Formelsammlung TM 3

7. Kinematik des Punktes
Kinematik: Möglichst einfache und vollständige Beschreibung eines Bewegungsablaufes
7.1 Punktbewegung auf geradliniger Bahn
Mittlere Bahngeschwindigkeit
(300a)
vm =
s ( t + ∆t ) − s ( t )
( t + ∆t ) − t
=
∆s
∆t
=
∆v
∆t
Bahngeschwindigkeit
(300b)
v = lim
∆t → 0
∆s ds !
=
=s
∆t dt
Mittlere Beschleunigung
(301a)
a tm =
v ( t + ∆t ) − v ( t )
( t + ∆t ) − t
Bahnbeschleunigung
(301b)
(301c)
∆v dv
=
= v!
dt
∆t
dv d  ds  d2s
at =
=  =
= !!
s
dt dt  dt  dt 2
a t = lim
∆t → 0
Ungleichförmige Bewegung
t
(302a)
v = v 0 + ∫ at ⋅ dt
(302b)
s = s0 + ∫ v ⋅ dt
(302c)
tan α ∼
(302d)
t0
t
t0
ds
=v
dt
dv
tan β ∼
= at
dt
7.2 Gleichförmige Punktbewegung
Voraussetzung: at = 0
Ort – Zeit – Gesetz
(303a)
s = s0 + v 0 ⋅ ( t − t 0 )
Vereinfachung: Koordinatenursprung so wählen,
dass t0=0 und s0=0.
s
(303b)
s = v 0 ⋅ t ; v0 =
t
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1
7.3 Gleichförmig beschleunigte Punktbewegung
Voraussetzung: at = a0 = const
(304)
(305)
(306)
v = v 0 + a0 ⋅ ( t − t 0 )
v, t – Gesetz
a
2
s = s0 + v 0 ⋅ ( t − t 0 ) + 0 ⋅ ( t − t 0 )
2
t − t0
s = s0 + ( v 0 + v ) ⋅
2
(307)
s = s0 +
(308)
v=
(v
v2 − v0
2 ⋅ a0
2
0
s, t – Gesetz
2
s, v – Gesetz
)
− 2a0 ⋅ s0 + 2a0 ⋅ s
v, s – Gesetz
Vereinfachungen für t0=0; v0=0; s0=0
(304a)
v = a0 ⋅ t
(305a)
s = a0 ⋅
(306a)
(307a)
(308a)
t2
2
1
⋅v⋅t
2
v2
s=
2 ⋅ a0
s=
v = 2 ⋅ a0 ⋅ s
7.4 Ungleichförmig beschleunigte Punktbewegung
Gültig sind immer die Gleichungen: (300b), (301c), (302b)
7.5 Allgemeine Punktbewegung
Bahnkurve, Ortsvektor
Ortsvektor
(310a)
(310b)
 x(t) 
#


r1(t) =  y(t) 
 z(t) 


x = x(t)
y = y(t)
vektoriell
Beträge
z = z(t)
Differenzvektor
(311)
 x − x1   ∆x 
$$# $# #  2
  
∆r = r2 − r1 =  y 2 − y1  =  ∆y 
 z − z   ∆z 
1
 2
 
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2
Geschwindigkeitsvektor
Mittlere Bahngeschwindigkeit
(312a)
 x 2 − x1   ∆x 

 

t −t
# $# #  2 1   ∆t 
$$# ∆r r − r  y − y   ∆y 
1
= 2 1 = 2
vm =
=
∆t t 2 − t1  t2 − t1   ∆t 


 z − z   ∆z 
1
 2
 



 t 2 − t 1   ∆t 
Bahngeschwindigkeit
(312b)
∆x   dx 

 ∆lim
 
t →0 ∆t 
#
# 
  dt   x! 
#
$$#
∆r dr 
∆y   dy   
=
= lim
=
= y!
v = lim v m = lim
p2 →p1
∆t → 0 ∆t
dt  ∆t →0 ∆t   dt   

    z! 
 lim ∆z   dz 
 ∆t →0
  
∆t   dt 

Ein Vektor wird differenziert, indem seine Komponenten differenziert werden.
Der Geschwindigkeitsvektor ist die 1. Ableitung des Differenzvektors nach der Zeit. Seine Richtung ist tangential
zur Bahn.
Geschwindigkeitsbetrag
$$#
2
2
2
v = vx + vy + vz
(313)
Beschleunigungsvektor
$$# $$#
#
#
v − v1
∆ v dv #
(314)
a = lim 2
= lim
=
= v!
∆t → 0 ∆t
t 2 → t1 t − t
dt
2
1
#
#
#
# dv d  dr  d2 r #
a=
(315)
=  =
= !!r
dt dt  dt  dt 2
(316)
(317)
 d  dx    d2 x 
    2 
 dt  dt    dt   !!
x   v!   a 
#  d  dy    d2 y     x   x 
a =     =  2  =  !!
y  =  v! y  =  a y 
 dt  dt    dt   !!   !   
 d  dz    d2 z   z   v z   a z 
     2 
 dt dt 
     dt 
$$#
2
2
2
a = a = ax + a y + az
Betrag von a
#
Der Beschleunigungsvektor ist also die 1. Ableitung des Geschwindigkeitsvektors v nach der Zeit oder die 2.
#
Ableitung des Differenzvektors r nach der Zeit. Seine Richtung ist allgemein nicht tangential zur Bahn.
Sonderfall: geradlinige Bewegung.
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3
Schiefer Wurf
(318)
(319)
(320)
#
 v x (t)   v 0 ⋅ cos α 
v(t) = 
=

 v y (t)   v 0 ⋅ sin α − g ⋅ t 
Geschwindigkeitsvektor
 v 0 ⋅ cos α ⋅ t 
#
 x(t)  

r(t) = 
=
 
t2 
y(t)
v
sin
t
g
⋅
α
⋅
−
⋅

  0

2

g
y = (tan α ) ⋅ x −
⋅ x2
2
2v 0 ⋅ cos2 α
Ortsvektor
Wurfparabelfunktion
2
v0
⋅ sin 2α
g
(321a)
xw =
(321b)
x w max =
(322)
ts =
(323)
h = y(t s ) = y s =
(324)
tw2 =
Auftreffort
2
v0
g
Maximum für α=45°
v 0 ⋅ sinα
g
Steigzeit
2
2
v 0 ⋅ sin2 α v 0y
=
2g
2g
2 ⋅ v 0 ⋅ sin α
= 2t s
g
Steighöhe
Wurfzeit
Tangential- und Normalbeschleunigung
(327a)
v2
r
dv
at =
dt
# # #
a = an + a t
(327b)
a = an + a t
(325)
(326)
an =
Normalbeschleunigung
Tangentialbeschleunigung
Gesamtbeschleunigung
2
2
Betrag
7.6 Kreisförmige Punktbewegung
Technische Sonderlösung der allgemeinen Punktbewegung.
y
y
Definitionen
Drehwinkelwinkel
ϕ [rad] (Bogenmaß)
Winkelgeschwindigkeit ω [ 1s ]
Winkelbeschleunigung α [ s²1 ]
r
s
ϕ
x
(330)
dϕ
dt
d2ϕ dw at
!!(t) = 2 =
α=ϕ
=
dt
dt
r
v = r ⋅ ω = r ⋅ ϕ! = s!
(331)
! = r ⋅ϕ
!! = !!
at = r ⋅ α = r ⋅ ω
s
(328)
(329)
(332)
ω = ϕ! (t) =
an =
Winkelgeschwindigkeit
Winkelbeschleunigung
Bahngeschwindigkeit
Tangentialbeschleunigung
2
v
= v ⋅ ω = r ⋅ ω2
r
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Normalbeschleunigung
4
7.7 Gleichförmige Kreisbewegung
(333)
Voraussetzung: α = 0 ; ω = ω0 = const
(334)
ϕ = ϕ0 + ω0 ⋅ ( t − t0 )
(335)
v = r ⋅ ω0 = const
(336)
at = 0
(337)
an = r ⋅ ω0 = const
(338)
ω0 =
(339)
n=
Drehwinkel im Bogenmaß
2
ϕ − ϕ0 ϕ
= → ϕ = ω0 ⋅ t
t − t0
t
Sonderfall: t0=0; ϕ0=0
1 ω0
=
bzw. ω0 = 2πn
T 2π
Drehzahl
7.8 Gleichförmig beschleunigte Kreisbewegung
(340)
Voraussetzung: α = α t = const
Winkelgeschwindigkeit – Zeit – Gesetz
(341)
ω = ω0 + α ⋅ ( t − t 0 )
Drehwinkel – Zeit – Gesetz
(342)
ϕ = ϕ0 + ω0 ⋅ ( t − t 0 ) + α ⋅
( t − t0 )
2
2
Drehwinkel im Bogenmaß
Winkelgeschwindigkeit – Drehwinkel – Gesetz
(343)
ω=
(ω
2
0
)
− 2αϕ0 + 2αϕ
Sonderfall: Bewegung aus der Ruhe
Bedingung t0=0; ω0=0; ϕ0=0
(341a)
(342a)
(343a)
ω = α⋅t
t2
t
ϕ = α ⋅ = ω⋅
2
2
ω = 2αϕ
ϕ = N ⋅ 2π
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N = Anzahl Umdrehungen
5
8. Kinetik des Massenpunktes und des Körpers
Kinetik:
Ermittlung des Zusammenhangs zwischen den auf einen Körper
wirkenden Kräften und der unter Einfluss dieser Kräfte sich
ergebenden Bewegungen.
8.1 Newtonsche Grundgesetze
(344)
1. Newtonsches Axiom (Trägheitsaxiom)
Jeder Körper bleibt im Zustand der Ruhe oder der geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch Kräfte
zur Änderung dieses Zustandes gezwungen wird.
(345)
2. Newtonsches Axiom
Die an einem Körper angreifende Kraft und die durch sie hervorgerufene Beschleunigung sind
#
#
gleichgerichtet und einander proportional. F = m ⋅ a
(345a)
m
1N = 1kg ⋅ 1 s²
(346)
#
#
FG = m ⋅ g bzw. FG = m ⋅ g
(347)
g = 9,80665 sm2 ≈ 9,81 sm2
(348)
3. Reaktionsaxiom
Wirkung und Gegenwirkung zweier Körper aufeinander, sind einander gleich. (Actio = Reactio)
(349)
4. Newtonsches Axiom
Die Beschleunigung eines Massenpunktes ist der Resultierenden der an ihm angreifenden Kräfte
proportional und gleichgerichtet. Der Proportionalitätsfaktor ist die träge Masse m.
Grundgesetz gilt in einem Inertialsystem.
Einheit der Kraft
Komponentenform
Kartesische Koordinaten
(350)
x
 ΣF   m ⋅ !!
#
#  xi  
#

FR = ∑ Fi =  ΣFyi  =  m ⋅ !!
y = m⋅a
 ΣF   m ⋅ !!

 zi   z 
Beträge
(350a)
ΣFxi = m ⋅ !!
x
ΣFyi = m ⋅ !!
y
ΣFzi = m ⋅ !!
z
Natürliche Koordinaten
Ft = ΣFti = m ⋅ !!
s = m ⋅ at
(350b)
Fn = ΣFni = m
v2
= m ⋅ an
ρ
Gekrümmte Bahn: Fn ≠ 0
Geschwindigkeitsänderung: Ft ≠ 0
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6
Polarkoordinaten
(350c)
(
Fr = ΣFri = m !!r − r ⋅ ϕ! 2
)
!! )
Fϕ = ΣFϕi = m (2r!ϕ! + rϕ
8.2 Prinizp von d’Alembert (1717 – 1783)
Kinetische Gleichgewichtsbedingungen
#
#
#
#
#
(351)
∑ Fi = m ⋅ −a = 0 = ∑ Fi + ∑ FF
( )
(351a)
ΣFix + m( −!!
x) = 0
!!
ΣFiy + m( − y) = 0
Karthesische Koordinaten
ΣFiz + m( −!!
z) = 0
(351b)
(351c)
ΣFit + m( −a t ) = 0
ΣFin + m( −an ) = 0
ΣFir + m( −!!r + r ⋅ ϕ! )
!! − 2 ⋅ r! ⋅ ϕ! )
ΣFiϕ + m( −r ⋅ ϕ
natürliche Koordinaten
Polarkoordinaten
Zentrifugal- und Zentripedalkraft
•
•
#
#
Flieh- oder Zentrifugalkraft (fugere = fliehen) FF = m ⋅ −an
#
#
Normal- oder Zentripedalkraft (pedere = ziehen) Fn = ΣFF
( )
Beide Kräfte sind einander entgegengerichtet, im Betrag und Wirkungslinie aber gleich.
v2
Fn = FF = m ⋅ an = m ⋅
Allgemeine Bahn
(352a)
ρ
(352b)
Fn = FF = m ⋅
v2
= m ⋅ r ⋅ ω2
r
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Kreisbewegung
7
8.3 Arbeit, Leistung, Energie, Wirkungsgrad
Arbeit
Allgemein
(354)
(354a)
#
W = F ⋅ ∆s = Ft ⋅ ∆s = F ⋅ cos α ⋅ ∆s
Einheit: 1Nm = 1J = 1Ws
Kraft auf beliebiger Bahn
(355a)
W=
∫
p1
∫
s1
p0
Kraft-Ort-Kurve bei allgemeiner Bewegung
#
#
F(s) ⋅ dr
Linienintegral der Kraft
(355b)
W=
(355c)
Die Arbeit ist das Wegintegral über die Bahnkomponente der Kraft
(355d)
W=
s0
∫
p1
p0
Ft (s) ⋅ ds
p1
p1
p0
p0
Fx ⋅ dx + ∫ Fy ⋅ dy + ∫ Fz ⋅ dz
Reibarbeit
(356a)
WF = F ⋅ ( s1 − s0 ) = FR ⋅ ( s1 − s0 ) = µ ⋅ Fn ⋅ ( s1 − s0 ) = µ ⋅ m ⋅ g ⋅ ( s1 − s0 )
Sonderfall: s0=0; s1=s
(356b)
WF = F ⋅ s = FR ⋅ s = µ ⋅ Fn ⋅ s = µ ⋅ m ⋅ g ⋅ s
Hubarbeit
(357)
WF = F ⋅ ( z1 − z 0 ) = FG ⋅ h = m ⋅ g ⋅ h
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8
Beschleunigungsarbeit
v 2 v 2
s1
W = m ⋅  1 − 0  = ∫ Ft ⋅ ds
 2

s
0
2 

Sonderfall: s0=0; s1=s; v0=0; v1=v
2
v
W = m⋅
(358b)
2
(358a)
Spannarbeit (Feder)
c = Federkonstante
Ff = c ⋅ s
(359)
(360a) WF =
∫
s1
s0
F(s) ⋅ ds =
∫
s1
s0
c ⋅ s ⋅ ds =
(
c
2
2
⋅ s1 − s0
2
)
Sonderfall: s0=0; s1=s
c
(360b)
WF = ⋅ s2
2
a)
b)
Spannen einer Feder
Kraft-Verschiebungs-Kurve der Feder
Energie
Potentielle Energie der Lage
(361a)
(361b)
(361c)
Eph = G ⋅ z = m ⋅ g ⋅ z
#
p1 #
z
W = ∫ F ⋅ dr = − ∫ G ⋅ dz = G ⋅ z = m ⋅ g ⋅ z = Eph
0
0
#
p1 #
s1
W = ∫ F ⋅ dr = ∫ Ft ⋅ ds = Eph1 − Eph0
p0
s0
Potentielle Energie der Feder
(362a)
Epf =
c ⋅ s2
2
(362b)
W=
∫
s1
s0
Ft ⋅ ds = Epf1 − Epf 0
Kinetische Energie
(363)
Ek = m ⋅
v2
2
Arbeitssatz: Die Differenz der kinetischen Energien ist gleich der von außen am Massenpunkt angreifenden
Kräfte auf dem Wege von s0 nach s1.
∫
s1
(364a)
Ek1 − Ek 0 =
(364b)
Ek1 + Ep1 = Ek 0 + Ep0 = const
s0
Ft ⋅ ds = W01
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Energieerhaltungssatz
9
Leistung
Leistung ist die Ableitung der Arbeit nach der Zeit.
(365a)
P=
W1 − W0 ∆W
=
t1 − t 0
∆t
Mittlere Leistung
(365b)
P=
dW
für ∆t → 0
dt
Leistung momentan
#
Die Leistung einer Kraft F ist das Produkt aus seiner Bahnkomponente (Ft) und deren Bahngeschwindigkeit v.
(365c)
P = Ft ⋅ v
Einheiten
(366a)
1 Nm
= 1 sJ = 1W
s
(366b)
1kWh = 1000
Nm
s
Leistung
⋅ 3600s = 3,6 ⋅ 10 Nm Arbeitsverbrauch
6
Diagramme
Arbeit – Zeit – Diagramm
Steigung ist ein Maß der Leistung
Leistung – Zeit – Diagramm
(367a)
W = ∫ P ⋅ dt
(367b)
W1 − W0 =
∫
t1
t0
P ⋅ dt
Das Zeitintegral der Leistung zwischen t0 und t1, entspricht der in diesem Zeitintervall verrichteten Arbeit.
Wirkungsgrad
(368a)
η=
Wn Wz − Wv
W
=
= 1− v
Wz
Wz
Wz
(368b)
η=
Pn Pz − Pv
P
=
= 1− v
Pz
Pz
Pz
(368c)
ηges =
Pn
= η1 ⋅ η2 ⋅ η3
Pz
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10
9. Drehung eines Körpers um eine feste Achse
9.1 Grundgesetz für die Drehbewegung, Massenträgheitsmomente
Grundgesetz der Drehung um eine feste Achse
(385)
!! = Jz ⋅ α
Mz = Jz ⋅ ϕ
Massenträgheitsmomente einfacher Körper
Massenträgheitsmoment um die
Schwerpunktachse:
Jz = ∫ r 2dm
(386)
(387)
Jz = m ⋅
ra + ri
2
(388)
Jz = m ⋅
ra
2
2
2
Hohlzylinder
2
Vollzylinder
Massenträgheitsmomente um parallele Drehachse
(Steiner’scher Satz)
(389)
J0 = Jz = Js + rs ⋅ m
2
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11
9.2 Arbeit, Energie, Leistung und Impulsmoment bei der Drehbewegung
Arbeit
Allgemein
(392a)
W=
∫
ϕ1
ϕ0
M(ϕ) ⋅dϕ
Fläche unter der Kurve entspricht der Arbeit.
(392b)
W=
∫
ϕ1
ϕ0
ϕ1
M ⋅ dϕ = M∫ dϕ =M (ϕ1 − ϕ0 )
ϕ0
Tangentialktaft in P erzeugt Arbeit.
Kinetische Energie
Energiegehalt des Masseteilchens ∆mi
ω2
⋅ Jz
(393)
Ek =
2
Arbeitssatz
(394a)
W=
ω1
ω
− Jz 0
∫ϕ0 M(ϕ)dϕ = J%z&'
2 %&2
'
2
ϕ1
2
Ek1
(394b)
W=
∫
ϕ1
ϕ0
Ek 0
M(ϕ)dϕ = Ek1 − Ek0
Reduzierte Massenträgheitsmomente
J1red = J1 + J2
(395)
J1red = J1 + J2
J1red = J1 + J2
(396)
M1 = J1red ⋅ α1
(398)
Jred = m
ω2
+ ... + Jn
ω
n2
2
2
1
n
1
2
i1
ωn
2
2
1
+ ... + Jn
+ J3
ω
nn
2
v2
 v 
= m

2
ω
 2πn 
2
2
1
n
1
i1 ⋅ i2
2
2
1
2
+ ... + Jn
1
i1 ⋅ i2 ⋅ ... ⋅ in −1
2
2
2
2
Leistung
(399a)
(399b)
dW
= Ft ⋅ v = Ft ⋅ r ⋅ ω = M ⋅ ω
dt
P = M ⋅ 2πn
P=
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12
10. Mathematische Grundlagen
10.1 Geometrie
Umrechnung: Gradmaß – Bogenmaß
1
α
b
α=
180
⋅b
π
b=
π
⋅α
180
1
Rechtwinkliges Dreieck
G
H
A
cos α =
H
G sin α
1
tan α = =
=
A cosα cot α
sin α =
G
A
α
H
cot α =
A cos α
1
=
=
G sin α tan α
Grundformeln:
cos x = sin ( x + π2 ) ;
sin x = cos ( x − π2 )
cos2 x + sin2 x = 1
H2 = A 2 + G2
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13
Anhang und Tabellen
Vorsatzzeichen
1
d
c
m
µ
n
=
=
=
=
=
12
p
f
a
= Piko
= Femto
= Atto
da
h
k
M
G
=
=
=
=
=
Deka
Hekto
Kilo
Mega
Giga
=
=
=
=
=
10
2
10
3
10
6
10
9
10
T
P
E
=
=
=
Terra
Peta
Exa
=
=
=
10
15
10
18
10
Dezi
Zenti
Milli
Mikro
Nano
=
=
=
=
=
-1
10
-2
10
-3
10
-6
10
-9
10
-12
= 10
-15
= 10
-18
= 10
Griechische Buchstaben
α
Α
Alpha
η
Eta
ν
Ν
Ny
τ
Τ
Tau
β
Β
Beta
ϑ,θ Θ
Theta
ξ
Ξ
Xi
υ
ϒ
Ypsilon
γ
Γ
Gamma
ι
Ι
Jota
ο
Ο
Omikron
ϕ,φ Φ
Phi
δ
∆
Delta
κ
Κ
Kappa
π
Π
Pi
χ
Χ
Chi
ε,∈ Ε
Epsilon
λ
Λ
Lambda
ρ
Ρ
Roh
ψ
Ψ
Psi
ζ
Zeta
µ
Μ
My
σ
Σ
Sigma
ω
Ω
Omega
Ζ
Η
Naturkonstanten
π = 3,1415927... Kreiskonstante
g = 9,80665 s²m
e = 2,7182818...
Eulersche Zahl
Fallbeschleunigung
Umrechnungen
Geschwindigkeit:
1 ms = 3,6 km
h
Steigung:
α = arctan(Steigung)
(Steigung in % Angeben)
Gegenüberstellung der Größen und Gleichungen für die geradlinigeBewegung und die Drehbewegung
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