ERGEBNISSE TECHNISCHE MECHANIK III-IV

E RGEBNISSE
T ECHNISCHE M ECHANIK III-IV
a)
Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern
SS 2012, 24.07.2012
1. Aufgabe:
(TM III:
MV, BI)
b)
√
1
ωBE = − ω0 , vE = 2lω0
3
c)
Eine Walze ist im Punkt A drehbar gelagert und dreht sich mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ω0 . Im Punkt B ist eine Stange gelenkig befestigt, die mit einem Kulissenstein
im Punkt E geführt wird.
Eine Winkelstange ist im Punkt D gelenkig mit der Stange BE verbunden und wird im Punkt C
mit einem Kulissenstein horizontal geführt.
a) Ermitteln Sie graphisch die Momentanpole der Stangen BE und CD.
Hinweis: Bearbeiten Sie diesen Aufgabenteil auf dem Aufgabenblatt. Gegebene Punkte
und Momentanpole liegen auf Kreuzungspunkten des Gitters.
b) Berechnen Sie den Betrag der Winkelgeschwindigkeit ωBE der Stange BE und den Betrag der Geschwindigkeit vE im Punkt E.
c) Berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor ~vD im Punkt D.
d) Berechnen Sie den Betrag der Winkelgeschwindigkeit ωCD der Stange CD.
e) Berechnen Sie den Beschleunigungsvektor ~aE im Punkt E.
Gegeben:
l, ω0
    5 
3l
0
− ω0 l


~vD = ~vB +  0  ×  l  =  ω3 l 
0
0
ωBE
0

d)
1
ωCD = ω0
3
e)
 
1
17 2  
~aE = − ω0 l 1
6
0
2. Aufgabe:
(TM III:
MV, BI)
a)
ϕ̈2 =
ẍ1
,
r
ϕ̈3 = ϕ̈2 =
ẍ1
,
r
ẍ4 =
1
ẍ1 .
2
b)
↓:
m1 ẍ1 = m1 g − SI
(1)
↓:
m2 x¨1 = m2 g + SI − SII − SIII
y
1
S2 :
m2 r 2 ϕ̈2 = rSII − rSIII
2
(2)
→: 0 = S3x
0 = m3 g + SIII + SIV − S3y
x
1
m3 R2 ϕ̈3 = RSIII − rSIV
S2 :
2
Das dargestellte System besteht aus zwei homogenen Walzen mit den Massen m2 und m3 , sowie
aus den Massen m1 und m4 . Das Seil ist undehnbar und ebenso wie die Aufhängung mit dem
Mittelpunkt S4 masselos. Alle Walzen drehen sich um ihre Mittelpunkte reibungsfrei.
(3)
↓:
(4)
Ermitteln Sie
a) die kinematischen Beziehungen von ϕ2 , ϕ3 und von x4 in Abhängigkeit von x1 ,
b) die Beschleunigung ẍ1 der Masse m1 . Fertigen Sie dabei alle benötigten Freikörperbilder
an,
↑:
c) die erforderliche Masse m4 für den Fall, dass das System in Ruhe bleibt. Dabei soll gelten
m1 = m2 = m.
Gegeben:
in a) und b)
und in c)
m4 ẍ4 = −m4 g + SIV + SV
y
S4 :
R = 2r, g,
m1 , m2 , m3 , m4 ,
m1 = m2 = m
ẍ1 =
1
m1 + m2 − m4
2
g.
1
3
m1 + m2 + 2m3 + m4
2
4
0 = RSIV − RSV
(5)
(6)
(7)
c)
m4 = 4m
(8)
3. Aufgabe:
(TM III:
MV, BI)
1
masselos
ω̄1
l
3
A
2m
l
3
2m
v̄
F̂
B
F̂
l
3
2
D
C
ω̄2
S
Stoßpunkt
l
v0
a)
m
Θ1B =
2ml2
ml2
, Θ2S =
9
12
b)
Ein masseloser Balken ➀ (Länge l) ist im Punkt A drehbar gelagert, im Punkt B befindet sich
die Masse 2m. Der Balken ist anfangs in Ruhe. Ein zweiter homogener Balken ➁ (Masse m,
Länge l) bewegt sich wie skizziert (reine Translation) mit der Geschwindigkeit v0 auf den ersten Balken zu. Beim Stoß berühren sich die beiden Balken im Punkt C bzw. D. Die Stoßzahl
beträgt e.
ω̄1 =
v0
(1 + e)
2l
ω̄2 =
v0
v0
(1 + e), v̄S = (5 − e)
l
6
c)
d)
a) Ermitteln Sie das Massenträgheitsmoment ΘA des Balkens ➀ bezüglich des Punktes A.
△E =
b) Ermitteln Sie die Winkelgeschwindigkeit des Balkens ➀ unmittelbar nach dem Stoß.
c) Wie groß sind die Schwerpunktsgeschwindigkeit und die Winkelgeschwindigkeit des Balkens ➁ unmittelbar nach dem Stoß.
d) Berechnen Sie den mechanischen Energieverlust während des Stoßes.
e) Gibt es eine Stoßzahl e, für die der mechanische Energieverlust 50% beträgt?
Gegeben:
1
mv 2 (1 − e2 )
12 0
e)
△E
1
=
Evor
2
⇒ e2 = −2
m, l, v0 , e
d.h. 50% Energieverlust ist nicht möglich.
v̄S
v0
4. Aufgabe:
(TM IV: MV, BI)
mu
mu
Ωt
masselos, starr
Fc
Fd
c
ϕ
Ωt
S
S Ωt
e
A
l
d
l
l
m
ϕ
m
l
l
x
l
a)
Das skizzierte System, welches im Punkt A gelenkig gelagert ist, wird durch eine rotierende
Umwucht angeregt. Der starre Balken der Länge 3l ist masselos und das System befindet sich
für ϕ = 0 in der statischen Ruhelage.
9l2 (m + mu )ϕ̈ + dl2 ϕ̇ + 4cl2 ϕ = 3lmu eΩ2 cos Ωt
Umformen
ϕ̈ +
Ermitteln Sie
c) die Lösung ϕ(t) der Schwingungsdifferentialgleichung im aperiodischen Grenzfall mit
Ω = ω (Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems) für die Anfangsbedingungen
ϕ(0) = ϕ0 , ϕ̇(0) = 0.
Gegeben:
d, c, m, mu , l, e
mit M = m + mu
b)
a) die Bewegungsgleichung für kleine Winkelauslenkungen ϕ,
b) die Eigenkreisfrequenz ωd der schwach gedämpften Schwingung in Abhängigkeit der
Systemparameter,
1 d
4 c
1 mu e 2
ϕ̇ +
ϕ=
Ω cos Ωt
9M
9M
3 Ml
ωd =
2
3
r
c
M
r
1−
d2
144Mc
c)
ϕ(t) = (ϕ0 + (ϕ0 −
1 mu e
1 mu e
π
)Ωt)e−Ωt +
cos(Ωt − )
6 Ml
6 Ml
2
xu
5. Aufgabe:
(TM IV: MV, BI)
ϕ
∆l1
x
c1
c2
x
ϕ
l/4
l/4
l/2
a)
l
4
l
4
l
2
l
1
l
1
Π = c1 (x − ϕ)2 + c2 (x + ϕ)2
2
4
2
2
1
1
T = mẋ2 + ml2 ϕ̇2
2
24
Ein starrer Balken der Masse m und der Länge l wird wie abgebildet an zwei Federn mit den
Federsteifigkeiten c1 und c2 aufgehängt. In der skizzierten Lage befindet sich der Balken in der
statischen Ruhelage.
b)
l
l
mẍ + c1 (x − ϕ) + c2 (x + ϕ) = 0
4
2
Anmerkung: Für die gesamte Aufgabe wird angenommen, dass der Winkel ϕ klein ist.
Ermitteln Sie
1
l l
l l
ml2 ϕ̈ − c1 (x − ϕ) + c2 (x + ϕ) = 0
12
4 4
2 2
c)
1 22 4
7
1
9
m l ω − ( c1 ml2 + c2 ml2 )ω 2 + c1 c2 l2 = 0
12
48
3
16
a) die potentielle und die kinetische Energie des Systems,
b) die Bewegungsgleichungen,
d)
c) das charakteristische Polynom zur Ermittlung der Eigenfrequenzen.
Für die Werte m = 3 kg, l = 2 m, c1 = 6 N/m, c2 = 10N/m sind
d) die Eigenkreisfrequenzen des Systems zu ermitteln.
Gegeben:
m, l, c1 , c2
ω1 =
r
27
,
2
ω2 =
r
10
3
∆l2
6. Aufgabe:
(TM IV: MV, BI)
Kreuzen Sie bei jeder Frage die richtige Antwort an.
Frage 1:
w(x)
2w0
w0
x
Eine unendlich lange Saite wird zum Zeitpunkt t = 0 wie dargestellt ausgelenkt und aus der
Ruhe losgelassen. Welche der folgenden Skizzen stellt eine Lösung der Saitenauslenkung zu
einem Zeitpunkt t > 0 dar?
2
⊠
w(x)
w(x)
2w0
w0
2w0
w0
x
2
x
2
w(x)
2w0
w0
w(x)
2w0
w0
x
−w0
x
Frage 2:
Welche der folgenden Eigenfunktionen Wk (x) tritt im Lösungsansatz für eine beidseitig fest
eingespannte Saite der Länge l auf?
2 Wk (x) = cos
kπx
l
⊠ Wk (x) = sin
kπx
l
klx
π
klx
2 Wk (x) = sin
π
2 Wk (x) = cos
Frage 3:
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c von Longitudinalwellen in Stäben ist abhängig von:
⊠
2
2
2
2
Elastizitätsmodul E und Dichte ρ
Schubmodul G und Dichte ρ
Elastizitätsmodul E und Querkontraktionszahl ν
Masse m und Volumen V
Erdbeschleunigung g und Länge L