Aufgaben mit Lösung

Nr. 1: Erwärmen und Abkühlen
e-Funktion
Im Physikunterricht wird ein Becher mit Wasser zum
Zeitpunkt t = 0 aus dem Kühlschrank genommen, und
eine zeitlang erhitzt. Anschließend kühlt er langsam auf
Zimmertemperatur ab. Die gemessene Temperaturkurve
folgt dabei ziemlich exakt dem links abgebildeten
Graphen der Funktion f mit der Funktionsgleichung:
25
20
15
10
f HtL = It2 - 11M „-0.2 t + 15 . Die Zeit HtL wird in
5
Minuten und die Temperatur f HtL in Grad Celsius
10
20
30
40
gemessen.
a)
(1) Wie hoch ist die Temperatur im Kühlschrank ?
Input
(2) Wann war das Wasser 15 Grad warm?
(1) f Ht L = ‰-0.2 * 0 I02 - 11M + 15 = 4
Die Kühlschranktemperatur betrug 4 °.
(2) 15 = f Ht L = ‰-0.2 t It 2 - 11M + 15 0 = ‰-0.2 t It 2 - 11M (e... wird nie 0) t 2 - 11 = 0 t 2 = 11 t1,2 = ≤
11. = ± 3.31662
(minus entfällt)
Nach 3.31Min. (3 min 0.31*60 s = 3 min 18.6 s beträgt die Temperatur 15 Grad.
b)
Wie lange und bis zu welcher Temperatur wurde das Wasser erhitzt?
(Hinweis: f '' HtL = „-0.2 t I0.04 t2 - 0.8 t + 1.56M kann ohne Berechnung verwendet werden)
Gesucht: Hochpunkt des Graphen:
f Ht L = It 2 - 11M ‰-0.2 t + 15;
f '@t D = 2 t ‰-0.2 t + IIt 2 - 11M ‰-0.2 t H-0.2L M = ‰-0.2 t I2 t - 0.2 t 2 - 2.2M = „-0.2 t I-0.2 t 2 + 2 t + 2.2M
f ''@t D = 0.04 ‰-0.2 t It 2 - 11M - 0.8 ‰-0.2 t t + 2 ‰-0.2 t = „-0.2 t I0.04 t 2 - 0.8 t + 1.56M
notw. Bed.: f ' Ht L = 0 0 = ‰-0.2 t I-0.2 t 2 + 2 t + 2.2M -0.2 t 2 + 2 t + 2.2 = 0 1. t 2 - 10. t - 11. = 0 t1,2 = 5 ≤
25 + 11 t1 = -1(entfällt) ; t = 11
hinr. Bed.: f '' H11L = ‰-0.2 *11 I0.04 ÿ 112 - 0.8 ÿ 11 + 1.56M = -0.265928 < 0 HP .
Mit: f H11L = I112 - 11M ‰-0.2 11 + 15 = 27.1883 folgt:
Der Becher wurde 11 Minuten erhitzt. Dann hatte das Wasser eine Temperatur von 27.2 °
c)
Wann waren der Temperaturanstieg und -Abfall am steilsten?
Gesucht sind die Wendestellen ( Extrema der 1. Ableitung)
notw. Bed.: f '' Ht L = 0
‰-0.2 t I0.04 t 2 - 0.8 t + 1.56M = 0 I0.04 t 2 - 0.8 t + 1.56M = 0 I t 2 - 20 t + 39M = 0 t1,2 = 10 ≤
100 - 39. = 10 ≤ 7.81025 t1 = 2.19 ;
t2 = 17.81
Aus dem Graphen kann man ablesen, dass zum Zeitpunkt t1 die Temperatur am stärksten steigt, und
zum Zeitpunkt t2 am schnellsten fällt. Nach 2.19 min = 2 min 0.19 * 60 s = 2 min 11.4 s steigt die Temperatur am schnellsten, und nach
17.81 min = 17 min 0.81* 60 s = 17 min 48.6 s sinkt sie am schnellsten.
d)
(1)
(2)
(3)
Schätzen Sie anhand des Graphen von f die Durchschnittstemperatur des Wassers in den ersten 20 Minuten.
Zeigen Sie, dass F mit F HtL = „-0.2 t I-5 t2 - 50 t - 195M + 15 t eine Stammfunktion von f ist.
Bestimmen Sie mit der Stammfunktion aus (2) die Durchschnittstemperatur des Wassers in den ersten 20
Minuten.
(1)
Die Durchschnittstemperatur ergibt sich als Fläche unter einer waagerechten Linie von 0 bis
20, die genauso groß ist, wie die Fläche unter dem Graphen von f von 0 bis 20. Bei einer Höhe von ca.
20° gleichen sich die Flächen unter und über dem waagerechten Strich in etwa aus. Daher sollte die
Durchschnittstemperatur ca. 20 ° betragen.
(2)
zu zeigen: F ' Ht L = f Ht L
I‰-0.2 t I-5 t 2 - 50 t - 195M + 15 t M ' = ‰-0.2 t H-0.2L I-5 t 2 - 50 t - 195M + ‰-0.2 t H-10 t - 50L + 15 =
‰-0.2 t It 2 + 10 t + 39 - 10 t - 50M = ‰-0.2 t It 2 - 11M + 15 = f Ht L
(3) Durchschnitt =
20
Ÿ0 f Ht L „ t =
1
b
Ÿ f Ht L „ t
b-a a
-0.2 t
-0.2* 20
20
I-5 t 2 - 50 t - 195M + 15 t E20
I-5 202 - 50 ÿ 20 - 195M + 15 20M Ÿ0 f Ht L „ t = A‰
0 = I‰
I‰-0.2 0 I-5 02 - 50 ÿ 0 - 195M + 15 ÿ 0M = H241.482L - H-195L = 436.482
Dt =
1
20-0
436.482 = 21.8241 °
In den ersten 20 Minuten beträgt die Durchschnittstemperatur 21.8 °Celsius .
e)
(1)
(2)
Berechnen Sie die Temperatur des Wassers nach 90 Minuten.
Begründen Sie mit dem Ergebnis aus (1), warum Sie nicht so gerne an dieser Unterrichtsstunde teilgenommen hätten.
(1)
f H90L = I902 - 11M ‰-0.2 90 + 15 = 15.0001
Da sich die Temperatur des Wassers immer mehr der Raumtemperatur annähert, muss diese
(2)
15 Grad sein. Das ist mir viel zu kalt.
Nr. 2: VW-Aktie
Vor einigen Tagen machte die VW-Aktie eine Achterbahnfahrt. Vereinfacht folgte der Kurs der Aktie dem Graphen
1
1- t2
der Funktion f mit: f HtL = 300 t „ 8 + 300. Dabei wird die Zeit in Tagen gemessen (ab einem gewissen Stichtag
0) und der Funktionswert gibt den Wert der VW-Aktie in € an.
a) Zeichnen Sie den Graphen von f in einem sinnvollen Bereich.
1200
1000
800
t2
1Plot 300 + 300 t ‰ 8 , 8t, 0, 6<, AxesOrigin Ø 80, 0< = 600
400
200
1
2
3
4
5
6
b) Berechnen Sie den maximalen Wert der Aktie.
1
8
1- t 2
f @t_D := 300 t „
1
8
1- t 2
f '@t D = 300 ‰
1
8
1- t 2 -1
f ''@t D = ‰
J
4
+ 300 =
1
1- t 2 -1
8
+ 300 t *‰
J
4
1
8
1- t 2
t N I300 - 75 t 2 M + ‰
1
8
1- t 2
tN = ‰
I300 - 75 t 2 M
1
1- t 2 75 3
8 J
t - 225 t N
4
H-150 t L = ‰
Extrema: notw. Bed.: f ' HxL = 0 element
1
8
1- t 2
0=‰
I300 - 75 t 2 M ï H‰.... wird nie NullL 300 - 75 t 2 = 0 t1,2 = ± 2 (-2 entfällt, da – ÿ)
Test mit f'':
1
8
1- 22 75.
f '' H2L = ‰
J
4
23 - 225 *2N = -494.616 < 0
1
8
1- 22
f H2L = 300* 2.* „
Hochpunkt bei 2.
+ 300 = 1289.23 €
Der maximale Wert wurde am 2. Tag mit 1289.23 € angenommen.
c) Zu welchem Zeitpunkt verminderte sich der Wert der Aktie am schnellsten?
Im Wendepunkt f '' HxL = 0
1
1- t 2 75 3
8 J
t - 225 tN = 0 4
f '' HtL = ‰
im Problemzusammenhang)
75 t 3 - 225 t = 0 tJ
75 2
t - 225N = 0 ï t1 = 0(entfällt
4
75 2
t - 225 = 0 ï t 2 = 12 ï t2,3 = ≤
4
12. = ± 3.4641
Test lasse ich hier entfallen.
Nach ca. 3
1
Tagen ist der Kursverfall am stärksten.
2
1-
t2
8
d) Zeigen Sie, dass FHtL = 300 t - 1200 ‰
eine Stammfunktion von f ist. Berechnen Sie mit Hilfe dieser
Stammfunktion den durchschnittlichen Wert der VW-Aktie in von 0. bis zum 5. Tag.
1-
FHtL = 300 t - 1200 ‰
Durchschnitt =
t2
8
1-
f HtL = F ' HtL = 300 - 1200 ‰
Breite des Intervalls
t2 5
t2
1-
300 * 5. - 1200 ‰
4618.6
5
8
Fläche unter der Kurve
11Fläche: Ÿ05 300 + 300 t ‰ 8 „ t = 300 t - 1200 ‰ 8
Schnitt =
t2
t2
1-2 t
8J
N = 300 + 300 t ‰ 8
25
8
=
0
1-
- 300 * 0 - 1200 ‰
0
8
= 4618.62
= 923.72 €
Nr. 3: Fieberverlauf
In Folge einer schweren Lebensmittelvergiftung liegt Franz schon seit einigen Tagen im Krankenhaus. Nach
Erfahrung der Mediziner lässt sich der Verlauf des Fiebers ungefähr gemäß einer Funktion T mit
THxL = 2 x „-0.2 x + 36.7 modellieren, wobei x für den Zeitraum in Tagen seit dem Verzehr der verdorbenen
Mahlzeit steht, und T die Körpertemperatur in Grad C angibt.
a)
Zeigen Sie, dass Franz unmittelbar nach dem Genuss des verdorbenen Essens erkrankt, d.h., dass die Temperatur
sofort ansteigt.
THxL = 2 x ‰-0.2 x + 36.7
T ' HxL = 2 ‰-0.2 x + 2 x ‰-0.2 x H-0.2L = ‰-0.2 x H2 - 0.4 xL
T '' HxL = ‰-0.2 x H-0.2L H2 - 0.4 xL + ‰-0.2 x H-0.4L = ‰-0.2 x H-0.4 + 0.08 x - 0.4L = ‰-0.2 x H0.08 x - 0.8L
T ' H0L = ‰0 H2 - 0.4*0L = 2 > 0
Die Temperatur steigt also sofort, Temperaturänderung > 0.
b)
Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die Temperatur steigt und den maximalen Wert der Temperatur.
Die Temperatur steigt bis zum Hochpunkt. Hochpunktberechnung:
notw. Bed. T ' HxL = 0
0 = ‰-0.2 x H2 - 0.4 xL ï He... wird nie Null) 2 - 0.4 x = 0 x=5
Test mit T '' HxL; T''(5)=‰-0.2 *5 H0.08*5 - 0.8L = -0.147152 < 0 HP bei 5
TH5L = 2* 5* ‰-0.2 *5 + 36.7 = 40.3788 °C
Die Temperatur steigt 5 Tage lang bis auf ca. 40.4 ° C.
c)
Berechnen Sie den Wendepunkt des Graphen von T und untersuchen Sie das Verhalten der Funktion für sehr große
x. Deuten Sie diese Werte innerhalb des Problemzusammenhanges der Aufgabe. Skizzieren Sie den Graphen.
Wendepunkt:
notw. Bed. T '' HxL = 0
0 = ‰-0.2 x H0.08 x - 0.8L ï He... wird nie Null) 0.08 x - 0.8 = 0 Einfache Nullstelle
Vorzeichenwechsel von f''
T H10L = 2* 10* ‰-0.2 *10 + 36.7 = 39.4067
W H10
xW = 10
WP bei 10
39.4L
Nach 10 Tagen ist die Temperaturänderung am größten, dann sinkt die Temperatur am stärksten.
(Siehe Skizze des Graphen)
Randverhalten.
lim I2 x ‰-0.2 x + 36.7M = 36.7
xØ ¶
da ‰-0.2 wesentlich stärker gegen Null geht, als 2 x gegen Unendlich.
Die Temperatur nähert sich also immer näher der als normal angesehenen Temperatur von 36.7 ° C.
40.0
39.5
39.0
PlotA2 x ‰-0.2 x + 36.7, 8x, 0, 20<E = 38.5
38.0
37.5
5
10
15
20
d)
Als Franz Krankenbesuch von seinem Freund Fritz erhält, will dieser ihn trösten und erzählt, ihm sei es vor einigen
Monaten genauso gegangen. Nach 14 Tagen aber sei er wieder völlig gesund gewesen. Prüfen Sie diese Aussage
unter der Annahme, dass sich das Fieber bei Fritz damals auch gemäß T(x) entwickelt hat.
Es gilt: T H14L = 2* 14* ‰-0.2 *14 + 36.7 = 38.4027
Franz hat nach 14 Tagen noch ca. 38.4° Fieber. Er ist dann also immer noch krank. Sein Freund will
ihn nur trösten, oder er hat sich schneller erholt als Franz.