Entfaltungs-Methoden in der Datenanalyse
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UNIVERSITÄT DORTMUND – EXPERIMENTELLE PHYSIK Vb Entfaltungs-Methoden in der Datenanalyse Matthias Bartelt Universität Dortmund [email protected] UNIVERSITÄT DORTMUND – EXPERIMENTELLE PHYSIK Vb Übersicht • Motivation • Mathematisches Problem der Entfaltung • Regularisierte Entfaltung • Iterative Methode: Bayes´sche Entfaltung • Stand der Dinge • Ausblick Matthias Bartelt Astroteilchenphysik-Schule Erlangen 2005 1 UNIVERSITÄT DORTMUND – EXPERIMENTELLE PHYSIK Vb Motivation • Vergleich experimenteller Daten mit theoretischen Vorhersagen • Abweichungen in der Verteilung der Messdaten aufgrund begrenzte Akzeptanz und Messgenauigkeit des Detektors – Unzulänglichkeiten des Detektors in die Vorhersage einbeziehen Messdaten „entfalten“ • Vergleich von Messdaten verschiedener Experimente Matthias Bartelt Astroteilchenphysik-Schule Erlangen 2005 2 UNIVERSITÄT DORTMUND – EXPERIMENTELLE PHYSIK Vb Das mathematische Problem • Gemessene Verteilung fMessung f Messung (x ) = ∫ R( x, y ) f Wahr ( y ) dy • fWahr parametrisierbar ⇒ Standard Methoden (z.B. Maximum Likelihood) • Ansonsten ⇒ Histogramm mit n Bins: n ν i = ∑ j =1 Rij µ j i = 1K n Matthias Bartelt Astroteilchenphysik-Schule Erlangen 2005 3 UNIVERSITÄT DORTMUND – EXPERIMENTELLE PHYSIK Vb Response-Funktion R R( x, y ) • R hängt ausschließlich vom der verwendeten Messapparatur ab • R ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit: Rij = P (beobachtet in i wahrer Wert in j ) ∑ ∑ ( ) R = P j beobachtet wahrer Wer t in ij i =1 n n i =1 Rij = ε j Matthias Bartelt Astroteilchenphysik-Schule Erlangen 2005 4 UNIVERSITÄT DORTMUND – EXPERIMENTELLE PHYSIK Vb Ein Beispiel Wahre Daten µ Matthias Bartelt Effizienz ε Astroteilchenphysik-Schule Erlangen 2005 Messwerte x – Erwartung ν … 5 UNIVERSITÄT DORTMUND – EXPERIMENTELLE PHYSIK Vb Entfaltung • Entfalten durch Invertierung von R n n −1 −1 ˆ µi = ∑ j =1 R ij ν j ⇒ µi = ∑ j =1 R ij x j Wahre Daten µ Matthias Bartelt Messwerte x – Erwartung ν … Astroteilchenphysik-Schule Erlangen 2005 Erwartungswerte µ µ̂ für µ 6 UNIVERSITÄT DORTMUND – EXPERIMENTELLE PHYSIK Vb Entfaltung • Starke Schwankungen in den Erwartungswerten • Einfache Korrekturfaktoren Ci (üblicherweise aus MC) liefern Erwartungswerte mit geringeren Schwankungen Ci = µi , MC ν i , MC µˆ i = Ci ⋅ xi Matthias Bartelt Astroteilchenphysik-Schule Erlangen 2005 7 UNIVERSITÄT DORTMUND – EXPERIMENTELLE PHYSIK Vb Regularisierte Entfaltung • Wirkungsfunktional F ((µµ)) aufstellen, z.B. ( ν −∑ R µ ) F (µ ) = ∑ 2 i i i ij σ (µ ) j • Minimierung von F ergibt mathematisch die Lösung • Auch hier treten starke Oszillationen auf Matthias Bartelt Astroteilchenphysik-Schule Erlangen 2005 8 UNIVERSITÄT DORTMUND – EXPERIMENTELLE PHYSIK Vb Regularisierte Entfaltung • Unterdrückung der Oszillationen durch Nebenbedingungen: RegularisierungsFunktion S (µ ) und -Parameter α • Neues Funktional Φ bilden: Φ (µ ) = α ⋅ F (µ ) + S (µ ) • Minimierung von Φ führt dann auf die Lösung Matthias Bartelt Astroteilchenphysik-Schule Erlangen 2005 9 UNIVERSITÄT DORTMUND – EXPERIMENTELLE PHYSIK Vb Satz von Bayes P(A B ) = P (B A)⋅ P( A) P (B ) • P (A B ) = Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis B unter der Bedingung, dass A auftritt • Für abzählbar viele Ereignisse gilt P(B ) = ∑ j P (B A j )⋅ P (A j ) d.h. P ( Ai B ) = P (B Ai )⋅ P( Ai ) ∑ P(B A )⋅ P(A ) j Matthias Bartelt j Astroteilchenphysik-Schule Erlangen 2005 j 10 UNIVERSITÄT DORTMUND – EXPERIMENTELLE PHYSIK Vb Bayes´sche Entfaltung 0 p • Startbedingung i = 1 N • Erwartungswerte µ̂i bestimmen N m 1 µˆ i = ε ∑ j =1 P(wahrer Wert in i beobachtet in j ) x j i = εi 1 ∑ N j =1 Rij pim −1 ∑ k R jk p m −1 k xk • Neue Wahrscheinlichkeiten berechnen m m m ˆ ˆ pi = µi ∑i µi Matthias Bartelt Astroteilchenphysik-Schule Erlangen 2005 11 UNIVERSITÄT DORTMUND – EXPERIMENTELLE PHYSIK Vb Bisherige Entfaltung: RUN • Regularisierte Entfaltung • Begrenzte Anzahl (3) an Parameter • Fortran-Code, der rechnerspezifische Funktionen verwendet PROGRAM UNFOLDMS ******************************************************************* * * * Main program for run-package of V.Blobel * * run only on alphas!! * • Optimierung läuft halbautomatisch Matthias Bartelt Astroteilchenphysik-Schule Erlangen 2005 12 UNIVERSITÄT DORTMUND – EXPERIMENTELLE PHYSIK Vb Ausblick / Zusammenfassung • Neues Entfaltungsprogramm in C++ • Beliebige Anzahl an Parametern • Implementierung verschiedener Methoden der Entfaltung – Regularisierte Entfaltung – Bayes´sche Entfaltung – Kombination aus Regularisierung und Bayes • Automatische Optimierung Matthias Bartelt Astroteilchenphysik-Schule Erlangen 2005 13