Die kosmologische Konstantet

Die kosmologische Konstantet
von Philip Rothfos
8. Dezember 2011
Inhaltsverzeichnis
1
2
Einstein und die kosmologische Konstante
Λ
Λ
1
und die Friedmann Gleichungen
2
Λ
3
Das Schicksal des Universums abhängig von
3
4
Der Physik Nobelpreis 2011
5
5
Die Probleme der kosmologischen Konstante
7
1 Einstein und die kosmologische Konstante Λ
Zum ersten Mal benutzte Albert Einstein die kosmologische Konstante
Λ in seinen Glei-
chungen der allgemeinen Relativitätstheorie. In einem Brief an P. Ehrenfest am 4. Februar 1917 schrieb er:
Ich habe wieder etwas verbrochen in der Gravitationstheorie, was mich ein wenig in
Gefahr bringt, in ein Tollhaus interniert zu werden.
Einstein führte die Konstante ein, da er zu dieser Zeit davon ausging, dass das Universum statisch wäre. Da nun aber das materieerfüllte Universum in seiner Formel entweder expandiert oder kollabiert, führte Einstein die kosmologische Konstante ein, um
dem entgegen zu wirken. Einstein entdeckte, dass es keinen Grund gab
Λ=0
zu setzen
und den Term verschwinden zu lassen. Das einzige Argument dagegen wäre, dass die
Feldgleichung nicht einfacher würde.
1
Rµν − gµν R = 8πGTµν + Λgµν
2
(1)
Diese Annahme der nicht verschwindenden kosmologischen Konstante bezeichnete Einstein später als die gröÿte Eselei seines Lebens, denn Edwin Hubble entdeckte die
Ausbreitung des Universums und somit war die kosmologische Konstante mit Einsteins
Motiven, um ein konstantes Universum zu ermöglichen, überüssig.
1
Mit der kosmologischen Konstante auf der rechten Seite, kann es als Beitrag zum
Energie-impuls-Tensor interpretiert werden (mit
gµν = ηµν )
von der Form:

ρΛ
0
0
0




0
−ρΛ
0
0
0
0
−ρΛ
0




0
0
0
−ρΛ
Λ
Tµν
=
Λ
.
8πG
Seit der Beobachtung einer expandierenden Ausbreitung des Universums 1998 wurde
mit
ρΛ =
wieder viel Interesse an dieser Konstante gewecken. Vor allem auch weil der Wert von
Λ
eine wichtige Rolle spielt für das frühen Universum.
2 Λ und die Friedmann Gleichungen
Alexander Alexandrowisch Friedmann und Georges Lemaitre fanden eine kosmologische expandierende Lösung der Feldgleichung. Die daraus entstandenen FriedmannGleichungen beschreiben theoretisch die Entwicklung des Universums. Nach den Annahmen eines räumlich homogenen und isotropen Universums erhält man diese Gleichungen
aus der allgemeinen Relativitätstheorie.
2
1.Gleichung:
2.Gleichung:
k
8πG
=
ρtot
2
a
3
ä
4πG
=−
(ρtot + 3ptot )
a
3
ȧ
a
+
(2)
(3)
Die Dichte in diesen Gleichungen ist die Totale Dichte, welche sich zusammensetzt aus
der Dichte der Materie, der Dichte der Strahlung und der Dichte der Vakuumenergie im
Universum.
ρtot = ρm + ρrad + ρvac
mit
ρvac = ρΛ =
Λ
8πG
und equivalent für den totalen Druck:
ptot = prad + pvac
mit
pvac = −ρvac
und
prad = ρrad /3.
Wie schon in den vorherigen Vorträgen dargestellt hängt in einem strahlungsdomi1
nierten Universum die Dichte von 4 ab, während für ein Massendominantes Universum
a
1
die Dichte von 3 abhängt. Betrachtet man aber die Form für die Vakuum Energie Dicha
te, so erkennt man keine Abhängigkeit von a. Für ein Vakuumenergie dominierendes
Universum wäre die Dichte also konstant.
2
Wie aus den vergangenen Vorträgen schon bekannt, können wir die kritische Dichte
des Universums schreiben als:
ρcrit ≡
3H 2
8πG
(4)
Dann können wir die 1. Friedmanngleichung (2) schreiben als
k
ρ
+ 1 = 3H 2 ≡ Ωt
2
2
H a
8πG
(5)
Die totale Energiedichte ist mit der kritischen Dichte deniert als:
Ωt =
ρ
(6)
ρcrit
oder mit der 1.Friedmanngleichung
k
= Ωt − 1.
H 2 a2
(7)
In dieser Gleichung können wir leicht den Eekt von Omega auf die Gestalt des Universums sehen:
ˆ
Ist
Ω > 1,
so ist
k
positiv. Was bedeutet, dass das Universum geschlossen ist.
a
kann daraufhin als Radius des Universums betrachtet werden.
ˆ
Ist
Ω < 1,
so ist
k
negativ und das Universum ist negativ gekrümmt, oen und
kann unendlich ausgedehnt werden.
ˆ
Ist
Ω = 1,
ist
k=0
Zu beachten ist, dass
Ω
und das wäre ein aches Universum.
von der Zeit abhängt. Bei
t → 0
sieht man, dassdie rechte
Seiten der Gleichung schnell gegen 0 geht. Das bedeutet, egal welche Form wir für das
Universum annehmen, für das frühe Universum verringert sich die Auswirkung einer
Krümmung. Da wir heute ein sehr aches Universum messen, muss das frühe Universum
wesentlich acher gewesen sein.
3 Das Schicksal des Universums abhängig von Λ
Λ in den Friedmann-Gleichungen, bekommen
t → ∞. Da die Strahlung schon heute eine geringe
Benutzen wir verschiedene Annahmen für
wir verschiedene Endszenarien bei
Rolle spielt und sie durch die Rotverschiebung immer weiter abnimmt, brauchen wir
nur den Massenanteil (ρm ) und die Vakuumenergie (ρvac ) in die Gleichungen einieÿen
lassen.
Betrachten wir also verschiedene Lösungen der Friedmann-Gleichung mit unterschiedΛ. Hierbei benutzen wir ρm = ρ0 a30 /a(t)3
mit den Bezeichnungen ρ0 bzw. a0 für die heutige Massendichte bzw. die heutige Aus-
lichen Werten für die Kosmologische Konstante
breitung des Universums. In diesem Fall ist für die Ausbreitungsgeschwindigkeit des
Universums folgende Gleichung zu lösen:
3
ȧ(t)2 =
8πGρ0 a30
Λa(t)2
−k+
3a(t)
3
Was sofort zu sehen ist, ist dass der Term mit
a(t)
Λ
(8)
auf lange Sicht, das heiÿt für groÿe
die rechte Seite der Gleichung dominiert.
Betrachten wir zuerst die Annahme
Λ < 0. Da ȧ(t) ein reellen Wert annehmen muss ist
die maximale Ausbreitung acrit . Diese ist erreicht, wenn die rechte Seite von Gleichung
2
8πGρ0 a30
= −k + Λa(t)
wenn Λ < 0. Aus der 2. Friedmanngleichung
(8) zu Null wird:
3a(t)
3
können wir eine Gleichung für die Beschleunigung formen. Auch hier können wir sehen,
dass die Beschleunigung negativ wird und wir unabhängig von
k,
also der Form des
Universums eine Oszillation bekommen:
ä(t) = −
Interessanter wird es bei
Λ>0
4πGρ0 a30 Λa(t)
+
3a(t)2
3
(9)
wo wir sofort sehen, dass bei
k = −1
und
k=0
wir
keinen negativen Term mehr in der Gleichung (8) haben und eine exponentielle Ausbreitung die Folge ist. Sehr gut zu sehen ist dies wenn man die 1. Freidmann-Gleichung mit
k=0
sowie
ρΛ ρrest
betrachten:
H 2 (t) =
2
ȧ
a
=
Λ
3
(10)
Mit einem einfachen Exponentionalansatz kommt man schnell auf die Lösung dieser
Gleichung:
a(t) = eHt
Man bemerke für genügend groÿe
t
mit
H=
q
Λ/3
(11)
ist eine Ausbreitung des Raumes mit Überlichge-
schwindigkeit möglich. Eine Folge wäre, dass das Licht ferner Galaxien uns nicht mehr
erreichen könnte, da sich der Raum schneller Ausbreitet als sich das Licht darin ausbreiten kann. Mit zunehmender Zeit wird unsere Sichtweite also immer kürzer.
k = +1 können wir bei der Betrachtung der Formel ins Feintuning gehen. Man
Λ so wählen, dass die Beschleunigung und die Geschwindigkeit der Ausbreitung
Universums verschwindet. Wir hätten also den Wert für Λ den Albert Einstein in
Bei
könnte
des
seiner Motivation für die Kosmologische Konstante beabsichtig hat. Natürlich bedeutet
diese Annahme auch, dass wir keine Rotverschiebung besitzen, welches im Gegensatz
zu den Beobachtungen steht. Erhöhen wir den Wert für
Λ
etwas, sehen wir, dass die
Kosmologische Konstante gröÿer wird als die Anziehungskraft der Massen und sich das
Universum endlos ausbreiten wird.
Λ etwas kleiner als beim statischen Fall, gäbe es einen Abschnitt von möglichen
Werten für Λ in denen ein Big Bang nicht möglich gewesen wäre. Unter diesem Abschnitt
Wäre
kann das Universum sich entweder endlos ausbreiten oder wieder in sich zusammen fallen.
4
4 Der Physik Nobelpreis 2011
Die beiden Forschungsgruppen um Saul Perlmutter und Brian P. Schmidt schaten es,
durch die Beobachtungen von Typ Ia Supernovae eine beschleunigte Ausbreitung des
Universums zu beweisen.
Bei den Ia Supernovae handelt es sich um sogenannte Standartkerzen. Dies sind Lichtquellen bei denen man ganz genau weiÿ wie viel Energie bzw. Helligkeit ausgestrahlt wird.
Deshalb sind si für die Entfernungsbestimmung so wertvoll. Durch die Rotverschiebung
des ankommenden Lichts kann man bestimmen wie schnell sich die Quelle von uns weg
bewegt.
Bei den Ia Supernovae handelt es sich um explodierende weiÿe Zwerge. Das sind Sterne,
die eine ähnliche Masse wie unsere Sonne haben, jedoch so klein sind wie unsere Erde.
In einem Doppelsternsystem zieht die hohe Anziehungskraft des weiÿen Zwerges Materie
von seinem Sternpartner. Erreicht der weiÿe Zwerg dadurch irgendwann eine Masse von
1,4 Sonnenmassen, explodiert er. Da ein weiÿer Zwerg immer bei 1,4 Sonnenmassen
explodiert ist auch die dabei produzierte Helligkeit bei der Explosion gleich. Allerdings
hält diese Helligkeit nicht lange an. Schon nach einer Woche nimmt die Strahlung rapide
ab, und nach einigen Monaten ist von der Supernova nichts mehr zu sehen.
Um dennoch früh genug, nämlich beim Intensitätsmaximum die Supernova zu beobachten entwickelten die Forschungsgruppen ein neues CCD Beobachtungssystem. Verglichen wurden dann 2 Aufnahmen eines Himmelsstücks, eine Aufnahme mit Supernova,
die andere ein paar Wochen zuvor aufgenommen ohne Supernova.
Bei diesen Messungen kann man zwei wichtige Informationen bekommen, abgesehen
natürlich von der Richtung zur Quelle. Einmal die Entfernung zu Supernova durch die
scheinbare Helligkeit und die Geschwindigkeit mit der sich die Lichtquelle von uns wegbewegt duch die Rotverschiebung.
Die Entfernung zur Supernova kann mit Hilfe der scheinbaren Helligkeit, also mit der
Helligkeit wie wir die Lichtquelle auf der Erde sehen
der Supernova
M
(m) und der tatschlichen Helligkeit
bestimmt werden:
m = M + 5 log dL + 25
mit
dL
der Leuchtkraftentfernung gemessen in Mpc
dL = 10
m−M
5
−5
Durch das Verhältnis der Wellenlänge zwischen
.
λ1
(12)
der emitierten Wellenlänge und
λ0
der beobachteten kann das Verhältnis der kosmischen Ausbreitung zum Zeitpunkt t1 bei
der Emission und
t0
der Zeitpnkt der Beobachtung bestimmt werden:
λ0
a(t0 )
=
λ1
a(t1 )
daraus folgt der Ausdruck für den Rotverschiebungsparameter
z=
λ0 − λ1
a(t0 )
=
−1
λ1
a(t1 )
5
z:
(13)
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt ab von der Massendichte, der kosmologischen
Konstante und der geometrie des Universums. Da wir eine sehr geringe Krümmung des
Raumes messen und wir deshalb annehmen, dass der Raum ach ist, ist
k=0
und die
Abhängigkeit von der Raumkrümmung verschwindet. Wir wissen, dass die Massendichte
−3
mit a(t)
skaliert. Somit können wir die Expansionsrate des Universums schreiben als
H 2 = H02 [ΩM (1 + z)3 + ΩΛ ]
(14)
Für ein Event in der Vergangenheit das bei einer Rotverschiebung von
z
heute beobe-
achtet wird, gilt über die Denition des Hubbleparameters:
a(t)
d
log
H=
dt
a0
!
d
1
=
ln
dt
1+z
=
−1 dz
1 + z dt
(15)
Mit (15) und (16) kombiniert können wir die Gleichung umformen zu
−(1 + z)−1
dt
=
1
dz
H0 [ΩM (1 + z)3 + ΩΛ ] 2
(16)
Die Gröÿen a, r und t hängen zusammen in der Gleichung für die radiale, nicht geo1
dr
= a(t)
. Multipliziert mit a0 erhalten wir die Gleichung:
dätische FLRW Metrik
dt
a0
a0
dr
=
dt
a(t)
(17)
Mit dem Ausdruck für die Rotverschiebung (13) können wir (17) umformen zu:
a0 dr = (1 + z)dt
(18)
In verbindung mit Gleichung (16) und der Integration bis zur Rotverschiebung der
Supernova
z1 ,
bzw. bis zum Abstand der Supernova
a0
Z r1
0
dr =
Z z1
0
r1
folgt:
dz
(19)
q
H0 ΩM (1 + z)3 + ΩΛ
Mit einem weiteren Ausdruck für die Leuchtkraftentfernung,
dL = a0 (1 + z)r1
können
wir (19) umschreiben, sodass die Leuchtkraftentfernung einer Ia Supernova in einem
achen Universum
k = 0 ist neben der Rotverschiebung nur noch abhängig von ΩM
und
z
1+z Z
dz 0
q
dL (z, H0 , ΩM , ΩΛ ) =
H0 o
ΩM (1 + z 0 )3 + ΩΛ
(20)
ΩΛ :
Durch eine genaue Messung der Leuchtkraftentfernung kann mit dieser Formel die
Energiekomponenten des Universums, besonders
ΩΛ
bestimmt werden.
Als Ergebnis dieser Forschung wurde mit hoher Wahrscheinlichkeit entdeckt, dass die
kosmologische Konstante
Λ
gröÿer null ist
Verteilung von Masse und Vakuumenergie
P (Λ > 0) ≈ 99%, und dass
Ωm ' 0, 3 und ΩΛ ' 0, 7 ist.
6
die momentane
Weiter wurde entdeckt, dass die kosmologische Konstante, also die beschleunigte Ausdehnung erst seit 5 Billionen Jahren die Ausbreitung des Universums nennenswert beschleunigt. In der Zeit davor hat die Masse im Universum die vom Big Bang kommende
Ausbreitungsgeschwindigkeit verringert. Wie wir in unseren Betrachtungen oben gesehen haben wächst jedoch der Einuss der kosmologischen Konstante mit der Gröÿe des
Universums und damit auch die Ausbreitungsgeschwindigkeit.
Als Vakuumenergie wird angenommen, dass es sich hierbei um die dunkle Energie
handelt, über die man jedoch noch recht wenig weiÿ.
5 Die Probleme der kosmologischen Konstante
Es gibt zwei Probleme, mit denen sich die Wissenschaft bei der kosmologischen Konstante konfrontiert sieht. Die erste und ältere der beiden Probleme geschäftigt sich mit dem
Problem der Gröÿe von
Λ.
Warum hat die kosmologische Konstante so einen kleinen
Wert, der aber trotzdem ungleich Null ist. Ein Erklärungsansatz ist die Nullpunktsfluktuation. In relativistischer Quantenphysik ist das Vakuum nicht leer sondern gefüllt
mit Quantenuktuationen. Das sind Teilchen-Antiteilchen-Paare, die in der Quantenfeldtheorie aus dem Vakuum entstehen und wieder zerfallen. Die Erlaubten Zustände
eines harmonischen Oszillator in der Quantenmechanik sind somit:
1
h̄ω0
En = n +
2
Die Vakuumenergie ist also nicht geringer als die Energie
(21)
E0 = 21 h̄ω0
bei
n = 0.
Um
zur Energiedichte zu gelangen, betrachten wir die Energie über den gesamten Raum und
über alle Frequenzen:
4
8π Z ωmax ω 2
ωmax
< ρ >vac =
ω
dω
=
(2π)3 0
2
8π 2
(22)
man sieht, dass bei sehr groÿen Frequenzen die Inergiedichte divergiert. Betrachten
q
1
1
wir das Integral bis zur Planckfrequenz ωP =
=
erhalten wir eine VakuumenertP
G
74
3
−44
giedichte von ρvac ∼ 10 GeV /cm . Mit tP der Planckzeit (tP = lP /c ∼ 10
s), lP der
q
−33
3
h̄G/c ∼ 10 cm) und c der Lichtgeschwindigkeit. Dieser Wert ist
Plancklänge (lP =
zu vergleichen mit dem heute gemessenen Wert für die kritische Dichte:
ρcrit =
3H0
∼ 0, 5 · 10−5 GeV /cm3 .
8πG
(23)
Das Ergebnis zeigt einen Unterschied von ca. 80 Gröÿenordnungen, obwohl wir noch
nicht über die Nullpunktenergien aller freien Teilchen summiert haben.
Das neuere der zwei Probleme ist die Frage warum geht
ÿenordnung wie
ΩM
ΩΛ
mit der gleichen Grö-
in die Ausbreitungsgeschwinsigkeit ein. Warum sollte in der ganzen
Geschichte des Universums gerade dann
ΩΛ
und
wenn wir unsere Beobachtungen machen.
7
ΩM
einen gleichstarken Einuss haben,
Quellen
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Raphael Bousso , TASI Lectures on the Cosmological Constant,
http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0708/0708.4231v2.pdf,
2007.
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http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2011/advanced-physicsprize2011.pdf,
2011.
The Royal Swedish Academy of sciences , Written in the stars,
http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2011/popular-physicsprize2011.pdf,
2011.
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Perlmutter, S., et al. , Measurment of
Ω
and
Λ
from 42 High-Redshift Supernovae,
Astrophysical Journal, 517, 565-586, 1999.
Norbert Straumann , The history of the cosmological constant problem,
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0208027,
2002.
Steven Weinberg , The Cosmological Constant Problems,
http://ned.ipac.caltech.edu/level5/Weinberg/frames.html,
2000
Wikipedia , Planck-Einheiten,
http://de.wikipedia.org/wiki/Planck-Einheiten,
Version 25. November 2011, 18:09
Zusatzinformationen
Was ist die Planck-Welt? aus der Fernseh-Sendereihe alpha-Centauri.
http://www.br.de/fernsehen/br-alpha/sendungen/alpha-centauri/alpha-centauri-planck-welt-harald-lesch100.html
8