Elektrodynamik für Bachelor plus Zentralübung 6

Elektrodynamik für Bachelor plus
Ludwig-Maximilians-Universität München
Dr. Michael Haack
Zentralübung 6
28. Juli 2017
Aufgabe 1: Überlappende homogen geladene Kugeln
Betrachten Sie zwei Kugeln vom Radius R, die jeweils eine gleichförmige Ladungsdichte ρ0 bzw. −ρ0
tragen (wobei ρ0 > 0 gelte). Sie werden so angeordnet, dass sie teilweise überlappen, s. Skizze. Der
Vektor vom positiven Zentrum zum negativen Zentrum werde mit d~ bezeichnet.
Bestimmen Sie den Wert des elektrischen Feldes im Überlappbereich und drücken Sie ihn durch d~
aus. Sie können dabei benutzen, dass das elektrische Feld im Inneren einer homogen geladenen Kugel,
deren Mittelpunkt im Ursprung liegt, gegeben ist durch
~ = ~er ρ0 r .
E
30
(1)
Aufgabe 2: Stromdurchflossene Drähte
(a) Bestimmen Sie mit Hilfe des Gesetzes von Biot-Savart das Feld im Punkt P für die folgende
stationäre Stromverteilung:
(b) Bestimmen Sie die Kraft (Betrag und Richtung) auf die in der Skizze dargestellte quadratische
Schleife, die sich in der Nähe eines unendlich langen geraden Drahtes befindet. Sowohl die Schleife als
auch der Draht tragen einen stationären Strom I. Sie können dabei benutzen, dass das magnetische
Feld eines unendlich langen geraden Drahtes (entlang der z-Achse) in Zylinderkoordinaten gegeben
~ = µ0 I ~eϕ .
ist durch B
2πs
b
1
Aufgabe 3: Fallende Schleife
Eine quadratische Schleife wird so platziert, dass der obere Teil sich in einem konstanten Magnetfeld
~ befindet und aufgrund der Gravitation frei fallen kann, s. Skizze. Der Bereich des Magnetfeldes ist
B
~ zeige in die Seite hinein.
grau schattiert und B
b
v
(a) Berechnen Sie die elektromotorische Kraft ε, die in der Schleife durch ihr Fallen erzeugt wird.
Drücken Sie ε durch die Geschwindigkeit v der fallenden Schleife aus.
(b) Gemäss dem Ohm’schen Gesetz in der Form
ε = IR
(2)
erzeugt diese elektromotorische Kraft einen Strom I durch die Drahtschleife. Hierbei ist R der elektrische Widerstand der Schleife. In welche Richtung zeigt der Strom, d.h. zeigt er in oder gegen den
Uhrzeigersinn? Begründen Sie Ihre Antwort.
(c) Berechnen Sie die magnetische Kraft (als Funktion von v), die auf die fallende Schleife aufgrund
des Stromes ausgeübt wird. In welche Richtung zeigt sie (mit Begründung)?
(d) Die magnetische Kraft führt zusammen mit der Gravitationskraft mg auf die folgende Bewegungsgleichung für die Geschwindigkeit der Schleife v:
mg − αv = m
dv
.
dt
(3)
Hierbei ist α eine positive Konstante, die Sie oben bestimmen sollten. Lösen Sie (3), um die Geschwindigkeit v(t) als Funktion der Zeit zu bestimmen. Nehmen Sie an, dass die Schleife zur Zeit t = 0 in
Ruhe war. Was ist der Grenzwert der Geschwindigkeit für grosse Zeiten (also formal für t → ∞)?
Bei Fragen:
[email protected]
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