Algebraische Theorie Linearer

Algebraische Theorie Linearer
Differentialgleichungssysteme
Werner M. Seiler
Institut für Mathematik
Werner M. Seiler (Kassel)
Algebraische Theorie Linearer DGS
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Worum geht’s?
Kann man (manche) Fragen, die Analytiker zu Systemen linearer
Differentialgleichungen haben, mit algebraischen Methoden beantworten
(oder zumindest so tun als ob)?
• Formale Analyse allgemeiner Systeme linearer Differentialgleichungen
(d.h. inklusive unter- und überbestimmter Systeme)
lineare (partielle) Algebrodifferentialgleichungen“
”
• Heute zwei Themen:
• Konstruktion formal korrekt gestellter Anfangswertprobleme
• Indexkonzepte auch für partielle Differentialgleichungen
• Wesentliches Hilfsmittel
• Gröbner-Basen
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Worum geht’s?
Kann man (manche) Fragen, die Analytiker zu Systemen linearer
Differentialgleichungen haben, mit algebraischen Methoden beantworten
(oder zumindest so tun als ob)?
W.M. Seiler, E. Zerz: Algebraic Theory of Linear Systems: A Survey.
In: Surveys in Differential-Algebraic Equations II, A. Ilchmann, T. Reis
(Hrsg.), Differential-Algebraic Equations Forum, Springer-Verlag 2015,
S. 287–333
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(Homoge) Lineare Gleichungssysteme
a11 x1 + · · · + a1n xn
..
.
am1 x1 + · · · + amn xn
=
=
0
..
.
0
(1)
• Unterliegende algebraische Strukturen:
• Lösungsraum Untervektorraum des n
• Betrachte alle linearen Gleichungen, die von Lösungen von (1) erfüllt
werden
Untervektorraum U des Dualraums
X
n
m
X
αi =
aij e∗j
U = hα1 , . . . , αm iR =
ci αi | ci ∈
R
R
j=1
i=1
• Rechnerische Behandlung mit Gauß-Algorithmus
• bestimmt gutes“ Erzeugendensystem von U
”
• erlaubt qualitative Aussagen wie Dimension des Lösungsraums ohne
dessen explizite Berechnung
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Polynomiale Gleichungssysteme
k
f1 (x1 , . . . , xn )
..
.
fm (x1 . . . , xn )
=
0
..
.
0
=
(2)
mit f1 , . . . , fm ∈ P = [x1 , . . . , xn ]
• Unterliegende algebraische (und geometrische) Strukturen:
• Lösungsmenge
Varietät V ⊆ n
• Menge aller Polynome, die auf V verschwinden
Ideal I in P
k
I = hf1 , . . . , fm iP =
X
m
hi fi | hi ∈ P
i=1
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Polynomiale Gleichungssysteme
k
f1 (x1 , . . . , xn )
..
.
fm (x1 . . . , xn )
=
=
0
..
.
0
(2)
mit f1 , . . . , fm ∈ P = [x1 , . . . , xn ]
• Rechnerische Behandlung mit Gröbner-Basen
• erlauben qualitative Aussagen wie Dimension der Varietät
• falls V endlich, kann V explizit berechnet werden
• verallgemeinern Konzept einer Dreiecksform
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Lineare Differentialgleichungssysteme
• Einfaches Beispiel (überbestimmtes System)
uxx − au − y = 0 ,
uxy = 0
(a ∈
R)
• Offensichtliche Fragen:
• System lösbar?
• Dimension des Lösungsraums?
• Anfangsbedingungen“ für eindeutige Lösung
”
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Lineare Differentialgleichungssysteme
• Einfaches Beispiel (überbestimmtes System)
uxx − au − y = 0 ,
uxy = 0
(a ∈
R)
• Problem: Existenz von Integrabilitätsbedingungen
∂x (uxy ) − ∂y (uxx − au − y ) = auy + 1 = 0
• a=0
• a=
6 0
Gleichung 1 = 0, also System unlösbar
zusätzliche Gleichung erster Ordnung uy + 1/a = 0
Stört Konstruktion von Potenzreihenlösungen:
• Im Ausgangssystem nicht erkennbar, daß es Bedingung an
Koeffizienten erster Ordnung gibt
• Bedingung wird erst sichtbar, wenn in dritter Ordnung gearbeitet wird
• Wann sind alle versteckten Bedingungen bekannt?
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Lineare Differentialgleichungssysteme
Algebraische Formulierung
Schreibe homogenen Anteil als lineare Differentialoperatoren
L1 u = (∂x2 − a)u = y ,
L2 u = ∂x ∂y u = 0
L1 , L2 Elemente eines (evtl. nicht-kommutativen) Polynomrings
D = [∂x , ∂y ] mit = für konstante Koeffizienten und (z.B.)
= (x, y ) für variable Koeffizienten
k
k R
k R
k R
Hier: ausschließlich = — Methoden können aber unverändert für beliebige
Funktionenkörper angewandt werden
Analog zu den anderen Typen von Gleichungen:
• betrachte Ideal I = hL1 , L2 iD ⊆ D
(Untermodul U ⊆ Dm im Fall mehrerer unbekannter Funktionen)
• suche gutes“ Erzeugendensystem
”
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Gröbner-Basen
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Was ist gut“?
”
gegeben polynomiales Ideal I = hf1 , . . . , fm i ⊆ P,
finde besseres“ Erzeugendensystem von I:
”
• Problem:
• entscheidet Idealmitgliedschaft: liegt weiteres Polynom h ∈ P in I?
• erlaubt effektive Arithmetik in Faktorring P/I
Pm
• liefert Syzygien: h1 , . . . , hm ∈ P so daß
i=1 hi fi = 0
(erlaubt Lösen von LGS über dem Ring P)
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Was ist gut“?
”
gegeben polynomiales Ideal I = hf1 , . . . , fm i ⊆ P,
finde besseres“ Erzeugendensystem von I:
”
• Problem:
• entscheidet Idealmitgliedschaft: liegt weiteres Polynom h ∈ P in I?
• erlaubt effektive Arithmetik in Faktorring P/I
Pm
• liefert Syzygien: h1 , . . . , hm ∈ P so daß
i=1 hi fi = 0
(erlaubt Lösen von LGS über dem Ring P)
k
• Erinnerung: Polynomdivision in [x]
• Zu gegebenen Polynomen f , g ∈ [x] \ {0} existieren eindeutige
Polynome q, r ∈ [x] so daß f = qg + r und deg r < deg g
• Für Berechnung müssen Terme in f und g nach Grad geordnet seien!
k
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k
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Was ist gut“?
”
gegeben polynomiales Ideal I = hf1 , . . . , fm i ⊆ P,
finde besseres“ Erzeugendensystem von I:
”
• Problem:
• entscheidet Idealmitgliedschaft: liegt weiteres Polynom h ∈ P in I?
• erlaubt effektive Arithmetik in Faktorring P/I
Pm
• liefert Syzygien: h1 , . . . , hm ∈ P so daß
i=1 hi fi = 0
(erlaubt Lösen von LGS über dem Ring P)
k
• Erinnerung: Polynomdivision in [x]
• Zu gegebenen Polynomen f , g ∈ [x] \ {0} existieren eindeutige
Polynome q, r ∈ [x] so daß f = qg + r und deg r < deg g
• Für Berechnung müssen Terme in f und g nach Grad geordnet seien!
k
• Idee:
k
benutze multivariate Verallgemeinerung
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Termordnungen
Definition
Termordnung
(i) ∀ r , s, t ∈
(ii) ∀ t ∈
Totalordnung ≺ auf Menge
T : s ≺ t ⇒ rs ≺ rt
T der Terme x µ mit
T : 1t
≺ Totalgradordnung
(iii) ∀ s, t ∈
zusätzlich
T : deg s < deg t ⇒ s ≺ t
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Termordnungen
Definition
Termordnung
(i) ∀ r , s, t ∈
(ii) ∀ t ∈
Totalordnung ≺ auf Menge
T : s ≺ t ⇒ rs ≺ rt
T der Terme x µ mit
T : 1t
≺ Totalgradordnung
(iii) ∀ s, t ∈
zusätzlich
T : deg s < deg t ⇒ s ≺ t
Beispiele
• n=1
ordne nach Grad (einzige Möglichkeit)
x µ ≺lex x ν
verschiedener Eintrag in µ − ν negativ
• Lexikographische Ordnung:
• Lexikographische Totalgradordnung:
deg x µ
<
deg x ν
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oder
(deg x µ
=
deg x ν
⇐⇒
erster von Null
x µ ≺deglex x ν ⇐⇒
und x µ ≺lex x ν )
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Termordnungen
Definition
Termordnung
(i) ∀ r , s, t ∈
(ii) ∀ t ∈
Totalordnung ≺ auf Menge
T : s ≺ t ⇒ rs ≺ rt
T der Terme x µ mit
T : 1t
≺ Totalgradordnung
(iii) ∀ s, t ∈
zusätzlich
T : deg s < deg t ⇒ s ≺ t
Definition
P
Gegeben Polynom 0 6= f = t∈T ct t mit ct ∈
• Leitterm
lt f = max≺ {t ∈
• Leitkoeffizient
T | ct 6= 0}
k und Termordnung ≺
lc f = clt f
Gegeben Ideal I ⊆ P
• Leitideal
lt I = hlt f | f ∈ I \ {0}i
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Multivariate Division mit Rest
Satz
Zu gegebenen Polynomen f , g1 , . . . , gm ∈ P \ {0} und einer beliebigen
Termordnung
≺ existieren immer Polynome q1 , . . . , qm , r ∈ P so daß
Pm
f = j=1 qj gj + r mit lt (qj gj ) lt f und lt r lt f .
Achtung Fallen:
• Weder r noch q1 , . . . , qm eindeutig bestimmt:
• hängen von Details der Berechnung haben
• Rest r kann nicht als Normalform verwendet werden
• I = hg1 , . . . , gm i
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6⇒
lt I = hlt g1 , . . . , lt gm i
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Gröbner-Basen
Definition
Gröbner-Basis von I für Termordnung ≺
endliche Menge G ⊂ I mit lt I = hlt g | g ∈ Gi
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Gröbner-Basen
Definition
Gröbner-Basis von I für Termordnung ≺
endliche Menge G ⊂ I mit lt I = hlt g | g ∈ Gi
Theorem
Für ein Ideal I und eine Termordnung ≺ sind äquivalent
• G ist eine Gröbner-Basis von I für ≺.
• Der Rest bei einer Division durch G ist eindeutig.
• Jedes Idealelement f ∈ I liefert bei Division durch G den Rest h = 0.
• Jedes Idealelement f ∈ I besitzt Standarddarstellung: f =
P
g ∈G
hg g
mit lt (hg g ) lt f .
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Gröbner-Basen
Definition
Gröbner-Basis von I für Termordnung ≺
endliche Menge G ⊂ I mit lt I = hlt g | g ∈ Gi
• Gröbner-Basis existiert für jede Termordnung
• Gröbner-Basis berechenbar mit Buchberger-Algorithmus
• reduziert für lineare Polynome zu Gauß-Algorithmus
• reduziert für univariate Polynome zu Euklidischem Algorithmus
• Komplexität potentiell sehr hoch (doppelt exponentiell!)
• Reduzierte Gröbner-Basen eindeutig
• Fundamentales Werkzeug für alle Arten polynomialer Berechnungen
in Kommutativer Algebra und Algebraischer Geometrie
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Korrekt Gestellte Probleme
Definition“ (Hadamard)
”
Differentialgleichungsproblem korrekt gestellt
(i) Lösung existiert für beliebige Daten
(ii) Lösung eindeutig
(iii) Lösung hängt stetig von Daten ab
• Keine strenge Definition
erfordert Angabe von Funktionenräume und Topologien
• (iii) schwierigster Punkt
• Für elliptische Systeme Anfangswertprobleme nicht korrekt gestellt
• Für hyperbolische Systeme Randwertprobleme nicht korrekt gestellt
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Formal Korrekt Gestellte Probleme
Definition
Problem formal korrekt gestellt
eindeutige formale
Potenzreihenlösung existiert für beliebige formale Potenzreihen als Daten
Ziel: algorithmische Konstruktion formal korrekt gestellter Probleme
Algebraische Formulierung:
•
k
k
Polynomring“ D = [D] = [∂1 , . . . , ∂n ]
”
k
( eventuell Funktionenkörper)
D
N
Terme“
= {∂ µ | µ ∈ n0 }
”
• Lineares Differentialgleichungssystem für eine unbekannte Funktion
Ideal I ⊆ D
•
• Termordnung
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disjunkte Zerlegung:
D = lt I ] Π(I)
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Formal Korrekt Gestellte Probleme
Definition
Problem formal korrekt gestellt
eindeutige formale
Potenzreihenlösung existiert für beliebige formale Potenzreihen als Daten
Ziel: algorithmische Konstruktion formal korrekt gestellter Probleme
Interpretation:
• Ableitungen
! Taylor-Koeffizienten
• Termordnung bestimmt für jede (prolongierte) Gleichung, nach
welcher Ableitung sie aufgelöst wird
• ∂ µ Hauptableitung ⇔ ∂ µ ∈ lt I,
sonst parametrische Ableitung
• Divisionsalgorithmus ermöglicht, jede Hauptableitung als Funktion der
parametrischen Ableitungen auszudrücken
• Daten müssen parametrische Koeffizienten eindeutig bestimmen
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Komplementäre Zerlegungen
Definition
Komplementäre Zerlegung von I
hΠ(I)ik =
M
k[Dt ] · t
t∈T
T ⊂
D endlich, Dt ⊆ D multiplikative Ableitungen zu t
• gehen zurück auf Riquier (1910) und Janet (1920)
• existieren immer, sind aber nicht eindeutig
• algorithmisch berechenbar
involutive Basen
• Rees-Zerlegung
alle Mengen Dt von der Form {∂1 , ∂2 , . . . , ∂`t }
(`t Klasse von t)
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Zugehöriges Anfangswertproblem
• Wähle Entwicklungspunkt x̂ = (x̂1 , . . . , x̂n )
• Betrachte jeden einzelnen Kegel (t, Dt ) = ∂ µ , {∂i1 , . . . , ∂ik }) in
beliebiger komplementärer Zerlegung von Π(I):
• It = {i1 , . . . , ik }, I¯t = {1, . . . , n} \ It
• Koordinatenraum Ht = {∀ i ∈ I¯t : xi = xˆi }
• Anfangsbedingung mit beliebiger Funktion gt
∂ µ u|Ht = gt (xi | i ∈ It )
Satz
Konstruktion liefert formal korrekt gestelltes Anfangswertproblem.
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Ein Einfaches Beispiel
I = h∂32 + · · · , ∂22 ∂3 + · · · , ∂1 ∂2 ∂3 + · · · i
(Gröbner-Basis!)
∂3
∂32
∂2
∂1 ∂2 ∂3
∂22 ∂3
∂2 ∂3
∂3
∂1
1
u(x1 , x2 , x̂3 ) = g1 (x1 , x2 ), ∂3 u(x1 , x̂2 , x̂3 ) = g2 (x1 ), ∂2 ∂3 u(x̂1 , x̂2 , x̂3 ) = g3
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Bemerkungen
• Satz von Riquier:
alle Anfangsdaten gt analytisch =⇒
eindeutige formale Potenzreihenlösung analytisch
(starke Verallgemeinerung des Satzes von Cauchy-Kovalevskaya)
• “Klassisches” Anfangswertproblem nur für Rees-Zerlegung
• Verallgemeinerung des Eindeutigkeitssatzes von Holmgren für
C 1 -Lösungen für allgemeine lineare Systeme möglich
• Für monomiale Systeme kann Lösung explizit in Integralform
angegeben werden
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Der Index
• Grundlegender Begriff in Theorie und Numerik von (gewöhnlichen)
Algebrodifferentialgleichungen
• Maß für Schwierigkeiten“, die bei der numerischen Integration zu
”
erwarten sind
• Viele ähnliche, aber inäquivalente Definitionen
• Differentiationsindizes:
Anzahl der benötigten Prolongationen bis
System gewisse Eigenschaft zeigt
• Störungsindex:
höchste Ordnung der Ableitungen der Störung, die in
Abschätzungen der Differenz zwischen Lösungen des
Ausgangssystems und einer gestörten Form auftreten
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Erweiterung auf partielle Differentialgleichungen
• Alle numerischen Zugänge basieren auf Reduktion auf gewöhnlichen
Fall: Integraltransformationen, Semidiskretisierungen etc
Resultate abhängig von Reduktionsmethode, nicht intrinsisch für
Ausgangssystem
• Le Vey (1994), Tuomela (1993) verknüpften Indexbegriffe mit
formaler Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen
WMS (1999) intrinsische Erweiterung auf beliebige nichtlineare
Systeme partieller Differentialgleichungen
• Hier:
einfache algorithmische Realisierung dieser Ideen für lineare
Systeme via Gröbner-Basen
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Gröbner-Indizes
• Homogenes System Lu = 0
führe für jede Gleichung neue Hilfsunbekannte δi ein
inhomogenes System Lu = δ
• Natürliche Termordnung:
TOP-Lift einer Totalgradordnung
berechne Gröbner-Basis des Zeilenmoduls von L
L̃u = F δ ,
0 = Gδ
• F führt Buch“ über zur Konstruktion von L̃ benötigte Operationen
”
• G liefert Erzeugendensystem des Syzygienmoduls von L
(G wichtig für Existenz- und Regularitätstheorie,
beschreibt Drift in Numerik)
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Gröbner-Indizes
• Homogenes System Lu = 0
führe für jede Gleichung neue Hilfsunbekannte δi ein
inhomogenes System Lu = δ
• Natürliche Termordnung:
TOP-Lift einer Totalgradordnung
berechne Gröbner-Basis des Zeilenmoduls von L
L̃u = F δ ,
0 = Gδ
Definition
Erster Gröbner-Index γ1
Zweiter Gröbner-Index γ2
deg F
deg G
Achtung: für partielle Differentialgleichungen hängen Werte von
gewählter Termordnung ab
Interpretation nicht so offensichtlich
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Störungsindex – ODEs
Definition
v(x) Lösung von Lu = 0, v̂(x) von Lu = δ, beide definiert auf [0, M]
System hat Störungsindex ν entlang v(x)
ν kleinste Zahl, für die für
jedes x ∈ [0, M] Abschätzung existiert der Form
kv(x) − v̂(x)k ≤ C kv(0) − v̂(0)k + kδkν−1
(wann immer rechte Seite hinreichend klein)
kf kk
Sobolev-Norm
Pk
i=0 kf
(i) k
zu unterliegender Norm
• Störungsindex zählt Ordnung der Ableitungen der Störung in
Abschätzung
• verschiedene Werte für verschiedene Lösungen v(x) möglich
• ν>1
numerische Integration problematisch
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Störungsindex – ODEs
Satz
Für jede Lösung v(x) von Lu = 0 gilt:
ν ≤ γ1 + 1
Beweis.
• Schreibe um als System erster Ordnung
• Schreibe um als Integralgleichung
• Wende Gronwall-Lemma an
• Integration erschlägt“ eine Ableitung
”
• “+1” wegen eventuell vorhandener algebraische Gleichungen, die
einmal abgeleitet werden müssen
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Störungsindex – PDEs
• Ω⊆
Rn Gebiet (mit Ω̄ kompakt)
Ω0 ⊂ Ω Gebiet (niedrigerer Dimension)
Anfangs/Randbedingungen: (K u)|Ω0 = 0
mit K linearen Differentialoperatoren vom Grad k
• k · k`
Sobolev-Norm über Ω
k · k0`
Sobolev-Norm über Ω0
Definition
v(x) Lösung von Lu = 0, v̂(x) von Lu = δ, beide definiert auf Ω
System hat Störungsindex ν entlang v(x)
ν kleinste Zahl, für die für
alle x ∈ Ω Abschätzung existiert der Form
kv(x) − v̂(x)k ≤ C kv|Ω0 − v̂|Ω0 k0k + kδkν−1
(wann immer rechte Seite hinreichend klein)
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Störungsindex – PDEs
• Keine allgemeine Behandlung sinnvoll/möglich
• Strukturelle Annahmen für eine behandelbare Situation:
• System mit evolutionärem Charakter
Variablen x = (y, t)
• Anfangsbedingungen gegeben auf (Teilmenge von) t = 0
• Hyperebene t = 0 nicht charakteristisch
• System nicht unterbestimmt
• Wähle Termordnung, die t Vorrang über den anderen Variablen gibt;
schreibe wieder Gröbner-Basis L̃u = F δ als System erster Ordnung
• (Eventuell nur nach Prolongation der algebraischen Gleichungen)
Teilsystem ∂t u − Mu = F̂ δ
wobei Operator M nur von ∂y
abhängt
unterliegende Gleichung in Cauchy-Kovalevskaya-Form
• M erzeuge stark stetige Halbgruppe
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Störungsindex – PDEs
Satz
Für jede Lösung v(x) von Lu = 0 gilt:
ν ≤ γ1 + 2
Beweis.
• Analog zum ODE-Fall (mit Halbgruppentheorie)
• “+2”, da Integration nicht mehr unbedingt eine Differentiation
erschlägt“
”
• Wieder “+1”, falls System keine algebraischen Gleichungen
enthält
(Korrektheit des Beweises nur für Pommaret-Basen garantiert!)
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