Übungsblatt 1 - Lehrstuhl für Wirtschafts

Stochastische Risikoanalyse
SS 2012
Lehrstuhl für Wirtschaftsund Sozialstatistik
Prof. Dr. Peter Kischka
Übungsblatt 1
Die Aufgaben werden in der Übung am Mittwoch, dem 25.04.2012, 16:00 - 17:30 Uhr im SR 318
(C.-Zeiß-Str. 3) besprochen.
Aufgabe 1
Betrachtet wird ein Zufallsexperiment mit 2 Würfeln, die gleichzeitig geworfen werden. Beide Würfel
besitzen je 2 Seiten mit den Augenzahlen 1, 2 oder 3. Würfel 1 ist ein sog. "fairer Würfel", d. h.
jede Seite hat die gleiche Wahrscheinlichkeit gewürfelt zu werden. Bei Würfel 2 handelt es sich
um einen "gezinkten Würfel", d. h. die Augenzahlen 1 kommen mit einer Wahrscheinlichkeit von
1
, die Augenzahlen 2 mit einer Wahrscheinlichkeit von je 16 und die Augenzahlen 3 mit
jeweils 12
einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 14 vor.
a) Bestimmen Sie den zugehörigen Wahrscheinlichkeitsraum.
b) Es werden folgende Ereignisse betrachtet:
E1 : der 1. Würfel zeigt Augenzahl 1
E2 : die Augensumme ist 4
Bestimmen Sie P(E1 ); P(E2 ); P(E1 ∩ E2 ); P(E1 \E2 ) .
c) Es sei eine Zufallsvariable X definiert, welche die Augensumme beider Würfel darstellt. Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariable X.
Aufgabe 2
Gegeben sei eine Lotterie X =
0
20
40
1
4
1
2
1
4
und eine Nutzenfunktion U (X) =
√
x + 5 (x > −5)
a) Drückt die obige Nutzenfunktion Risikoaversion aus?
b) Berechnen Sie U(E(X)) und EU(X).
Aufgabe 3
Gegeben ist die folgende gemeinsame Verteilung von X und Y
XY
2
4
6
3
1/8
1/16
1/32
5
1/16
1/4
1/8
8
1/4
1/32
1/16
a) Bestimmen Sie die bedingten Verteilungen von X gegeben Y und von Y gegeben X.
b) Ermitteln Sie die bedingte Erwartung von X gegeben Y und Y gegeben X.
c) Wie groß ist der Erwartungswert der bedingten Erwartung von X gegeben Y?
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Stochastische Risikoanalyse
SS 2012
Lehrstuhl für Wirtschaftsund Sozialstatistik
Prof. Dr. Peter Kischka
Aufgabe 4
Gegeben seinen folgende Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktionen F. Ermitteln Sie die verallgemeinerte untere Inverse.
20 90 110 180
a) X =
0, 2 0, 4 0, 3 0, 1
b) Y ∼ Re[2, 12]
c) Z mit F (z) = 1 − e−z , z > 0


0



 (w−2)2
50
d) W mit F (w) =
(12−w)2

1
−

50


1
w<2
2≤w≤7
7 < w ≤ 12
w > 12
Aufgabe 5
Die Zufallsvariable X sei die Augensumme der beiden Würfel aus Aufgabe 1 und Y = 14 − X. Gilt
X ≥1 Y ?
Aufgabe 6
Zeigen Sie X ≥ Y ⇒ Fx ≤ Fy . Zeigen Sie ferner, dass die Umkehrung nicht gilt.
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