Theoretische Elektrodynamik
Werbung
04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 Theoretische Elektrodynamik Literatur: 1. Joos: 2. Jackson: 3. Nolting: Lehrbuch der Theoretische Physik Klassische Elektrodynamik Grundkurs Theoretische Physik zusätzlich: Sommerfeld: Landau/Lifschitz: Feynman: Bd. 3 + Bd. 6 Mathematische Physik Elektrodynamik der Kontinua Vorlesungen über Physik Die vorliegende Vorlesung ist garantiert nicht fehlerfrei. Es wird sehr empfohlen, alle Herleitungen und Formeln selbständig zu überprüfen. Hinweise und Anregungen bitte an: [email protected] Bildernachweis: Soweit die Quelle nicht explizit angegeben ist, stammen die Bilder von http://de.wikipedia.org/ , Fließbach, Jackson oder wurden selbst erstellt. Keine SI-Einheiten: Fließbach: Elektrodynamik Viele Visualisierungen stammen von http://ocw.mit.edu/ MIT's OpenCourseWare: 8.02T Electricity and Magnetism. 1 04.04.2012 08:16 2 04.04.2012 08:16 Vektorfelder: 1. Einleitung Die klassische Elektrodynamik ist ein Teilgebiet der Physik, das sich mit elektrischen und magnetischen Feldern und Potenzialen, elektromagnetischen Wellen und der Dynamik elektrisch geladener Teilchen und Strömen beschäftigt. Ein Vektorfeld ist eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet. Vektorfelder sind von großer Bedeutung in der Physik, um zum Beispiel die Stärke und Richtung einer Kraft, die an verschiedenen Punkten verschieden sein kann, zu beschreiben. Die elektromagnetischen Felder E(r,t) und B(r,t) können durch ihre Kraftwirkung F auf eine Ladung q nachgewiesen werden. F =q E r , t q v × B r , t Ladungen und Ströme sind die Quellen der elektromagnetischen Felder. Feldgleichungen: Die Elektrodynamik basiert auf den Maxwell-Gleichungen, die das Zusammenspiel von elektrischen und magnetischen Feldern beschreiben. Sie wird 'klassisch' genannt, da sie quantenmechanische Aspekte nicht berücksichtigt. 3 Die Bewegungsgleichungen für Felder nennt man Feldgleichungen. Sie sind partielle Differenzialgleichungen, die das räumliche und zeitliche Verhalten der Felder bestimmen. Die Feldgleichungen des elektromagnetischen Feldes sind die Maxwell-Gleichungen, diese Gleichungen sind die Grundgleichungen der Elektrodynamik. 4 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 1.1 Gradienten, Divergenzen und Rotationen Kartesische Koordinaten: Die Abbildung zeigt einige Höhenlinien Φ(x,y) = const. Im Dreidimensionalen werden diese Höhenlinien zu den Flächen Φ(x,y,z) = const. Der Gradient von Φ steht senkrecht auf diesen Flächen. Er zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs von Φ; sein Betrag ist proportional zu diesem Anstieg. Der Gradient einer skalaren Größe Φ ergibt einen Vektor: grad = ∇ = ∂ ∂ ∂ , , ∂x ∂y ∂z Die Divergenz eines Vektors A ergibt eine skalare Größe: div A = ∇⋅ A= Zur Berechnung der Divergenz wird ein kleines Volumen betrachtet (hier kugelförmig). Wenn das Vektorfeld im Bereich des Volumens konstant ist, verschwindet die Divergenz. Die Divergenz wird maximal, wenn das Vektorfeld durchweg parallel zum Vektor der Oberfläche des Volumens dA ist. Die Rotation eines Vektors A ergibt eine vektorielle Größe: rot A = ∇× A= Zur Berechnung der Rotation wird eine kleine Fläche (hier kreisförmig) mit dem Normalenvektor n betrachtet. Wenn das Vektorfeld im Bereich der Fläche konstant ist, verschwindet die Rotation. Nimmt V dagegen quer zur Feldrichtung zu, so ist n·rot V ungleich Null. Die Rotation wird maximal, wenn V parallel zum Wegelement dr des Randes der Fläche ist. ∂ A z ∂ A y ∂ A x ∂ Az ∂ A y ∂ A x − , − , − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Der Nabla-Operator ist definiert als ein Vektor: ∇= ∂ ∂ ∂ , , ∂x ∂ y ∂z In kartesischen Koordinaten lautet das Wegelement dr: d r = dx ex dy ey dz ez = dx , dy , dz 5 entnommen aus: Fließbach, Elektrodynamik, 4. Auflage 04.04.2012 08:16 6 04.04.2012 08:16 Einige nützliche Formeln der Vektorrechnung Häufig benutzte Formeln der Vektorrechnung Es sei r = (x,y,z) der Ortsvektor eines Punktes in einem kartesischen Koordinatensystem. Sein Betrag sei r = |r| und n = r/r bezeichne den Einheitsvektor in Richtung von r. Ferner sei f(r) eine differenzierbare Funktion. Dann gilt: ∂x ∂ y ∂z =3 ∂x ∂ y ∂z ∇ × r = rot r = 0 2 ∂f ∇ ⋅[ n f r] = f r ∂r ∇ × [ n f r] = 0 f r ∂f a ⋅ ∇ n f r = [ a − n a ⋅n ] n a ⋅ n r ∂r ∇ r ⋅ a = a r ∇ ⋅a i L × a ∇ ⋅r = div r = wobei ∂ Ax ∂ A y ∂ Az ∂x ∂y ∂z ∇ × ∇ = rot grad = 0 ∇ ⋅∇ × a = div rot a=0 2 ∇ ×∇ × a = rot rot a = ∇ ∇ ⋅ a − ∇ a = grad diva − a ∇ ⋅ a = a ⋅∇ ∇ ⋅a ∇ × a = ∇ × a ∇ × a ∇ a ⋅ b = a ⋅∇ b b⋅∇ a a ×∇ × b b ×∇ × a ∇ ⋅a × b = b⋅∇ × a − a ⋅∇ × b ∇ × a× b = a ∇ ⋅ b − b ∇ ⋅ a b⋅ ∇ a − a ⋅∇ b a ⋅ b × c = b⋅c × a = c ⋅a × b a ⋅c b − a ⋅ bc a × b × c = a × b⋅c × d = a ⋅c b⋅d − a ⋅ d b⋅c 1 L = r ×∇ i den Drehimpulsoperator darstellt. 7 8 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 1.2 Integralsätze aus der Vektoranalysis 1.3 Das System der Maxwellschen Gleichungen im Vakuum 3 V sei ein dreidimensionales Volumen mit dem Volumenelement dV=d r und S eine Fläche die V begrenzt. df ist ein Flächenelement mit Richtung der äußeren Flächennormalen. Gauß'scher Satz: ∫ div A V div D= rot E =− d3 r =∫ A⋅d f S ∂ B ∂t rot H = j D = 0 E S sei eine Fläche die von einem Rand ∂S begrenzt wird. dr ist ein Linienelement längs des Rands. Stokes'scher Satz: div B=0 ∂D ∂t B = 0 H Das Vorhandensein von Materie modifiziert die letzten beiden Gleichungen, die dann durch materialspezifische Näherungen ersetzt werden. ∫ rot A⋅d f = ∮ A⋅d r S Von grundlegender Bedeutung für die Elektrodynamik ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. ∂S Für ein Vektorfeld ist Wirbelfreiheit gleichbedeutend mit der Wegunabhängigkeit des Linienintegrals: c= 1 0 0 2 rot A=0 ∫ A⋅d r = wegunabhängig 1 9 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 2. Elektrostatik 2.1. Grundbegriffe / Maßsysteme 1) 2) 10 Der experimentelle Nachweis von Elektronen gelang erstmals im Jahr 1897 durch den Briten Joseph John Thomson. Experimentelle Erfahrung: Es gibt zwei Arten von Ladungen, die man als Q > 0: positive Ladung Q < 0: negative Ladung bezeichnet. Das Vorzeichen ist so festgelegt, dass das Reiben eines Glasstabes auf diesem die Ladung Q > 0 zurück lässt (Hartgummistab Q < 0). Der Name kommt vom griechischen Wort elektron (ηλεκτρον) und bedeutet Bernstein. Elektronen sind negativ geladene Elementarteilchen ohne räumliche Ausdehnung. In guter Übereinstimmung mit der Quantenelektrodynamik ergaben Elektron-ElektronStreuexperimente an Teilchenbeschleunigern eine maximale Elektronengröße von 10-19 m. Elektronen gehören zu den Leptonen. Ihre Antiteilchen sind die Positronen (e+), mit denen sie bis auf ihre elektrische Ladung in allen Eigenschaften übereinstimmen. Das Elektron besitzt die kleinste, nicht mehr teilbare Ladung: Elementarladung e (Nachweis durch den Millikan-Versuch) In unserer Definition ist die Ladung des Elektrons negativ. −19 e = 1.602⋅10 Robert Andrews Millikan 22. März 1868 in Morrison, Illinois, USA † 19. Dezember 1953 in San Marino USA Nobelpreis für Physik 1923 As Quarks 1 2 ± e ,± e 3 3 11 Sir Joseph John Thomson 18. Dezember 1856 in Cheetham Hall † 30. August 1940 in Cambridge Nobelpreis für Physik 1906 12 04.04.2012 08:16 3) 04.04.2012 08:16 Es existiert ein Erhaltungssatz für Gesamtladungen, erhalten bleibt nur die Summe von Ladungen. Er gilt nicht für nur positive oder negative Ladungen. Verwendete Bezeichnungen: Ladung wird in Coulomb gemessen 1 C = 1 As. Ladung Q = n e (ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e) Ladungsdichte ρ(r) Ladung pro Volumeneinheit -> Gesamtladung Q = ∫ r dV V Flächenladungsdichte σ: Ladung pro Flächeneinheit 4) SI-Maßsystem Länge in m Zeit in s Masse in kg Ladung in C = As Das Ampere ist die Stärke des zeitlich unveränderlichen elektrischen Stromes durch zwei geradlinige, parallele, ∞ lange und ∞ dünne Leiter, die den Abstand 1 m haben und zwischen denen die durch den Strom elektrodynamisch hervorgerufene Kraft im leeren Raum je 1 m Länge der Doppelleitung 2*10-7 N beträgt. Linienladungsdichte η: Ladung pro Linienelement 13 04.04.2012 08:16 14 04.04.2012 08:16 2.2. Das Coulombsche Gesetz in Vakuum Allgemeine Form des Coulombgesetzes für zwei Ladungen im Punkt r und r': Das Coulombgesetz beschreibt die elektrostatische Kraftwirkung zwischen ruhenden Ladungen. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleiche Ladungen ziehen sich an. Q ' Q r −r ' F r = 4 0 ∣r −r '∣3 Q ' im Ursprung P 0,0 ,0 = Q ' Q r F 4 0 r3 2 2 2 r = ∣r ∣ = x y z 1) Die Kraft ist direkt proportional zu den Ladungen Q und Q', 2) Der Betrag ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes der beiden Ladungen, Q' übt eine Kraftwirkung auf Q aus (r zeigt von Q' -> Q). ● Kraftwirkung auf Q' hat den gleichen Betrag, ist aber entgegengesetzt gerichtet. ● Q'Q 1 1 ∣ F r ∣= ∣r −r '∣ ~ 3 4 0 ∣r −r '∣ ∣r −r ∣2 3) Die Kraft ist entlang der Verbindungslinie der beiden Ladungen gerichtet. anziehend für Ladungen mit ungleichen Vorzeichen abstoßend für Ladungen mit gleichen Vorzeichen 0 Dielektrizitätskonstante des Vakuums 0 = 8,854⋅10 Charles Augustin Coulomb 14. Juni 1736 in Angoulême † 23. August 1806 in Paris −12 As Vm 4) actio = reactio (Die Kraft, die eine Ladung spürt, entspricht der Kraft auf die andere Ladung mit umgekehrtem Vorzeichen.). 15 16 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 2.2.1 Konzept des elektrischen Feldes E(r) 2.2.2 Feldlinien Obwohl die Messgröße eine Kraft ist, ist es zweckmäßig, den Begriff des elektrischen Feldes einzuführen. Das elektrische Feld E(r) wird durch eine gegebene Ladungskonfiguration erzeugt und ist durch die Kraft definiert, die auf eine kleine positive Testladung q wirkt. Veranschaulichung durch Bilder in Form von Feldlinien: Feldlinien sind Bahnen, auf denen sich ein positiver geladener, kleiner, anfangs ruhender Körper aufgrund der Coulomb-Kraft fortbewegen würde. - Das elektrische Feld ist eine vektorielle Größe mit der Einheit V/m. - Da die Testladung selbst das Feld verändern würde, gilt die Definition für das elektrische Feld nur für den Grenzübergang zu einer sehr kleinen Testladung. + f E r = lim q 0 q Das Feld-Konzept zerlegt die Kraftwechselwirkung in 2 Schritte: 1) Eine vorgegebene Ladungskonfiguration (Q') erzeugt ein elektrisches Feld (unabhängig von der anderen Ladung) 2) Ladung Q reagiert auf das Feld E(r) durch Kraftwirkung 22. September 1791 Newington Butts † 25. August 1867 bei Hampton Court - Feldlinien von Punktladungen sind radial. In jedem Raumpunkt r liegt das elektrische Feld E(r) tangential an der dort existierenden Feldlinie. Feldlinien schneiden sich nie! Q ' r −r ' E r = 4 0 ∣r −r '∣3 f r = Q E r Q' am Ort r' erzeugt ein elektrisches Feld, dieses ist Ursache der Kraft auf Q am Ort r. 17 04.04.2012 08:16 18 04.04.2012 08:16 Wegunabhängigkeit der Potenzialdifferenz 2.2.3 Elektrostatisches Potenzial U Zu U kann immer eine beliebige Konstante addiert werden -> messbar sind nur Potenzialdifferenzen Alle Kräfte die umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes sind, sind Potenzialkräfte. Die Rotation solcher Kraftfelder verschwindet und sie besitzen ein skalares Potenzial. Damit existiert auch für das elektrische Feld E ein skalares Potenzial U. rot E =0 r2 r2 U r2 − U r1 = ∫ dU = ∫ Q' r −r ' E r = 4 0 ∣r −r '∣3 grad U = r1 r1 ∂U ∂ U ∂ U ∂x , ∂ y , ∂z r2 r2 1 1 ∂U ∂U ∂U dx dy dz = ∫ grad U⋅d r = −∫ E⋅r ∂x ∂y ∂z r r d r = dx , dy , dz E besitzt ein elektrostatisches Potenzial U mit der Einheit Volt [V].. r2 U r2 − U r1 = −∫ E⋅d r E r = − ∇ U r = −grad U r r1 Dieses Linienintegral ist wegunabhängig. Das elektrostatische Potenzial kann durch Äquipotenziallinen dargestellt werden. wegen: Stokes'scher Satz (siehe Übung) ∫ rot a ⋅d f = ∮ a ⋅d r F 19 ∂F E ⋅d f = ∮ E ⋅d r = 0 ∫ rot F =0 da rot E 20 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 Potenzial des elektrischen Feldes 2.2.4 Superpositionsprinzip Eine Ladung Q' sei im Nullpunkt unseres Koordinatensystems. Eine andere Ladung, die aus dem Unendlichen zum Ort r' gebracht wird, muss die Potenzialdifferenz bewältigen ● Mehrere Punktladungen Qi an Orten ri r ' ⋅d r U r ' −U ∞=−∫ E ● ∞ ● Jede Punktladung erzeugt ein Feld Ei(r) am Ort r Gesamtfeld E (r) übliche Wahl der Konstanten U ∞ = 0 ,und Q ' im Nullpunkt , r ' r ' Q' r ⋅d r U r ' = −∫ E r ⋅d r = − ∫ r3 4 0 ∞ ∞ =− Q' 4 0 r ' E r = ∑ E i r r⋅d r =x dx ydy zdz=∣r ∣∣d r∣ a⋅b=a bcos Q' = ∫ dr 2 4 0 r ' r ∞ Das ist das elektrische Potenzial am Ort r' erzeugt durch eine Ladung Q' im Nullpunkt, für eine Ladung Q' an einem beliebigen Ort r erhalten wir U= U r = ∑ U i r i i Qi r − ri mit E i r = 4 0 ∣r − r i∣3 U i r = Qi 1 ri∣ 4 0 ∣r − Ursache ist die Linearität der Maxwell'schen Gleichungen. Die Summe von Lösungen ist wieder Lösung der Maxwell'schen Gleichungen. Für sehr starke Felder treten nichtlineare Effekte auf, in diesen Fällen gilt das Superpositionsprinzip dann nicht! Q' 4 0∣r −r '∣ 21 04.04.2012 08:16 22 04.04.2012 08:16 2.2.5 Raumladungsdichte - Raumladungswolke d Qi r = dV 2.2.6 Fluss des elektrischen Feldes durch eine Fläche Fluss des elektrischen Feldes E durch die Oberfläche einer Kugel Qi = ∫ rdV ∮ E ⋅d f Vi Ladung dQ im Volumen dV Die Ladungdichte ist Ladung pro Volumen: r = Ladung im Mittelpunkt einer Kugel df: Flächenelement ist orientiert in Richtung der Normalen auf der Fläche dQ dV Q r 4 0 r 3 Q ∣r∣ Q 1 ∣E r ∣ = = 4 0 r 3 4 0 r 2 E r = Übergang von diskreten Punktladungen zu Ladungsverteilungen: U r = ∑ i 3 Qi r ' d r ' 1 = ∫ 4 0∣r − r i∣ 4 0 ∣r−r '∣ E hat Richtung von r, df ebenfalls, E ist parallel zu df ∮ E⋅d f = ∮ E df 3 d r ' = dx ' dy ' dz ' 1 U x , y ,z = ∫∫∫ dx ' dy ' dz ' 4 0 konstant auf Kugeloberfläche F F 2 = E ∫ df = E 4 r F Kugel ! ∮ E⋅d f = Q 0 x ' , y ' , z ' x− x ' 2 y− y ' 2 z− z ' 2 23 24 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 Für eine beliebige geschlossene Fläche ist E und die Flächennormale nicht mehr parallel. Das elektrische Feld E hat die Richtung des Vektors r. ● Viele Ladungen in geschlossener Fläche Superposition E= ∑ E i Q = ∑ Qi i Raumwinkel i d = sin d d 2.2.7 Physikalischer Gauß'scher Satz cos d f = r 2 d er 0 ∮ E ⋅ d f = Q ∂V 3 r ⋅d f = r cos ∣d f ∣ = r d Der Fluss des E-Feldes durch die Oberfläche eines beliebigen Volumens V ist gleich der eingeschlossenen Gesamtladung mal einem Faktor (ε0). E ∥ d f Skalarprodukt bedeutet Projektion von df auf E ∮ E⋅d f = Q ∮ r⋅dr 3 f = 4 Q 4 0 0 2 ∮ r⋅r d r 3 Q = 4 0 ∫ div E r d 3 r = ∮ E ⋅d f Q d = ∮ 0 V S V 4 2 ∫ ∫ sin d d = 4 0 Gauß'scher Satz aus der Mathematik: 25 26 0 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 Viele Probleme mit Symmetrie lassen sich sehr einfach mit dem Gauß'schen Satz lösen. Zum Gauß'schen Satz Kann sich eine Punktladung im elektrischen Feld anderer Ladungen in einem stabilen mechanischen Gleichgewicht befinden? Stabiles Gleichgewicht für positive Ladung Q + 1. ∞ langer, homogen geladener Stab λ = Ladung pro Längeneinheit ● Fluss von E durch Fläche = Ladung im Inneren/ε0 ● wegen Symmetrie nur radiale Komponente E r (stabil -> E = 0) ∮ E ⋅d f = E ∫ d f l Es gibt keine stabilen Gleichgewichtspunkte in irgendeinem elektrostatischen Feld, außer genau an der Stelle einer anderen Ladung. (-> Atome: dynamisches Gleichgewicht, Elektronen auf Bahnen) 2. E= 2 0 r E= 1 4 0 Q r2 r R E= 1 4 0 1 2 r Qr 3 R Q ⋅l = 0 0 Die elektrische Feldstärke ist umgekehrt proportional zum senkrechten Abstand vom geladenen Stab. homogen geladene Kugel R 27 = E 2 r⋅l = 3 rR 28 04.04.2012 08:16 3. 04.04.2012 08:16 homogen geladene dünne Kugelschale P sei ein Punkt im Inneren einer homogen geladenen Kugelschale. r1 B. Franklin hat als erster bemerkt, dass im Inneren eines geladenen hohlen Körpers E = 0 ist. Er schloss daraus auf die quadratische Abstandsabhängigkeit des Coulombgesetzes. (Priestley erreichte 1775 gleiches Ergebnis.) Durch Messung des elektrischen Feldes im inneren eines geladenen Körpers, lässt sich umgekehrt die Abstandsabhängigkeit des Coulombgesetzes überprüfen. kleiner Kegel mit Scheitel in P bis zur Kugeloberfläche df = r2 sinθ dθ dφ 2 d f 1 r1 = d f 2 r 22 r2 1 r dq 2 df 2 = dq1 df 1 δ < 10-5 δ < 10-9 Maxwell ermittelte: Plimpton + Laughton 1939: Wenn die Kugeloberfläche homogen geladen ist, ist die Ladung dq auf jedem Flächenelement proportional zum Flächeninhalt 2 Die Gültigkeit des Coulombgesetzes ist bis zu Abständen von 10-15 m gesichert, darunter scheint es ca. 10 mal zu schwach zu sein (doch keine Punktladungen?). dq = df Nach dem Coulomb'schen Gesetz stehen die Beträge der Feldstärken, die von diesen Flächenelementen in P erzeugt werden, im Verhältnis 2 E 2 q2 / r 2 = = 1. E 1 q1 / r 12 Die Felder kompensieren einander. Das Feld im Inneren einer homogen geladenen Kugel ist 0. Das ist allerdings nur so, wenn das Coulombgesetz ~ 1/r2 ist, ansonsten verschwindet das elektrische Feld nicht. Benjamin Franklin 17. Januar 1706 in Boston † 17. April 1790 in Philadelphia 29 04.04.2012 08:16 30 04.04.2012 08:16 2.2.8 Dielektrische Verschiebung 2.2.9 Grundgleichungen der Elektrostatik im Vakuum Definition: Vektor der dielektrischen Verschiebung D D = 0 E 1. rot E = 0 Aus dem physikalischen und mathematischen Gaußschen Satz erhalten wir: 2. div E = ∮ D ⋅d f = Q ∫ div D ⋅d 3 r = Q = ∫ r d 3 r V 1 0 elektrische Felder sind wirbelfrei div D = mit D = 0 E Integrale Darstellung: V da V beliebig ist, muss gelten: 1.∮ E ⋅d r = 0 div D = r 1 2.∫ E ⋅d f = Q F 0 Ladungen sind Quellen des elektrischen Feldes! 31 32 04.04.2012 08:16 1. 2. 04.04.2012 08:16 ist automatisch erfüllt, da rot grad = 0 E = - grad U Randwertproblem der Elektrodynamik Häufig ist allerdings ρ(r') in einem endlichen Volumen bekannt und die Werte für U(r) oder deren Ableitungen auf einer Oberfläche gegeben. Gesucht wird dann U(r) für alle r -> Randwertproblem. Beide Gleichungen lassen sich zur Poisson-Gleichung umschreiben: 1 r 0 − U = lineare, inhomogene, partielle 0 div - gradU = ∂2 ∂2 ∂2 − U r = 2 2 2 0 ∂x ∂y ∂z Differenzialgleichung Lösung: U r = 1 4 0 3 ∫ r ' d r ' ∣r −r '∣ falls ρ(r') für alle r' bekannt ist und keine Randbedingungen für U(r) im Endlichen vorliegen. 33 04.04.2012 08:16 34 04.04.2012 08:16 Überprüfung der allgemeinen Lösung der Poissongleichung: Zu a) r ≠ r ' , r −r ' = 0 1 1 r −r ' = div grad = div 3 ∣r −r ' ∣ ∣r −r ∣ ∣r −r '∣ div r −r ' 1 = r −r ' ⋅grad 3 3 ∣r −r '∣ ∣r −r '∣ r −r ' 3 1 = − 3r −r ' ⋅ =0 ∣r −r '∣ ∣r −r '∣4 ∣r −r '∣3 1 1 r U r = ∫ d 3 r ' r ' r ∣r −r '∣ 4 0 1 1 =− ∫ d 3 r ' r ' r −r ' = − r 0 0 Siehe z.B. Nolting Bd. 3 Elektrodynamik S. 32 r −r ' = − Beweis: a) r − r0 = 0 1 1 4 ∣r−r '∣ b) 1 1 = ∫ d 3 r ' ' r ' ' ∫ d 3 r r ' ∣r − r '∣ r'' V r ' ' = r −r ' V Wegen a) ist der Integrand für r''≠0 Null. --> Enthält V den Nullpunkt, so kann man das Integral über eine Kugel im Ursprung durchführen. r ≠ r0 { 1 falls r0 ∈V b) ∫ d 3 r r − r0 = 0 sonst V ∫ d 3 r ' ' 1r = 0 falls r = 0 ∈V ∫ d 3 r r 1r = ∫ d 3 r div grad 1r = ∫ d f ⋅ - r12 er V VK F 2 r0 = ∫ d ∫ sin d ∫ r er⋅2 35 0 0 0 1 er = −4 r2 36 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 Potenzials eines Dipols: Elektrisches Feld eines Dipols Eine positive Ladung q sei bei r1 und eine negative gleichgroße Ladung (-q) bei r2. r = q r − r1 −q r − r2 Das Potenzial ergibt sich aus der Lösung der Poissongleichung. 3 r ' d r ' 1 ∫ ∣r −r '∣ = 4 1 4 0 0 1 q q = − 4 0 ∣r − r 1∣ ∣r − r2∣ U r = [ 3 q r ' − r1 −q r ' −r2 d r ' = ∫ ∣r −r '∣ ] Das elektrische Feld lautet E r = −grad U r = [ r − r1 r − r2 q 3− 4 0 ∣r − r1∣ ∣r − r2∣3 ] Feldlinien eines Dipols: Das Dipolmoment ist ein Vektor mit der Einheit Coulomb mal Meter: p = q r1 − r2 Eine noch häufig genutzte Einheit ist das Debye: 1 Debye = 3.33564 10-30 C m. Für Moleküle liegt das Dipolmoment meist im Bereich von 0 - 12 Debye (H2O: 1.84). 37 04.04.2012 08:16 38 04.04.2012 08:16 2.3 Das Coulombsche Gesetz in Materie a) Nichtmetalle ersetzen 0 = r ⋅ 0 r 0 Die dielektrischen Funktion ε in Materie setzt sich aus der Dielektrizitätskonstante des Vakuums ε0 und der relativen dielektrischen Funktion εr zusammen. ε und εr sind phänomenologische Größen, die prinzipiell aus Experimenten bestimmbar oder mittels Quantentheorie berechenbar sind. Materie besteht aus positiven und negativen Ladungen. Alle chemischen Bindungen und Wechselwirkungen lassen sich auf elektrostatische Anziehung zwischen entgegengesetzten Ladungen zurückführen. - kovalente Bindungen - Ionenbindung - Metallbindung - Dipolwechselwirkungen (z.B. Wasser) Emikroskopisch≠ 0, selbst wenn die Materie insgesamt elektrisch neutral ist. Die klassische Elektrodynamik ist ein makroskopische Theorie, so dass wir ein Mittelungsprozedur über mikroskopische Bereiche benötigen. Achtung! Materie muss nicht homogen sein. r 1 r 2 r 3 r div D = div [ r E r ] = r −div [ r grad U r ] = r r U r ≠ − r Ausweg: effektive Medien-Theorie gemitteltes ε (ε1, ε2, ..., Konzentration, Struktur) Definition: E r = E mikro r Mittelwert über mikroskopische Felder Mittelung über großen Bereich + Materie neutral ergibt die Mittelung Null (z.B. Ein Eimer Wasser besitzt kein Dipolmoment, auch wenn jedes Molekül ein Dipolmoment besitzt.) - typische Längenskalen mikroskopisch 10-10 m, 39 40 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 2.3.1 Polarisation von Materie Mittelung über 1023 molekulare Teilchen pro cm-3 in Bewegung entspricht einer Mittelung über räumlich und zeitlich schnell oszillierende Felder, Jede makroskopische Messung ist immer eine Mittelung über einen endlichen Bereich. Die Eigenschaften der Materie auf diesen makroskopischen Skalen sollen homogen sein. + - + - + Das Einbringen einer zusätzlichen Ladung erzeugt eine Verschiebung von Ladungen -> Polarisation (Dipole entstehen, Deformationspolarisation) Definition: A r , t = 1 ∫ d 3 r ' A r ' , t = V1 V r V r ∫ Im neutralen Atom fallen die Ladungsschwerpunkte zusammen. d 3 r ' A r ' r , t E= E vak E pol Feld verschiebt diese -> resultierendes Dipolmoment entsteht V 0 A(r,t): mikroskopische Feldgröße V(r): mikroskopisch groß, makroskopisch kleines Volumen (Kugel bei r) z. B. V ≈ 10-6 cm³ ~ 1017 Teilchen) Dielektrische Polarisation nennt man eine Ladungsverschiebung in einem nichtleitendem Material, die durch das Anlegen eines äußeren elektrischen Feldes verursacht wird. Die Ladungsverschiebung in einem Leiter wird Influenz genannt. wegen der großen Zahl von Teilchen werden durch die räumliche Mittelung gleichzeitig auch die raschen zeitlichen Fluktuationen geglättet. ∇ f =∇ f Im Inneren der Materie sowie an den Oberflächen ist eine makroskopische Ladungsverteilung (Polarisationsladungen) wahrnehmbar. 41 04.04.2012 08:16 42 04.04.2012 08:16 Verschiebungspolarisation Bei unpolaren Molekülen wird die Elektronenwolke, die den Atomkern umgibt, durch das angelegte elektrisches Feld gegen den Atomrumpf verschoben. Durch die Verschiebung der Ladungsschwerpunkte wird ein Dipolfeld erzeugt. Im Inneren des Körpers entsteht so eine makroskopische, inhomogene Ladungsverteilung. Die Polarisationsladungen erzeugen elektrische Felder, so dass das elektrische Feld im Inneren der Materie eine Überlagerung aus dem äußeren elektrischen Feld (Feld ohne Materie = Feld im Vakuum) und dem elektrischen Feld der Polarisationsladungen darstellt. Im neutralen Atom fallen die Ladungsschwerpunkte zusammen. E= E vak E pol Feld verschiebt diese -> resultierendes Dipolmoment entsteht Orientierungspolarisation In einem Körper mit polaren Molekülen richten sich dessen Dipole im äußeren elektrischen Feld aus. Evak: Feld, das im Vakuum vorhanden wäre Epol: Feld durch Polarisation E ≠ 0, E < Evak Damit erhalten wir aus den Maxwell'schen Gleichungen: 0 div E = 0 div E vak E pol = pol ρpol: Polarisationsladung durch auftretende Dipole 43 44 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 Definition: Polarisationsvektor oder Verschiebungsvektor In der Elektrostatik bezeichnet der Vektor der Polarisation das Vektorfeld, das aus einem permanenten oder induzierten Dipolmoment in einem dielektrischen Material (Dielektrikum) resultiert. Der Polarisationsvektor P hat die Einheit eines Dipolmoment pro Volumen. Es ist dem Feld E in der Materie entgegen gerichtet. P = −0 E pol div P = − pol Wenn P eine Funktion von E ist und wir hinreichend kleine Felder voraussetzen, ist eine lineare Näherung (Taylor-Entwicklung) möglich. P = 0 e E χe: Die elektrische Suszeptibilität ist ein Maß für die Polarisierbarkeit von Materie. Historisch war ρpol unbekannt, so dass eine einfache Form für div D = ρ gesucht wurde. D = 0 E P = 0 1 0 E D = 0 E P div D = div 0 E div P = pol − pol = = 0 1 e = 0 r E = E vak E pol = E vak − 1 P = E vak − e E 0 1 e E = E vak da E E vak , muss e 0 Jedes Atom/Molekül spürt nicht nur das Vakuumfeld, sondern auch alle Felder der anderen Atome oder Moleküle. P wird nicht durch Evak allein verursacht, verschwindet aber ohne äußeres Feld. E= E vak E pol E vak P = P E ≠ P E vak 45 04.04.2012 08:16 46 04.04.2012 08:16 Verallgemeinerung: Folgerungen: 1) In Materie mit großen ε oder χe sind elektrische Felder schwächer. 2) ε ist groß, falls Ladungen leicht verschiebbar sind (große Polarisierbarkeit) ● ● ● ● Ionenkristall: Ladungen fest auf Atomen kovalente Bindungen: Elektronen müssten bewegt werden Wasser: Rotation der H20-Moleküle Eis: keine Rotation -> -> -> -> a) D = ε E ist ein Materialgesetz (Näherung) für alle nicht kubischen Kristalle oder nicht isotropen Medien wird ε zu einem Tensor ε klein ε größer ε groß ε klein D i = ik E k ε 0 0 ε ik = 0 ε 0 = ε ik 0 0 ε für kubische Kristalle Diamant Glas Si Helium Luft Wasserstoff Metall 0 5,5 Wasser 4 ... 10 Aceton 11,7 Äthanol 0 Falls eine Vorzugsrichtung existiert, ist E im Allgemeinen nicht mehr parallel zu P. 80 22 25 D = E, 1.00007 1.00059 1.00026 b) D im Allgemeinen nicht parallel zu E P ~ E ist nur lineares Glied der Taylor-Entwicklung von P(E) ∞ 47 3 P= P 0 0 e E E c E E 48 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 Arten von dielektrischen Stoffen: 1) 2) c) frequenzabhängige Felder Paraelektrikum heißen Stoffe mit permanenten Dipolen (H20, NH3, ...), die zufällig angeordnet sind und die sich in einem äußeren elektrischen Feld E ausrichten können (Orientierungspolarisation). E r , t = E 0 cos k⋅r −t P0 sei eine ohne äußeres elektrisches Feld bestehende Polarisation. Ferroelektrika besitzen einen permanenten Dipol, der oberhalb einer kritischen Temperatur Tc verschwindet. Siegnette-Salz: NaKC4H406 * 4H20, Bariumtitanat BaTi03 Pyro- und piezoelektrische Materialien Glieder höherer Ordnung wichtig für nichtlineare Optik (Laser-Frequenzverdopplung) = , k mit k = k ek , 0° C 87,8 2 Die k-Abhängigkeit ist oft unwesentlich, außer bei: - optisch aktive Substanzen (Rechts – Linksquartz) ε(ω,e) - für λ ~ Röntgenbereich: Bragg-Reflexion (Interferenz) - (photonic bandgap) Materialien mit photonischer Bandlücke (Opal) Die ω-Abhängigkeit ist sehr wichtig. H20: εr (ω = 0) = 80 εr (ωLicht) ≈ 1,8 Starke T- und p-Abhängigkeit H20 bei Normaldruck exp = 2 v , k = 10° C 20° C 30° C 40° C 50° C 83,9 80,1 76,5 73 69,7 Die Frequenzabhängigkeit wird Dispersion genannt. Brechzahl n = ⋅ µ Temperatur -> Fluktuationen wirken gegen die Ausrichtung im elektrischen Feld 49 04.04.2012 08:16 50 04.04.2012 08:16 Schematische Frequenzabhängigkeit der dielektrischen Funktion Frequenzabhängigkeit des Brechungindex von Wasser Orientierungspolarisation 1010 Hz IR-Ionenpolarisation 1012 Hz ● Elektronenpolarisation 1015 Hz ● ● -> bei hohen Frequenzen nährt sich ε(ω) -> ε0 Ladungen können den Änderungen von E nicht mehr folgen. 51 52 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 Frequenzabhängigkeit des Absorptionskoeffizienten von Wasser Metalle b) frei bewegliche Ladungen + Schlechtes Wetter beeinträchtigt die Übertragung von Satelliten im Wellenlängenbereich λ ≈ 3 cm mehr, als die Übertragung über terrestrische Sender bei λ ≈ 30 cm. + + + - + + + - + - -+ - -- + + Eine zusätzliche Ladung wird völlig kompensiert: Elektronen fließen, solange das elektrische Feld im Inneren nicht Null ist, und schirmen die Ladung ab. Der Ladungsüberschuss verteilt sich effektiv auf die Oberfläche (Rand). + + Das elektrische Feld im Inneren von Metallen ist Null. Daraus folgt (wegen grad), dass das elektrische Potenzial im Inneren konstant ist. Der Rand (die Oberfläche) des Metalls ist eine Äquipotenzialfläche. Die Feldlinien des elektrischen Feldes stehen immer senkrecht auf Äquipotenzialflächen. Daraus folgt -> Feldlinien stehen immer senkrecht auf der Oberfläche von Metallen. D im Inneren D = 0 E P =0 53 04.04.2012 08:16 54 04.04.2012 08:16 2.4. Grenzflächen zweier Medien/Randbedingungen ε sei stückweise stetig: Sprung an Grenzflächen 1 2 z Mittelwertsatz der Integralrechnung: b ∫ f xdx = x f b−a a b div r 0 E = − 1 1 ∫ E x dx = Ex l mit hinreichend kleinem l a a) Nichtmetalle (Dielektrika) a h d rot E = 0 Stokes'scher Satz ∮ E ⋅d r = 0 = ∫ rot E ⋅d f z b dz dx l c 1 x 2 d 1 a 2 a c analog E 1y = E 2y Die Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes sind stetig. 1 h << l ∫ E x dx − ∫ E x dx E 1x = E 2x 2 Et = E t Elektrostatisches Potenzial U1 = U(x,y,z=+0), U2 = U(x,y,z=-0): Angenommen es gelte U1 = U2 + const., wegen E = -grad U, für jeden geschlossenen W eg b E 1x l = E 2x l c ∫ E z dz − ∫ E z dz = 0 ∂U = ∞ ~ Ez = ∞ ∂z d b für h 0 und endliche Felder 55 daraus folgt const = 0 U1 = U2 56 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 Anwendung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung und hinreichend kleine Fläche F, so dass D in der Fläche konstant ist. Normalkomponenten von D d f z Zylinder mit Höhe h und Deckfläche F, 1 h ≪ F , h 0 ∮ D⋅d f = Q div D = 1 = Flächenladung Q F 2 Dz − Dz = ∂V 2 D1z F − D 2z F = Q = ⋅F h Dz entspricht der Normalkomponente DN auf der Fläche F. d f 1 Die Differenz der Normalkomponenten der dielektrischen Verschiebung ist gleich der Flächenladung auf der Grenzfläche. 2 DN − D N = Fluss von D durch den Zylinder ∮ D ⋅ d f = ∫ D 1z d f z Dm⋅d f ∫ −∫ D 2z d f z = Q Falls keine Flächenladung auf der Grenzfläche (σ = 0) existiert: Mantelfläche mit h 0 und endlichen Feldern 1 2 1 2 D N = D N 1 E N = 2 E N Die Normalkomponenten des elektrischen Feldes sind an der Grenzfläche unstetig, der Sprung des elektrischen Feldes ist durch den Sprung der Dielektrizitätsfunktion der Medien bestimmt. 57 04.04.2012 08:16 58 04.04.2012 08:16 Brechungsgesetz für elektrische Feldlinien Einschränkung der Allgemeinheit σ = 0 D = εE 1 tan 1 = 1 2 tan 2 = 1 t 1 1 N 2 t 2 2 N E falls = 0 tan 1 D = = 1 tan 2 E 2 D Et E 1N 2 Et E 2N b) 1 = = E t 1 D1N 2 E t 2 D 2N Metalle - Leiteroberflächen Im Inneren ist E = 0 = D -> U = const. Die Oberfläche ist eine Äquipotenzialfläche, die Feldlinien stehen senkrecht auf die Oberfläche. außen innen innen Et = E t = 0 ~ U = U D außen = , da Dinnen =0 N N da die Tangentialkomponenten von E und die Normalkomponenten D an der Grenzfläche gleich sind. außen Wird ein äußeres Feld ≠ 0 angelegt, fließen solange Ladungen bis das elektrische Feld im Inneren Null wird <-> Oberfläche ist geladen. 59 60 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 3. 2.5 Einfache Aufgaben aus der Elektrostatik Dielektrika im Raum Lösung Poisson-Gleichung U = − 1. Gegeben seien E und ε, gesucht seien D und ρ -> trivial (Multiplikation + div.) (numerische Lösung mittels finiter Elemente und Ansatz) - Punktladung - Dipol - kugelförmige Raumladung 2. Gegeben seien ρ und ε, gesucht sind D und E a) in Medium und Randbedingungen r ' 1 ∫ d 3 r ' ∣r −r '∣ 4 E = −gradU 4. U r = Metallkörper im Raum (Numerik, Spiegelungsprinzip) elektrisches Feld einer geladenen Metallkugel b) Symmetrien nutzen (Gauß'scher Satz) Q = 4 R 2 D 4 r2 = Q 61 04.04.2012 08:16 U innen = U außen Q U außen = 4 r ∮ D⋅d f = Q , D ∥ d f Kugelsymmetrie Q r außen 3 4 r Oberfläche E= E = 0 innen 62 04.04.2012 08:16 Methode der Bildladungen (Spiegelladungen) Die Metallplatte teilt den Raum in zwei Hälften (x<0 und x>0). Im rechten Teilraum, der ohne Ladung ist, erhalten wir als Lösung: Wir betrachten eine Punktladung vor einer Metallwand. Der Abstand der Ladung zur Platte sei a. Wenn die Metallplatte geerdet ist, besitzt sie das Potenzial Null. Gesucht ist das elektrostatische Potenzial und die Influenzladung auf der Wand. für x0 U r = 0 Diese Lösung genügt auch der Laplacegleichung mit den Randbedingungen U=0 bei x=0. Es ist ebenfalls Lösung, falls der gesamte Raum x>0 durch einen vollen Metallkörper ersetzt wird. Wir suchen nun die Lösung für den linken Teilraum, wobei wir als Randbedingung beachten müssen, dass die Feldlinien senkrecht auf der Metallwand stehen. Eine äquivalente Randbedingung ist das Übereinstimmen des Potenzials auf der Wand. U r = −q r a ex für x0, U x=0, y , z = 0 Wenn man sich an das Potenzial eines Dipols erinnert, stellt man fest das dieses Potenzial eine Lösung für die linke Seite ist. U r = 63 q 1 1 − 4 0 ∣r a ex∣ ∣r −a ex∣ 64 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 Die Methode der Bildladungen besteht allgemein darin, zusätzliche Ladungen außerhalb des interessierenden Bereiches zu finden, so dass die Randbedingungen für das Potenzial erfüllt werden. Diese Spiegelladungen existieren nicht wirklich, sondern dienen der mathematischen Beschreibung. Influenzladung Die auf der Metallwand induzierte Ladung ist durch die Normalkomponente von D gegeben. Die Normalkomponente auf der Wand entspricht der x-Komponenten von ε0E. Das elektrische Feld auf der linken Seite lautet y , z = − 0 E x x=0, y , z = − E r = −grad U r = [ ra ex r −a ex q − 4 0 ∣r a ex∣3 ∣r −a ex∣3 ] für x0 [ q a 2 a 2 y 2 z 2 3 /2 ] Die Oberflächenladung ist maximal bei y=0 und z=0 und nimmt mit wachsenden Abstand von diesem Lotpunkt ab. Die Gesamtladung auf der Metallplatte ist dann ∞ ∞ q infl = ∫ y , z dy dz = 2 ∫ d = −q a ∫ 0 0 [ d 2 a 2 3/ 2 ] = −q Zylinderkoordinaten Über die Influenzladung üben die Metallplatte und die Punktladung Kräfte aufeinander aus, die messbar sind. Das reale elektrische Feld auf der rechten Seite ist Null. 65 04.04.2012 08:16 66 04.04.2012 08:16 2.6. Die Energie eines elektrostatischen Feldes Das Zusammenführen zweier gleicher Ladungen kostet Arbeit. Das Zusammenführen zweier ungleicher Ladungen bringt Energie. Vereinbarung - Energie hat das Symbol W (wegen |E| = E) - Energiedichte ω(r): W = ∫d3r ω(r) Im elektrischen Feld E(r) am Ort r wird auf die Punktladung q die Kraft F(r) = q E(r) ausgeübt. Um die Punktladung q im Feld E(r) vom Punkt B nach A zu verschieben, muss also Arbeit geleistet werden. 1. Situation - eine Punktladung sei bei r1, Q1 (Energie Q1 nach r1 zu schaffen ist Null, da F(r) = 0) - eine zweite Punktladung Q2 aus dem Unendlichen nach r2 schaffen - elektrisches Feld wird durch Q1 erzeugt r2 r2 r ⋅d r = −Q 2∫ W = −∫ F ∞ A F · dr sei negativ, falls beide Ladungen das gleiche Vorzeichen haben. r ⋅d r W = −∫ F B A =− A = −q ∫ E r ⋅d r = q∫ dU B = q [ U A − U B ] Q1 Q 2 4 0 ∞ r2 = ∫ dx x2 ∞ Q2 r1− r2 d r − r2 r2 Q 1 r − r1 ⋅d r Q Q =− 1 2 3 4 ∣r −r1∣ 4 Q1 r1 Q r − r1 E r = 1 3 4 ∣r − r 1∣ r2 ∫ ∞ r − r1 ⋅d r − r1 3 ∣r −r1∣ Q 1 Q 2 1 r Q 1 Q 2 1 = r 2 − r1∣ 4 ∣r − r1∣ ∞ 4 ∣ ∣ 2 x =∣r− r1∣ B dU = ∂U ∂U ∂U dx dy dz=grad U⋅d r ∂x ∂ dy ∂z 67 68 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 2. Situation: 3. Ladung aus dem Unendlichen nach r3 führen Energie von Q1 und Q 2 ist bekannt. Q1 und Q2 erzeugen ein elektrisches Feld, das mit Q 3 wechselwirkt. Superposition der elektrischen Felder E(r) = E1 + E2 W= Q1 Q 2 Q1 Q 3 Q 2 Q3 4 ∣ r 1 − r2∣ 4 ∣ r 1− r3∣ 4 ∣ r 2− r3∣ 4. eine Raumladungswolke ρ(r), ∑ -> ∫, Q -> dQ = ρdV r r ' 1 3 = ∫ d r r U r ∣r −r '∣ 2 1 r ' 3 U r = d r ' ∫ 4 ∣r −r '∣ W= 3. Situation: viele Punktladungen (N) N i j 5. Zwei Raumladungswolken ρ1(r), ρ2(r) andere Schreibweise (z.B. Nolting) W= N 1 8 QQ ∑ ∣r −i ri ∣ i,j=1 i≠ j i j ∫ d 3 r ∫ d 3 r ' Sechsfaches Integral (Die Singularität r = r' ist integrierbar und stört nicht) Qi Q j 4 ∣ r i− rj∣ W =∑ 1 8 W= wegen Doppelsummation 1 ∫ d 3 r 8 [∫ 3 d r ' 1 r 1 r ' 2 r 2 r ' 2 1 r 2 r ' ∣r −r '∣ ∣r −r '∣ ∣r −r '∣ W1 W2 W 12 ] Energie der ersten Wolke + Energie der zweiten Ladungswolke + Wechselwirkung zwischen Wolken i≠ j ⇔ j≠i 1, 2 ⇔ 2,1 69 04.04.2012 08:16 70 04.04.2012 08:16 Es gilt für eine Ladungswolke ρi Wi = 1 2 Beweis der folgenden Beziehung aus der Vektoranalysis: div U gradU = grad U 2 U U ∫ d 3 r i r U i r außerdem gilt die Poissongleichung (für homogenes ε) div U − U i = i i = − U i − Wi= ∫ d 3 r U i r U i r 2 2 2 Die linke Seite gibt: ∂ U ∂U ∂ U ∂U ∂ U ∂U ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z Weiterhin folgt aus der Vektoranalysis die folgende Beziehung: 2 div U gradU = gradU 2 U U Wi =− 2 ∂U ∂U ∂U ∂ U ∂U ∂ U ∂ U ∂ U ∂ U ∂ U ∂ U ∂ U ,U ,U = , , ⋅ , , +U ∂x ∂y ∂z ∂x ∂ y ∂z ∂x ∂ y ∂z ∂ x 2 ∂ y2 ∂ z2 = 2 2 2 2 2 ∂U ∂U ∂U ∂ U ∂ U ∂ U U 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z 3 3 2 d r div U i grad U i ∫ d r gradU i ∫ 2V 2V Anwendung des mathematischen Gauß'schen Satzes ∫ div A dV = ∮ A⋅d f V Wi =− E i ⋅ Ei ∮ d f ⋅U i grad U i 2 ∫ d 3 r 2 ∂V V ∂V 71 72 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 W i = − ∮ d f ⋅U i grad U i ∫ d 3 r E i ⋅ Ei 2 ∂V 2 V Wir fordern: Alle Ladungen befinden sich in einem endlichen Volumen V 1 ∫ d 3 r E r ⋅ D r 2 1 w= E ⋅ D 2 W= Es ist dann möglich, über eine Kugel mit R -> ∞ zu integrieren, da ρ nur im Endlichen ≠ 0 ∮ d f ... ~ R2 1 U ~ R 1 ∣grad U∣ ~ 2 R U= 1 4 Das elektrische Feld ist der Träger der elektrostatischen Energie. r ' ∫ d 3 r ' ∣r −r '∣ Quantenmechanische Interpretation: Die klassische Elektrodynamik kann für kleine Impuls- und Energieüberträge und einer großen Anzahl von Photonen als ein Grenzfall der Quantenelektrodynamik betrachtet werden. Die Energie des Feldes ist in den Photonen (Feldquanten) gespeichert. Die Anzahl der Photonen ist proportional zur elektrischen Feldstärke. Für den ersten Term erhalten wir damit als Grenzwert für R -> ∞ ∮ d f ⋅U gradU R ∞ 1 0 R Nur der zweite Term überlebt und gibt einen Beitrag W= 2 ∫ d 3 r E r ⋅ E r ∣2 d V d N ~∣E 73 04.04.2012 08:16 74 04.04.2012 08:16 3.2. Grundlagen 3. Magnetostatik 3.1. Grundbegriffe Definition: Magnetfeld H (magnetische Feldstärke) In der Natur existieren magnetische Felder. Es gibt allerdings keine Quellen des magnetischen Feldes, d. h. es wurden noch nie magnetischen Ladungen (magnetische Monopole) gefunden. Magnetische Felder werden erzeugt durch magnetische Multipole (Dipole, Quadrupole ...) und Ströme. Eisenspäne auf Papier, aus Practical Physics (1914) ● Spin Definition: magnetische Induktion B (magnetische Flussdichte) µo= 4 ⋅10−7 Vs Am μ0: Permeabilität des Vakuums Der Ursprung des Magnetfeldes ist nicht mit klassischer Physik erklärbar -> Quantenmechanik (van Vleck) Ströme (nicht klassisch berechnet) A m B = µ0 H Haben Multipole ihre Ursachen in atomaren Strömen? (Elektronen in Atomen?) ● [ H]= -> wie in der Elektrostatik (rot E = 0) gilt auch hier: rot H = 0 H = - grad V V: magnetostatisches Potenzial Magnetostatische Felder entstehen durch stationäre elektrische Ströme. ● Die elektrostatische Kraftwirkung wird durch den Austausch von Photonen zwischen den Ladungen vermittelt. Die magnetische Permeabilität μ beschreibt die Durchlässigkeit von Materie für magnetische Felder. In Materialien ist die Permeabilität eines Materials frequenzabhängig, Temperatur- und Druckabhängig und muss als komplexe Größe definiert werden. (z.B. e- besitzt magnetisches Moment, wie Kompassnadel) 75 76 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 Stärkstes und schwächstes Magnetfeld Das mit 0,000000001 Tesla (1 nT) derzeit schwächste genutzte Magnetfeld findet man in einem speziell abgeschirmten kubischen Gebäude der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt in Berlin. Zweck des Kubus ist die Messung der schwachen Hirnströme von Menschen. Das Magnetfeld der Erde beträgt 20 bis 30 Mikrotesla an der Erdoberfläche. Als Ursache des Erdmagnetfeldes gelten Konvektionsströme im äußeren flüssigen Erdkern, die durch den Temperaturunterschied zwischen dem festen inneren Erdkern und dem Erdmantel aufrechterhalten werden (Geodynamo). Nach dem Gauß'schen Satz ist der Fluss von B durch eine Oberfläche: ∮ B⋅ d f = ∫ div B d 3 r = 0 V keine magnetischen Ladungen div B=0 Magnetische Feldlinien haben keinen Anfang und kein Ende, sondern verlaufen als geschlossene Bahnen. Das Magnetfeld ist quellenfrei. In der Magnetostatik gibt es im Gegensatz zur Elektrostatik keine Ladungen – magnetische Monopole sind zwar mathematisch denkbar, alle experimentellen Tatsachen sprechen aber gegen ihre Existenz. In Dresden (Rossendorf) ensteht ein gepulster Magnet der 100 T erzeugen soll. Um eine Feldstärke von 100 Tesla zu erreichen, wird eine elektromagnetische Energie von 50 MJ und ein Spitzenstrom von 100 kA benötigt. Auf der Oberfläche von Neutronensternen, wie z. B. Pulsaren, herrschen laut unseren theoretischen Vorstellungen typischerweise Flussdichten von 100 Tesla, bei Magnetaren, einer speziellen Sorte von Neutronensternen, sogar 1000 Tesla. Die Grundgleichungen der Magnetostatik, haben die gleiche mathematische Struktur wie die Grundgleichungen der Elektrostatik. rot H =0 div B = 0 Grundgleichungen Magnetostatik 77 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 3.3. Magnetfelder in Substanzen Randbedingungen Da die Grundgleichungen mathematisch die gleiche Form haben wie für E und D, müssen die Randbedingungen genauso sein. (gleiche Gleichungen = gleiche Lösungen). Ht1 = Ht2 B N 1 = BN 2 78 analog zu: D = ε0 E + P In der Magnetostatik gilt: B = µ0 H + M, Die Magnetisierung M wird verursacht durch magnetische Dipole. die tangentialen Komponenten von H sind gleich die normalen Komponenten von B sind gleich, da es keine magnetische Ladungen (wie σ) gibt In Analogie zur Elektrostatik Elektrostatik W= 1 2 1. Paramagnetismus Atome/Moleküle besitzen magnetische Momente m i, die nicht orientiert sind. Die Richtungen sind durch Wärmebewegung statistisch verteilt. 1 M= V M =0 H r B r ∫ d 3 r Magnetostatik E D ε0 U Q, ρ, σ, η H B µ0 V ― p Dipolmoment D = ε0 E + P m magnetisches Moment B = µ0 H + M P wird verursacht durch elektrische Dipole in Materie. ∑ mi i Mittelwert: keine Magnetisierung Bei Anlegen eines äußeren Feldes werden die magnetischen Momente mi ausgerichtet. für kleine ∣ H∣: M = µ0 m H kleine H 79 M = M max tanh µB B kT m : magnetische Suszeptibilität M max : alle mi gleiche Richtung 80 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 2. Diamagnetismus Bei Anlegen eines Feldes werden magnetische Momente erzeugt, die dem äußeren Feld entgegen wirken. B = µ0 H M ≈ µ0 H µ0 m H = µ0 1 m H = µ0 µ r H=µ H Die lineare Näherung ist bereits für technisch erzeugbare Felder im Allgemeinen falsch. Die Sättigungsmagnetisierung wird bei niedrigen Temperaturen schnell erreicht. χm negativ aber 1 + χm > 0 -> Es bildet sich ein dem äußeren Feld entgegengesetztes Feld aus. B = µ H: Alle Stoffe sind diamagnetisch, allerdings ist der Diamagnetismus sehr schwach, so dass dieser Effekt manchmal durch andere Effekte (Paramagnetismus oder Ferromagnetismus) überdeckt wird. lineare Näherung µ ist im Allgemeinen ein Tensor µ = µ(ω) , Temperatur, Druck, ... Jedes Atom, z. B. Natrium, das eine ungerade Zahl von Elektronen hat, wird ein magnetisches Moment haben, auch Radikale mit einem ungepaarten Elektron sind magnetisch. Wenn Verbindungen (Doppelbindungen) gebildet werden, heben sich diese Momente im Allg. gegenseitig auf. Ein resultierendes magnetisches Moment gibt es in Stoffen, deren Atome eine innere, teilweise ungefüllte Elektronenschale haben: Übergangselemente Cr, Mn, Fe, Ni, Co, ... (seltene Erden). In Metallen erzeugen die frei beweglichen Elektronen Diamagnetismus (Landau). Die restlichen Ionen können Paramagnetismus verursachen, meist überwiegt der Diamagnetismus B = µ H µ < µ0 Wiederum gilt: lineare Näherung µ ist eigentlich ein Tensor µ = µ(ω) (geringe) Temperatur-, Druckabhängigkeit 81 04.04.2012 08:16 82 04.04.2012 08:16 3. Ferromagnetismus Magnetische Suszeptibilität einiger Stoffe bei Raumtemperatur: Wasser Benzene NaCl Graphite ║ Graphite ┴ Cu Ag Es existieren so genannte Weiss'sche Bereiche (Domänen) mit ausgerichteten magnetischen Momenten M ≠ 0 -6 -90.0 · 10 -7.2 · 10-6 -13.9 · 10-6 -260.0 · 10-6 -3.8 · 10-6 -1.1 · 10-6 -2.4 · 10-6 In einem Bezirk gilt M = M 0 T µ0 m H Mmax: alle Atome ausgerichtet T C: Curie-Temperatur Warum gilt eigentlich immer µ = (1 + χm) µ0 ≥ 0? µ kann nie negativ werden, da = 1 1 H ⋅B = H ⋅H µ 2 2 >0 Thermische Fluktuationen zerstören Ausrichtung, magnetisches Feld stellt Ausrichtung wieder her. Falls µ negativ wäre, würden Magnetfelder sich selbst verstärken (-> ∞), da durch höhere Magnetfelder die Energie des Systems immer kleiner werden würde. Supraleiter sind perfekte Diamagneten mit χm=-1 und µ = 0. 83 84 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 M0(T) bildet das nullte Glied einer Taylor-Reihe von M(H) B = µ0 H + M(H,T) Hc näherungsweise für kleine H: B = µ0 H + M0(T) + µ0 χm H + ... B = µ H + M0(T) T > TC : M0(T) = 0 T < TC : M0(T) ≠ 0 MR c Ms d a Neukurve b Sättigung c Remanenz d Koerzitivkraft H Hc Ms mit µ = µ0(1 + χm) b a 4. Ferrimagnetismus unterschiedlich große Momente 5. Antiferromagnetismus paramagnetisches Verhalten ferromagnetisches Verhalten 6. Antiferrimagnetismus ⋮ chirale Strukturen In einem ferromagnetischen Körper existieren viele Weiss'sche Bezirke. Ein starkes Magnetfeld kann ein „Umklappen“ der Magnetisierung der Weiss'schen Bezirke bewirken. frustrierte Strukturen 85 04.04.2012 08:16 86 04.04.2012 08:16 Magnetfeld im Inneren eines Stabmagnetes Stabmagnet: B = µH + M Wesentlich: B = µ H ist eine grobe Näherung, die nur für Para- und Diamagnete anwendbar ist. Analytisches Ergebnis für eine Kugel mit homogener Magnetisierung M Sommerfeld § 12, Elektrodynamik N M M M B M sei gegeben M B = 2 H =− M 3µ 3 M H S div B = 0 = µ div H div M Die Magnetisierung macht einen Sprung an Oberfläche, den H kompensieren muss. Die Normalkomponente von H hat deswegen einen Sprung von -M. da div B = 0 (Feldlinien müssen geschlossen sein) B Wegen rot H = 0 muss auf jedem geschlossenen Weg gelten, dass HH H⋅ d r = 0 ∮ Ein Teilintegral außerhalb des Magneten (B, H gleiche Richtung) ist positiv. Deshalb muss das Teilintegral über den Weg innerhalb des Magneten negativ sein. rot H = 0 H ∫ H⋅d r 0 ∫ M⋅d r = ∫ B⋅d r − µ innen H= 1 B −M µ innen Im Inneren ist damit B antiparallel zu H B ≠ µH 87 ∫ B⋅d r 0 M = B − µ H innen innen ∫ H⋅d r 0 , innen d. h., H im Inneren des Magneten hat auf jeder Feldlinie (durchschnittlich) die entgegengesetzte Richtung wie M. 88 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 4. Ströme und deren magnetische Wirkungen 4.1. Elektrische Ströme 4.1.1. Die Kontinuitätsgleichung Anwendung des Gauß'schen Integralsatzes d ∫ d 3 r ∫ div j d 3 r = 0 dt V V Stationäre Ströme = Ladung, die sich mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt (Gleichstrom) -> für gegebenes beliebiges Volumen V dI ≠0 beschleunigte Bewegung: dt Beliebiges Volumen, durch das der Strom fließen soll -> Ladung in V (Q(t)) d div j = 0 dt Ladungserhaltungssatz: Eine Ladung kann nicht verschwinden. ̇m div j m =) 0 Die Ladungsdichte in einem Volumen kann sich nur ändern, wenn durch die Oberfläche des Volumens ein Strom fließt. Strom fließt in Richtung der Flächennormalen Strom I = ∮ j ⋅d f , j = Stromdichte = Fläche ∂V Q̇ I = 0 (mikroskopische Form der Ladungserhaltung) (analog zur Hydrodynamik: Massenerhaltung Q̇ t = Strom hinein oder hinaus aus V (durch Oberfläche von V) j Kontinuitätsgleichung Q = ∫ d 3 r r V 89 04.04.2012 08:16 90 04.04.2012 08:16 Idealer Kristall bei T = 0 4.1.2. Das Ohm'sche Gesetz Ursache von Strömen sind elektrische Felder (Spannung = Potenzialdifferenz) Elektron fliegt durch den Kristall. E F =e E F = m a realer Kristall bei T ≠ 0 Elektrisches Feld wirkt auf eine Ladung -> Kraftwirkung -> beschleunigte Bewegung Bewegung der Elektronen wie bei Reibung (bzw. Fall aus großer Höhe). Warum erzeugt E einen Gleichstrom mit der Dichte j = v statt dj dt m ̈r ̇r = e E ≠ 0? Georg Simon Ohm 16. März 1789 in Erlangen † 6. Juli 1854 in München 1 = mittlere Zeit zwischen zwei Stößen Elektrisches Feld bewirkt eine Beschleunigung Im Vakuum (oder Ionosphäre) verursacht E beschleunigte Ladungen. ● In Materie werden Elektronen ständig durch Gitterschwingungen und Defekte gestreut, diese Reibung führt zu einer gleichförmigen Geschwindigkeit der Ladungsträger. ● = ̈r ̇r = const . , da ̇r wächst und ̈r sinkt ̈r = 0 m ̇r = e E 2 j = en v = e n E = E Ohmsches Gesetzt der Leitfähigkeit m 91 = en n= Ladungsdichte Ladungsträgerdichte j = E 92 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 Einfaches Beispiel: Draht mit konstantem Querschnitt Das Ohm'sche Gesetz ist ein Materialgesetz und nur näherungsweise gültig: σ ist im Allgemeinen ein Tensor: j nicht parallel zu E ● σ(k,ω) zeigt Dispersion wie ε(k,ω) ● temperatur-, druckabhängig ● σ linear (1. Glied einer Taylor-Reihe) ● ● j ∥ E A l l j negativer Widerstand 0 Tunneldiode E ● l U =− ∫ E⋅d r = − ∫ E d x = −E l j EF 0 I = ∫ j⋅ d f = ∫ j x df x = j⋅ A = E A Spannung = |Potenzialdiff.| U j = E = l A 1 = R l In der Ionosphäre sowie in Nano- und Mikrostrukturen bei tiefen Temperaturen findet ballistischer Transport statt, bei dem das elektrische Feld die Ladungen beschleunigt. E d j dt U =lE I= Leo Esaki (jap. Esaki Reona) 12. März 1925 in Ōsaka Physik-Nobelpreis 1973 (Tunneldiode) Bild: http://nobelprize.org/physics/laureates/1973/ U R 93 04.04.2012 08:16 94 04.04.2012 08:16 4.1.3. Die Joule'sche Wärme dP = E⋅v dV = dV Das elektrische Feld E verursacht eine Beschleunigung, die kinetische Energie müsste zunehmen, was aber durch die Reibung aber nicht passiert. Wo bleibt diese fehlende Energie? Reibung erzeugt Wärme -> stromdurchflossener Körper erwärmt sich Es gilt v = j = j⋅ E Falls das Ohm'sche Gesetz gilt Für 1 Elektron abgegebene Arbeit: ⋅d r = F ⋅v dt = P dt dW = F U A l = E2 = P = Leistung P = e E⋅v Für viele Elektronen, E und ν gleich: James Prescott Joule 24. Dezember 1818 in Salford bei Manchester † 11. Oktober 1889 in Sale bei London P = ∑ e E⋅v = Q⋅ E⋅v Die Joule'sche Wärme entspricht der im Volumenelement dV pro Zeiteinheit dt produzierten Wärme. j = E j 2 j ∥ E Einfaches Beispiel: Draht A U=El l P = ∫ d 3 r = ∫ d 3 r j ⋅ E = j E V = j E A l = I ⋅U = dP = E⋅ v dQ da =Ladung pro Volumenelement dQ = dV V=A∙l I=j∙A 2 U = I2R R Einheit der Leistung P: Watt, W = A V dP = E⋅v dV = dV 95 96 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 4.2. Das durch stationäre elektrische Ströme erzeugte Magnetfeld 4.2.1. Das Ampère'sche Gesetz I (Durchflutungsgesetz, Verkettungsgesetz) x (Symmetrie H konstant auf Kreis -> H || dr) ∮ Experiment: I erzeugt einen Wirbel (Magnetfeld) Richtung entspricht der „rechten Hand“-Regel H⋅ d r = I ∮ H-Linien sind konzentrische Kreise mit wachsendem Abstand sinkt H Nach Stokes: ∫ rot H ⋅ d f = ∫ j ⋅ d f rot H = j , div H =0 div rot H = div j=0 = j rot H H⋅ d r = H 2 R = I Kreis H= I 2 R rot H = j kann nur richtig sein, falls ̇ = 0 , da die Kontinuitätsgleichung gelten muss. ̇ div j = 0 stationäre Ströme Ørsted studierte Naturwissenschaften und Pharmazie an der Universität Kopenhagen. 1819 isolierte er erstmals Piperidin. 1820 entdeckte er mit einem Kompass die magnetische Wirkung des elektrischen Stromes. 1825 stellte er erstmals Aluminium her. Hans Christian Ørsted 14. August 1777 in Rudkøbing † 9. März 1851 in Kopenhagen Erkannte 1820 die magnetische Wirkung von Strömen. Bemerkungen: ∮ H⋅ d r = const.⋅I André-Marie Ampère 20. Januar 1775 in Poleymieuxau-Mont-d'or neben Lyon † 10. Juni 1836 in Marseille Ampère erklärte den Begriff der elektrischen Spannung und des elektrischen Stromes und setzte die Stromrichtung fest. A const. = 1 durch SI-Einheiten von [ H ]: m andere Einheiten: 97 04.04.2012 08:16 1 A 4 = Orsted m 1000 Vs B = µ H: = Tesla = 104 Gauss m2 98 04.04.2012 08:16 4.2.2. Ring- und Zylinderspulen 1. Ringspule Gesucht ist das Magnetfeld in der Spule. 4.2.3. Das Vektorpotenzial In der Magnetostatik gilt: rot H = 0 3 DGL zu lösen div B = 0 1 weitere DGL Liegen die Windungen dicht, wird H in der Spule näherungsweise konstant. Die ersten 3 Gleichungen lassen sich durch einen Potenzialansatz lösen, H = - grad V V: skalares Potenzial allerdings nur wenn rot H = 0. H ⋅d r = n I ∮ H= 2. Zylinderspule nI 2 R Können wir irgendetwas von div B = 0 nutzen, das wegen seiner mathematischen Struktur immer Null ist? H ⋅ d r = n I ∮ Einführung des Vektorpotenzials A, so dass div B = 0 immer erfüllt ist. Da aus der Vektoranalysis bekannt ist, das immer gilt div rot = 0, definieren wir das Vektorpotenzial als mathematische Hilfgröße: Näherungen: H homogen im Inneren (dichte Wicklung) H außen sehr klein (am Anfang + Ende der Spule falsch) nI l : Länge der Spule l verbiegen der Zylinderspule -> Ringspule l=2πR B = rot A: : A Vektorpotenzial H= 99 100 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 Beweis: angenommen A' erfülle die Coulomb-Eichung nicht: div A' = c(r) ≠ 0 gesucht ist: A = A' + grad W(r,t), so dass die Coulomb-Eichung gilt div A = 0 div A = div A' + div grad W 0 = c(r) + ∆ W A ist dadurch nicht eindeutig bestimmt: ● Es kann immer ein konstanter Vektor addiert werden. ● ● rot grad ≡ 0 -> Zu A kann der Gradient einer beliebigen Funktion addiert werden. ●A' und A = A' + grad W(r,t) ● liefern das gleiche B-Feld ● W(r,t) kann so gewählt werden, dass zusätzliche Bedingungen (die Rechnungen erleichtern) erfüllt sind. ● W als Lösung dieser Gleichung gewählt, so dass: div A = 0 Man kann immer ein A konstruieren, für das div A = 0 gilt. A' voraussetzen, div A' = 0 überprüfen Die von der Theorie vorhergesagten Wechselwirkungen ändern sich nicht, wenn eine bestimmte Größe lokal frei gewählt wird. Eine Größe an jedem Ort unabhängig festzulegen, kann man auch als Definition eines Maßstabes (einer Eichung) sehen. Der Mathematiker Hermann Weyl führte den Namen Eichinvarianz bzw. Eichsymmetrie für solche Theorien ein. Die Elektrodynamik ist eine eichinvariante Feldtheorie, d..h B hängt nicht von der Eichung ab. In der Elektrostatik ergibt U + const. dasselbe E wie U Ladungserhaltungssatz E. Noether r ,t = −grad U r ,t − ∂ Ar , t E ∂t 101 04.04.2012 08:16 102 04.04.2012 08:16 div ⋅a = div a a ⋅grad Nach dem Ampere'schen Durchflutungsgesetz gilt rot H = j. Zusammen mit B = μ H, nutzen wir B = rot A als Ansatz. rot divr µ 1 div A = d 3 r ' j ⋅ gradr ∫ 4 ∣r −r '∣ rot rot A = j gradr ∆ = grad div – rot rot, da div A = 0 ∆A = - µ j in Coulomb-Eichung Ähnliche Gleichungen haben ähnliche Lösungen (siehe Poissongleichung): µ Ar = 4 µ 4 1 1 = −grad r ' ∣r −r '∣ ∣r −r '∣ µ 1 =− ∫ d 3 r ' j r ' ⋅ gradr ' ∣r − 4 r '∣ ∣r −r '∣= x− x ' 2 y− y ' 2 z− z ' 2 ∂∣r−r '∣−1 −1 = x− x ' ∂x ∣r −r '∣3 −1 ∂∣r−r '∣ 1 = x− x ' ∂ x' ∣r −r '∣3 div a = div a a⋅grad j r ' µ 1 µ 3 3 =+ d r ' div r ' − d r ' div r ' ∫ ∫ r ' j 4 ∣r −r '∣ 4 ∣r −r '∣ jr ' ∫ d3 r ' ∣r −r '∣ 0 wegen Gleichstrom j r ' µ div A r = − d f ⋅ = 0 ∮ 4 ∣r −r '∣ für eine gegebene Stromdichte j(r) folgt daraus A(r) und B = rot A. Die Gültigkeit von div A = 0 war hier vorausgesetzt, aber es gilt diese zu prüfen div A r = j r ' 1 1 = divr j r ' j⋅grad ∣r −r '∣ ∣r −r '∣ ∣r −r '∣ 0 1 rot A = j µ falls μ = const. Es gilt jede Invarianz <--> Erhaltungssatz Die Coulomb-Eichung legt nicht nur das Vektorpotenzial sondern auch das skalare Potenzial fest. Die Lösung für das skalare Potenzial U(r,t) entspricht im Falle der Coulomb-Eichung dem elektrostatischen Coulomb-Potenzial. Daher kommt der Name Coulomb-Eichung. In der Magnetostatik wird für gewöhnlich die Coulomb-Eichung benutzt, die den statischen Grenzfall der Lorenzeichung darstellt. Die Coulomb-Eichung (auch Strahlungseichung oder transversale Eichung) stellt eine mögliche Einschränkung des Vektorpotenzials A(r, t) dar. div A = 0 - Falls die Oberfläche „weit genug weg“ ist, so dass keine Ströme aus dem Unendlichen bzw. nach Unendlich durch die Oberfläche fließen. jr ' ∫ d 3 r ' divr ∣r −r '∣ 103 µ Ar = 4 j r ' ∫ d 3 r ' ∣r −r '∣ 104 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 Da für einen Draht mit konstantem Durchmesser im Allgemeinen gilt, dass entlang des Drahtes I= const. ist: 4.2.4. Das Biot-Savart-Gesetz µI 1 A r = d r ' ∫ ∣r −r '∣ 4 B = rot A = µ H Gesucht ist H(r) für einen dünnen stromdurch flossenen Draht Dünner Draht µ Ar = 4 j r ' I H r = 4 ∫ d r ' ⋅∫ d f ∣r −r '∣ r' ändert sich nur infinitesimal über den Querschnitt des Drahtes, da dieser dünn sein soll. d.h. in Bezug auf das Flächenelement df , welches den Querschnitt integriert, ist d 3 r ' = d r ⋅d f Es gilt: µ A r = 4 = µ 4 1 ∫ d r ' ∣r − ∫ d f j r ' r '∣ I ∫ d r ' ∣r − r '∣ 105 4.3. Kraftwirkungen zwischen Magnetfeldern und Strömen 4.3.1. Kraftwirkung eines Magnetfeldes auf ein Stromelement Die Rolle des Coulomb'schen Gesetzes der Elektrostatik übernimmt in der Magnetostatik das Ampere'sche Gesetz: Auf ein Strom durchflossenes Wegelement dr in einem Magnetfeld wirkt eine Kraft: ∣d F∣ ~ I ∣d F∣ ~∣d r∣ d F ⊥ d r 1 ∫ d r ' × grad r ∣r − r '∣ − I H r = 4 r −r ' 3 ∣r −r '∣ −r ' ∫ d r ' × ∣rr− r '∣3 e Ein iDrahtstück dr' am Ort r' erzeugt ein Magnetfeld am Ort r n I r −r ' d H r = d r ' × e 4 ∣ r −r '∣3 s 106 r12 r2 B C2 d r2 I2 F= µ0 I 1 I 2 4 ∮ d r1 Wechselwirkung zwischen zwei Strom führenden Leitern: d r1 a g durch den Strom I in der Schleife C erzeugte magnetische Induktion ist Die 2 2 n e I d r 2×r 12 B2 r 1 = µ0 2 t 4 C 2 ∣r 12∣3 f e Mit dem vom Strom I2 erzeugten B-Feld wechselwirkt der Strom I1 in der lLeiterschleife C 1 d e F 12 = I 1 d r1 × B2 r1 s C1 ∮ d F r = I d r × B r r1 rot r d r ' = 0 M 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 I1 I H r = − 4 I Jean-Baptiste Biot 21. April 1774 in Paris † 3. Februar 1862 in Paris C1 rot ⋅a = rot a − a × grad , K r a f t 1 = const. ∣r −r '∣ Zerlegung dr' ∫ rotr ∣r − r '∣ ∮∮ C 1 C2 d r1×d r2 × r12 ∣r12∣3 0 Kraftwirkung auf den Strom in einer Leiterschleife, durch das Magnetfeld, dass durch den 107 Strom in einer zweiten Leiterschleife erzeugt wird. a u f e i n e d f F 12 = ∫ [ j r × B r ] d 3 r F 12 = ∫ [ j r × B r ] d 3 r Kraft eines Magnetfeldes B auf eine beliebige Stromverteilung j. 108 04.04.2012 08:16 Lorentzkraft eines Magnetfeldes auf eine bewegte Punktladung: Hendrik Antoon Lorentz * 18. Juli 1853 in Arnhem † 4. Februar 1928 in Haarlem Nobelpreis für Physik 1902 04.04.2012 08:16 F= j = v = q 3 r − r0 v r0 :Ort der Ladung q F = ∫ d 3 r q 3 r − r0 v × B r = q v r0 × B r0 µ0 I 1 I 2 4 1 Rechte-Hand-Regel Elektron bewegt sich auf Kreisbahn ● ● ● ● ● ● 1 1 Der erste Term verschwindet im Ausdruck für die Kraft unter Nutzung des Stokes'schen Satzes und der Beziehung rot grad = 0. t ● ∣r12∣3 C1 C2 d r1 × d r2 × r12 = d r2 d r1⋅r12 − r12 d r1⋅d r2 r ∮ d r1⋅∣r 12∣3 = −∮ d r1⋅grad ∣r1 ∣ = − ∫ d f ⋅rot grad r1 = 0 12 12 12 C C Fläche C F = q E qv × B ● r2 r1 d r1 ×d r2× r12 d r2 Das komplizierte doppelte Vektorprodukt lässt sich für manche Zwecke günstiger umschreiben. Gesamtkraft auf eine Ladung bei elektrischen und magnetischen Feldern ● ∮∮ r12 d r1 Wechselwirkung zwischen zwei Strom führenden Leitern I1 I2 4 F 12 = − F 21 Diese Kraft ist bedeutend für: alte Bildschirme (Monitor, Fernseher), Elektronenmikroskop Nachweis geladener Teilchen in Nebel- oder Blasenkammer (Q/m bestimmen) geladene Teilchen im Magnetfeld der Erde Elektromotor Betatron, Synchrotron (Beschleuniger) Kernfusion (Plasmafalle) F = −µ0 r ∮∮ d r1 ⋅ d r2 ∣r12∣3 C1 C 2 12 Actio gleich reactio ist durch diesen Ausdruck für die Kraft erfüllt, da r12 das Vorzeichen ändert. 109 04.04.2012 08:16 110 04.04.2012 08:16 4.3.2 Kraft zwischen zwei parallelen Leitern Gegeben seien zwei unendlich lange, parallele, gerade Drähte mit Abstand a, durch die die Ströme I1 und I2 fließen. Welche Kraft übt der Strom durchflossene Leiter C2 auf das Element dz1 des Leiters C1 aus? ∞ I I d F 12= µ0 1 2 dz 1 4 I I = µ0 1 2 dz 1 4 ∫ dz [ a exz 2 −z 1 ez 2 −∞ ∞ ∫ dz −∞ 3/2 [ a 2 z 2− z 12 ] ∞ a ex 2 [ a z 2−z 1 ] 2 2 3/ 2 ez ∫ z 2 −z 1 dz 2 [ 2 2 −∞ a z 2 − z 1 ] 3/ 2 ] I1I2 dz dz 1 a ex 2 ∫ 2 2 3/2 4 0 a z ∞ I1I2 2z = µ0 dz 1 a ex 2 2 2 1 /2 4 a a z 0 I 1 I 2 ex = µ0 dz 2 a 1 ∞ I1 a l1 r2 − r1 dz1 r1 r2 I2 dz2 c2 (z 2-z 1)êz = µ0 ∞ I I - r2 − r1 d F 12 = −µ0 1 2 dz 1 ∫ dz 2 4 ∣ r 1 −r2∣3 −∞ ∣ r2− r1 = a ex z 2 −z 1 ez ∣r2− r1∣= a2 z 2 −z 1 2 Die von den geraden Leitern aufeinander ausgeübte Kraft ist senkrecht zu beiden Stromrichtungen. Sie ist anziehend, falls die Ströme die gleiche Richtung haben. 0x z x I I F 12 = µ0 1 2 z e x 2a Stromfluss im ∞ durch einen Halbkreis geschlossen. So weit weg, dass der Krafteinfluss vernachlässigt werden kann. 111 SI: a = 1 m, I1 = I2 = I I beträgt gerade 1 A, wenn dadurch auf einen 1 m langen Leiterabschnitt eine Kraft von 2 * 10-7 N ausgeübt wird. 112 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 4.3.3. magnetostatische Energien W mag = ∫ d 3 r m r = = 1 2 1 2 Damit erhalten wir durch Einsetzen von A (r): j r ' , t 1 µ ∫ d 3 r j r , t⋅ 4 ∫ d 3 r ' ∣r −r '∣ 2 j r , t ⋅ j r ' , t µ = d 3 r ∫ d 3 r ' ∫ ∣r −r '∣ 8 Wm = 1 H ⋅ B = ∫ d 3 r ( H ⋅rot A) ∫ d 3 r 2 1 3 H ∫ d r div A× H ∫ d 3 r A⋅rot 2 div A× H= H ⋅rot A− A ⋅rot H µ Ar = 4 r∞ H = ∮ d f ⋅ A× H 0 ∫ d 3 r div A × ~r 2 ~ 1 r ~ j r ' ∫ d 3 r ' ∣r −r '∣ Die magnetostatische Energie ist durch die Wechselwirkung zwischen den Stromdichten bestimmt. Dieser Ausdruck ähnelt sehr stark dem Ergebnis für elektrostatische Energien, der die Wechselwirkung zwischen den Ladungsverteilungen beschrieben hat. 1 r2 da rot H = j W el = Wm = 1 2 1 8 ∬ d 3 r d 3 r ' r r ' ∣r −r '∣ ∫ d 3 r j r , t ⋅ Ar ,t elektrostatische Analogie: W el = 1 2 ∫ d 3 r r U r 113 04.04.2012 08:16 114 04.04.2012 08:16 5. Die Maxwell'schen Gleichungen 5.1. Der Verschiebungsstrom rot E=0 rot H = j bisher: rot H = j ̇D Postulat: div rot H = div j div ̇D = 0 div D= div B=0 div j ̇ = 0 Die Kontinuitätsgleichung (Ladungserhaltung) fordert: Bedeutung: ̇ div j = 0 Wenn aber da rot H = j dann muss gelten ̇D ̇D ̇ = 0 , = 0 ̇ĖP erzeugt ein Magnetfeld = Verschiebungsstromdichte rot H = Stromdichte + Verschiebungsstromdichte div rot H = div j . d P : wird durch Ladungsträgerbewegung verursacht, dt d E : ist ein neuer Effekt (wesentlich für W echselstrom). dt 0 Es fehlt offensichtlich ein Term, der diesen Widerspruch korrigiert. 115 116 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 Um Strom zu erzeugen, muss Arbeit geleistet werden. 5.2. Das Faraday'sche Induktionsgesetz ∮ ⃗E ⋅d ⃗r d d Φ = ∫⃗ B ⋅d ⃗f negativ dt dt ⃗ d ∫ ⃗B ⋅d ⃗f = ∫ ∂∂ tB ⋅ d ⃗f +∫ ( ⃗B×⃗v )⋅d ⃗f dt Magnet wird an Spule heran bewegt -> Induktion einer Spannung ∫ = B ⋅d f Fläche der Ringspule d =∮ E ⋅ d r dt ist positiv (festgelegt durch Skizze) Für eine mit v bewegte Leiterschleife wird aber nur die Spannung im mitbewegten System gemessen, so dass Änderung des Flusses erzeugt elektrisches Feld Faraday`sches Induktionsgesetz Richtung von E ist durch die Lenz'sche Regel (entgegen der Ursache) gegeben. j=σE da eine Spannung in einem Leiter einen Strom verursacht ⃗ dϕ ∮ ⃗E ⋅ d ⃗r = d t = − ∫ ∂∂Bt ⋅d ⃗f 22. September 1791 Newington Butts † 25. August 1867 bei Hampton Court Ui =∮ E ⋅ d r = induzierte Spannung hat anderes Vorzeichen als früher r2 j erzeugt Magnetfeld Hs Hs und HM sind entgegengesetzt gerichtet ―> Abstoßung U r1 − U r2 = −∫ E ⋅d r r1 Induzierter Strom verursacht Spannung früher: Spannung verursacht Strom Grund: 117 118 Vielen Dank an Michael Lenz, TU Dresden für die Hinweise zur Integralform des Induktionsgesetzes. 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 Anwendung des Stokes'schen Satzes 5.3. Das System der Maxwell'schen Gleichungen ⃗ ∮ ⃗E ⋅d ⃗r = ∫ rot ⃗E ⋅ d ⃗f = − ∫ ∂∂Bt ⋅d ⃗f ∂⃗ B rot ⃗ E =− ∂t Zeitliche Änderungen von B verursachen einen Wirbel von E, aber auch die Fläche kann zeitlich veränderlich sein. div D= rot E = − ̇ B div B=0 Statik: alle Zeitableitungen Null, j = 0 Stationäre Ströme: alle Zeitableitungen Null, j ≠ 0 Für kleine Geschwindigkeiten im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit ergibt sich als Flussregel: ∮ ⃗E ⋅d ⃗r ≈ dtd ∫ ⃗B ⋅d ⃗f rot H = j ̇ D Achtung: Den Inhalt dieser Seite sollten Sie zur Prüfung wissen. Er ist absolut notwendig (aber nicht hinreichend). Materialgleichungen: D = 0 E P E B = µ0 H M H j = j E (Generator) Stromerzeugung (Dynamo, Generator) 1866/7 technische Realisierung durch Siemens Näherungen D = E B = µ H j = E Kontinuitäts-Gleichung folgt direkt aus den Maxwell'schen Gleichungen: rot H = j ̇ D ̇ div j = 0 Kraft: Lorentz-Kraft Ernst Werner von Siemens 13. Dezember 1816 in Lenthe bei Hannover; † 6. Dezember 1892 in Berlin 119 F = q E q v × B 120 04.04.2012 08:16 ● 04.04.2012 08:16 5.4. Energie(erhaltungs)satz Die Maxwell'schen Gleichungen wurden zwischen 1861 bis 1864 von James Clerk Maxwell entwickelt. Sie beschreiben in einer geschlossenen Form die Erzeugung von elektrischen und magnetischen Feldern durch Ladungen und Ströme, sowie deren Wechselwirkung und bilden die theoretische Grundlage der Elektrodynamik und der Elektrotechnik. ● Die Maxwell'schen Gleichungen beinhalten: Maxwell'sche Gleichungen ● ● das Ampère'sche Gesetz, das Faraday'sche Gesetz, das Gauß'sche Gesetz rot H = j ̇D rot E = − ̇B ∣ ⋅E Skalarprodukt ∣ ⋅ H Subtraktion der Gleichungen E⋅rot H − H ⋅rot E = j⋅ E E⋅̇ D H ⋅̇ B Es gilt: Das Zusammenfassen dieser Gesetze in eine einheitliche Theorie und die Erkenntnis der Notwendigkeit des Maxwell'schen Verschiebungsstromes aus theoretischen Überlegungen stellt eine der herausragendsten Leistungen dar. 1931, zum hundertsten Jahrestag von Maxwells Geburt, beschrieb Einstein das Werk Maxwells als „das Tiefste und Fruchtbarste, das die Physik seit Newton entdeckt hat“. −div E × H= E ⋅rot H − H ⋅rot E ̇ −div E × H = j⋅E E⋅D H ⋅̇ B Joule'sche Wärme Falls D = ε E und B = µ H (falls nicht: siehe Landau/Lifschitz: Elektrodynamik der Kontinua VIII) James Clerk Maxwell 13. Juni 1831 in Edinburgh † 5. November 1879 in Cambridge 121 04.04.2012 08:16 122 04.04.2012 08:16 Definition: Poynting-Vektor −div E × H = E ⋅̇ E µ H ⋅̇ H S = E × H d H ⋅ H = ̇ da H ⋅ H H ⋅̇ H = 2 H ⋅̇ H dt −div E × H= 2 1 = 2 d E⋅ E µ dt 2 d E ⋅D 1 dt 2 Für Nichtleiter σ = 0 -> ν = 0 d H ⋅H dt d H ⋅B dt ẇ div S = 0 In isotropen optischen Medien ist der Poynting-Vektor parallel zum Wellenvektor. In anisotropen optischen Medien, zum Beispiel in doppelbrechenden Kristallen, gilt dies im allgemeinen nicht. 1 1 E ⋅D H ⋅ B 2 2 ẇ div E × H = − Energieerhaltungssatz Die Energiedichte kann sich nur ändern, wenn ein Energiestromes fließt. —> Poynting-Vektor = Energiestromdichte in Richtung des Energieflusses elektromagnetische Energiedichte: w = wel w mag = John Henry Poynting 9. September 1852 in Monton † 30. März 1914 in Birmingham (Der Poynting-Vektor beschreibt 3 der 10 unabhängigen Komponenten des EnergieImpuls-Tensors des elektromagnetischen Feldes in der Relativitätstheorie.) Energiesatz der Elektrodynamik ν ≠ 0 Elektromagnetische Energie kann in Wärme umgewandelt werden Damit existiert kein Erhaltungssatz für elektromagnetische Energie. 123 124 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 5.5. Die Wellengleichung ● ● ● ● ● E = µ Radiowellen -> Licht -> Röntgen -> Gamma-Strahlung sind elektromagnetische Wellen Voraussetzungen für die Herleitung der Wellengleichung: µ, ε sind zeitliche und räumliche skalare Konstanten ρ = 0 keine freien Ladungen σ = 0 keine Leiter (nicht leitfähig) Lösung einer linearen, partiellen Differenzialgleichung; allgemeine Lösung ist eine ebene Welle Re E : physikalisch sinnvoll E r ,t = E 0 e i k⋅r − t E 0x = ∣E 0x ∣⋅e i , E0 selbst kann komplex sein: aus Maxwell: 2 2 ∂ E 1 ∂ E = 2 2 ∂t c ∂ t2 x E 0y = ∣E 0y ∣⋅e i , y E 0z = ∣E 0z ∣⋅e i z D = E, B = µ H rot H = ̇ E rot E = −µ ̇ H ∣E 0x ∣= Re E 0x 2 Im E 0x 2 div E =0 div H = 0 Damit gilt ausführlich Re E - eine der Gleichungen mit rot nehmen und rot rot bilden Lichtgeschwindigkeit 1 = µ in Medien mit ε, µ} 2 c 1 = 0 µ0 Vakuum c c2 rot rot E = −µ rot ̇ H = −µ ̈ E E = grad div E − rot rot E 0 E = µ 2 E x r , t = ∣E 0x∣cos k⋅r −t x y E y r ,t =∣E 0∣cos k⋅r − t y z E z r , t =∣E 0∣cos k⋅r − t z 2 ∂ E 1 ∂ E = 2 2 ∂t c ∂ t2 Wellengleichung 125 04.04.2012 08:16 126 04.04.2012 08:16 Überprüfen unseres Lösungsansatzes: ∂ E = −i E ∂t Bedeutung von ω: E= E 0 ei k⋅r − t z. B. x-Komponente ∂ E = i k x E ∂x E x r , t =∣E 0∣cos k⋅r −t x x ∇⋅ E =i k⋅ E Der Kosinus ist eine periodische Funktion, die Periode ist τ: 2 2 E = ∇ E = −k E = 2 Damit folgt für unsere Wellengleichung E= 1 ̈ E c2 Kreisfrequenz ω: −k 2 E= 1 - 2 E c2 2 2 k 2 = 2 c = f = 1 Frequenz 2 = 2 f Bedeutung von k: Wir wählen ein k 2 − E=0 c2 Re E x Wir suchen eine nicht triviale Lösung mit E ≠ 0 k = k x , 0 , 0 cos k x x − t x Die Wellenlänge λ ergibt sich aus kx λ = 2 π = c∣k∣ für beliebige Vektoren k , E0 127 kx = 2 falls k in x-Richtung 128 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 Allgemein gilt: 2 ∣k∣= k = t = beliebig: = c k ⇒ 2 f = c 2 E ist konstant auf einer Ebene, die sich mit Geschwindigkeit c in Richtung k bewegt. f =c k⋅r = k⋅ r0 = t Ebene Wellen E= E 0 ei k⋅r − t da r0 ∥ k Warum wird die obige Lösung ebene Welle genannt? k r 0 = t r0 = t = ct k unendlich ausgedehnter Lichtstrahl Für konstante Zeit t: k gegeben k⋅r = const. 1 lineare Gleichung für x, y, z Eine ebene Welle ist eine Welle, deren Wellenfronten Ebenen konstanter Amplitude sind,die sich geradlinig ausbreiten. Ebenengleichung e = k ist ein konstanter Vektor auf der Ebene, der in k Ausbreitungsrichtung der Welle zeigt. 129 04.04.2012 08:16 130 04.04.2012 08:16 Bemerkungen Allgemeine Lösung: Durch Überlagerung von ebenen Wellen lassen sich beliebige andere Wellen darstellen. Die Superposition ist möglich, da die Maxwell'schen Gleichungen lineare DGL sind, so dass die Summe von Lösungen wieder eine Lösung ist. E r ,t = ∫ E 0 k e i k⋅r − t d 3 k ● ● ● i k⋅ E= --> longitudinale Schwingungen --> „Plasma-Schwingungen“ Welchen Charakter (transversal oder longitudinal) haben die Wellen? Es gilt immer noch ε = skalar = const. und ρ = 0. Wilhelm Conrad Röntgen 27. März 1845 in Lennep (heute Stadtteil von Remscheid) † 10. Februar 1923 in München Nobelpreis Physik 1901 Wellen werden charakterisiert durch: x y z ● Amplituden: |E |, |E |, |E | 0 0 0 =0 div E = ∇⋅ E = i k⋅E ● E ⊥ zur Ausbreitungsrichtung ● ● Ebene Wellen sind transversale Wellen, das elektrische Feld schwingt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. ρ ≠ 0 (z. B. Ionosphäre) div E= E0(k) ist die Amplitude, welche von Richtung und Frequenz abhängen kann. k⋅E = 0 Röntgen hielt seine Strahlen noch für longitudinales Licht. Falls ε ein Tensor k E = 0 i. Allg. k nicht senkrecht zu E anisotropes Medium (nicht kubischer Einkristall) Wellen haben longitudinale Anteile —> Doppelbrechung 131 E⋅ k = ,0 Nur zwei sind unabhängig, da in Ausbreitungsrichtung ist die Amplitude Null. Wellenlänge λ und Frequenz f 2 Phasen Polarisation (linear, zirkular, elliptisch) 132 04.04.2012 08:16 E x r , t = ∣E 0x∣cos k⋅r −t x Polarisation elektromagnetischer Wellen E b) zirkular (Phasen αx – αy = ± π/2) E y r ,t =∣E ∣cos k⋅r − t y y 0 a) linear polarisiert mit k || z y 0 04.04.2012 08:16 x E0x x Phasen αx = αy E = E cos k x− t e x ∓sin k z−t für fester Raumpunkt = Parameter-Darstellung = E = E ex E ey x 0 y ∣E 0∣=∣E 0∣= E y y 0 k aus Eheu E x =∣E ∣cos k⋅r −t x 0 E y =∣E 0y∣cos k⋅r − t 2 =− Kreis 2 x Blickrichtung im pos. z E-Vektor durchläuft einen Kreis vom Radius E mit Winkelgeschwindigkeit ω in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung = ∣E 0x∣ex ∣E 0y∣ey cos k⋅r − t E orts- und zeitunabhängig feste Richtung von E (Polarisations-Richtung) tan = c) elliptisch: beliebige Phasendifferenz, y 0 x 0 z k ∣E ∣ x x ∣E 0∣ ≠ ∣E 0∣ ∣E ∣ 133 04.04.2012 08:16 134 04.04.2012 08:16 Wie sieht das H-Feld aus? Für den Betrag von |H| gilt damit: =−µ ̇ rot E H = ̇ rot H E = rot ̇ rot rot H E=−µ ̈ H rot rot H =grad div H − H ∣H∣= Für die Energiestromdichte erhalten wir: H = E× k × E = 1 E× S= E× k×E µ µ = − C Es gilt: A× B ×C B A⋅C A⋅B 0 2 2 =µ ∂ H = 1 ∂ H H 2 2 ∂t c ∂ t2 mit der ebenen Welle als Lösung r ,t = H 0 e H =0 wegen div H ∣ µ ∣ ∣ ∣k∣∣E E∣ ∣E = = = ∣E ∣ µ µ µ µc i k⋅r − t k⋅H =0 1 2 k 2 k 2= 1 E 2 e S= [ k E − E k⋅E ]= E= e E µ µ µ cµ mit =c∣k∣ ⊥ k H 0 = 1 k× E H µ ⇒ µ µ 2 D=E E⋅ D= H H =µ H =H B= H⋅ B 1 1 ⇒ w el=w mag = w w= E ⋅D H⋅B 2 2 1 = e c w S =e E⋅D =e c E⋅D µc Ausbreitungsrichtung Zusammenhang zwischen E und H: =−µ ̇ rot E H 2 heisst hier Re E ⋅Re E E =i µ H i k × E ⊥ k und H ⊥E H 135 Elektromagnetische Energie strömt mit Lichtgeschwindigkeit in Ausbreitungsrichtung der Welle. 136 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 Definition: Brechungsindex n c= c vak 1 1 1 = = r r 0 0 n Eigenschaften von normalen und negativ brechenden Medien n= r r Der Brechungsindex n ist das Verhältnis zwischen der Geschwindigkeit des Lichtes im Vakuum und seiner Geschwindigkeit c im jeweiligen Medium. Ein halb in Wasser getauchter Bleistift erscheint geknickt, weil der Brechungsindex von Wasser höher ist als der von Luft. eMta-materialien = Material mit negativem Brechungindex 1964 sagte der sowjetische Physiker Victor Veselago die Existenz von Materialien mit negativen Brechzahlen voraus. Würde die Herstellung eines solchen Materials gelingen, könnte man damit Linsen herstellen, deren Auflösungsvermögen weit besser wäre als das von Linsen aus gewöhnlichen optischen Werkstoffen. Wenn Licht von einem Medium mit niedrigem Brechungsindex n in eines mit höherem Index übergeht, wird es zur Normalen hin gebrochen. Forschern um Srinivas Sridhar von der Northeastern University in Boston gelang es, einen Verbundwerkstoff herzustellen, der ein feines Gitter aus Metalldrähten enthält, das für Mikrowellen eine negative Brechzahl zeigt. Im Oktober 2003 hat eine Gruppe um Yong Zhang in Colorado entdeckt, dass Kristalle aus einer Legierung von Yttrium, Vanadium und Sauerstoff eine negative Brechzahl für Lichtwellen eines großen Frequenzbereichs aufweisen. Der Kristall besteht aus zwei ineinander geschachtelten Kristallgittern mit symmetrischen optischen Achsen. Die negative Lichtbrechung tritt aber nur in einem gewissen Winkelbereich des Einfallswinkels auf. In einem negativ brechenden Medium wird der Bleistift scheinbar komplett aus dem Medium heraus geknickt. Wenn Licht von einem Medium mit positivem Brechungsindex in eines mit negativem Index übergeht, wird es komplett zurück zu derselben Seite der Normalen gebrochen. In einem Medium mit negativem Index erscheint ein sich entfernendes Objekt blauer. Ein Objekt, das sich in einem Medium mit positivem Index vom Beobachter entfernt, erscheint infolge des Doppler-Effektes röter. 137 04.04.2012 08:16 138 04.04.2012 08:16 normales Material Ein geladenes Objekt, das sich in einem positiv brechenden Medium schneller als die darin geltende Lichtgeschwindigkeit bewegt, erzeugt einen Kegel aus Cerenkov-Strahlung in Vorwärtsrichtung. In einem negativ brechenden Medium weist der Kegel rückwärts. In einem Medium mit positivem Index wandern die Berge und Täler eines elektromagnetischen Pulses in dieselbe Richtung wie der gesamte Puls und die Energie. In einem negativ brechenden Medium wandern die Einzelschwingungen entgegengesetzt zum Gesamtpuls und zur Energie. Ein elektrisches Feld (grün) erzeugt eine geradlinige Bewegung der Elektronen (rot). Ein Magnetfeld (violette Pfeile) induziert eine kreisförmige Bewegung der Elektronen. 139 Metamaterial Realisierung eines Metamaterial Geradlinige Ströme (rote Pfeile) fließen in parallel angeordneten Drähten Kreisförmige Ströme fließen in Spaltringresonatoren; diese können auch quadratisch sein. Die Drähte und Resonatoren müssen kleiner als die Wellenlänge der elektromagnetischen Strahlung sein. 140 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 Anwendungen von Materialien mit negativem Brechnungsindex Ändert sich beim Durchgang zu einem anderen Medium die Wellenlänge λ oder die Frequenz f? Superlinse Tarnkappe (für Mikrowellen) Eine rechteckige Platte aus Material mit negativem Brechungsindex wirkt als Superlinse. Das von dem Objekt (links) ausgehende Licht (blaue Linien) wird an der Oberfläche der Linse gebrochen und vereinigt sich innerhalb der Platte zu einem spiegelverkehrten Bild. Beim Austritt aus der Platte wird das Licht erneut gebrochen und erzeugt ein zweites Bild (rechts). Bei einigen Metamaterialien enthält das Bild sogar Details, die kleiner sind als die verwendete Wellenlänge. Die Frequenz bleibt konstant, da E ~ eiωt. Um die Randbedingungen für alle Zeiten t zu erfüllen, muss deswegen gelten ωinnen = ωaußen. --> λ ändert sich, da w=ck gilt erhalten wir c vak k vak =c k (im Stoff z.B. Glas) k =n k vak vak = Wellenlänge wird kürzer, n > 1 n Vor kurzem gelang die Realisierung einer (2D) Tarnkappe für Mikrowellen. Das Objekt ist für MW einer bestimmten Frequenz unsichtbar. Ähnliches wurde auch schon für rotes Licht durch ein gitterartiges Material aus Silber erreicht, das mit Löchern von 100 nm einen Brechungsindex von -0,6 bei 780 nm Wellenlänge besitzt. „Metamaterial Electromagnetic Cloak at Microwave Frequencies“, D. Schurig et al., Science (2006): 314, 977 - 980 141 04.04.2012 08:16 142 04.04.2012 08:16 5.6. Wellen in Materie (mit Absorption): Telegrafengleichung Der Wellenwiderstand charakterisiert, wie sich eine Welle in einem Medium fortpflanzt. Bildlich entspricht dies der Härte oder Weichheit, die das Medium der sich ausbreitenden Welle entgegensetzt. Bisher hatten wir ebene Wellen als Lösung der Wellengleichung. = E0 ei k⋅r − t E x E x=E 0 cos k⋅r − t x E µ = H µ Z 0 = 0 =377 0 Def. Wellenwiderstand: Z = Vakuum: Da die Energiedichte proportional zum Quadrat der elektrischen Feldstärke ist, muss sich die Amplitude ändern, wenn Absorption auftritt. Welche Voraussetzung bei der Herleitung der Wellengleichung ändert sich in Materie? ● Aus dem Zusammenhang zwischen E und H erhalten wir: ● k × E =µ H k E= µ H E µ µ µ = =µ c= = H k µ ● Wichtig ist die Frequenzabhängigkeit, entscheidend ist die Leitfähigkeit bei der Frequenz der sich ausbreitenden Welle, so kann σ(ω=0) = 0, aber σ(ωLicht) ≠ 0. Widerstandstypen: ● Ohmscher Widerstand ● Wechselstromwiderstände (Kapazitäten, Induktivitäten, Impedanz) ● Wellenwiderstand bei Hohlleitern (wichtig für Anpassung damit es nicht zu Reflexionen kommt, z.B. Netzwerke 50 Ω) µ, ε konstante Skalare ρ = 0 auch erfüllt σ = 0 ist nicht erfüllt. =−̇ rot E B = E ̇ rot H E 143 =−µ rot ̇ rot rot E H =−µ ̇ E ̈ E da rot rot =grad div− = E 1 ∂2 E ∂E µ 2 2 ∂t c ∂t Telegrafen-Gleichung 144 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 1 ∂2 E ∂E E= 2 µ 2 ∂t c ∂t Nur die nicht triviale Lösung mit E ≠ 0 ist von Interesse: 2 Analogie aus der Mechanik: Die erste Zeitableitung gibt eine Geschwindigkeit, Reibungskräfte sind proportional zur Geschwindigkeit. Reibung = Dämpfung einer Bewegung 2 k = k= ∂E Absorption ∂t 2 i µ=i 2 c Damit erhalten wir rein formal einen komplexen Wellenvektor k. Anstatt eines komplexen k, führen wir einen komplexen Brechungsindex ñ ein. Die Telegrafengleichung ist nicht mehr Zeit invariant, d.h. die Symmetrie (t -> – t) ist zerstört. Absorption ist ein irreversibler Prozess. k = k vak n n =ni Die Lösung der Telegrafengleichung wird wieder durch einen ebenen Wellen Ansatz gesucht. r , t= E0 ei k⋅r − t E ∂E ∂ E ~ −i E ~ i kx E ∂t ∂x 2 i µ c Um die Ausbreitungrichtung der Welle zu bezeichnen führen wir einen Einheitsvektor e in Ausbreitungsrichtung ein. −k 2 E E = E0 e i e⋅r k E vak n − t Einsetzen des Ansatzes gibt eine Bedingung, wann der Ansatz eine Lösung ist: −e⋅r k = E0 e vak e i e⋅r k vak n− t Amplitude 2 2 =− −k E E−i µ E c2 Die Amplitude nimmt exponentiell mit der Ausbreitung (wachsendes r) ab. Die Absorption bewirkt also eine gedämpfte Schwingung. 145 04.04.2012 08:16 146 04.04.2012 08:16 Die Ursache der Dämpfung liegt in der Leitfähigkeit. ≠0 j= E Die Absorption ist also direkt mit dem komplexen Brechungindex verbunden. Dieser kann auch direkt aus der Dielektrizitätskonstante abgeleitet werden. Damit wird die elektromagnetische Wechselwirkung direkt mit einer Materialeigenschaft in Beziehung gesetzt. v=j⋅E. Es fließt ein Strom bei bei der Frequenz der elektromagnetischen Welle. Der Stromfluss ist immer mit Joule'scher Wärme verbunden. Die Umwandlung von elektromagnetischer Energie in Wärme zeigt sich in der exponentiell kleiner werdenden Amplitude der Schwingung. n = Der Imaginärteil des komplexen Brechungsindex steht für die Absorption (kvakκ) und kann als Absorptionskoeffizient α interpretiert werden. (Im Allgemeinen ist der Absorptionskoeffizient = 2 kvakκ, da die Intensität proportional zum Betrag des Poyntingvektors |S| ist.) für 0 = Wenn ein Material bestimmte Frequenzen absorbiert, ist es in diesem Bereich immer leitfähig für einen Wechselstrom mit diesen Frequenzen. z.B. Glasfilter: grünes Glas - absorbiert rotes Licht und ist in diesem Frequenzbereich auch leitfähig. ● ● 147 n r µr 2 µ2 1 2 2 − r µr r µ r 2 2r 2 0 für 0 ● 2 µ2 1 r µr 2r µ2r 2 2r 2 0 =0 Wurzel einer komplexen Zahl ist mehrdeutig, gewählt wird die Lösung für die σ = 0 für ω -> 0 ist. n(ω) heißt Dispersion, starke Abhängigkeit von σ(ω), ε(ω) und eventuell µr(ω). 148 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 5.7. Strahlung eines schwingenden Dipoles Historisches: Warum eigentlich Telegrafengleichung? Wilhelm Weber und Carl Friedrich Gauß führten 1833 Versuche mit einem elektromagnetischen Telegrafen durch. Im selben Jahr gelang ihnen die erste telegrafische Nachrichtenübertragung vom Physikgebäude in der Göttinger Innenstadt zur Göttinger Sternwarte. Zur Nachrichtenübertragung dienen positive oder negative Spannungspulse, die durch gezieltes Umpolen und Auf- und Abbewegen einer Induktionsspule erzeugt werden. Der entscheidende Durchbruch kam 1837 mit dem von Samuel Morse konstruierten und 1844 verbesserten Schreibtelegrafen. Mit der Verlegung von Seekabeln wurde 1839 begonnen. Nach mehreren Fehlschlägen wurde die erste Verbindung zwischen Europa und Nordamerika 1857/58 eingerichtet. Wilhelm Weber 24. Oktober 1804 in Wittenberg † 23. Juni 1891 in Göttingen Johann Carl Friedrich Gauß 30. April 1777 in Braunschweig † 23. Februar 1855 in Göttingen Ebene Wellen kommen aus ∞ und gehen nach ∞. Was ist ihre Ursache? Wie entstehen elektromagnetische Wellen? Es sind Quellen notwendig: Antenne, Lichtquelle Für Quellen gilt: ̇≠0 wegen ̇div j=0 j≠0 Die Quelle soll sich in Koordinatenursprung bei r = 0 befinden. Außerdem soll wie bisher gelten: = ̇ rot H E div H =0 =−µ ̇ rot E H =0 div E Samuel Finley Breese Morse 27. April 1791 in Charlestown † 2. April 1872 in New York Damit gilt die Wellengleichung ohne Absorption. und H Hertz hat einen Trick gefunden, wie man eine Lösung für E findet, um dann auf ̇ und j im Ursprung zurück zuschließen (Insofern genial, da andere Wege meist nur auf die Fernfelder weit weg von der Antenne kommen.) 149 Heinrich Rudolf Hertz 22. Februar 1857 in Hamburg † 1. Januar 1894 in Bonn 04.04.2012 08:16 Hertzscher Hilfsvektor Z : r ≠0 : 150 04.04.2012 08:16 nun wird φ so gewählt, dass gilt =rot ̇Z H 1 =grad grad div Z = µ ̈ Z Z= rot rot ̇Z= ̇E = 1 rot rot Z zeitlich konstantes Feld E 1 ̈ Z c2 Man löse nun diese Gleichung für Z und berechne H und E aus Annahme: für eine ungeladene Antenne (ρ = 0) sei das zeitlich konstantes Feld ≡ 0 1 =−µ ̈ E Z grad div Z =rot ̇ H Z Eine Lösung wäre natürlich: = 1 rot rot Z = 1 [grad div Z − E Z] = Z0 e i k⋅r − t , Z aber diese Lösung erlaubt keinen Rückschluss auf j in der Quelle. Aus den Maxwell'schen Gleichungen und dem Hertz'schen Hilfsvektor erhalten wir: r , t = Z0 e Z Kugelwellen als Ansatz von Hertz: ̇ = − rot ̈ rot E = − H Z = rot −µ ̈ Z grad =−µ ̈ E Z grad i t−k r r Kugelwellen sind Lösung, falls ω = ck. Die Amplitude von Z (nicht E oder H) ist konstant, falls mit beliebigem φ, da rot grad φ ≡ 0. t=k r 1 1 grad div Z − Z =− ̈ Z grad 151 r = =c t k Die Amplitude ist konstant auf einer Kugel, deren Radius mit Lichtgeschwindigkeit wächst. 152 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 Beweis: In Kugelkoordinaten gilt: Berechnung von H: =rot ̇ H Z =i rot Z 2 ∂ 2 ∂ Winkelableitungen ∂ r2 r ∂ r Die Winkelableitungen spielen keine Rolle, da unser Ansatz Z nicht von Winkeln abhängt. = r ,t = Z0 e Z [ ∂ Z =− 1 Z 1 −ik Z 0 ei t− kr =− 1 ik Z ∂r r r r 1 1 ∂ Z = 12 ik 1 ik Z ik Z 2 r r r ∂r r 2 1 1 2 1 ik = ⇒ Z= 2 Z Z− ik Z r r r r 2 Damit erhalten wir: ] Es gilt: i t−k r r [ = −i Z0×grad 1 e it −k r = −i Z0× −r ei t−kr 1 grad ei t−kr H r r r3 Für den Term mit grad ei(ω t - k r) gilt: 2 grad e it −k r r ] r= x 2 y 2 z 2 ∂ e i t−k r =e i t −k r −ik ∂ x y z =−ik e i t−k r 1 ∂x ∂x 2 2 2 2x x y z 2 2 2 = −ik i t−k r e x r ~r Damit erhalten wir für das Magnetfeld: 2 =−k Z Z 2 1 ̈ − Z= 2 Z 2 c c = Z i t−k r −V ×grad rot V = rot V 2 = 12 Z 1 ik Z Z r r 1 2 1 = 1 − 1 Z =−k 2 Z ik− ik Z Z ik 2 Z 2 2 r r r r r r ,t = Z0 e Z [ [ ] ] r i k r r r r 2 i t−k r H =i 0 Z0 × 3 2 eit −k r =i 0 Z0 × 3 i 3 e r r r r 1 ̈ Z ist erfüllt, falls =ck c2 Erstes Glied wichtig für r < λ: Nahfeld, Nahzone Zweites Glied wichtig für r > λ: Fernfeld, Fernzone 153 04.04.2012 08:16 154 04.04.2012 08:16 1. Nahzone: Um auf j in der Antenne zu schließen: und nur erstes Glied für H: r 0 e −ikr −i =e 2 r Jetzt kommen wir endlich zu einem Dipol: 0 ≈e ≈1 Q −Q =i Z0 × r3 e i t H r wenn wir ein harmonisch veränderliches Z0 einführen Z0 t = Z0 e i t d r ' i t i t p t =Q d r ' =Q 0 e d r ' Ursache für zeitlich veränderliche Ladung in einem Volumen ist ein Strom der fließt r =i Z0 t × r = ̇ H Z 0 t × 3 r3 r Id r ' = Q̇ d r ' = ̇p t Unsere Lösung entspricht einer mit Wechselstrom gespeisten Dipolantenne, falls =2 c / ̇pt p ̇ Z 0 t = bzw. Z0= 4 4 Nahzone ist nicht nur r < λ, sondern auch ω -> 0, da , d.h. wir suchen eine Lösung für niederfrequente Wechselströme, die obiges H liefern. Insgesamt gilt für das H-Feld: p =i 0 × r3 ik2 r e i t −kr = i p0 e it −kr × r3 ik2 r H 4 4 r r r r [ Erinnerung: Biot-Savart: Drahtstück dr' bei r' = 0 erzeugt ein Magnetfeld bei r. r = I d r ' × r dH 3 4 r mit Qt =Q 0 e p =Q d r ' (sieht überraschend ähnlich aus!) p t = p0 e 155 i t p0 e ] i t−kr [ [ = p0 e =p t− kr =p t− r i t− kr [ c = i p t− r × r3 ik2 r = 1 ̇p t− r × r3 ik2 r H c c 4 4 r r r r ] ] ] 156 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 2. Fernzone: 1 1 ik =i ~ ∂ c ∂t c Als Lösung erhält man: nur zweites Glied [ ] 2 − 1 p0 1 ik e i t−kr E=µ Z 4 r3 r2 1 r r − p ⋅r −3 3 −2 ik 4 e i t−kr 4 0 r r 1 1 ik ik r − p ⋅r 3 2 − r e i t−kr 4 0 r r r ,t = ik ̇pt − r × r = 1 ̈pt − r × r H c c 4 r 2 4 c r2 [ [ H(t) wird verursacht durch einen Strom zu einem früheren Zeitpunkt t− r Die c Differenz zeigt Kausalität der Wellenausbreitung mit c. ] ] Verschiedene Zonen: Berechnung von E: d = Größe der Quelle 2 Mittelzone: Nahzone: (für H war die Nahzone ~ Als Übung für Ableitungen sehr zu empfehlen :-) 2 1 k 1 ~ ~ r r r k 2 1 ~ ~ 2 r2 r2 r 1 ~ 3 r Fernzone: 1 ̈ E=−µ Z grad div Z p 1 Z = 0 e i t−kr 4 r 2 d ≪ ≪r d ≪r~ d ≪r ≪ 1 1 und Fernzone ~ ) r r2 157 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 Im folgenden Teil wird nur die Fernzone diskutiert (Nah- und Mittelzone sind allerdings wichtig für Geophysik oder Nahfeldmikroskopie) Wie früher gilt: p ⋅r r r ,t =µ 2 Z − 1 0 k 2 e i t−kr E 4 r3 mit 2 k= c 2 2 2 = µ 2 Z = p0 e i t −kr 4 r [ p r⋅r p0⋅r r r ,t = µ e i t−kr 0 E − 3 3 4 r r Es gilt: 158 it Als Ergebnis für die Fernzone erhalten wir: r r r ,t = 1 ̈ H p t− × 2 4 c c r r , t= 1 r × r × ̈pt− r E 4 r3 c ] Für elektromagnetische Wellen haben wir bereits einen Zusammenhang zwischen E und H hergeleitet. r × p0×r = p0 r⋅r −r r⋅p0 r , t = E r i t − r it− kr c pt− = p0 e = p0 e c r r 2 ̈pt − =− pt− c c p t = p0 e r ,t =µc H ×r =µc H ×e E r µ 2 i t −kr 1 e [ r × p0 ×r ] 4 r3 159 160 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 Nahfeld wird beeinflusst durch Ladungen und Ströme der Quelle. Die elektrischen Feldlinien bei der Quelle folgen den Schwingungen der Ladungen. Das Fernfeld wird nur durch die gegenseitige Induktion bestimmt. it p t = p0 e 161 04.04.2012 08:16 162 04.04.2012 08:16 Winkelbeziehungen: =0 r⋅E =0 r⋅H H =0 E⋅ } stehen senkrecht aufeinander Für den Poynting-Vektor folgt: 1 r r S= ̈pt− ×r ] c 16 r [ c A× = −C A⋅B B ×C B A⋅C S= E ×H = c H ×r × H =c H ⋅H r r r 2 5 2 4 2 ∣ S∣~ 2 sin r ̈p Die Energie verteilt sich auf immer größere Kugelflächen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. 163 164 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 Zusammenfassung ● Elektromagnetische Wellen können durch eine Dipolantenne (schwingendes Ionenpaar = schwingender Dipol) erzeugt werden. ● Die elektromagnetischen Felder nehmen für große Entfernungen mit 1/r ab. ● Die Ausbreitung der Wellen erfolgt mit Lichtgeschwindigkeit. ● Längs der Dipolachse findet keine Abstrahlung ab, Maximum der Abstrahlung ist senkrecht zum Dipolmoment. Zusammenfassung ● Eine Dipolantenne empfängt das elektrische Feld, Sender und Empfänger sollten parallel zueinander stehen, Das Magnetfeld kann über das Faraday'sche Induktionsgesetz genutzt werden (Ferritantenne, durch viele Wicklungen um einen Ferritkern kann die induzierte Spannung vergrößert werden.) Da die elektrische und magnetische Energiedichte gleich ist, sind diese Antennen gleichwertig. H-Feld: Dipolmoment entlang der z-Achse, θ sei Winkel zur z-Achse - konzentrische Kreise um den Dipol - |H| wird mit sinθ schwächer (Null für θ=0,π) ● E-Feld: tangential zu den Längenkreisen - Für θ=0,π ist E in der Fernzone Null, d.h. die Terme der Nah- und Mittelzone werden wichtig. Diese Terme sind die Ursache für das Abbiegen der elektrischen Feldlinien. ● ● Der Poyntingvektor gibt die Energieabstrahlcharakteristik. Die Energie verteil sich auf immer größere Kugelflächen, die sich mit c ausbreiten. ∣s∣~ Magnetfelder sind mit den Wirbeln der elektrischen Felder und umgekehrt verknüpft. 4 r 2 2 sin Die Frequenzabhängigkeit in der 4. Potenz ist Ursache für die historische Entwicklung Langwelle -> Mittelwelle -> Kurzwelle -> UKW. http://www.mikomma.de/fh/eldy/hertz.html 165 04.04.2012 08:16 166 04.04.2012 08:16 Jede beschleunigte Ladung strahlt elektromagnetische Wellen ab. Id r ' = Q̇ d r ' = ̇p t Für eine Punktladung ρ=qδ(r-r0) ergibt sich: I d r =∫ j⋅d f d r =∫ v⋅d V =∫ q r −r0 v⋅d V =q v =̇p t ̈pt = q ̇v Anwendungen/Bedeutung: ● ● ● ● Atommodell Röntgenbremsstrahlung Synchrotronstrahlung = sehr breites, kontinuierliches Spektrum vom infraroten über den sichtbaren Spektralbereich, ins ultraviolett bis tief in den Bereich der Röntgenstrahlung mit hoher Strahlungsintensität ● 167 Freier-Elektronen-Laser (einer von 21 weltweit in 2006 ist in Rossendorf bei Dresden) Rayleigh-Streuung ist die Streuung elektromagnetischer Wellen an Teilchen, die klein im Vergleich zur Wellenlänge λ der Wellen sind. Der Streuquerschnitt ist proportional zur vierten Potenz der Frequenz. Blaues Licht wird stärker gestreut als rotes. Dieser Effekt ist für die blaue Farbe des Himmels bei hohem Sonnenstand, sowie für die rote Farbe bei Sonnenaufgang und Sonnenuntergang verantwortlich. 168 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 rot H = j ̇D = E ̇E da 6. Niederfrequente Wechselfelder 6.1. Der Skin-Effekt ~ rot H = E Übergang zu niedrigen Frequenzen und leitfähigem Material -> Wechselstromtechnik j = E Wir betrachten einen Zeitpunkt t, bei dem E gerade wächst E Wir starten von der Telegraphen-Gleichung: Bei fester Kreisfrequenz 1 ̈ E µ ̇ E c2 mit 1 =µ c2 =2 f : ∣ E∣ ~ e i t µ ̇ E ~ E µ µ ̈ E ~ 2 Eµ H H wächst rot E = −µ ̇ H Schwächung des verursachenden E-Feldes in der Mitte des Drahtes dicker Draht Quantitative Rechnung für ein einfaches Beispiel, das aber die gleichen physikalischen 2 2 ∂ = Phänomene zeigt (da in Zylinderkoordinaten gilt: ) ∂2 2 E = µ ̈ E ̇ E ∂r - Wenn ω klein und σ groß ist: z ∂x tangential Komponente von E stetig Metall E= rot E = − ̇B = −µ ̇ H E E x , t = 0 , 0 , E z x , t ≫ + µ ̇ E ≫ µ ̈ E E = µ ̇ E 0 für x 0 : E z = E z t = E z e it bekannt 169 04.04.2012 08:16 170 04.04.2012 08:16 Randbedingung: Das Vorzeichen wird so gewählt, dass die Felder endlich sind. E z x 0 , t = E 0z e i t Ohm'sches Gesetz soll gelten: = j z = E z j z auch bekannt zu lösen ist: ∂x 2 E z x ,t = E e Einsetzen ergibt 1i µ = i t− x 1i l i t −1i mit l = x l = E 0z e − x l e 2 µ x i t− l l ist die Eindringtiefe. Re Ez entspricht einer gedämpften Kosinus-Funktion. = µ Ė z 0 z 1 2 E z x ,t = E 0z e E = µ ̇ E ∂2 E z Ansatz: 0 Stromfluss im Inneren des Metalls ist geschwächt, wegen Ohm'schen Gesetz jz = σEz. Skin-Effekt: Der Hauptstrom fließt an der Oberfläche des Leiters. Mit größerem σ und ω dringt der Strom immer schlechter in das Metall ein. (erfüllt unsere Randbedingung für x = 0) 2 z.B. Ez = i µ Ez 2 = i µ f = 50 Hz, σCu: l ≈ 1 cm f = 5·109 Hz : l ≈ 1 µm Strom fließt nur in einer Randschicht (Hohl-Leiter) ● Für ω -> 0 geht l -> ∞, d.h. Strom fließt im gesamten Draht. ● Wurzel aus i: i = ± 1 1i 2 1 1 1i 2 = 12 ii2 = i 2 2 171 172 04.04.2012 08:16 Falls ω klein ist, so dass (Kontakte) sind wichtig. 04.04.2012 08:16 σ >> ωε tritt der Skin-Effekt auf. Die Oberfläche der Leiter 6.2. Wechselstromkreis E = µ ̇ E Nur eine Spule L = Selbstinduktions-Koeffizient UR: Spannung am Widerstand R zur Zeit t Wird ω hinreichend groß, müssen Welleneffekte berücksichtigt werden. Ue E = µ ̇ E µ ̈ E Das Draht-Innere kann dann weggelassen werden (Hohlleiter), der hohle Draht dient zur Führung der Wellen. UR =∫ E⋅d r = R Koaxialkabel: f 10 GHz , 3 cm S = E × H Spannung am Kondensator UC, S ∥ Draht 1. 2. 3. 4. gut beschrieben durch E = µ ̇E Hohlleiter: f 10 GHz E = µ ̇ E µ ̈ E Seele (Innenleiter) Dielektrikum Kabelschirm Schutzmantel (Isolation) innerer Leiter („Seele“) weg Die Randbedingungen entsprechen einem Spiegel für Felder (z.B. Silber). Uc =− 1 ∫ j⋅d r = eF I = R I R induzierte Spannung UL an der Spule Q c U L = − L İ verkleinert die angelegte Spannung U e −L İ − Q =IR C U e = I R L İ In der Elektrotechnik wurde die Stromrichtung anders definiert. Elektrotechnik I = Q̇ - geringe Verluste bei hohen Frequenzen, da kein Material zur Stützung der Seele Elektrodynamik I Q̇ = 0 U e = L Q̈ Q̇ R 173 04.04.2012 08:16 Q C Q C 174 04.04.2012 08:16 für gegebenes Ue ―> DGL für Q (bzw. I) (sieht aus wie harmonischer, gedämpfter Oszillator mit äußerer Kraft) Da es eine komplexe Gleichung für Real- und Imaginärteil ist, haben wir 2 Gleichungen für die unbekannten Größen I0 und α. m ẍ a ẋ k x = F Betrag: Ergebnis: Schwingungen mit Resonanz (Schwingkreis) bei harmonischer Anregung. i t Ue = U0 e = 2 f f = 50 Hz Lösungsansatz: dI = i I 0 e i t−i dt I t = I 0 e i t −i Q̇ = I Q = U0 e i t 1 I e i t−i i 0 = R i L 1 i t −i I e i C 0 I0 = U 0 =∣Z∣I 0 Wechselspannung U 0 cos t Re U U e = I R L İ ∣e−i ∣= 1 2 = [ ] 1 C R2 L− 1 C 2 Für eine Antenne als Schwingkreis würde U0 im Allgemeinen sehr klein sein. Um große Ströme (Signale) zu bekommen, benötigt man kleine Widerstände R und Resonanz: Q C U0 = Ri L − U0 1 LC (In alten Radios erfolgte die Grobabstimmung über L und die Feinabstimmung über C.) I 0 e−i Z Z: komplexer Widerstand = Wechselstromwiderstand 175 176 04.04.2012 08:16 04.04.2012 08:16 Ausschaltvorgang bei RL-Glied: 2. Einschalten einer Gleichspannung t0 U e = L İ R I U =I =0 I = I 0 1− e U für stationären Strom İ = 0 , I 0 = e R R I˙ = I 0 e L − R t L −R t L 1. Ausschalten einer Gleichspannung Ue = { const t 0 0 t 0 für t 0 I = I0 = für t 0 Ue = 0 R I˙ = − I L Ue R − I t = I 0 e R t L U Anfangsbedingung t = 0: I0 = e R -> Messung von L Energie (Strom) kommt aus dem H-Feld der Spule. 177 178