Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer

Vorlesung 6:
Roter Faden:
Heisenbergsche Unsicherheitsrelation
Messungen in der Quantenmechanik
Folien auf dem Web:
http://www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/~deboer/
April 28, 2005
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
1
Lokalisierung eines Teilchens
Wenn ein Elektron ein wohldefinierter Impuls hat, dann hat es auch
eine wohldefinierte Wellenlänge. Die einzigeWellengleichung für eine
wohldefinierte Wellenlänge ist
mit k = 2
π
/λ , and ω= 2
π
f.
Das Problem: die Amplitude geht nicht gegen Null im Unendlichen,
d.h. das Teilchen ist nicht lokalisiert!
Lösung des Problems: Wellen können interferieren wenn die Impulse
-und damit die Wellenlängen – NICHT scharf definiert sind.
Dann Teilchen lokalisiert in Wellenpaket. Wenn Teilchen
sehr scharf lokalisiert, muss Unsicherheit in Impuls groß sein.
Dies ist Prinzip der Heisenbergsche Unsicherheitsrelation.
Superposition von ZWEI Wellen ergibt Schwebungen:
April 28, 2005
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
2
Superposition von zwei Wellen
Bei festem t=0
x∆k=2π -> ∆x ∆p=h
x oder t
Schwebungen konzentrieren
Energiedichte und daher
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
eines Teilchens->Lokalisierung
April 28, 2005
Bei festem x=0
∆ωt=2π -> ∆E ∆t=h
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
3
Superposition unendlich viele Wellen
Fouriertrafo
von Orts- zu
Impulsraum
für t=0!
x
April 28, 2005
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
4
Unschärfe der Unschärferelation
Viele Bücher ergeben: ∆x ∆p ≥ ħ statt h.
Wo liegt der Unterschied?
Bei einem gaussförmigen Wellenpaket wird
die Unschärfe MINIMAL (mathematisch zu beweisen)
aber wie groß ist die Unschärfe?
Ein Standardabweichung oder Ort wo Wahrscheinlichkeit
auf 1/√e gefallen ist oder …? Unschärfe ist unscharf
definiert!
∆x=Abstand zwischen
Beugungsminima->
∆x ∆p ≥ h
April 28, 2005
x= b/2 -> u2=1/√e
∆x=b-> ∆x ∆p ≥ ħ
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
5
Superposition Gaussche Wellenpakete
April 28, 2005
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
6
Superposition Gaussche Wellenpakete
Die Fouriertransformierte eines gaussförmigen
Wellenpaket mit Standardabweichung σ ergibt
Im Impulsraum wieder einen Gaussform, jedoch
mit Standardabweichung 1/σ !
http://www.itkp.uni-bonn.de/~metsch/pdm/pdmquant.html
April 28, 2005
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
7
Heisenbergsche Unschärferelation
Jede Messung von x und p ändern den Zustand des Mikroteilchens
April 28, 2005
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
8
Beispiel für Anwendung der Unschärferelation
April 28, 2005
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
9
Wirkungsquerschnitt e+e- Æ Quarks
Z0 Resonanz
versus Schwerpunktsenergie
Es gibt nur
DREI leichte
Neutrinos!
Und daher
nur DREI
Generationen
von Quarks
und Leptonen!
(falls alle
Neutrinos fast
masselos sind)
Peak hängt von der totalen Breite ΓZ ab.
ΓZ= h/Lebensdauer = F(Anzahl der Neutrinos)
(aus ∆t=Lebensdauer, ΓZ= ∆E und ∆E ∆t=h )
April 28, 2005
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
10
Das Standard Modell der Teilchenphysik
MW,MZ
Mτ
Mµ
STABIL
Me
April 28, 2005
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
Mν
11
Kleine experimentelle Probleme am LEP Beschleuniger:
Einfluss des Mondes und Störungen durch TGV
April 28, 2005
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
12
Welle – Teilchen Dualismus
Jede Welle (Licht, Schall, etc ...) zeigt Teilcheneigenschaften
(Photonen, Phononen etc ...)
Jedes Teilchen (Elektron, Atom etc ... ) zeigt Welleneigenschaften
(deBroglie Wellen, Beugung, Interferenz)
Welle:
Teilchen:
•
•
•
•
•
•
Wellenlänge, Frequenz, Dispersion
Superposition, Interferenz
Impuls, Energie, Stoss, ‘Klick‘
Wellenpaket
Heisenberg‘sche Unschärferelation
Interferenz
Tunneleffekt, Quantenreflexion
Grundzustandsenergie in Potenzial
Licht: Lichtdruck, Photoeffekt, Comptoneffekt
Materiewellen (nicht relativistisch) werden mit der
Schrödingergleichung beschrieben
April 28, 2005
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
13
Die Schrödingergleichung (Wellengl. um Aufenthaltswahrscheinlichkeit
(AW) Teilchen zu bestimmen. Bedeutung in der QM wie F=ma der KM)
Die Energie eines Teilchens wird durch die Hamilton-Funktion beschrieben:
Die Wellengleichung kann nach der QM gefunden werden durch
die Substitutionen:
wobei
und
Damit lässt sich der Hamiltonoperator schreiben als
und diese angewandt auf die Wellenfunktion
ergibt uns die Schrödingergleichung:
Dies ist die Wellengleichung für nicht-relativistische Teilchen der Masse m.
April 28, 2005
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
14
Die zeitunabhängige Schrödingergleichung
Allgemeinere Lösung:
Einsetzen:
Zeitunabh. Schrödingergleichung:
Wichtig für stationäre Probleme wie Atome!
(werden nur die zeitunabh. SG benutzen!)
April 28, 2005
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
15
Linearität, Superposition, Interferenz
2-Zustands-System
Quantenmechanik (Schrödingergleichung) ist linear.
Beliebige Überlagerungen = Superpositionen von Lösungen sind
gleichwertige Lösungen.
Daher: Ein Quantensystem kann nicht nur in ‘Eigenzuständen’
sondern auch in allen möglichen Superpositionen sein.
Direkte folge der Superposition: Interferenz
Ψ = ∑ α i ϕi
i
with
∑ αi
Das einfachste Beispiel um Superpositionen zu studieren ist ein
i
2-Zustands-System
Polarisation: Horizontal, Vertikal :
45° polarization:
equal superposition of V and H
σ+
polarisation:
+ 45° =
− 45° =
σ+ =
equal superposition of V and H
with π/2 phase shift
σ− =
Doppelspalt: Superposition der Zustände
+ Teilchen geht durch Spalt 1
+ Teilchen geht durch Spalt 2
Überlagerung ergibt Interferenz
April 28, 2005
(H
1 (H
2
1
2
(H
1 (H
2
1
2
+V
−V
+i V
−i V
)
)
)
)
(links)
(rechts)
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
Spin:
2
=1
up, down
↑,
↓
Atom: 2 Zustände
L,
R
16
Messung in Quantenphysik
• Quantenphysik macht keine Aussagen über Einzelereignisse
• Wellenfunktion Ψ(x,t) beschreibt das System
• |Ψ|2 gibt die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis
•Nur statistische Aussagen
•Nur Aussagen über Erwartungswerte
Beispiel: Superposition
Ψ = ∑ α i ϕi
i
with
∑ αi
2
=1
i
Eine Frage die wir an das Quantensystem Stellen können:
Ist das System im Zustand |j>
Die Antwort die wir bekommen: Ja oder Nein (0 oder 1)
mit Wahrscheinlichkeit |αj|2
Ψ M +j M j Ψ = α +j α j = α j
Frage:
April 28, 2005
2
Wie entscheidet die Natur wo und wann ein
Ereignis auftritt
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
???
17
Quantenmechanik als
statistische Theorie
preparation, state
measurement, observable
0
1000100101100110101001100101110101000100100100110
p(1) ≈ 22
49
p(0)
27
≈
49
QM sagt nur etwas über Wahrscheinlichkeiten aus.
Keine verbindliche Vorhersagen wie in der KM!
April 28, 2005
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
18
Messung in Quantenphysik
Präparation und mehrmalige Messung
Ein Quantenexperiment besteht aus:
• Präparation
• Experiment
• Messung
Diese 3 sind untrennbar miteinander verbunden
Messung = Präparation
Mehrmalige hintereinander folgende Messung der
gleichen Größe ergibt das gleiche Resultat.
Erste Messung
Ψ = ∑ α i ϕi
1. Messung
i
Jede weitere Messung
April 28, 2005
⎯⎯ ⎯ ⎯
⎯→ ϕi
ϕi
⎯⎯ ⎯⎯→ ϕi
Messung
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
mit P=|αi|2
mit P=1
19
Messung und Interferenz
Doppelspalt Experiment
• Im Doppelspalt Experiment gilt das Wellenbild (Interferenz).
• Der Nachweis des Teilchens erfolgt im Teilchenbild.
• Experiment mit einzelnen Teilchen (immer nur ein Teilchen
zwischen Quelle und Detektor)
Frage:
• Was passiert mit der Interferenz wenn wir die Frage nach dem
Weg des Teilchen stellen:
Durch welchen Spalt ist das Teilchen gegangen?
April 28, 2005
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
20
Doppelspalt
Experiment mit einzelnen Teilchen
Verteilung der einzelnen
Teilchen folgt Interferenz
Bild!
Interferenzerscheinungen
durch Unkenntnis des Weges
April 28, 2005
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
21
© R. Werner
Quanten Mechanik:
löse die Wellengleichung
intensity
interference
April 28, 2005
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
22
Frage nach
nach dem
dem Weg
Weg
Frage
Durch welchen Spalt
ist Teilchen gegangen?
April 28, 2005
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
23
Distribution of particles,
which went through the
upper slit
April 28, 2005
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
24
Distribution of particles,
which went through the
lower slit
April 28, 2005
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
25
Experimentelle Beobachtung
ändert die Phasenunschärfe
und lässt die
Interferenzerscheinungen
verschwinden!
April 28, 2005
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
Summe
26
Was ist eine Messung?
Messung ‚projeziert‘ ein Quantensystem aus einer Superposition
in einen ‘Eigenzustand‘ des Messapparates M i ϕi .
Ψ = ∑ α i ϕi
Kollaps der Wellenfunktion
Mess-Problem:
Eine solche Messung kann in einer linearen Quantenmechanik nicht beschrieben
werden. Die Messoperation führt zu einer Verschränkung von zu messendem
Messung
⎯→ ∑ α i ϕi M i
System und Messapparat: Ψ M ⎯⎯ ⎯
i
Seit den 20er Jahren heftig diskutiert. Keine Lösung die nicht zumindest Input
von außerhalb der Quantenmechanik benötigt.
Verschiedensten Lösungsansätze, Interpretationen:
Standard Interpretation (z.B. V. Neumann, Dirac):
Separation von Quanten und Makroskopischer Welt, Messung und Quantenphysik.
Regel der Quantenphysik geben uns die Wahrscheinlichkeiten der Messresultate.
‘Realität‘ wird erst durch die Beobachtung erzeugt.
Extremfall: Schrödingers Katze:
ohne Messung in superposition von
|lebendig> und |bewusstlos>
April 28, 2005
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
27
Schrödingers Katze
Schrödingers Katze ist ein beliebtes Beispiel um ein Phänomen anschaulich
darzustellen, das in der Quantenmechanik als ,,Überlagerung von Zuständen``
bekannt ist. Und zwar wird bei diesem Gedankenexperiment1 eine Katze in eine
undurchsichtige Kiste gesteckt, zusammen mit einer Apparatur, die, gesteuert
durch radioaktiven Zerfall, die Katze innerhalb von einer Stunde mit einer
Wahrscheinlichkeit von 50% bewusstlos macht. Die Frage ist nun, in welchem
Zustand sich die Katze nach einer gewissen Zeit befindet, wenn man nicht in die
Kiste hineinschaut - analog zur Frage nach dem quantenmechanischen Zustand
eines Systems, solange man keine Messung an ihm vornimmt. Erst wenn man die
Kiste öffnet, manifestiert sich der Zustand in einer 100% bewussten oder 100%
bewusstlosen Katze.
Vor Messung oder nach
Direkt nach Messung:
langer Wartezeit:
Ψ=1/√2
+
Superposition von Zuständen
April 28, 2005
Ψ=
+
Kollaps der Wellenfunktion
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
28
Frage: ist QM Mechanik eine komplette Theorie,
d.h. kann man alle Komponenten der Wellenfkt. bestimmen?
∫|Ψ|2dx ist Wahrscheinlichkeit ein Teilchen im Intervall dx |Ψ|
2
zu finden. Wenn es dort gefunden wird, WO WAR DAS
TEILCHEN VORHER?
3 Antworten:
1.
dx
Realos (z.B.Einstein) : Teilchen war irgendwo, z.B in B; dann braucht die QM
zusätzliche Angaben (“hidden” variables), die bestimmen, wie es von B nach A
kommt.
2. Fundis (Bohr etc.): Das Teilchen war überall und nirgends!
Die Messung zwingt das Teilchen dazu, sich zu zeigen.
(Wie Mister X im Spiel “Scotland Yard”)
3. Agnostiker (Pauli) : Bitte keine Spekulationen, nur Wahrnehmungen zählen!!
bis 1964: 2) bevorzugt und 3) galt nur , wenn 1) und 2) nicht akzeptiert wurden.
ab 1964: John Bell entdeckt, dass man experimentell zwischen 1) und 2)
unterscheiden kann, d.h es macht eine Unterscheid, ob das Teilchen zuvor
eine wohldefinierte Position hatte.
Experimente zeigen, dass nur 2) richtig ist !QM ist eine komplette Theorie, die
keine “hidden” parameter braucht.
April 28, 2005
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
29
Zum Mitnehmen
Die Wahrscheinlichkeit einer Messung in der QM
wird gegeben durch das Quadrat der absoluten
Wert einer komplexen Zahl Ψ, die man
Wahrscheinlichkeitsamplitude nennt, z.B.
für die Wahrscheinlichkeit P ein Teilchen zu einer
bestimmten Zeit an einem bestimmten Ort
anzutreffen gilt:
P=|Ψ(x,t)|2
Ψ ist eine Lösung der Schrödingergleichung:
H Ψ(x,t)=E Ψ(x,t)
wobei H die Energieoperator und E die Energie ist
April 28, 2005
Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer
30