Berechnung von Top und Bottom verstärkten Zweischleifenbeiträgen zum anomalen magnetischen Moment des Myons im MSSM Diplomarbeit zur Erlangung des wissenschaftlichen Grades Diplom-Physiker vorgelegt von Marco Schäfer geboren am 16.03.1984 in Räckelwitz Institut für Kern- und Teilchenphysik der Technischen Universität Dresden 2009 ii Eingereicht am 30. April 2009 1. Gutachter: Prof. Dr. Dominik Stöckinger 2. Gutachter: PD Dr. Günter Plunien iii iv Kurzdarstellung In den letzten Jahren wurde eine Diskrepanz zwischen experimentellen und theoretischen Werten zum anomalen magnetischen Moment des Myons (g-2)µ festgestellt. Diese beläuft sich auf über drei Standardabweichungen und kann Hinweise auf neue Physik jenseits des Standardmodells liefern. Im Rahmen des MSSM wurden schon Strahlungskorrekturen zu (g-2)µ auf Ein- und zum Teil auch auf Zweischleifenniveau durchgeführt. Diese können die Abweichungen zwischen Standardmodell und Experiment bereits erklären. Um die erlaubten Parameterbereiche des MSSM genauer zu bestimmen, muss die Berechnung der Zweischleifenordnung jedoch vervollständigt werden. Ziel dieser Arbeit ist es Zweischleifendiagramme zu untersuchen, die als Korrekturen zum Sfermion- und Bosino-Propagator Top- und Bottom-Squark-Schleifen haben. Diese Feynman-Diagramme sind den Massen von Top und Bottom proportional und versprechen deshalb einen großen numerischen Beitrag zu (g-2)µ . Abstract Within recent years a discrepancy between experimental und theoretical values of the anomalous magnetic moment of the muon (g-2)µ has been established. This discrepancy of over three standard deviations can point towards new physics beyond the standard model. Radiative corrections to (g-2)µ in the MSSM have been computed on the one- and in part on the two-loop level. They can already account for the deviations between experiment and the standard model calculations. In order to further constrain the parameter space of the MSSM the two-loop order computations need to be completed. The goal of this thesis is to compute and to evaluate two-loop diagrams, which have top- and bottom-squark-loops as corrections to their sfermion- and bosino-propagators. These Feynman diagrams are proportional to the masses of the top and bottom quark and can thus yield a large numerical contribution to (g-2)µ . v vi Inhaltsverzeichnis Abkürzungsverzeichnis xi 1. Einleitung 1 2. Modelle der Teilchenphysik 5 2.1. Das Standardmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1. Materie- und Austauschteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.2. Die Eichgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.3. Wechselwirkungen der Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.4. Der Higgs-Mechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.5. Teilchenmischung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.6. Die Quantisierung des Standardmodells . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Das minimal supersymmetrische Standardmodell . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.1. Supersymmetrie - Motivation und Algebra . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.2. Komponentendarstellung und allgemeine Superfelder . . . . . . . 20 2.2.3. Chirale und reelle Superfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.4. Supersymmetrische Lagrange-Dichten . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.5. Der Teilcheninhalt des MSSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.6. Die Lagrange-Dichte des MSSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.7. Elektroschwache Symmetriebrechung und Teilchenmischung 30 . . . 3. Grundlegendes zu (g-2) 35 3.1. Das magnetische Moment ~µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2. Das magnetische Moment in der Quantenfeldtheorie . . . . . . . . . . . . 37 3.3. Der Projektor des magnetischen Formfaktors . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4. Messung des anomalen magnetischen Moments . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.5. Gliederung der Beiträge im Standardmodell . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.5.1. QED-Beiträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.5.2. Elektroschwache Beiträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.5.3. Hadronische Beiträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 vii 3.6. Theorie vs. Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Feynman-Diagramme für (g-2) im MSSM 44 47 4.1. Einschleifenordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2. Zweischleifenordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.2.1. Zweischleifendiagramme ohne Smyonen und Sneutrinos . . . . . . 49 4.2.2. Zweischleifendiagramme mit Smyonen und Sneutrinos . . . . . . . 49 4.3. Korrektur der Einschleifendiagramme durch Sfermionen . . . . . . . . . . 50 5. Renormierung der Zweischleifendiagramme 53 5.1. Renormierung der Sleptonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.1.1. Die Massenterme der Sfermionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.1.2. Renormierungstransformation der Massenterme . . . . . . . . . . 54 5.1.3. Renormierungsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.1.4. Berechnung der Renormierungskonstanten . . . . . . . . . . . . . 56 5.1.5. Sektorfremde Renormierungskonstanten . . . . . . . . . . . . . . . 58 6. Methoden zur Berechnung 61 6.1. Übersicht zu FeynArts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6.2. Berechnung der Zweischleifendiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.3. Berechnung der Counterterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.4. Herausforderungen für die Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 7. Auswertung und Diskussion der Ergebnisse 69 7.1. Vergleich der Diagrammbeiträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.2. Zweischleifenbeitrag an den SPS-Punkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.3. Abhängigkeit von tan β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.4. Abhängigkeit von µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8. Zusammenfassung 77 A. Grundlagen und Konventionen 79 A.1. Minkowskiraum und Poincaréalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 A.2. Spinoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 A.3. Grassmann-Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 A.4. Eichgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 B. Programmaufbau B.1. Definition von δ tan β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii 85 85 Literaturverzeichnis 89 ix x Abkürzungsverzeichnis BNL BRS Brookhaven National Laboratory Becchi-Rouet-Stora C CERN CKM CP Operation der Ladungskonjugation Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire Cabibbo-Kobayashi-Maskawa Paritätstransformation gefolgt von Ladungskonjugation CP T DR LHC LSP kombinierte Zeitumkehr-Paritäts-Ladungskonjugationstransformation modifizierte dimensionale Reduktion Large Hadron Collider Lightest Supersymmetric Particle MSSM mSUGRA QED QCD SM Minimal Supersymmetric Standard Model minimale Supergravitation Quantenelektrodynamik Quantenchromodynamik Standardmodell SPS SUGRA SUSY VEW Snowmass Points and Slopes Supergravitation Supersymmetrie Vakuumerwartungswert xi 1. Einleitung Das Ziel der Physik besteht darin, unsere Welt einfach und vollständig zu beschreiben. Als fundamentale Naturwissenschaft ist es ihre Aufgabe, möglichst alle Phänomene auf allen Größenskalen zu erklären. Dies schließt Wechselwirkungen zwischen den Bausteinen der Atome ebenso mit ein, wie die Entwicklung von Galaxien. Im Verlauf des letzten Jahrhunderts ist es den Physikern gelungen ein Modell zu konstruieren, welches genau das mit sehr hoher experimenteller Genauigkeit ermöglicht. Dieses Modell besteht einerseits aus der Allgemeinen Relativitätstheorie nach Albert Einstein und den darauf aufbauenden kosmologischen Modellen und andererseits aus dem sogenannten Standardmodell der Teilchenphysik. Letzteres wird oft auch nur Standardmodell oder SM genannt. Im Gegensatz zur Allgemeinen Relativitätstheorie ist es keine klassische Feldtheorie, sondern eine relativistisch kovariante Quantenfeldtheorie. In den vergangenen Jahrzehnten wurde das Standardmodell immer weiter verbessert und experimentell bestätigt. Es gilt heute als die am besten getestete Theorie zur Beschreibung unserer Welt. Wie alle physikalischen Modelle hat es jedoch einen begrenzten Gültigkeitsbereich. Bei Energien jenseits der elektroschwachen Skala, d.h. bei Energien von mehreren TeV, wird ein neues Modell erforderlich. Es ist deshalb nicht nur wichtig das SM weiter zu verbessern, sondern auch zu fragen, welche Erweiterungen zum Standardmodell es geben kann. In einem neuen Modell muss das SM als Limes kleinerer Energien enthalten sein. Die neuen zusätzlichen Teilchen, die innerhalb der Standardmodell-Erweiterungen postuliert werden, aber bisher nicht entdeckt worden sind, liefern bei höheren Energien Korrekturen zu den bisherigen Messungen. Das Standardmodell lässt jedoch auch bei niedrigen Energien noch viele Fragen offen (siehe zum Beispiel Kap. 2 in [1]). So erhalten die Teilchen des SM ihre Massen durch den Higgsmechanismus [2,3]. Das dabei postulierte Higgs-Boson ist bis heute nicht experimentell nachgewiesen und das Higgs-Potential muss ad hoc eingeführt werden. Sollte das Higgs-Teilchen existieren, wäre es das einzige skalare Teilchen im Standardmodell und würde zu einem ästhetischen Problem führen, dem Finetuning. Die Strahlungskorrekturen zum skalaren Propagator des Higgs-Bosons führen zu quadratischen Divergenzen, 1 1. Einleitung deren Renormierung extreme numerische Genauigkeit erfordert (siehe z.B. Kap. 1 in [4]). Eine genaue Motivation für die Eichgruppen und die Anzahl der Familien des SM fehlt ebenfalls. Sie müssen der Theorie von Hand hinzugefügt werden. Auch die Gravitation ist nicht Teil des Standardmodells. Sie kann bisher nur im Rahmen der klassischen, nicht quantisierten Allgemeinen Relativitätstheorie beschrieben werden. Eine zufriedenstellende Quantentheorie der Gravitation existiert bisher nicht. Astrophysikalische Experimente der letzten Jahrzehnte haben das SM ebenso als unvollständig belegt. Experimente mit Neutrinos zeigen, dass diese Elementarteilchen eine endliche Ruhemasse haben müssen (Neutrinooszillationen, siehe [5]). Die genaue Natur der Neutrinomassen ist aber immer noch ungeklärt. Experimentelle Werte aus Beobachtungen von Rotationsgeschwindigkeiten von Galaxien sowie der Mikrowellenhintergrundstrahlung lassen sich am besten durch die Einführung von Dunkler Materie und Dunkler Energie erklären. Für beides liefert das Standardmodell keine passenden Kandidaten. Über 90% der Materie im Universum ist daher nicht Bestandteil des Standardmodells. Dennoch ermöglicht das Standardmodell die elektromagnetische, die schwache und die starke Kraft zu beschreiben. Die ersten beiden lassen sich darüber hinaus als eine vereinheitlichte Kraft, die elektroschwache Wechselwirkung, verstehen. Die vollständige Vereinheitlichung aller drei Kräfte zu einer einzigen lässt sich allerdings im SM nicht bewerkstelligen. In einer allgemeineren Theorie wäre dies bei höheren Energien möglich. Eine Vereinheitlichung aller drei Kopplungen, eventuell sogar mit der Gravitation, wäre zwar nicht dringend erforderlich, aber sowohl mathematisch als auch physikalisch sehr ästhetisch. Es gibt viele Erweiterungen des Standardmodells, mit denen sich einige seiner Probleme zum Teil oder vollständig lösen lassen. Am einfachsten sind dabei wohl Theorien mit einer zusätzlichen vierten Generation von Materiefeldern oder mit zusätzlichen Eichbosonen. Andere erweiterte Modelle postulieren zusätzliche Raumdimensionen oder eine Symmetrie zwischen Materie- und Wechselwirkungsfeldern (Supersymmetrie). Große vereinheitlichte Theorien, Superstring- und M-Theorie versuchen die einheitliche Beschreibung aller Wechselwirkungen auf noch viel höheren Energieskalen zu bewerkstelligen. Obwohl einige dieser Theorien in absehbarer Zeit durch Experimente nicht überprüfbar sind, ist es erstrebenswert sie zu untersuchen und zu verbessern. Neue Teilchenbeschleuniger wie der LHC am CERN werden in der Lage sein erste Experimente bei Energien durchzuführen, die oberhalb der bekannten Skalen liegen und deshalb Informationen über Physik jenseits des Standardmodells liefern werden [6]. Aber auch die Untersuchung anderer Effekte kann Informationen über ”Beyond Standard Model“-Physik geben und dabei sogar noch kostengünstiger sein. Als ein Beispiel wären hier Experimente 2 zum anomalen magnetischen Moment des Myons zu nennen, die vergleichsweise einfach umzusetzen sind, aber trotzdem viele neue Erkenntnisse liefern könnten [7]. Das anomale magnetische Moment (g-2) von Elementarteilchen war bereits in den Anfangszeiten der Quantenfeldtheorie von herausragender Bedeutung. Julian Schwinger konnte im Rahmen der Quantenelektrodynamik (QED) die Einschleifenkorrektur zum magnetischen Moment des Elektrons berechnen [8]. Nicht zuletzt diese Vorhersage einer Quantenfeldtheorie trug zu ihrer allgemeinen Akzeptanz bei. Die anomalen magnetischen Momente von Elektron und Myon waren seither sehr gute Observabeln, um Quantenfeldtheorien wie die QED und insbesondere das SM zu testen, da sie relativ einfach zu messen sind. In renormierbaren Quantenfeldtheorien verschwindet (g-2) in nullter aber im Allgemeinen nicht in höheren Ordnungen der Störungsrechnung. Das anomale magnetische Moment ist demzufolge kein unabhängiger, sondern ein berechenbarer Parameter. Eine theoretische Vorhersage kann daher mit dem Experiment verglichen werden. Die Quantenfluktuationen durch schwerere Teilchen, die zu (g-2) beitragen, sind dem Quadrat des Verhältnisses von Elektron- bzw. Myonmasse zur Masse des schwereren Teilchens proportional. Die Abweichung ist somit für das Myon größer und eher messbar. Dieser Sachverhalt machte das anomale magnetische Moment des Myons in den letzten Jahrzehnten immer wieder zur idealen Observable, um neue, höhere Energiebereiche des Standardmodells zu testen. In jüngster Zeit zeigten sich allerdings Abweichungen zwischen dem theoretisch berechneten und dem experimentell gemessenen Wert [9, 10, 11, 12]. Diese Abweichungen könnten durch unbekannte SM-Effekte oder unbekannte Teilchen hervorgerufen werden. In dieser Arbeit werden Zweischleifenbeiträge zum anomalen magnetischen Moment des Myons im MSSM untersucht. Das minimal supersymmetrische Standardmodell, kurz MSSM, ist die einfachste Verbindung von Supersymmetrie und dem Standardmodell der Teilchenphysik. Die Supersymmetrie erzeugt dabei aus jedem bosonischen einen fermionischen Zustand und vice versa. Weil alle bekannten Materiefelder Fermionen und alle bekannten Wechselwirkungsfelder (Eich-)Bosonen sind, ist dies effektiv eine Symmetrie zwischen Materie und Wechselwirkung. Jedem Teilchen des Standardmodells wird hierbei ein Superpartner zugeordnet, wodurch der Teilcheninhalt des MSSM etwa doppelt so groß wie der des SM ist. Im Rahmen des MSSM können einige Unzulänglichkeiten des Standardmodells behoben werden: das Finetuning-Problem des Higgs-Bosons lässt sich lösen, es existiert ein Kandidat für Dunkle Materie und die drei Eichkopplungen können vereinigt werden. 3 1. Einleitung 4 2. Modelle der Teilchenphysik Alle Modelle der Teilchenphysik müssen die Materie und ihre Wechselwirkungen beschreiben, so wie sie in der Natur beobachtbar sind. Die mathematische Darstellung erfolgt dabei in einer relativistischen Quantenfeldtheorie. Die Quantenfelder werden im Minkowski-Raum definiert und die physikalischen Zustände sind invariant unter Transformationen der Poincarégruppe. Neben den Raumzeitsymmetrien werden noch innere Symmetrien der Quantenfelder beobachtet. Innere Symmetrien werden durch Eichtransformationen beschrieben und dienen der Erklärung der beobachteten Wechselwirkungen zwischen den verschiedenen Teilchen. Mit Ausnahme der Gravitation lässt sich damit Materie und deren Wechselwirkung auf quantenphysikalischem Niveau beschreiben. Die Gravitation ist auf mikroskopischen Skalen vernachlässigbar schwach gegenüber anderen Wechselwirkungen. Sie wird deshalb im Folgenden nicht weiter betrachtet. 2.1. Das Standardmodell Das Standardmodell der Teilchenphysik wurde vor allem durch Glashow, Salam, und Weinberg in den 1960er und 1970er Jahren auf der Grundlage der Eichgruppe SU(3)C × SU(2)L ×U(1)Y entwickelt [13,14,15,16,17,18,19]. Es beschreibt die starke, schwache und elektromagnetische Wechselwirkung der Materie. Die schwache und die elektromagnetische Kraft können einheitlich als elektroschwache Kraft erklärt werden. 2.1.1. Materie- und Austauschteilchen Sämtliche Materie im SM lässt sich in Leptonen und Quarks einteilen. Sie nehmen alle an der elektroschwachen Wechselwirkung teil, wobei zwischen den Quarks außerdem noch die starke Kraft wirkt. Leptonen und Quarks sind Fermionen mit Spin 1/2. In der LagrangeDichte des Standardmodells werden sie deshalb durch Spinoren dargestellt. Die Austauschteilchen der Wechselwirkungen sind Spin 1 Bosonen und werden dementsprechend durch Vektorfelder beschrieben. 5 2. Modelle der Teilchenphysik Leptonen Die Leptonen existieren in der Natur in drei Familien bzw. Generationen. Die erste besteht aus Elektron und Elektron-Neutrino, die zweite aus Myon und Myon-Neutrino und die dritte aus Tauon und Tau-Neutrino. Alle drei Neutrinos sind elektrisch neutral und haben Massen mν . 1 eV [20]. Elektron, Myon und Tauon sind elektrisch negativ geladen (Qem e = −1 e) und massiv. Myon und Tau haben weiterhin endliche Lebensdauern und können in leichtere Teilchen zerfallen. Das Elektron ist hingegen stabil. Die geladenen, massiven Leptonen existieren in zwei Versionen in der Natur, als linkshändige und als rechtshändige Teilchen. Neutrinos gibt es im Standardmodell nur als linkshändige Teilchen. Sie werden deshalb als masselos beschrieben, was eine gute Näherung an die Realität ist. Erweiterungen des Standardmodells um rechtshändige Neutrinos und somit um Neutrinomassen und Neutrinooszillationen werden in dieser Arbeit nicht beschrieben. νe e(L) , e(R) Ladung Qem 0 -1 Masse 0 me νµ µ(L) , µ(R) 0 -1 0 mµ ντ τ(L) , τ(R) 0 -1 0 mµ Spin 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Tabelle 2.1.: Eigenschaften der Leptonen Quarks Die Quarks können ebenfalls in drei Familien eingeordnet werden: (u,d), (c,s) und (t,b). Im Gegensatz zu den Leptonen sind die Quarks alle massiv und elektrisch geladen. u-, cund t-Quarks tragen die Ladung Qem e = +2/3 e und d-, s-, und b-Quark Qem e = −1/3 e. Sie existieren alle sowohl links- als auch rechtshändig. Quarks kommen in der Natur nicht als isolierte Teilchen vor, sondern bilden, durch die starke Kraft bedingt, komposite Teilchen aus zwei oder drei Quarks (Hadronen). Aus den Tabellen 2.1 und 2.2 ist abzulesen, dass die zweite und dritte Generation von Leptonen und Quarks im Grunde nur Kopien der ersten sind. Sie unterscheiden sich nur in der Masse. Die Teilchen der dritten Familie sind die schwersten und die Teilchen der ersten Generation die leichtesten. Es ist deshalb vorteilhaft nur eine Generation zu betrachten (ν, e, u, d). Im Folgenden wird daher von ν-artigen und e-artigen Leptonen 6 2.1. Das Standardmodell sowie von u-artigen und d-artigen Quarks gesprochen. Für die supersymmetrischen Partnerfelder dieser Teilchen wird im nächsten Kapitel die Bezeichnung analog benutzt. u(L) , d(L) , c(L) , s(L) , t(L) , b(L) , u(R) d(R) c(R) s(R) t(R) b(R) Ladung Qem + 32 − 13 + 32 − 13 + 32 − 13 Masse mu md mc ms mt mb Spin 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Tabelle 2.2.: Eigenschaften der Quarks Austauschteilchen Die Wechselwirkungen zwischen den Standardmodellteilchen werden durch Austauschteilchen vermittelt. Die drei Kräfte des SM werden durch die Eichfelder der drei Eichgruppen SU(3)C , SU(2)L und U(1)Y beschrieben und die Austauschteilchen sind die Quanten, Eichbosonen mit Spin 1, dieser Felder. Für die starke Wechselwirkung finden sich acht Gluonen (Gµ )ā , ā = 1, ..., 8, die den acht Generatoren in der su(3)c -Algebra entsprechen. Die SU(2)L ×U(1)Y -Symmetrie ist in der Natur zur U(1)em gebrochen. Es gibt insgesamt vier elektroschwache Eichbosonen, die bestimmten Linearkombinationen der vier Generatoren der SU(2)L ×U(1)Y entsprechen. Die W + -, W − - und Z 0 -Bosonen vermitteln die schwache Kraft und das Photon γ ist das Austauschteilchen für die elektromagnetische Wechselwirkung. Photonen und Gluonen sind masselos und elektrisch neutral. Die Gluonen tragen Farbladung und können somit direkt mit sich selbst in Wechselwirkung treten. Die Photonen können dies nicht, da sie keine elektrische Ladung besitzen. W- und Z-Bosonen tragen schwache Ladung und sind daher in der Lage mit sich selbst in Wechselwirkung zu treten. Das Z 0 ist elektrisch neutral, während die W ± elektrisch geladen sind und so mit dem Photon wechselwirken können. Eichfeld (W µ )+ (W µ )− (Z µ )0 Aµ (Gµ )ā , ā = 1, ..., 8 Ladung Qem +1 -1 0 0 0 Masse MW MW MZ 0 0 Spin 1 1 1 1 1 Tabelle 2.3.: Eigenschaften der Eichbosonen 7 2. Modelle der Teilchenphysik Higgs-Boson Die SU(3)C ×SU(2)L ×U(1)Y -Symmetrie der Teilchen im SM ist nur dann erhalten, wenn die Teilchen masselos sind. Dies widerspricht der Beobachtung in der Natur. Um den Teilchen Masse zu geben, wird ein weiteres Teilchen, das Higgs-Boson, welches mit allen Leptonen, Quarks und Eichfeldern wechselwirkt, benötigt. Das dazu assoziierte skalare Higgs-Feld erhält einen nicht-verschwindenden Vakuumerwartungswert (VEW) und bricht dadurch die elektroschwache SU(2)L ×U(1)Y -Symmetrie spontan zur U(1)em Symmetrie des Elektromagnetismus. Die elektroschwachen Eichbosonen W ± und Z 0 erhalten durch diesen Mechanismus ihre Massen. Das Photon bleibt hingegen masselos. Weil die SU(3)C -Symmetrie durch das Higgs nicht gebrochen wird, bleiben die Gluonen ebenfalls masselos. Die Leptonen, mit Ausnahme der Neutrinos, und die Quarks werden durch Yukawa-Wechselwirkungen mit dem Higgsfeld massiv. Allgemein wird in dieser Arbeit das Higgs-Feld mit φ bezeichnet. Es enthält sowohl physikalische als auch nicht physikalische Anteile. Das physikalische Higgs-Boson wird h genannt, was mit der Parametrisierung aus Abschnitt 2.1.4, Gleichung (2.31) konsistent ist. h Ladung Qem 0 Masse mh Spin 0 Tabelle 2.4.: Eigenschaften des physikalischen Higgs-Bosons des Standardmodells 2.1.2. Die Eichgruppen Die Grundlage des Standardmodells ist die Eichgruppe SU(3)C ×SU(2)L × U(1)Y , d.h. die Lagrange-Dichte des SM ist invariant unter Transformationen dieser Gruppe. Eine U(1)Y -Transformation UY (x) mit der Eichkopplung gY , der Eichfunktion θY (x) und der Hyperladung Y wird als µ ¶ Y UY (x) = exp −igY θY (x) (2.1) 2 und eine Eichtransformation UL (x) ² SU(2)L mit Kopplung gL und den Eichfunktionen (θL (x))a als à ! 3 X σa UL (x) = exp −igL (θL (x))a (2.2) 2 a=1 geschrieben. Die σ a sind die Pauli-Matrizen und generieren die su(2)L -Algebra. Die Hyperladung Y und der schwache Isospin T 3 eines Fermions sind mit seiner elektro- 8 2.1. Das Standardmodell magnetischen Ladung Qem e durch die Gell-Mann-Nishijima-Relation verbunden. Qem = T 3 + Y 2 (2.3) Für eine SU(3)C -Transformation gilt analog à 8 X λā (θS (x))ā UC (x) = exp −igS 2 ā=1 ! (2.4) mit der starken Kopplungskonstante gS , den Eichfunktionen (θS (x))ā und den Gell-MannMatrizen λā . Für die Indizes der Algebren wird auch die Einsteinsche Summenkonvention verwendet. Zwischen ko- und kontravarianten Indizes wird dabei nicht streng unterschieden, da die Algebren Kronecker-Metriken besitzen. Zur besseren Unterscheidung der su(2)- und su(3)-Algebren erhalten die Indizes der su(3)C einen Querstrich. 2.1.3. Wechselwirkungen der Materie Zunächst wird das Standardmodell mit verschwindenden Teilchenmassen betrachtet. Nur so ist die Eichsymmetrie manifest. Die Wechselwirkungen von Leptonen und Quarks bestimmen wesentlich, wie sie sich unter den obigen Transformationen verhalten sollen. Die Eichtransformationen führen ganz natürlich auf Eichfelder, welche mit den Austauschteilchen der verschiedenen Wechselwirkungen identifiziert werden. Es wird festgelegt, dass die linkshändigen Fermionen als Dubletts unter SU(2)L -Transformationen transformieren. Die rechtshändigen Fermionen transformieren als Singuletts, d.h. sie gehen bei Transformation in sich selbst über. Bezüglich der Gruppe SU(3)C sind alle Leptonen Singuletts und alle Quarks Tripletts. Das Higgsfeld φ ist SU(2)L -Dublett und ein SU(3)C -Singulett. An dieser Darstellung ist zu erkennen, dass Leptonen und Higgs-Boson nicht direkt stark, d.h. mit Gluonen, wechselwirken. Des Weiteren ist zu sehen, dass die rechtshändigen Fermionen nicht an der SU(2)L -Wechselwirkung teilnehmen. à Leptonen à Quarks Q= L= u(L) d(L) ν(L) e(L) ! Y= ! Y = −1 , 1 , 3 u(R) Y = à Higgs φ= φ+ φ0 e(R) Y = −2 4 , 3 d(R) Y = − (2.5) 2 3 (2.6) ! Y=1 (2.7) 9 2. Modelle der Teilchenphysik Die kinetischen Terme für Quarks und Leptonen in der Lagrange-Dichte enthalten partielle Ableitungen der Fermionenfelder. Diese transformieren nicht kovariant unter den lokalen Eichtransformationen. Damit die Lagrange-Dichte wieder eichinvariant ist, müssen die partiellen Ableitungen mit eichkovarianten Ableitungen ersetzt werden. Für die SU(3)C ×SU(2)L ×U(1)Y -Gruppe gilt ∂µ → Dµ = ∂ µ + igY Y µ σa λā B + igL (W µ )a + igS (Gµ )ā 2 2 2 (2.8) Die acht Eichfelder (Gµ )ā sind die Gluonen, die die starke Wechselwirkung vermitteln. B µ ist das Eichfeld von U(1)Y und die drei (W µ )a die Eichfelder der SU(2)L . Die B µ und die (W µ )a -Felder werden später zu Photon, W- und Z-Boson linearkombiniert. Diese Eichfelder transformieren entsprechend den adjungierten Darstellungen ihrer jeweiligen Gruppe. Da vorerst nur das masselose SM betrachtet wird, enthält die Lagrange-Dichte bisher / = D µ γµ ) nur kinetische Terme. Für die Materiefelder lautet diese (D / + iQ̄DQ / + iē(R) De / (R) + iū(R) Du / (R) + id¯(R) Dd / (R) Lmatter = iL̄DL (2.9) Um den gesamten Materieinhalt des SM zu erhalten, muss noch die Summe über die drei Generationen von Fermionen ausgeführt werden. Die kovariante Ableitung muss entsprechend den Darstellungen der Fermionfelder ausgewertet werden, auf die sie wirkt. Diese kinetischen Terme sind eichkovariant und enthalten darüber hinaus bereits die Wechselwirkungen der Fermionen mit den Eichfeldern. Die Forderung nach Eichinvarianz legt somit die Wechselwirkungen bereits fest. Kinetische Terme für die Eichfelder selbst ergeben sich durch Betrachtung der jeweiligen Feldstärketensoren. Allgemein sind Feldstärketensoren über den Kommutator der jeweiligen kovarianten Ableitung definiert. Mit (Gµν )ā , (W µν )a und B µν werden die Feldstärketensoren der einzelnen Eichfelder bezeichnet. Es gilt dann 1 Ĝµν = (Gµν )ā T ā = (Gµν )ā λā 2 µ ν = [∂ (G )ā − ∂ ν (Gµ )ā − gS fāb̄c̄ (Gµ )b̄ (Gν )c̄ ] T ā 1 Ŵ µν = (W µν )a T a = (W µν )a σ a 2 µ ν = [∂ (W )a − ∂ ν (W µ )a − gL εabc (W µ )b (W ν )c ] T a B µν = ∂ µ B ν − ∂ ν B µ 10 (2.10) (2.11) (2.12) 2.1. Das Standardmodell Dabei bezeichnet εabc (Levi-Civita-Symbol) die Strukturkonstanten der su(2)-Algebra. Die Feldstärketensoren führen zu kinetischen Termen und Selbstwechselwirkungen der Eichbosonen. Da B µ zur abelschen U(1)Y gehört, fehlt der dritte Term und es gibt keine Selbstwechselwirkung. Die Lagrange-Dichte für die Eichfelder lautet damit 1 1 1 Lgauge = − (Gµν )ā (Gµν )ā − (W µν )a (Wµν )a − B µν Bµν 4 4 4 (2.13) Bisher können sämtliche Fermionen und Eichfelder des Standardmodells mit Hilfe einer (0) Lagrange-Dichte LSM beschrieben werden. (0) LSM = Lmatter + Lgauge / + iQ̄DQ / + iē(R) De / (R) + iū(R) Du / (R) + id¯(R) Dd / (R) = iL̄DL 1 1 1 − (Gµν )ā (Gµν )ā − (W µν )a (Wµν )a − B µν Bµν 4 4 4 (2.14) Noch sind alle Felder masselos, denn einfache Massenterme brechen die Eichinvarianz. Die Forderung nach Eichinvarianz legt aber die Wechselwirkungen der Leptonen, Quarks und Eichfelder untereinander bereits fest. Massenterme für die Fermionen und Eichfelder müssen somit auf andere Weise erzeugt werden, denn auf den Vorteil der Eichinvarianz soll nicht verzichtet werden. 2.1.4. Der Higgs-Mechanismus Durch den Higgs-Mechanismus wird die elektroschwache Eichsymmetrie spontan zur Symmetrie des Elektromagnetismus gebrochen. Spontane Symmetriebrechung versteckt die Symmetrie eigentlich nur und bricht sie nicht. Die Eichbosonen der elektroschwachen Wechselwirkung W und Z sowie die Fermionen erhalten durch diesen Mechanismus ihre Massen. Die elektroschwache kovariante Ableitung Bevor auf den Higgs-Mechanismus eingegangen wird und die Teilchen des Standardmodells massiv werden, wird noch einmal die kovariante Ableitung für den elektroschwachen Anteil des SM betrachtet. σa Y (2.15) Dµ (B µ , W µ ) = ∂ µ + igY B µ + igL (W µ )a 2 Ã2 ! gY Y B µ + gL (W µ )3 gL [(W µ )1 − i(W µ )2 ] i = ∂µ + (2.16) 2 gL [(W µ )1 + i(W µ )2 ] gY Y B µ − gL (W µ )3 11 2. Modelle der Teilchenphysik Für die hier auftretenden Linearkombinationen der SU(2)L ×U(1)Y -Eichfelder werden neue Bezeichnungen eingeführt. Um die nicht-diagonal Terme umzuschreiben, werden die komplexen Felder 1 (W µ )± := √ [(W µ )1 ∓ i(W µ )2 ] (2.17) 2 mit den entsprechenden Kombinationen der SU(2)L -Generatoren T ± := T1 ± iT2 (2.18) definiert. Für die Diagonalterme werden zwei neue reelle Felder Aµ und Z µ , welche Linearkombinationen der Felder B µ und (W µ )3 sind, verwendet. à Aµ Zµ ! à := cos θW sin θW − sin θW cos θW !à Bµ (W µ )3 ! , cW := cos θW , sW := sin θW (2.19) Somit gilt µ ¶ µ ¶ Y µ Y Y µ 3 µ 3 µ 3 gY B + gL (W )3 T = A gL sW T + gY cW + Z gL cW T − gY sW (2.20) 2 2 2 Der Winkel θW ist der schwache Mischungswinkel, auch Weinberg-Winkel genannt. Nach Festlegung der Koeffizienten cW und sW als gY sW = p 2 gY + gL2 gL cW = p gY2 + gL2 (2.21) wird die Gell-Mann-Relation (2.3) verwendet, um (2.20) zu vereinfachen. gY Y µ B + gL (W µ )3 T 3 = Aµ gY cW Qem + Z µ (T 3 (gL cW + gY sW ) − gY sW Qem ) 2 (2.22) Es ist erkennbar, dass das neue Feld Aµ nur noch über die elektromagnetische Ladung Qem koppelt. Es kann mit dem Photonenfeld identifiziert werden, indem die Elementarladung e wie folgt definiert wird: gL gY e = g Y cW = p gY2 + gL2 e = gL sin θW = gY cos θW (2.23) Für Photon- und Z µ -Feld gilt somit gY 12 Y µ e B + gL (W µ )3 T 3 = eQem Aµ + Z µ (T 3 − s2W Qem ) 2 sW cW (2.24) 2.1. Das Standardmodell Anschließend kann die bezüglich SU(2)L ×U(1)Y eichkovariante Ableitung (2.15) mit den neuen Felder (W µ )± , Z µ und Aµ umgeschrieben werden. gL Dµ (Aµ , (W µ )± , Z µ ) = ∂ µ + ieQem Aµ + i Z µ (T 3 − s2W Qem ) cW ¢ gL ¡ µ + + +i √ (W ) T + (W µ )− T − 2 (2.25) Der Vorteil dieser neuen Felder besteht darin, dass sie mit den Masseneigenzuständen der Eichbosonen zusammenfallen. Das heißt, dass das Higgs-Feld gerade an die Linearkombinationen (W µ )± , Z µ und Aµ koppelt. Die SU(2)L ×U(1)Y wird dabei gerade so zur U(1)em gebrochen, dass Aµ masselos bleibt (Photon) während (W µ )± und Z µ massiv werden (W- und Z-Bosonen). Spontane Symmetriebrechung Als nächstes werden den Eichbosonen Massen gegeben, indem die elektroschwache Symmetrie spontan gebrochen wird. Dazu wird das skalare Higgsfeld à φ= φ+ φ0 ! (2.26) benötigt. Dieses ist ein SU(2)L -Dublett mit Hyperladung Y = 1 und koppelt deswegen über die eichkovariante Ableitung (2.25) an die elektroschwachen Eichbosonen. Zusätzlich wird das Higgs-Potential V (φ† φ) eingeführt V (φ† φ) = −µ2 φ† φ + λ ¡ † ¢2 φφ 4 (2.27) wodurch die Lagrange-Dichte für das Higgs-Feld ¡ ¢ λ ¡ † ¢2 LHiggs = Dµ φ† (Dµ φ) + µ2 φ† φ − φφ 4 (2.28) lautet. Für µ2 > 0 und λ > 0 hat V (φ† φ) Minima bei ¯ 2µ2 φ† φ¯min = λ (2.29) Alle diese Minima beinhalten immer noch eine U(1)-Symmetrie. Es sind demnach unendlich viele entartete, physikalisch äquivalente Minima, die durch Eichtransformationen 13 2. Modelle der Teilchenphysik miteinander verknüpft sind. Der Grundzustand φgs wird zu φgs 1 =√ 2 à 0 v ! µ mit v √ 2 ¶2 = 2µ2 λ (2.30) gewählt. Für die weiteren Betrachtungen ist es vorteilhaft φ mit dem reellen Feld h(x) und einer allgemeinen SU(2)L -Eichtransformation UL (x) umzuparametrisieren. à φ= φ1 ! φ2 1 = √ UL (x) 2 à 0 ! (2.31) v+h Die genaue Form der Transformation UL (x) ist nicht wichtig, denn sie kann durch eine weitere Eichtransformation aus der Lagrange-Dichte entfernt werden. Das Feld φ hat damit nur noch einen physikalischen Freiheitsgrad [21, 22]. Nun kann der kinetische Term der Higgs-Lagrange-Dichte ausgewertet werden. Es wird dabei ausgenutzt, dass φ1 Ladung Qem = 1 hat und φ2 elektrisch neutral ist. à Dµ φ = gL ∂ µ φ1 + ieAµ φ1 + i cgWL Z µ ( 12 − s2W )φ1 + i √ (W µ )+ φ2 2 ! gL ∂ µ φ2 + i √ (W µ )− φ1 − 2i cgWL Z µ φ2 2 à !µ à ! ¶ (W µ )+ 0 1 h v gL = √ 1+ +i 2 v − c 1√2 Z µ 2 ∂µh W (2.32) Der kinetische Anteil der Higgs-Lagrange-Dichte lautet dann ¢ Dµ φ† (Dµ φ) · 2 2 ¸µ ¶2 1 v gL 1 v 2 gL2 µ h 2 + µ − = (∂h) + (Wµ ) (W ) + Z Zµ 1 + 2 4 2 4c2W v Lkin Higgs = ¡ (2.33) Der erste Term in (2.33) ist der kinetische Term des physikalischen Higgs-Bosons h und der zweite beschreibt für h 6= 0 die Wechselwirkung zwischen diesem und den Eichbosonen der schwachen Kraft. Für verschwindendes Feld h reduziert sich Gleichung (2.33) auf Terme, welche proportional zu v 2 sind. Diese sind als Massenterme für W- und Z-Boson mit den Massen MW = v gL 2 MZ = v gL MW = 2cW cW (2.34) interpretierbar. Die Eichinvarianz führt somit nicht nur auf einen normalen Wechselwirkungsterm wie bei den Ableitungen der Fermionenfelder, sondern durch den VEW auch 14 2.1. Das Standardmodell zu einem effektiven Massenterm für die Eichfelder. Die elektroschwache Symmetrie ist hiermit spontan zur U(1)-Symmetrie des Elektromagnetismus gebrochen. Das äußert sich darin, dass das Photonenfeld Aµ immer noch masselos ist, während W- und Z-Bosonen jetzt Masse haben. Der zweite Term in der Higgs-Lagrange-Dichte (2.28) ist das Potential V (φ† φ). † Lint Higgs = −V (φ φ) = µ2 h 2 + 1p 2 3 λ µ2 v 2 λµ h + h4 − 2 16 4 (2.35) Der erste Term in Gleichung (2.35) ist ein Massenterm für das physikalische Higgs-Boson h, wenn m2h = 2µ2 gesetzt wird. Die in h kubischen und quartischen Terme sind die Wechselwirkung von h mit sich selbst. Fermionmassen Die Fermionenfelder erhalten ihre Massen ebenfalls durch die Wechselwirkung mit dem Higgsfeld φ. Allerdings können sie nicht aus einem übergeordneten Prinzip wie der Eichinvarianz abgeleitet werden. Yukawa-Wechselwirkungsterme für die Fermionen werden in der Lagrange-Dichte als L0Yukawa ¶ ¶ µ µ 1 ∗ ¯ h h ¯ = −mf f(L) f(R) 1 + = − √ λf v f(L) f(R) 1 + v v 2 (2.36) geschrieben. Die Yukawa-Kopplungen λ∗f sind spezifisch für ν-, e-, u- und d-artige Fermionen. Für h 6= 0 gibt es Wechselwirkungen zwischen den Fermionen und dem HiggsTeilchen. Aber für h = 0 bleiben nur Terme übrig, die proportional dem VEW v sind. Sie lassen sich wie bei den Eichfeldern als Massenterme interpretieren. Die Masse des Fermions f ist dann: 1 mf = √ λ∗f v (2.37) 2 Das Neutrino erhält hierbei offensichtlich keine Masse, weil es kein rechtshändiges Neutrino gibt. Wird das Standardmodell mit einem rechtshändigen Neutrino betrachtet, sind Neutrino-Massenterme und Mischungen zwischen den drei Generationen möglich. 2.1.5. Teilchenmischung Für die bisherigen Betrachtungen war es von Vorteil die zweite und dritte Generation von Teilchen zu vernachlässigen. In der Natur gibt es sie aber und über die Yukawa- 15 2. Modelle der Teilchenphysik Massenterme können Teilchen verschiedener Familien miteinander mischen. Daher muss Gleichung (2.36) auf den allgemeinen Fall umgeschrieben werden. LYukawa = −λeij ∗ L̄i(L) φ ej (R) − λdij ∗ Q̄i (L) φ dj (R) − λuij ∗ Q̄i (L) φC uj (R) + h.c. (2.38) Dabei ist φC = iσ 2 φ∗ das ladungskonjugierte Higgs-Feld. Analog zu Gleichung (2.37) werden Massenmatrizen definiert 1 meij = √ λeij ∗ v , 2 1 muij = √ λuij ∗ v , 2 1 mdij = √ λdij ∗ v 2 (2.39) Die Lepton-Massenmatrix kann ohne Schwierigkeiten diagonalisiert werden, weil das Neutrino masselos ist. Für die Quarks funktioniert dies nicht. Dieses Problem ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass die Eigenzustände der schwachen Wechselwirkung nicht mit den Masseneigenzuständen zusammenfallen. Für linkshändige Quarks wird deshalb ui (L) = (u(L) , c(L) , t(L) ) und analog für d-artige Quarks di (L) = (d(L) , s(L) , b(L) ) in der ursprünglichen Basis geschrieben. Diese Zustände sind mit den Masseneigenzuständen ui 0(L) , di 0(L) durch unitäre Transformationen verbunden. ui (L) = Uiju uj 0(L) di (L) = Uijd dj 0(L) ¡ U † uU d ¢ ij = Vij (2.40) Die Matrix Vij ist die Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-Matrix (CKM), deren nicht-diagonal Terme Übergänge zwischen Quarks verschiedener Generationen ermöglichen. Die gestrichene Basis ist die physikalische Basis, da sie die Massenmatrix diagonalisiert. Die CKMMatrix ist besonders wichtig für die Untersuchung der schwachen Wechselwirkung durch die W-Bosonen, da diese nur an linkshändige Fermionen koppeln. Im SM mit rechtshändigen Neutrinos können analoge Betrachtungen für die Leptonen durchgeführt werden. 2.1.6. Die Quantisierung des Standardmodells Die Verwendung von Eichtheorien zur Beschreibung der Elementarteilchen hat den großen Vorteil, dass die Forderung nach Eichinvarianz die Wechselwirkungen über die kovarianten Ableitungen festlegt. Die Eichfelder, welche die Eichbosonen beschreiben, haben als Vierervektoren vier Freiheitsgrade. Die Austauschteilchen der Wechselwirkungen, die mit den Eichbosonen identifiziert werden, haben aber im Allgemeinen weniger Freiheitsgrade. Demnach ist die volle Eichinvarianz unphysikalisch. Bereits auf klassischem Niveau führt sie zu unphysikalischen Freiheitsgraden. Zur Quantisierung der Theorie muss die Eichung 16 2.1. Das Standardmodell fixiert werden, um die Anzahl der Freiheitsgrade zu verringern. Für jedes Eichfeld werden deshalb Eichfixierungsterme eingeführt, die die unphysikalischen Freiheitsgrade eliminieren. Solche Terme enthalten neben Eichbrechungsparametern für jedes Eichfeld auch die unphysikalischen Freiheitsgrade des Higgs-Feldes, denn diese werden durch den HiggsMechanismus zu den longitudinalen Moden der massiven Eichbosonen. Die Quantisierung von (nicht-abelschen) Eichtheorien mit Hilfe des Pfadintegralformalismus führt in natürlicher Weise zur Einführung von Geistfeldern. Geister sind unphysikalisch und absorbieren unphysikalische Freiheitsgrade der Eichinvarianz. Bei dieser Methode wird ebenfalls eine Eichung gewählt, wodurch die restliche Eichinvarianz der Theorie versteckt ist. Für Renormierungsbeweise wird die Eichinvarianz benötigt, weil sie die Form der Terme in der Lagrange-Dichte bestimmt, die als Counterterme UVDivergenzen absorbieren. Um Yang-Mills-Theorien zu quantisieren ist es deshalb vorteilhafter, die Eichinvarianz durch BRS-Invarianz zu ersetzen. BRS-Transformationen sind infinitesimale Transformationen der Geistfelder und der physikalischen Felder. Die unphysikalischen Freiheitsgrade aus der Eichinvarianz werden durch BRS-Transformationen eliminiert, während die physikalischen Freiheitsgrade manifest bleiben. Auf die Darstellung der Eichfixierungsterme wird verzichtet, da die Quantisierung des Standardmodells nicht explizit durchgeführt wird. Methoden der Eichfixierung und Quantisierung nicht-abelscher Eichtheorien werden ausführlich in [21, 23, 24] behandelt. Da alle Bestandteile des Standardmodells untersucht wurden, kann es in Termen von Lagrange-Dichten wie folgt zusammengefasst werden: LSM = Lmatter + Lgauge + LHiggs + LYukawa / + iQ̄DQ / + iē(R) De / (R) + iū(R) Du / (R) + id¯(R) Dd / (R) = iL̄DL 1 1 1 − (Gµν )ā (Gµν )ā − (W µν )a (Wµν )a − B µν Bµν 4 4 4 µ µ ¶2 ¶2 1 h 1 h 2 + µ − µ + (∂h) + MW (Wµ ) (W ) 1 + + MZ Z Zµ 1 + (2.41) 2 v 2 v 1p 2 3 λ +µ2 h2 + λµ h + h4 2 16 −λeij ∗ L̄i (L) φ ej (R) − λdij ∗ Q̄i (L) φ dj (R) − λuij ∗ Q̄i (L) φC uj (R) + h.c. 17 2. Modelle der Teilchenphysik 2.2. Das minimal supersymmetrische Standardmodell Das minimal supersymmetrische Standardmodell ist das einfachste Teilchenmodell, welches die Poincaréinvarianz des Standardmodells um Supersymmetrie erweitert. Die Eichgruppen im MSSM sind dieselben wie im Standardmodell, womit auch alle Wechselwirkungen gleich sind. Neben der elektroschwachen Symmetrie muss im MSSM auch die Supersymmetrie gebrochen sein. Wäre die Supersymmetrie (SUSY) nicht gebrochen, hätten Standardmodellteilchen und ihre Superpartner die gleichen Massen. Dies ist in der Natur aber nicht zu beobachten. 2.2.1. Supersymmetrie - Motivation und Algebra Der Ausgangspunkt jeder Quantenfeldtheorie ist ihre Lagrange-Dichte. Aus ihr werden die Bewegungsgleichungen und Feynman-Regeln abgeleitet, mit denen das dynamische Verhalten und die Wechselwirkungen der Felder berechnet werden. Die Symmetrien der Lagrange-Dichte, d.h. die Invarianzen der Lagrange-Dichte unter bestimmten Transformationen, führen zu Erhaltungsgrößen der Theorie (Noether-Theorem). Diese Erhaltungsgrößen vereinfachen wiederum das Lösen der Bewegungsgleichungen. Die Lagrange-Dichte des Standardmodells ist invariant unter Rotationen und Translationen im Minkowski-Raum, wodurch der Viererdrehimpuls und Viererimpuls erhalten sind. Genauso entsprechen die inneren Symmetrien (Eichsymmetrien) der Quantenfelder der SM-Lagrange-Dichte Erhaltungsgrößen. In Abschnitt 2.1 wurde gezeigt, dass EichtheoSymmetrietransformation Erhaltungsgröße U(1)Y Hyperladung SU(2)L schwacher Isospin SU(3)C starker Isospin U(1)em elektrische Ladung Tabelle 2.5.: Erhaltungsgrößen der Eichsymmetrien rien vermöge der kovarianten Ableitungen die Wechselwirkungen zwischen Eich- und Materiefeldern bestimmen. Eine dazu äquivalente Sichtweise ist: Die in der Natur beobachteten Wechselwirkungen bestimmen die möglichen Eichsymmetrien der Lagrange- 18 2.2. Das minimal supersymmetrische Standardmodell Dichte eines Teilchenmodells. Eine minimale Erweiterung des Standardmodells mit gleichen Wechselwirkungen ist somit nur durch zusätzliche Raumzeitsymmetrien der Lagrange-Dichte erreichbar. Nach dem Coleman-Mandula-Theorem [25] kann die Poincaréalgebra nur auf triviale Weise mit anderen stetigen Symmetrien der S-Matrix verbunden werden. Dieses Theorem gilt aber nur, falls die zusätzlichen Symmetrien Lie-Algebren erfüllen. Die einzige Möglichkeit einer nicht-trivialen Erweiterung der Poincaréinvarianz muss demnach Antikommutatoren beinhalten [26]. Der Supersymmetriegenerator Qa (a=1,2,3,4) wird als Majorana-Spinor-Operator eingeführt. Er erfüllt mit den Generatoren der Poincarégruppe Pµ und Jµν folgende Vertauschungsrelationen: {Qa , Qb } = −2 (γ µ C)ab Pµ [Qa , Pµ ] = 0 (2.42) (2.43) [Jµν , Qa ] = − (Σµν )ab Qb (2.44) Dabei ist C der Operator für die Ladungskonjugation und Σµν = 4i [γµ , γν ] der Spin-1/2Drehimpulstensor. Aus der ersten Gleichung (2.42) ist zu erkennen, dass das Nacheinanderausführen von Supersymmetrietransformationen Qa einer Translation Pµ entspricht. Gleichermaßen führen lokale SUSY-Transformationen zu lokalen Translationen und somit zu lokalen Koordinatentransformationen. Dies ist der Ausgangspunkt für Supergravitationstheorien. Die Relation (2.44) bedeutet, dass der Operator Qa den Spin eines Zustandes um ± 12 ändert. Insbesondere folgt daraus Qa |Bosoni = |Fermioni , Qa |Fermioni = |Bosoni (2.45) Qa bildet demnach fermionische auf bosonische Zustände und vice versa ab. Gleichung (2.43) impliziert dann, dass diese Bosonen-Fermionen-Paare identische Massen haben. Um die in der Natur beobachteten Teilchen zu erklären, müssen die Superpartner der SM-Teilchen eine Masse haben, die jenseits der untersuchten Energieskalen liegen. Das bedeutet, dass SUSY in der Natur gebrochen ist. (Die Teilchen des Standardmodells können nicht die Superpartner voneinander sein, denn sie transformieren nach unterschiedlichen Darstellungen der Eichgruppen). Des Weiteren folgt aus Gleichung (2.45), dass Q nur auf Zustände und Felder wirken kann, welche die gleiche Anzahl fermionischer und bosonischer Freiheitsgrade haben. 19 2. Modelle der Teilchenphysik Der Supersymmetriegenerator Qa erlaubt noch eine weitere Symmetrie, die R-Invarianz genannt wird. eiϕR Qa e−iϕR = exp(−iϕγ5 )ab Qb (2.46) [Qa , R] = (γ5 )ab Qb (2.47) = [Jµν , R] (2.48) mit [Pµ , R] = 0 Die R-Invarianz wird später mit der Erhaltung der Lepton- und Baryonzahl in Verbindung gebracht. Es können auch mehrere Supersymmetriegeneratoren (Q)1,...,N definiert werden. Da das Standardmodell nur minimal erweitert werden soll, wird für das MSSM nur ein SUSYGenerator Qa benötigt. Sämtliche Raumzeitsymmetrien, die Symmetrien der Poincarégruppe wie im Standardmodell einerseits und die neu eingeführte Supersymmetrie andererseits, werden in der Super-Poincaréalgebra zusammengefasst. [Pµ , Pν ] = 0 (2.49) [Pµ , Jνκ ] = i (gµν Pκ − gµκ Pν ) (2.50) [Jµν , J%σ ] = i (gν% Jµσ − gνσ Jµ% + gµσ Jν% − gµ% Jνσ ) (2.51) {Qa , Qb } = −2 (γ µ C)ab Pµ (2.52) [Qa , Pµ ] = 0 [Jµν , Qa ] = − (Σµν )ab Qb [Qa , R] = (γ5 )ab Qb (2.53) (2.54) (2.55) 2.2.2. Komponentendarstellung und allgemeine Superfelder Für diesen Abschnitt werden Notationen und Konventionen aus dem Anhang A benötigt. Diese orientieren sich vor allem an [4]. Majorana-Spinoren wie der Generator Q für Supersymmetrietransformationen sind zu sich selbst ladungskonjugiert. Sie können durch links- und rechtshändige Weyl-Spinoren 20 2.2. Das minimal supersymmetrische Standardmodell dargestellt werden. Es gilt mit A=1,2 und Ȧ = 1̇, 2̇ à Q= QA Q̄Ȧ ! P L Q = QA PR Q = Q̄Ȧ (2.56) Dabei projiziert PL auf den linkshändigen und PR auf den rechtshändigen Anteil von Q. Der supersymmetrische Anteil der Super-Poincaréalgebra lautet mit diesen Konventionen: n o µ Q̄Ȧ , Q̄B = 2σ̄ȦB Pµ h i [Jµν , QA ] = −(σµν )AB QB , Jµν , Q̄Ȧ = −(σ̄µν )ȦḂ QḂ h i Ȧ [QA , R] = QA , Q̄ , R = −Q̄Ȧ o n Ȧ Ḃ {QA , QB } = 0 = Q̄ , Q̄ h i Ȧ [QA , Pµ ] = 0 = Q̄ , Pµ © ª QA , Q̄Ḃ = 2σAµ Ḃ Pµ , (2.57) (2.58) (2.59) (2.60) (2.61) Für supersymmetrische Feldtheorien muss der Minkowski-Raum zum Superraum erweitert werden, auf welchem Superfelder definierbar sind. Die Koordinaten des Superraumes sind z = (xµ , θA , θ̄Ȧ ) mit µ = 0, 1, 2, 3, A = 1, 2 und Ȧ = 1̇, 2̇. Die xµ sind die üblichen reellen Koordinaten des Minkowski-Raumes während die θA und θ̄Ȧ Grassman-Zahlen sind, d.h sie erfüllen Antivertauschungsregeln. Eine Funktion F(z) auf dem Superraum heißt Superfeld. Eine Komponentenzerlegung von F(z) ist F(z) =f (x) + √ 2θξ(x) + √ 2θ̄χ̄(x) + θθM (x) + θ̄θ̄N (x) 1 + θσ µ θ̄Aµ (x) + θθθ̄λ̄(x) + θ̄θ̄θζ(x) + θθθ̄θ̄D(x) . 2 (2.62) Dafür werden die komplexen Skalarfelder f (x), M (x), N (x) und D(x), das komplexe Vektorfeld Aµ (x) sowie die Spinorfelder ξA (x), ζA (x), χ̄Ȧ (x) und λ̄Ȧ (x) als Entwicklungskoeffizienten eingeführt. Somit hat F(z) 16 reelle bosonische und 16 reelle fermionische Freiheitsgrade. Die Darstellung der Supersymmetriegeneratoren durch Differentialoperatoren können durch die Untersuchung infinitesimaler Transformationen gewonnen werden. Bezeichne τ den infinitesimalen und ortsunabhängigen Grassman-Transformationsparameter von Q, dann gilt (xµ , θ, θ̄) → (xµ − iθσ µ τ̄ + iτ σ µ θ̄, θ + τ, θ̄ + τ̄ ) (2.63) 21 2. Modelle der Teilchenphysik und es folgt ³ ´ QA = −i ∂A + iσAµ Ḃ θ̄Ḃ ∂µ ³ ´ Ȧ Ȧ µ ȦB ¯ Q̄ = −i ∂ + iσ̄ θB ∂µ . (2.64) (2.65) Auf gleiche Weise kann ¡ ¢ δF(z) = F(xµ − iθσ µ τ̄ + iτ σ µ θ̄, θ + τ, θ̄ + τ̄ ) − F(x, θ, θ̄) = i τ Q + τ̄ Q̄ F (2.66) ausgewertet werden. Die SUSY-Transformation kann somit durch die Transformationen der Koeffizientenfelder δf , δξA etc. dargestellt werden (siehe [4]). Die Lagrange-Dichte für eine supersymmetrische Feldtheorie ist aus Superfeldern und deren Ableitungen nach xµ , θ und θ̄ aufgebaut. Die Ableitungen nach θ und θ̄ vertauschen nicht mit den Generatoren Q und transformieren infolgedessen nicht kovariant. Damit Ableitungen von Superfeldern kovariant transformieren, müssen die partiellen Ableitungen durch chiral kovariante Ableitungen ersetzt werden. DA = ∂A − iσAµ Ḃ θ̄Ḃ ∂µ D̄Ȧ = ∂¯Ȧ − iσ̄ µ ȦB θB ∂µ (2.67) (2.68) 2.2.3. Chirale und reelle Superfelder Chirale Superfelder Φ sind Superfelder, deren kovariante Ableitung verschwindet. D̄Ȧ Φ = 0 DA Φ† = 0 links chiral (2.69) rechts chiral/antichiral (2.70) Jede Funktion Φ auf dem Superraum, die nur von y µ = xµ − iθσ µ θ̄ und θ abhängt, ist automatisch links chiral und kann wie folgt in Komponenten zerlegt werden: 1 Φ(y, θ) = φ(x) − iθσ µ θ̄∂µ φ(x) − θθθ̄θ̄∂ µ ∂µ φ(x) 4 √ i + 2θξ(x) + √ θθ∂µ ξσ µ θ̄ + θθF (x) 2 (2.71) Die Entwicklungskoeffizienten φ und F sind komplexe Skalarfelder und ξ ist ein komplexes Zweierspinorfeld. Das chirale Superfeld Φ hat somit vier reelle bosonische und vier reelle fermionische Freiheitsgrade. Summen und Produkte links chiraler Superfelder sind selbst wieder links chirale Superfelder. Durch hermitesche Konjugation folgen die analogen 22 2.2. Das minimal supersymmetrische Standardmodell Beziehungen für antichirale Superfelder. Produkte links chiraler mit rechts chiralen Superfeldern sind im Allgemeinen keine chiralen Superfelder. Reelle Superfelder V = V † werden Vektorsuperfelder genannt. Aus dem chiralen Superfeld Φ können durch Φ + Φ† und Φ† Φ Vektorsuperfelder konstruiert werden. Mit den ¯ N = M ∗ , Aµ = A∗ , ζ = λ und D = D∗ ist Identifikationen f = f ∗ = C, χ̄ = ξ, µ √ √ ¯ + θθM (x) + θ̄θ̄M ∗ (x) + θσ µ θ̄Aµ (x) V (z) =C(x) + 2θξ(x) + 2θ̄ξ(x) ½ ¾ ½ ¾ i µ i µ ¯ + θθθ̄ λ̄(x) − √ σ̄ ∂µ ξ(x) + θ̄θ̄θ λ(x) − √ σ ∂µ ξ(x) 2 2 ½ ¾ 1 1 + θθθ̄θ̄ D(x) − ∂ µ ∂µ C(x) 2 2 (2.72) eine allgemeine Komponentendarstellung des Vektorsuperfeldes V (z). Dieses ist invariant unter einer abelschen Supereichtransformation V → V + iΛ − iΛ† (2.73) mit dem Vektorsuperfeld iΛ − iΛ† . In der Wess-Zumino-Eichung verschwinden die Komponentenfelder C, ξ und M , so dass VW Z = (0, 0, 0, Aµ , λ, D) (2.74) 1 VW Z = θσ µ θ̄Aµ (x) + θθθ̄λ̄(x) + θ̄θ̄θλ(x) + θθθ̄θ̄D(x) 2 (2.75) gilt. In dieser Eichung besitzt V nur das Vektorfeld Aµ und das Spinorfeld λ als Komponenten. Diese werden später mit einem Eichfeld und dem dazugehörigen Gauginofeld identifiziert. Das Hilfsfeld D ist nicht dynamisch und lässt sich durch die Bewegungsgleichungen entfernen. Aus den chiral kovarianten Ableitungen von Vektorsuperfeldern sind Feldstärken der Vektorsuperfelder 1 WA = − D̄D̄DA V , 4 1 W Ȧ = − DDD̄Ȧ V 4 (2.76) konstruierbar, die selbst wieder links bzw. rechts chiral sowie invariant unter den Supereichtransformationen (2.73) sind. Die R-Invarianz der Supersymmetriegeneratoren wird auch für links chirale Superfelder definiert. Φ0 (x, eiϕ θ, e−iϕ θ̄) = eiϕRΦ Φ(x, θ, θ̄) (2.77) 23 2. Modelle der Teilchenphysik Im MSSM ist diese Symmetrie für ϕ = π realisiert. eiπR = (−1)R heißt Materieparität Mp für ein allgemeines Superfeld und Rp heißt R-Parität für ein Komponentenfeld. Die Komponenten eines Superfeldes, die Standardmodellteilchen entsprechen, haben positive R-Parität. Die R-Parität ihrer Superpartner ist negativ. Mit der Leptonzahl L, der Baryonenzahl B und dem Teilchenspin S kann die R-Invarianz mit Lepton- und Baryonzahlerhaltung identifiziert werden. Mp = (−1)3(B−L) , Rp = (−1)3(B−L)+2S (2.78) Durch R-Paritätserhaltung können SUSY-Teilchen nur in gerader Anzahl erzeugt werden. Darüber hinaus ist das leichteste supersymmetrische Teilchen (LSP) stabil und somit ein Kandidat für Dunkle Materie. 2.2.4. Supersymmetrische Lagrange-Dichten Die D-Terme allgemeiner und die F-Terme chiraler Superfelder gehen bei Supersymmetrietransformationen in sich selbst plus eine totale Divergenz über [4]. Aus ihnen können deshalb supersymmetrische Wirkungen konstruiert werden. Für eine Theorie mit n chiralen Superfeldern Φ1 , . . . , Φn sind Z LK = Z LW = d4 θ K(Φ1 , . . . , Φn , Φ†1 , . . . , Φ†n ) (2.79) d2 θ (W(Φ1 , . . . , Φn ) + h.c.) (2.80) supersymmetrische Lagrange-Dichten, wenn das Kähler-Potential K eine beliebige reelle und das Superpotential W eine beliebige analytische Funktion ist. Um Renormierbarkeit zu garantieren muss das Kähler-Potential von der Form K = Φ†1 Φ1 + . . . + Φ†n Φn (2.81) sein. Das Superpotential ist hingegen ein Polynom dritten Grades, wobei W nur die Φi und W † nur die Φ†i enthält. Zur Einbeziehung von Eichfeldern wird eine Eichtransformation der chiralen Superfelder definiert. ¡ ¢ Φ(x, θ, θ̄) → exp iTa Λa (x, θ, θ̄) Φ(x, θ, θ̄) (2.82) Die Λa (x, θ, θ̄) sind dabei chirale Superfelder und die Ta sind die Generatoren der Eichgruppe. Für jeden Generator wird ein Vektorsuperfeld Va (x, θ, θ̄) postuliert, so dass der 24 2.2. Das minimal supersymmetrische Standardmodell Eichfeldterm e2gVa Ta unter Eichtransformationen wie folgt transformiert. e2gVa Ta ¡ ¢ → exp iTa Λ̄a e2gVa Ta exp (−iTa Λa ) (2.83) Eine supersymmetrische und eichinvariante Lagrange-Dichte ist dann Z Lmatter = d4 θ Φ†i exp (2gVa Ta ) Φi (2.84) Die kinetischen Terme für die Eichsuperfelder werden wie im Standardmodell durch Feldstärken gebildet. 1 WA = − D̄D̄ (exp (−2gVa Ta ) DA exp (2gVa Ta )) Z4 Lgauge = d2 θ WA W A + h.c. (2.85) (2.86) Eine allgemeine supersymmetrische und renormierbare Lagrange-Dichte hat somit die Gestalt L = Lmatter + Lgauge + LW Z Z † 4 = d θ Φi exp (2gVa Ta ) Φi + d2 θ WA W A + h.c. Z + d2 θ W(Φi ) + h.c. (2.87) 2.2.5. Der Teilcheninhalt des MSSM Die Teilchen des MSSM werden in Supermultipletts zusammengefasst. Sie enthalten gleich viele bosonische und fermionische Freiheitsgrade. Die Superpartner der StandardmodellFermionen, Sfermionen genannt, werden in linkshändigen Dubletts und rechtshändigen Singuletts der SU(2) angeordnet. Für die Betrachtung einer Generation von Teilchen folgt à ν̃(L) ẽ(L) ! à , ẽ(R) , ũ(L) d˜(L) ! , ũ(R) , d˜(R) (2.88) Die Indizes (L) und (R) bezeichnen nicht die Händigkeit der Felder. Da die Sfermionen skalare Felder sind, besitzen sie keine Händigkeit. Das Selektron ẽ(R) bezeichnet demnach das Partnerfeld zum Elektron e(R) und gleichermaßen für Sneutrinos und Squarks. Somit passt die Anzahl der Freiheitsgrade zusammen: zwei Freiheitsgrade in den Zweierspinoren der Fermionfelder und zwei im dazugehörigen komplexen Skalarfeld. Um nur linkshändige Teilchen in den Multipletts zu erhalten, können rechtshändige 25 2. Modelle der Teilchenphysik Teilchensinguletts durch ihre Antiteilchen ersetzt werden. Diese Ersetzung ist bereits im SM möglich. Im MSSM ist dies zwingend notwendig, da nur links chirale Superfelder im Superpotential vorkommen dürfen. Die Sfermion-Superfelder sind dann à L= ! Lν à , Le Ē, Q= Qu ! , Qd Ū , D̄ (2.89) Das links chirale Leptondublett Superfeld L enthält dabei ν(L) , e(L) , ν̃(L) und ẽ(L) . Das ¡ ¢C Antileptonsingulett Superfeld Ē enthält die Felder e(R) und ẽ∗(R) . Analoges gilt für das Quark-Superfeld Q und die Antiquark-Superfelder Ū und D̄. Für die Behandlung aller drei Generationen werden drei Kopien dieser Felder benötigt. Da das MSSM dieselben Materiesuperfeld Leptonen L Antileptonen Ē Quarks Q Antiquarks SU(3)-Multiplett T3 Hyperladung 1 ± 12 -1 1 0 2 3 ± 12 1 3 Ū D̄ 3̄ 3̄ 0 0 - 34 2 3 Tabelle 2.6.: Materiesuperfelder des MSSM Wechselwirkungen wie das Standardmodell beschreiben muss, unterliegt es derselben Eichgruppe SU(3)C ×SU(2)L ×U(1)Y . Die Eichfelder aus dem SM erhalten Spin 1/2 Fermionen als Superpartner. Zusammen mit den Eichfeldern sind diese vier-komponentigen Majorana-Spinoren (Gauginos) in den Superfeldern enthalten. SU(2)L : n o Bµ , λ̃0 n o (V W )a = (W µ )a , λ̃a , a = 1, 2, 3 SU(3)C : (Vg )ā = U(1)Y : VY = (2.90) {(Gµ )ā , g̃ā } , ā = 1, ..., 8 Die links und rechts chiralen Komponenten der Gauginos gehen durch Ladungskonjugation auseinander hervor. Im Standardmodell reicht ein Higgsdublett φ aus, um allen Fermionen und den drei Eichbosonen W ± und Z 0 ihre Massen zu geben. Yukawaterme wie in Gleichung (2.38) dürfen im Superpotential nicht vorkommen, weil sie φ und φC enthalten und damit nicht analytisch in links chiralen Superfeldern wären. Es müssen 26 2.2. Das minimal supersymmetrische Standardmodell Eichsuperfeld Name Gruppe Felder Hyperladung U(1)Y Bµ , λ̃0 (V W )a schwacher Isospin SU(2)L (W µ )a , λ̃a (Vg )ā Farbe SU(3)C (Gµ )ā , g̃ā Y V Tabelle 2.7.: Eichsuperfelder des MSSM demzufolge zwei Higgs-Dubletts h1 und h2 mit ihren Vakuumerwartungswerten v1 und v2 eingeführt werden. à h1 = à h2 = ! h1 0 h1 − , 1 hh1 i = √ 2 , 1 hh2 i = √ 2 ! h2 + h2 0 à à ! v1 0 ! 0 v2 (2.91) Von den insgesamt acht Freiheitsgraden dieser Felder werden drei zu den longitudinalen Moden der massiven Eichbosonen. Nach elektroschwacher Symmetriebrechung bleiben fünf physikalische Higgs-Bosonen übrig. Die Massen der Eichbosonen sind jetzt von beiden VEW abhängig. MW gL = 2 q v12 + 1 MZ = 2 v22 , q q gL2 + gY2 v12 + v22 , tan β = v2 v1 (2.92) Die Yukawa-Wechselwirkungsterme geben den Fermionen wie im SM ihre Massen. 1 meij = √ λeij ∗ v1 , 2 1 ∗ mdij = √ λdij v1 , 2 1 muij = √ λuij ∗ v2 2 (2.93) Im MSSM werden die Massen von u- und d-Quarks allerdings unabhängig voneinander erzeugt. Die Superpartner der Higgs-Bosonen sind die Higgsinos. Diese links chiralen 0 Spin 1/2 Fermionen können zu vierkomponentigen Spinoren kombiniert werden ( h̃1 L + − 0 mit ( h̃2 L )C und h̃1 L mit ( h̃2 L )C ). à h̃1L = h̃1 h̃1 0 ! à , − h̃2L = h̃2 + h̃2 L ! (2.94) 0 L Die Superfelder im Higgs-Sektor sind H1 für h1 und h̃1L und H2 für h2 und h̃2L . à H1 = H10 H1− ! à , H2 = H2+ H20 ! (2.95) 27 2. Modelle der Teilchenphysik Die Voraussetzungen der erhaltenen R-Parität (Baryon- und Leptonzahlerhaltung) und Higgs-Superfeld H1 T3 ± 12 Hyperladung -1 H2 ± 12 1 Tabelle 2.8.: Higgs-Superfelder des MSSM der Auslöschung von Anomalien im Higgsino-Sektor (Renormierbarkeit) machen diese Superfelder zur minimalen Erweiterung des Standardmodells. Um ein realistisches Modell zu erhalten, müssen die Supersymmetrie und die elektroschwache Eichsymmetrie noch gebrochen werden, denn die Felder in Tabellen 2.6, 2.7 und 2.8 sind Wechselwirkungsund keine Masseneigenzustände. 2.2.6. Die Lagrange-Dichte des MSSM Die Lagrange-Dichte des MSSM lässt sich in einen supersymmetrischen und einen softBrechungsanteil aufteilen. LMSSM = LSUSY + Lsoft (2.96) Der supersymmetrische Anteil besteht aus den Lagrange-Dichten für Eichfelder, Materiefelder und Higgsfelder. Im MSSM wird die Erhaltung der R-Parität gefordert, wodurch die Form der Terme in LMSSM eingeschränkt wird. ¡ ¢ ¡ ¢ Die Feldstärken für die Eichsuperfelder V Y , V W a und (Vg )ā werden jeweils mit W Y A , (W a )A und (W ā )A bezeichnet. Die Lagrange-Dichte der Eichfelder lautet somit Lgauge 1 = 4 Z d2 θ ³¡ WY ¢A ¡ WY ¢ ´ a A a ā A ā + (W ) (W ) + (W ) (W ) A A + h.c. A (2.97) wobei über a von 1 bis 3 und über ā von 1 bis 8 summiert wird. Für die Materie-Lagrange-Dichte folgt gleichermaßen mit den Pauli-Matrizen σa und den Gell-Mann-Matrizen λā Z n ā Y ā Y Lmatter = d4 θ Ūi† e(−gs (Vg )ā λ̄ +gY V Y ) Ūi + D̄i† e(−gs (Vg )ā λ̄ +gY V Y ) D̄i +Q†i e(gs (Vg )ā λ (V W )a σa +gY V Y Y ) Q + Ē † e(gY V Y Y ) Ē i i i o a Y W + L†i e(gL (V )a σ +gY V Y ) Li 28 ā +g L (2.98) 2.2. Das minimal supersymmetrische Standardmodell Für die SU(3)-Transformationen der D̄ und Ū müssen die komplex konjugierten GellMann-Matrizen λ̄ā verwendet werden, da diese Antiquark-Superfelder als Farbantitripletts transformieren. Über den Generationsindex i wird von 1 bis 3 summiert. Die Mischungen zwischen den drei Generationen von Teilchen entstehen durch den Superpotentialterm der Higgs-Lagrange-Dichte. Z LHiggs = 4 n W a Y H1† e(gL (V )a σ +gY V Y ) H1 dθ + Z Z † + d2 θ WMSSM + d2 θ̄ WMSSM W a Y H2† e(gL (V )a σ +gY V Y ) H2 o (2.99) WMSSM = µH1 · H2 − λeij (H1 · Li ) Ēj − λdij (H1 · Qi ) D̄j − λuij (Qi · H2 ) Ūj (2.100) Dabei gilt X · Y = ²AB X A Y B für SU(2)-Dubletts X, Y . Die λij sind wie bereits im Standardmodell die Yukawa-Kopplungen. Diese Yukawa-Wechselwirkungen führen zu Massentermen für Fermionen und Sfermionen, sobald die Higgsfelder ihre nicht-verschwindenden Vakuumerwartungswerte erhalten. Der supersymmetrische Higgs-Parameter µ hat die Dimension einer Masse, wodurch der erste Term in Gleichung (2.100) als HiggsinoMassenterm interpretierbar ist. Der zweite Term der MSSM-Lagrange-Dichte wird benötigt um die Supersymmetrie zu brechen. Soft-brechende Terme lassen sich als supersymmetrische Wechselwirkungsterme mit einem chiralen Superfeld η = θθ f0 , welches einen Vakuumerwartungswert erhält, verstehen. Eine allgemeine renormierbare soft-brechende Lagrange-Dichte kann mit η als Z Lgen soft = Z 4 † † (2gVa Ta ) d θ η ηΦ e Φ+ Z 2 A d θ ηWA W + h.c. + d2 θ W(, η, Φ) + h.c. (2.101) geschrieben werden. Das Feld η wird somit zu einem Botschafterfeld, welches die Supersymmetriebrechnung aus einem versteckten Sektor in den beobachtbaren Sektor übermittelt. Für das MSSM kann Lsoft in drei Typen von Brechungstermen zerlegt werden: Massenterme für Skalarfelder, Massenterme für Gauginos und Brechungsterme aus dem Superpotential WMSSM . Massenterme für Skalarfelder Lscal soft = ∗ (M2q̃ )ij q̃j(L) − ũ∗i(R) (M2ũ )ij ũj(R) − d˜∗i(R) (M2d˜)ij d˜j(R) −q̃i(L) −˜l∗ (M2 )ij ˜lj(L) − ẽ∗ (M2 )ij ẽj(R) − m2 |h1 |2 − m2 |h2 |2 i(L) l̃ i(R) ẽ 1 (2.102) 2 29 2. Modelle der Teilchenphysik Die Massenmatrizen der Sfermionen in Lscal soft sind hermitesche 3×3-Matrizen im Raum der Generationen von Teilchenfeldern. Durch diese Terme erhalten die Sfermionen Massenterme, die nicht durch den Higgs-Mechanismus entstehen. Massenterme für Gauginos Lgaugino soft ´ 1³ ¯ ¯ ¯ = − M1 λ̃0 PL λ̃0 + M2 λ̃a PL λ̃a + M3 g̃ā PL g̃ā + h.c. 2 (2.103) In den Gaugino-Massentermen sind M1 , M2 und M3 komplexe Massenparameter für die Gauginos der Eichgruppen (siehe Tab. 2.7) und PL ist der Projektor für die links-händigen Spinorkomponenten. Brechungsterme aus dem Superpotential £ e e ∗ d d ˜ ˜∗ LW soft = − h1 · li(L) (f A )ij ẽj(R) + h1 · q̃i(L) (f A )ij dj(R) ¤ +q̃i(L) · h2 (f u Au )ij ũ∗j(R) + h.c. − (Bµh1 · h2 + h.c.) (2.104) Diese soft-brechende Lagrange-Dichte enthält die trilinearen Brechungsterme f k Ak (3×3-Matrizen im Generationenraum) und den Brechungsparameter B für die Higgs-Felder. Die Parameter A und B haben dabei die Dimension einer Masse. 2.2.7. Elektroschwache Symmetriebrechung und Teilchenmischung Wie im Standardmodell wird auch im MSSM die elektroschwache Symmetrie durch den Higgs-Mechanismus spontan zur Symmetrie des Elektromagnetismus gebrochen, wodurch Massenterme generiert werden. Mit den Vakuumerwartungswerten v1 und v2 können die Higgs-Dubletts durch 1 h1 = √ 2 30 à v1 + φ01 − iχ01 √ − 2φ− 1 ! , 1 h2 = √ 2 à √ 2φ+ 2 0 v2 + φ2 + iχ02 ! (2.105) 2.2. Das minimal supersymmetrische Standardmodell parametrisiert werden. Nach Einführung von tan β = v2 /v1 , (0 ≤ β ≤ π/2) sind die acht Masseneigenzustände durch à G0 A0 ! à = !à cos β sin β − sin β cos β χ01 χ02 ! à , G± H± ! à = cos β sin β − sin β cos β !à φ± 1 φ± 2 ! (2.106) à H0 h0 ! à = cos α sin α − sin α cos α !à φ01 φ02 ! , tan 2α = tan 2β MA2 + MZ2 π , − ≤α≤0 2 2 MA − MZ 2 gegeben. Die G0 und G± sind hierbei die unphysikalischen Goldstone-Bosonen, welche zu den transversalen Moden der Z 0 - beziehungsweise W ± -Bosonen werden, während die Felder H 0 , h0 , A0 und H ± fünf physikalische Higgs-Bosonen sind. Die Massen der Eichbosonen und Standardmodellfermionen wurden bereits in Abschnitt 2.2.5 angegeben. Nach der elektroschwachen Symmetriebrechung können Teilchen mit gleichen Quantenzahlen mischen. Dies bedeutet, dass sich die elektrisch geladenen Higgsinos und Gauginos zu Charginos kombinieren lassen, welche als Masseneigenzustände definiert werden können. Gleichermaßen mischen die elektrisch neutralen Higgsinos und Gauginos zu den Neutralinos. Darüber hinaus mischen auch die Sfermionen einer Generation. Charginos Für die SU(2)L -Gauginos lassen sich Ladungszustände λ± = 2−1/2 (λ1 ∓ λ2 ) analog zu den Ladungszuständen W ± definieren. Die Massenterme der Gauginos aus Lgaugino , der Higgsinos aus WMSSM und der Gaugino-Higgsino-Wechselwirkung soft nach der elektroschwachen Symmetriebrechung lassen sich dadurch zu ¡ − ¢T ¡ + ¢ Lcha X ψ + h.c. mass = − ψ (2.107) zusammenfassen, wenn ψ und X wie folgt definiert sind: à ψ+ = à X= λ+ h̃2 + ! à , M2 √ 2MW cos β ψ− = √ λ− h̃1 ! (2.108) − 2MW sin β µ ! (2.109) Durch unitäre Matrizen U und V kann die Matrix X diagonalisiert werden. U ∗ XV −1 = Mdiag cha , χ+ = Vψ + , χ− = Uψ − (2.110) 31 2. Modelle der Teilchenphysik Die zugehörigen Masseneigenzustände χ± können zu Dirac-Spinoren, den Charginos, kombiniert werden. à ! χ+ χ̃+ c = χ− , c = 1, 2 T (2.111) c Neutralinos Für die neutralen Higgsinos und Gauginos können die Betrachtungen gleichermaßen durchgeführt werden. Mit (ψ 0 )T = (λ0 , λ3 , h̃01 , h̃02 ) lauten die HiggsinoGaugino-Massenterme Lneu mass = − Die Massenmatrix M1 1 ¡ 0 ¢T ¡ 0 ¢ ψ Y ψ + h.c. 2 0 0 M2 Y= −M c s MZ cβ cW Z β W MZ sβ sW −MZ sβ cW (2.112) −MZ cβ sW MZ sβ sW MZ cβ cW 0 −µ −MZ sβ cW −µ 0 (2.113) wird durch eine unitäre Matrix Z diagonalisiert. Z ∗ YZ −1 = Mdiag neu , χ0 = Zψ 0 (2.114) und die Masseneigenzustände χ0 können abschließend zu Majorana-Spinoren, den vier Neutralinos χ̃0n , zusammengefasst werden. à χ̃0n = χ0 χ0 ! , n = 1, 2, 3, 4 T (2.115) n Sfermionen Die links- und rechtshändigen Sfermionen (Sleptonen und Squarks) mischen ebenfalls in Masseneigenzustände. Die Massenterme aus der soft-brechenden Lagrange-Dichte und dem Superpotential (nach elektroschwacher Symmetriebrechung) lassen sich wie folgt zusammenfassen. Lsfer mass 32 ³ ´ † † = − f˜(L) , f˜(R) Msfer à f˜(L) f˜(R) ! (2.116) 2.2. Das minimal supersymmetrische Standardmodell Zur Diagonalisierung von Msfer wird wiederum eine unitäre Matrix Usfer benötigt. à f˜1 f˜2 à ! = Usfer f˜(L) f˜(R) ! , † Usfer Msfer Usfer = Mdiag sfer (2.117) Eine genauere Darstellung der Massenmatrix wird in Kapitel 5 für die Renormierung der Sleptonmassen gegeben, deswegen wird an dieser Stelle darauf verzichtet. 33 2. Modelle der Teilchenphysik 34 3. Grundlegendes zu (g-2) Magnetische Eigenschaften von Körpern spielten in der Geschichte der Physik eine entscheidende Rolle. Viele Phänomene des Elektromagnetismus können in der klassischen Physik beschrieben werden, aber die atomare Struktur der Materie in unserem Universum kann nur quantenmechanisch erklärt werden. Die Untersuchung magnetischer und elektrischer Eigenschaften der Atome haben oft zu neuen Erkenntnissen in der Quantenmechanik beigetragen und eine erhebliche Rolle beim Verständnis von Quantenphänomenen gespielt. Es werden deshalb im Folgenden einige Grundlagen magnetischer Momente rekapituliert, bevor auf das anomale magnetische Moment des Myons eingegangen wird. 3.1. Das magnetische Moment ~µ In der klassischen Elektrodynamik ist das magnetische Dipolmoment einer Drahtschleife, ~ 2 umschließt, definiert als durch die ein Strom I fließt und die dabei eine Fläche |A| ~ ~µ = I · A (3.1) Das Magnetfeld einer solchen Drahtschleife entspricht dem eines kurzen Stabmagneten ~ wirkt auf die Drahtschleife ein Drehmo(eines Dipols). In einem äußeren Magnetfeld B ment ~τ und sie besitzt die potentielle Energie W . ~ ~τ = ~µ × B ~ W = −~µ · B (3.2) Dieser Fall kann auf ein Elektron in der Atomhülle übertragen werden, denn es entspricht einem Kreisstrom um den Atomkern. Die Stromstärke und der Flächenvektor lassen sich durch die Elementarladung e, die Elektronenmasse me und den Bahndrehimpuls ~l des Elektrons ausdrücken, so dass für das magnetische Dipolmoment ~µl folgt ~µl = − e ~ · l = −γl · ~l 2me (3.3) mit dem gyromagnetischen Verhältnis für das Moment des Bahndrehimpulses γl . Die potentielle Energie ist dadurch dem Betrag des Bahndrehimpulses proportional. Auf 35 3. Grundlegendes zu (g-2) atomaren Skalen muss die klassische Physik durch die Quantenmechanik ersetzt werden. Alle Betrachtungen erfolgen analog und liefern die gleichen Ergebnisse. Der Drehimpuls ist in der Quantenphysik aber quantisiert, was zu einer Aufspaltung der Energieniveaus im Atom führt (normaler Zeeman-Effekt). Unter Berücksichtigung der relativistischen Massenzunahme des Elektrons verschieben sich die Energieniveaus zusätzlich. Die experimentellen Messungen dieser Effekte bestätigten sowohl die Quantenmechanik als auch die Spezielle Relativitätstheorie. Durch die Experimente von Stern und Gerlach zeigte sich, dass Elektronen außer Masse und Ladung eine weitere intrinsische Eigenschaft haben müssen. Goudsmit und Uhlenbeck vermuteten, dass das Elektron einen intrinsischen Drehimpuls ~s hat. Dieser sollte denselben Quantisierungsregeln wie der Bahndrehimpuls ~l unterliegen und infolge dessen zu einem magnetischen Moment ~µs = −γs · ~s (3.4) führen. Aus experimentellen Beobachtungen ergab sich, dass der Elektronenspin halbzahlig ist. Durch den Einstein-de-Haas-Versuch konnte außerdem das gyromagnetische Verhältnis für den Spin γs bestimmt werden. Es ist annähernd doppelt so groß wie das für den Bahndrehimpuls: γs ≈ 2γl . Mit dem Landé-Faktor gs kann deshalb µ ~µs = −gs e 2me ¶ ~s (3.5) geschrieben werden. Der zusätzliche Eigendrehimpuls ~s des Elektrons führt in der Spektroskopie zur SpinBahn-Wechselwirkung. Aber er modifiziert auch Gleichung (3.3) und führt zum anomalen Zeeman-Effekt. Zum Gesamtdrehimpuls ~j gehört demnach das magnetische Moment ~µj ~µj = ~µl + µ ~s = − ´ e ³~ l + gs~s 2me (3.6) (Diese Gleichung ist allgemeiner als (3.3) und damit der Normalfall. Die Bezeichnung ”anomaler“ Zeeman-Effekt ist historisch bedingt.) Da der Landé-Faktor gs annähernd gleich 2 ist, kann die Abweichung von diesem Wert mit a= 36 g−2 2 (3.7) 3.2. Das magnetische Moment in der Quantenfeldtheorie bezeichnet werden. a wird das anomale magnetische Moment genannt. Das magnetische Moment des Spins lautet mit diesen Bezeichnungen µ ~µs = −2(1 + a) e 2me ¶ ~s (3.8) In der Mitte der 1920er Jahre war es notwendig Elektronen mit Spin 1/2, die sich in einem externen elektromagnetischen Feld befinden, relativistisch und quatenmechanisch zu beschreiben. Eine semi-empirische nicht-relativistische Gleichung dafür fand Wolfgang Pauli. Paul Dirac leitete später die nach ihm benannte relativistisch kovariante DiracGleichung her. Sie führt im nicht-relativistischen Limes auf die Pauli-Gleichung. Für ein Teilchen der Masse m und der Ladung e, beschrieben durch den Diracspinor ψ(x), gilt in einem elektromagnetischen Feld Aµ (x) folgende Bewegungsgleichung (mit ~ = c = 1) £ ¤ / − m ψ(x) = 0 i∂/ − eA (3.9) Die Dirac-Gleichung liefert für den Landé-Faktor gS = 2. Experimentell werden Abweichungen von diesem Wert gemessen. Die Strahlungskorrekturen, die diese Abweichungen verursachen, können im Rahmen von Quantenfeldtheorien berechnet werden. Die erste Quantenfeldtheorie, mit der dies gemacht wurde, ist die Quantenelektrodynamik, kurz QED genannt. 3.2. Das magnetische Moment in der Quantenfeldtheorie Alle Betrachtungen des vorigen Abschnitts gelten gleichermaßen für Myonen. Statt einem elektromagnetischen Feld innnerhalb eines Atomes wird ab sofort der allgemeine Fall eines Spin 1/2 Myons betrachtet, welches mit einem elektromagnetischen Feld wechselwirkt. Im Jahre 1948 konnte Julian Schwinger im Rahmen der Quantenelektrodynamik erste theoretische Werte für a berechnen [8]. Die Einschleifenkorrektur in der QED, welche für alle Leptonen gleich ist, beträgt α aQED(1) = (3.10) 2π Dieser Beitrag entsteht durch virtuelle Elektron-Photon-Wechselwirkungen. Schwinger’s Berechnung von aQED(1) war einer der ersten großen Erfolge für Quantenfeldtheorien, da dieser Wert bereits 99% der gemessenen Anomalie erklärt. In der Quantenelektro- 37 3. Grundlegendes zu (g-2) dynamik kann das Matrixelement für die Photon-Myon-Wechselwirkung sehr einfach in Kovarianten zerlegt werden. Neben den Viererimpulsen p1 , p2 der Myonen stehen die γ-Matrizen γ α und der aus ihnen aufgebaute Spin 1/2-Drehimpulstensor σ αβ = 2i [γ α , γ β ] als kovariante Größen zur Verfügung. gpe d µ(p2 ) γ(q) = iΓα (p1 , p2 ) = iū(p2 )Πα u(p1 ) (3.11) µ(p1 ) · = (−ie)ū(p2 ) γ α FE (q 2 ) + ¸ i αβ 2 σ qβ FM (q ) u(p1 ) 2mµ (3.12) Im Formfaktor Πα des elektromagnetischen Vertex stecken die Formfaktoren der elektrischen Ladung FE (q 2 ) und des magnetischen Dipolmomentes FM (q 2 ). Sie hängen beide nur vom Betragsquadrat des Impulsübertrages q 2 = (p2 − p1 )2 ab. Im klassischen Limes, d.h. für q 2 → 0, nehmen sie folgende Werte an: FE (0) = 1 , FM (0) = aµ (3.13) Daraus ist erkennbar, dass der magnetische Formfaktor FM zur Bestimmung des anomalen magnetischen Momentes des Myons aµ benötigt wird. Die Behandlung im Standardmodell gestaltet sich anspruchsvoller. Die schwache Wechselwirkung verletzt Parität P und CP . In der Kovariantenzerlegung spiegelt sich dies dadurch wider, dass außer den Impulsen p1 , p2 und den γ α auch γ5 als Kovariante zur Verfügung steht. Wenn die äußeren Leptonen die Dirac-Gleichung erfüllen, ist eine allgemeine Darstellung von Πα in Kovarianten mit den Impulsvariablen P α = (p1 + p2 )α und q α = (p2 − p1 )α durch Πα = γ α A1 + P α A5 A6 A2 A3 + qα + γ α γ5 A 4 + q α γ5 + iP α γ5 2m 2m 2m 2m (3.14) gegeben. Die kinematische Abhängigkeit der skalaren Koeffizienten Ai ist durch q 2 festgelegt. Aus diesem Ansatz folgt durch Anwendung von Gordon-Identitäten der allgemeine Formfaktor für den elektromagnetischen Vertex im Standardmodell µ qα Π = γ FE (q ) + γ − 2m 2 q α α 2 α ¶ γ5 FA (q 2 ) + iσ αβ qβ FM (q 2 ) FD (q 2 ) + σ αβ qβ 2m 2m (3.15) Hierbei ist FD (q 2 ) der Formfaktor für ein mögliches elektrisches Dipolmoment und FA (q 2 ) der Formfaktor für das Anapolmoment. Im SM gilt FE (q 2 ) = 1 auf tree-level, während 38 3.3. Der Projektor des magnetischen Formfaktors alle anderen Formfaktoren auf tree-level verschwinden. Ein möglicher effektiver Wechselwirkungsterm für aµ in der Lagrange-Dichte wäre von der Form e a Lefµf ∝ −aµ ψ̄σ αβ Fαβ ψ (3.16) mµ Die effektive Kopplung e aµ /mµ hat Massendimension -1. Das bedeutet, solch ein Term ist nicht renormierbar und deshalb in der Lagrange-Dichte, welche die Theorie definiert, verboten. Auf tree-level muss das anomale magnetische Moment deshalb stets verschwinden und mit ihm ist kein freier Parameter der Theorie verbunden. Daraus folgt, dass aµ durch Störungsrechnungen ermittelt und zur Überprüfung der Theorie genutzt werden kann. 3.3. Der Projektor des magnetischen Formfaktors Zur Bestimmung des anomalen magnetischen Moments wird der magnetische Formfaktor extrahiert. Dies geschieht durch die Anwendung eines Projektors Pα auf den Formfaktor Πα und anschließende Spurbildung. FM (q 2 ) = Sp [Pα Πα ] (3.17) Für alle Formfaktoren gibt es einen entsprechenden Projektor. Alle Projektoren sind dabei von der allgemeinen Form ³ ´ ³ ´ α P = p/1 + m Λ (p1 , p2 ) p/2 + m α (3.18) mit einer Funktion Λα (p1 , p2 ), die für jeden Formfaktor spezifisch ist. Die Formfaktoren aus Gleichung (3.15) enthalten divergente Schleifenintegrale. Um diese zu regularisieren, werden sie günstigerweise in D Dimensionen berechnet. Für den magnetischen Formfaktor FM in D Dimensionen lautet die Λ-Funktion 2m2 Λ (p1 , p2 ) = (D − 2)q 2 (q 2 − 4m2 ) α µ (D − 2)q 2 + 4m2 (p1 + p2 )α γ + q 2 − 4m2 2m α ¶ (3.19) Da aµ = FM (0), gilt h³ aµ = lim Sp 2 q →0 ´ ³ ´ i p/1 + m Λα (p1 , p2 ) p/2 + m Πα (p1 , p2 ) (3.20) 39 3. Grundlegendes zu (g-2) und Πα (p1 , p2 ) muss bis zu erster Ordnung für kleine q entwickelt werden. Mit p = p1 lautet die Entwicklung ¯ ¯ ∂ ¯ Πα (p1 , p2 ) ≈ Πα (q = 0) + q Π (p , p ) α 1 2 ¯ ∂q β q=0 β (3.21) = Vα (p) + q β Tβα (p) Nach Mittelung des Impulsübertrages über alle Raumrichtungen kann aµ allgemein gültig berechnet werden. aµ = £ ¤ 1 Sp (p/ + m)[γ α , γ β ](p/ + m)Tβα (p) 8(D − 2)(D − 1)m ¯ £ 2 α ¤¯ 1 α α + Sp (m γ − (D − 1)mp − Dp/p )Vα (p) ¯¯ 4(D − 1)m2 p2 =m2 (3.22) Die hier beschriebene Projektionstechnik lässt sich gut in gängige Computer-AlgebraSysteme implementieren und ist deshalb für Schleifenrechnungen zu (g-2) geeignet. 3.4. Messung des anomalen magnetischen Moments Das anomale magnetische Moment aµ entsteht durch die Wechselwirkung des Myonenspins mit einem äußeren magnetischen Feld. Die Messung von (g-2)µ beruht auf der Messung der Spinrichtung stark polarisierter Myonen in magnetischen Speicherringen. Durch Zerfälle von Pionen in Neutrinos und Myonen entstehen stark polarisierte Myonen, die in ein Magnetfeld eingeschossen werden. Die Achse des Myonspins präzessiert in diesem Magnetfeld durch das magnetische Moment des Myons. Im Experiment wird außer dem Magnetfeld auch noch ein elektrisches Quadrupolfeld angelegt, um die Myonen im Speicherring zu halten. Die Bewegungsgleichung der Myonen in einem äußeren ~ B) ~ wird aus der allgemeinen Lorentz-Kraft elektromagnetischen Feld (E, d~p d ~ + ~v × B) ~ F~ = = (γm~v ) = e(E dt dt (3.23) mit dem relativistischen Lorentzfaktor γ = (1− β~ 2 )−1/2 und der Geschwindigkeit β~ = ~v /c berechnet. Diese Bewegungsgleichung kann noch weiter umgeschrieben werden, wenn wie ~ und B ~ benutzt werden. Das heißt, mit ~v · B ~ =0= im Experiment transversale Felder E 40 3.4. Messung des anomalen magnetischen Moments ~ kann ~v · E d~v =ω ~ c × ~v , dt e ω ~c = − m à 2 ~ × ~v E ~+ γ B γ 2 − 1 c2 ! (3.24) geschrieben werden. ω ~ c bezeichnet hier die Zyklotronfrequenz. Für die zeitliche Verände~ (Präzession) folgt analog dazu rung des Spinvektors S ~ dS = dt ~ ω ~s × S γ − 1 d~v e ω ~s = × ~v − g 2 v dt 2m à ~ ~ v ~ − ~v × E + 1 − γ (~v · B)~ B c2 γv 2 ! (3.25) ~ verschwindet der letzte Term. Die Transversalität ist zwar im ExFür transversales B ~ · ~v ≈ 0 genähert und der letzte periment nicht exakt gegeben, im Weiteren wird aber B Term in (3.25) vernachlässigt. Die Differenz beider Kreisfrequenzen ist eine lineare Funktion des anomalen magnetischen Moments aµ . " # µ ¶ ~ e E × ~ v 1 ~ + aµ − ω ~a = ω ~s − ω ~c = − aµ B (3.26) m γ2 − 1 c2 Für eine Myonenergie von etwa 3,1 GeV nimmt der γ-Faktor seinen “magischen Wert” an, bei dem der zweite Term in Gleichung (3.26) verschwindet. Die Kreisfrequenz ω ~a ist dem anomalen magnetischen Moment aµ dann direkt proportional und außerdem ~ Experimentell führt das elektrische unabhängig vom Einfluss des elektrischen Feldes E. Feld zu kleinen aber wichtigen Korrekturen, falls der Impuls der Myonen von seinem “magischen Wert” abweicht [9]. Im Idealfall gilt jedoch ¯ 1 ¯¯ aµ − 2 ≈0 γ − 1 ¯E≈3,1 GeV ⇒ ω ~ a ≈ −aµ e ~ B m (3.27) Die für die Myonerzeugung benötigten Pionen entstehen beim Beschuss eines Targets mit Protonen. Die dabei erzeugten Resonanzen zerfallen in Pionen und diese wiederum über die schwache Wechselwirkung in Myonen und Neutrinos. Weil Pionen Pseudoskalare sind, haben die Zerfallsprodukte entgegengesetzten Spin und gleiche Helizitäten. Da es aber nur linkshändige Neutrinos und rechtshändige Antineutrinos gibt, ist die Spinrichtung der Myonen damit bestimmt. Die untersuchten Myonen haben relativistische Energien. Das ist einerseits vorteilhaft, da bei etwa 3,1 GeV der Einfluss des elektrischen Feldes auf die Frequenz der Spinpräzession reduziert ist. Andererseits gilt bei dieser Energie γ ≈ 30, so dass die Lebensdauer der 41 3. Grundlegendes zu (g-2) Myonen im Laborsystem rund 30-mal größer als im Ruhsystem der Myonen ist. Sie können dadurch den Speicherring viele Male durchlaufen. Letztendlich zerfallen sie aber durch die schwache Wechselwirkung in Positronen/Elektronen und Neutrinos. Da in diesem Zerfall die Parität maximal verletzt ist, ist die Emissionsrichtung der Positronen/Elektronen stark mit der Spinrichtung der Myonen korreliert. Die Positronen/Elektronen haben dieselbe Helizität wie die Myonen und werden demnach in Richtung des Myonspins emittiert. Über die Messung dieser Positronen wird somit auch die Richtung des Spins der Myonen zum Zeitpunkt des Zerfalls ermittelt. ~ notwendig. Für die MesDes Weiteren ist zur Bestimmung von aµ das Magnetfeld B ~ wird die Protonmasse und die Myonmasse benötigt (N uclear M agnetic sung von B Resonance). Die Myonmasse wird aus spektroskopischen Messungen von Myonium (µ+ e− ) ermittelt. 3.5. Gliederung der Beiträge im Standardmodell Feynman-Diagamme im Standardmodell, die zu (g-2) des Myons beitragen, können in verschiedene Gruppen eingeteilt werden. Entsprechend den Teilchen innerhalb der Strahlungskorrekturen werden sie in reine QED-Korrekturen, elektroschwache Beiträge und hadronische Beiträge gegliedert. 3.5.1. QED-Beiträge Für reine QED-Wechselwirkungen gibt es nur ein Feynman-Diagramm in Einschleifenordnung. Dieses Diagamm wurde von Julian Schwinger bereits 1949 berechnet und führt mit e2 /8π 2 zum größten Beitrag zu aµ [8]. Darüber hinaus ist dieser Beitrag für alle Leptonen universell. Diagramme höherer Ordnungen liefern Beiträge, die neben der Elementarladung e ebenfalls von den Massen der äußeren und inneren Teilchen abhängig sind. Die Massenabhängigkeiten treten dabei in Verhältnissen von Massen und Logarithmen von Massenverhältnissen auf. Reine QED-Beiträge sind bis heute bis zur Vierschleifenordnung berechnet. Die Ein-, Zwei- und Dreischleifendiagramme sind vollständig analytisch bekannt. Die Vierschleifendiagramme sind nur zum Teil analytisch aber vollständig numerisch berechnet. e2 Die QED-Beiträge lassen sich in Potenzen von α/π entwickeln, wobei α = 4π die Feinstrukturkonstante ist. Die Genauigkeit der numerischen Auswertung ist deshalb abhängig von der genauen Kenntnis von α. Bei den massenabhängigen Diagrammen ist die numerische Auswertung außerdem von der Genauigkeit der Leptonmassen abhängig. 42 3.5. Gliederung der Beiträge im Standardmodell 3.5.2. Elektroschwache Beiträge Zu den elektroschwachen Beiträgen zählen alle Feynman-Diagramme, die virtuelle W-, Z- oder Higgs-Bosonen enthalten. Die elektroschwachen Zweischleifendiagramme zerfallen in Terme mit führenden und nicht-führenden Logarithmen. Führende Logarithmen sind W zum Beispiel ln M . Terme, die proportional zu solchen Logarithmen sind, sind durch mµ das Verhältnis von W- bzw. Z-Masse zu Myonmasse sehr groß und führen deswegen zu großen numerischen Beiträgen zu aµ . Ab der Zweischleifenordnung können auch Quarks in inneren Schleifen auftreten. Solche Diagramme können genauso berechnet werden wie die entsprechenden Leptondiagramme. Da Quarks aber nicht als isolierte Teilchen in der Natur vorkommen, sind die Ergebnisse schwer interpretierbar. Beim Auswerten muss festgelegt werden, ob die Quarks nackte oder effektive Massen haben. Diese Schwierigkeit hängt damit zusammen, dass störungstheoretisch gerechnet wird, obwohl die Quarks bei diesen Energien nicht-perturbativ behandelt werden müssen. Für schwere Quarks und Leptonen (3. Generation) haben diese Schwierigkeiten den geringsten Einfluss auf das Ergebnis. Diagramme mit Quarks der 2. und 1. Generation müssen mit effektiven Theorien berechnet werden. 3.5.3. Hadronische Beiträge Ab der Zweischleifenordnung können auch stark wechselwirkende Teilchen zu Strahlungskorrekturen des elektromagnetischen Vertex führen. Die starke Wechselwirkung (QCD) muss bei niedrigen Energien nicht-perturbativ beschrieben werden. Schleifenkorrekturen durch stark wechselwirkende Teilchen sind daher schwer zu berechnen, denn der magnetische Formfaktor wird für verschwindenden Impulsübertrag q 2 = 0 benötigt. Weil Quarks nicht als isolierte Teilchen in der Natur existieren, müssen im Allgemeinen außerdem Hadronen (π, %, ω) betrachtet werden. In höheren Schleifenordnungen heißt das, auch Gluonen und Hadronisierungen von Quarks zu berücksichtigen. Wegen dieser Schwierigkeiten sind die hadronischen Beiträge zu (g-2) am schwierigsten zu ermitteln. Die einfachsten hadronischen Beiträge sind Vakuumpolarisationen des inneren Photons im Einschleifendiagramm der QED. Diese Diagramme sind von der Ordnung O(α2 ). Wird diesem Diagramm ein weiteres inneres Photon hinzugefügt, so ist es bereits von O(α3 ). Von dieser Größenordnung sind auch Beiträge aus Diagrammen mit zwei hadronischen oder einer hadronischen und einer leptonischen Vakuumpolarisation. Die Anteile der hadronischen Vakuumpolarisationen lassen sich aus den Wechselwirkungquerschnitten der Prozesse e+ e− → Hadronen abschätzen. Besonders kompliziert zu berechnen sind sogenannte “light-by-light”-Beiträge. Bei diesen Diagrammen koppelt das äußere Photon direkt an den Hadronenloop, d.h. der hadroni- 43 3. Grundlegendes zu (g-2) sche Beitrag muss bei niedrigen Energien (Impuls des äußeren Photons → 0) ausgewertet werden. Dies ist nur mit effektiven Theorien für kleine Energien möglich. 3.6. Theorie vs. Experiment Das anomale magnetische Moment des Myons ist über Jahrzehnte mit immer größerer Präzision gemessen worden. Das letzte Experiment zur Messung von (g-2)µ am BNL ergab [12, 27] −11 aexp (3.28) µ = 116 592 080(63) · 10 mit einer Messunsicherheit von 0,54 ppm. Dieses Ergebnis gilt unter der Annahme von CP T -Invarianz, d.h. dass Myon und Antimyon dasselbe anomale magnetische Moment haben. In der Theorie liefern die QED-Korrekturen den größten Beitrag. Bis einschließlich Fünfschleifenordnung ist dieser Beitrag [12] aQED(5L) = 116 584 718, 09(0, 14) · 10−11 µ (3.29) wobei der Anteil der Fünfschleifenordnung geschätzt wurde. Diese Beiträge von reinen QED-Diagrammen entsprechen bereits über 99% des gemessenen Wertes für aµ . Alle weiteren Beiträge müssen nur noch die Differenz von QED(5L) aexp ≈ 7362 · 10−11 µ − aµ (3.30) erklären. Bei den elektroschwachen Beiträgen entstehen Unsicherheiten im numerischen Resultat vor allem durch das Abschätzen der Higgs-Masse und hadronischer Effekte in der Zweischleifenordnung. Da die Zweischleifenbeiträge ein anderes Vorzeichen als der Einschleifenbeitrag haben, reduzieren sie diesen in der Summe um etwa 22% auf insgesamt [12] aµEW (1L+2L) = 152(2)(1) · 10−11 (3.31) Die hadronischen Beiträge durch Vakuumpolarisation sind in führender und nächst höherer Ordnung (numerisch) berechnet. Dabei werden Spektraldarstellungen für aµ und hadronische Spektralfunktionen verwendet. Die Spektralfunktionen sind durch den Quer- 44 3.6. Theorie vs. Experiment schnitt für die Reaktion e+ e− → 1γ → Hadronen gegeben. Die Ergebnisse für beide Ordnungen sind [12] ahvpLO = (6908 ± 39exp ± 19rad ± 7QCD ) · 10−11 µ LO ahvpN = (−97, 9 ± 0, 9exp ± 0, 3rad ± 7QCD ) · 10−11 µ (3.32) (3.33) Für die hadronischen “light-by-light”-Beiträge gibt es keine direkten experimentellen Inputs. Effektive theoretische Ansätze führen aber zu der Abschätzung −11 ahll µ = (105 ± 26) · 10 (3.34) Die hadronischen Vakuumpolarisationen tragen demnach neben dem QED-Anteil am meisten zu aµ bei, haben aber auch die größten Unsicherheiten. Die Summe aller Theorieergebnisse ergibt für quadratisch addierte Fehler aSM = (116 591 785 ± 51) · 10−11 µ (3.35) Der Vergleich mit Gleichung (3.28) liefert SM aexp = (295 ± 81) · 10−11 µ − aµ (3.36) was einer Abweichung von etwa 3,6 Standardabweichungen entspricht. Diese 3,6 σ könnten vielleicht durch Standardmodellbeiträge höherer Ordnungen oder noch unbekannte Effekte im SM hervorgerufen werden. Neue Physik jenseits des Standardmodells kann ebenso für die 3,6 σ verantwortlich sein. 45 3. Grundlegendes zu (g-2) 46 4. Feynman-Diagramme für (g-2) im MSSM Das magnetische Moment des Myons ist ein Maß für seine Wechselwirkung mit einem elektromagnetischen Feld. Eine störungstheoretische Entwicklung dieses Prozesses in Feynman-Diagramme liefert Korrekturen zum Myon-Photon-Vertex. gpe gge ffyff ff{|ff d d } } µ γ = + + + ··· (4.1) µ Abbildung 4.1.: Entwicklung des Myon-Photon-Vertex in Feynman-Diagramme Die Abweichungen vom Dirac’schen Wert g=2 entstehen nur durch die Schleifenkorrekturen. Auf Baumniveau gilt (g-2)=0 (siehe Abschnitt 3.2). Das minimal supersymmetrische Standardmodell wird mit erhaltener R-Parität betrachtet. Aufgrund der damit verbundenen Erhaltung der Leptonzahl Lµ müssen die FeynmanDiagramme eine durchgehende Linie myon-artiger Teilchen (µ, νµ , µ̃, ν̃µ ) enthalten. Außerdem muss an jedem Vertex eine gerade Anzahl Propagatoren von SUSY-Teilchen aufeinander treffen. 4.1. Einschleifenordnung Diagramme der Einschleifenordnung lassen sich in zwei Klassen einteilen. Zur ersten Klasse gehören Diagramme, bei denen Lµ nur durch Myonen und Neutrinos übertragen wird. Bis auf Diagramme, die physikalische Higgs-Bosonen enthalten, sind die Diagramme 4 in dieser Klasse im SM und MSSM identisch. Durch den Unterdrückungsfaktor m4µ /MW sind diese Higgs-Diagramme jedoch in beiden Modellen vernachlässigbar. Die Diagramme der zweiten Klasse können zusätzlich Smyonen und Sneutrinos enthalten. 47 4. Feynman-Diagramme für (g-2) im MSSM Die zwei Diagramme dieser Klasse gibt es im SM nicht und sie liefern deshalb den SUSYEinschleifenbeitrag. χ̃± χ̃0 µ µ µ µ µ̃ ν̃ Abbildung 4.2.: SUSY-Einschleifendiagramme im MSSM Das äußere Photon wird in den Diagrammen nicht mit dargestellt. Es koppelt immer an innere Linien der Schleife, hier also an das Chargino oder das Smyon. Bei Unterscheidung zwischen den verschiedenen Neutralinos, Charginos und Smyonen, gibt es zwei CharginoDiagramme und acht Neutralino-Diagramme. Um die Übersichtlichkeit zu bewahren, wird diese Unterscheidung nicht durchgeführt. Der SUSY-Enschleifenbeitrag kann durch µ a(1L) µ −10 ≈ 13 · 10 sgn(µM2 ) tan β 100 GeV MSUSY ¶2 , (4.2) approximiert werden [28]. Die Massen der Sleptonen, Charginos und Neutralinos wurden dafür auf eine gemeinsame Skala MSUSY gesetzt. Bei geeigneter Wahl von tan β und MSUSY kann das Einschleifenergebnis die 3,6 σ Abweichung komplett erklären. Es können jedoch auch detailliertere Informationen über die bevorzugten Parameter des MSSM, zum Beispiel über das Vorzeichen des Parameters µM2 , gewonnen werden. Soll das MSSMEinschleifenergebnis die Diskrepanz von 3,6 Standardabweichungen erklären, dann muss µM2 positiv sein. Anderenfalls wäre die Differenz zwischen Experiment und Theorie noch größer. Um die Genauigkeit der Vorhersage des MSSM zu verbessern, muss nicht nur Gleichung (4.2) durch das exakte Einschleifenergebnis ersetzt werden, sondern auch Korrekturen der Zweischleifenordnung berücksichtigt werden. 4.2. Zweischleifenordnung Das MSSM ermöglicht sehr viele Zweischleifendiagramme für (g-2)µ . Beiträge der Zweischleifenordnung müssen deshalb weiter nach deren Teilcheninhalt differenziert werden. In gleicher Weise wie die Einschleifenbeiträge können die Diagramme der Zweischleifenordnung nach Leptonen und Sleptonen der zweiten Generation eingeteilt werden. Die 48 4.2. Zweischleifenordnung erste Klasse besteht aus Diagrammen, in denen nur Myonen und Neutrinos Lµ tragen, während in Diagrammen der zweiten Klasse auch Smyonen und Sneutrinos enthalten sein können. 4.2.1. Zweischleifendiagramme ohne Smyonen und Sneutrinos Zweischleifenbeiträge zu (g-2)µ im MSSM, die keine Smyonen und Sneutrinos enthalten, können in reine Standardmodelldiagramme und in SUSY-Diagramme eingeteilt werden. Die SUSY-Diagramme ihrerseits können in Beiträge mit geschlossenen Schleifen aus SUSY-Teilchen (Charginos, Neutralinos, Sfermionen) und in Beiträge mit SM-Teilchen oder Higgs-Bosonen klassifiziert werden. Diese Untergruppe ist durch die unterschiedlichen Higss-Sektoren und Kopplungen im SM und MSSM verschieden. t̃ γ H µ µ µ Abbildung 4.3.: Beispiel eines Zweischleifendiagrammes mit SUSY-Teilchen in einer geschlossenen Schleife 4.2.2. Zweischleifendiagramme mit Smyonen und Sneutrinos In der zweiten Klasse von MSSM-Zweischleifendiagrammen wird die Myon-Leptonzahl auch durch Smyonen und Sneutrinos getragen. Diese Beiträge sind Korrekturen zu den Einschleifendiagrammen aus Abschnitt 4.1 und ihr numerisches Verhalten kann durch aSUSY,(2L) = cL ln µ MSUSY + c0 mµ (4.3) beschrieben werden [28]. Der zweite Summand in Gleichung (4.3) enthält nur kleine Logarithmen, während der erste Summand durch den großen Logarithmus von MSUSY /mµ dominant ist. Diese Terme stammen von photonischen Korrekturen, die in [29,30] bereits berechnet wurden. Für MSUSY zwischen 100 und 1000 GeV ergeben sie Korrekturen von -7% bis -9% des Einschleifenergebnisses. Zum Term ohne führenden Logarithmus in Gleichung (4.3) tragen unter anderem Diagramme bei, die zusätzliche Charginos, Neutralinos, Sleptonen oder Squarks enthalten. Die Diagramme mit Sleptonen und Squarks bilden 49 4. Feynman-Diagramme für (g-2) im MSSM γ χ̃ µ µ µ l˜µ µ Abbildung 4.4.: Beispiel eines photonischen MSSM-Zweischleifendiagrammes, welches zu großen logarithmischen Beiträgen führt dabei eine wichtige Untergruppe, die für sich endlich und eichinvariant ist. Auf diese Diagramme wird im Folgenden genauer eingegangen. 4.3. Korrektur der Einschleifendiagramme durch Sfermionen Eine wichtige Untergruppe der Zweischleifendiagramme des MSSM mit Smyonen und Sneutrinos sind Diagramme, welche Korrekturen zu den Einschleifendiagrammen durch Sfermion- oder Sfermion-Fermionschleifen liefern. Die zusätzliche Schleife kann einerseits aus Leptonen l und Sleptonen ˜l, andererseits aus Quarks q und Squarks q̃ gebildet werden. Die Topologien sehen in beiden Fällen gleich aus. l˜/ q̃ χ̃ µ µ l˜µ l˜/ q̃ χ̃ l˜µ χ̃ l/q µ Abbildung 4.5.: Zweischleifendiagramme Fermionschleife mit µ l˜µ Sfermion- oder Sfermion- Die Diagramme dieser Gruppe sind sowohl der Anzahl der Fermiongenerationen als auch der Anzahl der Farben der starken Wechselwirkung proportional. Sie bilden daher eine endliche und eichinvariante Untergruppe der Zweischleifendiagramme mit Smyonen und Sneutrinos. In dieser Arbeit werden Diagramme dieser Gruppe mit Squark- und Squark-Quark-Schleifen berechnet. Diese q-q̃-Diagramme sind den Yukawa-Kopplungen und somit den Massen der Quarks proportional. Da die Massen für die dritte Generation am größten sind, liefern Diagramme mit Top- und Bottom-Quark bzw. -Squark einen 50 4.3. Korrektur der Einschleifendiagramme durch Sfermionen potentiell großen numerischen Beitrag zu (g-2)µ . Im Folgenden sind alle Diagramme zusammengestellt, welche für diese Arbeit berechnet worden sind. Topologie 1 Die erste Topologie enthält einen Vertex mit vier skalaren Propagatoren. Dieser entsteht durch einen skalaren Tadpole am Sneutrino- bzw. Smyonpropagator. Das Zweischleiχ̃0 χ̃± µ ν̃ µ ν̃ µ µ̃ µ µ̃ t̃ / b̃ t̃ / b̃ Abbildung 4.6.: Zweischleifendiagramme mit einem Tadpole aus Squarks fenintegral zur Berechnung dieser Diagramme zerfällt in ein Produkt zweier Einschleifenintegrale und ist daher besonders einfach zu behandeln. Die Counterterme für diese Topologie renormieren nur die Selbstenergien der Sleptonen. Die Fermionen müssen nicht renormiert werden und für die Slepton-Photon-Vertizes treten auch keine Counterterme auf. Topologie 2 Die zweite Topologie von Diagrammen enthält Quark-Squark-Schleifen im Fermionpropagator. t b χ̃± µ t̃ ν̃ χ̃± χ̃± µ µ b̃ χ̃± ν̃ µ Abbildung 4.7.: Chargino-Diagramme mit Squark-Quark-Schleife Diese Diagramme sind schwieriger zu berechnen, denn im Allgemeinen enthalten die Integrale fünf verschiedene Massen. Außerdem zerfallen sie nicht in Produkte von Einschleifenintegralen. Die Counterterme dieser Topologie renormieren sowohl Fermion-Photon- 51 4. Feynman-Diagramme für (g-2) im MSSM t b χ̃0 µ b̃ µ̃ χ̃0 χ̃0 µ t̃ µ χ̃0 µ̃ µ Abbildung 4.8.: Neutralino-Diagramme mit Squark-Quark-Schleife Vertizes als auch die Fermionselbstenergien. Die Sleptonen müssen nicht renormiert werden. Topologie 3 Die dritte Topologie besteht aus Einschleifen-Counterterm-Diagramme. Diese VertexCounterterme sind notwendig um die Renormierung der elektroschwachen Parameter aus den ersten beiden Topologien zu vervollständigen. Die Counterterme der Topologien 1 und 2 renormieren auch die Massen von W- und Z-Bosonen um endliche Beiträge. Wund Z-Masse sowie der Weinberg-Winkel θW sind nicht unabhängig voneinander (siehe Gleichungen (2.34) und (2.92)). Damit diese drei Parameter die richtigen Relationen erfüllen, müssen Vertex-Counterterme berücksichtigt werden, auch wenn es für sie keine entsprechenden Zweischleifendiagramme gibt. χ̃± µ χ̃0 µ ν̃ µ µ µ̃ Abbildung 4.9.: Einschleifendiagramme mit Counterterm-Einsetzungen am LeptonSlepton-Fermion-Vertex Im Rahmen dieser Diplomarbeit wurden alle Diagramme der Topologie 1 berechnet und ausgewertet. Die Diagramme der anderen beiden Topologien gestalteten sich schwieriger. Die Zweischleifendiagramme der Topologie 2 sind berechnet, jedoch noch nicht renormiert. In Kapitel 6 wird näher auf die Schwierigkeiten bei der Berechnung der Topologien 2 und 3 eingegangen. 52 5. Renormierung der Zweischleifendiagramme Die Renormierung erfolgt im Rzehak-Schema [31, 32]. Dieses ist bereits in der MSSMModelldatei von FeynArts [33, 34] implementiert. Das Rzehak-Schema entspricht einer on-shell-Renormierung, d.h. die Massenparameter der Felder werden mit den physikalischen Massen der Teilchen identifiziert. Es zeigt sich, dass durch die SU(2)-Invarianz innerhalb eines Multipletts nicht alle Teilchenmassen unabhängig voneinander renormiert werden können. 5.1. Renormierung der Sleptonen Für die Diagramme der Topologie 1 werden nur die Selbstenergien der Sleptonen renormiert. Die Beschreibung der Massenterme und der Renormierungstransformationen wird allgemein für eine Generation von Sfermionen durchgeführt. Diese Abschnitte gelten daher auch für Squarks. Die Renormierungsbedingungen und Berechnung der Renormierungskonstanten werden jedoch nur für die Sleptonen gezeigt. 5.1.1. Die Massenterme der Sfermionen Durch den soft-Brechungsterm in der Lagrange-Dichte des MSSM erhalten die Sfermionen ihre Massen. Für links- und rechtshändige Sfermionen f˜(L) , f˜(R) ergibt sich Lf˜−mass ´ ³ ∗ ∗ ˜ ˜ = − f(L) , f(R) Mf˜ à f˜(L) f˜(R) ! (5.1) Die Massenmatrix Mf˜ mischt dabei links- und rechtshändige Zustände. Sie enthält die trilinearen Brechungsparameter Af für die Fermionen f , ML2 für linkshändige und Mf2˜ R für rechtshändige Sfermionen. In dieser Arbeit werden Af , ML2 , Mf2˜ und der HiggsR 53 5. Renormierung der Zweischleifendiagramme Parameter µ reell gewählt. à Mf˜ = ! ¡ ¢ m2f + ML2 + MZ2 c2β Tf3 − Qf s2W mf (A∗f − µκ) mf (Af − µ∗ κ) m2f + Mf2˜ + MZ2 c2β Qf s2W (5.2) R m2f , Qf und Tf3 bezeichnen jeweils Masse, elektrische Ladung und schwachen Isospin des Fermions f und MZ2 die Masse des Z-Bosons. Außerdem gilt sW = sin θW , c2β = cos(2β) wobei tan β = v2 v1 (5.3) mit dem Weinberg-Winkel θW und den Vakuumerwartungswerten v1 und v2 des HiggsDubletts. Für u-artige Squarks gilt κ = cot β und für d-artige Squarks und e-artige Sleptonen κ = tan β. Da keine rechtshändigen Neutrinos im Standardmodell vorhanden sind, gibt es im MSSM folglich auch keine rechtshändigen Sneutrinos. Die entsprechende Massenmatrix für Sneutrinos ist deshalb 1×1. Die Massenmatrix Mf˜ wird durch eine unitäre Transformation Uf˜ der Zustände diagonalisiert. à f˜1 f˜2 ! à = Uf˜ f˜(L) f˜(R) ! à und Uf˜Mf˜Uf†˜ = (D) Mf˜ = ! m2f˜ 0 0 m2f˜ 1 (5.4) 2 f˜1 und f˜2 sind die Masseneigenzustände der Sfermionen mit den Massen m2f˜1,2 = ´ 1 1³ 2 ML + Mf2˜R + m2f + Tf3 MZ2 c2β 2 r 2 h i2 1 ± ML2 − Mf2˜ + MZ2 c2β (Tf3 − 2Qf s2W ) + 4m2f |Af − µκ|2 R 2 (5.5) 5.1.2. Renormierungstransformation der Massenterme Durch die Renormierungstransformation Mf˜ → Mf˜ + δMf˜ (5.6) werden Counterterme für die Massenmatrix Mf˜ eingeführt. Der Counterterm δMf˜ enthält somit die Counterterme für die Parameter der Massenmatrix Mf˜. 54 5.1. Renormierung der Sleptonen Die Feldstärken der chiralen Felder werden nach à ! à à !! à ! µ ¶Ã f˜(L) 0 f˜(L) 1 δZf˜L 1 → 1+ = 1 + δZf˜ 2 2 f˜(R) 0 δZf˜ f˜(R) R f˜(L) f˜(R) ! (5.7) renormiert. Für die Transformation auf Masseneigenzustände wird in Gleichung (5.4) die Ersetzung µ ¶ 1 (5.8) Uf˜ → 1 + δZUf˜ Uf˜ 2 vorgenommen. Die Matrix δZUf˜ ist dabei UV-endlich. Die Z-Matrix für die Sfermionfelder ist somit nicht-diagonal und hat vier unabhängige Komponenten. à δ Ẑf˜ = δ Ẑf˜11 δ Ẑf˜12 δ Ẑf˜21 δ Ẑf˜22 ! = Uf˜δZf˜Uf†˜ − δZUf˜ (5.9) Die renormierten Selbstenergien Σren können in Termen der unrenormierten Selbstenerf˜ gien Σf˜ und der Counterterme δMf˜ und δ Ẑf˜ ausgedrückt werden. Σren (k 2 ) f˜ ´ 1³ ´ 1 2³ (D) (D) † † = Σf˜(k ) + k δ Ẑf˜ + δ Ẑf˜ − Mf˜ δ Ẑf˜ + δ Ẑf˜Mf˜ − Uf˜δMf˜Uf†˜ (5.10) 2 2 2 5.1.3. Renormierungsbedingungen Im Sfermionsektor müssen nur die Renormierungskonstanten für die soft-Brechungsparameter Af , ML2 und Mf2˜ bestimmt werden. Alle anderen gehören zur Renormierung der R Fermionen, Eichbosonen, Higgsbosonen oder Gauginos. Weil die linkshändigen Sfermionen/Fermionen invariant unter einer SU(2)L -Eichtransformation sind, ist der Brechungsparameter ML2 für up- und down-artige Sfermionen gleich. Es gibt somit nur fünf statt sechs Parameter zu renormieren. Für die Sleptonen sind es sogar nur drei Parameter. Es muss genau ein Brechungsparameter ML2 für linkshändige ν- und e-artige Sleptonen, genau ein Parameter Mẽ2R für rechtshändige e-artige Sleptonen und genau ein Parameter Ae für e-artige Leptonen renormiert werden. Daher sind nur drei Renormierungsbedingungen für die Massen von Smyonen und Sneutrino vorhanden. 2 ReΣren ν̃ (mν̃ ) = 0 (5.11) 2 ReΣren µ̃2 (mµ̃2 ) = 0 (5.12) 2 ren 2 ReΣren µ̃12 (mµ̃1 ) + ReΣµ̃12 (mµ̃2 ) = 0 (5.13) 55 5. Renormierung der Zweischleifendiagramme Sollte µ̃2 = ±µ̃L gelten, so muss die Bedingung (5.12) durch 2 ReΣren µ̃1 (mµ̃1 ) = 0 (5.14) ersetzt werden [31]. Die Bedingungen (5.11) und (5.12) legen die Renormierung der Parameter ML2 und Mµ̃2R fest, während die Relation (5.13) den Counterterm δAµ bestimmt. Für die Feldrenormierung wird gefordert, dass die Residuen der Sfermionpropagatoren gleich eins sind. ¯ 2 ¯ ∂Σren ν̃ (k ) ¯ = 0 Re ∂k 2 ¯k2 =m2 (5.15) ν̃ 2 ¯ ∂Σren µ̃11 (k ) ¯¯ Re ∂k 2 ¯k2 =m2 = 0 (5.16) = 0 (5.17) µ̃1 2 ¯ ∂Σren µ̃22 (k ) ¯¯ Re ∂k 2 ¯ k2 =m2µ̃ 2 Die nicht-diagonal Terme werden durch die Forderung 2 ReΣren µ̃12 (mµ̃2 ) = 0 und δ Ẑµ̃12 = δ Ẑµ̃21 (5.18) bestimmt. Damit liegen auch alle Z-Faktoren der Feldrenormierung fest. 5.1.4. Berechnung der Renormierungskonstanten Mit den obigen Gleichungen können die Counterterme für die Feldrenormierung berechnet werden. Für das Sneutrino gilt ¯ ∂Σν̃ (k2 ) ¯¯ δ Ẑν̃ = −Re ∂k2 ¯k2 =m2 (5.19) ν̃ Die Z-Faktoren der Smyonen ergeben sich analog zu δ Ẑµ̃11 ¯ ∂Σµ̃11 (k 2 ) ¯¯ = −Re ∂k 2 ¯k2 =m2 µ̃1 δ Ẑµ̃12 = δ Ẑµ̃21 = − 56 und δ Ẑµ̃22 ¯ ∂Σµ̃22 (k 2 ) ¯¯ = −Re ∂k 2 ¯k2 =m2 (5.20) µ̃2 ReΣµ̃12 (m2µ̃1 ) − ReΣµ̃12 (m2µ̃2 ) m2µ̃1 − m2µ̃2 (5.21) 5.1. Renormierung der Sleptonen Für zwei Sleptonen, für ν̃ und für µ̃2 , gelten on-shell-Bedingungen, d.h. ihre Massencounterterme sind einfach ihre Selbstenergien. δm2ν̃ = ReΣν̃ (m2ν̃ ) (5.22) δm2µ̃2 = ReΣµ̃22 (m2µ̃2 ) (5.23) Der Counterterm der µ̃1 -Masse kann durch Elemente der Mischungsmatrix Uµ̃ und andere Counterterme ausgedrückt werden. δm2µ̃1 = 1 Uµ̃211 δm2ν̃ − Uµ̃212 Uµ̃ Uµ̃ 1 δm2µ̃2 + 2 122 22 δYµ̃12 + 2 (δCµ̃11 − δCν̃ ) 2 Uµ̃11 Uµ̃11 Uµ̃11 (5.24) Zur Abkürzung werden δYµ̃12 und die Kombination δCµ̃11 − δCν̃ eingeführt. δYµ̃12 = ¢ 1¡ ReΣµ̃12 (m2µ̃1 ) + ReΣµ̃12 (m2µ̃2 ) 2 (5.25) 2 2 δCµ̃11 − δCν̃ = 2mµ δmµ − cos(2β)δMW + 4MW cos4 β tan β δ tan β (5.26) Ausgedrückt in den Parametern aus Gleichung (5.2) enthält δCµ̃11 − δCν̃ die Renormierungskonstanten des schwachen Mischungswinkels δθW und der Z-Bosonmasse δMZ2 . Die W-Masse ist dabei nicht vorhanden. δθW und δMZ2 sind in δCµ̃11 − δCν̃ gerade so 2 kombiniert, dass sie durch δMW ersetzt werden können. Die Renormierung wird dadurch vereinfacht. Wie bereits erwähnt, führen Diagramme der Topologie 1 nur auf die Renormierung der Sleptonen. Der Squark-Tadpole ist divergent und muss durch den entsprechenden Counterterm für den Sleptonpropagator endlich werden. χ̃ µ χ̃ ˜ lµ ˜ lµ q̃ µ µ µ ˜ lµ ˜ lµ Abbildung 5.1.: Renormierung des divergenten Squark-Tadpoles Der Counterterm rechts in Abb. 5.1 enthält die Renormierungskonstanten für die Massen und Z-Faktoren von Sneutrino und Smyonen. Des Weiteren kommt auch δYµ̃12 für die Smyon-1-Smyon-2-Mischung vor. Nach Gleichungen (5.22, 5.23) werden für die Renormierung die Selbstenergien für das Sneutrino und Smyon-2 sowie nach (5.25) die 57 5. Renormierung der Zweischleifendiagramme Selbstenergien für die Smyon-1-2-Übergänge benötigt. t̃ / b̃ t̃ / b̃ ν̃ ν̃ µ̃i µ̃j Abbildung 5.2.: Slepton-Selbstenergiediagramme für die Renormierung des SquarkTadpoles Die Selbstenergie für Smyon-1 ist für die Bestimmung der Z-Faktoren nötig. Um δm2µ̃1 zu berechnen, werden die Selbstenergien von Sneutrino, Smyon-1 und der Smyon-1-2Mischung benötigt. Darüber hinaus enthält δm2µ̃1 weitere Counterterme, die nicht zum Sfermionsektor gehören. 5.1.5. Sektorfremde Renormierungskonstanten Sektorfremde Renormierungskonstanten sind jene, die nicht direkt im Sfermionsektor 2 bestimmt werden. Es werden genau drei solche Renormierungskonstanten, δmµ , δMW und δ tan β, für die Smyon-1-Renormierung gebraucht. Der µ-Parameter des MSSMHiggs muss nicht renormiert werden, auch wenn er als Parameter in Gleichung (5.2) auftritt. Renormierung der Myonmasse - δmµ Die Myonmasse kann on-shell renormiert werden. Es folgt dann [31] δmµ = ¢ mµ ¡ ReΣµL (m2µ ) + ReΣµR (m2µ ) + 2ReΣµs (m2µ ) 2 Σµ (k) = ΣµL (k 2 )k/PL + ΣµR (k 2 )k/PR + mµ Σµs (k 2 ) (5.27) (5.28) Die Renormierung der Myonmasse wird für Diagramme der Topologie 1 nicht benötigt. Da das Myon nicht direkt mit Quarks oder Squarks wechselwirkt, erhält der Myonpropagator in Einschleifenordnung keine Korrekturen durch Quarks oder Squarks. Es kann deshalb δmµ = 0 gesetzt werden. 58 5.1. Renormierung der Sleptonen Renormierung der W-Masse - δM2W Das W-Boson wird ebenfalls on-shell renormiert. 2 2 δMW = ReΣW (MW ) (5.29) Dabei ist ΣW (k 2 ) der transversale Anteil der W-Selbstenergie, zu welcher Tadpole-Diagramme sowie Zweipunktfunktionen aus t̃ und b̃ beitragen. Wegen Supersymmetrie müssen auch Beiträge zur Selbstenergie aus t- und b-Quarks berücksichtigt werden. Daraus ergeben sich die drei folgenden Selbstenergiediagramme. t̃ / b̃ W W Abbildung 5.3.: Tadpole-Korrektur zur Selbstenergie des W-Bosons t t̃ W b̃ W W b W Abbildung 5.4.: Quark- und Squark-Korrekturen des W-Propagators 59 5. Renormierung der Zweischleifendiagramme Renormierung von tan β - δ tan β Der Counterterm für tan β ist durch die A0 -Z-Mischung definiert. Im Gegensatz zu [31] wird das DR-Schema für tan β verwendet. Das heißt, es gilt δ tan β = − £ ¤ 1 2 0 −Z 0 (M ) ImΣ A A UV−div 2MZ cos2 β (5.30) δ tan β ist nur der UV-divergente Anteil der Selbstenergie. In Anhang B.1 wird beschrieben, wie die Berechnung von δ tan β programmiert wurde. Wie beim W-Boson müssen für die A0 -Z-Mischung auch reine Quark-Beiträge berücksichtigt werden . t̃ / b̃ 0 A t/b γ 0 A γ Abbildung 5.5.: Squark- und Quark-Beiträge zur Higgs-Eichboson-Mischung Das DR-Schema hat mehrere Vorteile. Zum einen ist die Defnition unabhängig von der Wahl einer bestimmten Eichung und zum anderen ist sie nicht an einen Prozess gebunden, wie es im (A0 → τ + τ − )-Schema der Fall ist. Weil δ tan β im DR-Schema eine reine Divergenz ist, entstehen keine endlichen Korrekturen, welche numerisch groß werden könnten. Ein Vergleich verschiedener Renormierungsschemata für δ tan β inklusive ihrer jeweiligen Vor- und Nachteile findet sich in [35]. 60 6. Methoden zur Berechnung Die Berechnung der Feynman-Diagramme erfolgt mit dem Computer-Algebra-System Mathematica 5.2 [36] und dem Programmpaket FeynArts-3.3 [33, 34] zur Erzeugung der Diagramme und Berechnung der Schleifenintegrale. Es müssen zunächst die Zweischleifendiagramme und anschließend die CountertermDiagramme berechnet werden. Letztere sind Einschleifendiagramme, da die Renormierungskonstanten als Symbole benutzt werden. Die Selbstenergien für die Renormierungskonstanten müssen gesondert berechnet werden. Diese Aufteilung der Rechnung spiegelt sich in den Programmstrukturen wider. 6.1. Übersicht zu FeynArts FeynArts ermöglicht die Berechnung von Feynman-Diagrammen auf drei verschiedenen Ebenen. Auf dem generic level werden Diagramme und Amplituden so erzeugt, dass nur zwischen Fermionen, Skalaren und Vektorbosonen unterschieden wird. Auf dem darauf folgenden classes level erfolgt eine Aufteilung in zum Beispiel up- und downartige Leptonen/Sleptonen bzw. Quarks/Squarks. Das unterste Niveau ist das particles level, welches jedes Teilchen einzeln behandelt, d.h. auch zwischen beispielsweise Smyon 1 und 2 unterscheidet. Die hier beschriebenen Rechnungen wurden vorrangig auf classes level durchgeführt, um die Anzahl der Diagramme zu verringern. Am Ende der Rechnung muss dafür die Summe über die Teilchenindizes (2 Smyonen, 4 Neutralinos etc.) gebildet werden. Zur Berechnung wurde das model file MSSMCTcomplete.mod [34] verwendet. Dieses ist eine Erweiterung des MSSM-model file, welches in FeynArts-3.3 integriert ist. Es definiert als Felder die Masseneigenzustände des MSSM und deren Kopplungen. Aus diesen Informationen erstellt FeynArts die algebraischen Stukturen (Vierervektoren, Metrik, γµ Matrizen, Projektoren) für die Feynman-Diagramme. Des Weiteren sind im model file die Counterterme bis zur Einschleifenordnung implementiert. Alle Kopplungen, Massen, Mischungsmatrizen und Renormierungskonstanten werden von Mathematica rein symbolisch verwendet, d.h. sie werden während der Rechnung nicht weiter verändert. 61 6. Methoden zur Berechnung 6.2. Berechnung der Zweischleifendiagramme Die Bestimmung der Zweischleifenbeiträge erfolgt in drei Abschnitten. Im ersten werden die Zweischleifendiagramme und im zweiten die dazugehörigen Counterterm-Diagramme berechnet. Beide Teilergebnisse werden in einem dritten Schritt addiert und numerisch ausgewertet. Die Abbildung B.1 des Anhangs zeigt die Struktur des Programmes für den ersten Abschnitt. Die einzelnen Algorithmen innerhalb des Programmes sind in Unterprogrammen zusammengefasst und werden im Folgenden kurz erläutert. Topologien festlegen Am Anfang jeder FeynArts-Berechnung muss festgelegt werden, welches model file benutzt werden soll. Es enthält alle Felder des Modells, deren Kopplungen und auch Definitionen für Counterterme und Renormierungskonstanten. Dem model file entsprechend werden die Teilchen im Eingangs- und Ausgangskanal sowie die Schleifenordnung des Prozesses angegeben. Zusätzlich kann bestimmt werden, welche Teilchen im Inneren der Schleifen vorkommen sollen. Für (g-2) des Myons im MSSM heißt das: µ, γ → µ auf Zweischleifenniveau mit (ν̃µ , χ̃± ) oder (µ̃, χ̃0 ) im Inneren. Für die Squark-QuarkZweischleifendiagramme, die Thema dieser Arbeit sind, wird zusätzlich noch t̃ oder b̃ gefordert. FeynArts erzeugt daraufhin die Topologien aus Abschnitt 4.3 mit den dazugehörigen Integralen. Um die Struktur zu vereinfachen, werden keine Mischungen zwischen den Quarks betrachtet, d.h. die Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-Matrix (siehe Abschnitt 2.1.5) wird gleich der Einheitsmatrix gesetzt. Auf diese Topologien wird der Projektor für (g-2) aus Abschnitt 3.3 angewandt und der classes level zur weiteren Berechnung ausgewählt. Zusätzlich können hier Abkürzungen für Symbole, die häufig in den Amplituden vorkommen wie z.B. Mischungsmatrizen, eingeführt werden. TwoCalc Das TwoCalc-Paket berechnet die Algebra der Zweischleifenintegralausdrücke. Dazu gehört das Auswerten von (Lorentz-)Indexkontraktionen, Dirac-Matrizen und Projektionsoperatoren für linkshändige und rechtshändige Teilchen. Des Weiteren werden die Impulsvariablen der Propagatoren substituiert, so dass Standardintegrale eingeführt werden können (Passarino-Veltman- und Zweischleifenstandardintegrale). Das Ergebnis von TwoCalc sind somit Standardintegrale mit Koeffizienten aus Kopplungen, Mischungsmatrizen, Massen etc. 62 6.2. Berechnung der Zweischleifendiagramme Simplify -Routinen An mehreren Stellen im Programmablauf können verschiedene Vereinfachungen durchgeführt werden. Die Koeffizienten der Standardintegrale können oft durch das Bilden des Hauptnenners oder die Faktorisierung nach Massenverhältnissen vereinfacht werden. Je nach Komplexität der Terme führen die Simplify-Routinen nicht immer zu einfacheren Ausdrücken. Sie müssen deshalb an die Programmabschnitte, in denen sie zur Anwendung kommen, angepasst werden. Entwicklung nach schweren Massen Um die Berechnung und später das Ergebnis zu vereinfachen, werden die Standardintegrale in Massenverhältnissen entwickelt. Es wird davon ausgegangen, dass alle Massen der Superpartner sehr viel größer als die Myonmasse sind und deshalb mµ /MSUSY ¿ 1. Für MSUSY ≈ 100 GeV gilt mµ /MSUSY ≈ 0, 001. Die Annahme mµ /MSUSY ¿ 1 ist somit offensichtlich gerechtfertigt, denn es sind keine SUSY-Teilchen mit Massen unter 100 GeV bekannt. Eine analoge Entwicklung wird für die Massen von W- und Z-Boson sowie Topund Bottom-Quark durchgeführt, da die Massen dieser Teilchen ebenfalls sehr viel größer als die Myonmasse sind. Zusammenfassend werden alle schweren Massen mit Mheavy bezeichnet. Die Integrale werden entsprechend ihrer Koeffizienten in mµ /Mheavy entwickelt, so dass der Gesamt2 ausdruck bis zur Ordnung O(m2µ /Mheavy ) exakt ist. Alle Terme höherer Ordnungen werden vernachlässigt. Diese Entwicklung entspricht der Large-Mass Expansion, die in [37] beschrieben wird und auch in [38, 39] benutzt wurde. Dimensionale Entwicklung der Integrale Da Schleifenintegrale in Quantenfeldtheorien im Allgemeinen divergent sind, müssen sie vor der Auswertung regularisiert werden. Dafür wird dimensionale Regularisierung mit antikommutierender γ5 -Matrix verwendet. Die Integralmaße der vier-dimensionalen Impulsintegrale werden zur Regularisierung durch D-dimensionale Maße ersetzt. Z Z 4 dp −→ dD p (µdim )4−D und gµν g µν = D = 4 − 2ε (6.1) Im Limes ε → 0 entstehen die üblichen vier-dimensionalen Beziehungen. Zweischleifenintegrale sind im Allgemeinen von der Ordnung O(ε−2 ) und divergieren daher im Limes ε → 0. Diese Divergenzen werden in der Renormierung durch Counterterme entfernt. Dimensionale Regularisierung bricht Supersymmetrie explizit, da sie die Anzahl der Freiheitsgrade von Vektorbosonen ändert. Aus diesem Grund werden supersymmetrische 63 6. Methoden zur Berechnung Schleifenintegrale meist durch dimensionale Reduktion regularisiert, bei der die Anzahl bosonischer Freiheitsgrade nicht geändert wird. Die Feynman-Diagramme, welche in dieser Arbeit berechnet werden, enthalten jedoch keine inneren Vektorbosonen, so dass dimensionale Regularisierung und dimensionale Reduktion zum selben Ergebnis führen. Ein Überblick über Regularisierungsverfahren supersymmetrischer Theorien findet sich in [40]. Auswerten des analytischen Ausdrucks Im letzten Abschnitt der Berechnung der Zweischleifendiagramme werden die in ε entwickelten Integrale durch ihre analytischen Ausdrücke ersetzt. Anschließend werden die Summen über die Teilchenindizes ausgeführt und nochmals Vereinfachungsroutinen angewendet. Eine numerische Auswertung erfolgt erst, wenn die Summe mit dem Countertermergebnis gebildet wird. 6.3. Berechnung der Counterterme Die Berechnungen für die Renormierung bestehen aus zwei Teilen. Zum einen müssen die Einschleifen-Countertermdiagramme und zum anderen die Selbstenergien für die Renormierungskonstanten berechnet werden. Die Countertermdiagramme enthalten die Renormierungskonstanten nur als Symbole, d.h. sie beeinflussen das Berechnen der Diagramme und Integrale nicht. Counterterm-Topologien festlegen Im MSSMCTcomplete.mod-model file sind die Einschleifen-Counterterme für das MSSM programmiert. Um Squark-Quark-Zweischleifendiagramme zu renormieren, werden die Einschleifen-Counterterme für µ, γ → µ mit (ν̃µ , χ̃± ) oder (µ̃, χ̃0 ) erstellt. Je nach Topologie werden nicht alle dieser Counterterme benötigt. Für Topologie 1 sind nur die Counterterme erforderlich, welche den Slepton-Propagator renormieren. FeynArts erzeugt daraufhin die Counterterm-Topologien aus Abb. 5.1 mit den dazugehörigen Integralen. Auf diese Topologien wird ebenfalls der Projektor für (g-2) (siehe Abschnitt 3.3) angewendet und der particles level zur weiteren Berechnung ausgewählt. Auf diesem level enthalten die Renormierungskonstanten keine freien Teilchenindizes, über welche später noch summiert werden müsste. Die Struktur des Programmes zur Berechnung der Counterterme ist der Struktur des Zweischleifenprogrammes sehr ähnlich (Abb. B.2). Im Folgenden wird daher vorrangig auf die Unterschiede beider Programme eingegangen. 64 6.3. Berechnung der Counterterme OneCalc Das OneCalc-Paket leistet auf Einschleifenordnung das Gleiche wie TwoCalc auf Zweischleifenordnung. Es berechnet (Lorentz-)Indexkontraktionen, Dirac-Matrizen, Projektionsoperatoren für linkshändige und rechtshändige Teilchen. Durch die Substitution von Impulsvariablen können Passarino-Veltman-Integrale eingeführt werden. Das Ergebnis von OneCalc sind somit Summen von Einschleifenstandardintegralen mit Koeffizienten aus Kopplungen, Mischungsmatrizen, Massen etc. Simplify-Routinen und Massenentwicklung Diese Abschnitte sind analog zu denen im Zweischleifenprogramm. Die Routinen müssen nur zum Teil angepasst werden, da andere Einschleifenintegrale auftreten können. Die In2 tegrale werden ebenfalls in Potenzen der Myonmasse mµ bis zur Ordnung O(m2µ /Mheavy ) entwickelt. Diese Einschleifen-Countertermdiagramme können Terme der Ordnung O(m−1 µ ) enthalten, die mit den Renormierungskonstanten multipliziert werden. Daher müssen die Renormierungskonstanten selbst bis zur Ordnung O(m3µ ) entwickelt werden. Dies geschieht im nächsten Programmabschnitt. Berechnen der Renormierungskonstanten Die Renormierungskonstanten im Counterterm-Zwischenergebnis werden mit einem Unterprogramm ausgelesen und die Berechnung der Counterterme wird unterbrochen, um in einem zweiten Programm die benötigten Selbstenergien zu berechnen. Dies ist wiederum eine Einschleifenrechnung, wofür die Topologien der Selbstenergien erstellt und die Teilchen in der inneren Schleife der Selbstenergie spezifiziert werden müssen. Ohne Anwenden des (g-2)-Projektors wird mit OneCalc die Algebra der Integrale berechnet. Die Selbstenergien werden bis zur Ordnung O(m3µ ) in mµ entwickelt und in das CountertermZwischenergebnis eingesetzt. Entwicklungen in ε und mµ Nach Berechnen und Einsetzen der Renormierungskonstanten wird das CountertermProgramm an der unterbrochenen Stelle wieder gestartet. Die Integrale werden wie im Zweischleifenprogramm nach dimensionaler Regularisierung in ε und der gesamte Ausdruck nochmals in der Myonmasse bis Ordnung O(m2µ ) entwickelt. Terme höherer Ordnung in mµ , die durch die Multiplikation der Entwicklungen von Renormierungskonstanten und Einschleifendiagrammen entstehen, werden vernachlässigt. 65 6. Methoden zur Berechnung Auswerten des analytischen Ausdrucks Das Counterterm-Ergebnis ist nun bis zur Ordnung O(m2µ ) exakt und die in ε entwickelten Integrale werden durch ihre analytischen Ausdrücke ersetzt. Es treten keine Summen über Teilchenindizes auf, da auf particles level gerechnet wurde. Alternativ können die Counterterm-Einschleifenergebnisse und die Renormierungskonstanten einzeln in ε entwickelt werden. Dabei müssen die Ordnungen beider Entwicklungen berücksichtigt werden. Die Renormierungskonstanten und die Einschleifendiagramme sind jeweils proportional zu ε−1 und müssen daher beide bis zur Ordnung O(ε1 ) entwickelt werden, damit das Produkt von Ordnung O(ε0 ) ist. 6.4. Herausforderungen für die Programme Die oben beschriebenen Programme sind für die Berechnung der Diagramme der Topologie 1 aus Abschnitt 4.3 optimiert. Das heißt, sie produzieren kleinen Output (O(10 MB)) in kurzer Zeit (O(Stunden)). Für die Berechnung der Diagramme aus den Topologien 2 und 3 sind die Programme nicht effizient, denn bei diesen Topologien dauern Berechnungen weniger Diagramme mehrere Tage und erzeugen Ergebnisse von mehreren 100 MB. Dementsprechend brauchen die Programme viel Arbeitsspeicher, wodurch die Berechnung abermals verlangsamt wird. Prinzipiell funktionieren alle Rechnungen, aber sie werden nicht effizient durchgeführt. Die Herausforderung liegt somit darin, die Struktur der Programme für andere Diagramme anzupassen und effizienter zu gestalten. • Eine erste Möglichkeit der Vereinfachung ist die Kopplungen der Charginos und Neutralinos an die Sfermionen bereits am Anfang durch ein Symbol zu ersetzen. Statt langer Ausdrücke von Mischungs- und Massenmatrizen, die durch das Programm nicht vereinfacht werden können, wird nur ein Symbol benötigt. • Viele Ausdrücke der Mischungsmatrizen lassen sich durch die Anwendung von Relationen der Matrixkomponenten (z.B. Unitarität) vereinfachen. Da derartige Relationen oft nicht durch Mathematica erkannt werden, kann sich die Programmierung dieser Vereinfachungen als Problem herausstellen. Die schwierigen Kopplungsterme könnten umgangen werden, indem in Wechselwirkungseigenzuständen statt Masseneigenzuständen gerechnet wird. Allerdings wäre das Problem dadurch nur verschoben, da nun viele sich überlagernde Diagramme auszurechnen sind. Darüber hinaus müsste ein komplett neues model file geschrieben werden. 66 6.4. Herausforderungen für die Programme • Diagramme der Topologie 2 haben eine kompliziertere Integralstruktur als die Diagramme der Topologie 1. In Topologie 2 gibt es drei Fermion- und zwei Skalarpropagatoren mit im Allgemeinen fünf verschiedenen Massen. Für Topologie 1 sind es maximal vier Massen in drei Skalar- und einem Fermionpropagator. Die Dirac-Algebra und die Propagatornenner sind für Topologie 2 daher komplizierter und demzufolge auch die Reduktion der Integrale. Der Output der Programme benötigt deswegen mehr Speicher, längere Rechenzeiten und die Rechnung wird somit ineffizient. Eine Lösung dafür ist, jeden Integralterm einzeln zu behandeln. Statt mit einer Datei von hunderten MB würde mit mehreren hundert Dateien von wenigen MB gerechnet werden. Der Vorteil besteht vor allem darin, dass weniger Arbeitspeicher benötigt wird. Auf diese Weise wurden die Zweischleifendiagramme der Topologie 2 berechnet. • Eine weitere Möglichkeit ist auf eine analytische Rechnung ganz zu verzichten und von Anfang an numerisch zu rechnen. Alle Relationen von Komponenten der Mischungsmatrizen wären sofort implementiert, die Koeffizienten der Integralterme wären nur noch Zahlen und die Dateigrößen wären kleiner. Der große Nachteil ist aber, dass für jeden Punkt im Parameterraum die gesamte Rechnung wiederholt werden müsste. Die Zeitersparnis geht durch viele Rechnungen und sehr viele kleine Dateien wieder verloren. Alle diese Möglichkeiten zur weiteren Vereinfachung der Berechnungen wurden getestet. Wie bereits erwähnt sind die Topologien 2 und 3 prinzipiell gerechnet. Dementsprechend ist die Optimierung der Programme bezüglich Rechendauer und Speicherbedarf von Nöten, um die restlichen Diagramme zu renormieren und auszuwerten. 67 6. Methoden zur Berechnung 68 7. Auswertung und Diskussion der Ergebnisse Wie in Abschnitt 6.4 erwähnt sind die analytischen Ausdrücke und Ergebnisse der Rechnung schwer zu vereinfachen. Infolge dessen können sie nur numerisch ausgewertet werden. Die on-shell- und Entmischungsbedingungen aus Abschnitt 5.1.3 sorgen dafür, dass nur die Smyon-1-Diagramme einen endlichen Beitrag liefern, während alle anderen Diagramme zu Null renormiert werden. 7.1. Vergleich der Diagrammbeiträge Für eine erste Übersicht über die Beiträge der Squark-Zweischleifendiagramme werden sie noch vor Addieren der Counterterme ausgewertet. Als Parameter wurde tan β = 50 gewählt und die links- und rechtshändigen Brechungsparameter aller Sfermionen wurden auf eine gemeinsame Skala MSUSY gesetzt. Für die trilinearen Kopplungen der dritten Generation gilt Ab = −3 TeV und At = −2MSUSY . Mit diesen Parameter ergeben sich die Werte in Tabelle 7.1. Da das MSSM-Einschleifendiagramm endlich ist und mit dem Squark-Tadpole mulitpliziert wird, treten keine ε−2 -Divergenzen auf. (aµ )2L · 1011 0 O(ε ) O(ε−1 ) (aµ )2L ν̃ (aµ )2L µ̃12 (aµ )2L µ̃2 (aµ )2L µ̃1 (aµ )2L µ̃1 CT MSUSY [GeV] 0.3373 0.0818 0.033 0.0827 0.0228 0.0084 -0.0726 -0.0075 -0.002 -0.0163 -0.0022 -0.0006 -10.4301 -1.3111 -0.3494 -2.1372 -0.2825 -0.0731 -1.7588 -0.4094 -0.1155 -0.1843 -0.0257 -0.0068 -17.8365 -4.0351 -1.2323 0.1843 0.0257 0.0068 300 600 900 300 600 900 Tabelle 7.1.: Vergleich der unrenormierten Diagramme bei verschiedenen Energieskalen Die Sneutrino-Beiträge haben im Gegensatz zu den Smyon-Beiträgen positives Vorzei- 69 7. Auswertung und Diskussion der Ergebnisse chen und sind fast eine Größenordnung größer als die Smyon-1-2-Diagramme. Letztere liefern die kleinsten Korrekturen. Beim Vergleich von Smyon-2 mit Smyon-1 ist zu erkennen, dass das Smyon-2-Diagramm sehr viel größer als die Sneutrino-, Smyon-1-2- und Smyon-1-Diagramme ist. Dementsprechend muss der Smyon-2-Counterterm einen großen Beitrag absorbieren. Der Smyon-1-Counterterm (aµ )2L µ̃1 CT ist sogar noch größer. Dies lässt sich verstehen, wenn man berücksichtigt, dass die Massenrenormierung des Smyon-1 die Renormierungskonstanten der anderen Sleptonen beinhaltet. Das renormierte Zweischleifenergebnis (aµ )2L 2L =(aµ )2L µ̃1 + (aµ )µ̃1 CT wird daher fast vollständig durch den Counterterm bestimmt. 7.2. Zweischleifenbeitrag an den SPS-Punkten Durch den großen Parameterraum des MSSM bedingt, sind die Ergebnisse verschiedener Rechnungen oft schwer zu vergleichen. Die SPS-Punkte [41] sind ausgewählte Punkte des Parameterbereiches, welche durch verschiedene Szenarien supersymmetrischer Theorien motiviert sind. Sie können daher als Standardreferenzpunkte benutzt werden. SPS 1a SPS 1b SPS 2 SPS 3 SPS 4 SPS 5 SPS 6 SPS 7 SPS 8 SPS 9 (aµ )2L · 1011 -1.6607 -0.7476 -0.00106 -0.41011 -0.55814 -0.85298 -1.1253 -0.4834 -0.17157 1.1043 (aµ )1L · 1011 304.917 333.412 17.0674 141.353 512.657 89.7553 176.306 246.486 180.704 -93.6369 (aµ )2L /(aµ )1L in 0/00 -5.4464 -2.24227 -0.06194 -2.90136 -1.08873 -9.50336 -6.38263 -1.96115 -0.94943 -11.7934 Tabelle 7.2.: Vergleich der Zwei- und Einschleifenergebnisse an den SPS-Punkten Tabelle 7.2 zeigt die absoluten Werte für (aµ )1L und das in dieser Arbeit berechnete (aµ )2L der Tadpole-Squark-Diagramme. Darüber hinaus ist der relative Anteil (aµ )2L /(aµ )1L berechnet worden. (Die Einschleifendiagramme wurden mit dem Programm aus Abschnitt 6.2 berechnet, wobei TwoCalc durch OneCalc ersetzt wurde). Der Zweischleifenbeitrag liefert eine Korrektur zum Einschleifenergebnis von weniger als -1%. Eine Ausnahme bildet SPS 9. Dieser entspricht einem Szenario, bei dem SUSY 70 7.3. Abhängigkeit von tan β durch Anomalien gebrochen wird. Für SPS 9 gilt µM2 < 0, wodurch sich die Vorzeichen von (aµ )2L und (aµ )1L jeweils umkehren. Für den Punkt SPS 2 sind (aµ )1L und (aµ )2L sehr klein und weichen um bis zu einer Größenordnung von den Werten der anderen SPS-Punkte ab. Die Ursache dafür liegt in den großen Sfermionmassen für SPS 2, wodurch die Beiträge unterdrückt sind. Die größten Zweischleifenergebnisse liefern SPS 1a und SPS 6. Beide sind durch mSUGRA motiviert und haben kleines tan β und relativ kleine Squarkmassen. Des Weiteren sind bei beiden Punkten die trilinearen Kopplungen der dritten Generation negativ. Auf die Abhängigkeit des Zweischleifenergebnisses von tan β sowie At , Ab wird in den nächsten Abschnitten eingegangen. Die übrigen SPS-Parameterpunkte liefern kleine bis mittlere Zweischleifenkorrekturen. Insgesamt entsprechen die Werte an den SPS-Punkten jedoch den Abschätzungen aus [28], dass (aµ )2L das Einschleifenergebnis um etwa -1% korrigiert. 7.3. Abhängigkeit von tan β Das MSSM-Einschleifenergebnis (aµ )1L ist dem Verhältnis der Vakuumerwartungswerte der Higgs-Dubletts tan β direkt proportional. µ a(1L) µ ≈ 13 · 10 −10 sgn(µM2 ) tan β 100 GeV MSUSY ¶2 , (7.1) Die Parameterwerte tan β = 2 und MSUSY = 100 GeV können somit die 3,6 σ Abweichung zwischen SM und Experiment erklären. Allerdings kann die SUSY-Skala nicht bei 100 GeV liegen, da sonst Supersymmetrie bereits entdeckt worden wäre. Um Werte von MSUSY = 500 GeV (oder größer) zu ermöglichen, muss tan β groß sein. Es wird daher meistens tan β = 50 gesetzt. Um die Abhängigkeit des Zweischleifenbeitrages von tan β=TB zu untersuchen, wird das unrenormierte Smyon-1-Diagramm (aµ )2L bare und das Smyon-1-Counterterm-Diagramm 2L (aµ )CT für TB=50 und TB=25 ausgewertet. Dazu werden die Brechungsparameter ML/Rf˜ aller Sfermionen, der supersymmetrische Higgs-Parameter µ sowie die Renormierungsskala µdim auf die gemeinsame Skala MSUSY gesetzt. Darüber hinaus gilt Ab = −3 TeV, At =−2MSUSY und MA0 = 300 GeV. Die Parameter wurden in Anlehnung an [28] gewählt, so dass sich starke Stop und Sbottom Mischungen ergeben und die Sfermionschleifen verstärkt werden können. Aus den Abbildungen 7.1 und 7.2 ist zu erkennen, dass der Counterterm-Beitrag etwa 71 7. Auswertung und Diskussion der Ergebnisse 10-mal so groß wie der unrenormierte, nackte Beitrag ist. Dies war bereits für die Parameterwerte in Abschnitt 7.1 der Fall. Der nackte Beitrag hat zwischen tan β = 50 und tan β = 25 einen Vorzeichenwechsel, sein Betrag bleibt aber annähernd gleich. der Counterterm-Beitrag ändert sich ebenfalls fast nicht. Da er sehr viel größer als der nackte Beitrag ist, dominiert er das (renormierte) Zweischleifenergebnis. Dieses ist daher für TB=25 und TB=50 fast gleich (siehe Abb. 7.3). Der Squark-Tadpole-Beitrag ist somit nur wenig von tan β abhängig. Relativ zum Einschleifenergebnis wird er jedoch mit kleinerem tan β weniger vernachlässigbar. Für die SPS-Punkte liefert (aµ )2L eine Korrektur von weniger als -1% des Einschleifenbeitrages. Bei den in diesem Abschnitt verwendeten Parametern beträgt die Korrektur bis zu -8% (Abbildung 7.4). Damit die Zweischleifenkorrektur möglichst klein ist und MSUSY groß gewählt werden kann, sollte tan β = 50 sein. Die Korrektur beläuft sich dann auf -4% für kleine MSUSY . Für jedes Smyon liefern die Einschleifendiagramme mit dem leichtesten (Bino-artigen) Neutralino den größten Beitrag. Dieser besteht jeweils aus einem kleinen Beitrag, der proportional zu tan β ist, und einem sehr großen tan β-unabhängigem Term. Da der Mischungswinkel der Smyonen annähernd π/4 beträgt, löschen sich die tan β-unabhängigen Terme von Smyon-1 und Smyon-2 in der Summe fast völlig aus und die in tan β linearen Terme dominieren. Auf Zweischleifenniveau erhält die Smyon-1-Masse, bedingt durch das Renormierungsschema, einen endlichen shift. Infolgedessen löschen sich die großen Beiträge durch das leichteste Neutralino weniger aus. Die tan β-abhängigen Terme sind nicht mehr dominant, wodurch sich (aµ )2L nur wenig mit tan β verändert. 72 7.3. Abhängigkeit von tan β 10 a Μ ´ 10 0.0 400 600 800 1000 MSUSY @GeVD 1200 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 Abbildung 7.1.: Nackter Beitrag (—) und Counterterm-Beitrag (- - -) für TB=50 10 a Μ ´ 10 0.0 400 600 800 1000 MSUSY @GeVD 1200 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 Abbildung 7.2.: Nackter Beitrag (—) und Counterterm-Beitrag (- - -) für TB=25 73 7. Auswertung und Diskussion der Ergebnisse a Μ 2 L ´ 10 0.0 10 400 600 800 1000 MSUSY @GeVD 1200 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 Abbildung 7.3.: Renormierter Zweischleifenbeitrag für TB=50 (...) und TB=25 (- - -) aΜ 2 L ´ 100 % aΜ 1 L 400 600 800 1000 MSUSY @GeVD 1200 -2 -4 -6 -8 Abbildung 7.4.: Verhältnis des Zwei- und Einschleifenbeitrages in % bei TB=50 (...) und TB=25 (- - -) 74 7.4. Abhängigkeit von µ 7.4. Abhängigkeit von µ Als nächstes soll die Abhängigkeit von (aµ )2L von dem supersymmetrischen Higgs-Parameter µ und der trilinearen Kopplung Ab untersucht werden. Es werden dafür alle Parameter, mit Ausnahme von µ und Ab , wie im vorigen Abschnitt gewählt, wobei tan β = 50 gesetzt wird. Für µ=MSUSY und µ=2MSUSY wird jeweils Ab von −300 GeV bis 1000 GeV gewählt. Die Werte für µ sind nach oben beschränkt, da die Squarks positive Masseneigenwerte haben sollen. Für die hier angegebenen Parameter ist dies gesichert. Es zeigt sich, dass die Zweischleifenkorrektur für großes µ kleiner ist. Außerdem ist sie für großes µ sensitiver auf Veränderungen der trilinearen Kopplungen (Breite des Bandes in Abb. 7.5). Relativ zum Einschleifenergebnis ist dieses Verhalten noch deutlicher (Abb. 7.6). Für µ=2MSUSY ist die prozentuale Korrektur zur Einschleifenordnung größer und auch sensitiver auf Variation von Ab . Die Fälle µ=MSUSY und µ=2MSUSY führen bei SUSY-Skalen von etwa 310 GeV beide zu einer Korrektur von -4,5% des Einschleifenergebnisses. Bei einer Energieskala von MSUSY = 1000 GeV betragen die Korrekturen rund -1% für µ=MSUSY beziehungsweise -1,5% bei µ=2MSUSY . Die Korrekturen für alle untersuchten Parameterbereiche sind für kleine Werte von 2 MSUSY am größten, da aµ generell indirekt proportional zu MSUSY ist. Einen führenden MSUSY Logarithmus ln mµ , der dieses Verhalten für große SUSY-Skalen modifiziert, gibt es bei den Sfermion-Zweischleifendiagrammen nicht (siehe Abschnitt 4.2.2). 75 7. Auswertung und Diskussion der Ergebnisse a Μ 2 L ´ 10 -0.5 10 350 400 450 500 MSUSY @GeVD -1.0 -1.5 -2.0 -2.5 Abbildung 7.5.: Zweischleifenbeitrag für großen (...) und kleinen (- - -) HiggsParameter und trilineare Kopplungen von -0,3...1000 GeV aΜ 2 L ´ 100 % aΜ 1 L -2.5 350 400 450 500 MSUSY @GeVD -3.0 -3.5 -4.0 -4.5 Abbildung 7.6.: Verhältnis von Zwei- zu Einschleifenbeitrag für großen (...) und kleinen (- - -) Higgs-Parameter und trilineare Kopplungen von 0,3...1000 GeV 76 8. Zusammenfassung Die beobachtete Abweichung von 3,6 σ zwischen gemessenen und berechneten Werten für das anomale magnetische Moment des Myons motiviert detaillierte Schleifenrechnungen in Erweiterungen des Standardmodells. Im Rahmen des minimal supersymmetrischen Standardmodells können die Abweichungen besonders gut erklärt werden. Um die Genauigkeit der Vorhersage zu verbessern, werden in dieser Arbeit die Feynman-Diagramme der Zweischleifenordnung mit Sfermion- oder Sfermion-Fermionschleifen untersucht. Sie bilden eine eichinvariante und endliche Untergruppe der Zweischleifendiagramme. Für Top- oder Bottom-Squarks als innere Teilchen können diese Diagramme große Korrekturen zu den Einschleifendiagrammen des MSSM zu (g-2)µ liefern, da sie den Massen von Top und Bottom proportional sind. Diese Sfermionkorrekturen der SUSY-Einschleifendiagramme wurden in drei Topologien aufgeteilt. Die erste besitzt nur einen skalaren Tadpole als innere Schleife, während in der zweiten Topologie eine Sfermion-Fermionschleife im Neutralino- beziehungsweise Chargino-Propagator vorhanden ist. Die dritte Topologie besteht aus Einschleifendiagrammen mit Countertermeinsetzungen an den Vertizes. Diese Diagramme werden für die Renormierung der (elektroschwachen) Parameter an den Vertizes benötigt. Zur Berechnung wurde das Computer-Algebra-System Mathematica und das ProgrammPaket FeynArts verwendet. Die Programme und ihre Algorithmen wurden für die drei Topologien angepasst und für Diagramme der ersten Topologie optimiert. Durch die unterschiedliche Struktur der Propagatoren und Integrale sind die Programme für die Diagramme der zweiten Topologie noch ineffizient. Für diese wurden deshalb verschiedene Optimierungsmöglichkeiten untersucht. Die Renormierung wurde im on-shell-Schema nach Heidi Rzehak [31, 32] durchgeführt. Dabei wurden die Massen des Sneutrinos und des Smyon-2 on-shell renormiert. Die Smyon-1-Masse kann wegen der SU(2)-Invarianz des Sleptondubletts nicht unabhängig und insbesondere nicht on-shell renormiert werden. Sie ist von den Massen des Sneutrinos und des Smyon-2 abhängig und erhält endliche Korrekturen. Die Diagramme der ersten 77 8. Zusammenfassung Topologie wurden vollständig renormiert und ausgewertet. Für die zweite Topologie steht dies noch aus. Durch die Renormierung bedingt, verschwinden alle Beiträge des Sneutrinos, des Smyon-2 und der Mischdiagramme mit Smyon-1 und -2 nach dem die Summe mit ihren Countertermen gebildet wird. Der Beitrag der Tadpole-Diagramme der ersten Topologie entsteht daher nur durch die Smyon-1-Diagramme. Es zeigt sich, dass dieser Beitrag durch den Counterterm dominiert wird, welcher fast eine Größenordnung größer als das Zweischleifendiagramm ist. Darüber hinaus ist er durch die Verschiebung der Smyon-1-Masse nur wenig von tan β abhängig. Numerisch ergeben sich an den SPS-Punkten Korrekturen von weniger als -1% des MSSM-Einschleifenbeitrages. Für ausgewählte Parameter, insbesondere mittlere Werte von tan β und kleine Werte für MSUSY , lassen sich jedoch auch Werte von bis zu -8% erreichen. Für SUSY-Skalen von 1 TeV können die Korrekturen immer noch -2% betragen. 78 A. Grundlagen und Konventionen A.1. Minkowskiraum und Poincaréalgebra Der Minkowskiraum ist eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit mit global definierten kartesischen Koordinaten ~x = (x, y, z) und x0 = ct als Zeitkoordinate. Die kontravarianten Komponenten der Lorentz-Metrik sind definiert als g00 = 1, gij = −δij (A.1) δij = δ ij ist das Kroneckersymbol. Die kovarianten Komponenten ergeben sich durch gµν g νλ = δµλ g 00 = 1, zu g ij = −δ ij (A.2) Ereignisse im Minkowski-Raum werden durch Vierervektoren xµ beschrieben. Der metrische Tensor bildet dabei kontravariante auf kovariante Komponenten ab. xϕ = (x0 , ~x) λ 0 xϕ = gϕλ x = (x , −~x) kontravariant (A.3) kovariant (A.4) Die spezielle Relativitätstheorie fordert die Konstanz der Lichgeschwindigkeit, d.h. alle inertial zueinander bewegten Beobachter messen dieselbe Lichgeschwindigkeit c. Mathematisch bedeutet dies, dass die Norm der Differenz zweier Ereignisse invariant unter dem Wechsel zwischen Inertialssystemen (Σ, x) und (Σ0 , x0 ) ist. gκλ dxκ dxλ = gκλ dx0κ dx0λ ∂x0κ ∂x0λ gκλ % = g%σ ∂x ∂xσ (A.5) (A.6) Alle Transformationen, die diese Bedingung erfüllen, bilden die Poincarégruppe (auch inhomogene Lorentzgruppe genannt) und lassen sich als x0ϕ = Λϕν xν + aϕ (A.7) 79 A. Grundlagen und Konventionen schreiben. aϕ ist ein beliebiger konstanter Vierervektor und Λϕν eine konstante Matrix, die gµν Λµ% Λνσ = g%σ (A.8) erfüllt. Für eine Transformation (Λ, a) mit x0 = Λx + a bezeichnet U (Λ, a) eine Darstellung der Poincarégruppe. Für infinitesimale Transformationen Λν gilt dann Es folgt, dass ωµν σ = δν σ + ων σ , aµ = εµ (A.9) i U (Λ, a) ≈ U (δ + ω, ε) = 1 − ωµν J µν + iεµ P µ + ... (A.10) 2 antisymmetrisch ist. P µ und J µν sind ε- und ω-unabhängige Opera- toren, die hermitesch sein müssen damit U unitär ist. P µ ist der Viererimpulsoperator, Generator von Translationen und J µν ist der relativistische Drehimpulsoperator, Generator der Lorentztransformationen. Die J 0m generieren dabei Boosts und die J kl räumliche Drehungen. Für neue Tranformationen (Λ̃, ã), unabhängig von ω und ε wird das Produkt U (Λ̃, ã)U (δ + ω, ε)U −1 (Λ̃, ã) (A.11) betrachtet und es kann gezeigt werden, dass sich J und P tatsächlich als Tensoren unter Lorentztransformationen transformieren. Außerdem lässt sich die Poincaréalgebra ableiten. Es gelten daher folgende Vertauschungsrelationen [P µ , P ν ] = 0 (A.12) [P µ , J νκ ] = i (g µν P κ − g µκ P ν ) (A.13) [J µν , J %σ ] = i (g ν% J µσ − g νσ J µ% + g µσ J ν% − g µ% J νσ ) (A.14) Eine wichtige Darstellung der Poincaréalgebra benutzt Differentialoperatoren. Für einen Funktionenraum auf dem Minkowskiraum kann gezeigt werden, dass φ0 (x) = φ(Λ−1 x − a) Jµν = i(xµ ∂ν − xν ∂µ ) Pµ = i∂µ 80 (A.15) (A.16) (A.17) A.2. Spinoren gilt. A.2. Spinoren Die Generatoren der Lorentzgruppe Jµν erzeugen Rotationen des dreidimensionalen Raumes (Jms ) und Boosts zwischen Inertialsystemen (J0r ). Für diese Operationen werden 1 Rd = εdms Jms 2 Kr = −J0r Td± = 1 (Rd ± iKd ) 2 (A.18) definiert. Mit diesen Operatoren kann die Lorentzalgebra (A.14) umgeschrieben werden: £ ¤ Ta+ , Tb+ = iεabc Tc+ £ ¤ Ta− , Tb− = iεabc Tc− £ ¤ Ta+ , Tb− = 0 (A.19) Dies bedeutet, dass die Lorentzalgebra homomorph zum Produkt zweier Drehimpulsalgebren SU(2)+ ×SU(2)− ist und ihre Darstellungen nach den Drehimpulsen j1 der SU(2)+ und j2 der SU(2)− klassifiziert werden können. Links chirale Weyl-Spinoren ξA transformieren nach der ( 21 ,0)-Darstellung, während rechts chirale Weyl-Spinoren χ̄Ȧ nach der (0, 12 )-Darstellung transformieren. Für sie gelten mit A,B=1,2 und Ȧ,Ḃ=1̇,2̇ folgende Relationen: T ξA0 = MAB ξB ξ 0A = (M −1 )AB ξ B ξ A = εAB ξB ξA = (ξ¯ )† ξA = Ȧ εAB ξ B (ξ¯Ȧ )† ξA = (A.20) T χ̄0Ȧ = (M ∗ )ȦḂ χ̄Ḃ χ̄0Ȧ = (M ∗−1 )ȦḂ χ̄Ḃ χ̄Ȧ = εȦḂ χ̄Ḃ χ̄Ȧ = εȦḂ χ̄Ḃ χ̄Ȧ = (χA )† χ̄Ȧ = (χA )† (A.21) Dabei ist MAB ² SL(2,C) und für das van-der-Waerde-Symbol εAB gilt à ε AB = 0 1 −1 0 ! à , εAB = 0 −1 1 0 ! , εAB εBC = δ AC (A.22) und analog für εȦḂ . Aus diesen Weyl-Spinoren können lorentzinvariante Skalarprodukte konstruiert werden: ξχ := ξ A χA = −χA ξ A = χA ξA = χξ ξ¯χ̄ := ξ¯Ȧ χ̄Ȧ = −χ̄Ȧ ξ¯Ȧ = χ̄Ȧ ξ¯Ȧ = χ̄ξ¯ (A.23) 81 A. Grundlagen und Konventionen Die γ-Matrizen in der Weyl-Darstellung sind definiert als: Ã γµ = 0 σµ σ̄ µ 0 ! à γ5 = iγ0 γ1 γ2 γ3 = −12 0 0 12 ! (A.24) Dabei gilt σ µ = (12 , σ m ) und σ̄ µ = (12 , −σ m ) mit der 2×2-Einheitsmatrix 12 und den Paulimatrizen ! ! à ! à à 1 0 0 −i 0 1 (A.25) , σ3 = , σ2 = σ1 = 0 −1 1 0 i 0 Des Weiteren wird i µ ν (σ σ̄ − σ ν σ̄ µ )AB 2 (A.26) i µ ν µν Ȧ ν µ Ȧ (σ̄ ) Ḃ = (σ̄ σ − σ̄ σ ) Ḃ 2 definiert. Die Projektoren für den links- bzw. rechtshändigen Anteil von Viererspinoren (σ µν )AB = lauten PL = ¢ 1¡ 1 − γ5 2 und PR = ¢ 1¡ 1 + γ5 2 (A.27) A.3. Grassmann-Koordinaten Zur Beschreibung supersymmetrischer Feldtheorien wird der Superraum eingeführt, indem zu den vier reellen Koordinaten xµ des Minkowskiraumes vier Grassmann-Koordinaten hinzugefügt werden. Diese Grassmann-Koordinaten antivertauschen untereinander und mit den fermionischen Felder der Theorie. Sie werden in Weyl-Spinor-Dubletts θA und θ̄Ȧ zusammengefasst, so dass die Indexkonventionen aus dem vorigen Abschnitt gelten. Aus dem Verhalten unter Vertauschungen folgt, dass Produkte von mindestens drei Komponenten von θA oder θ̄Ȧ verschwinden. Eine Funktion f (θ, θ̄) kann daher mit beliebigen Koeffizienten a, ..., h wie folgt in (θ, θ̄) entwickelt werden f (θ, θ̄) = a + (b)A θA + (c)Ȧ θ̄Ȧ + dθθ + eθ̄θ̄ + (f )A θA θ̄θ̄ + (g)Ȧ θ̄Ȧ θθ + hθθθ̄θ̄ (A.28) Partielle Ableitungen nach θA und θ̄Ȧ werden wie für die xµ definiert: ∂A = 82 ∂ ∂θA ∂A = ∂ ∂θA ∂ ∂¯Ȧ = ∂ θ̄Ȧ ∂ ∂¯Ȧ = ∂ θ̄Ȧ (A.29) A.4. Eichgruppen Die Entwicklungskoeffizienten aus Gleichung (A.28) können durch Integration über die Grassmann-Koordinaten bestimmt werden. Es werden dafür folgende Integralmaße definiert 1 1 d2 θ = − dθA dθA d2 θ̄ = − dθ̄Ȧ dθ̄Ȧ d4 θ = d2 θd2 θ̄ (A.30) 4 4 Für die Integration folgt damit Z Z 2 d2 θ̄ (A.31) d2 θ̄ θ̄θ̄ (A.32) δ (2) (θ̄) = θ̄θ̄ (A.33) dθ= 0 = Z Z d2 θ θθ = 1 = δ (2) (θ) = θθ Z d4 θθθ̄θ̄ = 1 (A.34) A.4. Eichgruppen Für das Standardmodell und das MSSM sind die unitären Gruppen U(1), SU(2) und SU(3) die Grundlage. U(1)-Gruppe U (1) = © ª 1 × 1 − Matrizen A | A† A = 1 = {A = exp(−iϕ) | ϕ ² R} (A.35) (A.36) SU(N)-Gruppen © ª N × N − Matrizen A | A† A = 1, det A = 1 ( à ! ) X a = A = exp −i θa T | θa ² R SU (N ) = (A.37) (A.38) a Die Generatoren sind spurfreie, hermitesche N × N-Matrizen, die die Lie-Algebra £ ¤ Ta , Tb = if abc Tc (A.39) 83 A. Grundlagen und Konventionen erfüllen. Für sie gelten: ¡ ¢ 1 ab Tr Ta Tb = δ 2 Tr (Ta ) = 0 (A.40) (A.41) (Ta )† = Ta (A.42) Die Strukturkonstanten f abc sind vollständig antisymmetrisch in ihren Indizes. Für die Fälle N=2 und N=3 gilt darüber hinaus σa , a = 1, 2, 3 2 λa = , a = 1, ..., 8 2 N = 2 ⇒ Ta = (A.43) N = 3 ⇒ Ta (A.44) mit den Pauli-Matrizen σ a und den Gell-Mann-Matrizen λa . Um eine Lagrangedichte zu erhalten, die invariant unter Eichtransformationen ist, müssen partielle Ableitungen durch eichkovariante Ableitungen ersetzt werden. Für jede Eichgruppe G wird ein Eichvektorfeld V̂ µ = (V µ )a T a und eine Eichkopplung g benötigt. In der Lagrange-Dichte L wird die Ersetzung ∂µ ⇒ Dµ (V̂ ) = ∂ µ + ig V̂ µ (A.45) vorgenommen. Unter den lokalen unitären Transformationen U (x) mit ψ 0 (x) = U (x)ψ(x), ψ̄ 0 (x) = ψ̄(x)U † (x) (A.46) gilt (U (x)U † (x) = 1) ψ̄ 0 (x) Dµ 0 ψ 0 (x) = ψ̄(x)U † (x) Dµ 0 U (x)ψ(x) = ψ̄(x)Dµ ψ(x) (A.47) genau dann, wenn das Eichfeld V̂ µ (x) nach der adjungierten Darstellung von U (x) transformiert. Dµ 0 = U (x)Dµ U † (x) = ∂ µ + ig V̂ µ0 (A.48) (x) (A.49) ¡ ¢ 0 1 V̂ µ (x) = U (x)V̂ µ (x)U † (x) + U (x) ∂ µ U † (x) ig 84 (A.50) B. Programmaufbau B.1. Definition von δ tan β Die MSSMCTcomplete.mod-Datei definiert δ tan β im DR-Schema. RenConst[dTanB1]:= Block[a0z, a0z := SelfEnergy[S[3]-> V[2], MA0]; -((1/(2*MZ*CB2))*UVDivergentPart[Im[ReTilde[a0z]]])] Diese Definition ist mit Gleichung (5.30) bis auf die Funktion ReTilde[] identisch. Die Funktion ReTilde[] erzeugt den Realteil der Schleifenintegrale, sie wirkt aber nicht auf deren Koeffizienten (Mischungsmatrizen, Parameter etc.). Beispiel Für eine Funktion beliebiger komplexer Parameter und Schleifenintegrale gilt dann: ReTilde[F (CKM, α, A0, B0)] := F (CKM, α, Re[A0], Re[B0]) Zur Berechnung der A0 -Z 0 -Selbstenergie a0z müssen die Topologien und Amplituden erstellt werden (siehe Abschnitt 6.3). a0z wird danach mit OneCalc berechnet. Die Befehle hierfür lauten: CallOneSimpSubst[a0z]; CallOneLoopSum[a0z, SelfEnergyPart -> 4]; Mit diesen Definitionen werden keine weiteren Vorfaktoren benötigt. Die UV-divergenten Anteile der Realteile der Schleifenintegrale können eingesetzt und der Imaginärteil kann gebildet werden. 85 B. Programmaufbau FESTLEGEN DER TOPOLOGIEN PROJEKTION VON (g-2) ABKÜRZEN DER KOPPLUNGEN ⇓ ANWENDEN DES TwoCalc-PAKETS AUSWERTEN DER ALGEBRA ZERLEGUNG IN STANDARDINTEGRALE ⇓ HEAVY-MASS-EXPANSION ENTWICKLUNG IN POTENZEN VON mµ ⇓ DIMENSIONALE REGULARISIERUNG ENTWICKLUNG IN POTENZEN VON ε ⇓ AUSWERTUNG Abbildung B.1.: Aufbau des Programmes zur Berechnung der Zweischleifendiagramme 86 B.1. Definition von δ tan β COUNTERTERM-TOPOLOGIEN FESTLEGEN PROJEKTION VON (g-2) ABKÜRZEN DER KOPPLUNGEN ⇓ ANWENDEN DES OneCalc-PAKETS AUSWERTEN DER ALGEBRA ZERLEGUNG IN STANDARDINTEGRALE ⇓ RENORMIERUNGSKONSTANTEN BESTIMMEN BERECHNEN DER SELBSTENERGIEN RENORMIERUNGSKONSTANTEN EINSETZEN ⇓ EINSETZEN DER SELBSTENERGIEN ENTWICKLUNG IN POTENZEN VON mµ DIMENSIONALE REGULARISIERUNG ENTWICKLUNG IN POTENZEN VON ε ⇓ AUSWERTUNG Abbildung B.2.: Aufbau des Programmes zur Berechnung der CountertermDiagramme 87 Literaturverzeichnis [1] Howard Baer and Xerxes Tata. Weak Scale Supersymmetry. Cambridge University Press, 2006. [2] Peter W. Higgs. Spontaneous Symmetry Breakdown without Massless Bosons. Phys. Rev., 145(4):1156–1163, May 1966. [3] Peter W. Higgs. Broken Symmetries and the Masses of Gauge Bosons. Phys. Rev. Lett., 13(16):508–509, Oct 1964. [4] M. Drees, R. M. Godbole, and P. Roy. Theory and Phenomenology of Sparticles. World Scientific, 2004. [5] S. Eidelman et al. Review of Particle Physics. 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Bei meinen beiden Schwestern und bei Marcus Heinrich möchte ich mich für ihr geduldiges Korrekturlesen und vielen Verbesserungsvorschläge bedanken. Ohne sie wäre diese Arbeit nicht zu vollenden gewesen. Schließlich möchte ich mich bei meiner Familie, insbesondere bei meinen Schwestern und Eltern, für ihre andauernde Unterstützung während meines ganzen Studiums bedanken. 96 Erklärung Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit ohne unzulässige Hilfe Dritter und ohne Benutzung anderer als der angegebenen Hilfsmittel angefertigt habe. Die aus fremden Quellen direkt oder indirekt übernommenen Gedanken sind als solche kenntlich gemacht. Die Arbeit wurde bisher weder im Inland noch im Ausland in gleicher oder ähnlicher Form einer anderen Prüfungsbehörde vorgelegt. Marco Schäfer Dresden, April 2009