Computationale Logik, SS 2004: Musterlösung zum 11. Übungsblatt

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Computationale Logik, SS 2004:
Musterlösung zum 11. Übungsblatt
Prof. Dr. Gert Smolka, Marco Kuhlmann (MSc), Matthias Horbach
Aufgabe 11.1
a) Sei σ0 = λ X ∈ Loc. 0.
b) BF
def
=
F cx = let s = Cc(σ0 [X0 := x]) in if s = ⊥ then ⊥ else sX0
{ F c | c ∈ Com }
c) M prüfbar: ∃f ∈ BF : ∀x ∈ X : x ∈ M ⇐⇒ f (#x) ≠ ⊥.
M entscheidbar: ∃f ∈ BF : ∀x ∈ X : f (#x) ∈ {0, 1} ∧ (x ∈ M ⇐⇒ f (#x) = 1)
d) Nein. Machen Sie sich zunächst klar, dass sich jede solche Menge gödelisieren
lässt (warum?). Schauen Sie dann in die Lösung zu Aufgabe 10.2 (d).
e) C = { c ∈ Com | F c(#c) ≠ ⊥ }
f) (Com, #, { c ∈ Com | F c ∈ Z → Z })
g) X0 := 0 ; c ; if X0 = 7 then skip else loop
h) ∀c ∈ Com : ∀x ∈ Z : F cu (#(#c, x)) = F cx
i) Ein Kommando c mit der gesuchten Eigenschaft ist ein Prüfer für Z − M. Da M
entscheidbar ist genau dann, wenn M und Z − M prüfbar sind, muss es ein
solches Kommando geben.
j) Da das Komplement einer prüfbaren Menge im Allgemeinen nicht prüfbar ist,
gibt es das gesuchte Kommando nicht für jede prüfbare Menge M.
k) ¬∃x ∈ X : ∀y ∈ X : (f xy ⇐⇒ ¬(f yy))
Aufgabe 11.2 Wir beweisen alle Aussagen mit Hilfe des Satzes von Rice. In allen
Beispielen sei f = λ x ∈ Z. 7.
a) F = { f ∈ BF | ∀x ∈ Z : f x = ⊥ }
b) F = { f ∈ BF | ∃x ∈ Z : f x = ⊥ }
c) F = { f ∈ BF | f 0 ≠ 7 }
d) F = { f ∈ BF | ∀x ∈ Z : f x ∈ {1, ⊥} }
2004–07–13
17:55
Aufgabe 11.3 Sei c0 ein universelles Kommando. Dann gilt für alle c ∈ Com:
F c(#c) = ⊥ ⇐⇒ F c0 (#(#c, #c)) = ⊥ .
Also ist λ c. #(#c, #c) eine Reduktion { c | F c(#c) = ⊥ } → { x ∈ Z | F c0 x = ⊥ }. Da
das Halteproblem { c | F c(#c) = ⊥ } nicht prüfbar ist, ist auch { x ∈ Z | F c0 x = ⊥ }
nicht prüfbar.
Aufgabe 11.4
a) ∀x.¬(f x) = ¬(∃f )
∀x.¬(f x) = ¬(¬(∀x.¬(f x)))
BAx
= ¬(∃f )
(iii)
c) ∃f = ∃f ∨ f x
∃f = ¬(∀x.¬(f x))
(iii)
= ¬((∀x.¬(f x)) ∧ ¬(f x))
(ii)
= ¬(∀x.¬(f x)) ∨ ¬(¬(f x))
BAx
= ∃f ∨ f x
BAx und (iii)
b) (∃x.x = x 0 ) = 1
(∃x.x = x 0 ) = (∃x.x = x 0 ) ∨ (x 0 = x 0 )
(c)
= (∃x.x = x 0 ) ∨ 1
(i)
= 1
BAx
Aufgabe 11.5 (Challenge) Die Aufgabe wurde von David Steurer gelöst. Sie finden
die Lösung jetzt im Skript.
2004–07–13
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