TSP: Approximation

Algorithmische Methoden für schwere
Optimierungsprobleme
Prof. Dr. Henning Meyerhenke
Institut für Theoretische Informatik
1
Institutund
für Theoretische Informatik
KIT –Henning
Universität desMeyerhenke,
Landes Baden-Württemberg
nationales
Forschungszentrum
in der Helmholtz-Gemeinschaft
Algorithmische
Methoden
für schwere Optimierungsprobleme
www.kit.edu
Modellierungsaufgabe
Szenario:
Sie arbeiten in einer Firma, die Software für mobile Pflegedienste
entwickelt.
Ihre Aufgabe ist die Entwicklung eines Algorithmus für die
Tourenplanung.
Aufgabe(n):
Modellieren Sie das Problem!
Fragen Sie den Kunden (mich) nach Details!
2
Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
Vorlesung 3
Programm des Tages:
TSP: Motivation und Definition
TSP: Approximation
Literatur:
Rolf Wanka: Approximationsalgorithmen. Eine Einführung. Teubner,
2006.
3
Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
Vorlesung 3
Programm des Tages:
TSP: Motivation und Definition
TSP: Approximation
Literatur:
Rolf Wanka: Approximationsalgorithmen. Eine Einführung. Teubner,
2006.
Nächstes Mal:
TSP: Heuristiken
TSP: Metaheuristik Simulated Annealing
3
Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
Inhalt
TSP
Motivation und Definition
Approximationsergebnisse
4
Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Motivation und Definition
Modellierungsaufgabe
Szenario:
Sie arbeiten in einer Firma, die Software für mobile Pflegedienste
entwickelt.
Ihre Aufgabe ist die Entwicklung eines Algorithmus für die
Tourenplanung.
Aufgabe(n):
Modellieren Sie das Problem!
Fragen Sie den Kunden (mich) nach Details!
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Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Motivation und Definition
Definition
Das Problem des
Handlungsreisenden
(TSP):
Finde für endlich viele
Punkte, deren paarweise
Abstände bekannt sind, den
kürzesten die Punkte
verbindenden Zyklus!
Graphentheoretisch:
Finde einen Hamiltonkreis
im (gewichteten) Graphen
G = (V , E , ω ) mit minimaler
Länge!
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Motivation und Definition
Komplexität
Theorem
TSP ist als Entscheidungsproblem N P -vollständig.
Beweis.
Reduktion auf Hamiltonkreis.
Häufiges Vorgehen:
Wenn das allgemeine Problem zu schwierig ist, kann man
eingeschränkte Problemstellungen effizient lösen?
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Motivation und Definition
Inhalt
TSP
Motivation und Definition
Approximationsergebnisse
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Approximationsergebnisse
Metrisches TSP
Definition (Metrisches TSP)
Ein TSP-Problem I heißt metrisch, wenn die Gewichtsfunktion ω von I die
Dreiecksungleichung erfüllt.
Theorem (Christofides)
Das metrische TSP für einen Graphen mit n Knoten kann mit
Christofides’ Algorithmus mit
einer garantierten relativen Güte von 32 − n1
bei einer Laufzeit von O(n2.5 log4 n)
gelöst werden.
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Approximationsergebnisse
Der Algorithmus von Christofides
Begriffe
Matching: Teilgraph, in dem jeder Knoten höchstens Grad 1 hat
Perfektes Matching: Teilgraph, in dem jeder Knoten genau Grad 1 hat
Eulerkreis: Kreis, der jede Kante genau einmal besucht
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Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
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TSP
Approximationsergebnisse
Der Algorithmus von Christofides
Eingabe: Instanz < Kn , ω >
Ausgabe: Hamiltonkreis auf G mit rel. Güte (3/2 − 1/n)
1. Berechne einen minimalen Spannbaum T von < Kn , ω >
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Approximationsergebnisse
Der Algorithmus von Christofides
Eingabe: Instanz < Kn , ω >
Ausgabe: Hamiltonkreis auf G mit rel. Güte (3/2 − 1/n)
1. Berechne einen minimalen Spannbaum T von < Kn , ω >
2. Bilde die Menge U der Knoten, die in T einen ungeraden Grad haben
3. Finde auf dem durch U induzierten Teilgraphen ein perfektes
Matching minimalen Gewichts M
b auf T ∪˙ M (mglw. Multigraph)
4. Berechne einen Eulerkreis E
b
5. Entferne in E Wiederholungen von Knoten, so dass man einen
Hamiltonkreis C erhält
6. Gib C aus
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Approximationsergebnisse
Beispiel
Eingabe:
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TSP
Approximationsergebnisse
Beispiel
Minimaler Spannbaum T :
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TSP
Approximationsergebnisse
Beispiel
Menge U von Knoten mit ungeradem Grad (rot):
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TSP
Approximationsergebnisse
Beispiel
Perfektes Matching M minimalen Gewichts auf durch U induziertem
Teilgraphen (rote Kanten):
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TSP
Approximationsergebnisse
Beispiel
b auf T ∪˙ M (blaue Linie folgt E)
b
Eulerkreis E
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TSP
Approximationsergebnisse
Beispiel
Hamiltonkreis C nach der Entfernung von mehrfachen Knoten
(orangefarbene Kanten):
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TSP
Approximationsergebnisse
Analyse
Korrektheit
Lemma
Der Algorithmus von Christofides arbeitet korrekt.
Beweis.
Es gibt immer ein perfektes Matching wie gesucht:
Die Summe der Knotengrade in einem Graphen ist 2|E | und damit gerade
⇒ Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Knotengrad ist gerade
⇒ Die Menge U beinhaltet eine gerade Anzahl von Knoten
Da der induzierte Teilgraph vollständig ist, existiert ein perfektes Matching
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TSP
Approximationsergebnisse
Analyse
Korrektheit
Lemma
Der Algorithmus von Christofides arbeitet korrekt.
Beweis.
Es gibt immer ein perfektes Matching wie gesucht:
Die Summe der Knotengrade in einem Graphen ist 2|E | und damit gerade
⇒ Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Knotengrad ist gerade
⇒ Die Menge U beinhaltet eine gerade Anzahl von Knoten
Da der induzierte Teilgraph vollständig ist, existiert ein perfektes Matching
Es gibt immer einen Eulerkreis wie gesucht:
Alle Knoten in dem betrachteten Graphen haben geraden Knotengrad
Ein Eulerkreis, aus dem Wdh. entfernt wurden, ist ein Hamiltonkreis
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TSP
Approximationsergebnisse
Analyse
Laufzeit
Vollständiger Graph mit O(n2 ) Kanten!
Laufzeit der Schritte
1. MST: O(n2 · α(n2 ))
2. Menge U bilden: O(n)
3. Perfektes Matching minimalen Gewichts: O(n2.5 log4 n)
4. Eulerkreis: O(n2 )
5. Wdh. entfernen: O(n2 )
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Approximationsergebnisse
Analyse
Qualität
Theorem
Der Algorithmus von Christofides garantiert eine relative Güte von
3
2
− n1 .
Beweis.
Sei Copt ein Hamiltonkreis minimaler Länge in Kn
Es reicht zu zeigen, dass gilt:
3 1
ω (C ) ≤ ω (T ) + ω (M ) ≤
−
ω (Copt )
2 n
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Approximationsergebnisse
Analyse
Qualität
Theorem
Der Algorithmus von Christofides garantiert eine relative Güte von
3
2
− n1 .
Beweis.
Sei Copt ein Hamiltonkreis minimaler Länge in Kn
Es reicht zu zeigen, dass gilt:
3 1
ω (C ) ≤ ω (T ) + ω (M ) ≤
−
ω (Copt )
2 n
Wenn man eine Kante mit Mindestgewicht ω (Copt )/n (existiert!) aus
Copt entfernt, dann erhält man einen Spannbaum (nicht notwendigerweise den MST)
⇒ ω (T ) ≤ (1 − n1 )ω (Copt )
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
(MST ist minimal)
TSP
Approximationsergebnisse
Fortsetzung des Gütebeweises (1)
Beweis
Bleibt zu zeigen: ω (M ) ≤ 12 ω (Copt )
Betrachten neuen Kreis H, der entsteht, wenn die Knoten aus U in der
Reihenfolge, in der sie in Copt vorkommen, abgelaufen werden
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Approximationsergebnisse
Fortsetzung des Gütebeweises (2)
Forts.
H kann in zwei perfekte
Matchings M1 und M2 zerlegt
werden
Œ sei ω (M1 ) ≤ ω (M2 ). Es folgt:
ω (M ) ≤ ω (M1 ) (Min. von M)
1
≤ (ω (M1 ) + ω (M2 )) (Œ)
2
1
= ω (H )
2
1
≤ ω (Copt ) (∆-Ungl.)
2
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Approximationsergebnisse
Zeugenmenge
Definition (Zeugenmenge)
Sei A ein α-Approximationsalgorithmus.
Eine unendlich große Menge zulässiger Lösungen D 0 heißt
α0A (n)-Zeugenmenge gegen A, wenn ∀I ∈ D 0 gilt:
αA (|I |) ≥ α0A (|I |)
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Approximationsergebnisse
Zeugenmenge
Definition (Zeugenmenge)
Sei A ein α-Approximationsalgorithmus.
Eine unendlich große Menge zulässiger Lösungen D 0 heißt
α0A (n)-Zeugenmenge gegen A, wenn ∀I ∈ D 0 gilt:
αA (|I |) ≥ α0A (|I |)
( 32 − n1 )-Zeuge für Christofides’ Algorithmus
Siehe Tafel!
18
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Approximationsergebnisse
Zeugenmenge
Definition (Zeugenmenge)
Sei A ein α-Approximationsalgorithmus.
Eine unendlich große Menge zulässiger Lösungen D 0 heißt
α0A (n)-Zeugenmenge gegen A, wenn ∀I ∈ D 0 gilt:
αA (|I |) ≥ α0A (|I |)
( 32 − n1 )-Zeuge für Christofides’ Algorithmus
Siehe Tafel!
Fazit: Algorithmus fertig beschrieben, Güte bewiesen, Schranke scharf!
Historie: Güte erst kürzlich verbessert für bestimmte Szenarien.
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Approximationsergebnisse
PTAS und FPTAS
Definition ((F)PTAS)
Sei Π ein Optimierungsproblem.
Sei A ein Approximationsalgorithmus für Π, der als Eingabe eine
Probleminstanz I von Π und ein e mit 0 < e < 1 bekommt.
A ist ein polynomielles Approximationsschema (PTAS, engl. für
polynomial time approximation scheme) für Π, falls A zu jeder
Probleminstanz I in Polynomialzeit eine zulässige Lösung mit
relativem Fehler e berechnet.
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Approximationsergebnisse
PTAS und FPTAS
Definition ((F)PTAS)
Sei Π ein Optimierungsproblem.
Sei A ein Approximationsalgorithmus für Π, der als Eingabe eine
Probleminstanz I von Π und ein e mit 0 < e < 1 bekommt.
A ist ein polynomielles Approximationsschema (PTAS, engl. für
polynomial time approximation scheme) für Π, falls A zu jeder
Probleminstanz I in Polynomialzeit eine zulässige Lösung mit
relativem Fehler e berechnet.
A ist ein streng polynomielles Approximationsschema (FPTAS, engl.
für fully PTAS), wenn A ein PTAS ist mit Laufzeit O(poly (|I |, 1/e)).
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Approximationsergebnisse
PTAS und FPTAS
Definition ((F)PTAS)
Sei Π ein Optimierungsproblem.
Sei A ein Approximationsalgorithmus für Π, der als Eingabe eine
Probleminstanz I von Π und ein e mit 0 < e < 1 bekommt.
A ist ein polynomielles Approximationsschema (PTAS, engl. für
polynomial time approximation scheme) für Π, falls A zu jeder
Probleminstanz I in Polynomialzeit eine zulässige Lösung mit
relativem Fehler e berechnet.
A ist ein streng polynomielles Approximationsschema (FPTAS, engl.
für fully PTAS), wenn A ein PTAS ist mit Laufzeit O(poly (|I |, 1/e)).
Theorem (Arora, 1996; ähnlich: Mitchell, 1996)
Für das euklidische TSP gibt es ein PTAS mit der Laufzeit
O(n3 logO(1/e) n).
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Approximationsergebnisse
Nichtapproximierbarkeit von TSP
Theorem
Wenn es einen Polynomialzeit-Approximationsalgorithmus A mit
konstanter relativer Güte r für das volle TSP gibt, dann ist P = N P .
Beweis.
Annahme: Es gibt ein solches A mit relativer Gütegarantie r ∈ N.
Ziel: Algorithmus angeben, der mit Hilfe von A das N P -vollständige
Hamiltonkreisproblem in Polynomialzeit löst.
Genauer: H AMILTON ≤p TSP [r ] für alle r .
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Approximationsergebnisse
Fortsetzung des Beweises
Transformation der Eingabe
Beweis.
Eingabe: G = (V , E ) mit n Knoten, Frage: Hat G einen Hamiltonkreis?
Transformation von G in Probleminstanz IG für TSP:
IG = hKn , c i mit
(
1
, falls {u , v } ∈ E
(kurze Kanten)
c (u , v ) =
r 0 := (r − 1) · n + 2 , falls {u , v } ∈
/E
(lange Kanten)
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Approximationsergebnisse
Fortsetzung des Beweises
Gültigkeit der Transformation
Beweis.
IG kann in Polynomialzeit aus G berechnet werden.
Es gilt: Hat G Hamiltonkreis, dann hat kürzeste Rundreise Länge n.
Es gilt: Hat G keinen Hamiltonkreis, dann enthält jede Rundreise
mindestens eine lange Kante.
⇒ Länge der kürzesten Rundreise
≥ (r − 1) · n + 2 + n − 1 = r · n + 1 > r · n
Folglich existiert Lücke:
Zulässige Lösung für IG hat entweder Länge
= n oder
> r · n.
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Approximationsergebnisse
Fortsetzung des Beweises
Algorithmus
Beweis.
1: function E NTSCHEIDE H AMILTON(Graph G)
2:
berechne IG und approximiere mit A eine kürzeste Rundreise in IG
3:
if A(IG ) > r · n then
4:
return “kein Hamilton-Kreis"
5:
else
6:
return “Hamilton-Kreis vorhanden"
7:
end if
8: end function
Wenn Hamilton-Kreis vorhanden, muss A(IG ) ≤ r · n sein.
Es gibt aber nur optimale Rundreisen (= HK in G) mit dieser Länge.
⇒ Approximation mit konstanter relativer Güte nur, wenn P = N P .
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Approximationsergebnisse
Allgemeine Nichtapproximierbarkeit
Theorem
Sei L ⊆ Σ∗ ein N P -vollständiges Entscheidungsproblem und sei Π ein
Minimierungsproblem.
Gibt es zwei in Polynomialzeit berechenbare Funktionen
f : Σ∗ → D und
c : Σ∗ → N und
eine Konstante γ > 0,
so dass für alle Eingaben x ∈ Σ∗ gilt:
(
≤ c (x )
x ∈L
OPT (f (x ))
≥ c (x ) · (1 + γ ) x ∈
/ L,
dann gibt es keinen Polynomialzeit-Approximationsalgorithmus mit
relativer Güte r mit r < 1 + γ, es sei denn, P = N P .
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Approximationsergebnisse
Zusammenfassung und Ausblick
Zusammenfassung
TSP: Finde gewichteten Hamiltonkreis minimaler Länge!
Entscheidungsproblem ist N P -vollständig
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Approximationsergebnisse
Zusammenfassung und Ausblick
Zusammenfassung
TSP: Finde gewichteten Hamiltonkreis minimaler Länge!
Entscheidungsproblem ist N P -vollständig
Alg. von Christofides hat relative Güte von 32 − n1
PTAS für euklidisches TSP (ohne Beweis)
Konstante relative Güte für allgemeines TSP ⇒ P = N P
25
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Approximationsergebnisse
Zusammenfassung und Ausblick
Zusammenfassung
TSP: Finde gewichteten Hamiltonkreis minimaler Länge!
Entscheidungsproblem ist N P -vollständig
Alg. von Christofides hat relative Güte von 32 − n1
PTAS für euklidisches TSP (ohne Beweis)
Konstante relative Güte für allgemeines TSP ⇒ P = N P
Ausblick
Tauschheuristiken für TSP
Metaheuristik Simulated Annealing für TSP
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Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
TSP
Approximationsergebnisse