Stochastische Prozesse Übungsblatt 6

Mathematisches Institut
der Universität München
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Stochastische Prozesse
Übungsblatt 6
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Prof. Dr. Franz Merkl
WS 2014/15
Aufgabe 21
Zeigen Sie, dass die standard Brownsche Bewegung (Bt )t∈R+ ein homogener Markovprozess
0
ist und bestimmen Sie die zugehörigen Übergangskerne (Kt )t∈R+ .
0
Aufgabe 22
Seien m ∈ R und θ, σ > 0. Auf (R, B(R)) sei der stochastische Kern
2
−θ
−θ σ
−2θ
K(x, · ) := N xe + m(1 − e ), (1 − e ) ,
2θ
x ∈ R,
gegeben.
(a) Bestimmen Sie für t ∈ N und x ∈ R die Verteilung K t (x, · ) explizit.
σ2
w
t
(b) Zeigen Sie: K (x, · ) −−−→ N m,
.
t→∞
2θ
Aufgabe 23
Seien a, b, c ∈ ]0, 1[ mit a + b + c = 1. Es sei (Xt )t∈N0 eine homogene Markovkette mit Werten
in {1, 2, 3, 4}, welche in 1 startet und den Übergangsgraphen
2
a
1
1
b
1
c
3
4
1
also die Übergangsmatrix

0
1
Π=
0
0
a
0
0
0
b
0
1
0
hat.
(a) Berechnen Sie für t ∈ N0 die Verteilung L(Xt ).

c
0

0
1
(b) Zeigen Sie, dass L(Xt ) für t → ∞ schwach konvergiert und bestimmen Sie die Grenzverteilung.
Aufgabe 24
Sei k ∈ N und 12 < p < 1. Es sei (Xt )t∈N0 eine homogene Markovkette mit Werten in N0 ,
welche in k startet und den Übergangsgraphen
p
1−p
0
p
1
1−p
2
1−p
p
p
...
3
1−p
1−p
also den Übergangskern
K(x, · ) =
(
pδ1 + (1 − p)δ0
pδx+1 + (1 − p)δx−1
für x = 0,
für x =
6 0,
hat. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P [∃t ∈ N : Xt = 0], dass die Markovkette (Xt )t∈N0
irgendwann den Punkt 0 erreicht.
Lösungen zu diesem Blatt können nicht korrigiert werden und müssen deshalb nicht im
Übungskasten abgegeben werden.