Elektromagnetische Felder Klausur 20. Juli 2009 1. In den

Elektromagnetische Felder
Klausur 20. Juli 2009
1. In den folgenden Teilaufgaben sind die Größen mit Index 0 konstant und von jeweils
passender“ Dimension.
”
~ zum elektrostatischen Skalarpotential ϕ =
(a) Berechnen Sie das elektrische Feld E
−r/r0
ϕ0 · e
in Kugelkoordinaten!
~ =
(b) Berechnen Sie die Raumladungsdichte ρ zur dielektrischen Verschiebung D
2
· y0 , y0 , (x−z) · y0 )!
D0 · ( (x−z)
y2
y2
y2
(c) Berechnen Sie, außerhalb von r = 0, die elektrische Stromdichte J~ zum Magnetfeld
~ = H0 · (r0 /r) · ~eϕ im magnetostatischen Fall in Zylinderkoordinaten mit r als der
H
radialen Koordinate!
(d) Berechnen Sie die Kraft F~ auf eine Ladung q, die sich mit der Geschwindigkeit
~ = B0 · (0, 0, 1) bewegt!
~v = v0 · (4, 3, 0) in der magnetischen Flussdichte B
5
~ =
(e) Berechnen Sie die Potentialdifferenz U im elektrostatischen Feld E
zwischen den Orten ~ra = r0 · (1, 1, 0) und ~rb = r0 · (1, 0, 1)!
E0
r0
· (x, y, 2z)
(8 Punkte)
2. a) Wie lautet das Coulombsche Kraftgesetz, das zwischen einer Ladungsdichteverteilung ρ und einer Punktladung q beobachtet werden kann?
b) Mit welcher mathematischen Umformung leitet man aus der Kraftgleichung von a)
~ ab und wie interpretiert man E?
~
den Begriff des elektrischen Feldes E
~ und
c) Geben Sie das elektrostatische Potential ϕ und den Zusammenhang zwischen E
ϕ an.
~ allgemein besitzen, damit der Zud) Was für eine mathematische Eigenschaft muss E
sammenhang in c) sinnvoll angebbar ist? Geben Sie eine weitere hierzu äquivalente
Aussage an.
e) Was für eine Einheit besitzt ϕ und was für eine physikalische Bedeutung besitzt der
Begriff Potential“ ?
”
f) Gegeben sei eine Potentialdifferenz ϕa − ϕb und eine Ladungsmenge Q. Welche
hieraus zusammengesetzte Größe ist das Maß, nach dem Sie an Ihr Stromversorgungsunternehmen zahlen müssen?
(8 Punkte)
3. a) Aus welchem Naturprinzip folgt die Kirchhoffsche Knotenregel?
b) Welchen Ladungswert hat die Elementarladung?
~ r) und einem
c) Wie lautet die Gesamtkraft zwischen einer Stromdichteverteilung J(~
~ r)?
extern erzeugten Feld B(~
d) Welche Gleichungen werden zusätzlich zu den makroskopischen Maxwellgleichungen
~ D,
~ B
~ und H?
~ Geben Sie die
mindestens benötigt zur Bestimmung der vier Felder E,
Formeln an. Wie nennt man diese Gleichungen?
(5 Punkte)
Elektromagnetische Felder
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4. Geben Sie die Einheiten der folgenden Ausdrücke an, und zwar zusammengesetzt aus
den Grundeinheiten“ A, C, J, V, kg, s und m:
”
a) magnetischer Fluss Φ,
b) Selbstinduktivitätskoeffizient L,
c) magnetische Energiedichte wmag ,
d) Permeabilität des Vakuums µ0 ,
e) Wellenvektor ~k,
~ und
f) Poyntingvektor S
g) Diracsche Deltafunktion δ(x), wobei x die Dimension einer Länge hat.
Außerdem:
h) Geben Sie die beiden definierenden Eigenschaften der Deltafunktion an.
i) Was bedeutet die Deltafunktion anschaulich?
(5 Punkte)
5. Gegeben sei die nebenstehende Leiteranordnung in einem kartesischen Koordinatensystem. Die drei Leiter
sind im Ursprung des Koordinatensystems miteinander leitend verbunden. Der Leiter auf der x-Achse erstreckt sich von 0 bis +∞, die beiden Leiter auf der yund z-Achse jeweils von 0 bis −∞. Der Gleichstrom I
fließt auf der z-Achse aus dem Unendlichen kommend
in Richtung Koordinatenursprung und teilt sich dort
in zwei gleich große Ströme I/2 auf den beiden anderen Leitern auf. Es soll das am Ort ~ra := (a, −a, 0)
~
(mit a > 0) erzeugte B-Feld
bestimmt werden.
z
y
I/2
x
I/2
I
~ra = (a, −a, 0)
a) Welche Beiträge zum Magnetfeld werden sich am Ort ~ra gegenseitig zu Null aufheben? Geben Sie eine Begründung an.
~
b) Berechnen Sie das B-Feld
am Ort ~ra aus dem verbleibenden Beitrag mit Hilfe des
Biot-Savart-Gesetzes in kartesischen Koordinaten.
~
c) Geben Sie das B-Feld
am Ort ~ra in Kugelkoordinaten an, also mit Hilfe der Basisvektoren ~er , ~eϑ , ~eϕ .
(9 Punkte)
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6. Eine kugelförmige Wolke mit Radius a = 1 km besitze eine konstante Raumladungsdichte ρV = 20 nC/m3 .
a) Berechnen Sie das durch die Raumladungsdichte erzeugte elektrische Feld im Inneren
der Wolke und im gesamten äußeren Raum. Die Erde wird dabei vernachlässigt.
Geben Sie alle benötigten Formeln und Gesetze (auch mit Namen) an. Verwenden
Sie für die Berechnung ε0 = 9 · 10−12 C2 /(Jm).
b) Wie groß wäre die Oberflächenladungsdichte σ, wenn die gesamte in der Wolke vorhandene Ladung gleichmäßig nur auf der Oberfläche der Wolke verteilt wird und wie
groß sind dann die elektrischen Felder im Inneren und Äußeren?
c) Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem inneren elektrischen Feld, dem äußeren elektrischen Feld und der Oberflächenladungsdichte?
(9 Punkte)
7. In der Nachrichtentechnik werden optische Signale mit Photodioden detektiert. Damit ein möglichst großer Teil
der auftreffenden Leistung genutzt werden kann, werden Photodioden mit einer Entspiegelungsschicht versehen, um
einen reflexionsarmen Übergang zum
Übertragungsmedium herzustellen. Diese Entspiegelungsschicht soll im Folgenden dimensioniert werden.
a) Was bedeutet es für die Imaginärteile von εr und Z, sowie für
die Reflexions- und Transmissionsfaktoren am Übergang von I nach II,
wenn innerhalb des Materials keine
Verluste auftreten?
Medium I
Medium II
Medium III
Übertragungs-
Entspiegelungs-
Photodioden-
medium
schicht
schicht
εr,0
εr,s
εr,p
Z0
Zs
Zp
senkrechter
Alle 3 Schichten
Welleneinfall
sind verlustlos
und haben µr = 1.
Schichtdicke d
x=0
x=d
b) Wie hängt der Wellenwiderstand Z von den Materialparametern ε0 , εr , µ0 , µr ab?
c) Wie lautet der Reflexionsfaktor R11 für das E-Feld einer Welle, die von Medium I
auf Medium II einfällt? Wie hängt der Transmissionsfaktor T21 am Übergang von I
nach II mit dem Reflexionsfaktor R11 zusammen? (Stetigkeit des E-Feldes)
d) Stellen Sie die Gleichung für die Feldstärke Eges der gesamten reflektierten Welle
bei x = 0 auf, in der die Reflexionsfaktoren und Transmissionsfaktoren an beiden
Grenzschichten, sowie die Phasendrehung in der Entspiegelungsschicht vorkommen
müssen.
Hinweis: Mehrfachreflexionen beachten
e) Bestimmen Sie die minimale Schichtdicke d und den Wellenwiderstand Zs , für die
die reflektierte Welle Eges zu Null wird. Geben Sie die minimale Schichtdicke als
Vielfaches der Wellenlänge im Medium der Entspiegelungsschicht an.
Hinweis: Die Wellenwiderstände möglichst spät in die Reflexions-/Transmissionsfaktoren einsetzen. Bedenken Sie die Ergebnisse vom Aufgabenteil a).
(12 Punkte)
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8. Gegeben sei ein Koaxialkabel mit dem Radius des Innenleiters a und dem inneren Radius
des Außenleiters b. Ein Strom I fließt auf der Oberfläche des Innenleiters in die positive
z-Richtung und auf der inneren Oberfläche des Außenleiters in die negative z-Richtung.
~
a) Geben Sie zunächst die Gleichung für das äußere B-Feld
eines geraden, unendlich
langen, vom Strom I durchflossenen Leiters an. Nur das Feld außerhalb des Leiters
ist gefragt, eine Herleitung ist nicht gefordert, verwenden Sie Zylinderkoordinaten
und nehmen Sie an, dass der Strom in die positive z-Richtung fließt.
b) Berechnen Sie mit Hilfe der magnetischen Feldenergie den Eigeninduktivitätsbelag
L′ , also die Eigeninduktivität pro Längeneinheit, des Koaxialkabels.
c) Wie ändert sich der Eigeninduktivitätsbelag, wenn berücksichtigt wird, dass der
Strom nicht nur an den Oberflächen von Innen- und Außenleiter fließt, sondern auch
in deren Innerem? Eine qualitative Antwort ohne Rechnung, aber mit anschaulicher
Begründung reicht.
(7 Punkte)
9. Betrachtet wird ein Hertzscher Dipol im Koordinatenursprung, der in Richtung der
z-Achse ausgerichtet ist.
a) In welchen Abständen von dem Hertzschen Dipol endet das Nahfeld und wo beginnt
das Fernfeld in der Ebene z = 0?
b) Welche Feldkomponenten gibt es in Längsrichtung z des Dipols? Strahlen diese Energie ab?
c) Unter welchen beiden Voraussetzungen können die von einem Dipol abgestrahlten
Wellen, außer in Richtung der z-Achse, näherungsweise als ebene Wellen betrachtet
werden?
d) Warum können die abgestrahlten Wellen auch in großem Abstand nicht als Kugelwellen betrachtet werden?
e) Welche Abstandsabhängigkeit weist die Leistungsflussdichte im Fernfeld auf und
wie verhält sich dann folglich die Abstandsabhängigkeit der insgesamt abgestrahlten
Leistung?
(6 Punkte)
10. a) Wodurch wird bei einem Hohlleiter der nutzbare Frequenzbereich im Allgemeinen
begrenzt? Was ist der Unterschied zu einem (Koaxial-)Kabel?
b) Welche Spannungen“ ergeben sich bei der Integration des
”
~
E-Feldes
für die beiden Wege 1 und 2 zwischen den PunkB
B′
ten A und B? Geben Sie für jeden Abschnitt nur an, ob die
Spannungen gleich Null oder ungleich Null sind und gehen
2
1
Sie von einer H10 -Mode im Hohlleiter aus, mit nichtver~
schwindendem E-Feld für einen festen Zeitpunkt. Warum
sind die Spannungen für die Wege 1 und 2 gleich oder un′
A
terschiedlich? Begründen Sie Ihr Ergebnis für alle Teilwege A
des Weges 2, d.h. A → A′ , A′ → B ′ und B ′ → B.
c) Warum werden Rundhohlleiter in der Praxis meist nicht eingesetzt, sondern
Rechteck- oder Ovalhohlleiter bevorzugt?
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d) Welche Gleichung bildet den Ausgangspunkt für die Berechnung der Feldverteilung
im Hohlleiter? Die Angabe des allgemeinen Namens reicht als Antwort.
e) Welche analytische Methode wird zur Lösung der Gleichung aus d) angewendet?
(7 Punkte)
11. Die inhomogene Wellengleichung für das dynamische Skalarpotential ϕ(~r, t) im Vakuum
bei Vorhandensein der Raumladungsdichte ρ(r~′ , t′ ) hat als Lösung:
1
ϕ(~r, t) =
4πε0
Z
V
ρ(r~′ , t − |~r − r~′ |/c) 3 ′
dr
|~r − r~′ |
a) Erläutern Sie den Ausdruck in der obigen Gleichung, welcher den Unterschied zur
einfacheren Darstellung des elektrostatischen Potentials ausmacht. Was bewirkt bzw.
beschreibt dieser Ausdruck?
~ reicht im elektrostatischen Fall die Kenntb) Zur Berechnung des elektrischen Feldes E
nis von ϕ(~r) alleine aus. Im allgemeinen dynamischen Fall ist ϕ(~r, t) zur Berechnung
des elektrischen Feldes nicht ausreichend. Welche zusätzliche Größe muss hier bekannt sein? Geben Sie ihren Namen und das für sie typischerweise verwendete Formelzeichen an. Hinweis: Für diese Größe kann ebenfalls eine Wellengleichung aufgestellt werden, deren Lösung eine analoge Form wie oben hat. Das ist hier jedoch
nicht gefordert.
c) Wodurch wird die in Teil b) gesuchte Größe erzeugt“, also was verursacht die Inho”
mogenität in ihrer Wellengleichung?
(4 Punkte)
12. Für den dynamischen Fall (ω > 0) wird die ebene Grenzschicht
zwischen einem nichtleitenden Material 1, gekennzeichnet durch
die reellen, konstanten Materialparameter ε und µ, und einem
idealleitendem Material 2 betrachtet - beispielsweise die Seitenwand eines Hohlleiters.
Mat.1 Mat.2
σ=0 σ=∞
ε,µ
~ und welche Komponenten der maa) Welche Komponenten des elektrischen Feldes E
~
gnetischen Flussdichte B verschwinden im Material 1 in unmittelbarer Nähe zur
Grenzschicht zum Material 2? Eine Herleitung wird nicht erwartet. Erläuterung:
Verschwinden“ bedeutet hier gegen Null gehen.
”
b) Aus jeweils welcher Maxwellgleichung lässt sich das Verschwinden für diese Feldkomponenten ableiten, wenn das Verschwinden der Felder im idealleitenden Material 2
als bekannt vorausgesetzt werden kann? Ordnen Sie die jeweilige Maxwellgleichung
eindeutig der verschwindenden Komponente zu.
y
x
und ∂B
in Material 1 in unmittelbarer Nähe zur Grenzschicht.
c) Berechnen Sie ∂B
∂z
∂z
Starten Sie mit dem Maxwell-Ampereschen Gesetz und nutzen Sie die Lösung zu
Teil a). Hierbei soll das kartesische Koordinatensystem so angeordnet sein, dass die
Grenzschicht auf z = 0 fällt und Material 2 im Halbraum z > 0 liegt.
(8 Punkte)
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13. Gegeben sei ein gerader Draht mit der Leitfähigkeit σ und dem
Radius R. In ihm fließt ein Gleichstrom I. Betrachtet wird ein
Stück des Drahtes mit der Länge L.
~
a) Berechnen Sie zunächst das Magnetfeld H(r)
im Inneren eines
von einem Gleichstrom I gleichmäßig durchflossenen geraden,
unendlich langen Leiters mit Radius R. Hierbei ist r der Abstand zur Mittelachse des Leiters.
z
R
L
I
σ
b) Berechnen Sie nun die in das Drahtstück der Länge L einflie~ über
ßende Leistung mittels Integration des Poyntingvektors S
die Oberfläche dieses Drahtstücks.
~ im selben Drahtstück.
c) Berechnen Sie zum Vergleich das Volumenintegral von J~ · E
~ und J~ · E
~ im Gleichstromfall zusammen?
d) Wie hängen der Poyntingvektor S
e) Welche zusätzlichen Beiträge müssten im Wechselstromfall beim Zusammenhang
~ und J~ · E
~ noch berücksichtigt werden?
zwischen Poyntingvektor S
(12 Punkte)
14. Gegeben sei eine Linienladung τ mit dem Ladungsbelag
τ = 1 C/m, welche parallel zur y-Achse verläuft. Bei
x = −2 m und x = +2 m werden zwei dünne metallische, geerdete Folien in der y-z-Ebene (mit z ≥ 0 m) aufgespannt. Außerdem befindet sich eine Folie bei z = 0 m
im Bereich x = [−2 m; +2 m]. Das elektrische Feld soll mit
Hilfe der Spiegelladungsmethode bestimmt werden.
z/m
3
2
1
−3 −2 −1
τ
x/m
1 2 3
Beantworten Sie zunächst die allgemeinen Fragen zur Spiegelladungsmethode.
a) Ist die Spiegelladungsmethode in nur zwei oder in allen drei Raumdimensionen anwendbar?
b) Was sind die Voraussetzungen zur Anwendbarkeit des passenden Eindeutigkeitssatzes, der hier zum Beweis der Eindeutigkeit der Lösung gebraucht wird?
c) Fertigen Sie eine Zeichnung an, aus der hervorgeht wo welche Spiegelladungen zu
platzieren sind, um die Randbedingungen zu erfüllen.
d) Wie viele Spiegelladungen werden zur Erfüllung der Randbedingung in dieser Aufgabe benötigt?
e) Wie lauten allgemein die Formeln für das Potential und das elektrische Feld einer
Linienladung?
f) Berechnen Sie eine Näherung für das elektrische Feld am Ursprung des Koordinatensystems, indem Sie die Beiträge der sechs nächstgelegenen (Spiegel-)Ladungen
berücksichtigen.
(12 Punkte)
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Hilfsformeln:
Z
x
√
3 =
2
2
2
a x2 + a2
(x + a ) 2
dx
,
Z
√
x dx
3
ax2 + bx + c
=
−2 (bx + 2c)
√
(4ac − b2 ) ax2 + bx + c
1
= 1 + x + x2 + x3 + . . . für |x| < 1
1−x
1
= 1 + x2 + x4 + x6 + . . . für |x| < 1
2
1−x
1
= 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + . . . für |x| < 1
2
(1 − x)
x
~ senkrecht zur Einfallsebene
E
Erefl
Z2 cos(θeinf ) − Z1 cos(θtrans )
=
Eeinf
Z2 cos(θeinf ) + Z1 cos(θtrans )
Etrans
2Z2 cos(θeinf )
=
Eeinf
Z2 cos(θeinf ) + Z1 cos(θtrans )
Grenzfläche
Reflexion und Brechung an Grenzflächen:
kt
Ht
qt
e
ben
lse
l
a
nf
qe
Ei
Et
qe
Hr
kr
m2
diu
e
M
ke
m1
diu
Me
E r He
Ee
z
x
~ parallel zur Einfallsebene
E
Z2 cos(θtrans ) − Z1 cos(θeinf )
Erefl
=
Eeinf
Z2 cos(θtrans ) + Z1 cos(θeinf )
2Z2 cos(θeinf )
Etrans
=
Eeinf
Z2 cos(θtrans ) + Z1 cos(θeinf )
Grenzfläche
y
Et
qe
He
Hr
kt
qt
e
ben
lse E
l
a
f
r
Ein
kr
Ht
Ee
m2
diu
e
M
qe
ke
m1
diu
e
M
z
y