, 0,c + R(t) :` $n

-11sie haben einen besonderen Namen.
(1.2.2) Definition: Eine (auf ganz ú) beliebig oft differenzierbare Funktion n : ú 6
mit einem
kompakten Träger nennt man eine Testfunktion.
(1.2.3) Beispiel: Sei g : ú 6 ú die durch
definierte Funktion. Man erkennt schnell, dass g auf ganz ú\{0} ' +&4, 0, c +0, 4, beliebig oft
differenzierbar ist. Ein echtes Problem ist nur die Frage, ob g auch an der Stelle t ' 0 beliebig oft
differenziert werden kann. Man muss sich dazu überlegen, ob
für jedes n '
(0)
0, 1, 2, . . . (g :' g). Das lässt sich aber zeigen, und g ist daher auf ganz ú beliebig oft differenzierbar. Mit Hilfe von g kann dann schnell eine Testfunktion konstruiert werden, z. B.:
Die Funktion n verschwindet außerhalb des Intervalls [&1, 1].
Durch Translationen und Ähnlichkeitstransformationen der Testfunktion n des obigen Beispiels
ergeben sich unendlich viele weitere Testfunktionen. So ist mit n auch jede Funktion R, definiert
durch
R(t) :' n(t & t0) œ t 0 ú, wobei t0 0 ú fest,
oder durch
R(t) :' $ n(a t) œ t 0 ú, wobei a > 0 und $ 0
fest,
wieder eine Testfunktion. Weiter gilt: sind n und R Testfunktionen und ist D : ú 6
beliebig oft differenzierbare Funktion (also: D 0 C(4)(ú)), so ist auch
(1) n % R,
(2) " n für jedes " 0 ,
eine Testfunktion. Dabei ist mit dem Produkt
t 0 ú definierte Funktion gemeint.
eine auf ú
(3)
natürlich die durch
für alle
Wegen (1) und (2) erfüllt die Menge aller Testfunktionen die Unterraumbedingungen (U 1) und
(U 2) von Definition (1.1.3), so dass sie ein Unterraum des Funktionenraums C(4)(ú) und damit
selbst wieder ein Funktionenraum ist.
(1.2.4) Definition: Der aus allen Testfunktionen n : ú 6
D(ú) bezeichnet.
bestehende Funktionenraum wird mit
Ordnet man die bisher eingeführten Funktionenräume mit Hilfe des Inklusionszeichens d, ergibt
sich:
-12D(ú) d C(4)(ú) d C(m)(ú) d C(ú) d F(ú).
Die Inklusionen sind alle echt, und jeder der ersten vier Funktionenräume in dieser Inklusionskette ist ein Unterraum eines jeden darin rechts von ihm stehenden Funktionenraums.
(1.3) Nachträge zur Analysis.
Bisher wurde noch gar nicht erklärt, was man eigentlich unter dem Träger einer Funktion f : ú 6
versteht. Dazu werden einige Begriffe aus der Topologie der Zahlengeraden ú benötigt.
Für jedes t0 0 ú und jedes g > 0 bezeichne Ug(t0) die g - Umgebung von t0, d. h. das offene Intervall +t0 & g, t0 % g,, das aus allen t 0 ú besteht, deren Abstand *t & t0* von t0 kleiner als g ist, also:
Ug(t0) :' +t0 & g, t0 % g, ' {t 0 ú * *t & t0* < g}.
Bei g denke man vor allem an eine kleine positive Zahl.
(1.3.1) Definition: Sei A d ú. Dann heißt ein t0 0 ú
1) ein innerer Punkt von A, wenn Ug(t0) d A für ein g > 0;
2) ein Berührpunkt von A, wenn Ug(t0) 1 A …
für alle g > 0.
Es gilt: t0 ist innerer Punkt von A Y t0 0 A Y t0 ist Berührpunkt von A.
Aber:
t0 ist Berührpunkt von A
t0 0 A
t0 ist innerer Punkt von A.
(1.3.2) Definition: Sei A d ú. Dann heißt
1) A° :' {t 0 A * t ist innerer Punkt von A} der offene Kern oder das Innere von A;
2) Aa :' {t 0 ú * t ist Berührpunkt von A} die abgeschlossene Hülle von A.
Aufgrund der Bemerkungen nach (1.3.1) gilt:
A° d A d Aa
für jede Menge A d ú, wobei die zwei Inklusionen nicht echt zu sein brauchen, d. h., es kann
auch A° ' A oder A ' Aa sein.
(1.3.3) Definition: Sei A d ú. Dann heißt A
1) offen, wenn A ' A°;
2) abgeschlossen, wenn A ' Aa.
Die abgeschlossene Hülle Aa einer Menge A d ú ist immer eine abgeschlossene, ihr offener Kern
A° immer eine offene Teilmenge von ú, d. h., es gilt:
(Aa)a ' Aa und (A°)° ' A°
für jede Menge A d ú. Weiter ist Aa die kleinste abgeschlossene Teilmenge von ú, die A enthält,
und A° die größte offene Teilmenge von ú, die in A enthalten ist. Damit ist gemeint:
-13(1.3.4) Satz: Sei A d ú. Dann gilt:
1) A d C d ú v C abgeschlossen Y Aa d C.
2) O d A v O offen Y O d A°.
(v: Symbol für die logische Verknüpfung “und”).
Geht man von einer Menge A d ú zu ihrer Komplementärmenge ú\A :' {t 0 ú * t ó A} über,
wird aus einer abgeschlossenen eine offene und aus einer offenen eine abgeschlossene Teilmenge
von ú. Genauer:
(1.3.5) Satz: Sei A d ú. Dann gilt:
1) A abgeschlossen ] ú\A offen.
2) A offen ] ú\A abgeschlossen.
(1.3.6) Definition: Sei A d ú. Dann heißt A
1) beschränkt, wenn A d [&a, a] für ein a > 0,
2) kompakt, wenn A abgeschlossen und beschränkt ist.
Nun zum Träger einer Funktion f : ú 6 .
(1.3.7) Definition: Sei f : ú 6 . Dann heißt die Menge
Tr(f) :' {t 0 ú * f (t) … 0}a
der Träger von f.
Als abgeschlossene Hülle einer Teilmenge von ú ist der Träger Tr(f) abgeschlossen. Also ist er
genau dann kompakt, wenn er beschränkt ist, wenn also Tr(f) d [&a, a] für ein a > 0. Weil Tr(f)
d [&a, a] gleichbedeutend ist mit {t 0 ú * f (t) … 0} d [&a, a], hat die Funktion f deshalb genau
dann einen kompakten Träger, wenn sie außerhalb eines Intervalls [&a, a], a > 0, verschwindet.
Das deckt sich mit der Bemerkung im Anschluss an Definition (1.2.1).
(1.4) Lineare Abbildungen.
Seien X und Y Vektorräume über
(' ú oder ' ÷). Eine Abbildung F von X in Y, in Zeichen:
F : X 6 Y, ist bekanntlich eine Vorschrift, die jedem x 0 X eindeutig ein y ' F(x) 0 Y, das sog.
Bild von x bei F, zuordnet. Wir interessieren uns hier nur für lineare Abbildungen von X in Y.
(1.4.1) Definition: Eine Abbildung F : X 6 Y heißt linear, wenn sie die folgenden Eigenschaften
hat:
(L 1) F(x1 % x2) ' F(x1) % F(x2) œ x1, x2 0 X,
(L 2) F(" x) ' " F(x) œ " 0 , œ x 0 X.
-14Der Fall Y ' X ist zugelassen. Abbildungen von X in X nennt man auch Selbstabbildungen von X.
Ein einfaches Beispiel für eine lineare Selbstabbildung von X ist die sog. Identität E : X 6 X,
definiert durch E(x) ' x für alle x 0 X.
Sind X und Y Funktionenräume, bezeichnet man eine Abbildung von X in Y gerne auch als einen
Operator oder eine Transformation.
(1.4.2) Beispiele:
1. Sei D : C(1)(ú) 6 C(ú) der durch
D(x) :' xN œ x 0 C(1)(ú)
definierte Operator. Er ordnet jedem x 0 C(1)(ú), d. h. jeder stetig differenzierbaren Funktion x :
ú 6 ihre Ableitung xN : ú 6 zu. Aufgrund der Definition des Begriffs “stetig differenzierbar”
ist xN stetig und damit ein Element des Funktionenraums C(ú). Nach elementaren Regeln der
Differentialrechnung gilt:
D(x1 % x2) ' (x1 % x2)N ' x1N % x2N ' D(x1) % D(x2) œ x1, x2 0 C(1)(ú), und:
D(" x) ' (" x)N ' " xN ' " D(x) œ " 0 , œ x 0 C(1)(ú),
so dass D die Bedingungen (L 1) und (L 2) erfüllt und deshalb ein linearer Operator ist.
2. Sei n 0 ù. Wieder aufgrund elementarer Differentiationsregeln ist auch der durch
Dn(x) :' x(n) œ x 0 C(n)(ú)
definierte Operator Dn : C(n)(ú) 6 C(ú), der jeder n - mal stetig differenzierbaren Funktion x : ú 6
ihre (stetige) n - te Ableitung x(n) : ú 6 zuordnet, ein linearer Operator. Setzt man
C(0)(ú) :' C(ú) und x(0) :' x œ x 0 C(ú),
bekommt die obige Definition von Dn auch für n ' 0 einen Sinn. Danach ist dann
D0(x) ' x(0) ' x œ x 0 C(0)(ú) ' C(ú),
d. h., D0 ist dann einfach die Identität E auf C(ú).
3. Sei ' ÷, sei n 0 ù und seien (0, (1, . . ., (n 0 ÷ vorgegebene Zahlen mit (n … 0. Wir betrachten den Operator
d. h. den durch
œ x 0 C(n)(ú)
definierten Operator Ln : C(n)(ú) 6 C(ú). Aus der Linearität der Operatoren D0 (' E), D1 (' D),
. . ., Dn folgt sofort, dass auch Ln linear ist.
Sei f 0 C(ú), sei f also eine stetige Funktion f : ú 6 ÷. Dann ist die Gleichung
Ln(x) ' f,
(1)
-15wobei f 0 C(ú) gegeben und x 0 C(n)(ú) gesucht, gleichbedeutend mit der Differentialgleichung
(2)
für eine unbekannte, als n - mal stetig differenzierbar vorausgesetzte Funktion x : ú 6 ÷, t 6 x(t).
(2) ist eine lineare Differentialgleichung n - ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Sie heißt
homogen, wenn f ' 0 (Nullfunktion), inhomogen sonst, wenn also f … 0.
Die Gleichung (1) ist mehr als nur eine bequeme Kurzschreibweise für die DGL (2). Aus der
Linearität des Operators Ln ergeben sich vielmehr interessante Einblicke in die Struktur der Lösungsmenge
Un(f) :' {x 0 C(n)(ú) * Ln(x) ' f}
der Gleichung (1) oder, äquivalent dazu, der DGL (2), z. B.:
Behauptung: Die Lösungsmenge Un(0) der homogenen Gleichung Ln(x) ' 0, d. h. der homogenen DGL
(3)
ist ein Unterraum des Funktionenraums C(n)(ú).
Beweis: Es ist nur zu prüfen, ob Un(0) die Unterraumbedingungen (U 1) und (U 2) aus Definition (1.1.3) erfüllt. Das ist der Fall, denn:
1. x1, x2 0 Un(0) Y Ln(x1) ' 0 und Ln(x2) ' 0 Y
0 % 0 ' 0 Y x1 % x2 0 Un(0);
2. " 0 ÷, x 0 Un(0) Y Ln(x) ' 0 Y
Y " x 0 Un(0).
Die Linearität von Ln geht in die mit (() markierten Gleichungen ein.
m
Weiter kann man zeigen, dass Un(0) ein n - dimensionaler Unterraum von C(n)(ú) ist. Das bedeutet, dass es linear unabhängige, aus genau n Elementen bestehende Teilmengen {x1, x2, . . ., xn}
von Un(0) gibt, deren lineare Hülle gleich Un(0) ist, so dass jedes x 0 Un(0) als eine Linearkombination von x1, x2, . . ., xn dargestellt werden kann. Solche Teilmengen {x1, x2, . . ., xn} nennt man
eine Basis oder ein Fundamentalsystem von Lösungen der homogenen DGL (3). Die Kenntnis
nur eines derartigen Fundamentalsystem reicht dabei aus. Man kann es z. B. mit Hilfe eines Exponentialansatzes x(t) ' e 8 t für eine Lösung von (3) bestimmen. Für den Fall n ' 2 wurde das in
der Grundvorlesung Mathematik vorgeführt.
Seien X und Y wieder allgemeine Vektorräume über
. Wie man sofort erkennt, sind die zwei
Linearitätseigenschaften (L 1) und (L 2) für eine Abbildung F : X 6 Y äquivalent zu der einen
Eigenschaft
(L) F("1 x1 % "2 x2) ' "1 F(x1) % "2 F(x2) œ "1, "2 0 , œ x1, x2 0 X.
Hat man eine Abbildung F : X 6 Y auf Linearität hin zu untersuchen, macht man das in der Regel
am schnellsten, wenn man prüft, ob F die Bedingung (L) erfüllt.
-16Weitere Eigenschaften von linearen Abbildungen beinhaltet der folgende
(1.4.3) Satz: Sei F : X 6 Y linear. Dann gilt:
1) F(0) ' 0.
2)
œ n 0 ù, œ "1, . . ., "n 0 , œ x1, . . ., xn 0 X.
In Aussage 1) ist das Symbol 0 zweideutig: auf der linken Seite der Gleichung bezeichnet es den
Nullvektor von X, auf der rechten den von Y.
Zum Schluss dieses Abschnitts noch ein Nachtrag zur Integralrechnung. Es geht um das uneigentliche Integral
mit einer (auf ú stetigen oder stückweise stetigen) Funktion f : A (d
ú) 6 ÷. In der Theorie der verallgemeinerten Funktionen wird dieses Integral fast immer im
Sinne des Cauchyschen Hauptwerts verstanden. Das bedeutet:
(1.4.4) Definition: Sei f : A (d ú) 6 ÷ eine lokal integrierbare Funktion. Dann ist definiert:
.
Das Integral
tiert, divergent sonst.
heißt konvergent, wenn der es definierende Grenzwert eigentlich exis-
Die Voraussetzung der lokalen Integrierbarkeit von f ist notwendig. Sie garantiert, dass das Integral
für jedes T > 0 eigentlich existiert, was ja bei einer auf ú stückweise stetigen
Funktion f, die auch Unendlichkeitsstellen hat, nicht selbstverständlich ist.
Auch wenn es konvergiert, ist das Integral
doch mit Vorsicht zu behandeln. So entbehrt es etwa ohne zusätzliche Bedingungen an f der Eigenschaft der Additivität, worunter man
die Gültigkeit der Gleichung
(()
für jedes c 0 ú versteht. Dazu ein einfaches
Beispiel: Sei f(t) ' t; t 0 ú. Aufgrund der obigen Definition ist einerseits
,
andererseits gilt aber zum Beispiel:
, und:
,
so dass die rechte Seite der Gleichung (() für c ' 0 - und übrigens auch für jedes andere c 0 ú -
-17den unbestimmten Ausdruck &4 % 4 annimmt und die Gleichung daher sinnlos wird.
Die Additivität des Integrals
ist jedoch gewährleistet, wenn f zum Beispiel absolut
integrierbar ist.
(1.4.5) Definition: Eine Funktion f : A (d ú) 6 ÷ heißt absolut integrierbar (über +&4, 4,), wenn
.
Man sagt dazu auch, das Integral
sei absolut konvergent. Es gilt nun:
(1.4.6) Satz: Sei f : A (d ú) 6 ÷ absolut integrierbar. Dann
1) ist f lokal integrierbar;
2) ist
konvergent und additiv, gilt also die Gleichung (() für jedes c 0 ú;
3) gilt die Ungleichung
.
Zu Aussage 3) vgl. Kap. I, (2.3.7).
(1.5) Lineare Funktionale.
Sei X ein Vektorraum über (' ú oder ' ÷). Ein Funktional T auf X ist einfach eine Abbildung
T : X 6 . Es heißt linear, wenn es die zwei Bedingungen (L 1) und (L 2) aus dem vorigen Abschnitt erfüllt. Also:
(1.5.1) Definition: Ein Funktional T : X 6
heißt linear, wenn
(L 1) T(x1 % x2) ' T(x1) % T(x2) œ x1, x2 0 X, und:
(L 2) T(" x) ' " T(x) œ " 0 , œ x 0 X.
Lineare Funktionale auf X sind demnach nur spezielle lineare Abbildungen von X in Y für den
Fall, dass Y ' . Hierzu beachte man, dass trivialerweise auch ein Vektorraum über sich selbst
ist. Die in Abschnitt (1.4) gemachten Aussagen über lineare Abbildungen gelten daher auch für
lineare Funktionale. So sind etwa die zwei Linearitätsbedingungen (L 1) und (L 2) gleichbedeutend mit der einen Bedingung
(L) T("1 x1 % "2 x2) ' "1 T(x1) % "2 T(x2) œ "1, "2 0 , œ x1, x2 0 X.
Weiter gilt die folgende für den Spezialfall Y '
(1.5.2) Satz: Sei T : X 6
resultierende Version von Satz (1.4.3):
linear. Dann gilt:
1) T(0) ' 0.
2)
œ n 0 ù, œ "1, . . ., "n 0 , œ x1, . . ., xn 0 X.
-18Auf der rechten Seite der Gleichung von Aussage 1) steht nun - anders als in Aussage 1) von
(1.4.3) - die Zahl 0, der “Nullvektor” des “Vektorraums” .
Lineare Funktionale werden im Folgenden mit großen lateinischen Buchstaben, meistens aus dem
hinteren Teil des Alphabets, oder mit Sondersymbolen wie [f], *, u. a. bezeichnet. Wie allgemein
üblich wird ferner für den Wert T(x), den ein lineares Funktional T für ein x 0 X annimmt,
überwiegend auch +T, x, geschrieben, also:
+T, x, :' T(x) œ x 0 X.
Die Aussagen von Satz (1.5.2), beispielsweise, schreiben sich dann so:
+T, 0, ' 0 und
Das folgende Beispiel führt uns schon zu der zentralen Idee in der Theorie der verallgemeinerten
Funktionen. Der Vektorraum X ist dabei der Raum D(ú) aller Testfunktionen n : ú 6 .
(1.5.3) Beispiel: Sei f : A (d ú) 6 eine lokal integrierbare (und auf ú stetige oder stückweise
stetige) Funktion. Es sei hier noch einmal daran erinnert, dass wir bei jeder Funktion f vom Typ
A (dú) 6 die in Klammern gesetzte Eigenschaft voraussetzen. Im Falle einer auf ú stetigen
Funktion f ist A ' ú, anderenfalls, wenn f nur stückweise stetig auf ú ist, gilt A ' ú\N, wobei N
die Menge aller Definitionslücken von f bezeichnet. N ist eine Teilmenge der Menge S aller singulären Stellen von f und daher wie S eine diskrete Teilmenge von ú.
Alle auf ú stetigen und alle auf ú stückweise stetigen Funktionen, die keine Unendlichkeitsstellen haben, sind automatisch lokal integrierbar. Nur wenn eine Funktion f auch Unendlichkeitsstellen besitzt, bedeutet die Forderung nach der lokalen Integrierbarkeit von f eine Einschränkung.
Zu f betrachten wir das durch
œ n 0 D(ú)
(1)
definierte Funktional auf D(ú). Weil zu jedem n 0 D(ú) ein a > 0 existiert mit Tr(n) d [&a, a]
und folglich f (t) n(t) ' f (t) 0 ' 0 für alle t ó[&a, a], ist das [f](n) definierende uneigentliche Integral in Wirklichkeit ein Integral mit den (von n abhängigen) endlichen Grenzen &a und a, gilt
also
Aus der lokalen Integrierbarkeit von f und der Tatsache, dass jede Testfunktion n auch beschränkt ist (d. h.: es gibt ein c > 0 mit *n(t)* # c für alle t 0 ú), folgt dann, dass das Integral in
(1) konvergiert und so eine eindeutig bestimmte Zahl aus als Wert besitzt.
Behauptung: Das Funktional [f] : D(ú) 6
ist linear.
-19Beweis: Wir zeigen, dass [f] die im Anschluss an (1.5.1) formulierte Linearitätsbedingung (L) erfüllt. Dazu betrachten wir zwei Zahlen "1, "2 0 und zwei Funktionen n1, n2 0 D(ú). Es gibt
dann ein a > 0 mit
Tr(n1) d [&a, a] und Tr(n2) d [&a, a],
woraus folgt, dass
.
Das gilt für beliebige Zahlen "1, "2 0
und beliebige Funktionen n1, n2 0 D(ú). Also erfüllt [f]
die Bedingung (L) und ist somit linear. Die mit (() markierte Gleichung ist aufgrund einer elementaren Regel der Integralrechnung korrekt.
m
Nachdem [f] als linear erkannt ist, schreiben wir für [f](n), den Wert des Funktionals [f] an der
“Stelle” n, fortan fast nur noch +[f], n,.
Entscheidend ist nun, dass die Funktion f, abgesehen von ihren singulären Stellen, sofern es
solche überhaupt gibt, durch das Funktional [f] eindeutig bestimmt ist. Etwas positiver formuliert
heißt das, dass die Funktion f auf jedem Intervall, auf dem sie stetig ist, durch [f] eindeutig bestimmt ist, dass sie sich dort aus [f] allein rekonstruieren lässt. Wie in der Vorlesung gezeigt
wird, gilt nämlich für jede Stetigkeitsstelle t0 0 ú von f die Formel
(2)
mit einer Schar von Funktionen
0 D(ú), wobei g > 0, die man wie folgt erhält: man wählt
eine Funktion R 0 D(ú) mit den Eigenschaften
Tr(R) ' [&1, 1] und
aus und definiert für jedes g > 0 zuerst eine Funktion Rg 0 D(ú) durch
œt0ú
und dann die Funktion
durch
œ t 0 ú.
Für R eignet sich etwa die durch
œt0ú
definierte Funktion mit n als der Testfunktion aus Beispiel (1.2.3) und
Die Funktionen Rg und
haben für jedes g > 0 die folgenden Eigenschaften:
-20Tr(Rg) ' [&g, g] und
[t0 & g, t0 % g],
sowie
(Subst.: u ' t/g) und
(Subst.: u ' t & t0).
Die Funktion Rg entsteht aus R durch eine Kontraktion in t - und eine Dilatation in y - Richtung
jeweils um den Faktor 1/g. Wird dann noch Rg um t0 in t - Richtung verschoben, ergibt sich die
Funktion
.
Von einem anwendungsorientierten Standpunkt aus betrachtet ist die Frage, ob eine auf ú stückweise stetige Funktion in einer ihrer singulären Stellen definiert ist und wenn ja, welchen Funktionswert sie dann dort hat, völlig unwesentlich. In der Vorlesung wird dies anhand einiger
Beispiele noch genauer erläutert. Im Hinblick auf die Anwendungen in Technik und Naturwissenschaften ist daher das Funktional [f] ein gleichwertiges Abbild der lokal integrierbaren Funktion f und kann daher f mit [f] identifiziert werden. Die lokal integrierbaren Funktionen vom Typ
A (d ú) 6 werden so zu linearen Funktionalen auf dem Funktionenraum D(ú). In der Begriffswelt der linearen Funktionale auf D(ú) hat nun auch die Diracsche Deltafunktion (s. Kap. I, § 1)
ihren Platz. Man definiert sie einfach als dasjenige lineare Funktional * auf D(ú), das den Funktionswert einer jeden Testfunktion an der Stelle t ' 0 “ausblendet”, d. h., * ist definiert durch
+*, n, :' n(0) œ n 0 D(ú).
Der Nachweis, dass * linear ist, ist sehr einfach.
Die Funktionale [f] und * sind Beispiele für sog. verallgemeinerte Funktionen oder Distributionen auf ú. Das sind alle linearen Funktionale auf D(ú), die noch eine gewisse zusätzliche
Bedingung erfüllen, die in § 2 erklärt wird.