetischen Moment
~µs = −γs · ~s
(3.4)
führen. Aus experimentellen Beobachtungen ergab sich, dass der Elektronenspin halbzahlig ist. Durch den Einstein-de-Haas-Versuch konnte außerdem das gyromagnetische
Verhältnis für den Spin γs bestimmt werden. Es ist annähernd doppelt so groß wie das
für den Bahndrehimpuls: γs ≈ 2γl . Mit dem Landé-Faktor gs kann deshalb
µ
~µs = −gs
e
2me
¶
~s
(3.5)
geschrieben werden.
Der zusätzliche Eigendrehimpuls ~s des Elektrons führt in der Spektroskopie zur SpinBahn-Wechselwirkung. Aber er modifiziert auch Gleichung (3.3) und führt zum anomalen
Zeeman-Effekt. Zum Gesamtdrehimpuls ~j gehört demnach das magnetische Moment ~µj
~µj = ~µl + µ
~s = −
´
e ³~
l + gs~s
2me
(3.6)
(Diese Gleichung ist allgemeiner als (3.3) und damit der Normalfall. Die Bezeichnung
”anomaler“ Zeeman-Effekt ist historisch bedingt.)
Da der Landé-Faktor gs annähernd gleich 2 ist, kann die Abweichung von diesem Wert
mit
a=
36
g−2
2
(3.7)
3.2. Das magnetische Moment in der Quantenfeldtheorie
bezeichnet werden. a wird das anomale magnetische Moment genannt. Das magnetische
Moment des Spins lautet mit diesen Bezeichnungen
µ
~µs = −2(1 + a)
e
2me
¶
~s
(3.8)
In der Mitte der 1920er Jahre war es notwendig Elektronen mit Spin 1/2, die sich in
einem externen elektromagnetischen Feld befinden, relativistisch und quatenmechanisch
zu beschreiben. Eine semi-empirische nicht-relativistische Gleichung dafür fand Wolfgang
Pauli. Paul Dirac leitete später die nach ihm benannte relativistisch kovariante DiracGleichung her. Sie führt im nicht-relativistischen Limes auf die Pauli-Gleichung. Für ein
Teilchen der Masse m und der Ladung e, beschrieben durch den Diracspinor ψ(x), gilt
in einem elektromagnetischen Feld Aµ (x) folgende Bewegungsgleichung (mit ~ = c = 1)
£
¤
/ − m ψ(x) = 0
i∂/ − eA
(3.9)
Die Dirac-Gleichung liefert für den Landé-Faktor gS = 2. Experimentell werden Abweichungen von diesem Wert gemessen. Die Strahlungskorrekturen, die diese Abweichungen
verursachen, können im Rahmen von Quantenfeldtheorien berechnet werden. Die erste
Quantenfeldtheorie, mit der dies gemacht wurde, ist die Quantenelektrodynamik, kurz
QED genannt.
3.2. Das magnetische Moment in der
Quantenfeldtheorie
Alle Betrachtungen des vorigen Abschnitts gelten gleichermaßen für Myonen. Statt einem
elektromagnetischen Feld innnerhalb eines Atomes wird ab sofort der allgemeine Fall
eines Spin 1/2 Myons betrachtet, welches mit einem elektromagnetischen Feld wechselwirkt.
Im Jahre 1948 konnte Julian Schwinger im Rahmen der Quantenelektrodynamik erste
theoretische Werte für a berechnen [8]. Die Einschleifenkorrektur in der QED, welche für
alle Leptonen gleich ist, beträgt
α
aQED(1) =
(3.10)
2π
Dieser Beitrag entsteht durch virtuelle Elektron-Photon-Wechselwirkungen. Schwinger’s
Berechnung von aQED(1) war einer der ersten großen Erfolge für Quantenfeldtheorien,
da dieser Wert bereits 99% der gemessenen Anomalie erklärt. In der Quantenelektro-
37
3. Grundlegendes zu (g-2)
dynamik kann das Matrixelement für die Photon-Myon-Wechselwirkung sehr einfach in
Kovarianten zerlegt werden. Neben den Viererimpulsen p1 , p2 der Myonen stehen die
γ-Matrizen γ α und der aus ihnen aufgebaute Spin 1/2-Drehimpulstensor σ αβ = 2i [γ α , γ β ]
als kovariante Größen zur Verfügung.
gpe
d
µ(p2 )
γ(q)
= iΓα (p1 , p2 ) = iū(p2 )Πα u(p1 )
(3.11)
µ(p1 )
·
= (−ie)ū(p2 ) γ α FE (q 2 ) +
¸
i αβ
2
σ qβ FM (q ) u(p1 )
2mµ
(3.12)
Im Formfaktor Πα des elektromagnetischen Vertex stecken die Formfaktoren der elektrischen Ladung FE (q 2 ) und des magnetischen Dipolmomentes FM (q 2 ). Sie hängen beide
nur vom Betragsquadrat des Impulsübertrages q 2 = (p2 − p1 )2 ab. Im klassischen Limes,
d.h. für q 2 → 0, nehmen sie folgende Werte an:
FE (0) = 1 ,
FM (0) = aµ
(3.13)
Daraus ist erkennbar, dass der magnetische Formfaktor FM zur Bestimmung des anomalen magnetischen Momentes des Myons aµ benötigt wird.
Die Behandlung im Standardmodell gestaltet sich anspruchsvoller. Die schwache Wechselwirkung verletzt Parität P und CP . In der Kovariantenzerlegung spiegelt sich dies
dadurch wider, dass außer den Impulsen p1 , p2 und den γ α auch γ5 als Kovariante
zur Verfügung steht. Wenn die äußeren Leptonen die Dirac-Gleichung erfüllen, ist eine
allgemeine Darstellung von Πα in Kovarianten mit den Impulsvariablen P α = (p1 + p2 )α
und q α = (p2 − p1 )α durch
Πα = γ α A1 + P α
A5
A6
A2
A3
+ qα
+ γ α γ5 A 4 + q α γ5
+ iP α γ5
2m
2m
2m
2m
(3.14)
gegeben. Die kinematische Abhängigkeit der skalaren Koeffizienten Ai ist durch q 2 festgelegt. Aus diesem Ansatz folgt durch Anwendung von Gordon-Identitäten der allgemeine
Formfaktor für den elektromagnetischen Vertex im Standardmodell
µ
qα
Π = γ FE (q ) + γ − 2m 2
q
α
α
2
α
¶
γ5 FA (q 2 ) + iσ αβ qβ
FM (q 2 )
FD (q 2 )
+ σ αβ qβ
2m
2m
(3.15)
Hierbei ist FD (q 2 ) der Formfaktor für ein mögliches elektrisches Dipolmoment und FA (q 2 )
der Formfaktor für das Anapolmoment. Im SM gilt FE (q 2 ) = 1 auf tree-level, während
38
3.3. Der Projektor des magnetischen Formfaktors
alle anderen Formfaktoren auf tree-level verschwinden.
Ein möglicher effektiver Wechselwirkungsterm für aµ in der Lagrange-Dichte wäre von
der Form
e
a
Lefµf ∝ −aµ
ψ̄σ αβ Fαβ ψ
(3.16)
mµ
Die effektive Kopplung e aµ /mµ hat Massendimension -1. Das bedeutet, solch ein Term
ist nicht renormierbar und deshalb in der Lagrange-Dichte, welche die Theorie definiert,
verboten. Auf tree-level muss das anomale magnetische Moment deshalb stets verschwinden und mit ihm ist kein freier Parameter der Theorie verbunden. Daraus folgt, dass aµ
durch Störungsrechnungen ermittelt und zur Überprüfung der Theorie genutzt werden
kann.
3.3. Der Projektor des magnetischen Formfaktors
Zur Bestimmung des anomalen magnetischen Moments wird der magnetische Formfaktor
extrahiert. Dies geschieht durch die Anwendung eines Projektors Pα auf den Formfaktor
Πα und anschließende Spurbildung.
FM (q 2 ) = Sp [Pα Πα ]
(3.17)
Für alle Formfaktoren gibt es einen entsprechenden Projektor. Alle Projektoren sind
dabei von der allgemeinen Form
³
´
³
´
α
P = p/1 + m Λ (p1 , p2 ) p/2 + m
α
(3.18)
mit einer Funktion Λα (p1 , p2 ), die für jeden Formfaktor spezifisch ist. Die Formfaktoren
aus Gleichung (3.15) enthalten divergente Schleifenintegrale. Um diese zu regularisieren,
werden sie günstigerweise in D Dimensionen berechnet. Für den magnetischen Formfaktor
FM in D Dimensionen lautet die Λ-Funktion
2m2
Λ (p1 , p2 ) =
(D − 2)q 2 (q 2 − 4m2 )
α
µ
(D − 2)q 2 + 4m2 (p1 + p2 )α
γ +
q 2 − 4m2
2m
α
¶
(3.19)
Da aµ = FM (0), gilt
h³
aµ = lim
Sp
2
q →0
´
³
´
i
p/1 + m Λα (p1 , p2 ) p/2 + m Πα (p1 , p2 )
(3.20)
39
3. Grundlegendes zu (g-2)
und Πα (p1 , p2 ) muss bis zu erster Ordnung für kleine q entwickelt werden. Mit p = p1
lautet die Entwicklung
¯
¯
∂
¯
Πα (p1 , p2 ) ≈ Πα (q = 0) + q
Π
(p
,
p
)
α
1
2
¯
∂q β
q=0
β
(3.21)
= Vα (p) + q β Tβα (p)
Nach Mittelung des Impulsübertrages über alle Raumrichtungen kann aµ allgemein gültig
berechnet werden.
aµ =
£
¤
1
Sp (p/ + m)[γ α , γ β ](p/ + m)Tβα (p)
8(D − 2)(D − 1)m
¯
£ 2 α
¤¯
1
α
α
+
Sp (m γ − (D − 1)mp − Dp/p )Vα (p) ¯¯
4(D − 1)m2
p2 =m2
(3.22)
Die hier beschriebene Projektionstechnik lässt sich gut in gängige Computer-AlgebraSysteme implementieren und ist deshalb für Schleifenrechnungen zu (g-2) geeignet.
3.4. Messung des anomalen magnetischen Moments
Das anomale magnetische Moment aµ entsteht durch die Wechselwirkung des Myonenspins mit einem äußeren magnetischen Feld. Die Messung von (g-2)µ beruht auf der
Messung der Spinrichtung stark polarisierter Myonen in magnetischen Speicherringen.
Durch Zerfälle von Pionen in Neutrinos und Myonen entstehen stark polarisierte Myonen,
die in ein Magnetfeld eingeschossen werden. Die Achse des Myonspins präzessiert in
diesem Magnetfeld durch das magnetische Moment des Myons. Im Experiment wird
außer dem Magnetfeld auch noch ein elektrisches Quadrupolfeld angelegt, um die Myonen im Speicherring zu halten. Die Bewegungsgleichung der Myonen in einem äußeren
~ B)
~ wird aus der allgemeinen Lorentz-Kraft
elektromagnetischen Feld (E,
d~p
d
~ + ~v × B)
~
F~ =
= (γm~v ) = e(E
dt
dt
(3.23)
mit dem relativistischen Lorentzfaktor γ = (1− β~ 2 )−1/2 und der Geschwindigkeit β~ = ~v /c
berechnet. Diese Bewegungsgleichung kann noch weiter umgeschrieben werden, wenn wie
~ und B
~ benutzt werden. Das heißt, mit ~v · B
~ =0=
im Experiment transversale Felder E
40
3.4. Messung des anomalen magnetischen Moments
~ kann
~v · E
d~v
=ω
~ c × ~v ,
dt
e
ω
~c = −
m
Ã
2
~ × ~v
E
~+ γ
B
γ 2 − 1 c2
!
(3.24)
geschrieben werden. ω
~ c bezeichnet hier die Zyklotronfrequenz. Für die zeitliche Verände~ (Präzession) folgt analog dazu
rung des Spinvektors S
~
dS
=
dt
~
ω
~s × S
γ − 1 d~v
e
ω
~s =
× ~v − g
2
v dt
2m
Ã
~
~ v
~ − ~v × E + 1 − γ (~v · B)~
B
c2
γv 2
!
(3.25)
~ verschwindet der letzte Term. Die Transversalität ist zwar im ExFür transversales B
~ · ~v ≈ 0 genähert und der letzte
periment nicht exakt gegeben, im Weiteren wird aber B
Term in (3.25) vernachlässigt.
Die Differenz beider Kreisfrequenzen ist eine lineare Funktion des anomalen magnetischen
Moments aµ .
"
#
µ
¶ ~
e
E
×
~
v
1
~ + aµ −
ω
~a = ω
~s − ω
~c = −
aµ B
(3.26)
m
γ2 − 1
c2
Für eine Myonenergie von etwa 3,1 GeV nimmt der γ-Faktor seinen “magischen Wert”
an, bei dem der zweite Term in Gleichung (3.26) verschwindet. Die Kreisfrequenz ω
~a
ist dem anomalen magnetischen Moment aµ dann direkt proportional und außerdem
~ Experimentell führt das elektrische
unabhängig vom Einfluss des elektrischen Feldes E.
Feld zu kleinen aber wichtigen Korrekturen, falls der Impuls der Myonen von seinem
“magischen Wert” abweicht [9]. Im Idealfall gilt jedoch
¯
1 ¯¯
aµ − 2
≈0
γ − 1 ¯E≈3,1 GeV
⇒
ω
~ a ≈ −aµ
e ~
B
m
(3.27)
Die für die Myonerzeugung benötigten Pionen entstehen beim Beschuss eines Targets mit
Protonen. Die dabei erzeugten Resonanzen zerfallen in Pionen und diese wiederum über
die schwache Wechselwirkung in Myonen und Neutrinos. Weil Pionen Pseudoskalare sind,
haben die Zerfallsprodukte entgegengesetzten Spin und gleiche Helizitäten. Da es aber
nur linkshändige Neutrinos und rechtshändige Antineutrinos gibt, ist die Spinrichtung
der Myonen damit bestimmt.
Die untersuchten Myonen haben relativistische Energien. Das ist einerseits vorteilhaft, da
bei etwa 3,1 GeV der Einfluss des elektrischen Feldes auf die Frequenz der Spinpräzession
reduziert ist. Andererseits gilt bei dieser Energie γ ≈ 30, so dass die Lebensdauer der
41
3. Grundlegendes zu (g-2)
Myonen im Laborsystem rund 30-mal größer als im Ruhsystem der Myonen ist. Sie
können dadurch den Speicherring viele Male durchlaufen.
Letztendlich zerfallen sie aber durch die schwache Wechselwirkung in Positronen/Elektronen und Neutrinos. Da in diesem Zerfall die Parität maximal verletzt ist, ist die
Emissionsrichtung der Positronen/Elektronen stark mit der Spinrichtung der Myonen
korreliert. Die Positronen/Elektronen haben dieselbe Helizität wie die Myonen und werden demnach in Richtung des Myonspins emittiert. Über die Messung dieser Positronen
wird somit auch die Richtung des Spins der Myonen zum Zeitpunkt des Zerfalls ermittelt.
~ notwendig. Für die MesDes Weiteren ist zur Bestimmung von aµ das Magnetfeld B
~ wird die Protonmasse und die Myonmasse benötigt (N uclear M agnetic
sung von B
Resonance). Die Myonmasse wird aus spektroskopischen Messungen von Myonium (µ+ e− )
ermittelt.
3.5. Gliederung der Beiträge im Standardmodell
Feynman-Diagamme im Standardmodell, die zu (g-2) des Myons beitragen, können in
verschiedene Gruppen eingeteilt werden. Entsprechend den Teilchen innerhalb der Strahlungskorrekturen werden sie in reine QED-Korrekturen, elektroschwache Beiträge und
hadronische Beiträge gegliedert.
3.5.1. QED-Beiträge
Für reine QED-Wechselwirkungen gibt es nur ein Feynman-Diagramm in Einschleifenordnung. Dieses Diagamm wurde von Julian Schwinger bereits 1949 berechnet und
führt mit e2 /8π 2 zum größten Beitrag zu aµ [8]. Darüber hinaus ist dieser Beitrag für
alle Leptonen universell. Diagramme höherer Ordnungen liefern Beiträge, die neben
der Elementarladung e ebenfalls von den Massen der äußeren und inneren Teilchen
abhängig sind. Die Massenabhängigkeiten treten dabei in Verhältnissen von Massen und
Logarithmen von Massenverhältnissen auf.
Reine QED-Beiträge sind bis heute bis zur Vierschleifenordnung berechnet. Die Ein-,
Zwei- und Dreischleifendiagramme sind vollständig analytisch bekannt. Die Vierschleifendiagramme sind nur zum Teil analytisch aber vollständig numerisch berechnet.
e2
Die QED-Beiträge lassen sich in Potenzen von α/π entwickeln, wobei α = 4π
die Feinstrukturkonstante ist. Die Genauigkeit der numerischen Auswertung ist deshalb abhängig
von der genauen Kenntnis von α. Bei den massenabhängigen Diagrammen ist die numerische Auswertung außerdem von der Genauigkeit der Leptonmassen abhängig.
42
3.5. Gliederung der Beiträge im Standardmodell
3.5.2. Elektroschwache Beiträge
Zu den elektroschwachen Beiträgen zählen alle Feynman-Diagramme, die virtuelle W-,
Z- oder Higgs-Bosonen enthalten. Die elektroschwachen Zweischleifendiagramme zerfallen
in Terme mit führenden und nicht-führenden Logarithmen. Führende Logarithmen sind
W
zum Beispiel ln M
. Terme, die proportional zu solchen Logarithmen sind, sind durch
mµ
das Verhältnis von W- bzw. Z-Masse zu Myonmasse sehr groß und führen deswegen zu
großen numerischen Beiträgen zu aµ .
Ab der Zweischleifenordnung können auch Quarks in inneren Schleifen auftreten. Solche
Diagramme können genauso berechnet werden wie die entsprechenden Leptondiagramme.
Da Quarks aber nicht als isolierte Teilchen in der Natur vorkommen, sind die Ergebnisse
schwer interpretierbar. Beim Auswerten muss festgelegt werden, ob die Quarks nackte
oder effektive Massen haben. Diese Schwierigkeit hängt damit zusammen, dass störungstheoretisch gerechnet wird, obwohl die Quarks bei diesen Energien nicht-perturbativ
behandelt werden müssen. Für schwere Quarks und Leptonen (3. Generation) haben
diese Schwierigkeiten den geringsten Einfluss auf das Ergebnis. Diagramme mit Quarks
der 2. und 1. Generation müssen mit effektiven Theorien berechnet werden.
3.5.3. Hadronische Beiträge
Ab der Zweischleifenordnung können auch stark wechselwirkende Teilchen zu Strahlungskorrekturen des elektromagnetischen Vertex führen. Die starke Wechselwirkung (QCD)
muss bei niedrigen Energien nicht-perturbativ beschrieben werden. Schleifenkorrekturen durch stark wechselwirkende Teilchen sind daher schwer zu berechnen, denn der
magnetische Formfaktor wird für verschwindenden Impulsübertrag q 2 = 0 benötigt.
Weil Quarks nicht als isolierte Teilchen in der Natur existieren, müssen im Allgemeinen
außerdem Hadronen (π, %, ω) betrachtet werden. In höheren Schleifenordnungen heißt
das, auch Gluonen und Hadronisierungen von Quarks zu berücksichtigen. Wegen dieser
Schwierigkeiten sind die hadronischen Beiträge zu (g-2) am schwierigsten zu ermitteln.
Die einfachsten hadronischen Beiträge sind Vakuumpolarisationen des inneren Photons
im Einschleifendiagramm der QED. Diese Diagramme sind von der Ordnung O(α2 ). Wird
diesem Diagramm ein weiteres inneres Photon hinzugefügt, so ist es bereits von O(α3 ).
Von dieser Größenordnung sind auch Beiträge aus Diagrammen mit zwei hadronischen
oder einer hadronischen und einer leptonischen Vakuumpolarisation. Die Anteile der
hadronischen Vakuumpolarisationen lassen sich aus den Wechselwirkungquerschnitten
der Prozesse e+ e− → Hadronen abschätzen.
Besonders kompliziert zu berechnen sind sogenannte “light-by-light”-Beiträge. Bei diesen
Diagrammen koppelt das äußere Photon direkt an den Hadronenloop, d.h. der hadroni-
43
3. Grundlegendes zu (g-2)
sche Beitrag muss bei niedrigen Energien (Impuls des äußeren Photons → 0) ausgewertet
werden. Dies ist nur mit effektiven Theorien für kleine Energien möglich.
3.6. Theorie vs. Experiment
Das anomale magnetische Moment des Myons ist über Jahrzehnte mit immer größerer
Präzision gemessen worden. Das letzte Experiment zur Messung von (g-2)µ am BNL
ergab [12, 27]
−11
aexp
(3.28)
µ = 116 592 080(63) · 10
mit einer Messunsicherheit von 0,54 ppm. Dieses Ergebnis gilt unter der Annahme von
CP T -Invarianz, d.h. dass Myon und Antimyon dasselbe anomale magnetische Moment
haben.
In der Theorie liefern die QED-Korrekturen den größten Beitrag. Bis einschließlich Fünfschleifenordnung ist dieser Beitrag [12]
aQED(5L)
= 116 584 718, 09(0, 14) · 10−11
µ
(3.29)
wobei der Anteil der Fünfschleifenordnung geschätzt wurde. Diese Beiträge von reinen
QED-Diagrammen entsprechen bereits über 99% des gemessenen Wertes für aµ . Alle
weiteren Beiträge müssen nur noch die Differenz von
QED(5L)
aexp
≈ 7362 · 10−11
µ − aµ
(3.30)
erklären.
Bei den elektroschwachen Beiträgen entstehen Unsicherheiten im numerischen Resultat
vor allem durch das Abschätzen der Higgs-Masse und hadronischer Effekte in der Zweischleifenordnung. Da die Zweischleifenbeiträge ein anderes Vorzeichen als der Einschleifenbeitrag haben, reduzieren sie diesen in der Summe um etwa 22% auf insgesamt [12]
aµEW (1L+2L) = 152(2)(1) · 10−11
(3.31)
Die hadronischen Beiträge durch Vakuumpolarisation sind in führender und nächst höherer Ordnung (numerisch) berechnet. Dabei werden Spektraldarstellungen für aµ und
hadronische Spektralfunktionen verwendet. Die Spektralfunktionen sind durch den Quer-
44
3.6. Theorie vs. Experiment
schnitt für die Reaktion e+ e− → 1γ → Hadronen gegeben. Die Ergebnisse für beide
Ordnungen sind [12]
ahvpLO
= (6908 ± 39exp ± 19rad ± 7QCD ) · 10−11
µ
LO
ahvpN
= (−97, 9 ± 0, 9exp ± 0, 3rad ± 7QCD ) · 10−11
µ
(3.32)
(3.33)
Für die hadronischen “light-by-light”-Beiträge gibt es keine direkten experimentellen
Inputs. Effektive theoretische Ansätze führen aber zu der Abschätzung
−11
ahll
µ = (105 ± 26) · 10
(3.34)
Die hadronischen Vakuumpolarisationen tragen demnach neben dem QED-Anteil am
meisten zu aµ bei, haben aber auch die größten Unsicherheiten.
Die Summe aller Theorieergebnisse ergibt für quadratisch addierte Fehler
aSM
= (116 591 785 ± 51) · 10−11
µ
(3.35)
Der Vergleich mit Gleichung (3.28) liefert
SM
aexp
= (295 ± 81) · 10−11
µ − aµ
(3.36)
was einer Abweichung von etwa 3,6 Standardabweichungen entspricht. Diese 3,6 σ könnten vielleicht durch Standardmodellbeiträge höherer Ordnungen oder noch unbekannte
Effekte im SM hervorgerufen werden. Neue Physik jenseits des Standardmodells kann
ebenso für die 3,6 σ verantwortlich sein.
45
3. Grundlegendes zu (g-2)
46
4. Feynman-Diagramme für (g-2)
im MSSM
Das magnetische Moment des Myons ist ein Maß für seine Wechselwirkung mit einem
elektromagnetischen Feld. Eine störungstheoretische Entwicklung dieses Prozesses in
Feynman-Diagramme liefert Korrekturen zum Myon-Photon-Vertex.
gpe gge ffyff ff{|ff
d
d
}
}
µ
γ
=
+
+
+ ···
(4.1)
µ
Abbildung 4.1.: Entwicklung des Myon-Photon-Vertex in Feynman-Diagramme
Die Abweichungen vom Dirac’schen Wert g=2 entstehen nur durch die Schleifenkorrekturen. Auf Baumniveau gilt (g-2)=0 (siehe Abschnitt 3.2).
Das minimal supersymmetrische Standardmodell wird mit erhaltener R-Parität betrachtet. Aufgrund der damit verbundenen Erhaltung der Leptonzahl Lµ müssen die FeynmanDiagramme eine durchgehende Linie myon-artiger Teilchen (µ, νµ , µ̃, ν̃µ ) enthalten. Außerdem muss an jedem Vertex eine gerade Anzahl Propagatoren von SUSY-Teilchen
aufeinander treffen.
4.1. Einschleifenordnung
Diagramme der Einschleifenordnung lassen sich in zwei Klassen einteilen. Zur ersten
Klasse gehören Diagramme, bei denen Lµ nur durch Myonen und Neutrinos übertragen
wird. Bis auf Diagramme, die physikalische Higgs-Bosonen enthalten, sind die Diagramme
4
in dieser Klasse im SM und MSSM identisch. Durch den Unterdrückungsfaktor m4µ /MW
sind diese Higgs-Diagramme jedoch in beiden Modellen vernachlässigbar.
Die Diagramme der zweiten Klasse können zusätzlich Smyonen und Sneutrinos enthalten.
47
4. Feynman-Diagramme für (g-2) im MSSM
Die zwei Diagramme dieser Klasse gibt es im SM nicht und sie liefern deshalb den SUSYEinschleifenbeitrag.
χ̃±
χ̃0
µ
µ
µ
µ
µ̃
ν̃
Abbildung 4.2.: SUSY-Einschleifendiagramme im MSSM
Das äußere Photon wird in den Diagrammen nicht mit dargestellt. Es koppelt immer an
innere Linien der Schleife, hier also an das Chargino oder das Smyon. Bei Unterscheidung
zwischen den verschiedenen Neutralinos, Charginos und Smyonen, gibt es zwei CharginoDiagramme und acht Neutralino-Diagramme. Um die Übersichtlichkeit zu bewahren,
wird diese Unterscheidung nicht durchgeführt. Der SUSY-Enschleifenbeitrag kann durch
µ
a(1L)
µ
−10
≈ 13 · 10
sgn(µM2 ) tan β
100 GeV
MSUSY
¶2
,
(4.2)
approximiert werden [28]. Die Massen der Sleptonen, Charginos und Neutralinos wurden
dafür auf eine gemeinsame Skala MSUSY gesetzt. Bei geeigneter Wahl von tan β und
MSUSY kann das Einschleifenergebnis die 3,6 σ Abweichung komplett erklären. Es können
jedoch auch detailliertere Informationen über die bevorzugten Parameter des MSSM, zum
Beispiel über das Vorzeichen des Parameters µM2 , gewonnen werden. Soll das MSSMEinschleifenergebnis die Diskrepanz von 3,6 Standardabweichungen erklären, dann muss
µM2 positiv sein. Anderenfalls wäre die Differenz zwischen Experiment und Theorie noch
größer.
Um die Genauigkeit der Vorhersage des MSSM zu verbessern, muss nicht nur Gleichung
(4.2) durch das exakte Einschleifenergebnis ersetzt werden, sondern auch Korrekturen
der Zweischleifenordnung berücksichtigt werden.
4.2. Zweischleifenordnung
Das MSSM ermöglicht sehr viele Zweischleifendiagramme für (g-2)µ . Beiträge der Zweischleifenordnung müssen deshalb weiter nach deren Teilcheninhalt differenziert werden.
In gleicher Weise wie die Einschleifenbeiträge können die Diagramme der Zweischleifenordnung nach Leptonen und Sleptonen der zweiten Generation eingeteilt werden. Die
48
4.2. Zweischleifenordnung
erste Klasse besteht aus Diagrammen, in denen nur Myonen und Neutrinos Lµ tragen,
während in Diagrammen der zweiten Klasse auch Smyonen und Sneutrinos enthalten
sein können.
4.2.1. Zweischleifendiagramme ohne Smyonen und Sneutrinos
Zweischleifenbeiträge zu (g-2)µ im MSSM, die keine Smyonen und Sneutrinos enthalten,
können in reine Standardmodelldiagramme und in SUSY-Diagramme eingeteilt werden.
Die SUSY-Diagramme ihrerseits können in Beiträge mit geschlossenen Schleifen aus
SUSY-Teilchen (Charginos, Neutralinos, Sfermionen) und in Beiträge mit SM-Teilchen
oder Higgs-Bosonen klassifiziert werden. Diese Untergruppe ist durch die unterschiedlichen Higss-Sektoren und Kopplungen im SM und MSSM verschieden.
t̃
γ
H
µ
µ
µ
Abbildung 4.3.: Beispiel eines Zweischleifendiagrammes mit SUSY-Teilchen in einer
geschlossenen Schleife
4.2.2. Zweischleifendiagramme mit Smyonen und Sneutrinos
In der zweiten Klasse von MSSM-Zweischleifendiagrammen wird die Myon-Leptonzahl
auch durch Smyonen und Sneutrinos getragen. Diese Beiträge sind Korrekturen zu den
Einschleifendiagrammen aus Abschnitt 4.1 und ihr numerisches Verhalten kann durch
aSUSY,(2L)
= cL ln
µ
MSUSY
+ c0
mµ
(4.3)
beschrieben werden [28]. Der zweite Summand in Gleichung (4.3) enthält nur kleine
Logarithmen, während der erste Summand durch den großen Logarithmus von MSUSY /mµ
dominant ist. Diese Terme stammen von photonischen Korrekturen, die in [29,30] bereits
berechnet wurden. Für MSUSY zwischen 100 und 1000 GeV ergeben sie Korrekturen von
-7% bis -9% des Einschleifenergebnisses. Zum Term ohne führenden Logarithmus in Gleichung (4.3) tragen unter anderem Diagramme bei, die zusätzliche Charginos, Neutralinos,
Sleptonen oder Squarks enthalten. Die Diagramme mit Sleptonen und Squarks bilden
49
4. Feynman-Diagramme für (g-2) im MSSM
γ
χ̃
µ
µ
µ
l˜µ
µ
Abbildung 4.4.: Beispiel eines photonischen MSSM-Zweischleifendiagrammes, welches zu großen logarithmischen Beiträgen führt
dabei eine wichtige Untergruppe, die für sich endlich und eichinvariant ist. Auf diese
Diagramme wird im Folgenden genauer eingegangen.
4.3. Korrektur der Einschleifendiagramme durch
Sfermionen
Eine wichtige Untergruppe der Zweischleifendiagramme des MSSM mit Smyonen und
Sneutrinos sind Diagramme, welche Korrekturen zu den Einschleifendiagrammen durch
Sfermion- oder Sfermion-Fermionschleifen liefern. Die zusätzliche Schleife kann einerseits
aus Leptonen l und Sleptonen ˜l, andererseits aus Quarks q und Squarks q̃ gebildet werden.
Die Topologien sehen in beiden Fällen gleich aus.
l˜/ q̃
χ̃
µ
µ
l˜µ
l˜/ q̃
χ̃
l˜µ
χ̃
l/q
µ
Abbildung 4.5.: Zweischleifendiagramme
Fermionschleife
mit
µ
l˜µ
Sfermion-
oder
Sfermion-
Die Diagramme dieser Gruppe sind sowohl der Anzahl der Fermiongenerationen als
auch der Anzahl der Farben der starken Wechselwirkung proportional. Sie bilden daher
eine endliche und eichinvariante Untergruppe der Zweischleifendiagramme mit Smyonen
und Sneutrinos. In dieser Arbeit werden Diagramme dieser Gruppe mit Squark- und
Squark-Quark-Schleifen berechnet. Diese q-q̃-Diagramme sind den Yukawa-Kopplungen
und somit den Massen der Quarks proportional. Da die Massen für die dritte Generation
am größten sind, liefern Diagramme mit Top- und Bottom-Quark bzw. -Squark einen
50
4.3. Korrektur der Einschleifendiagramme durch Sfermionen
potentiell großen numerischen Beitrag zu (g-2)µ . Im Folgenden sind alle Diagramme
zusammengestellt, welche für diese Arbeit berechnet worden sind.
Topologie 1
Die erste Topologie enthält einen Vertex mit vier skalaren Propagatoren. Dieser entsteht
durch einen skalaren Tadpole am Sneutrino- bzw. Smyonpropagator. Das Zweischleiχ̃0
χ̃±
µ
ν̃
µ
ν̃
µ
µ̃
µ
µ̃
t̃ / b̃
t̃ / b̃
Abbildung 4.6.: Zweischleifendiagramme mit einem Tadpole aus Squarks
fenintegral zur Berechnung dieser Diagramme zerfällt in ein Produkt zweier Einschleifenintegrale und ist daher besonders einfach zu behandeln. Die Counterterme für diese
Topologie renormieren nur die Selbstenergien der Sleptonen. Die Fermionen müssen nicht
renormiert werden und für die Slepton-Photon-Vertizes treten auch keine Counterterme
auf.
Topologie 2
Die zweite Topologie von Diagrammen enthält Quark-Squark-Schleifen im Fermionpropagator.
t
b
χ̃±
µ
t̃
ν̃
χ̃±
χ̃±
µ
µ
b̃
χ̃±
ν̃
µ
Abbildung 4.7.: Chargino-Diagramme mit Squark-Quark-Schleife
Diese Diagramme sind schwieriger zu berechnen, denn im Allgemeinen enthalten die Integrale fünf verschiedene Massen. Außerdem zerfallen sie nicht in Produkte von Einschleifenintegralen. Die Counterterme dieser Topologie renormieren sowohl Fermion-Photon-
51
4. Feynman-Diagramme für (g-2) im MSSM
t
b
χ̃0
µ
b̃
µ̃
χ̃0
χ̃0
µ
t̃
µ
χ̃0
µ̃
µ
Abbildung 4.8.: Neutralino-Diagramme mit Squark-Quark-Schleife
Vertizes als auch die Fermionselbstenergien. Die Sleptonen müssen nicht renormiert
werden.
Topologie 3
Die dritte Topologie besteht aus Einschleifen-Counterterm-Diagramme. Diese VertexCounterterme sind notwendig um die Renormierung der elektroschwachen Parameter
aus den ersten beiden Topologien zu vervollständigen. Die Counterterme der Topologien
1 und 2 renormieren auch die Massen von W- und Z-Bosonen um endliche Beiträge. Wund Z-Masse sowie der Weinberg-Winkel θW sind nicht unabhängig voneinander (siehe
Gleichungen (2.34) und (2.92)). Damit diese drei Parameter die richtigen Relationen
erfüllen, müssen Vertex-Counterterme berücksichtigt werden, auch wenn es für sie keine
entsprechenden Zweischleifendiagramme gibt.
χ̃±
µ
χ̃0
µ
ν̃
µ
µ
µ̃
Abbildung 4.9.: Einschleifendiagramme mit Counterterm-Einsetzungen am LeptonSlepton-Fermion-Vertex
Im Rahmen dieser Diplomarbeit wurden alle Diagramme der Topologie 1 berechnet und
ausgewertet. Die Diagramme der anderen beiden Topologien gestalteten sich schwieriger. Die Zweischleifendiagramme der Topologie 2 sind berechnet, jedoch noch nicht
renormiert. In Kapitel 6 wird näher auf die Schwierigkeiten bei der Berechnung der
Topologien 2 und 3 eingegangen.
52
5. Renormierung der
Zweischleifendiagramme
Die Renormierung erfolgt im Rzehak-Schema [31, 32]. Dieses ist bereits in der MSSMModelldatei von FeynArts [33, 34] implementiert. Das Rzehak-Schema entspricht einer
on-shell-Renormierung, d.h. die Massenparameter der Felder werden mit den physikalischen Massen der Teilchen identifiziert. Es zeigt sich, dass durch die SU(2)-Invarianz
innerhalb eines Multipletts nicht alle Teilchenmassen unabhängig voneinander renormiert
werden können.
5.1. Renormierung der Sleptonen
Für die Diagramme der Topologie 1 werden nur die Selbstenergien der Sleptonen renormiert. Die Beschreibung der Massenterme und der Renormierungstransformationen
wird allgemein für eine Generation von Sfermionen durchgeführt. Diese Abschnitte gelten
daher auch für Squarks. Die Renormierungsbedingungen und Berechnung der Renormierungskonstanten werden jedoch nur für die Sleptonen gezeigt.
5.1.1. Die Massenterme der Sfermionen
Durch den soft-Brechungsterm in der Lagrange-Dichte des MSSM erhalten die Sfermionen
ihre Massen. Für links- und rechtshändige Sfermionen f˜(L) , f˜(R) ergibt sich
Lf˜−mass
´
³
∗
∗
˜
˜
= − f(L) , f(R) Mf˜
Ã
f˜(L)
f˜(R)
!
(5.1)
Die Massenmatrix Mf˜ mischt dabei links- und rechtshändige Zustände. Sie enthält die
trilinearen Brechungsparameter Af für die Fermionen f , ML2 für linkshändige und Mf2˜
R
für rechtshändige Sfermionen. In dieser Arbeit werden Af , ML2 , Mf2˜ und der HiggsR
53
5. Renormierung der Zweischleifendiagramme
Parameter µ reell gewählt.
Ã
Mf˜ =
!
¡
¢
m2f + ML2 + MZ2 c2β Tf3 − Qf s2W
mf (A∗f − µκ)
mf (Af − µ∗ κ)
m2f + Mf2˜ + MZ2 c2β Qf s2W
(5.2)
R
m2f , Qf und Tf3 bezeichnen jeweils Masse, elektrische Ladung und schwachen Isospin des
Fermions f und MZ2 die Masse des Z-Bosons. Außerdem gilt
sW = sin θW ,
c2β = cos(2β) wobei tan β =
v2
v1
(5.3)
mit dem Weinberg-Winkel θW und den Vakuumerwartungswerten v1 und v2 des HiggsDubletts. Für u-artige Squarks gilt κ = cot β und für d-artige Squarks und e-artige
Sleptonen κ = tan β.
Da keine rechtshändigen Neutrinos im Standardmodell vorhanden sind, gibt es im MSSM
folglich auch keine rechtshändigen Sneutrinos. Die entsprechende Massenmatrix für Sneutrinos ist deshalb 1×1.
Die Massenmatrix Mf˜ wird durch eine unitäre Transformation Uf˜ der Zustände diagonalisiert.
Ã
f˜1
f˜2
!
Ã
= Uf˜
f˜(L)
f˜(R)
!
Ã
und
Uf˜Mf˜Uf†˜
=
(D)
Mf˜
=
!
m2f˜
0
0
m2f˜
1
(5.4)
2
f˜1 und f˜2 sind die Masseneigenzustände der Sfermionen mit den Massen
m2f˜1,2 =
´
1
1³ 2
ML + Mf2˜R + m2f + Tf3 MZ2 c2β
2 r
2
h
i2
1
±
ML2 − Mf2˜ + MZ2 c2β (Tf3 − 2Qf s2W ) + 4m2f |Af − µκ|2
R
2
(5.5)
5.1.2. Renormierungstransformation der Massenterme
Durch die Renormierungstransformation
Mf˜ → Mf˜ + δMf˜
(5.6)
werden Counterterme für die Massenmatrix Mf˜ eingeführt. Der Counterterm δMf˜
enthält somit die Counterterme für die Parameter der Massenmatrix Mf˜.
54
5.1. Renormierung der Sleptonen
Die Feldstärken der chiralen Felder werden nach
Ã
!
Ã
Ã
!! Ã
! µ
¶Ã
f˜(L)
0
f˜(L)
1 δZf˜L
1
→ 1+
= 1 + δZf˜
2
2
f˜(R)
0
δZf˜
f˜(R)
R
f˜(L)
f˜(R)
!
(5.7)
renormiert. Für die Transformation auf Masseneigenzustände wird in Gleichung (5.4) die
Ersetzung
µ
¶
1
(5.8)
Uf˜ → 1 + δZUf˜ Uf˜
2
vorgenommen. Die Matrix δZUf˜ ist dabei UV-endlich. Die Z-Matrix für die Sfermionfelder
ist somit nicht-diagonal und hat vier unabhängige Komponenten.
Ã
δ Ẑf˜ =
δ Ẑf˜11 δ Ẑf˜12
δ Ẑf˜21 δ Ẑf˜22
!
= Uf˜δZf˜Uf†˜ − δZUf˜
(5.9)
Die renormierten Selbstenergien Σren
können in Termen der unrenormierten Selbstenerf˜
gien Σf˜ und der Counterterme δMf˜ und δ Ẑf˜ ausgedrückt werden.
Σren
(k 2 )
f˜
´ 1³
´
1 2³
(D)
(D)
†
†
= Σf˜(k ) + k δ Ẑf˜ + δ Ẑf˜ −
Mf˜ δ Ẑf˜ + δ Ẑf˜Mf˜ − Uf˜δMf˜Uf†˜ (5.10)
2
2
2
5.1.3. Renormierungsbedingungen
Im Sfermionsektor müssen nur die Renormierungskonstanten für die soft-Brechungsparameter Af , ML2 und Mf2˜ bestimmt werden. Alle anderen gehören zur Renormierung der
R
Fermionen, Eichbosonen, Higgsbosonen oder Gauginos. Weil die linkshändigen Sfermionen/Fermionen invariant unter einer SU(2)L -Eichtransformation sind, ist der Brechungsparameter ML2 für up- und down-artige Sfermionen gleich. Es gibt somit nur fünf statt
sechs Parameter zu renormieren.
Für die Sleptonen sind es sogar nur drei Parameter. Es muss genau ein Brechungsparameter ML2 für linkshändige ν- und e-artige Sleptonen, genau ein Parameter Mẽ2R
für rechtshändige e-artige Sleptonen und genau ein Parameter Ae für e-artige Leptonen
renormiert werden. Daher sind nur drei Renormierungsbedingungen für die Massen von
Smyonen und Sneutrino vorhanden.
2
ReΣren
ν̃ (mν̃ ) = 0
(5.11)
2
ReΣren
µ̃2 (mµ̃2 ) = 0
(5.12)
2
ren
2
ReΣren
µ̃12 (mµ̃1 ) + ReΣµ̃12 (mµ̃2 ) = 0
(5.13)
55
5. Renormierung der Zweischleifendiagramme
Sollte µ̃2 = ±µ̃L gelten, so muss die Bedingung (5.12) durch
2
ReΣren
µ̃1 (mµ̃1 ) = 0
(5.14)
ersetzt werden [31]. Die Bedingungen (5.11) und (5.12) legen die Renormierung der Parameter ML2 und Mµ̃2R fest, während die Relation (5.13) den Counterterm δAµ bestimmt.
Für die Feldrenormierung wird gefordert, dass die Residuen der Sfermionpropagatoren
gleich eins sind.
¯
2 ¯
∂Σren
ν̃ (k ) ¯
= 0
Re
∂k 2 ¯k2 =m2
(5.15)
ν̃
2 ¯
∂Σren
µ̃11 (k ) ¯¯
Re
∂k 2 ¯k2 =m2
= 0
(5.16)
= 0
(5.17)
µ̃1
2 ¯
∂Σren
µ̃22 (k ) ¯¯
Re
∂k 2 ¯
k2 =m2µ̃
2
Die nicht-diagonal Terme werden durch die Forderung
2
ReΣren
µ̃12 (mµ̃2 ) = 0
und
δ Ẑµ̃12 = δ Ẑµ̃21
(5.18)
bestimmt. Damit liegen auch alle Z-Faktoren der Feldrenormierung fest.
5.1.4. Berechnung der Renormierungskonstanten
Mit den obigen Gleichungen können die Counterterme für die Feldrenormierung berechnet werden. Für das Sneutrino gilt
¯
∂Σν̃ (k2 ) ¯¯
δ Ẑν̃ = −Re
∂k2 ¯k2 =m2
(5.19)
ν̃
Die Z-Faktoren der Smyonen ergeben sich analog zu
δ Ẑµ̃11
¯
∂Σµ̃11 (k 2 ) ¯¯
= −Re
∂k 2 ¯k2 =m2
µ̃1
δ Ẑµ̃12 = δ Ẑµ̃21 = −
56
und
δ Ẑµ̃22
¯
∂Σµ̃22 (k 2 ) ¯¯
= −Re
∂k 2 ¯k2 =m2
(5.20)
µ̃2
ReΣµ̃12 (m2µ̃1 ) − ReΣµ̃12 (m2µ̃2 )
m2µ̃1 − m2µ̃2
(5.21)
5.1. Renormierung der Sleptonen
Für zwei Sleptonen, für ν̃ und für µ̃2 , gelten on-shell-Bedingungen, d.h. ihre Massencounterterme sind einfach ihre Selbstenergien.
δm2ν̃ = ReΣν̃ (m2ν̃ )
(5.22)
δm2µ̃2 = ReΣµ̃22 (m2µ̃2 )
(5.23)
Der Counterterm der µ̃1 -Masse kann durch Elemente der Mischungsmatrix Uµ̃ und andere
Counterterme ausgedrückt werden.
δm2µ̃1 =
1
Uµ̃211
δm2ν̃ −
Uµ̃212
Uµ̃ Uµ̃
1
δm2µ̃2 + 2 122 22 δYµ̃12 + 2 (δCµ̃11 − δCν̃ )
2
Uµ̃11
Uµ̃11
Uµ̃11
(5.24)
Zur Abkürzung werden δYµ̃12 und die Kombination δCµ̃11 − δCν̃ eingeführt.
δYµ̃12 =
¢
1¡
ReΣµ̃12 (m2µ̃1 ) + ReΣµ̃12 (m2µ̃2 )
2
(5.25)
2
2
δCµ̃11 − δCν̃ = 2mµ δmµ − cos(2β)δMW
+ 4MW
cos4 β tan β δ tan β
(5.26)
Ausgedrückt in den Parametern aus Gleichung (5.2) enthält δCµ̃11 − δCν̃ die Renormierungskonstanten des schwachen Mischungswinkels δθW und der Z-Bosonmasse δMZ2 .
Die W-Masse ist dabei nicht vorhanden. δθW und δMZ2 sind in δCµ̃11 − δCν̃ gerade so
2
kombiniert, dass sie durch δMW
ersetzt werden können. Die Renormierung wird dadurch
vereinfacht.
Wie bereits erwähnt, führen Diagramme der Topologie 1 nur auf die Renormierung
der Sleptonen. Der Squark-Tadpole ist divergent und muss durch den entsprechenden
Counterterm für den Sleptonpropagator endlich werden.
χ̃
µ
χ̃
˜
lµ
˜
lµ
q̃
µ
µ
µ
˜
lµ
˜
lµ
Abbildung 5.1.: Renormierung des divergenten Squark-Tadpoles
Der Counterterm rechts in Abb. 5.1 enthält die Renormierungskonstanten für die Massen und Z-Faktoren von Sneutrino und Smyonen. Des Weiteren kommt auch δYµ̃12 für
die Smyon-1-Smyon-2-Mischung vor. Nach Gleichungen (5.22, 5.23) werden für die Renormierung die Selbstenergien für das Sneutrino und Smyon-2 sowie nach (5.25) die
57
5. Renormierung der Zweischleifendiagramme
Selbstenergien für die Smyon-1-2-Übergänge benötigt.
t̃ / b̃
t̃ / b̃
ν̃
ν̃
µ̃i
µ̃j
Abbildung 5.2.: Slepton-Selbstenergiediagramme für die Renormierung des SquarkTadpoles
Die Selbstenergie für Smyon-1 ist für die Bestimmung der Z-Faktoren nötig. Um δm2µ̃1
zu berechnen, werden die Selbstenergien von Sneutrino, Smyon-1 und der Smyon-1-2Mischung benötigt. Darüber hinaus enthält δm2µ̃1 weitere Counterterme, die nicht zum
Sfermionsektor gehören.
5.1.5. Sektorfremde Renormierungskonstanten
Sektorfremde Renormierungskonstanten sind jene, die nicht direkt im Sfermionsektor
2
bestimmt werden. Es werden genau drei solche Renormierungskonstanten, δmµ , δMW
und δ tan β, für die Smyon-1-Renormierung gebraucht. Der µ-Parameter des MSSMHiggs muss nicht renormiert werden, auch wenn er als Parameter in Gleichung (5.2)
auftritt.
Renormierung der Myonmasse - δmµ
Die Myonmasse kann on-shell renormiert werden. Es folgt dann [31]
δmµ =
¢
mµ ¡
ReΣµL (m2µ ) + ReΣµR (m2µ ) + 2ReΣµs (m2µ )
2
Σµ (k) = ΣµL (k 2 )k/PL + ΣµR (k 2 )k/PR + mµ Σµs (k 2 )
(5.27)
(5.28)
Die Renormierung der Myonmasse wird für Diagramme der Topologie 1 nicht benötigt.
Da das Myon nicht direkt mit Quarks oder Squarks wechselwirkt, erhält der Myonpropagator in Einschleifenordnung keine Korrekturen durch Quarks oder Squarks. Es kann
deshalb δmµ = 0 gesetzt werden.
58
5.1. Renormierung der Sleptonen
Renormierung der W-Masse - δM2W
Das W-Boson wird ebenfalls on-shell renormiert.
2
2
δMW
= ReΣW (MW
)
(5.29)
Dabei ist ΣW (k 2 ) der transversale Anteil der W-Selbstenergie, zu welcher Tadpole-Diagramme sowie Zweipunktfunktionen aus t̃ und b̃ beitragen. Wegen Supersymmetrie müssen auch Beiträge zur Selbstenergie aus t- und b-Quarks berücksichtigt werden. Daraus
ergeben sich die drei folgenden Selbstenergiediagramme.
t̃ / b̃
W
W
Abbildung 5.3.: Tadpole-Korrektur zur Selbstenergie des W-Bosons
t
t̃
W
b̃
W
W
b
W
Abbildung 5.4.: Quark- und Squark-Korrekturen des W-Propagators
59
5. Renormierung der Zweischleifendiagramme
Renormierung von tan β - δ tan β
Der Counterterm für tan β ist durch die A0 -Z-Mischung definiert. Im Gegensatz zu [31]
wird das DR-Schema für tan β verwendet. Das heißt, es gilt
δ tan β = −
£
¤
1
2
0 −Z 0 (M )
ImΣ
A
A
UV−div
2MZ cos2 β
(5.30)
δ tan β ist nur der UV-divergente Anteil der Selbstenergie. In Anhang B.1 wird beschrieben, wie die Berechnung von δ tan β programmiert wurde. Wie beim W-Boson müssen
für die A0 -Z-Mischung auch reine Quark-Beiträge berücksichtigt werden .
t̃ / b̃
0
A
t/b
γ
0
A
γ
Abbildung 5.5.: Squark- und Quark-Beiträge zur Higgs-Eichboson-Mischung
Das DR-Schema hat mehrere Vorteile. Zum einen ist die Defnition unabhängig von der
Wahl einer bestimmten Eichung und zum anderen ist sie nicht an einen Prozess gebunden,
wie es im (A0 → τ + τ − )-Schema der Fall ist. Weil δ tan β im DR-Schema eine reine
Divergenz ist, entstehen keine endlichen Korrekturen, welche numerisch groß werden
könnten. Ein Vergleich verschiedener Renormierungsschemata für δ tan β inklusive ihrer
jeweiligen Vor- und Nachteile findet sich in [35].
60
6. Methoden zur Berechnung
Die Berechnung der Feynman-Diagramme erfolgt mit dem Computer-Algebra-System
Mathematica 5.2 [36] und dem Programmpaket FeynArts-3.3 [33, 34] zur Erzeugung
der Diagramme und Berechnung der Schleifenintegrale.
Es müssen zunächst die Zweischleifendiagramme und anschließend die CountertermDiagramme berechnet werden. Letztere sind Einschleifendiagramme, da die Renormierungskonstanten als Symbole benutzt werden. Die Selbstenergien für die Renormierungskonstanten müssen gesondert berechnet werden. Diese Aufteilung der Rechnung spiegelt
sich in den Programmstrukturen wider.
6.1. Übersicht zu FeynArts
FeynArts ermöglicht die Berechnung von Feynman-Diagrammen auf drei verschiedenen
Ebenen. Auf dem generic level werden Diagramme und Amplituden so erzeugt, dass
nur zwischen Fermionen, Skalaren und Vektorbosonen unterschieden wird. Auf dem
darauf folgenden classes level erfolgt eine Aufteilung in zum Beispiel up- und downartige Leptonen/Sleptonen bzw. Quarks/Squarks. Das unterste Niveau ist das particles
level, welches jedes Teilchen einzeln behandelt, d.h. auch zwischen beispielsweise Smyon
1 und 2 unterscheidet.
Die hier beschriebenen Rechnungen wurden vorrangig auf classes level durchgeführt,
um die Anzahl der Diagramme zu verringern. Am Ende der Rechnung muss dafür die
Summe über die Teilchenindizes (2 Smyonen, 4 Neutralinos etc.) gebildet werden. Zur
Berechnung wurde das model file MSSMCTcomplete.mod [34] verwendet. Dieses ist eine
Erweiterung des MSSM-model file, welches in FeynArts-3.3 integriert ist. Es definiert
als Felder die Masseneigenzustände des MSSM und deren Kopplungen. Aus diesen Informationen erstellt FeynArts die algebraischen Stukturen (Vierervektoren, Metrik, γµ Matrizen, Projektoren) für die Feynman-Diagramme. Des Weiteren sind im model file
die Counterterme bis zur Einschleifenordnung implementiert. Alle Kopplungen, Massen,
Mischungsmatrizen und Renormierungskonstanten werden von Mathematica rein symbolisch verwendet, d.h. sie werden während der Rechnung nicht weiter verändert.
61
6. Methoden zur Berechnung
6.2. Berechnung der Zweischleifendiagramme
Die Bestimmung der Zweischleifenbeiträge erfolgt in drei Abschnitten. Im ersten werden
die Zweischleifendiagramme und im zweiten die dazugehörigen Counterterm-Diagramme
berechnet. Beide Teilergebnisse werden in einem dritten Schritt addiert und numerisch
ausgewertet.
Die Abbildung B.1 des Anhangs zeigt die Struktur des Programmes für den ersten Abschnitt. Die einzelnen Algorithmen innerhalb des Programmes sind in Unterprogrammen
zusammengefasst und werden im Folgenden kurz erläutert.
Topologien festlegen
Am Anfang jeder FeynArts-Berechnung muss festgelegt werden, welches model file benutzt werden soll. Es enthält alle Felder des Modells, deren Kopplungen und auch Definitionen für Counterterme und Renormierungskonstanten. Dem model file entsprechend
werden die Teilchen im Eingangs- und Ausgangskanal sowie die Schleifenordnung des
Prozesses angegeben. Zusätzlich kann bestimmt werden, welche Teilchen im Inneren der
Schleifen vorkommen sollen. Für (g-2) des Myons im MSSM heißt das: µ, γ → µ
auf Zweischleifenniveau mit (ν̃µ , χ̃± ) oder (µ̃, χ̃0 ) im Inneren. Für die Squark-QuarkZweischleifendiagramme, die Thema dieser Arbeit sind, wird zusätzlich noch t̃ oder b̃
gefordert.
FeynArts erzeugt daraufhin die Topologien aus Abschnitt 4.3 mit den dazugehörigen
Integralen. Um die Struktur zu vereinfachen, werden keine Mischungen zwischen den
Quarks betrachtet, d.h. die Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-Matrix (siehe Abschnitt 2.1.5)
wird gleich der Einheitsmatrix gesetzt. Auf diese Topologien wird der Projektor für (g-2)
aus Abschnitt 3.3 angewandt und der classes level zur weiteren Berechnung ausgewählt.
Zusätzlich können hier Abkürzungen für Symbole, die häufig in den Amplituden vorkommen wie z.B. Mischungsmatrizen, eingeführt werden.
TwoCalc
Das TwoCalc-Paket berechnet die Algebra der Zweischleifenintegralausdrücke. Dazu gehört das Auswerten von (Lorentz-)Indexkontraktionen, Dirac-Matrizen und Projektionsoperatoren für linkshändige und rechtshändige Teilchen. Des Weiteren werden die
Impulsvariablen der Propagatoren substituiert, so dass Standardintegrale eingeführt werden können (Passarino-Veltman- und Zweischleifenstandardintegrale). Das Ergebnis von
TwoCalc sind somit Standardintegrale mit Koeffizienten aus Kopplungen, Mischungsmatrizen, Massen etc.
62
6.2. Berechnung der Zweischleifendiagramme
Simplify -Routinen
An mehreren Stellen im Programmablauf können verschiedene Vereinfachungen durchgeführt werden. Die Koeffizienten der Standardintegrale können oft durch das Bilden des
Hauptnenners oder die Faktorisierung nach Massenverhältnissen vereinfacht werden. Je
nach Komplexität der Terme führen die Simplify-Routinen nicht immer zu einfacheren
Ausdrücken. Sie müssen deshalb an die Programmabschnitte, in denen sie zur Anwendung
kommen, angepasst werden.
Entwicklung nach schweren Massen
Um die Berechnung und später das Ergebnis zu vereinfachen, werden die Standardintegrale in Massenverhältnissen entwickelt. Es wird davon ausgegangen, dass alle Massen
der Superpartner sehr viel größer als die Myonmasse sind und deshalb mµ /MSUSY ¿ 1.
Für MSUSY ≈ 100 GeV gilt mµ /MSUSY ≈ 0, 001. Die Annahme mµ /MSUSY ¿ 1 ist somit
offensichtlich gerechtfertigt, denn es sind keine SUSY-Teilchen mit Massen unter 100 GeV
bekannt. Eine analoge Entwicklung wird für die Massen von W- und Z-Boson sowie Topund Bottom-Quark durchgeführt, da die Massen dieser Teilchen ebenfalls sehr viel größer
als die Myonmasse sind.
Zusammenfassend werden alle schweren Massen mit Mheavy bezeichnet. Die Integrale
werden entsprechend ihrer Koeffizienten in mµ /Mheavy entwickelt, so dass der Gesamt2
ausdruck bis zur Ordnung O(m2µ /Mheavy
) exakt ist. Alle Terme höherer Ordnungen
werden vernachlässigt. Diese Entwicklung entspricht der Large-Mass Expansion, die in
[37] beschrieben wird und auch in [38, 39] benutzt wurde.
Dimensionale Entwicklung der Integrale
Da Schleifenintegrale in Quantenfeldtheorien im Allgemeinen divergent sind, müssen
sie vor der Auswertung regularisiert werden. Dafür wird dimensionale Regularisierung
mit antikommutierender γ5 -Matrix verwendet. Die Integralmaße der vier-dimensionalen
Impulsintegrale werden zur Regularisierung durch D-dimensionale Maße ersetzt.
Z
Z
4
dp
−→
dD p (µdim )4−D
und
gµν g µν = D = 4 − 2ε
(6.1)
Im Limes ε → 0 entstehen die üblichen vier-dimensionalen Beziehungen. Zweischleifenintegrale sind im Allgemeinen von der Ordnung O(ε−2 ) und divergieren daher im Limes
ε → 0. Diese Divergenzen werden in der Renormierung durch Counterterme entfernt.
Dimensionale Regularisierung bricht Supersymmetrie explizit, da sie die Anzahl der
Freiheitsgrade von Vektorbosonen ändert. Aus diesem Grund werden supersymmetrische
63
6. Methoden zur Berechnung
Schleifenintegrale meist durch dimensionale Reduktion regularisiert, bei der die Anzahl
bosonischer Freiheitsgrade nicht geändert wird. Die Feynman-Diagramme, welche in
dieser Arbeit berechnet werden, enthalten jedoch keine inneren Vektorbosonen, so dass
dimensionale Regularisierung und dimensionale Reduktion zum selben Ergebnis führen.
Ein Überblick über Regularisierungsverfahren supersymmetrischer Theorien findet sich
in [40].
Auswerten des analytischen Ausdrucks
Im letzten Abschnitt der Berechnung der Zweischleifendiagramme werden die in ε entwickelten Integrale durch ihre analytischen Ausdrücke ersetzt. Anschließend werden die
Summen über die Teilchenindizes ausgeführt und nochmals Vereinfachungsroutinen angewendet. Eine numerische Auswertung erfolgt erst, wenn die Summe mit dem Countertermergebnis gebildet wird.
6.3. Berechnung der Counterterme
Die Berechnungen für die Renormierung bestehen aus zwei Teilen. Zum einen müssen
die Einschleifen-Countertermdiagramme und zum anderen die Selbstenergien für die
Renormierungskonstanten berechnet werden. Die Countertermdiagramme enthalten die
Renormierungskonstanten nur als Symbole, d.h. sie beeinflussen das Berechnen der Diagramme und Integrale nicht.
Counterterm-Topologien festlegen
Im MSSMCTcomplete.mod-model file sind die Einschleifen-Counterterme für das MSSM
programmiert. Um Squark-Quark-Zweischleifendiagramme zu renormieren, werden die
Einschleifen-Counterterme für µ, γ → µ mit (ν̃µ , χ̃± ) oder (µ̃, χ̃0 ) erstellt. Je nach
Topologie werden nicht alle dieser Counterterme benötigt. Für Topologie 1 sind nur
die Counterterme erforderlich, welche den Slepton-Propagator renormieren. FeynArts
erzeugt daraufhin die Counterterm-Topologien aus Abb. 5.1 mit den dazugehörigen
Integralen. Auf diese Topologien wird ebenfalls der Projektor für (g-2) (siehe Abschnitt
3.3) angewendet und der particles level zur weiteren Berechnung ausgewählt. Auf diesem
level enthalten die Renormierungskonstanten keine freien Teilchenindizes, über welche
später noch summiert werden müsste.
Die Struktur des Programmes zur Berechnung der Counterterme ist der Struktur des
Zweischleifenprogrammes sehr ähnlich (Abb. B.2). Im Folgenden wird daher vorrangig
auf die Unterschiede beider Programme eingegangen.
64
6.3. Berechnung der Counterterme
OneCalc
Das OneCalc-Paket leistet auf Einschleifenordnung das Gleiche wie TwoCalc auf Zweischleifenordnung. Es berechnet (Lorentz-)Indexkontraktionen, Dirac-Matrizen, Projektionsoperatoren für linkshändige und rechtshändige Teilchen. Durch die Substitution von
Impulsvariablen können Passarino-Veltman-Integrale eingeführt werden. Das Ergebnis
von OneCalc sind somit Summen von Einschleifenstandardintegralen mit Koeffizienten
aus Kopplungen, Mischungsmatrizen, Massen etc.
Simplify-Routinen und Massenentwicklung
Diese Abschnitte sind analog zu denen im Zweischleifenprogramm. Die Routinen müssen
nur zum Teil angepasst werden, da andere Einschleifenintegrale auftreten können. Die In2
tegrale werden ebenfalls in Potenzen der Myonmasse mµ bis zur Ordnung O(m2µ /Mheavy
)
entwickelt.
Diese Einschleifen-Countertermdiagramme können Terme der Ordnung O(m−1
µ ) enthalten, die mit den Renormierungskonstanten multipliziert werden. Daher müssen die Renormierungskonstanten selbst bis zur Ordnung O(m3µ ) entwickelt werden. Dies geschieht
im nächsten Programmabschnitt.
Berechnen der Renormierungskonstanten
Die Renormierungskonstanten im Counterterm-Zwischenergebnis werden mit einem Unterprogramm ausgelesen und die Berechnung der Counterterme wird unterbrochen, um
in einem zweiten Programm die benötigten Selbstenergien zu berechnen. Dies ist wiederum eine Einschleifenrechnung, wofür die Topologien der Selbstenergien erstellt und die
Teilchen in der inneren Schleife der Selbstenergie spezifiziert werden müssen. Ohne Anwenden des (g-2)-Projektors wird mit OneCalc die Algebra der Integrale berechnet. Die
Selbstenergien werden bis zur Ordnung O(m3µ ) in mµ entwickelt und in das CountertermZwischenergebnis eingesetzt.
Entwicklungen in ε und mµ
Nach Berechnen und Einsetzen der Renormierungskonstanten wird das CountertermProgramm an der unterbrochenen Stelle wieder gestartet. Die Integrale werden wie
im Zweischleifenprogramm nach dimensionaler Regularisierung in ε und der gesamte
Ausdruck nochmals in der Myonmasse bis Ordnung O(m2µ ) entwickelt. Terme höherer
Ordnung in mµ , die durch die Multiplikation der Entwicklungen von Renormierungskonstanten und Einschleifendiagrammen entstehen, werden vernachlässigt.
65
6. Methoden zur Berechnung
Auswerten des analytischen Ausdrucks
Das Counterterm-Ergebnis ist nun bis zur Ordnung O(m2µ ) exakt und die in ε entwickelten Integrale werden durch ihre analytischen Ausdrücke ersetzt. Es treten keine Summen
über Teilchenindizes auf, da auf particles level gerechnet wurde.
Alternativ können die Counterterm-Einschleifenergebnisse und die Renormierungskonstanten einzeln in ε entwickelt werden. Dabei müssen die Ordnungen beider Entwicklungen berücksichtigt werden. Die Renormierungskonstanten und die Einschleifendiagramme
sind jeweils proportional zu ε−1 und müssen daher beide bis zur Ordnung O(ε1 ) entwickelt
werden, damit das Produkt von Ordnung O(ε0 ) ist.
6.4. Herausforderungen für die Programme
Die oben beschriebenen Programme sind für die Berechnung der Diagramme der Topologie 1 aus Abschnitt 4.3 optimiert. Das heißt, sie produzieren kleinen Output (O(10
MB)) in kurzer Zeit (O(Stunden)). Für die Berechnung der Diagramme aus den Topologien 2 und 3 sind die Programme nicht effizient, denn bei diesen Topologien dauern
Berechnungen weniger Diagramme mehrere Tage und erzeugen Ergebnisse von mehreren
100 MB. Dementsprechend brauchen die Programme viel Arbeitsspeicher, wodurch die
Berechnung abermals verlangsamt wird.
Prinzipiell funktionieren alle Rechnungen, aber sie werden nicht effizient durchgeführt.
Die Herausforderung liegt somit darin, die Struktur der Programme für andere Diagramme anzupassen und effizienter zu gestalten.
• Eine erste Möglichkeit der Vereinfachung ist die Kopplungen der Charginos und
Neutralinos an die Sfermionen bereits am Anfang durch ein Symbol zu ersetzen.
Statt langer Ausdrücke von Mischungs- und Massenmatrizen, die durch das Programm nicht vereinfacht werden können, wird nur ein Symbol benötigt.
• Viele Ausdrücke der Mischungsmatrizen lassen sich durch die Anwendung von
Relationen der Matrixkomponenten (z.B. Unitarität) vereinfachen. Da derartige
Relationen oft nicht durch Mathematica erkannt werden, kann sich die Programmierung dieser Vereinfachungen als Problem herausstellen. Die schwierigen Kopplungsterme könnten umgangen werden, indem in Wechselwirkungseigenzuständen
statt Masseneigenzuständen gerechnet wird. Allerdings wäre das Problem dadurch
nur verschoben, da nun viele sich überlagernde Diagramme auszurechnen sind.
Darüber hinaus müsste ein komplett neues model file geschrieben werden.
66
6.4. Herausforderungen für die Programme
• Diagramme der Topologie 2 haben eine kompliziertere Integralstruktur als die
Diagramme der Topologie 1. In Topologie 2 gibt es drei Fermion- und zwei Skalarpropagatoren mit im Allgemeinen fünf verschiedenen Massen. Für Topologie 1
sind es maximal vier Massen in drei Skalar- und einem Fermionpropagator. Die
Dirac-Algebra und die Propagatornenner sind für Topologie 2 daher komplizierter
und demzufolge auch die Reduktion der Integrale. Der Output der Programme
benötigt deswegen mehr Speicher, längere Rechenzeiten und die Rechnung wird
somit ineffizient. Eine Lösung dafür ist, jeden Integralterm einzeln zu behandeln.
Statt mit einer Datei von hunderten MB würde mit mehreren hundert Dateien von
wenigen MB gerechnet werden. Der Vorteil besteht vor allem darin, dass weniger
Arbeitspeicher benötigt wird. Auf diese Weise wurden die Zweischleifendiagramme
der Topologie 2 berechnet.
• Eine weitere Möglichkeit ist auf eine analytische Rechnung ganz zu verzichten
und von Anfang an numerisch zu rechnen. Alle Relationen von Komponenten der
Mischungsmatrizen wären sofort implementiert, die Koeffizienten der Integralterme
wären nur noch Zahlen und die Dateigrößen wären kleiner. Der große Nachteil ist
aber, dass für jeden Punkt im Parameterraum die gesamte Rechnung wiederholt
werden müsste. Die Zeitersparnis geht durch viele Rechnungen und sehr viele kleine
Dateien wieder verloren.
Alle diese Möglichkeiten zur weiteren Vereinfachung der Berechnungen wurden getestet.
Wie bereits erwähnt sind die Topologien 2 und 3 prinzipiell gerechnet. Dementsprechend
ist die Optimierung der Programme bezüglich Rechendauer und Speicherbedarf von
Nöten, um die restlichen Diagramme zu renormieren und auszuwerten.
67
6. Methoden zur Berechnung
68
7. Auswertung und Diskussion der
Ergebnisse
Wie in Abschnitt 6.4 erwähnt sind die analytischen Ausdrücke und Ergebnisse der Rechnung schwer zu vereinfachen. Infolge dessen können sie nur numerisch ausgewertet werden. Die on-shell- und Entmischungsbedingungen aus Abschnitt 5.1.3 sorgen dafür, dass
nur die Smyon-1-Diagramme einen endlichen Beitrag liefern, während alle anderen Diagramme zu Null renormiert werden.
7.1. Vergleich der Diagrammbeiträge
Für eine erste Übersicht über die Beiträge der Squark-Zweischleifendiagramme werden
sie noch vor Addieren der Counterterme ausgewertet. Als Parameter wurde tan β = 50
gewählt und die links- und rechtshändigen Brechungsparameter aller Sfermionen wurden
auf eine gemeinsame Skala MSUSY gesetzt. Für die trilinearen Kopplungen der dritten
Generation gilt Ab = −3 TeV und At = −2MSUSY . Mit diesen Parameter ergeben sich
die Werte in Tabelle 7.1. Da das MSSM-Einschleifendiagramm endlich ist und mit dem
Squark-Tadpole mulitpliziert wird, treten keine ε−2 -Divergenzen auf.
(aµ )2L · 1011
0
O(ε )
O(ε−1 )
(aµ )2L
ν̃
(aµ )2L
µ̃12
(aµ )2L
µ̃2
(aµ )2L
µ̃1
(aµ )2L
µ̃1 CT
MSUSY [GeV]
0.3373
0.0818
0.033
0.0827
0.0228
0.0084
-0.0726
-0.0075
-0.002
-0.0163
-0.0022
-0.0006
-10.4301
-1.3111
-0.3494
-2.1372
-0.2825
-0.0731
-1.7588
-0.4094
-0.1155
-0.1843
-0.0257
-0.0068
-17.8365
-4.0351
-1.2323
0.1843
0.0257
0.0068
300
600
900
300
600
900
Tabelle 7.1.: Vergleich der unrenormierten Diagramme bei verschiedenen Energieskalen
Die Sneutrino-Beiträge haben im Gegensatz zu den Smyon-Beiträgen positives Vorzei-
69
7. Auswertung und Diskussion der Ergebnisse
chen und sind fast eine Größenordnung größer als die Smyon-1-2-Diagramme. Letztere
liefern die kleinsten Korrekturen.
Beim Vergleich von Smyon-2 mit Smyon-1 ist zu erkennen, dass das Smyon-2-Diagramm
sehr viel größer als die Sneutrino-, Smyon-1-2- und Smyon-1-Diagramme ist. Dementsprechend muss der Smyon-2-Counterterm einen großen Beitrag absorbieren.
Der Smyon-1-Counterterm (aµ )2L
µ̃1 CT ist sogar noch größer. Dies lässt sich verstehen, wenn
man berücksichtigt, dass die Massenrenormierung des Smyon-1 die Renormierungskonstanten der anderen Sleptonen beinhaltet. Das renormierte Zweischleifenergebnis (aµ )2L
2L
=(aµ )2L
µ̃1 + (aµ )µ̃1 CT wird daher fast vollständig durch den Counterterm bestimmt.
7.2. Zweischleifenbeitrag an den SPS-Punkten
Durch den großen Parameterraum des MSSM bedingt, sind die Ergebnisse verschiedener
Rechnungen oft schwer zu vergleichen. Die SPS-Punkte [41] sind ausgewählte Punkte des
Parameterbereiches, welche durch verschiedene Szenarien supersymmetrischer Theorien
motiviert sind. Sie können daher als Standardreferenzpunkte benutzt werden.
SPS 1a
SPS 1b
SPS 2
SPS 3
SPS 4
SPS 5
SPS 6
SPS 7
SPS 8
SPS 9
(aµ )2L · 1011
-1.6607
-0.7476
-0.00106
-0.41011
-0.55814
-0.85298
-1.1253
-0.4834
-0.17157
1.1043
(aµ )1L · 1011
304.917
333.412
17.0674
141.353
512.657
89.7553
176.306
246.486
180.704
-93.6369
(aµ )2L /(aµ )1L in 0/00
-5.4464
-2.24227
-0.06194
-2.90136
-1.08873
-9.50336
-6.38263
-1.96115
-0.94943
-11.7934
Tabelle 7.2.: Vergleich der Zwei- und Einschleifenergebnisse an den SPS-Punkten
Tabelle 7.2 zeigt die absoluten Werte für (aµ )1L und das in dieser Arbeit berechnete (aµ )2L
der Tadpole-Squark-Diagramme. Darüber hinaus ist der relative Anteil (aµ )2L /(aµ )1L berechnet worden. (Die Einschleifendiagramme wurden mit dem Programm aus Abschnitt
6.2 berechnet, wobei TwoCalc durch OneCalc ersetzt wurde).
Der Zweischleifenbeitrag liefert eine Korrektur zum Einschleifenergebnis von weniger als
-1%. Eine Ausnahme bildet SPS 9. Dieser entspricht einem Szenario, bei dem SUSY
70
7.3. Abhängigkeit von tan β
durch Anomalien gebrochen wird. Für SPS 9 gilt µM2 < 0, wodurch sich die Vorzeichen
von (aµ )2L und (aµ )1L jeweils umkehren.
Für den Punkt SPS 2 sind (aµ )1L und (aµ )2L sehr klein und weichen um bis zu einer
Größenordnung von den Werten der anderen SPS-Punkte ab. Die Ursache dafür liegt in
den großen Sfermionmassen für SPS 2, wodurch die Beiträge unterdrückt sind.
Die größten Zweischleifenergebnisse liefern SPS 1a und SPS 6. Beide sind durch mSUGRA
motiviert und haben kleines tan β und relativ kleine Squarkmassen. Des Weiteren sind
bei beiden Punkten die trilinearen Kopplungen der dritten Generation negativ. Auf die
Abhängigkeit des Zweischleifenergebnisses von tan β sowie At , Ab wird in den nächsten
Abschnitten eingegangen.
Die übrigen SPS-Parameterpunkte liefern kleine bis mittlere Zweischleifenkorrekturen.
Insgesamt entsprechen die Werte an den SPS-Punkten jedoch den Abschätzungen aus
[28], dass (aµ )2L das Einschleifenergebnis um etwa -1% korrigiert.
7.3. Abhängigkeit von tan β
Das MSSM-Einschleifenergebnis (aµ )1L ist dem Verhältnis der Vakuumerwartungswerte
der Higgs-Dubletts tan β direkt proportional.
µ
a(1L)
µ
≈ 13 · 10
−10
sgn(µM2 ) tan β
100 GeV
MSUSY
¶2
,
(7.1)
Die Parameterwerte tan β = 2 und MSUSY = 100 GeV können somit die 3,6 σ Abweichung
zwischen SM und Experiment erklären. Allerdings kann die SUSY-Skala nicht bei 100
GeV liegen, da sonst Supersymmetrie bereits entdeckt worden wäre. Um Werte von
MSUSY = 500 GeV (oder größer) zu ermöglichen, muss tan β groß sein. Es wird daher
meistens tan β = 50 gesetzt.
Um die Abhängigkeit des Zweischleifenbeitrages von tan β=TB zu untersuchen, wird das
unrenormierte Smyon-1-Diagramm (aµ )2L
bare und das Smyon-1-Counterterm-Diagramm
2L
(aµ )CT für TB=50 und TB=25 ausgewertet. Dazu werden die Brechungsparameter ML/Rf˜
aller Sfermionen, der supersymmetrische Higgs-Parameter µ sowie die Renormierungsskala µdim auf die gemeinsame Skala MSUSY gesetzt. Darüber hinaus gilt Ab = −3 TeV,
At =−2MSUSY und MA0 = 300 GeV. Die Parameter wurden in Anlehnung an [28] gewählt,
so dass sich starke Stop und Sbottom Mischungen ergeben und die Sfermionschleifen
verstärkt werden können.
Aus den Abbildungen 7.1 und 7.2 ist zu erkennen, dass der Counterterm-Beitrag etwa
71
7. Auswertung und Diskussion der Ergebnisse
10-mal so groß wie der unrenormierte, nackte Beitrag ist. Dies war bereits für die
Parameterwerte in Abschnitt 7.1 der Fall. Der nackte Beitrag hat zwischen tan β = 50
und tan β = 25 einen Vorzeichenwechsel, sein Betrag bleibt aber annähernd gleich. der
Counterterm-Beitrag ändert sich ebenfalls fast nicht. Da er sehr viel größer als der nackte
Beitrag ist, dominiert er das (renormierte) Zweischleifenergebnis. Dieses ist daher für
TB=25 und TB=50 fast gleich (siehe Abb. 7.3).
Der Squark-Tadpole-Beitrag ist somit nur wenig von tan β abhängig. Relativ zum Einschleifenergebnis wird er jedoch mit kleinerem tan β weniger vernachlässigbar. Für die
SPS-Punkte liefert (aµ )2L eine Korrektur von weniger als -1% des Einschleifenbeitrages.
Bei den in diesem Abschnitt verwendeten Parametern beträgt die Korrektur bis zu -8%
(Abbildung 7.4). Damit die Zweischleifenkorrektur möglichst klein ist und MSUSY groß
gewählt werden kann, sollte tan β = 50 sein. Die Korrektur beläuft sich dann auf -4% für
kleine MSUSY .
Für jedes Smyon liefern die Einschleifendiagramme mit dem leichtesten (Bino-artigen)
Neutralino den größten Beitrag. Dieser besteht jeweils aus einem kleinen Beitrag, der
proportional zu tan β ist, und einem sehr großen tan β-unabhängigem Term. Da der Mischungswinkel der Smyonen annähernd π/4 beträgt, löschen sich die tan β-unabhängigen
Terme von Smyon-1 und Smyon-2 in der Summe fast völlig aus und die in tan β linearen
Terme dominieren. Auf Zweischleifenniveau erhält die Smyon-1-Masse, bedingt durch
das Renormierungsschema, einen endlichen shift. Infolgedessen löschen sich die großen
Beiträge durch das leichteste Neutralino weniger aus. Die tan β-abhängigen Terme sind
nicht mehr dominant, wodurch sich (aµ )2L nur wenig mit tan β verändert.
72
7.3. Abhängigkeit von tan β
10
a Μ ´ 10
0.0
400
600
800
1000
MSUSY @GeVD
1200
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
Abbildung 7.1.: Nackter Beitrag (—) und Counterterm-Beitrag (- - -) für TB=50
10
a Μ ´ 10
0.0
400
600
800
1000
MSUSY @GeVD
1200
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
Abbildung 7.2.: Nackter Beitrag (—) und Counterterm-Beitrag (- - -) für TB=25
73
7. Auswertung und Diskussion der Ergebnisse
a Μ 2 L ´ 10
0.0
10
400
600
800
1000
MSUSY @GeVD
1200
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
Abbildung 7.3.: Renormierter Zweischleifenbeitrag für TB=50 (...)
und TB=25 (- - -)
aΜ 2 L
€€€€€€€€€€€€€€€€ ´ 100 %
aΜ 1 L
400
600
800
1000
MSUSY @GeVD
1200
-2
-4
-6
-8
Abbildung 7.4.: Verhältnis des Zwei- und Einschleifenbeitrages in % bei TB=50 (...)
und TB=25 (- - -)
74
7.4. Abhängigkeit von µ
7.4. Abhängigkeit von µ
Als nächstes soll die Abhängigkeit von (aµ )2L von dem supersymmetrischen Higgs-Parameter
µ und der trilinearen Kopplung Ab untersucht werden. Es werden dafür alle Parameter,
mit Ausnahme von µ und Ab , wie im vorigen Abschnitt gewählt, wobei tan β = 50 gesetzt
wird. Für µ=MSUSY und µ=2MSUSY wird jeweils Ab von −300 GeV bis 1000 GeV gewählt.
Die Werte für µ sind nach oben beschränkt, da die Squarks positive Masseneigenwerte
haben sollen. Für die hier angegebenen Parameter ist dies gesichert.
Es zeigt sich, dass die Zweischleifenkorrektur für großes µ kleiner ist. Außerdem ist sie
für großes µ sensitiver auf Veränderungen der trilinearen Kopplungen (Breite des Bandes
in Abb. 7.5). Relativ zum Einschleifenergebnis ist dieses Verhalten noch deutlicher (Abb.
7.6). Für µ=2MSUSY ist die prozentuale Korrektur zur Einschleifenordnung größer und
auch sensitiver auf Variation von Ab . Die Fälle µ=MSUSY und µ=2MSUSY führen bei
SUSY-Skalen von etwa 310 GeV beide zu einer Korrektur von -4,5% des Einschleifenergebnisses. Bei einer Energieskala von MSUSY = 1000 GeV betragen die Korrekturen rund
-1% für µ=MSUSY beziehungsweise -1,5% bei µ=2MSUSY .
Die Korrekturen für alle untersuchten Parameterbereiche sind für kleine Werte von
2
MSUSY am größten, da aµ generell indirekt proportional zu MSUSY
ist. Einen führenden
MSUSY
Logarithmus ln mµ , der dieses Verhalten für große SUSY-Skalen modifiziert, gibt es
bei den Sfermion-Zweischleifendiagrammen nicht (siehe Abschnitt 4.2.2).
75
7. Auswertung und Diskussion der Ergebnisse
a Μ 2 L ´ 10
-0.5
10
350
400
450
500
MSUSY @GeVD
-1.0
-1.5
-2.0
-2.5
Abbildung 7.5.: Zweischleifenbeitrag für großen (...) und kleinen (- - -) HiggsParameter und trilineare Kopplungen von -0,3...1000 GeV
aΜ 2 L
€€€€€€€€€€€€€€€€ ´ 100 %
aΜ 1 L
-2.5
350
400
450
500
MSUSY @GeVD
-3.0
-3.5
-4.0
-4.5
Abbildung 7.6.: Verhältnis von Zwei- zu Einschleifenbeitrag für großen (...) und
kleinen (- - -) Higgs-Parameter und trilineare Kopplungen von 0,3...1000 GeV
76
8. Zusammenfassung
Die beobachtete Abweichung von 3,6 σ zwischen gemessenen und berechneten Werten für
das anomale magnetische Moment des Myons motiviert detaillierte Schleifenrechnungen
in Erweiterungen des Standardmodells.
Im Rahmen des minimal supersymmetrischen Standardmodells können die Abweichungen
besonders gut erklärt werden. Um die Genauigkeit der Vorhersage zu verbessern, werden
in dieser Arbeit die Feynman-Diagramme der Zweischleifenordnung mit Sfermion- oder
Sfermion-Fermionschleifen untersucht. Sie bilden eine eichinvariante und endliche Untergruppe der Zweischleifendiagramme. Für Top- oder Bottom-Squarks als innere Teilchen
können diese Diagramme große Korrekturen zu den Einschleifendiagrammen des MSSM
zu (g-2)µ liefern, da sie den Massen von Top und Bottom proportional sind.
Diese Sfermionkorrekturen der SUSY-Einschleifendiagramme wurden in drei Topologien
aufgeteilt. Die erste besitzt nur einen skalaren Tadpole als innere Schleife, während
in der zweiten Topologie eine Sfermion-Fermionschleife im Neutralino- beziehungsweise
Chargino-Propagator vorhanden ist. Die dritte Topologie besteht aus Einschleifendiagrammen mit Countertermeinsetzungen an den Vertizes. Diese Diagramme werden für
die Renormierung der (elektroschwachen) Parameter an den Vertizes benötigt.
Zur Berechnung wurde das Computer-Algebra-System Mathematica und das ProgrammPaket FeynArts verwendet. Die Programme und ihre Algorithmen wurden für die drei
Topologien angepasst und für Diagramme der ersten Topologie optimiert. Durch die
unterschiedliche Struktur der Propagatoren und Integrale sind die Programme für die
Diagramme der zweiten Topologie noch ineffizient. Für diese wurden deshalb verschiedene
Optimierungsmöglichkeiten untersucht.
Die Renormierung wurde im on-shell-Schema nach Heidi Rzehak [31, 32] durchgeführt.
Dabei wurden die Massen des Sneutrinos und des Smyon-2 on-shell renormiert. Die
Smyon-1-Masse kann wegen der SU(2)-Invarianz des Sleptondubletts nicht unabhängig
und insbesondere nicht on-shell renormiert werden. Sie ist von den Massen des Sneutrinos
und des Smyon-2 abhängig und erhält endliche Korrekturen. Die Diagramme der ersten
77
8. Zusammenfassung
Topologie wurden vollständig renormiert und ausgewertet. Für die zweite Topologie steht
dies noch aus.
Durch die Renormierung bedingt, verschwinden alle Beiträge des Sneutrinos, des Smyon-2
und der Mischdiagramme mit Smyon-1 und -2 nach dem die Summe mit ihren Countertermen gebildet wird. Der Beitrag der Tadpole-Diagramme der ersten Topologie entsteht
daher nur durch die Smyon-1-Diagramme. Es zeigt sich, dass dieser Beitrag durch den
Counterterm dominiert wird, welcher fast eine Größenordnung größer als das Zweischleifendiagramm ist. Darüber hinaus ist er durch die Verschiebung der Smyon-1-Masse nur
wenig von tan β abhängig.
Numerisch ergeben sich an den SPS-Punkten Korrekturen von weniger als -1% des
MSSM-Einschleifenbeitrages. Für ausgewählte Parameter, insbesondere mittlere Werte
von tan β und kleine Werte für MSUSY , lassen sich jedoch auch Werte von bis zu -8%
erreichen. Für SUSY-Skalen von 1 TeV können die Korrekturen immer noch -2% betragen.
78
A. Grundlagen und Konventionen
A.1. Minkowskiraum und Poincaréalgebra
Der Minkowskiraum ist eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit mit global definierten kartesischen Koordinaten ~x = (x, y, z) und x0 = ct als Zeitkoordinate. Die kontravarianten
Komponenten der Lorentz-Metrik sind definiert als
g00 = 1,
gij = −δij
(A.1)
δij = δ ij ist das Kroneckersymbol. Die kovarianten Komponenten ergeben sich durch
gµν g νλ = δµλ
g 00 = 1,
zu
g ij = −δ ij
(A.2)
Ereignisse im Minkowski-Raum werden durch Vierervektoren xµ beschrieben. Der metrische Tensor bildet dabei kontravariante auf kovariante Komponenten ab.
xϕ = (x0 , ~x)
λ
0
xϕ = gϕλ x = (x , −~x)
kontravariant
(A.3)
kovariant
(A.4)
Die spezielle Relativitätstheorie fordert die Konstanz der Lichgeschwindigkeit, d.h. alle
inertial zueinander bewegten Beobachter messen dieselbe Lichgeschwindigkeit c. Mathematisch bedeutet dies, dass die Norm der Differenz zweier Ereignisse invariant unter dem
Wechsel zwischen Inertialssystemen (Σ, x) und (Σ0 , x0 ) ist.
gκλ dxκ dxλ = gκλ dx0κ dx0λ
∂x0κ ∂x0λ
gκλ %
= g%σ
∂x ∂xσ
(A.5)
(A.6)
Alle Transformationen, die diese Bedingung erfüllen, bilden die Poincarégruppe (auch
inhomogene Lorentzgruppe genannt) und lassen sich als
x0ϕ = Λϕν xν + aϕ
(A.7)
79
A. Grundlagen und Konventionen
schreiben. aϕ ist ein beliebiger konstanter Vierervektor und Λϕν eine konstante Matrix,
die
gµν Λµ% Λνσ = g%σ
(A.8)
erfüllt. Für eine Transformation (Λ, a) mit x0 = Λx + a bezeichnet U (Λ, a) eine Darstellung der Poincarégruppe. Für infinitesimale Transformationen
Λν
gilt dann
Es folgt, dass ωµν
σ
= δν σ + ων σ ,
aµ = εµ
(A.9)
i
U (Λ, a) ≈ U (δ + ω, ε) = 1 − ωµν J µν + iεµ P µ + ...
(A.10)
2
antisymmetrisch ist. P µ und J µν sind ε- und ω-unabhängige Opera-
toren, die hermitesch sein müssen damit U unitär ist. P µ ist der Viererimpulsoperator,
Generator von Translationen und J µν ist der relativistische Drehimpulsoperator, Generator der Lorentztransformationen. Die J 0m generieren dabei Boosts und die J kl räumliche
Drehungen.
Für neue Tranformationen (Λ̃, ã), unabhängig von ω und ε wird das Produkt
U (Λ̃, ã)U (δ + ω, ε)U −1 (Λ̃, ã)
(A.11)
betrachtet und es kann gezeigt werden, dass sich J und P tatsächlich als Tensoren
unter Lorentztransformationen transformieren. Außerdem lässt sich die Poincaréalgebra
ableiten. Es gelten daher folgende Vertauschungsrelationen
[P µ , P ν ] = 0
(A.12)
[P µ , J νκ ] = i (g µν P κ − g µκ P ν )
(A.13)
[J µν , J %σ ] = i (g ν% J µσ − g νσ J µ% + g µσ J ν% − g µ% J νσ )
(A.14)
Eine wichtige Darstellung der Poincaréalgebra benutzt Differentialoperatoren. Für einen
Funktionenraum auf dem Minkowskiraum kann gezeigt werden, dass
φ0 (x) = φ(Λ−1 x − a)
Jµν = i(xµ ∂ν − xν ∂µ )
Pµ = i∂µ
80
(A.15)
(A.16)
(A.17)
A.2. Spinoren
gilt.
A.2. Spinoren
Die Generatoren der Lorentzgruppe Jµν erzeugen Rotationen des dreidimensionalen Raumes (Jms ) und Boosts zwischen Inertialsystemen (J0r ). Für diese Operationen werden
1
Rd = εdms Jms
2
Kr = −J0r
Td± =
1
(Rd ± iKd )
2
(A.18)
definiert. Mit diesen Operatoren kann die Lorentzalgebra (A.14) umgeschrieben werden:
£
¤
Ta+ , Tb+ = iεabc Tc+
£
¤
Ta− , Tb− = iεabc Tc−
£
¤
Ta+ , Tb− = 0
(A.19)
Dies bedeutet, dass die Lorentzalgebra homomorph zum Produkt zweier Drehimpulsalgebren SU(2)+ ×SU(2)− ist und ihre Darstellungen nach den Drehimpulsen j1 der SU(2)+
und j2 der SU(2)− klassifiziert werden können.
Links chirale Weyl-Spinoren ξA transformieren nach der ( 21 ,0)-Darstellung, während rechts
chirale Weyl-Spinoren χ̄Ȧ nach der (0, 12 )-Darstellung transformieren. Für sie gelten mit
A,B=1,2 und Ȧ,Ḃ=1̇,2̇ folgende Relationen:
T
ξA0 = MAB ξB
ξ 0A = (M −1 )AB ξ B
ξ A = εAB ξB
ξA = (ξ¯ )†
ξA =
Ȧ
εAB ξ B
(ξ¯Ȧ )†
ξA =
(A.20)
T
χ̄0Ȧ = (M ∗ )ȦḂ χ̄Ḃ
χ̄0Ȧ = (M ∗−1 )ȦḂ χ̄Ḃ
χ̄Ȧ =
εȦḂ χ̄Ḃ
χ̄Ȧ =
εȦḂ χ̄Ḃ
χ̄Ȧ =
(χA )†
χ̄Ȧ =
(χA )†
(A.21)
Dabei ist MAB ² SL(2,C) und für das van-der-Waerde-Symbol εAB gilt
Ã
ε
AB
=
0
1
−1 0
!
Ã
,
εAB =
0 −1
1
0
!
,
εAB εBC = δ AC
(A.22)
und analog für εȦḂ .
Aus diesen Weyl-Spinoren können lorentzinvariante Skalarprodukte konstruiert werden:
ξχ := ξ A χA = −χA ξ A = χA ξA = χξ
ξ¯χ̄ := ξ¯Ȧ χ̄Ȧ = −χ̄Ȧ ξ¯Ȧ = χ̄Ȧ ξ¯Ȧ = χ̄ξ¯
(A.23)
81
A. Grundlagen und Konventionen
Die γ-Matrizen in der Weyl-Darstellung sind definiert als:
Ã
γµ =
0 σµ
σ̄ µ 0
!
Ã
γ5 = iγ0 γ1 γ2 γ3 =
−12 0
0 12
!
(A.24)
Dabei gilt σ µ = (12 , σ m ) und σ̄ µ = (12 , −σ m ) mit der 2×2-Einheitsmatrix 12 und den
Paulimatrizen
!
!
Ã
!
Ã
Ã
1
0
0
−i
0
1
(A.25)
,
σ3 =
,
σ2 =
σ1 =
0 −1
1 0
i 0
Des Weiteren wird
i µ ν
(σ σ̄ − σ ν σ̄ µ )AB
2
(A.26)
i µ ν
µν Ȧ
ν µ Ȧ
(σ̄ ) Ḃ = (σ̄ σ − σ̄ σ ) Ḃ
2
definiert. Die Projektoren für den links- bzw. rechtshändigen Anteil von Viererspinoren
(σ µν )AB =
lauten
PL =
¢
1¡
1 − γ5
2
und PR =
¢
1¡
1 + γ5
2
(A.27)
A.3. Grassmann-Koordinaten
Zur Beschreibung supersymmetrischer Feldtheorien wird der Superraum eingeführt, indem zu den vier reellen Koordinaten xµ des Minkowskiraumes vier Grassmann-Koordinaten hinzugefügt werden. Diese Grassmann-Koordinaten antivertauschen untereinander
und mit den fermionischen Felder der Theorie. Sie werden in Weyl-Spinor-Dubletts θA
und θ̄Ȧ zusammengefasst, so dass die Indexkonventionen aus dem vorigen Abschnitt
gelten. Aus dem Verhalten unter Vertauschungen folgt, dass Produkte von mindestens
drei Komponenten von θA oder θ̄Ȧ verschwinden. Eine Funktion f (θ, θ̄) kann daher mit
beliebigen Koeffizienten a, ..., h wie folgt in (θ, θ̄) entwickelt werden
f (θ, θ̄) = a + (b)A θA + (c)Ȧ θ̄Ȧ + dθθ + eθ̄θ̄ + (f )A θA θ̄θ̄ + (g)Ȧ θ̄Ȧ θθ + hθθθ̄θ̄
(A.28)
Partielle Ableitungen nach θA und θ̄Ȧ werden wie für die xµ definiert:
∂A =
82
∂
∂θA
∂A =
∂
∂θA
∂
∂¯Ȧ =
∂ θ̄Ȧ
∂
∂¯Ȧ =
∂ θ̄Ȧ
(A.29)
A.4. Eichgruppen
Die Entwicklungskoeffizienten aus Gleichung (A.28) können durch Integration über die
Grassmann-Koordinaten bestimmt werden. Es werden dafür folgende Integralmaße definiert
1
1
d2 θ = − dθA dθA
d2 θ̄ = − dθ̄Ȧ dθ̄Ȧ
d4 θ = d2 θd2 θ̄
(A.30)
4
4
Für die Integration folgt damit
Z
Z
2
d2 θ̄
(A.31)
d2 θ̄ θ̄θ̄
(A.32)
δ (2) (θ̄) = θ̄θ̄
(A.33)
dθ= 0 =
Z
Z
d2 θ θθ = 1 =
δ (2) (θ) = θθ
Z
d4 θθθ̄θ̄ = 1
(A.34)
A.4. Eichgruppen
Für das Standardmodell und das MSSM sind die unitären Gruppen U(1), SU(2) und
SU(3) die Grundlage.
U(1)-Gruppe
U (1) =
©
ª
1 × 1 − Matrizen A | A† A = 1
= {A = exp(−iϕ) | ϕ ² R}
(A.35)
(A.36)
SU(N)-Gruppen
©
ª
N × N − Matrizen A | A† A = 1, det A = 1
(
Ã
!
)
X
a
=
A = exp −i
θa T
| θa ² R
SU (N ) =
(A.37)
(A.38)
a
Die Generatoren sind spurfreie, hermitesche N × N-Matrizen, die die Lie-Algebra
£
¤
Ta , Tb = if abc Tc
(A.39)
83
A. Grundlagen und Konventionen
erfüllen. Für sie gelten:
¡
¢
1 ab
Tr Ta Tb =
δ
2
Tr (Ta ) = 0
(A.40)
(A.41)
(Ta )† = Ta
(A.42)
Die Strukturkonstanten f abc sind vollständig antisymmetrisch in ihren Indizes. Für
die Fälle N=2 und N=3 gilt darüber hinaus
σa
, a = 1, 2, 3
2
λa
=
, a = 1, ..., 8
2
N = 2 ⇒ Ta =
(A.43)
N = 3 ⇒ Ta
(A.44)
mit den Pauli-Matrizen σ a und den Gell-Mann-Matrizen λa .
Um eine Lagrangedichte zu erhalten, die invariant unter Eichtransformationen ist, müssen
partielle Ableitungen durch eichkovariante Ableitungen ersetzt werden. Für jede Eichgruppe G wird ein Eichvektorfeld V̂ µ = (V µ )a T a und eine Eichkopplung g benötigt. In
der Lagrange-Dichte L wird die Ersetzung
∂µ
⇒
Dµ (V̂ ) = ∂ µ + ig V̂ µ
(A.45)
vorgenommen. Unter den lokalen unitären Transformationen U (x) mit
ψ 0 (x) = U (x)ψ(x),
ψ̄ 0 (x) = ψ̄(x)U † (x)
(A.46)
gilt (U (x)U † (x) = 1)
ψ̄ 0 (x) Dµ 0 ψ 0 (x) = ψ̄(x)U † (x) Dµ 0 U (x)ψ(x) = ψ̄(x)Dµ ψ(x)
(A.47)
genau dann, wenn das Eichfeld V̂ µ (x) nach der adjungierten Darstellung von U (x)
transformiert.
Dµ 0 = U (x)Dµ U † (x)
= ∂ µ + ig V̂
µ0
(A.48)
(x)
(A.49)
¡
¢
0
1
V̂ µ (x) = U (x)V̂ µ (x)U † (x) + U (x) ∂ µ U † (x)
ig
84
(A.50)
B. Programmaufbau
B.1. Definition von δ tan β
Die MSSMCTcomplete.mod-Datei definiert δ tan β im DR-Schema.
RenConst[dTanB1]:= Block[a0z, a0z := SelfEnergy[S[3]-> V[2], MA0];
-((1/(2*MZ*CB2))*UVDivergentPart[Im[ReTilde[a0z]]])]
Diese Definition ist mit Gleichung (5.30) bis auf die Funktion ReTilde[] identisch. Die
Funktion ReTilde[] erzeugt den Realteil der Schleifenintegrale, sie wirkt aber nicht auf
deren Koeffizienten (Mischungsmatrizen, Parameter etc.).
Beispiel Für eine Funktion beliebiger komplexer Parameter und Schleifenintegrale gilt
dann: ReTilde[F (CKM, α, A0, B0)] := F (CKM, α, Re[A0], Re[B0])
Zur Berechnung der A0 -Z 0 -Selbstenergie a0z müssen die Topologien und Amplituden
erstellt werden (siehe Abschnitt 6.3). a0z wird danach mit OneCalc berechnet. Die
Befehle hierfür lauten:
CallOneSimpSubst[a0z];
CallOneLoopSum[a0z, SelfEnergyPart -> 4];
Mit diesen Definitionen werden keine weiteren Vorfaktoren benötigt. Die UV-divergenten
Anteile der Realteile der Schleifenintegrale können eingesetzt und der Imaginärteil kann
gebildet werden.
85
B. Programmaufbau
FESTLEGEN DER TOPOLOGIEN
PROJEKTION VON (g-2)
ABKÜRZEN DER KOPPLUNGEN
⇓
ANWENDEN DES TwoCalc-PAKETS
AUSWERTEN DER ALGEBRA
ZERLEGUNG IN STANDARDINTEGRALE
⇓
HEAVY-MASS-EXPANSION
ENTWICKLUNG IN POTENZEN VON mµ
⇓
DIMENSIONALE REGULARISIERUNG
ENTWICKLUNG IN POTENZEN VON ε
⇓
AUSWERTUNG
Abbildung B.1.: Aufbau des Programmes zur Berechnung der Zweischleifendiagramme
86
B.1. Definition von δ tan β
COUNTERTERM-TOPOLOGIEN FESTLEGEN
PROJEKTION VON (g-2)
ABKÜRZEN DER KOPPLUNGEN
⇓
ANWENDEN DES OneCalc-PAKETS
AUSWERTEN DER ALGEBRA
ZERLEGUNG IN STANDARDINTEGRALE
⇓
RENORMIERUNGSKONSTANTEN BESTIMMEN
BERECHNEN DER SELBSTENERGIEN
RENORMIERUNGSKONSTANTEN EINSETZEN
⇓
EINSETZEN DER SELBSTENERGIEN
ENTWICKLUNG IN POTENZEN VON mµ
DIMENSIONALE REGULARISIERUNG
ENTWICKLUNG IN POTENZEN VON ε
⇓
AUSWERTUNG
Abbildung B.2.: Aufbau des Programmes zur Berechnung der CountertermDiagramme
87
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93
94
Danksagung
Zuallererst möchte ich mich bei Dominik Stöckinger für das interessante Thema und die
sehr gute Betreung dieser Arbeit bedanken. Für jede Frage oder Schwierigkeit gab er
ausführliche und hilfreiche Antworten und Lösungen.
Bei Herrn Dr. G. Plunien bedanke ich mich für die vielen interessanten Vorlesungen und
Gespräche in den vergangenen Jahren, die mein Interesse an der Theoretischen Physik
geweckt haben.
Mein Dank gilt Kathrin Leonhardt, Philipp von Weitershausen, Alexei Volk und Matthias
Geyer sowie Marcus Heinrich und Benjamin Janutta, die immer zu einem Schwätzchen
bereit waren und somit für eine freundschaftliche Atmosphäre im Institut für Kern- und
Teilchenphysik sorgten.
Darüber hinaus bedanke ich mich bei Hyejung Stöckinger-Kim, Marek Schönherr, Philipp
von Weitershausen und Matthias Geyer für die vielen, mitunter auch nicht-physikalischen
Gespräche in unserer Forschungsgruppe.
Bei meinen beiden Schwestern und bei Marcus Heinrich möchte ich mich für ihr geduldiges Korrekturlesen und vielen Verbesserungsvorschläge bedanken. Ohne sie wäre
diese Arbeit nicht zu vollenden gewesen.
Schließlich möchte ich mich bei meiner Familie, insbesondere bei meinen Schwestern und
Eltern, für ihre andauernde Unterstützung während meines ganzen Studiums bedanken.
96
Erklärung
Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit ohne unzulässige Hilfe Dritter
und ohne Benutzung anderer als der angegebenen Hilfsmittel angefertigt habe. Die aus
fremden Quellen direkt oder indirekt übernommenen Gedanken sind als solche kenntlich
gemacht. Die Arbeit wurde bisher weder im Inland noch im Ausland in gleicher oder
ähnlicher Form einer anderen Prüfungsbehörde vorgelegt.
Marco Schäfer
Dresden, April 2009