¨Ubungen zur Vorlesung Logik für Informatiker WS 2015/16

Übungen zur Vorlesung Logik für Informatiker
Gabriele Kern-Isberner
Martin Schuster Nils Vortmeier
WS 2015/16
Übungsblatt 5
23.11.2015
Abgabe bis zum 30.11.2015 um 10:10 Uhr
• (vor der Vorlesung) im HG II, HS 3, oder
• in den Briefkästen mit den Nummern 26-31 im Durchgangsflur,
der die 1. Etage der OH 12 mit dem Erdgeschoss der OH 14
verbindet.
Es gelten die Bedingungen von Blatt 1 und 2.
Quizfragen:
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche sind falsch? Und warum?
keine Punkte
1. In keinem saturierten Tableau einer allgemeingültigen aussagenlogischen Formel gibt es ein
geschlossenes Blatt.
2. Für eine aussagenlogische Formel ϕ kann es viele saturierte Tableaus geben. Sie haben aber
alle dieselbe Anzahl von Knoten.
3. Gemessen an der Länge n der Formel erzeugt der aussagenlogische Tableau-Kalkül höchstens
ein Tableau der Größe 2O(n) .
Aufgabe 5.1 [Aussagenlogischer Tableaukalkül]
Sei die Formel
ϕ = ((A ∧ ¬D) → B) ∧ ¬(D ∨ (¬A ∧ ¬B))
4 Punkte
gegeben.
a) Konstruieren Sie ein saturiertes Tableau T für ϕ. Wählen Sie dazu bei jeder Regelanwendung
jeweils einen möglichst dicht an der Wurzel des Tableaus liegenden unmarkierten Knoten.
Sobald sich auf einem Zweig des Tableaus ein Widerspruch ergibt, können Sie diesen Zweig
direkt schließen und müssen ihn nicht weiter verfolgen.
(3 Punkte)
b) Entscheiden Sie mit Hilfe des Tableaus T , ob die Formel ϕ erfüllbar ist. Wenn die Formel
erfüllbar ist, markieren Sie die offenen Blätter und schreiben an jedes offene Blatt eine zu ihm
korrespondierende erfüllende Belegung.
(1 Punkt)
Übungsblatt 5
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Übungen zur Logik
Aufgabe 5.2 [Modallogisches Folgern]
In dieser Aufgabe sollen Sie entscheiden, ob aus der Formel
6 Punkte
ϕ = 3(¬3(3¬B ∧ ¬A) ∧ 2(A → 3B))
die Formel ψ = 32A folgt.
a) Stellen Sie eine Formel in NNF auf, die genau dann unerfüllbar ist, wenn ψ aus ϕ folgt.
(2 Punkte)
b) Beweisen oder widerlegen Sie mit Hilfe des modallogischen Tableaukalküls, dass ψ aus ϕ
folgt. Wählen Sie dazu bei jeder Regelanwendung jeweils einen möglichst dicht an der Wurzel
des Tableaus liegenden unmarkierten Knoten. Sobald sich auf einem Zweig des Tableaus ein
Widerspruch ergibt, können Sie diesen Zweig direkt schließen und müssen ihn nicht weiter
verfolgen.
Wenn ψ nicht aus ϕ folgt, geben Sie eine Kripke-Struktur K und eine Welt s an, so dass
K, s |= ϕ und K, s 6|= ψ.
(4 Punkte)
Zusatzaufgabe [The Times They Are a-Changin’...]
2 Punkte
Wir wollen in dieser Aufgabe zeitlich getaktete Systeme beschreiben. Als Beispiel verwenden wir
einen Drucker, für den wir sagen wollen: Wird der Einschaltknopf des Druckers betätigt, so ist er
irgendwann bereit und bleibt es danach auch. Ist der Drucker bereit und erhält einen Auftrag, so
beginnt er sofort danach zu drucken und druckt weiter, bis er keinen Auftrag mehr hat oder sein
Papier alle ist.
Für die Modellierung solcher Situationen eignet sich die lineare temporale Logik (LTL). LTL-Formeln
sind syntaktisch von folgender Form:
• Jede Proposition p ∈ Prop ist eine LTL-Formel.
• Sind ψ und ζ LTL-Formeln, so sind auch
– ¬ψ, ψ ∧ ζ und ψ ∨ ζ,
– Xψ, Fψ, Gψ und ψUζ
LTL-Formeln.
Hierbei ist Prop eine Menge von Propositionen. Propositionen entsprechen den Variablen in der
Modallogik. Die Symbole X, F, G und U heißen temporale Operatoren.
Im Allgemeinen können LTL-Formeln in beliebigen Kripke-Strukturen ausgewertet werden. Zur
Einfachheit beschränken wir uns hier auf lineare Strukturen:
1
P (1)
2
P (2)
3
P (3)
4
P (4)
n
P (n)
Lineare Strukturen sind Kripkestrukturen mit V = {1, . . . , n} und E = {(1, 2), (2, 3), . . . , (n−1, n)}.
Die Welt 1 heißt initiale Welt.
Die Semantik von LTL Formeln für solche Strukturen ist induktiv definiert.
Übungsblatt 5
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Übungen zur Logik
Eine lineare Struktur K erfüllt eine Formel ϕ in Welt i, geschrieben K, i |= ϕ, falls:
(Atom)
(Negation)
(und)
(oder)
(nächste Welt)
(in der Zukunft)
(immer)
(solange ... bis)
ϕ := p
ϕ := ¬ψ
ϕ := ψ ∧ ζ
ϕ := ψ ∨ ζ
ϕ := Xψ
ϕ := Fψ
ϕ := Gψ
ϕ := ψUζ
und
und
und
und
und
und
und
und
p ∈ P (i)
nicht K, i |= ψ
K, i |= ψ und K, i |= ζ
K, i |= ψ oder K, i |= ζ
i + 1 existiert und K, i + 1 |= ψ
es gibt j ≥ i, so dass K, j |= ψ
für alle j ≥ i gilt K, j |= ψ
es gibt j ≥ i, so dass K, j |= ζ, und
für alle k mit j > k ≥ i gilt K, k |= ψ.
Eine Struktur K ist ein Modell von ϕ, falls K, 1 |= ϕ gilt.
Das obige Beispiel lässt sich nun wie folgt mit Hilfe von LTL modellieren. Als Propositionen nehmen
wir {e, b, a, d, p} mit den intendierten Bedeutungen
• e: Einschaltknopf wird betätigt.
• b: Der Drucker ist bereit.
• a: Der Drucker hat einen Auftrag.
• d: Der Drucker druckt.
• p: Der Drucker hat noch Papier.
Die Formel
G((e → F(b ∧ Gb)) ∧ ((b ∧ a) → X(dU(¬a ∨ ¬p)))
beschreibt nun die oben angegebene Situation. Strukturen, die diese Formel in Welt 1 erfüllen, sind
beispielsweise
1
e, p
2
p
3
b, a, p
4
b, a, d, p
n
b, a, d
1
a, p
2
a, e
3
d
4
a
n
e, b
und
(Man sieht, dass die Formel keineswegs nur reale Abläufe widerspiegelt.)
a) Ist die folgende Struktur ein Modell der Formel ϕ = F(b ∧ ((¬e)Ud))?
1
b
2
e
3
b
4
b
5
e
6
b
7
d
(1 Punkt)
b) Geben Sie eine LTL-Formel ψ über den Propositionen {p, q, r} an, die folgende Situation
beschreibt:
• Wenn eine Welt die Proposition r trägt, so trägt die darauffolgende Welt mindestens eine
der Propositionen {p, q}.
• Trägt eine Welt höchstens zwei der drei Propositionen {p, q, r}, so folgt darauf irgendwann eine Welt mit der Proposition r; dazwischen muss allerdings mindestens eine Welt
liegen, die keine Propositionen trägt.
(1 Punkt)