Mathematik für Physiker IIa Version 0.3.1

Mathematik für Physiker IIa
Version 0.3.1
Margarita Kraus (Mathematischer Inhalt)
Manuel Müller (LATEX-Satz)
Letzte Aktualisierung: 2008-07-22T01:45:29.729027032+02:00
1
c
Lizenz und opyright
Dieses Dokument, wie auch dessen Quellcode, alle darin enthaltenen Zeichnungen und deren Quellcode stehen unter der Creative Commons Namensnennung”
Weitergabe unter gleichen Bedingungen 2.0 Deutschland“ Lizenz.
Der Inhalt der Lizenz kann unter
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/
eingesehen werden.
Vorwort
Diese Mitschrift wurde im Rahmen der Vorlesung Mathematik für Physiker
”
IIa“ des Sommersemesters 2008 (2008-04-14 - 2008-07-12), welche von Margarita
Kraus gehalten wurde, angefertigt. Hinweise und Korrekturen nehmen die Autoren gerne entgegen. Beide sollten (noch) an [email protected]
gesendet werden.
2
INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
2 Systeme von Differentialgleichungen 1. Ordnung
11
2.1 Definition (von Systemen von DGLen, Bahn und Lösungskurve) . 11
2.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3 Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Lemma und Definition (von (nicht-)autonomen Systemen) . . . . 13
2.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Definition (von (erweiterten) Phasen -raum, -portrait und Richtungsvektorfeld) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.7.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.7.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.7.3 Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.8 Definition (der maximalen Lösung) . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.9 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.10 Definition (des Anfangswertproblems) . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.11 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.11.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.11.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.11.3 Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Erste Lösungsmethoden für DGLen 1. Ordnung
3.1 Lösungsmethoden für autonome DGLen . . . . .
3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Lösungsmethode 2: getrennte Variablen . . . . .
3.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Lösungsmethode 3: Variation der Konstanten . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19
19
19
19
19
20
21
21
21
23
4 Systeme linearer DGLen 1. Ordnung
25
4.1 Definition (von Systemen linearer DGLen) . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Notiz (über Lösungen aus Lösungszusammensetzungen) . . . . . 25
4.4 Hauptsatz über lineare DGLen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.5 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.6 Definition (des/der Fundamental-systems, -matrix und der Wronskideterminante) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.8 Notiz (Lösungen aus der Fundamentalmatrix) . . . . . . . . . . . 27
4.9 Satz (inhomogene Lösung aus der Fundamentalmatrix) . . . . . . 27
3
INHALTSVERZEICHNIS
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
5 Die
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
6 Der
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notiz (Lösungen aus Eigen -werten bzw. -vektoren) .
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Korollar (Fundamentalsystem und Eigen -werte bzw.
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erinnerung (Diagonalisierbarkeit) und Beispiel . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
-vektoren)
. . . . . .
. . . . . .
Matrixexponentialfunktion
Definition (der Operatornorm) und Notiz . . . . . . . . . .
Bemerkung (über Zusammenhänge der Operatornorm) . . .
Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition (der Matrizen -differentierbarkeit und -reihen) . .
Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz (Matrizenreihenkonvergenz) . . . . . . . . . . . . . . .
Korollar (Matrizenexponentialreihe) . . . . . . . . . . . . .
Lemma (Rechenregel der Matrizenexponentialfunktion) . .
Korollar (Matrizenexponentialfunktionen als Teilmenge der
neral Linear Group) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition (der Nilpotenz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notation und Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz (Lineare Algebra, z.B. Brockner, lineare Algebra II) . .
Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
Ge. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
Existenz- und Eindeutigkeitssatz
Definition (der lokalen Lipschitz-stetigkeit) . . . . . . . . . . .
Bemerkung (C 1 ⇒ lipschitz-stetig ⇒ C 0 ) . . . . . . . . . . . .
Satz (Eindeutigkeitssatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Banachscher Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz (Existenzsatz von Picard-Lindelöf) . . . . . . . . . . . . .
Bemerkung (Ergänzung zum Existenzsatz von Picard-Lindelöf)
Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bemerkung (Picard-Lindelöf-Verfahren) . . . . . . . . . . . . .
Korollar (Zerlegung des Phasenraums) . . . . . . . . . . . . . .
Definition (des Fixpunkts und der Periodizität) . . . . . . . . .
Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Differentialgleichungen der Ordnung n
7.1 Definition (von (autonomen) DGLen der Ordnung n) . . . . .
7.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Satz und Definition (des dazugehörigen Systems 1. Ordnung)
7.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Korollar (aus dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz) . . . . .
7.6 Definition (des (erweiterten) Phasenportraits) . . . . . . . . .
7.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.3 Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
28
28
29
29
30
35
37
37
37
37
37
38
38
38
38
39
39
39
39
39
40
40
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
41
43
43
43
44
44
45
45
45
46
47
47
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
48
48
48
48
49
49
50
50
50
50
51
INHALTSVERZEICHNIS
4
8 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
52
8.1 Definition (von linearen (homogenen) DGLen n-ter Ordnung) . . 52
8.2 Notiz (das dazugehörige System 1. Ordnung) . . . . . . . . . . . 52
8.3 Satz (Anfangsisomorphismus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.4 Definition (des Fundamentalsystems, der Wronski -matrix und
-determinante) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.6 Lemma (Lösungen aus dem Fundamentalsystem) . . . . . . . . . 53
8.7 Korollar (inhomogene Lösungen aus dem Fundamentalsystem) . 53
8.8 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.9 Bemerkung (das charakteristische Polynom) . . . . . . . . . . . . 55
8.10 Satz (Fundamentalsysteme aus charakteristischen Polynomen) . . 55
8.11 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.11.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.11.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9 Der
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
9.10
9.11
9.12
9.13
Umkehrsatz
Definition (des Diffeomorphismus) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition (des lokalen Diffeomorphismus’) . . . . . . . . . . . . .
Beispiel (Polarkoordinantenabbildung) . . . . . . . . . . . . . . .
Satz (Umkehrsatz oder Satz von der lokalen Inversen) . . . . . .
Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erinnerung und Definition (regulärer und singulärer Punkt/Wert)
Satz (vom regulären Punkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition (der lokalen Auflösbarkeit) . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.13.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.13.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
58
58
58
59
59
59
59
59
60
61
61
62
63
63
63
10 Flächen
65
10.1 Definition (der Untermannigfaltigkeit (-skarte, -sgebiet)) & Satz . 66
10.2 Korollar (Satz vom regulären Wert) . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.3.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.3.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.4 Definition (des (Untermannigfaltigkeits-)altas’, der Projektion,
der Karte und des Kartenwechsels) . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.5 Bemerkung (Differentierbarkeit von Karten) . . . . . . . . . . . . 69
10.6 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.7.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.7.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.7.3 Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.7.4 Beispiel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.7.5 Beispiel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.7.6 Beispiel 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5
INHALTSVERZEICHNIS
10.8 Definition (der lokalen Parametrisierung) . . . .
10.9 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.10Notiz (Aussagen über lokale Parametrisierungen)
10.11Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.12Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.13Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11 Tangentialraum und Differential
11.1 Definition und Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Definition (des Diffeomorphismus’ und regulären Punkts/Werts)
und Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6 Korollar (Satz vom regulären Wert) . . . . . . . . . . . . . . . .
11.7 Definition (des Tangentialraums) und Lemma . . . . . . . . . . .
11.8 Definition (der (Koordinanten-)basis) und Notiz . . . . . . . . . .
11.9 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.9.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.9.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.10Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.11Definition (der repräsentativen Kurve) . . . . . . . . . . . . . . .
11.12Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.13Satz (Tangentialraum aus der Koordinantengleichung) . . . . . .
11.14Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.14.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.14.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.15Definition (des Normalen(einheits)felds) . . . . . . . . . . . . . .
11.16Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.17Definition (der Orientierbarkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.18Notiz (der Orientierung, Orientierungs -erhaltung und -umkehrung)
11.19Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.20Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.20.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.20.2 Beispiel 2 - Möbiusband . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.21Definition und Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.22Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.23Korollar (Kettenregel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.24Definition (der Orientierungserhaltung von Diffeomorphismen) .
11.25Spezialfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.26Notiz (orientierungserhaltene Karte und orientierungsdefiniertes
Normaleneinheitsfeld) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.27Notiz (kritische Punkte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.28Korollar (kritischer Punkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.29Korollar (kritischer Punkt und Lagrange-Multiplikatoren) . . . .
11.30Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.31Weitere Anwendungen der Lagrange Multiplikatoren . . . . . . .
74
74
74
75
75
76
77
77
77
78
78
79
79
80
81
81
81
82
82
83
83
83
84
84
85
85
85
86
86
86
87
87
88
89
90
90
91
91
91
91
92
92
93
94
6
INHALTSVERZEICHNIS
12 Integration auf Flächen
12.1 Erinnerung und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Satz (Integration über berandete Gebiete) . . . . . . . . . . . . .
12.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5 Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.1 Spatvolumen in 3 und n Dimensionen . . . . . . . . . . .
12.5.2 Verhalten von Spatvolumen unter linearen Abbildungen .
12.5.3 Verallgemeinerung von Spatvolumen . . . . . . . . . . . .
12.5.4 Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6 Satz (Transformationsformel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9 Definition (der Nullmenge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.10Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.11Notiz (Aussagen über Nullmengen) . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.12Notiz (Integration über Nullmengen) . . . . . . . . . . . . . . . .
12.13Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.14Definition (der Gramschen Determinante/Matrix bzw. 1. Fundamentalform) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.15Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.16Satz und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.17Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.18Korollar (Integral im Speziallfall der Dimension 1) . . . . . . . .
12.19Korollar (Integral im Speziallfall der Dimension 2) . . . . . . . .
12.20Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.21Definition (des Integrals eines Vektorfelds) . . . . . . . . . . . . .
12.22Notiz (Verhalten des Vektorfeldintegrals unter orientierungsumkehrenden Umparametrisierungen) . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.23Notiz (Integral über Gradientenvektorfelder) . . . . . . . . . . . .
12.24Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.25Definition (des vektoriellen Flächenintegrals) . . . . . . . . . . .
12.26Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 Berandete Untermannigfaltigkeiten
13.1 Notation (Offenheit und Rand) . . . . . . . . . .
13.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5 Definition (von ber. Untermannigfaltigkeitskarten
13.6 Definition (des Randpunkts) . . . . . . . . . . . .
13.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.8 Lemma (Satz vom regulären Wert für berandete
faltigkeiten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.9 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.10Notiz (Rand einer ber. Untermannigfaltigkeit als
faltigkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.11Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
bzw. Atlanten)
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
Untermannig. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
Untermannig. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
96
96
96
96
96
96
96
97
97
98
99
99
99
99
100
100
100
101
101
102
102
102
103
105
105
105
105
106
106
107
107
108
108
110
110
110
111
111
112
112
112
113
113
113
114
INHALTSVERZEICHNIS
13.12Definition und Notiz (nach innen/außen weisende Tangentialvektoren bzw. Normalen(einheits)vektoren) . . . . . . . . . . . . . .
13.13Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.14Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.15Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
114
115
115
116
14 Der Gaußsche und Stokesche Integralsatz
118
14.1 Erinnerung und Definition (von Divergenz und Rotation) . . . . 119
14.2 Der Integralsatz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
14.3 Der Integralsatz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
14.4 Bemerkung (Verallgemeinerung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
14.5 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
14.6 Korollar (Spezialfälle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
14.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
14.8 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
14.9 Bemerkung (Anschauliche Bedeutung der Divergenz) . . . . . . . 123
14.10Beispiel - Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
14.11Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
14.12Beweis des Satzes von Gauß (im Spezialfall n = 3) . . . . . . . . 124
14.13Bemerkung (Komposition von rot, div und grad) . . . . . . . . . 127
14.14Lemma ((Vektor-)Potential aus Gradienten- und Rotationsfeldern)127
14.15Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
14.16Definition (der Sternförmigkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
14.17Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
14.18Bemerkung (Bezug zu Homologien) . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
14.19Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
14.19.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
14.19.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
14.19.3 Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
INHALTSVERZEICHNIS
8
Literaturhinweise
1. Mathematik für Physiker“-Bücher
”
(a) (*) Goldhorn, Karl-Heinz & Heinz, Hans-Peter: Mathematik für
”
Physiker 1“, Mathematik für Physiker 2“
”
(b) Jänich, Klaus: Mathematik 1. Geschrieben für Physiker“, Mathe”
”
matik 2. Geschrieben für Physiker“
(c) (*) Jänich, Klaus: Analysis für Physiker und Ingenieure“
”
(d) Fischer, Helmut & Kaul, Helmut: Mathematik für Physiker 1. Grund”
kurs“, Mathematik für Physiker 2“
”
2. Analysis Standardwerke:
(a) Bröcker, Theodor: Analysis III“
”
3. Lehrbücher über gewöhnliche DGLen:
(a) (*) Walter, Wolfgang: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Eine Einführung“
”
(b) (*) Arnold, Vladimir I.: Gewöhnliche Differentialgleichungen“
”
(c) Kamke, Erich: Differentialgleichungen, Lösungsmethoden und Lösun”
gen II. Partielle Differentialgleichungen“
1
9
EINLEITUNG
1
Einleitung
1.1
Notation
Sei f : (a, b)→R, t 7→ f (t). Dann schreibt man:
f˙(t)
≡
f¨(t)
≡
dn
(t)
dt
≡
d
f (t)
dt
d2
f (t) ≡ f (2) (t)
dt
f (n) (t)
Wir betrachten hier nur gewöhnliche DGLen, d.h., wir betrachten nur Gleichungen, die von Funktionen
f : I→Rk , I ⊆ R
handeln. (Im Gegensatz dazu heißen DGLen, die von Funktionen f : U →Rk mit
U ⊆ Rn handeln, partielle DGLen“, vgl. Goldhorn, Heinz - Mathematik für
”
”
Physiker III”)
Was ist eine DGL? Eine DGL n-ter Ordnung ist durch
F (t, x, ẋ, . . . , x(n) ) = 0
gegeben, z.B.:
1. Ṅ = λN = 0
2. mẍ − F (x, ẋ, t) = 0
3. ẍ + ω02 x = 0 (harmonischer Oszillator)
4. ẍ + ω0 x + γ ẋ = 0 (harmonischer Oszillator + Reibung)
Lösung von
⊲ 1.: C·eλt ist eine Lösung von 1., denn
(C·eλt )˙− λ(C·eλt ) = λ·C·eλt − λ·C·eλt = 0
Sind dies alle Lösungen?
⊲ 3.: ẍ + ω02 x = 0 hat die Lösungen:
C1 ·sin(ω0 t + φ1 ) (=
C2 ·cos(ω0 t + φ2 ) (=
A)
B)
A+B
Sind dies alle Lösungen? Sind sie alle verschieden?
Etwas allgemeiner: Systeme von gekoppelten DGLen. Wieder:
F (t, x, . . . , x(n) ) = 0
aber x ∈ Rk , F : Rk·(n+1)+1 →Rk . Beispiel: 3-Körper-Problem:
1
10
EINLEITUNG
ẍ1
=
m2 ·
ẍ2
=
m3 ·
ẍ3
=
m1 ·
x2 − x1
3
+ m3 ·
3
+ m1 ·
3
+ m2 ·
||x2 − x1 ||
x3 − x2
||x3 − x2 ||
x1 − x3
||x1 − x3 ||
x3 − x1
||x3 − x1 ||3
x1 − x2
3
||x1 − x2 ||
x2 − x3
3
||x2 − x3 ||
Fragen:
⊲ Explizite Lösungen von DGLen berechnen (oft zu schwierig)
⊲ Existenz von Lösungen, Lebenszeit“ von Lösungen
”
⊲ Eindeutigkeit von Lösungen
⊲ Langzeitverhalten von Lösungen
2
SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG
2
2.1
11
Systeme von Differentialgleichungen 1. Ordnung
Definition (von Systemen von DGLen, Bahn und Lösungskurve)
Unter einem allgemeinem offnenen Rechteck der Dimension m verstehen wir eine
Teilmenge D ⊆ Rm der Form D = (a1 , b1 )× . . . ×(an , bn ) mit −∞ ≤ ai ≤ bi ≤ ∞.
Ist D ⊆ Rk ein k-dimensionales, offenes Rechteck, w : (t0 , t)×D→Rk stetig,
so nennt man die Gleichung
ẋ = w(t, x)
(1)
(ausführlicher:
ẋ1
=
..
.
w1 (t, x1 , . . . , xk )
ẋk
=
wk (t, x1 , . . . , xk )
) ein (explizites) k-dimensionales System (gewöhnlicher) DGLen 1. Ordnung. Im
Fall k = 1 spricht man nur von (expliziten) (gewöhnlichen) DGLen 1. Ordnung.
Eine Lösung von 1 ist eine stetig differentierbare Abbildung:
 
α1
 .. 
′ ′
k
α : (t0 , t1 )→D ⊆ R , α =  . 
ak
mit
α̇(t) = w(t, α(t))
(ausführlicher:
α̇j (t) = wj (t, α1 (t), . . . , αj (t))
für alle j = 1, . . . , k und alle t ∈ (t′0 , t′1 ) ⊆ (t0 , t1 )). Ist α : (t′0 , t′1 )→D eine Lösung
von 1, so heißt
Bild(α) = α(t′0 , t′1 ) ⊆ D
die Bahn oder der Orbit der Lösung,
{(t, α(t)) ∈ (t0 , t1 )×D | t ∈ (t′0 , t′1 )}
heißt die Lösungskurve. Ist die Abbildung w durch
w : R×D→Rk , w(t, x) = v(x)
mit v : D→Rk stetig gegeben, so heißt das System von DGLen 1. Ordnung
ẋ = v(x)
autonom.
(2)
2
SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG
2.2
2.2.1
12
Beispiele
Beispiel 1
Sei ẋ = cx. Hier ist w : R×R→R, w(t, x) = cx. Dies ist eine autonome DGL 1.
Ordnung.
⊲ Lösung: αλ (t) = λ·ect für ein λ ∈ R.
⊲ Bahn von
α0 (t)
α1 (t)
: {0}
: R+
⊲ Lösungskurven:
2.2.2
Beispiel 2
Sei f : R→R stetig,
ẋ = f (t)
ist eine nicht-autonome DGL 1. Ordnung. Die Lösungen sind durch
α : R→R, αC (t) =
Zt
(f (t)) dt + C
0
für C ∈ R gegeben.
2.2.3
Beispiel 3
0 −1
−x2
x
x
=
· 1 . Dann ist ẋ = v(x).
Sei v : R2 →R2 , v( 1 ) =
1 0
x1
x2
x2
(Ausführlich:
ẋ1 = −x2
(∗)
ẋ2 = x1
) ein 2-dimensionales System autonomer DGLen 1. Ordnung.
cos(t + φ)
2
αC,φ : R→R , t 7→ C·
sin(t + φ)
sind Lösungen von (∗). Bahn:
2
SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG
2.3
13
Notiz
Ist ẋ = v(x) ein k-dimensionales System autonomer DGLen 1. Ordnung, dann
gilt für jede Lösung α : (t0 , t1 )→D von ẋ = v(x), dass auch für jedes c ∈ R
α̃ : (t0 + c, t1 + c)→D, α̃(t) = α(t − c)
eine Lösung von ẋ = v(x) ist.
Anschauung für k = 1:
Beweis:
Sei α eine Lösung von ẋ = v(x).
α ist Lösung
˙
Dann ist α̃(t)
= α̇(t − c)
2.4
z}|{
=
= v(α(t − c)) = v(α̃(t)). 2
Lemma und Definition (von (nicht-)autonomen Systemen)
Ist
ẋ = w(t, x)
(3)
ein k-dimensionales System nicht-autonomer DGLen 1. Ordnung, dann heißt
das (k + 1)-dimensionales System autonomer DGLen 1. Ordnung
ẋ0 = 1
(4)
2
SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG
14
D̃
z }| {
ẋ0 = w(x0 , x), (x0 , x) ∈ (t0 , t1 )×D
∈ Rk+1
}|
{
z
das zu 3 gehörige autonome System mit ṽ : D̃→Rk+1 , ṽ(x0 , x) = (1, w(x0 , x))
ist also 4 gegeben durch
ẋ = ṽ(x̃)
mit x̃ ∈ D, ṽ : D̃→Rk+1 .
Ist α eine Lösung von 3, α : (t′0 , t′1 )→D, so ist
β : (t′0 , t′1 )→(t′0 , t′1 )×D, β(t) = (t, α(t)) = (β0 (t), . . . , βk (t))
eine Lösung von 4, denn
β0 (t) =
1
β0 (t) =
α̇j (t) = wj (t, α(t)) = wj (β0 (t), α(t)) = wj (β(t))
und ist β : (t0 , t1 )→D̃ eine Lösung von 4, dann ist β0 (t) = t + c für ein c ∈ R.
Dann ist
α = (α1 , . . . , αk )
mit
αj : (t′0 + c, t′1 + c)→Rk mit αj (t) = βj (t − c)
eine Lösung von 3, denn es gilt:
α̇j (t) = β̇j (t − c) = vj (βj (t − c)) = wj (t, αj (t))2
2.5
Beispiel
Sei ẋ = f (t), f : R→R stetig. Dann ist das autonome System durch
ẋ0
= 1
ẋ1
= f (x0 )
gegeben. Eine Lösung von diesem System ist durch
β(t) = (t,
Zt
(f (τ ))) dτ
0
gegeben.
2.6
Definition (von (erweiterten) Phasen -raum, -portrait
und Richtungsvektorfeld)
Ist ẋ = v(x), v : D→Rk ein k-dimensionales System autonomer DGLen, so heißt
D der Phasenraum und
v : D→Rk
das Richtungsvektorfeld auf D. R×D heißt der erweiterte Phasenraum und
1
ṽ : R×D→Rk+1 , ṽ((t0 , x)T ) =
, v(x) ∈ Rk
v(x)
2
SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG
15
das erweiterte Richtungsvektorfeld.
Der Phasenraum zusammen mit den Bahnen und ihrer Durchlaufrichtung
heißt Phasenportrait, der erweiterte Phasenraum zusammen mit den Lösungskurven (und ihrer Durchlaufrichtung) heißt erweitertes Phasenportrait.
Ist ẋ = w(t, x) ein nicht-autnomes System, so ist der Phasenraum, das Phasenportrait und das Richtungsvektorfeld als die entsprechenden Dinge für das
zugehörige autonome System erklärt.
2.7
2.7.1
Beispiele
Beispiel 1
ẋ = λx, λ > 0.
⊲ Phasenraum: R
⊲ v(x) = λx, Richtungsvektorfeld:
⊲ Lösungen: Ceλt
⊲ erweiterter Phasenraum: R×R, ṽ((x0 , x)T ) =
1
λx
2
SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG
2.7.2
Beispiel 2
ẋ = t ist nicht-autonom. Zugehöriges autonomes System: ẋ0 = 1, ẋ = 0.
⊲ Phasenraum: R×R
⊲ Richtungsvektorfeld: v(x0 , x) =
⊲ Lösungen: α(t) = 21 t2 + C
2.7.3 Beispiel 3
−x2
x1
˙=
x1
x2
⊲ Phasenraum: R×R
1
x0
16
2
SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG
17
cos(t + t0 )
⊲ Lösungen: α(t) = c·
sin(t + t0 )
2.8
Definition (der maximalen Lösung)
Unter einer maximalen Lösung eines Systems von DGLen versteht man eine
Lösung α : (t′0 , t′1 )→Rk , so dass es kein (t′′0 , t′′1 ) mit (t′′0 , t′′1 ) 6≥ (t′0 , t′1 ) und keine
Lösung α̃ : (t′′0 , t′′1 )→Rk gibt mit α̃|(t′0 , t′1 ) = α gibt.
2.9
Beispiel
ẋ = λx, α : (0, 1)→R, α(t) = eλt ist eine Lösung, aber keine maximale Lösung.
Eine maximale Lösung ist durch α : R→R, α(t) = eλt gegeben.
2.10
Definition (des Anfangswertproblems)
Unter einem Anfangswertproblem für ein System autonomer DGLen versteht
man die Aufgabe, alle (später: eine) maximalen Lösungen von
ẋ = v(x) mit α(0) = x0
für gegebenes x0 zu finden.
Unter einem Anfangswertproblem für ein System nicht-autonomer DGLen
versteht man die Aufgabe, zu gegebenem T ∈ (t0 , t1 ), x0 ∈ D alle (eine) maximalen Lösungen α von
ẋ = w(t, x) und α(T ) = x0
zu finden.
2.11
Beispiele
2.11.1
Beispiel 1
ẋ = λx, x0 = 2. ⇒ α(t) = 2·eλt ist eine Lösung des Anfangswertproblems.
(α(0) = 2)
2.11.2
Beispiel 2
ẋ = t, (T, x0 ) = (0, 1). ⇒ α(t) = 21 t2 + 1. (c = 1)
2
SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG
2.11.3 Beispiel 3
x1
−x2
1
cos(t)
˙=
, x0 =
. ⇒ α(t) =
.
0
sin(t)
x1
x2
18
3
19
ERSTE LÖSUNGSMETHODEN FÜR DGLEN 1. ORDNUNG
3
Erste Lösungsmethoden für DGLen 1. Ordnung
3.1
Lösungsmethoden für autonome DGLen
Sei v : (a, b)→R stetig. Betrachte
ẋ = v(x)
(5)
⊲ Sei x0 ∈ (a, b) mit v(x0 ) = 0. Dann ist
α(t) ≡ x0
eine Lösung von 5, denn α̇(t) ≡ 0 = v(α(t)) = v(x0 ).
⊲ Ist (a′ , b′ ) ⊆ (a, b) mit v(x) 6= 0 für alle x ∈ (a′ , b′ ). Ist α eine Lösung von
5, so gilt also:
α̇(t)
=1
v(α(t))
falls α(t) ∈ (a′ , b′ ). Ist Φ eine Stammfunktion von v1 , so ist
α(t) = Φ−1 (t + c)
(falls Φ−1 definiert) eine Lösung von 5, denn
α̇(t) =
1
= v(α(t))
Φ̇(Φ−1 (t + c))
| {z }
α(t)
3.2
3.2.1
Beispiele
Beispiel 1
ẋ = λx. v(x) = 0 ⇔ x = 0 ⇔ α(t) = 0 ist eine Lösung. Φ(x) =
1
⇒ α(t) = ±eλt+c = C ′ ·eλt
Stammfunktion für λx
3.2.2
Beispiel 2
2
2
v(x) = cos(x) , ẋ = cos(x) .
(GRAPHIC HERE)
1
λ ·ln(|x|)
ist
3
20
ERSTE LÖSUNGSMETHODEN FÜR DGLEN 1. ORDNUNG
Erweitertes Richtungsvektorfeld
3
Erw. RVF
k·π
atan(t) + k · π
atan(t + C) + k · π
2
1
0
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2
t
1. Nulstellen von v:
v(
π
+ k·π) = 0, k ∈ Z
2
d.h.
π
+ k·π, t ∈ R
2
sind (die) maximalen Lösungen zum Anfangswertproblem x(0) =
α(t) =
π
2
+ kπ.
1
π
2. Φ(x) = tan(x) + C ist Stammfunktion von cos(x)
2 für x 6= 2 + kπ. ⇒
α(t) = arctan(t + c) + kπ, k ∈ Z, c, t ∈ R sind weitere maximale Lösungen
von ẋ = v(x). Sind dies alle Lösungen? (→ Ja, Begründung später)
Anfangswertproblem zu x(0) =
π
4
wird durch arctan(t + 1) gelöst, denn
α(0) = arctan(c) + kπ =
3.3
π
⇔ k = 0, c = 1
4
Lösungsmethode 2: getrennte Variablen
g : (t0 , t1 )→R
stetig (Für f :
f : (a, b)→R+
(a, b)→R verfahre wie in 3.1 mit Fallunterscheidung!). Es gilt α : (t′0 , t′1 )→(a, b)
α̇(t)
= g(t).
ist Lösung von ẋ = g(t)·f (x) ⇔ f (α(t))
1
Ist Φ Stammfunktion von f und G Stammfunktion von g, so gilt
Sei w : (t0 , t1 )×(a, b)→R, w(t, x) = f (x)·g(t), mit
(Φ◦α)˙(t) =
1
·α̇(t) = Ġ(t)
f (α(t))
3
3
21
ERSTE LÖSUNGSMETHODEN FÜR DGLEN 1. ORDNUNG
Durch α(t) = Φ−1 (G(t)) + C ist eine Lösung von ẋ = w(t, x) gegeben für alle
t, c, für welche die rechte Seite definiert ist.
3.4
3.4.1
Beispiele
Beispiel 1
ẋ = g(t)·x, x > 0, t ∈ R
Rt
(6)
(g(τ )) dτ
Dann ist Φ = ln(x). ⇒ α(t) = C·et0
6. Das Anfangswertproblem zu
, c > 0, t ∈ R maximale Lösung von
x(t0 ) = x0 , x0 ∈ R+
wird durch
α(t) = x0 e
Rt
(g(τ )) dτ
t0
1 2
gelöst. Für g(t) = −t ist also α(t) = C·e− 2 t die gesuchte Lösung. Richtungsvektorfeld:
Richtungsvektorfeld
3
RVF
1 2
C · e− 2 t
2.5
2
x1 =x
ˆ
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-3
-2
-1
0
x0 =t
ˆ
3.4.2
Beispiel 2
ex
ẋ = sin(t)·|{z}
| {z }
g(t)
Richtungsvektorfeld:
f (x)
1
2
3
3
22
ERSTE LÖSUNGSMETHODEN FÜR DGLEN 1. ORDNUNG
Richtungsvektorfeld
2
RVF
ln(cos(t))
1.5
1
x1 =x
ˆ
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-3.14159
-1.5708
0
1.5708
x0 =t
ˆ
⊲ Φ(x) = −e−x ist eine Stammfunktion von
1
f (x)
= e−x .
⊲ G(t) = −cos(t) + C ist Stammfunktion von sin(t).
⇒ α(t) = −ln(cos(t) + c) ist Lösung von ẋ = sin(t)·ex für alle t, c, auf denen
”
die rechte Seite definiert ist“, d.h. für cos(t) + c > 0. Z.B.
⊲ für c = 0:
t
∈
α0 (t)
α0 (0)
=
=
t
α1 (0)
∈
=
π
π
+ 2kπ, + 2kπ)
2
2
−ln(cos(t))
0
(−
⊲ für c = 1:
R\{π + 2kπ | k ∈ Z}
−ln(2)
⊲ für c > 1:
t∈R
3.14159
3
ERSTE LÖSUNGSMETHODEN FÜR DGLEN 1. ORDNUNG
2
23
α−0,5 (t)
α0 (t)
α1 (t)
α2 (t)
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-4.71239
-3.14159
-1.5708
0
1.5708
3.14159
t
3.5
Lösungsmethode 3: Variation der Konstanten
Gesucht ist eine Lösung von
ẋ = g(t)·x + f (t)
(7)
Lösung für f (t) = 0 ist durch
α(t) = C·e
Rt
(g(τ )) dτ
t0
gegeben. Angenommen
β(t) = u(t)·e
Rt
(g(τ )) dτ
t0
ist Lösung von 7. Dann gilt:
u̇(t)·e
Rt
(g(τ )) dτ
+ g(t)·β(t)
t0
⇒u̇(t)
= g(t)·β(t) + f (t)
= f (t)·e
Rt
− (g(τ )) dτ
t0
Daraus folgt, dass
β(t) = (x0 +
Zt
t0
(f (s)·e
Rt
− (g(τ )) dτ
t0
Rt
) ds)·et0
(g(τ )) dτ
4.71239
3
ERSTE LÖSUNGSMETHODEN FÜR DGLEN 1. ORDNUNG
Lösung von 7 ist.
Achtung: Dies sind nicht alle Lösungen. Siehe 4.3 & 4.4.
24
4
SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG
4
25
Systeme linearer DGLen 1. Ordnung
4.1
Definition (von Systemen linearer DGLen)
=Rk
2
z}|{
Ist A : (a, b)→M( k×k, R) stetig und b : (a, b)→Rk stetig, so heißt
ẋ = Ax + b
(8)
ein k-dimensionales System linearer DGLen 1. Ordnung. Ist b ≡ 0, so heißt das
System homogen, ansonsten inhomogen.
ẋ = Ax
(9)
heißt das zu 8 gehörende homogene System.
4.2
Bemerkung
1. 8 ist genau dann autonom, falls A, b konstant sind.
2. 3.5 ist eine inhomogene lineare DGL.
4.3
Notiz (über Lösungen aus Lösungszusammensetzungen)
1. Es gilt: Sind α1 und α2 Lösungen von 9, so ist für jedes c ∈ R
c·a1 + a2
wieder eine Lösung von 9, denn
(c·α1 + α2 )˙ =
=
cAα1 + cAα2
A(cα1 + α2 )
sofern die Definitionsbereiche von α1 und α2 übereinstimmen.
2. Sind β1 und β2 Lösungen von 8, so ist β1 − β2 Lösung von 9, sofern die
Definitionsbereiche von β1 und β2 übereinstimmen.
3. Ist β Lösung von 8 und α Lösung von 9 und stimmen die Definitionsbereiche von α & β überein, dann gilt:
α + β ist Lösung von 8
denn
(α + β)˙(t)
=
=
α̇(t) + β̇(t)
A(t)·α(t) + A(t)·β(t) + b(t)
=
A(t)·(α + βt) + b(t)
4
SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG
4.4
26
Hauptsatz über lineare DGLen
1. Die maximalen Lösungen von ẋ = Ax + b mit A : D→M(k×k, R), b :
D→Rk sind auf ganz D definiert. Die Lösungen des zugehörigen Systems
9 bilden einen k-dimensionalen Untervektorraum von C 1 (D, Rk ). Ist τ ∈ D
beliebig, so ist durch
L → Rk
α 7→ α(τ )
(wobei L den Raum der Lösungen von 9 bezeichnet) ein Isomorphismus
gegeben.
2. Ist β eine Lösung von 8, so ist der Raum der Lösungen von 8 durch
{β + a | α Lösung von 9}
gegeben.
4.5
Bemerkung
4.4.1 besagt, dass es zu jedem T ∈ D und jedem x0 ∈ Rk genau eine Lösung α
von 9 gibt mit
α(T ) = x0
z.B.:
Es kann nicht sein, dass α1 (T ) = x0 = α2 (T ), falls α1 und α2 beides Lösungen
von 9 sind, d.h. die Bahnen zerlegen den PR, d.h. durch jeden Punkt des PRs
geht genau eine Bahn.
(Beweis fehlt hier, teilweise wird er in 6 nachgeliefert)
4
27
SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG
4.6
Definition (des/der Fundamental-systems, -matrix und
der Wronskideterminante)
Eine Basis α1 , . . . , αk des Lösungsraums L von 9 bezeichnen wir als Fundamentalsystem, die matrixwertige Abbildung
D→M(k×k, R), t 7→ (α1 (t) . . . αk (t))
bezeichnet man als Fundamentalmatrix. Sind β1 , . . . , βk beliebige Lösungen von
9, so bezeichnet man mit
W (t) = det(β1 (t) . . . βk (t))
die Wrongskideterminante von β1 , . . . , βk .
4.7
Korollar
Für k Lösungen β1 , . . . , βk von 9 sind äquivalent:
1. β1 , . . . , βk bilden ein Fundamentalsystem von 9.
2. Jede Lösung α von 9 ist eine LK der β1 , . . . , βk , d.h. es gibt c1 , . . . , ck ∈ R
so, dass
α(t) = c1 β1 + . . . + ck βk
ist.
3. Für ein τ ∈ D ist {β1 (τ ), . . . , βk (τ )} eine Basis von Rk .
4. Für jedes τ ∈ D ist {β1 (τ ), . . . , βk (τ )} eine Basis von Rk .
5. Die Wronskideterminante W (τ ) 6= 0 für ein τ ∈ D.
6. Die Wronskideterminante W (τ ) 6= 0 für jedes τ ∈ D.
4.8
Notiz (Lösungen aus der Fundamentalmatrix)
Ist Φ : D→M(k×k, R) eine Fundamentalmatrix von 9, dann ist Φ Lösung der
DGL
ż = Az
z : D→M(k×k, R) (Dimension: k 2 ).
4.9
Satz (inhomogene Lösung aus der Fundamentalmatrix)
Ist Φ : R→GL(k, R) eine Fundamentalmatrix von 9, so ist
β(t) = Φ(t)·Φ
−1
(τ )·v + Φ(t)·
Zt
(Φ−1 (s)b(s)) ds
τ
eine Lösung des inhomogenen Systems 8 mit
β(τ ) = v
|
{z
Rk
}
4
SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG
28
Beweis:
Nachrechnen wie in 3.5:
β̇(t)
=
Φ̇(t)·(Φ
−1
(τ )·v +
Zt
(Φ−1 (s)b(s)) ds) + Φ(t)·Φ−1 (t)b(t)
τ
=
|{z}
4.8
4.10
Aβ(t) + b(t)2
Bemerkung
Ist Φ eine Fundamentalmatrix, so ist für jeden Vektor w ∈ Rk
β : D→Rk , t 7→ Φ(t)·w
eine Lösung von 9 mit β(τ ) = Φ(τ )·w.
Für k > 1 und A : D→M(k×k, R) existiert keine einfache allgemeine Methode, um Φ zu berechnen. Aber für den Fall eines autonomen homogenen Systems
gibt es Rechenverfahren. Ab jetzt: A ∈ M(k×k, R) (also D = R).
4.11
Notiz (Lösungen aus Eigen -werten bzw. -vektoren)
1. Ist λ ∈ R ein reeller Eigenwert von A, v ∈ Rk ein Eigenvektor zum Eigenwert λ. Setze α(t) = eλt ·v. Dann ist
α̇(t) = λ·eλt ·v = eλt ·Av = A·(eλt ·v) = Aα(t)
Also ist α : R→Rk , α(t) = eλt ·v eine Lösung von ẋ = Ax.
2. Ist γ + iω ∈ C, ω 6= 0 ein Eigenwert von A, dann ist γ − iω ∈ C ebenfalls
ein Eigenwert von A. Ist u + iv ein Eigenvektor zu γ + iω, so ist u − iv ein
Eigenvektor zu γ − iω. Dann erfüllt
β : Rk →Ck , β(t) = e(γ+iω)t (u + iv) = eγt ·(cos(ωt) + i·sin(ωt))·(u + iv)
die Gleichung ẋ = Ax, also sind auch Real- und Imaginärteil von β Lösungen von ẋ = Ax, d.h.
eγt (cos(ωt)·u − sin(ωt)·v)
eγt (sin(ωt)·u + cos(ωt)·v)
sind Lösungen von ẋ = Ax.
4
SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG
4.12
29
Beispiel
⊲ A=
ẋ1
=
x2
ẋ2
=
−2x1 + 3x2
0 1
−2 3
⊲ Eigenwerte: λ1 = 1, λ2 = 2
1
1
⊲ Eigenvektoren: v1 =
, v2 =
1
2
⊲ Allgemeine Lösung:
c1 ·et + c2 ·e2t
c1 ·et + 2c2 ·e2t
⊲ Lösungen zum Anfangswertproblem α(0) =
c1 + c2
c1 + 2c2
c2
c1
α(t)
4.13
=
a
a
:
b
= b
⇒
=
=
b−a
2a − b
⇒ (2a − b)·et + (b − a)·e2t
=
(2a − b)·et + 2(b − a)·e2t
Korollar (Fundamentalsystem und Eigen -werte bzw.
-vektoren)
Ist A komplex diagonalisierbar, d.h. es existiert eine Basis von Ck von Eigenvektoren zu A und sind λ1 , . . . , λr , γ1 ±iω1 , . . . , γs ±iωs , r = 2s + k (λi und γj + iωj
nicht notwendig alle verschieden) Eigenwerte von A mit Eigenvektoren
v1 , . . . , vr , u1 ±iw1 , . . . , us ±iws
so ist ein Fundamentalsystem von ẋ = Ax durch
eλj t
, j = 1, . . . , r
γj t
e (cos(ωj t)·uj − sin(ωj t)·wj ) , j = 1, . . . , s
eγj t (sin(ωj t)·uj + cos(ωj t)·wj ) , j = 1, . . . , s
gegeben, d.h. eine beliebige Lösung von ẋ = Ax ist von der Form
r
X
j=1
(cj ·eλj t ·vj ) +
+
s
X
j=1
s
X
j=1
mit aj , bj , cj ∈ R.
(aj ·eγj t ·(cos(ωj t)·uj − sin(ωj t)·wj ))
(bj ·eγj t ·(sin(ωj t)·uj + cos(ωj t)·wj ))
4
30
SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG
4.14
Beispiele
k = 2. Ist A diagonalisierbar, so sind folgende Fälle möglich:
1. A hat 2 reelle Eigenwerte λ1 , λ2 (möglicherweise λ1 = λ2 ) mit linear unabhängigen Eigenvektoren v1 , v2 .
2. A hat 2 zueinander komplex konjugierte Eigenwerte γ1 + iω1 , γ1 − iω1 ,
ω1 6= 0.
Beispiele:
1. Erinnere 4.12.
⊲ Lösung des Anfangswertproblems x0 =
(2a − b)·et + (b − a)·e2t
(2a − b)·et + 2(b − a)·e2t
a
:
b
2a − b + (b − a)·et
= et ·
2a − b + 2(b − a)·et
⊲ PP mit
⊲
⊲
⊲
⊲
(1)
(2)
(3)
(4)
/
/
/
/
Zyan: a = b
Rosa: 2a = b
Grün: a < b
Blau: a > b
Phasenportrait
15
RVF
(1)
(2)
(3)
(4)
10
x2
5
0
-5
-10
-15
-15
-10
-5
0
x1
5
10
15
4
31
SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG
2. System:
= −3x1 + 2x2
ẋ1
= −4x1 + 3x2
ẋ2
⊲ Eigenwerte: λ1,2 = ±1
1
1
⊲ Eigenvektoren: v1 =
, v2 =
1
2
⊲ Allgemeine Lösung:
c1 ·e−t + c2 ·et
c1 ·e−t + 2c2 ·et
a
⊲ Anfangswertproblem x0 (0) =
:
b
c1 + c2
= a
c1 + 2 2
= b
wird gelöst durch
α(t) =
⊲ PP mit
⊲
⊲
⊲
⊲
(1)
(2)
(3)
(4)
/
/
/
/
Zyan: a = b
Rosa: 2a = b
Grün: a < b
Blau: a > b
(2a − b)·et + (b − a)·et
(2a − b)·et + 2(b − a)·et
32
SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG
Phasenportrait
15
RVF
(1)
(2)
(3)
(4)
10
5
x2
4
0
-5
-10
-15
-15
-10
-5
0
x1
3. System:
ẋ1
ẋ2
= x2
= 2x2
A=
0
0
mit
1
2
⊲ Eigenwerte: λ1 = 0, λ2 = 2
1
1
⊲ Eigenvektoren: v1 =
, v2 =
0
2
⊲ Lösungen:
α1 (t)
α2 (t)
⊲ PP:
1
=
0
1
2t
= e ·
2
5
10
15
33
SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG
Phasenportrait
15
RVF
10
5
x2
4
0
-5
-10
-15
-15
-10
-5
0
x1
4. System:
ẋ1
ẋ2
mit
A=
⊲ Eigenwerte: λ1,2 = ±i
⊲ Eigenvektoren: v1,2 =
⊲ Lösungen:
α1 (t) =
α2 (t) =
⊲ PP:
1
±i
=
=
x2
−x2
0 +1
−1 0
cos(t)
0
cos(t)
−
=
0
sin(t)
−sin(t)
sin(t)
cos(t)
5
10
15
34
SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG
Phasenportrait
15
RVF
10
5
x2
4
0
-5
-10
-15
-15
-10
-5
0
x1
1
5. ẋ = Ax, A =
2
−2
1
⊲ Eigenwerte: λ1,2 = 1±2i
1
⊲ Eigenvektoren: v1,2 =
∓i
⊲ Lösungen:
α1 (t)
=
α2 (t)
=
cos(2t)
et ·
sin(2t)
sin(2t)
et ·
−cos(2t)
⊲ PP mit γ > 0 (Drehrichtung für γ < 0 umgedreht):
5
10
15
4
35
SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG
Phasenportrait
15
RVF
10
x2
5
0
-5
-10
-15
-15
-10
-5
0
5
x1
4.15
Erinnerung (Diagonalisierbarkeit) und Beispiel
1 1
Nicht jede Matrix ist diagonalisierbar, z.B. A =
: Eigenwert λ = 1 mit
0 1
1
1-dimensionalem Eigenraum R·
.
0
1
⇒ 1. Lösung von ẋ = Ax ist durch α(t) = et ·
gegeben. Bestimmung der
0
2. dazu linear unabhängigen Lösung:
ẋ1
= x1 + x2
ẋ2
= x2
⇒x2 (t) = et
⇒ẋ1 (t) = x1 (t) + et
(10)
t
⇒ 10 ist eine inhomogene Gleichung, x1 (t) = t·e ist eine Lösung von 10 ⇒
Allgemeine Lösung von ẋ = Ax:
t
t
e
t·e
c1 + c2 ·t
t
c1 ·
+ c2 ·
=e·
0
et
c2
Allgemeiner sei A ∈ M(2×2, R), λ ∈ R ein reeller Eigenwert von A mit 1dimensionalem Eigenraum R·v, A sei nicht diagonalisierbar. Ergänze v durch
w ∈ R2 zu einer Basis von R2 . Dann gibt es ein κ 6= 0 so, dass Aw = λw + κv
10
15
4
SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG
36
(angenommen nicht, d.h. angenommen Aw = λ′ w + κv, λ 6= λ′ , dann wäre
′
′
v ′ = (v + λ−λ
κ ·w) ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ (Widerspruch), also
A diagonalisierbar). Damit ist ein Fundamentalsystem von ẋ = Ax durch
α1 (t)
α2 (t)
= eλt ·v
= (κtv + w)·eλt
definiert. Beweis nachrechnen, denn
α̇2 (t)
Aα2 (t)
= κv·eλt + λ·α2 (t)
= (κt·λv + λw + κv)·eλt
= κv·eλt + λ·α2 (t)
⇒ a2 ist Lösung von ẋ = Ax. α1 und α2 bilden ein Fundamentalsystem, denn
α1 (0) =
α2 (0) =
v
w
5
37
DIE MATRIXEXPONENTIALFUNKTION
5
Die Matrixexponentialfunktion
Erinnere: ẋ = ax, x ∈ R, hat die allgemeine Lösung c·eat . Versuche für A ∈ M(k×k, R)
∞
k
P
( (λt)
ein eλt =
(k)! ) zu definieren.
k=0
5.1
Definition (der Operatornorm) und Notiz
Seien V, W normierte VRe mit Normen || ||V und || ||W . Bezeichne Hom(V, W )
die Menge der linearen Abbildungen V →W , dann ist auf Hom(V, W ) durch
||A||OP = sup (
v∈V
||Av||W
) = sup (||Av||W )
||v||V
v,||v||=1
eine Norm wohldefiniert.
5.2
Bemerkung (über Zusammenhänge der Operatornorm)
1. ||Ax||W ≤ ||A||OP ·||x||V
2. ||AB|| ≤ ||A||·||B||
i.A. gilt aber nicht
z.B. A =
5.3
1 0
0
,B=
0 0
0
||AB|| ≡ ||A||·||B||
0
.
1
Notiz
Sei A = (aij ), so ist
denn ||A·ej ||W
5.4


max(|aij |) ≤ ||A||OP
a1j
 .. 
= || . || ≥ |aij | für alle i, j.
anj
Definition (der Matrizen -differentierbarkeit und -reihen)
1. Sei A : R→M(n×n, R) differentierbar, d.h. für A = (aij ) seien aij : R→R
differentierbar für alle i, j, dann ist
d
A ≡ Ȧ = (ȧij )i,j
dt
2. Sei p(t) =
∞
P
k=0
(ck tk ), dann definieren wir p(A) =
∞
P
k=0
(ck Ak ) für A ∈ M(n×n, R)
5
38
DIE MATRIXEXPONENTIALFUNKTION
5.5
Erinnerung
Die Lösung von ẋ = ax ist Ceat und ex =
∞
P
k
x
), wobei die Potenzreihe
( (k)!
k=0
absolut (auf R) konvergiert. Versuche, dies zu übertragen auf den Fall ẋ = Ax.
Zeige:
P Ak
⊲ eA ist wohldefiniert, d.h. ( (k)!
) konvergiert
⊲ Reihenregeln für eA
⊲ Berechnung von eA
5.6
Satz (Matrizenreihenkonvergenz)
Sei p eine absolut konvergierende Potenzreihe für |t| < R, so ist auch (p(A))ij
absolut konvergernt für A ∈ M(n×n, R), ||A||OP < R, denn
k
d.h. die Reihen
5.7
|(Ak )ij | ≤ ||Ak ||OP ≤ ||A|| ≤ Rk
|{z}
|{z}
5.2.b
5.3
P
(ck (Ak )ij ) konvergieren nach dem Majorantenkriterium.
Korollar (Matrizenexponentialreihe)
Für alle B ∈ M(n×n, R) ist
eB =
∞
X
Bk
1
(
) = 1 + B + B2 + . . .
(k)!
2
k=0
wohldefiniert. Weiter
d tB
e = B·etB
dt
d.h. die Spalten von etB sind Lösungen von ẋ = Bx.
5.8
Lemma (Rechenregel der Matrizenexponentialfunktion)
1. Ist AB = BA, so ist
eA+B = eA ·eB
(Beweis in Ü.a.)
2. Ist C ∈ GL(n, R), so ist
eCAC
denn
−1
= C·eA ·C −1
(CAC −1 )k = C·Ak ·C −1
5
39
DIE MATRIXEXPONENTIALFUNKTION
5.9
Korollar (Matrizenexponentialfunktionen als Teilmenge der General Linear Group)
Für alle A ∈ M(n×n, R) ist etA ∈ GL(n, R), denn
tA
−tA+tA
e|−tA
= e0 = 1
{z } ·e = e
(etA )−1
d.h. die Spalten von etA bilden ein Fundamentalsystem von ẋ = Ax.
5.10
Beispiel
Ist A ∈ M(n×n, K) (K = R oder K = C) eine Diagonalmatrix, d.h.


λ1
0


..
A=

.
0
λn
Dann ist
 k
λ1

Ak = 
0
Daraus folgt, dass

..
.
λkn
eλ1

eA = 
5.11
0



0
..
.
eλn
0



Definition (der Nilpotenz)
Eine Matrix N ∈ M(n×n, R) heißt nilpotent, wenn es ein k ∈ N mit N k = 0
gibt.
5.12
Notation und Beispiel
1
Ist N nilpotent, N k = 0, so ist eN = 1 + N + 21 N 2 + . . . + (k−1)!
·N k−1 . Beispiel:
0 1
1 1
1 t
N=
, N 2 = 0, eN = 1 + N =
, etN =
0 0
0 1
0 1
5.13
Beispiel
A=
1
0
0 1
1
1 0
+
=
0 0
1
0 1
| {z } | {z }
D
Es gilt: DN = N D. ⇒
e
d.h.
tA
=e
Dt
·e
Nt
t
e
=
0
N
t
0
1 t
e
·
=
et
0 1
0
t e
t t
,
e ist ein Fundamentalsystem von ẋ = Ax.
0
1
tet
et
5
40
DIE MATRIXEXPONENTIALFUNKTION
5.14
Satz (Lineare Algebra, z.B. Brockner, lineare Algebra II)
Ist A ∈ End(Cn ) = Hom(Cn , Cn ) = M(n×n, C). Dann gibt es eine Basis von C
bezüglich der A in Jordannormalform vorliegt, d.h. in der Form


J1 0 . . . 0

.
 0 J2 . . . .. 


A=.

 .. . . . . . . 0 
0 . . . 0 Jr
wobei Ji Jordankästchen“ sind, d.h.
”

λi

0


Ji ∈ M(ni ×ni , C), Ji =  ...

.
 ..
0

... 0
.
..
. .. 


..
.
..
. ..
. 0


..
..
..
.
.
. 1
. . . . . . 0 λi
1
..
.
0
..
.
(Spezialfall r = n ⇒ A ist diagonal) also A = D + N , wobei D diagonal, N von
der Form


0 1
0 ... ... 0
.

.. ..
.
0 . . 1
.
. .. 


 .. . . . .
.. 
..
.

.
.
.
0
.


. .

.
.
.
.
..
..
. . . . .. 
 ..


. .

. . . . . . . . . . . 1
 ..
0 ... ... ... ... 0
also N nilpotent und DN = N D gilt.
5.15
Korollar
Ist A ∈ M(n×n, C), dann gibt es T ∈ GL(n, C) so, dass T AT −1 = D + N , D
diagonal, N nilpotent, DN = N D, also:
eA = T −1 eD eN T
6
6
DER EXISTENZ- UND EINDEUTIGKEITSSATZ
41
Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz
Fragen:
1. Gibt es zu jedem Anfangswertproblem ẋ = v(x), x(0) = x0 eine Lösung?
2. Ist sie eindeutig ?
Zu
1. Man kann nicht erwarten, dass jede Lösung Definitionsbereich R hat.
2. Erinnere Ü.a.:
√
x≥0
√x
, x(0) = 0
− −x x ≤ 0
ẋ(t)
ẋ =
t
α1 (t)
α2 (t)
= 0
=
1
0
·(t
− c)2
4
t≤0
t≥c
42
DER EXISTENZ- UND EINDEUTIGKEITSSATZ
α(t)
6
c
t
Vorüberlegung:
Angenommen, α1 und α2 sind Lösungen zu ẋ = v(x) und x(0) = x0 , so gilt
α̇j (t) = v(αj (t)), j = 1, 2
Daraus folgt:
αj (t) = x0 +
Zt
0
(v(αj (τ ))) dτ
(11)
6
43
DER EXISTENZ- UND EINDEUTIGKEITSSATZ
und
||α2 (t) − α1 (t)||
=
(12)
Zt
(13)
0
≤
?
(≤
6.1
Zt
|| (v(α1 (τ ) − v(α2 (τ ))) dτ )||
0
(||v(α1 (τ )) − v(α2 (τ ))||) dτ
θ·||α1 (t) − α2 (t)||)
(14)
Definition (der lokalen Lipschitz-stetigkeit)
Sei M ⊆off R, v : M →Rn erfüllt eine lokale Lipschitz-Bedingung oder v ist lokal
lipschitz-stetig, wenn gilt: Für alle x ∈ M existiert eine Umgebung U von x und
ein L > 0 so, dass für alle x, y ∈ U gilt:
||v(x) − v(y)|| ≤ L||x − y||
6.2
Bemerkung (C 1 ⇒ lipschitz-stetig ⇒ C 0 )
Ist v ∈ C 1 (M, Rn ) M ⊆ Rm , so ist v lokal lipschitz-stetig. Ist v lokal lipschitzstetig, so ist v stetig.
6.3
Satz (Eindeutigkeitssatz)
Sei v : D→Rk lokal lipschitz und seien αj : (t1 ,2 )→D Lösungen von ẋ = v(x),
x(0) = x0 für j = 1, 2, so ist α1 = α2 .
Beweis:
Angenommen, es existiert ein t0 , o.B.d.A.t0 > 0, mit α1 (t0 ) 6= α2 (t0 ).
Sei t := inf({t ∈ [0, t0 ] | α1 (t) 6= α2 (t)}).
Dann gilt α1 (t) = α2 (t).
⊆U
z }| {
Wähle U und L wie in 6.1 und R ≥ 0 so, dass UR (α(t)).
Sei ǫ > 0 so, dass
6
44
DER EXISTENZ- UND EINDEUTIGKEITSSATZ
◮ αj (t) ∈ KR für alle t ∈ [t − ǫ, t + ǫ], j = 1, 2
◮ ǫL < 1
Dann gilt für alle t ∈ [t, t + ǫ]
||α1 (t) − α2 (t)|| ≤
|{z}
13
(*): weil α1 (t) ∈ KR
Zt
0
(||v(α1 (τ )) − v(α2 (τ ))||) dτ
|
{z
}
≤ L·||α1 (t)−α2 (t) (∗)||
max (||α1 (t) − α2 (t)||) ≤ ǫL· max (||α1 (t) − α2 (t)||)
t ∈ [t,t+ǫ]
t ∈ [t,t+ǫ]
⇒
max (||α1 (t) − α2 (t)||) = 0. Widerspruch zur Definition von t:
t ∈ [t,t+ǫ]
α1 (t) 6= α2 (t), t ∈ [t, t + ǫ]
Zum Existenzsatz:
⊲ Betrachte 11
Rt
⊲ Setze F : C ∞ ((t1 ,2 ), D)→C 0 ((t1 , t2 ), D), F (f ) = x0 + (v(f (τ ))) dτ
0
0
⊲ f ist Lösung von x = v·
, x(0) = x0 , falls F (f ) = f ⇔ f ist Fixpunkt
x
von F
6.4
Banachscher Fixpunktsatz
Sei (M, d) ein vollständig metrischer Raum, F : M →M eine kontrahierende
Abbildung, so besitzt F genau einen Fixpunkt und es gilt: Ist a0 ∈ M beliebig,
an = F n (a0 ), dann konvergiert (an )n ≥ 1 gegen den Fixpunkt.
6.5
Satz (Existenzsatz von Picard-Lindelöf)
Erfüllt v eine lokale Lipschitzbedingung und sei x0 ∈ D, dann gibt es ein ǫ > 0
und eine Lösung
α : (−ǫ, ǫ)→D von ẋ = v(x), x(0) = x0
Beweisidee:
Wende 6.4 an auf M = {α : (−ǫ, ǫ)→K | α(θ) = x0 } für geeignete ǫ und
K.
d : M ×M →R+
0 , d(α, β) =
sup (||α(t) − β(t)||)
t ∈ (−ǫ,ǫ)
6
DER EXISTENZ- UND EINDEUTIGKEITSSATZ
45
Rt
F : M →M , F (α) = x0 + (v(α(τ ))) dτ
0
Zeige: F ist wohldefiniert und kontrahiert,
d(F (α), F (β))
=
Zǫ
0
=
(||v(α) − v(β)||) dτ
ǫLd(α, β)
... 2
6.6
Bemerkung (Ergänzung zum Existenzsatz von PicardLindelöf)
Satz 6.5 gilt auch unter der schwächeren Bedingung, dass v stetig ist.
6.7
Korollar
Sei w : (t1 , t2 )×D→Rk stetig und erfülle bezüglich der Variable x ∈ D eine
lokale Lipschitzbedingung, also: für alle x ∈ D existiert eine Umgebung U und
ein L > 0 so, dass für alle x, y ∈ U gilt:
||w(t, x) − w(t, y)|| ≤ L||x − y||
Dann gibt es zu jedem x0 ∈ D und t0 ∈ [t1 , t2 ] genau eine Lösung von ẋ = w(t, x)
und x(t0 ) = x0 .
6.8
Bemerkung (Picard-Lindelöf-Verfahren)
Der 2. Teil des Banachschen Fixpunktsatzes liefert ein Verfahren zur (näherungsweisen) Bestimmung der Lösung: Sei α0 : (t0 − ǫ, t0 + ǫ)→D beliebig. Definiere
rekursiv
αk : (t0 − ǫ, t0 + ǫ)→D, αk (T ) = x0 +
Zt
(w(τ, αk−1 (τ ))) dτ
t0
Dann konvergiert αk gegen eine Lösung. Beispiel: ẋ = x, x(0) = 1:
⊲ Setze α0 ≡ 1.
6
DER EXISTENZ- UND EINDEUTIGKEITSSATZ
46
⊲ Dann ist
α1 (t)
= 1+
Zt
(1) dτ = 1 + t
= 1+
Zt
1
(1 + τ ) dτ = 1 + t + t2
2
0
α2 (t)
0
..
.
αk (t)
..
.
= 1 + t + ...+
1 k
t
(k)!
(Beweis durch Induktion)
⊲ ⇒ lim (ak (t)) =
k→∞
6.9
∞
P
k=0
1 k
t ) = et .
( (k)!
Korollar (Zerlegung des Phasenraums)
Ist v : D→Rk lokal lipschitz, so zerlegen die Bahnen den PR, d.h.
1. zu jedem x ∈ D gibt es eine Bahn B, mit x ∈ B.
2. sind B1 und B2 zwei Bahnen mit B1 ∩ B2 6= ∅, so ist B1 = B2 .
Beweis:
(1) ist nach dem Existenzsatz klar.
(2): Ist α(t1 ) = β(t1 ) und sind α, β Lösungen.
Setze α̃(t) = α(t + t1 ), β̃(t) = β(t + t2 ).
⇒ Bahnen von α̃ und α wie auch β̃ und β stimmen überein.
Es gilt: α̃(0) = α(t1 ) = β(t2 ) = β̃(0) ⇒ die Bahnen von α̃ und β̃ stimmen
überein.
6
DER EXISTENZ- UND EINDEUTIGKEITSSATZ
6.10
47
Definition (des Fixpunkts und der Periodizität)
Eine Lösung α einer DGL heißt
1. Fixpunkt ⇔ α(t) = p, für alle t ∈ (t1 , t2 )
2. periodisch ⇔ α ist kein Fixpunkt und es existiert genau ein T > 0 mit
α(t) = α(t′ ) ⇔ (t′ − t) ∈ ZT . Das T mit dieser Eigenschaft heißt Periode
der Bahn.
6.11
Satz
Sei v : D→Rk lokal lipschitz, dann gilt für die Lösungen von ẋ = v(x) genau
eine der folgenden Möglichkeiten:
1. α ist injektiv
2. α ist periodisch
3. α ist Fixpunkt
Beweis:
Angenommen, α ist weder injektiv noch Fixpunkt.
Dann existiert ein t0 und T̃ mit α(t0 ) = α(t0 + T̃ ). (*)
Wie im Beweis von 6.9 folgt dann, dass α(t + T̃ ) = α(t).
n
o
Sei T := inf( T̃ | T̃ erfüllt (*) ) ⇒ T > 0, sonst wäre α Fixpunkt ⇒ T
ist die Periode von α.
7
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DER ORDNUNG N
7
7.1
48
Differentialgleichungen der Ordnung n
Definition (von (autonomen) DGLen der Ordnung n)
Sind Dj ⊆ Rk verallgemeinerte Rechtecke und w : (t1 , t2 )×D0 × . . . ×Dn−1 →Rk
stetig, so heißt
x(n) = w(t, x, . . . , x(n−1) )
(15)
ein (nicht-autonomes) k-dimensionales System von DGLen der Ordnung n. Hängt
w nicht von t ab, ist also durch
v : D0 × . . . ×Dn−1 →Rk
gegeben, so heißt das System autonom. Unter einer Lösung von 15 versteht man
eine Abbildung
α : (t′1 , t′2 )→Rk mit α(j) (t) ∈ D
α(n) (t) = w(t, α(t), . . . , α(n−1) (t)), (t′1 , t′2 ) ⊆ (t1 , t2 )
Analog für die Lösungen des autonomen Systems. Maximale Lösungen sind wie
im Fall n = 1 definiert.
7.2
Beispiel
ẍ = −ω 2 x + γ ẋ ist eine Gleichung 2. Ordnung.
7.3
Satz und Definition (des dazugehörigen Systems 1.
Ordnung)
Zu 15 heißt
ẋ1
ẋ2
=
=
..
.
ẋn
= w(t, x1 , . . . , xn )
x2
x3
(16)
das zugehörige kn-dimensionale System 1. Ordnung (analog für autonome Systeme). Ist α eine Lösung von 15, so ist (α, α̇, . . . , α(n−1) ) eine Lösung von 16
und ist β eine Lösung von 16, so sind die ersten k-Komponenten von β eine
Lösung von 15.
Beweis:
Sei α eine Lösung von 15, so gilt, dass (α, . . . , α(n−1) ) die Gleichung
w(t, α(t), . . . , α(n−1) (t)) = α(n)
erfüllt, also erfüllt (α, . . . , α(n−1) ) das System von DGLen 16. Ist β =
(β1 , . . . , βm ) eine Lösung von 16, so gilt
β2
=
β̇1
β3
=
β̇2 = β1
βj
=
β1
(2)
(j−1)
7
49
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DER ORDNUNG N
⇒
(n−1)
βn = β 1
(n−1)
⇒ β̇n = w(t, β1 , . . . , βn ) = w(t, β1 , . . . , β1
|{z}
)
(n)
β1
also erfüllt β1 die Gleichung 15.
7.4
Beispiel
ẍ = −x
(17)
Zugehöriges System 1. Ordnung:
ẋ1
ẋ2
0 1
= x2
⇔ẋ =
x
−1 0
= −x1
(18)
Allgemeine Lösung von 18:
cos(t)
sin(t)
c1 ·
+ c2 ·
−sin(t)
cos(t)
⇒ allgemeine Lösung von 17:
c1 ·cos(t) + c2 ·sin(t)
7.5
Korollar (aus dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz)
Ist D = D0 × . . . ×Dn−1 , w : (t1 , t2 )×D→Rk eine stetige Funktion, die bezüglich
der Variablen aus D lokal lipschitz-stetig ist, so gibt es zu
t0 ∈ (t1 , t2 ), p = (p0 , . . . , pn−1 ) ∈ D
genau eine Lösung von 15 mit
α(t0 ) = p0 , . . . , α(n−1) (t0 ) = pn−1
Analog für autonome Systeme.
Beweis:
Ist w lokal lipschitz-stetig, so ist auch

x2
..
.





w̃(t, x1 , . . . , xn ) = 



xn
w(t, x1 , . . . , xn )
lokal lipschitz-stetig.
Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz gibt es also genau eine Lösung
von 16.
7
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DER ORDNUNG N
7.6
50
Definition (des (erweiterten) Phasenportraits)
Unter dem (erweiterten) Phasenportrait eines Systems n-ter Ordnung versteht
man das (erweiterte) Phasenportrait des zugehörigen Systems 1. Ordnung.
7.7
Beispiele
7.7.1
Beispiel 1
ẍ = −x
Phasenportrait
x2 = ẋ1
RVF
c
x1
7.7.2
Beispiel 2
ẍ = 0, allgemeine Lösung: α(t) = at + b
Phasenportrait
x2 = ẋ1
RVF
α(a, b, t)
c
x1
7
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DER ORDNUNG N
7.7.3
Beispiel 3
Fadenpendel:
(GRAPHIC HERE)
51
8
LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN N -TER ORDNUNG
8
8.1
52
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
Definition (von linearen (homogenen) DGLen n-ter
Ordnung)
Sei a0 , . . . , an−1 : (t1 , t2 )→M(k×k, R) stetig, so heißt
x(n) + an−1 x(n−1) + . . . + a0 x + b = 0
(19)
ein k-dimensionales System linearer DGLen der Ordnung n. Für b : (t1 , t2 )→Rk ,
b 6≡ 0 heißt es inhomogen, für b ≡ 0 heißt es homogen. Setzt man in 19 b ≡ 0,
so heißt das System das zugehörige homogene System. Für k = 1 schreibt man
statt 19, b ≡ 0 im autonomen Fall auch
P(
d
)x = 0
dt
wobei P (s) das Polynom sn + an−1 ·sn−1 + . . . + a0 ist.
8.2
Notiz (das dazugehörige System 1. Ordnung)
−
→
Das zu 19 gehörige System 1. Ordnung ist durch ẋ = Ax + b mit


0
1
0 ...
0




.. 
 
.
.
.
.


 0
.
.
.
0 
0



−
→  . 

 ..
.
.
.
.. .. ..
kn, b =  ..  kn
A= .
0 







 .
..
.
.
−b



 ..
. .. ..

1


−a0 . . . . . . . . . −an−1
gegeben.
8.3
Satz (Anfangsisomorphismus)
Die Lösungen von 19 sind auf ganz (t1 , t2 ) definiert. Für b =
kn-dimensionalen VR. Für b = 0 ist durch
Lösungen von 19 b = 0
→ Rkn

a(t0 )

..
α 7→ 
.
0 bilden sie einen



(n−1)
α
(t0 )
für jedes t0 ∈ (t1 , t2 ) ein Isomorphismus definiert. φ heißt der Anfangsisomorphismus zum Anfangsproblem t0 .
8
LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN N -TER ORDNUNG
8.4
53
Definition (des Fundamentalsystems, der Wronski matrix und -determinante)
Unter einem Fundamentalsystem für 19, b = 0, versteht man eine Basis des
zugehörigen Lösungsraums. Sind α1 , . . . , αkn Lösungen von 19, so heißt


α1 (t)
...
αkn (t)
..
..


X(t) = 

.
.
(n−1)
α1
(t)
(n−1)
. . . αkn
(t)
die zugehörige Wronski-matrix,
det(X(t)) = W (t)
heißt die Wronski-determinante.
8.5
Satz
Sind α1 , . . . , αkn Lösungen von 19, b = 0, so ist gleichbedeutend:
1. α1 , . . . , αkn bilden ein Fundamentalsystem
2. W (t0 ) 6= 0 für ein t0 ∈ (t1 , t2 )
3. W (t) 6= 0 für alle t ∈ (t1 , t2 )
4. Für jede Lösung α von 19, b = 0, gibt es c1 , . . . , ckn ∈ R so, dass
α=
kn
X
(cj αj )
j=1
ist.
8.6
Lemma (Lösungen aus dem Fundamentalsystem)
Ist α1 , . . . , αkn ein Fundamentalsystem von 19, b = 0, und ist β eine beliebige
Lösung von 19, so ist die allgemeine Lösung von 19 durch
β+
kn
X
j=1
(cj αj ), cj ∈ R
gegeben.
8.7
Korollar (inhomogene Lösungen aus dem Fundamentalsystem)
Sei k = 1 und α1 , . . . , αn ein Fundamentalsystem von 19 mit b = 0, d.h. der
zu 19 gehörenden homogenen Gleichung, und es gelte X(0) = 1, wobei X die
durch α1 , . . . , αn gegebene Wronskimatrix ist. Dann ist die Lösung von 19 zur
Anfangsbedingung x(0) = p1 , . . ., x(n−1) (0) = pn :
n
X
j=1
(pj αj (t)) −
n
X
j=1
Zt
(αj (t))· (b(τ )uj (τ )) dτ
0
8
LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN N -TER ORDNUNG
wobei

? |

−1
X (t) = ? |
? |
ist.
54

u1 (t)
.. 
. 
un (t)
Beweis:
Nach 4.9 und 7.5 ist die Lösung von 19 mit
x(0) = p1 , . . . , x(n−1) (0) = pn
durch die 1. Komponente von
Zt
−
→
X(t)·p − X(t)· (X −1 (τ )· b (τ )) dτ
0
gegeben.
8.8
Korollar
Sei α1 , α2 ein Fundamentalsystem für
ẍ + a1 ẋ + a0 x = 0
mit
α1 (0) = 1
, α̇1 (0) = 0
α2 (0) = 0
, α̇2 (0) = 1
so ist
β(t) = α1 (t)·p1 + α2 (t)·p2 + α1 (t)·
Zt
0
b(τ )·α2 (τ )
(
) dτ − α2 (t)·
W (τ )
Zt
(
0
eine Lösung von
ẍ + a1 ẋ + a0 x + b = 0 mit β(0) = p1 , β̇(0) = p2
denn ist
X(t) =
so ist
X
−1
α1 (t)
α̇1 (t)
α2 (t)
α̇2 (t)
1
α̇2 (t) −α2 (t)
·
(t) =
W (t) −α̇1 (t) α1 (t)
b(τ )·α1 (τ )
) dτ
W (τ )
8
LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN N -TER ORDNUNG
55
Ab jetzt betrachten wir den Fall einer autonomen linearen DGL
x(n) + an−1 x(n−1) + . . . + a0 x = 0, aj ∈ R
Das zugehörige System 1. Ordnung ist durch


0
1
0 ...
0




.. 
.
.
.
.
 0


.
.
0
.



 ..

.
.
.
..
..
..
ẋ = Ax, A =  .

0 n×n

 .


..
.. ..

 ..
.
.
.

1 


−a0 . . . . . . . . . −an−1
(20)
(21)
gegeben. Lösung: 1. Komponenten von eAt . Jetzt leiten wir eine einfachere Methode zur Berechnung des Fundamentalsystems von 20 her.
8.9
Bemerkung (das charakteristische Polynom)
Das charakteristische Polynom von 21 ist durch
P (t) = tn + an−1 tn−1 + . . . + a0
d
)x = 0.
gegeben. Gesucht ist also eine Lösung von P ( dt
8.10
Satz (Fundamentalsysteme aus charakteristischen Polynomen)
Seien λ1 , . . . , λr ∈ R die reellen Nullstellen von P mit Vielfachheiten n1 , . . . , nr ,
γ1 ±iω1 , . . . , γs ±iωs ∈ C\R die echt komplexen Nullstellen von P mit Vielfachheiten m1 , . . . , ms , also
n1 + . . . + nr + 2(m1 + . . . + ms ) = n
und
P (t) = (t − λ1 )n1 · . . . ·(t − λr )nr ·(((t − γ1 )2 + ω12 )m1 · . . . ·((t − γs )2 + ωs2 )ms )
so ist
eλ1 t
..
.
,
teλ1 t
..
.
, ... ,
tn1 −1 eλ1 t
..
.
eλr t
,
teλr t
, ... ,
tnr −1 eλr t
eγ1 t cos(ω1 t) , teγ1 t cos(ω1 t) , . . . , tm1 −1 eγ1 t cos(ω1 t)
..
..
..
.
.
.
eγs t cos(ωs t)
,
teγs t cos(ωs t)
, ... ,
tms −1 eγs t cos(ωs t)
eγ1 t sin(ω1 t)
..
.
,
teγ1 t sin(ω1 t)
..
.
, ... ,
tm1 −1 eγ1 t sin(ω1 t)
..
.
eγs t sin(ωs t)
,
teγs t sin(ωs t)
, ... ,
tms −1 eγs t sin(ωs t)
8
LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN N -TER ORDNUNG
56
ein Fundamentalsystem von 20.
Beweis:
d
− λ)eλt = 0 und
Es ist ( dt
(
d
− λ)tk eλt = ktk−1 eλt + λtk eλt − λtk eλt = ktk−1 eλt
dt
d
− λ)j tk eλt = 0 für k < j.
⇒ ( dt
d k λj t
⇒ P ( dt
)t e = 0 für k < nj .
d k (γj +iωj )t
Ebenso P ( dt
)t e
= 0 für k < mj und
ℜ(tk e(γj +iωj )t ) =
ℑ(tk e(γj +iωj )t ) =
tk eγj t cos(ωj t)
tk eγj t sin(ωj t)
Also sind die im Satz angegebenen Funktionen Lösungen von 20. Sie bilden
ein Fundamentalsystem, wie man anhand der Wronskideterminante leicht
nachrechnet, W (0) 6= 0. 2
8.11
Beispiele
8.11.1
Beispiel 1
...
x − 2ẍ + ẋ − 2x = 0
Dann ist
P (t)
= t3 − 2t2 + t − 2
= (t2 + 1)(t − 2)
Damit ergibt sich für die Nullstellen von P :
λ1 = 2
γ1 + iω1 = ±i
, n1 = 1
, m1 = 1
Somit ist das Fundamentalsystem:
e2t , cos(t), sin(t)
8
LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN N -TER ORDNUNG
8.11.2
Beispiel 2
ẍ + 2µẋ + ω 2 x = 0
Dann ist
P (t) = t2 + 2µt + ω 2
und die Nullstellen von P sind
λ1/2 = −µ±
Somit ergeben sich drei Fälle:
p
µ2 − ω 2
1. µ2 > ω 2
2. µ2 = ω 2
3. µ2 < ω 2
Fall 2:
⊲ λ = −µ, Vielfachheit 2
⊲ ⇒ e−µt , te−µt ist ein Fundamentalsystem für ẍ + 2µẋ + ω 2 x = 0.
57
9
58
DER UMKEHRSATZ
9
Der Umkehrsatz
Erinnerung (Jacobi-matrix und Kettenregel)
Sei U ⊆off Rn , f : U →Rk differentierbar. Dann ist
 ∂f1
∂x1 (x) . . .
 ..
dfx
= Jf (x) =  .
|{z}
∂fk
n
k
∈ Hom(R ,R )
∂x1 (x) . . .

∂f1
∂xn (x)
..
.
∂fk
∂xn (x)
∂f


Sind ∂xjl stetig für j = 1, . . . , k und l = 1, . . . , n, dann heißt f stetig differentierbar, f ∈ C 1 (U, Rk ) = (C 1 (U ))k .
Kettenregel: Sind g und f differentierbar, f : U →Rk , g : V →Rm , V ⊆off Rk ,
f (U ) ⊆ V , dann ist
Jg◦f (x) = Jg (f (x))Jf (x)
Insbesondere für g = f −1 ist Jf −1 (f (x)) = (Jf (x))−1 .
9.1
Definition (des Diffeomorphismus)
Seien U, V ⊆off Rn , dann heißt f : U →V ein C k -Diffeomorphismus, falls f bijektiv und f als auch f −1 k-mal stetig differentierbar sind.
9.2
Notiz
Ist f : U →V ein Diffeomorphismus, so ist Jf (x) ∈ GL(n, R) für alle x ∈ U .
Frage: Ist f : U →V differentierbar und Jf (x) ∈ GL(n, R) für alle x ∈ U ,
folgt dann, dass f : U →f (U ) ein Diffeomorphismus ist?
Erinnerung: Für f : I→R, I = (a, b) differentierbar mit f ′ (x) > 0 für alle
x ∈ I oder f ′ (x) < 0 für alle x ∈ I ist f injektiv und f : I→f (I) bijektiv
und f −1 : f (I)→I differentierbar, also ist f ein Diffeomorphismus I→f (I).
(Die Vorraussetzung f bijektiv und f ′ (x) ≥ 0 wäre nicht ausreichend, dass f −1
differentierbar ist, vgl. f (x) = x3 )
9.3
Beispiel
f : R+ ×R→R2 \{0}, (r, φ) 7→ (r·cos(φ), r·sin(φ))
Dann ist
Jf (r, φ) =
und
cos(φ)
sin(φ)
2
−rsin(φ)
rcos(φ)
2
det(Jf (r, φ)) = r·cos(φ) + r·sin(φ) = r 6= 0
⇒ Jf (r, φ) ∈ GL(2, R), aber f ist kein Diffeomorphismus, denn
f (r, φ + 2πk) = f (r, φ), k ∈ Z
Aber z.B.
f |R+ ×(0, 2π), R+ ×(0, 2π)→R2 \{x ∈ R | y = 0 ∧ x ≥ 0}
ist ein Diffeomorphismus.
9
DER UMKEHRSATZ
9.4
59
Definition (des lokalen Diffeomorphismus’)
Sei f : U →V differentierbar, U, V ⊆off Rn . Dann heißt f ein lokaler Diffeomorphismus bei x ∈ U , wenn es eine offene Umgebung Ux von x und eine offene
Umgebung Vf (x) von f (x) gibt, so, dass f |Ux : Ux →Vf (x) ein Diffeomorphismus
ist. f heißt ein lokaler Diffeomorphismus, falls f ein lokaler Diffeomorphismus
bei x ∈ U für alle x ∈ U ist.
9.5
Beispiel (Polarkoordinantenabbildung)
Die Polarkoordinatenabbildung aus 9.3 ist ein lokaler Diffeomorphismus.
9.6
Satz (Umkehrsatz oder Satz von der lokalen Inversen)
Ist f : U →V , f ∈ C k (U, V ) und ist Jf (x) ∈ GL(n, R), so ist f ein lokaler Diffeomorphismus bei x ∈ U . Ist Jf (x) ∈ GL(n, R) für alle x ∈ U und f zusätzlich
injektiv, so ist f : U →f (U ) ein C k -Diffeomorphismus, d.h. f und f −1 sind k-mal
stetig differentierbar.
9.7
Notation
Ist f : B→Rk differentierbar, Φ : U ′ →U ein Diffeomorphismus, U ⊆ B, so sagt
man, f ist lokal auf U in den Koordinaten Φ durch g gegeben, falls g = f ◦Φ
gilt. Beispiel:
p
f : R2 →R, f (x, y) = x2 + y 2
f ist in Polarkoordinaten auf R2 \{(x, y) | y = 0 ∧ x ≥ 0} durch
g : R+ ×(0, 2π)→R, (r, φ) 7→ r
gegeben. Vorsicht : Manchmal wird g wieder mit f bezeichnet, f (x, y) = f (r)“
”
oder f (x, y) = f (x(r, φ), y(r, φ)).
9.8
Erinnerung und Definition (regulärer und singulärer
Punkt/Wert)
Ist f : B→Rk differentierbar, so heißt x ∈ B regulärer Punkt, falls dfx surjektiv
ist, sonst heißt x ∈ B singulärer Punkt ; y ∈ Rk heißt regulärer Wert, falls f −1 (y)
nur aus regulären Punkten besteht, sonst heißt y ∈ Rk singulärer Wert.
Ist insbesondere B ⊆off Rk , so sind die regulären Punkte x ∈ B genau die,
für welche Jf (x) invertierbar ist.
9
60
DER UMKEHRSATZ
9.9
Satz (vom regulären Punkt)
Ist B ⊆off Rn , x0 ∈ B regulärer Punkt von f : B→Rk (also insbesondere n ≥ k),
d.h.
rg(fx0 ) = rg(Jf (x0 )) = k
so gibt es lokale C ∞ -Koordinaten so, dass f in diesen Koordinaten durch die
Projektion gegeben ist, genauer: es gibt eine Umgebung U von x0 und einen
Diffeomorphismus h : U →U ′ so, dass
f˜ = f ◦h−1 = prk
gilt, wobei
prk : Rn →Rk
die Projektion auf die ersten k Koordinaten ist.
Beweis:
Sei f : B→Rk , Jf (x0 ) ∈ Hom(Rn , Rk ) surjektiv.
Sei A ∈ Hom(Rn , Rn−k ) so, dass
Jf (x0 )
R →R , x 7→
A
n
n
ein Isomorphismus ist für x = x0 .
f (x)
Setze F : Rn →Rn , x 7→
.
Ax
Dann ist JF (x) =
Jf (x)
.
A
Dann ist F an der Stelle x0 ein lokaler Diffeomorphismus.
9
61
DER UMKEHRSATZ
Seien U, V ⊆off Rn , so, dass F |U : U →V ein Diffeomorphismus ist, x0 ∈ U .
Sei φ = F −1 .
Dann ist
(F ◦φ)(x1 , . . . , xk , xk+1 , . . . , xn ) = (f (φ(x)), Aφ(x))
|
{z
}
x
⇒ (f ◦φ)(x) = prk (x)
⇒ Setze h := φ−1 . 2
Nächste Anwendung des Umkehrsatzes: Auflösen von Gleichungssystemen:
f1 (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yk )
..
.
=
c1
..
.
(22)
fk (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yk ) = ck
Wann lässt sich 22 nach y auflösen?
9.10
Definition (der lokalen Auflösbarkeit)
Sei B ⊆off Rn ×Rk , f = (f1 , . . . , fk ) : B→Rk eine C r -Abbildung mit r ≥ 1. Sei
c ∈ Rk und (x0 , y0 ) ∈ B mit f (x0 , y0 ) = c. f (x, y) = c heißt lokal bei (x0 , y0 )
nach y auflösbar, wenn es offene Umgebungen U , V von x0 gibt und eine differentierbare Abbildung g : U →V so, dass für (x, y) ∈ U ×V gilt:
f (x, y) = c ⇔ y = g(x)
9.11
Beispiel
n = k = 1, f (x, y) = x2 + y 2 , c = 1
9
62
DER UMKEHRSATZ
f (x, y) = 1 ist lokal bei (0, 1) nach y auflösbar:
U = (−1, 1), V = (0, 2)
p
g : (−1, 1)→(0, 2), x 7→ 1 − x2
f (x, y) = 1 ist bei (1, 0) nicht lokal nach y auflösbar.
9.12
Satz
Sei B ⊆off Rn ×Rk , f : B→Rk eine C r -Abbildung, r ≥ 1. Sei c ∈ Rk und (x0 , y0 ) ∈ B
mit f (x0 , y0 ) = c. Ist


∂f1
∂f1
∂y1 (x0 , y0 ) . . .
∂yk (x0 , y0 )


∂f
..
..
 ∈ GL(k, R)
(x0 , y0 ) := 
.
.


∂y
∂fk
∂fk
(x
,
y
)
(x
,
y
)
.
.
.
0 0
0 0
∂y1
∂yk
so gibt es eine C r -Abbildung g : U →V , U ⊆off Rn , V ⊆off Rk , (x0 , y0 ) ∈ U ×V
so, dass für (x, y) ∈ U ×V gilt:
f (x, y) = c ⇔ y = g(x)
Es gilt dann:
Jg (x) = −(
∂f
∂f
(x, g(x)))−1 · (x, g(x))
∂y
∂x
Beweis:

∂f
(x, y)

Es ist Jf (x, y) = |∂x {z }
,
n
Sei F : B→Rn+k , F (x, y) =
JF (x, y) =

∂f
(x, y) 
 k
∂y
| {z } 
k
x
f (x, y)
1
∂f
(x,
y)
∂x
, dann ist
0
∈ GL(n, R)
∂f
∂y (x, y)
für (x, y) = (x0 , y0 ).
Sei W ⊆ B, W ′ = F (W ), so, dass F |W : W →W ′ ein Diffeomorphismus
ist, o.B.d.A.W = W1 + W2 .
|{z} |{z}
⊆ Rn
⊆ Rk
Sei Φ = F −1 .
Dann ist (x, y) = Φ(F (x, y)) = Φ(x, f (x, y))
⇒ Φ(x′ , y ′ ) = (x′ , g̃(x′ , y ′ )) für g̃ : W ′ →W2 .
9
63
DER UMKEHRSATZ
Dann ist
(x′ , y ′ ) = F (Φ(x′ , y ′ )) = (x′ , f (x′ , g̃(x′ , y ′ )))
für alle (x′ , y ′ ) ∈ W ′ , also
f (x′ , g̃(x′ , c)) = c
für alle x′ mit (x′ , c) ∈ W ′ .
Setze U = x ∈ Rk | (x, c) ∈ W ′ , V = y ∈ Rk | (x, y) ∈ W ∧ x ∈ U .
Dann ist g : U →V , g(x) = g̃(x, c) die gesuchte Funktion. Es ist f (x, g(x)) =
c für alle x ∈ U .
⇒
∂
∂xj (f (x, g(x)))
⇒
∂fl
∂xj (x, g(x))
+
= 0 für alle j.
k
P
∂fl ∂gi
( ∂y
·
(x, g(x))) = 0.
i ∂xj
i=1
⇒ Behauptung. 2
9.13
Beispiele
9.13.1
Beispiel 1
f (x, y) = x2 + y 2
∂f
= 2y 6= 0 ⇔ y 6= 0
∂y
d.h., f (x, y) = 1 ist genau dann nach y auflösbar an der Stelle (x0 , y0 ), wenn
y0 6= 0.
9.13.2
Beispiel 2
cos(φ)
, r>0
r2
In kartesischen Koordinaten ist V gegeben durch
V (r, φ) =
x
Ṽ (x, y) = p
3
x2 + y 2
An welchen Stellen ist V (r, φ) auflösbar nach r?
nπ
o
∂V
2·cos(φ)
6= 0 ⇔ φ 6∈
=−
+ kπ | k ∈ Z
3
∂r
r
2
9
64
DER UMKEHRSATZ
Potentialfeld des Dipols
√
x
x2 +y 2
10
3
5
z
0
-5
-10
-2
-1.5
-1
-0.5
0
y
0.5
1
1.5
2
-2
0 -0.5 -1 -1.5
2 1.5 1 0.5 x
Wann ist Ṽ nach y auflösbar?
∂ Ṽ
3
xy
(x, y) = − · p
2
∂y
5
x + y2
Äquipotentiallinien des Dipols
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x
Ṽ (x, y) = c ist für x 6= 0 und y 6= 0 nach y auflösbar.
y
65
10 FLÄCHEN
10
Flächen
Ziel: Bisher betrachtet: f : B→Rk , B ⊆off Rn (z.B. B = (a, b) ⊆ R, f : B→Rk
(x)
) existiert.)
differentierbar, wenn lim ( f (x+h)−f
h
h→0
Jetzt sollen als Definitionsbereich von f allgemeinere Teilmengen von Rn zugelassen werden, z.B.
f : M →R, M = (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1 ≡ S 1
Fragen:
⊲ Wann ist f differentierbar?
x
⊲ Wann hat f Extrema? Z.B. f : S →R, f (
) = y hat Extrema bei
y
0
±1
1
0
aber grad(f ) =
6= 0.
1
66
10 FLÄCHEN
⊲
R
(f ) dx ?
M
Anwendungen:
⊲ M durch Nebenbedingungen“, z.B. durch den Aufenthaltsort des Teil”
chens, beschrieben
⊲ Allgemeine Relativitätstheorie (ART)
10.1
Definition (der Untermannigfaltigkeit (-skarte, -sgebiet))
& Satz
Eine Teilmenge M ⊆ Rn heißt eine k-dimensionale Fläche oder eine k-dimensionale
Untermannigfaltigkeit des Rn , falls eine der beiden äquivalenten Bedingungen
erfüllt sind:
1. Für jedes p ∈ M gibt es eine offene Umgebung W ⊆off Rn und einen Diffeomorphismus H : W →W ′ (mit W ′ ⊆ Rn ) so, dass
H(W ∩ M ) = (Rk ×0) ∩ W ′
ist.
2. Für jedes p ∈ M gibt es eine offene Umgebung W und eine differentierbare
Funktion F : W →Rn−k so, dass für einen regulären Wert q ∈ Rn−k gilt:
M ∩ W = F −1 (q)
Eine Abbildung H : W →W ′ wie in 1. heißt dann Untermannigfaltigkeitskarte
oder ein Flachmacher für M . Man sagt auch, (W, H) ist Untermannigfaltigkeitskarte oder auch H ist Untermannigfaltigkeitskarte und W ist ein Untermannigfaltigkeitsgebiet.
Beweis der Äquivalenz:
1. ⇒ 2.:
Sei (W, H) eine Untermannigfaltigkeitskarte.
67
10 FLÄCHEN
Dann ist F : W →Rn−k , x 7→ prn−k ◦H(x), wobei prn−k : W ′ →Rn−k
die Projektion auf die letzten n − k-Komponenten ist.
Damit ist F −1 ( |{z}
0 ) = W ∩ M.
∈ Rn−k
2. ⇒ 1.:
9.9 und Vertauschen der ersten k mit den letzten (n−k)-Komponenten.
2
Wichtigste Möglichkeit, um nachzuweisen, dass M ⊆ Rn eine Fläche ist: 10.2.
10.2
Korollar (Satz vom regulären Wert)
Ist F : Rn →Rn−k , q ∈ Rn−k regulärer Wert von F , so ist F −1 (q) ⊆ Rn eine
k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn .
10.3
Beispiele
10.3.1
Beispiel 1
n
o
S n = x ∈ Rn+1 | ||x||2 = 1 ⊆ Rn+1
2
ist eine n-dimensionale Fläche: Sei F : Rn+1 →R, x 7→ ||x|| . Dann ist grad(F (x)) =
2x. S n = F −1 (1). 1 ist regulärer Wert von F , denn
grad(F (x)) = 0 ⇔ x = 0 und 0 6∈ F −1 (1)
10.3.2
Beispiel 2
{(x, y) ∈ R | x = 0 oder y = 0}
ist keine Untermannigfaltigkeit des R2 .
68
10 FLÄCHEN
10.4
Definition (des (Untermannigfaltigkeits-)altas’, der
Projektion, der Karte und des Kartenwechsels)
1. Sei M ⊆ Rn eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Eine Familie (Wλ , Hλ )λ ∈ Λ
S
(Wλ )
von Untermannigfaltigkeiten heißt Untermannigfaltigkeitsatlas, falls es M ⊆
λ∈Λ
gibt.
2. Sei (W, H) eine Untermannigfaltigkeitskarte für M , so heißt h : U → |{z}
U′ ,
⊆ Rk
wobei U = W ∩ M , h := prk ◦H|U , prk die Projektion auf die ersten kKomponenten, eine Karte für M .
Wir schreiben auch (U, h) ist Karte für M oder h : U →U ′ ist Karte für
M.
Dabei ist
U ′ = h(U ) = prk ((Rk ×0) ∩ W ′ ) ⊆off Rk
(prk ist hier die Projektion auf die ersten k Komponenten). Ein Atlas für
eine Untermannigfaltigkeit M ist eine Familie von Karten (Uλ , hλ )λ ∈ Λ
S
(Uλ ).
so, dass M =
λ∈Λ
69
10 FLÄCHEN
3. Sind (U1 , h1 ) und (U2 , h2 ) Karten für M , U := U1 ∩ U2 6= ∅.
Dann heißt
h2 ◦h−1
1 |h1 (U ) : h1 (U )→h2 (U )
der Kartenwechsel zwischen h1 und h2 .
10.5
Bemerkung (Differentierbarkeit von Karten)
Karten haben eine anschaulichere Bedeutung als Untermannigfaltigkeitskarten,
aber Vorsicht: Es ist nicht möglich (bisher!), zu definieren, wann
U′
h : |{z}
U → |{z}
⊆M
⊆ Rk
differentierbar ist.
Z.B. ist M = {(x, |x|) | x ∈ R} nach unserer Definition keine Untermannigfaltigkeit, aber h : M →R, (x, |x|)→x ist bijektiv und stetig.
10.6
Notiz
Ist M eine Untermannigfaltigkeit, (U1 , h1 ) und (U2 , h2 ) Karten, so ist der Kartenwechsel
h1 (U )→h2 (U )
| {z } | {z }
⊆ Rk
⊆ Rk
ein Diffeomorphismus. Dabei ist U = U1 ∩ U2 , denn
−1
h2 ◦h−1
1 = prk ◦H2 ◦H1 ◦i
wobei i : h1 (U )→W1′ die Inklusion und
U1
=
h1
W1′
=
=
W1 ∩ M
H1 |U1 (???)
H1 (W1 )
70
10 FLÄCHEN
10.7
10.7.1
Beispiele
Beispiel 1
n
Sei f : R →R differentierbar.
Γ(f ) := {(x, f (x)) | x ∈ Rn } ⊆ Rn+1
ist eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn+1 .
⊲ Untermannigfaltigkeitsatlas: W = Rn+1 , H : (x, y) 7→ (x, y − f (x))
| {z }
{z
}
|
Rn+1
Rn+1
⊲ Atlas: U = Γ(f ), h : (x, f (x)) 7→ x
Ausnahmefall : es genügt hier eine Untermannigfaltigkeitskarte.
10.7.2
Beispiel 2
Sei M ⊆off Rn . Dann ist M eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn .
Wähle W = M , H = id.
10.7.3
Beispiel 3
Ist M = {p1 , p2 , . . .} ⊆ Rn eine abzählbare Menge isolierter Punkte, so ist M
eine 0-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn . Sei nämlich Wj = Uǫj (pj ) =
{x ∈ Rn | ||x − pj || < ǫ} so, dass Wj ∩ M = {pj } (existiert, da M aus isolierten
Punkten besteht).
→ Wj′ = Uǫj (0)
Hj : Wj
x 7→ x − pj
Dann gilt:
[
(Wj ) = M
j=1
10.7.4
Beispiel 4
n
o
2
M = S 1 = x ∈ R2 | ||x|| = 1 ist Untermannigfaltigkeit nach 10.3.1. Untermannigfaltigkeitskarten sind z.B. durch Polarkoordinaten gegeben.
W1 = R2 \ (x, y) ∈ R2 | y = 0, x ≥ 0
W2 = R2 \ (x, y) ∈ R2 | y = 0, x ≤ 0
71
10 FLÄCHEN
⇒ M ⊆ W1 ∩ W2 = R2 \{0}
Erinnere:
F : R+ ×(0, 2π)→W1 , (r, φ) 7→ (r·cos(φ), r·sin(φ))
{z
}
|
W1′
ist ein lokaler Diffeomorphismus.
F −1 (S 1 ∩ W1 ) = {1} ∩ (0, 2π)
Setze
mit
H1 : W1 →(0, 2π)×{t ∈ R | t > −1} =: W1′
H1−1 : (φ, t) 7→ ((t + 1)·cos(φ), (t + 1)·sin(φ))
Also
H1 ( S 1 ∩ W1 ) = (0, 2π)×{0}
| {z }
U1 := S 1 \{1}
(h1 : S 1 \0→(0, 2π), (cos(φ), sin(φ)) ←[ φ)
H1 : W1
→
(x, y) 7→
W1′

(arccos1 ( √
p
x
), x2
x2 +y 2 p
(arccos2 ( √ 2x 2 ), x2
x +y
+ y 2 − 1) y ≥ 0
+ y 2 − 1) y ≤ 0
72
10 FLÄCHEN
mit
arccos1
:=
(cos|[0, π])−1
arccos2
:=
(cos|[π, 2π])−1
Nun
H2 : W2 → W2′ = (−π, π)×{t ∈ R | t > −1}
((t + 1)·cos(φ), (t + 1)·sin(φ)) ←[ (φ, t)
Kartenwechsel:
h2 ◦h−1
1 : (0, 2π)\{π} → (−π, π)\{0}
φ
φ<π
φ 7→
φ − 2π φ > π
h1 (U1 ∩ U2 ) =
h2 (U1 ∩ U2 ) =
10.7.5
(0, 2π)\{π}
(−π, π)\{0}
Beispiel 5
x2
y2
z2
E = (x, y, z) ∈ R3 | 2 + 2 + 2 = 1 , a, b, c > 0
a
b
c
73
10 FLÄCHEN
Ellipsoid (offen Zwecks besserer Erkennbarkeit)
Karten analog wie für S 2 . E ist Untermannigfaltigkeit: E = F −1 (1)
F : R3 →R, (x, y, z) 7→
x2
y2
z2
+
+
a2
b2
c2
Jacobi-matrix:
JF (x, y, z) = (
2x 2y 2z
, , ) 6= 0 ⇔ (x, y, z) 6= 0
a 2 b 2 c2
Aber (0, 0, 0) 6∈ E. Also besteht E nur aus regulären Punkten von F , F ist also
2-dimensionale Untermannigfaltigkeit von R3 .
10.7.6
Beispiel 6
O(n) ist eine
O(n) := A ∈ GL(n, R) | T A·A = 1
n(n−1)
-dimensionale
2
2
Untermannigfaltigkeit von Rn = M(n×n, R).
F : M(n×n, R) → Sym(n×n, R) = B ∈ M(n×n, R) | T B = B
A 7→
dFA (X)
| {z }
=
T
A·A
d
|t=0
dt
T
(A + tX)·(A + tX) =T X·A +T A·X
JF (AX)
⊲ Ist
1 regulärer Wert von F .
⊲ Ist für alle A ∈ F −1 (1) = O(n) dann dFA surjektiv?
Sei B ∈ Sym(n×n, R), also B =
dFA (X) =
1 T
( B
2
B+T B
.
2
T
AA}
| {z
=1, da A ∈ O(n)
Setze X = 21 ·A·B. Dann ist
+T AAB) =
1 T
( B + B) = B
2
74
10 FLÄCHEN
⇒ dFA ist surjektiv für alle A ∈ O(n)
⇒
1 ist regulärer Wert
= 21 n(n − 1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit von
⇒ O(n) ist n2 − n(n+1)
2
2
M(n×n, R) = Rn .
Beispiele 3.-5. zeigen, dass es oft leichter ist, H −1 bzw. h−1 als H anzugeben.
Im Folgenden werden wir ein Kriterium suchen, dass erlaubt, nachzuweisen, dass
M eine Untermannigfaltigkeit ist, falls nur h−1 bekannt ist.
10.8
Definition (der lokalen Parametrisierung)
Ist M ⊆ Rn eine k-dimensionale Fläche, (W, H) eine Untermannigfaltigkeitskarte, (U, h) die dadurch gegebene Karte h : (U = W ∩ M )→U ′ ⊆ Rk . Dann
heißt
φ := h−1 : U ′ →U ⊆ Rn
die durch h gegebene lokale Parametrisierung von M (oder von U ⊆ M ).
10.9
Beispiel
φ : (0, 2π)→S 1 ⊆ R2 , t 7→ (cos(t), sin(t))
ist eine lokale Parametrisierung von S 1 \{1}.
10.10
Notiz (Aussagen über lokale Parametrisierungen)
Für jede lokale Parametrisierung gilt:
1. φ : U ′ →Rn ist injektiv und φ(U ′ ) ⊆off M , U ′ ⊆off Rn .
2. φ ist stetig, φ−1 ist stetig.
3. φ ist differentierbar und Jφ (x) ist injektiv; Vorsicht: φ−1 = h. Es ist nicht
sinnvoll (bisher!) über Differentierbarkeit von φ−1 zu sprechen.
75
10 FLÄCHEN
10.11
Erinnerung
Zu finden in den Kapiteln (6.1 - 6.5), (9.1 - 9.5), (9.25) im Script Margarita
”
Kraus - Mathematik für Physiker I“.
Sei U ⊆ M ⊆ R. Dann heißt U offen in M
⇔ ∀
M
′
′
∃ Uǫ (x) := {x ∈ M | ||x − x|| < ǫ} ⊆ U
x ∈ U ǫ>0
z.B.
[0, ǫ) ⊆ [0, 1] offen in [0, 1]
U ⊆ M ist genau dann offen in M , wenn es eine offene Teilmenge W ⊆ Rn in
Rn gibt, so dass
U =W ∩M
z.B.
(−ǫ, ǫ) ⊆ R offen in R, (−ǫ, ǫ) ∩ [0, 1) = [0, ǫ)
Sind X, Y metrische Räume, z.B. X ⊆ Rn , Y ⊆ Rk . Dann heißt f : X→Y
stetig an der Stelle x ∈ X, falls gilt:
∀ ∃ : f (Uδ (x)) ⊆ Uǫ (f (x))
ǫ>0δ>0
Ist F : Rn →Rk stetig, so auch F |X.
Warnung: Ist f : X→Y stetig und bijektiv, so ist nicht notwendig f −1 :
Y →X stetig, z.B.
φ : [0, 2π)→S 1 ⊆ R2 , t 7→ (cos(t), sin(t))
φ ist offenbar stetig und bijektiv. φ−1 ist offenbar“ nicht stetig (Beweis nicht
”
so einfach).
10.12
Satz
Eine Teilmenge M ⊆ Rn ist genau dann eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit, wenn für jedes p ∈ M eine offene Umgebung U ⊆ M existiert und eine
offene Teilmenge U ′ ⊆ Rk existiert, so wie eine Bijektion φ : U ′ →U so, dass gilt:
1. φ ist stetig
2. φ−1 ist stetig
76
10 FLÄCHEN
3. φ ist differentierbar
4. Jφ (x) hat Rang k für alle x ∈ U ′
Beweis:
⇒“:
”
10.10
⇐“:
”
Angenommen, φ existiert.
Sei x = φ−1 (p).
Sei A ∈ Hom(Rn−k , Rn ) so, dass
A
Jφ (x) |{z}
n ∈ GL(n, R) (möglicherweise wegen 4.)
| {z }
n−k
k
Dann ist
Φ : U ′ ×Rn−k →Rn , (x′ , y) 7→ φ(x′ ) + Ay
bei (x, 0) ein lokaler Diffeomorphismus.
Φ(x′ , 0) = φ(x′ ) für x′ ∈ U ′ .
Sei W ′ , W ⊆off Rn so, dass Φ|W ′ : W ′ →W ein Diffeomorphismus ist
und (x, 0) ∈ W ′ .
Dann ist (mit M ∩ W = U , da φ−1 stetig . . . ) H : W →W ′ , H = Φ−1
die gesuchte Untermannigfaltigkeitskarte.
10.13
Bemerkung
1. Ein Beispiel für φ : R→R3 , das alle Bedingungen aus 10.12 bis auf φ−1
stetig erfüllt, ist in den Übungen gegeben. φ(R) ⊆ R3 ist dann keine Untermannigfaltigkeit.
2. M = (x, y, z) ⊆ R3 | z = x2 − y 2 :
φ : R2 →R3
2
φ(R ) = M
φ : M →R2
−1
, φ(x, y) = (x, y, x2 − y 2 )
, (x, y, z) 7→ (x, y)
77
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL
11
Tangentialraum und Differential
Seien f : M →N , M , N Untermannigfaltigkeiten.
⊲ Wann ist f differentierbar?
⊲ Was ist das Differential / df ?
⊲ Wie bestimmt man Extrema? (N = R)
11.1
Definition und Notiz
Eine stetige Abbildung zwischen 2 Untermannigfaltigkeiten M und N heißt
differentierbar an der Stelle p, wenn für eine (und dann jede) Wahl von Karten
(U, h), (V, k) um p und f (p) mit f (U ) ⊆ V gilt, dass die Abbildung
f
(h,k)
f
: U′
(h,k)
(x)
→
=
V′
k◦f ◦h−1 (x)
an der Stelle x = h(p) differentierbar ist.
f heißt differentierbar, wenn es an jeder Stelle p ∈ M differentierbar ist. Sind
(U, h̃), (V, k̃) weitere Karten um p, so ist
f
(h̃,k̃)
= (k◦k̃ −1 )−1 ◦f
(h,k)
◦(h◦h̃−1 )
(h,k)
(23)
differentierbar an
genau dann differentierbar an der Stelle h̃(p), wenn f
der Stelle h(p) ist, da die Kartenwechsel k◦k̃ −1 und h◦h̃−1 nach Abschnitt 10
Diffeomorphismen sind.
11.2
Bemerkung
Damit sind insbesondere alle Karten differentierbare Abbildungen.
78
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL
11.3
Lemma
1. Ist f : M →Rm differentierbar bei p ∈ M und M ⊆ Rn eine Untermannigfaltigkeit, so existiert eine offene Umgebung W von p in Rn und F :
W →Rm differentiertbar bei p so, dass F |M ∩ W = f |M ∩ W .
2. M ⊆ W ⊆off Rn , F : W →Rm differentierbar, so ist auch F |M =: f :
M →Rm differentierbar.
Beweis:
Ü.a.
Spezialfall von 1.: Sei f : M →Rm und M ⊆ Rn eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit. f ist differentierbar an der Stelle p ⇔ f ◦φ differentierbar an der
Stelle h(p) für jede lokale Parametrisierung φ um p.
11.4
Definition (des Diffeomorphismus’ und regulären Punkts/Werts)
und Notiz
diffb.
Seien M , N Untermannigfaltigkeiten von Rm und Rn , f : M −→N .
79
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL
1. Eine Abbildung f : M →N heißt ein Diffeomorphismus, falls f bijektiv,
differentierbar und f −1 differentierbar ist.
2. p ∈ M heißt regulärer Punkt, falls
(rg(f ))(p) := rg(Jf (h,k) (h(p))) = dim(N )
(h,k)
ist, wobei f
gulärer Punkt.
wie in 11.1 gegeben. Sonst heißt p kritischer oder sin-
q ∈ N heißt regulärer Wert, falls f −1 (q) nur aus regulären Punkten besteht. Diese Definitionen sind unabhängig von der Wahl der Karten h und
k, wegen 23 in 11.1, da die Kartenwechsel jeweils Diffeomorphismen sind.
11.5
Korollar
Eine Familie (Uλ , hλ )λ ∈ Λ (Uλ ⊆ M , hλ : Uλ →Uλ′ , Uλ′ ⊆off Rk , hλ ein Diffeomorphismus) ist genau dann ein Atlas für eine k-dimensionale Mannigfaltigkeit
S
M , wenn
(Uλ ) = M .
λ∈Λ
11.6
Korollar (Satz vom regulären Wert)
Seien M ⊆ Rm und N ⊆ Rn Untermannigfaltigkeiten der Dimension k und l,
diffb.
f : M −→ N . Sei q ∈ N regulärer Wert von f , d.h.
rg(f (p)) = l für alle p mit f (p) = q
Dann ist f
Beweis:
−1
(q) ⊆ M eine k − l-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rm .
Wähle Karten (U, h) und (V, k) um p ∈ M und q ∈ N .
Dann ist h(p) regulärer Punkt von k◦f ◦h−1 = f
(h,k)
.
Damit folgt die Behauptung aus dem Satz vom regulären Punkt 9.9. 2
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL
11.7
80
Definition (des Tangentialraums) und Lemma
Sei M eine k-dimensionale Fläche im Rn , φ : U ′ →U ⊆ Rn eine lokale Parametrisierung um p ∈ U von M . Dann ist der Tangentialraum von M an der Stelle
p durch
Tpunter(M ) ≡ Tp (M ) = Bild(Jφ (h(p)))
wobei h = φ−1 , unabhängig von der Wahl der Parametrisierung um p wohldefiniert. Tp (M ) ist ein k-dimensionaler Vektorraum.
Beweis:
Tp (M ) = Bild(Jφ (h(p)))
1.:
Tp (M ) ist offenbar ein k-dimensionaler Vektorraum, da er Bild der
injektiven linearen Abbildung Jφ (h(p)) : Rk →Rn ist.
2.:
Seien φ : U ′ →U und ψ : V ′ →V 2 Parametrisierungen um p ∈ M
oBdA U = V (ansonsten ersetze U und V durch U ∩ V ).
Seien h = φ−1 und k = ψ −1 die zugehörigen Karten und ω = k◦φ
der Kartenwechsel zwischen h und k.
81
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL
Nach 10.6 ist ω ein Diffeomorphismus, also ψ◦ω = φ und dann
Kettenregel
z}|{
=
Bild(Jφ ( |{z}
x )) = Bild(Jψ◦ω (x))
∈
U′
Bild(Jψ (ω(x))· Jω (x) )
| {z }
∈ GL(k,R)
=
Bild(Jψ (ω(x)))
Also für x = h(p):
Bild(Jφ (h(p))) = Bild(Jψ (k(p)))
11.8
Definition (der (Koordinanten-)basis) und Notiz
′
Ist φ : U →U eine lokale Parametrisierung um φ(x) = p, so ist durch
∂1 (p) = Jφ (x)·e1 , . . . , ∂k (p) = Jφ (x)·ek
eine Basis von Tp (M ), die sogenannte (durch h = φ−1 gegebene) Koordinaten”
basis“ gegeben.
11.9
Beispiele
11.9.1
Beispiel 1
f : Rk →R differentierbar, Γ(f ) = (x, f (x)) | x ∈ Rk ⊆ Rk+1 .
Eine Parametrisierung von f ist durch φ : Rk →Rk+1 , x 7→ (x, f (x)) gegeben.
1k×k
}k
Jφ (x) =
∂f
∂f
}1
. . . ∂x
∂x1
|
{z k
}
k
Also ist eine Basis von Tp (M ), p = (x0 , f (x0 )) durch
 



0
1

 0   1 
 




 0   0 
, 
, . . . , 

..
..
 



 



.
.
∂f
∂x1 (x0 )
∂f
∂x2 (x0 )
0
..
.




0 

1 
∂f
∂xk (x0 )
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL
82
gegeben. Insbesondere für k = 1:
11.9.2
1
∂f
(x
0)
∂x
Beispiel 2
M = S 1 , φ : (0, 2π)→S 1 \|{z}
1 , t 7→T (cos(t), sin(t)). Sei p ∈ S 1 \1, p = (cos(t0 ), sin(t0 )).
(1,0)
Dann ist Jφ (t0 ) =
11.10
−sin(t0 )
−sin(t0 )
. ⇒ Tp (S 1 ) = R·
.
cos(t0 )
cos(t0 )
Satz
Es gilt: Tp (M ) = {γ̇(0) | γ : (−ǫ, ǫ)→M differentierbar, γ(0) = p} (Vorteil: Beschreibung unabhängig von φ).
Beweis:
⊆“:
”
Sei v ∈ Tp (M ).
Dann existiert ein v ′ ∈ Rk mit Jφ (h(0))v ′ = v.
Sei γ(t) = φ(h(p) + tv ′ ).
Dann ist γ(0) = p und γ̇(0) = Jφ (h(p))(v ′ ) = v.
83
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL
⊇“:
”
Sei γ : (−ǫ, ǫ)→M .
Sei v ′ :=
d
dt |t=0 (k◦γ).
Dann ist
γ̇(0) =
=
d
|t=0 (φ◦h◦γ)
dt
d
Jφ (h(γ(0))) |t=0 (h◦γ)
dt
|
{z
}
v′
⇒ γ̇(0) ∈ Tp (M ).
11.11
Definition (der repräsentativen Kurve)
Ist γ : (−ǫ, ǫ)→M mit γ(0) = v, so heißt γ eine repräsentative Kurve. Man
schreibt auch v = [γ]. Vorsicht : γ nicht eindeutig durch v bestimmt.
11.12
Beispiel
X ∈ so(n) = A ∈ M(n×n, R) | T A = −A
⇒ γ : R→O(n), γ(t) = etX ist eine differentierbare Kurve mit γ(0) =
γ(t) ∈ O(n), denn
T
T tX
(e ) = et X = e−tX
1.
⇒ T (etX )·etX = e−tX+tX = 1 ⇒ etX ∈ O(n) für alle t. γ̇(0) = X und dim(so(n)) =
1
2 n(n − 1) = dim(O(n)). ⇒ T1 (O(n)) = so(n)
Jetzt: 3. Möglichkeit, um Tp (M ) zu berechnen.
11.13
Satz (Tangentialraum aus der Koordinantengleichung)
diffb.
Sei ψ : Rn −→Rn−k , q ∈ Rn−k regulärer Wert, M = ψ −1 (q), p ∈ M . Dann ist
Tp (M ) = kern(Jψ (p))
⊥
= span({gradp (ψ1 ), . . . , gradp (ψn−k )})

ψ1


wobei ψ =  ... , also ψi : Rn →R und für einen Untervektorraum V ⊆ Rn
ψn−k
ist V ⊥ := {w ∈ Rn | hv |wi = 0 für alle v ∈ V }.

Beweis:
84
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL
Sei v ∈ Tp (M ).
Dann gibt es γ : (−ǫ, ǫ)→M mit γ(0) = p, γ̇(0) = v.
Es ist ψ(γ(t) ) = q für alle t ∈ (−ǫ, ǫ).
|{z}
∈M
⇒ Jψ (p)(γ̇(0)) = 0,
|{z}
=v
⇒ Tp (M ) ⊆ kern(Jψ (p)).
⇒ Tp (M ) = kern(Jψ (p)), da beide Vektorräume der Dimension k (bzw.
(n − (n − k))) sind.


Es ist Jψ (p) = 
T
T

grad(ψ1 )

..
.
.
grad(ψn−k )
Also
v ∈ kern(Jψ (p))
⇔ hgradp (φi ) |vi = 0 für alle i ∈ {1, . . . , n − k}
⊥
⇔ v ∈ span({gradp (ψ1 ), . . . , gradp (ψn−k )}) 2
11.14
Beispiele
11.14.1
Beispiel 1
2
M = S = ψ −1 (1), ψ : Rn+1 →R, ψ(x) = ||x|| . grad(ψ) = 2x, Tp (S n ) = (Rp)⊥ .
n
Z.B. p =
√1
2
√1
2
!
⇒ Tp (S 1 ) = R·
√1
2
− √12
!
.
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL
11.14.2
85
Beispiel 2
M = O(n). Erinnerung:
O(n) =
SO(n) =
so(n) =
Bereits gezeigt:
A ∈ GL(n, R) | T A = AT A = 1
{A ∈ O(n) | det(A) = 1}
A ∈ M(n×n, R) | T A + A = 0
⊲ M = F −1 (1), wobei
⊲ F : M(n×n, R)→Sym(n×n, R), A 7→T AA
⊲ dFA (X) =T AX +T XA (10.7.6)
In 11.12 T1 (O(n)) = so(n) mittels T1 (O(n)) = {γ̇(0) | . . .} berechnet. Zeige
jetzt das selbe Ergebnis mit 11.13.
T1 (O(n)) =
=
11.15
kern(dF1 ) mit dF1 (X) = X +T X
so(n)
Definition (des Normalen(einheits)felds)
Sei M ⊆ Rn eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Unter einen (stetigem
/ differentierbaren) Normalenfeld N auf M versteht man eine (stetige / differentierba) Abbildung N : M →Rn mit N (x) ∈ Tx (M )⊥ . N heißt Normaleneinheitsfeld, falls ||N (x)|| = 1 für alle x ∈ M gilt.
11.16
Beispiel
diffb.
Ist ψ : Rn −→Rn−k , q ∈ Rn−k regulärer Wert, M = ψ −1 (q), dann sind durch
Ni (x) =
grad(ψi (x))
, x ∈ M, i = 1, . . . , n − k
||grad(ψi (x))||
differentierbare Normaleneinheitsfelder gegeben. Z.B. M = S n :
Dann ist N (x) = x ein differentierbares Normaleneinheitsfeld auf S n .
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL
11.17
86
Definition (der Orientierbarkeit)
Eine (n − 1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn heißt orientierbar, falls
es ein stetiges Normaleneinheitsfeld auf M gibt.
11.18
Notiz (der Orientierung, Orientierungs -erhaltung
und -umkehrung)
Auf einer zusammenhängenden orientierbaren (n− 1)-dimensionalen Untermannigfaltigkeit von Rn gibt es genau 2 verschiedene stetige Normaleneinheitsfelder.
11.19
Definition
Ein stetiges Normaleneinheitsfeld N auf einer (n − 1)-dimensionalen Untermannigfaltigkeit des Rn heißt Orientierung auf M . M zusammen mit N heißt dann
eine orientierte Untermannigfaltigkeit. Eine Basis (v1 , . . . , vn−1 ) von Tx (M )
heißt positiv orientiert, falls (N (x), v1 , . . . , vn−1 ) positiv orientiert in Rn ist,
d.h., falls det(N (x), v1 , . . . , vn−1 ) > 0 ist.
Eine Karte (U, h) einer orientierten Untermannigfaltigkeit heißt orientierungserhaltend, falls die durch h gegebene Koordinatenbasis positiv orientiert
ist, andernfalls heißt die Basis negativ orientiert und (U, h) orientierungsumkehrend.
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL
11.20
Beispiele
11.20.1
Beispiel 1
87
Ist M = ψ −1 (0), 0 regulärer Wert von ψ : Rn →R, so ist M orientierbar und
durch
grad(ψ(x))
N (x) =
||grad(ψ(x))||
ist eine Orientierung auf M gegeben.
88
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL
cos(t)
cos(t)
N(
)=
sin(t)
sin(t)
−sin(t)
1
0
1
Positiv orientierte Basis von T
(S ):
.
cos(t)A
cos(t)
@
sin(t)
11.20.2
Beispiel 2 - Möbiusband
Nicht orientierbar: z.B. Möbiusband (vgl. Ü.a.), hier aus 3 Perspektiven:
Möbius Band
Möbius Band
hypothetisches NEF
2
z 1
0
-1
-2
-3
-2
-1
x
0
1
2
3 -3
-2
-1
0
1
y
2
3
89
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL
Möbius Band
Möbius Band
hypothetisches NEF
2
1
0
z
32
10
-1
-2
3 -3
-1
-2 -3
-2
-1
x0
1
2
y
Möbius Band
Möbius Band
hypothetisches NEF
2
1
0
z -1
-2 3
2
1
y
11.21
0
-1
-2
-3 -3
-2
-1
0
1
x
2
3
Definition und Notiz
diffb.
Ist f : M1 −→M2 eine Abbildung zwischen 2 differentierbaren Untermannigfaltigkeiten, dann ist für x ∈ M
dfx : Tx (M1 ) → Tf (x) (M2 )
d
|t=0 (f ◦γ)
[γ] 7→
dt
diffb.
eine lineare Abbildung wohldefiniert. Dabei ist γ : (−ǫ, ǫ) −→M1 , γ(0) = x
wohldefiniert und Linearität folgt aus 11.22.
90
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL
11.22
Notiz
diffb.
Ist F : W −→Rm , W ⊆off Rn , sind M1 ⊆ Rn , M2 ⊆ Rm Untermannigfaltigkeiten und ist F |W ∩ M1 = f . Dann ist für v ∈ Tx (M )
dfx (v) = dFx (v), x ∈ W ∩ M1
also
dfx = dFx |Tx (M1 )
Beweis:
Ist v ∈ Tp (M ), v = γ̇(0).
Dann ist JF (p)(v) =
11.23
d
dt |t=0 (F ◦γ)
=
d
dt |t=0 (f ◦γ)
Korollar (Kettenregel)
diffb.
diffb.
diffb.
Ist f : M −→N , g : N −→ L, so ist g◦f : M −→L und
d(g◦f )p = d(g)f (p) ◦d(f )p
= dfp (v).
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL
11.24
91
Definition (der Orientierungserhaltung von Diffeomorphismen)
Ein Diffeomorphismus f : M1 →M2 zwischen orientierten k-dimensionalen Flächen
im Rk+1 heißt orientierungserhaltend, wenn für eine (dann jede) positiv orientierte Basis v1 , . . . , vk von Tp (M1 ) gilt: (dfp (v1 ), . . . , dfp (vn )) ist eine positiv
orientierte Basis von Tf (p) (M2 ) für alle p ∈ M1 .
11.25
Spezialfall
Sei M ⊆off Rn , also eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn . Dann
folgt Tp (M ) = Rn , da eine Karte von M durch (U, h) mit U = M , h = id
lin.
gegeben ist. Dann ist dfp : Rn −→Rn , dfp = Jf (p).
11.26
Notiz (orientierungserhaltene Karte und orientierungsdefiniertes Normaleneinheitsfeld)
Sei M eine orientierte 2-dimensionale Fläche im R2+1 , (U, h) eine orientierungsU ′ ist orientierungserhaltend. Dann ist das
erhaltene Karte, d.h. h : |{z}
U → |{z}
⊆M
⊆ R2
orientierungsdefinierte Normaleneinheitsfeld auf U durch
N (p) =
=
∂φ
∂φ
∂x1 (h(p))× ∂x2 (h(p))
∂φ
∂φ
(h(p))× ∂x
(h(p))||
|| ∂x
1
2
∂1 φ×∂2 φ
||∂1 φ×∂2 φ||
gegeben, denn
det(u×v, u, v ) > 02
| {z }
=||u×v||2
11.27
Notiz (kritische Punkte)
diffb.
Ist f : M −→R und hat f an der Stelle p ein lokales Extremum, so hat für
jede Kurve γ : (−ǫ, ǫ)→M mit γ(0) = p dann f ◦γ an der Stelle 0 ein lokales
Extremum, also
d
|t=0 f ◦γ = 0 ⇔ dfp (γ̇(0)) = 0
dt
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL
92
also ist dann
dfp ≡ 0
lin.
Beachte: dfp : Tp (M )−→R, also dfp = 0 ⇔ p kritischer Punkt von f .
11.28
Korollar (kritischer Punkt)
diffb.
Ist M ⊆ W ⊆off Rn , M eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit, F : W −→R,
so hat f = F |M genau dann einen kritischen Punkt bei p ∈ M , wenn
Tp (M ) ⊆ kern(JF (p))
da
dfp = JF (p)|Tp (M )
11.29
Korollar (kritischer Punkt und Lagrange-Multiplikatoren)
Ist W ⊆off Rn , ψ : W →Rn−k , c ∈ Rn−k regulärer Wert, M = ψ −1 (c) also eine
diffb.
k-dimensionale Fläche. Sei F : W −→ R. Dann gilt für p ∈ M :

p ist kritischer Punkt von f = F |M ⇔
n−k
P
(λi ·gradp (ψi )).
: gradp (F ) =
∃
λ1 ,...,λn−k ∈ R
i=1

ψ1
 .. 
Dabei ist ψ =  . . λ1 , . . . , λn−k heißen Lagrange Multiplikatoren.
ψn−k
Beweis:
Nach 11.13 ist Tp (M ) = (span({gradp (ψ1 ), . . . , gradp (ψn−k )}))⊥ .
Also p ∈ M kritischer Punkt von F |M
11.28
⇐⇒ (span({gradp (ψ1 ), . . . , gradp (ψn−k )}))⊥ ⊆ (R·gradp (F ))⊥
⇔ gradp (F ) ∈ span({gradp (ψ1 ), . . . , gradp (ψn−k )})2
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL
11.30
93
Beispiel
Welcher
Punkt aus E = x2 + ( y2 )2 + ( z3 )2 = 1 | x, y, z ∈ R hat von Punkt


0
0 den kleinsten Abstand?
1
E = ψ −1 (1).
also
(n = 3, k = 2, n − k = 1)
 
x
z
y
ψ(y ) = x2 + ( )2 + ( )2
2
3
z
(24)

2x
grad(ψ) =  y 

2
2z
9
 
 
x
0
p
Der Abstand von y  zum Punkt 0 ist durch x2 + y 2 + (z − 1)2 gegeben.
z
1
Wir suchen daher das Minimum von
 
x
F : R3 →R, y  7→ x2 + y 2 + (z − 1)2
z
Es ist


2x
grad(F ) =  2y 
2(z − 1)
Gesucht sind also Lösungen von
2x =
2y
=
2(z − 1) =
λ·2x
y
λ·
2
2z
λ·
9
(25)
(26)
(27)
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL
1. 1. Fall: x 6= 0.
F (x, y, z) =
94
26,27
25
=⇒ λ = 1 =⇒ y = 0
r
3
9 24
z = =⇒ x = ± 1 − ( )2
8
8
7
8
2. 2. Fall: x = 0, y 6= 0.
r
3
9 24
26
27
=⇒ λ = 4 =⇒ z = =⇒ y = ±2· 1 − ( )2
5
5
F (x, y, z) =
16
5
3. 3. Fall: x = 0, y = 0.
24
=⇒ z = ±3
4
16
q
Also hat F bei (± 1 − ( 38 )2 , 0, 98 ) die Minima.
F (x, y, z) =
11.31
Weitere Anwendungen der Lagrange Multiplikatoren
Ist B ⊆ Rn eine abgeschlossene Teilmenge, ∂B ⊆ Rn eine (n − 1)-dimensionale
Untermannigfaltigkeit. Suche lokale Extrema von F : B→R! Teile das Problem
auf: Suche
1. lokale Extrema von F |B\∂B .
| {z }
⊆off Rn
2. lokale Extrema von F |∂B.
Beispiel: B = D2 = (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1 , ∂B = S 1 = (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1 .
Betrachte F :
x
7→ x2 − y 2 . Es ist
y
grad0 1 (F )
x
y
@ A
=
2x
−2y
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL
⇒ F |(B\∂B) hat bei
Extrema von F |S 1 .
95
0
0
0
kritischen Punkt, F (
)=
. Suche jetzt lokale
0
0
0
1
S =ψ
−1
x
(1), ψ(
) = x2 + y 2
y
Es ist
grad0 1 (ψ) =
x
@ A
y
(28)
2x
2y
Gesucht ist also Lösung
2x = λ·2x
−2y = λ·2y
1. 1. Fall: x 6= 0.
±1
F(
)=1
0
2. 2. Fall: x = 0
0
F(
) = −1
±1
F |D2 hat bei
⊲ (±1, 0) Maxima
⊲ (0, ±1) Minima
⊲ (0, 0) Sattelpunkt
29
30
28
=⇒ λ = 1 =⇒ y = 0 =⇒ x = ±1
28
=⇒ y = ±1
(29)
(30)
96
12 INTEGRATION AUF FLÄCHEN
12
12.1
Integration auf Flächen
Erinnerung und Definition
Eine Teilmenge Ω ⊆ Rn heißt stetig berandet, wenn es stetige Funktionen ai , bi
so gibt, dass Ω durch


a0 ≤ x1 ≤ b0








a1 (x1 ) ≤ x2 ≤ b1 (x1 )
n
Ω = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R |
..


.






an−1 (x1 , . . . , xn−1 ) ≤ xn ≤ bn−1 (x1 , . . . , xn−1 )
gegeben ist.
12.2
Beispiele
12.2.1
Beispiel 1
o
n
p
p
D2 = (x, y) ∈ R2 | − 1 ≤ x ≤ 1, − 1 − x2 ≤ y ≤ 1 − x2
12.2.2
Beispiel 2
(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≤ 1


−1 ≤ x ≤ p
1


p








− 1 − x2 ≤ y ≤ 1 − x2


|
{z
}
|
{z
}
3
(x, y, z) ∈ R | p
=
a1
p b1



2 − y2 ≤ z ≤


1
−
x
1 − x2 − y 2 
−




{z
}
{z
}
|
|


D3
=
a2
b2
Führe damit die Integration in mehreren Variablen zurück auf die Integration
in einer Variablen: siehe 12.3.
12.3
Satz (Integration über berandete Gebiete)
Sei Ω ⊆ Rn ein stetig berandetes Gebiet, ai , bi wie in 12.1. Sei f : Ω→R stetig,
dann gilt:
Z
n
(f (x)) d x =
Zb0
(
b1Z
(x1 )
a0 a1 (x1 )
Ω
(. . . (
bn−1 (x1Z,...,xn−1 )
(f (x1 , . . . , xn )) dxn ) . . .) dx2 ) dx1
an−1 (x1 ,...,xn−1 )
Dies ist unabhängig von der Beschreibung von Ω ( Satz von Fubini“).
”
12.4
Beispiel
Sei Ω = (x, y) ∈ D2 | y ≥ 0 , f (x, y) = x2 y.
97
12 INTEGRATION AUF FLÄCHEN
Z
(f (x, y)) dx, y
=
√
(
1
2
Z1
(x2 [y 2 ]0 1−x ) dx
Z1
(x2 ·(1 − x2 )) dx
−1
Ω
=
=
=
=
=
1−x
Z 2
Z1
1
2
(x2 y) dy) dx
0
√
2
−1
−1
1 1 3 1 51
[ x − x ]−1
2 3
5
1 1
−
3 5
2
15
Frage: Wie ändert sich vol(Ω) einer Menge bei Diffeomorphismen Φ, d.h., was
ist vol(Φ(M )) ?
Die Antwort gibt die Transformationsformel. Dazu erst einige Vorbemerkungen:
12.5
12.5.1
Erinnerung
Spatvolumen in 3 und n Dimensionen
n
Was
n ist das Volumen des
von n Vektoren v1 , . . . , vn ∈ R aufgespannten Spats
P
(λi vi ) | 0 ≤ λi ≤ 1 ?
i=1
12 INTEGRATION AUF FLÄCHEN
98
Im 3-dimensionalen gilt:
vol(v1 , v2 , v3 ) = hv1 |v2 ×v3 i = |det(v1 , v2 , v3 )|
Allgemein gilt:
vol(v1 , . . . , vn ) = |det(v1 , . . . , vn )|
(Denn vol(. . .) soll erfüllen:
1. vol(e1 , . . . , en ) = 1
2. vol(v1 , . . . , λvi , . . . , vn ) = |λ|·vol(v1 , . . . , vi , . . . , vn )
3. vol(v1 + vi , v2 , . . . , vi , . . . , vn ) = vol(v1 , . . . , vn )
Dies sind genau die Eigenschaften (bis auf | |), durch welche det(. . .) definiert
ist.) Beispiel:
1
0
1 0
1. v1 =
, v2 =
→ vol(v1 , v2 ) = 2 = det(
).
0
2
0 2
1
λ
1 λ
2. v1 =
, v2 =
→ vol(v1 , v2 ) = 2 = det(
).
0
2
0 2
12.5.2
Verhalten von Spatvolumen unter linearen Abbildungen
lin.
Ist A : Rn −→Rn , Aei = vi , Q = [0, 1]n , dann ist
1.
z}|{
vol(A(Q)) = |det(v1 , . . . , vn )| = |det(A)| = |det(A)|·vol(Q)
Allgemein zeigt man durch ähnliche Argumente wie in 1.: Ist S ⊆ Rn ein Spat,
lin.
A : Rn −→Rn , so ist
vol(A(S)) = |det(A)|·vol(S)
Beweis:
Lineare Algebra
99
12 INTEGRATION AUF FLÄCHEN
12.5.3
Verallgemeinerung von Spatvolumen
Ist M ⊆ Rn .
Dann ist:
vol(A(M )) = |det(A)|·vol(M )
Beweis:
Argumentation über Verfeinerung einer Zerlegung von M in Quader.
12.5.4
Erinnerung
Φ : Rn →Rn an der Stelle x wird in der 1. Ordnung durch JΦ (x) ∈ Hom(Rn , Rn )
approximiert, d.h.
Φ(x + h) =
Φ(x)
| {z }
Translation
12.6
φ(h)
+ JΦ (x)h + φ(h), lim (
)=0
h→0 ||h||
| {z }
linear
Satz (Transformationsformel)
Sei Φ : Ω→Ω′ ein Diffeomorphismus, Ω ⊆ Rn , B ⊆ Ω, Φ(B) = B ′ ⊆ Ω′ ⊆ Rn ,
f : B ′ →R integrierbar. Dann ist f ◦Φ·|det(JΦ )| : B→R integrierbar und
Z
Z
(f (x′ )) dx′ = ((f ◦Φ)·|JΦ (x)|) dn x
B′
B
Insbesondere für f ≡ 1:
vol(B ′ ) =
Z
(|JΦ (x)|) dn x
B
wobei |A| = |det(A)|. 2
12.7
Korollar
lin.
Ist Φ : Ω−→Ω′ , dann ist JΦ (x) = Φ, also
Z
Z
(f (x′ )) dx′ = |Φ|· (f ◦Φ) dx′
B′
und insbesondere für f ≡ 1:
B
vol(B ′ ) = |Φ|·vol(B)
100
12 INTEGRATION AUF FLÄCHEN
12.8
Beispiel
B ′ = (x, y) ∈ R2 | r12 ≤ x2 + y 2 ≤ r22 , y ≥ 0, x ≥ 0
π
) → B′
2
(r, φ) 7→ (r·cos(φ), r·sin(φ))
Φ : (r1 , r2 )×(0,
|JΦ (r, φ)| = r
π
vol(B)
Zr2 Z2
=
( (r) dφ) dr
r1
=
=
f : B ′ →R, f (x, y) =
0
π 1 2 r2
·[ r ]
2 2 r1
π 2
·(r − r12 )
4 2
p
x2 + y 2 ⇒ (f ◦φ)(r, φ) = r.
π
Z
(f (x′ )) dx′
Zr2 Z2
=
( (r2 ) dφ) dr
r1
B′
=
=
12.9
0
π
·[r3 ]rr21
3·2
π 3
·(r − r13 )
6 2
Definition (der Nullmenge)
N ⊆ Rn heißt eine Nullmenge der Dimension n, falls für jedes f : N →R
Z
(f ) dn x = 0
N
gilt. Man sagt auch, N hat das n-dimensionale Volumen 0.
12.10
Beispiel
[0, 1] ⊆ R hat das 1-dimensionale Volumen 1 (= Länge), aber [0, 1] ⊆ R2 (genauer: [0, 1]×0 ⊆ R2 ) hat das 2-dimensionale Volumen 0, also ist [0, 1] ⊆ R2
eine 2-dimensionale Nullmenge.
101
12 INTEGRATION AUF FLÄCHEN
12.11
Notiz (Aussagen über Nullmengen)
⊆ Rn−m
m
1. R ×
z}|{
0
⊆ Rn ist eine n-dimensionale Nullmenge für m < n.
2. Ist M ⊆ Rn eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit, m < n, so ist M
eine Nullmenge in Rn (Beweis mittels Karten und Transformationsformel).
3. Jede endliche Vereinigung von Nullmengen ist eine Nullmenge.
12.12
Notiz (Integration über Nullmengen)
Ist N ⊆ B eine Nullmenge, f : B→R, f˜ : B→R zwei Funktionen mit f |(B\N ) =
f˜|(B\N ). Dann ist
Z
Z
Z
Z
(f˜) dn x
(f ) dn x =
(f ) dn x = (f˜) dn x =
B
B
B\N
B\N
Integration über Flächen, z.B.: S 1 = x ∈ R2 | ||x|| = 1 ist eine 2-dimensionale
Nullmenge;
102
12 INTEGRATION AUF FLÄCHEN
Flächeninhalt ist nicht mit Transformationsformel und Parametrisierung φ :
U ′ →U ⊆ M ⊆ Rn zu berechnen: Jφ (x) ∈ Hom(Rk , Rn ), also det(Jφ (x)) nicht
|{z}
⊆ Rk
definiert!
Was ist das Volumen des von (∂1 (x), . . . , ∂k (x)) aufgespannten Spats in
Tx (M )? Z.B. k = 2, n = 3 → Berechne det(∂1 (x), ∂2 (x), ∂1 ×∂2 ).
||∂1 ×∂2 ||
| {z }
∈ Tx (M )⊥
12.13
Notiz
Ist v1 , . . . , vk eine Orthonormalbasis von Tp (M ), A ∈ End(Tp (M )) durch Avi =
∂i gegeben, so ist
(∗)
1
z}|{
vol(∂1 , . . . , ∂k ) = |det(A)| = (det(gij )) 2
wobei
gij = h∂i |∂j i
Beweis von (*):
gij
=
=
=
h∂i |∂j i
hAvi |Avj i
hvi |T AAvj i
⇒ det( gij ) = det(T AA) = det(A)2 2
12.14
Definition (der Gramschen Determinante/Matrix bzw.
1. Fundamentalform)
g = det(gij ) heißt Gramsche Determinante, (gij ) heißt entweder Gramsche Matrix oder 1. Fundamentalform. Will man kenntlich machen, bezüglich welcher
(φ)
Karte die Gramsche Matrix bestimmt wird, schreibt man auch g (φ) bzw. gij .
(Erinnerung: ∂i = Jφ (h(x))(ei ))
12.15
Beispiel
Sei U ⊆ Rk , f : U →R eine C ∞ -Funktion, Γ(f ) = {(x, f (x)) | x ∈ U }, φ :
U →Rk+1 , x 7→ (x, f (x)). Dann ist
 
01
 02 
 
 .. 
.
ei

, ei = 
∂i =
 1i 
∂i f (x)
 
.
 .. 
0k
103
12 INTEGRATION AUF FLÄCHEN
Dann ist
h∂i |∂j i = δij + (∂xi f )·(∂xj f )
Fallbetrachtung:
⊲ k = 1 → g11 = 1 + f ′2 .
⊲ k=2→
(gij ) =
1 + (∂x f )2
∂x f ·∂y f
∂x f ·∂y f
1 + (∂y f )2
und
g = 1 + (∂x f )2 + (∂y f )2
12.16
Satz und Definition
1. Ist M ⊆ Rn eine Fläche, f : M →R eine Funktion, φ : U ′ →U eine lokale
√
Parametrisierung und f ◦φ· g integrierbar über U ′ , dann ist
Z
√
(f ◦φ· g) dk x =:
U′
Z
(f ) dµ
U
unabhängig von der Wahl der Parametrisierung wohldefiniert. Ist M eine
Untermannigfaltigkeit der Dimension
⊲ 3, so schreibt man statt dµ = dV .
⊲ 2, so schreibt man statt dµ = dF .
⊲ 1, so schreibt man statt dµ = ds.
2. Ist A ⊆ U , so ist
Z
Z
(f˜) dµ
f (x)
0
x∈A
sonst
(f ) dµ :=
A
wobei
f˜(x) =
U
104
12 INTEGRATION AUF FLÄCHEN
Ṡ
(Ai ) (d.h. Ai ∩ Aj = ∅), Ai ⊆ Ui , Ui Kartengebiet, φi :
R
Ui′ →Ui Parametrisierung. Existiert für jedes i das Integral (|f |) dµ und
3. Ist M =
i∈N
∞ R
P
( (|f |) dµ) < ∞, dann ist
ist
Ai
i=1 Ai
Z
(f ) dµ =
∞ Z
X
( (f ) dµ)
i=1 A
M
wohldefiniert, d.h. unabhängig von der Wahl der Zerlegung M =
Ṡ
(Ai ).
i∈N
4. N ⊆ M heißt Nullmenge, falls
Z
(f ) dµ = 0
N
für alle f : N →R.
Beweis (der Wohldefiniertheit in 1.):
Ist φ̃ : Ũ ′ →U eine weitere Parametrisierung von U , also φ̃ = φ◦ω, wobei
ω = φ−1 ◦φ̃ der Kartenwechsel, also ein Diffeomorphismus ω : |{z}
Ũ ′ → |{z}
U′
⊆off Rk
ist.
⊆off Rk
Sei g̃ = g (φ̃) die zu φ̃ gehörige Gramsche Determinante, (g̃ij ) = h∂˜i |∂˜j i
die zugehörige 1. Fundamentalform.
Dann ist
g̃ij (x)
=
hJφ̃ (h̃(x))ei |Jφ̃ (h̃(x))ej i
=
hJφ (h(x))Jω (h̃(x))ei |Jφ (h(x))Jω (h̃(x))ej i
⇒
g̃
= det((g̃ij ))
= (det(T Jφ )(Jφ ))·(det(Jω (h̃(x))))2
2
= g(det(Jω (h̃(x))) )
√
√
⇒ f ◦φ̃· g̃ = f ◦φ◦ω· g·|det(Jω )|.
Transformationsformel
=⇒
Z
Ũ ′
p
(f ◦φ̃· g̃) dk x =
Z
√
(f ◦φ· g) dk x2
ω(Ũ ′ )
| {z }
=U ′
105
12 INTEGRATION AUF FLÄCHEN
12.17
Bemerkung
1. Wir lassen den Beweis von 12.16 hier aus, vgl. z.B. Klaus, Jänich: Vektor”
analysis“. Anwendung bei uns meist einfacher.
M wird meist durch endlich
 
0
viele Karten überdeckt, z.B. S 2 \N , N = 0 ist das Definitionsgebiet
1
einer Karte der stereographischen Projektion.
Z
Z
(f ) dF
(f ) dF =
S 2 \N
S2
da N ⊆ S 2 eine Nullmenge ist.
2. Ist N ⊆ M ⊆ Rn eine Untermannigfaltigkeit der Dimension < k = dim(M ),
so ist N eine Nullmenge in M und es gilt:
Z
Z
(f ) dµ = (f ) dµ
M
M\N
12.18
Korollar (Integral im Speziallfall der Dimension 1)
Ist M ⊆ Rn eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit, γ : (0, L)→Rn eine Pa2
rametrisierung von M , dann ist g(t) = ||γ̇(t)|| . Daraus folgt
Z
(f ) ds =
0
M
12.19
ZL
((f ◦γ)(t)·||γ̇(t)||) dt (falls es existiert)
Korollar (Integral im Speziallfall der Dimension 2)
Ist M ⊆ R3 eine 2-dimensionale Fläche, φ : U →M eine lokale Parametrisierung,
∂φ
, so ist
∂i = ∂x
i
√
g = ||∂1 ×∂2 ||
Beweis:
g
2
2
= ||∂1 || ·||∂2 || −
2
= ||∂1 ×∂2 ||
12.20
h∂1 |∂2 i
| {z }
2
||∂1 ||2 ·||∂2 ||2 ·cos(ψ)2
Beispiel
f : U →R, U ⊆ R2 , M = Γ(f )


Z q
−∂x f
2
∂1 ×∂2 = −∂y f  ⇒ vol(Γ(f )) = ( 1 + |grad(f )| ) dx dy
1
U
106
12 INTEGRATION AUF FLÄCHEN
Rest des Abschnitts: Integral von Vektorfeldern (z.B. Kraft- und Geschwindigkeitsfelder).
Sei M eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit.
12.21
Definition (des Integrals eines Vektorfelds)
Sei γ : I→Rn eine parametrisierte Kurve, d.h. γ ist differentierbar und γ̇(t) 6= 0
für alle t ∈ I, W ⊆off Rn , γ(I) ⊆ W , v : W →Rn ein Vektorfeld (d.h. eine C ∞ Abbildung), so ist
Z
Z
→
→
→
(−
v ) d−
s := (h−
v (γ(t)) |γ̇(t)i) dt
γ
I
das Integral des Vektorfelds v über γ. Ist γ(I) ⊆ Rn eine Untermannigfaltigkeit,
so ist
Z
Z
γ̇(t)
−
→
−
→
→
i·||γ̇(t)||) dt
(v) ds =
(h−
v (γ(t)) |
||γ̇(t)||
γ
I
=
Z
→
(h−
v |T i) ds
γ(I)
wobei
T =
diffb.
γ̇(t)
∈ Tγ(t) (γ(I))
||γ̇(t)||
Ist ω : I ′ −→I mit ω ′ (s) > 0 für alle s ∈ I ′ , γ̃ = γ◦ω, so ist
Z
Z
→
→
˙
(hv(γ̃(s)) |γ̃(s)i)
ds
(−
v ) d−
s =
I′
γ̃
=
Z
→
→
(−
v ) d−
s
γ
(Invarianz gegenüber orientierungserhaltenen Umparametrisierungen)
12.22
Notiz (Verhalten des Vektorfeldintegrals unter orientierungsumkehrenden Umparametrisierungen)
Ist ω : I ′ →I mit ω ′ (s) < 0 für alle s ∈ I ′ , γ̃ = γ◦ω, so ist
Z
Z
→
→
→
→
v ) d−
s
(−
v ) d−
s = − (−
γ̃
γ
107
12 INTEGRATION AUF FLÄCHEN
12.23
Notiz (Integral über Gradientenvektorfelder)
Ist v = grad(f ), so ist
Z
→
→
(−
v ) d−
s =
Z
(hgrad(f )(γ(t)) |γ̇(t)i) dt
=
Z
(
γ
I
d
(f ◦γ)(t)) dt
dt
I
= f (b) − f (a)
R → −
v ) d→
s ist unabhängig vom Weg.
d.h. mit I = [a, b]: (−
γ
12.24
Beispiel
Sei
γ : [0, π] →
γ(t)
und
=
S 1 ⊆ R2
cos(t)
sin(t)
x
1
v(
)=
= grad(f )
y
0
mit f (x, y) = x. Dann folgt
Z
→
→
(−
v ) d−
s =
γ
=
f (−1, 0) − f (+1, 0)
−2
Als nächstes wollen wir Vektorfelder über (orientierte) Flächen integrieren. Vor→
stellung: −
v ist Geschindigkeitsfeld einer Flüssigkeit; gesucht ist die Durchflussrate.
108
12 INTEGRATION AUF FLÄCHEN
N ist Normaleneinheitsfeld, hv(x) |N (x)i = Durchflussrate um Punkt x“.
”
12.25
Definition (des vektoriellen Flächenintegrals)
Sei M ⊆ Rn eine (n−1)-dimensionale orientierte Fläche (wichtigster Fall: n = 3,
n − 1 = 2), N : M →Rn das orientierungsdefinierende Normaleneinheitsfeld auf
M und M ⊆ W ⊆off Rn . Sei v : W →Rn ein Vektorfeld. Dann ist
Z
Z
−
→
−
→
−
→
→
→
(−
v ) d F := (h−
v | N i) d F
M
M
das vektorielle Flächenintegral von v durch M bzw. die Gesamtdurchflussrate
von v durch M .
12.26
Beispiel
2
M = SR
= (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = R2 . N (x, y, z) =
v(x, y, z) = (x, y, z).
(x,y,z)
R ,
N
N(x,y,z)
z
y
x
2
(x, y, z) ∈ SR
,
109
12 INTEGRATION AUF FLÄCHEN
Z
M
−
→
→
(h−
v | N i) dF = R·
Z
2
SR
dF = 4R3 π
110
13 BERANDETE UNTERMANNIGFALTIGKEITEN
13
Berandete Untermannigfaltigkeiten
Bisher: z.B. [a, b] ist keine Untermannigfaltigkeit (aber (a, b) Untermannigfaltigkeit der Dimension 1).
(x, y, z) ∈ S 2 | z ≥ 0 keine Untermannigfaltigkeit (keine Karte an den Rand”
punkten“).
HDI1 :
R
(f ′ (x)) dx = f (b) − f (a).
[a,b]
13.1
Notation (Offenheit und Rand)
Rn− := {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | x1 ≤ 0}, V ⊆ Rn heißt offen : ⇔
V.
∃
Ṽ ⊆off Rn
mit Ṽ ∩ Rn− =
∂Rn− := {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | x1 = 0} Rand von Rn− . Für V ⊆ Rn− heißt ∂V := V ∩ ∂Rn−
der Rand von V (neue Definition von Rand, Unterschied zur alten, topologi”
schen Definition“).
13.2
Beispiel
V = (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 < 1, x ≤ 0 offen in Rn− , ∂V = (0, y) ∈ R2 | − 1 < y < 1 .
1 Hauptsatz
der Differential- und Integralrechnung
13 BERANDETE UNTERMANNIGFALTIGKEITEN
111
(alte Definition von Rand: ∂V ∪ (x, y) ∈ R2− | x2 + y 2 = 1 )
13.3
Definition
Sei V ⊆off Rn− , f : V →Rn heißt differentierbar an der Stelle p ∈ ∂V , falls gilt: es
gibt eine in Rn offene Umgebung W von p und eine differentierbare Abbildung
f˜ : W →Rm mit f˜|W ∩ V = f |W ∩ V .
Dann ist für stetig differentierbares f auch Jf (p) für p ∈ V definiert.
Sind U, V ⊆ Rn− . Unter einem Diffeomorphismus zwischen U und V versteht
man eine differentierbare bijektive Abbildung f : U →V so, dass f −1 : V →U
differentierbar ist.
13.4
Lemma
Ist f : U →V ein Diffeomorphismus zwischen in Rn− offenen Teilmengen, so ist
f (∂U ) = ∂V und f |∂U : ∂U →∂V ist ein Diffeomorphismus zwischen 2 in Rn−1
offenen Teilmengen (Dabei wurde die Projektion : Rn− →Rn−1 , (x1 , . . . , xn ) 7→
(x2 , . . . , xn ) in der Notation unterdrückt).
13 BERANDETE UNTERMANNIGFALTIGKEITEN
112
Beweis:
vgl. Jänich“ - Vektoranalysis“ bzw. Skript VA
”
”
13.5
Definition (von ber. Untermannigfaltigkeitskarten bzw.
Atlanten)
Sei M ⊆ Rn . M heißt berandete Untermannigfaltigkeit (oder berandete Fläche)
der Dimension k, wenn es um jedes p ∈ M eine in Rn offene Umgebung W gibt
und einen Diffeomorphismus H : W →W ′ ⊆off Rn so, dass gilt:
 k
(R− ×0) ∩ W ′
oder
H(W ∩ M ) =
 k
(R ×0) ∩ W ′
(W, H) heißen dann berandete Untermannigfaltigkeitskarten, (W ∩ M = U, H|U =
h) heißen berandete Karten, statt Atlas spricht man von berandetem Atlas, etc.
pp. .
13.6
Definition (des Randpunkts)
p ∈ M heißt Randpunkt, falls für eine (dann nach 13.4 für jede) berandete Karte
(U, h) von M gilt, dass h(p) ∈ ∂U ′ , U ′ = h(U ). Die Menge aller Randpunkte
von M heißt der Rand von M und wird mit ∂M bezeichnet.
13.7
Beispiel
M = (x, y, z) ∈ S 2 | z ≥ 0
U := ((x, y, z) ∈ M, x > 0).
ist eine 2-dimensionale berandete Fläche. Setze
113
13 BERANDETE UNTERMANNIGFALTIGKEITEN
(x, y, z) 7→ (y, z) 7→ (−z, y)
p
( 1 − y 2 , y, z) ←[ (y, z)
 
x
1
−z
′ y 
h : U →U ,
7→
, U ′ = (x, y) ∈ R2− | x2 + y 2 < 1 , ∂M = (x, y, 0) | x2 + y 2 = 1 =S
˜ .
y
z
13.8
Lemma (Satz vom regulären Wert für berandete Untermannigfaltigkeiten)
diffb.
diffb.
Ist ψ : Rn −→Rn−k , c ∈ Rn−k regulärer Wert und f : Rn −→R, (c, a) ∈ Rn−k+1
regulärer Wert von (ψ, f ) : Rn →Rn−k+1 , so ist
{x ∈ Rn | ψ(x) = c, f (x) ≤ a}
eine berandete Untermannigfaltigkeit der Dimension k von Rn .
Beweis:
Ü.a.
13.9
Beispiel
M = (x, y, z) ∈ S 2 | z ≥ 0
faltigkeit von R3 . Betrachte
ist eine 2-dimensionale berandete Untermannig-
 
x
ψ : R3 →R , y  7→ x2 + y 2 + z 2
z
 
x
f : R3 →R , y  7→ −z
z
M = x ∈ R3 | ψ(x) = 1, f (x) ≤ 0 , 1 ist regulärer Wert von ψ.
2x 2y 2z
0
1
J
(x) =
ψ
0
0 −1
@ A
f
 
−1 x
ψ
1
ψ  
y =
ist surjektiv, falls (x, y) 6= (0, 0) (Aber für (x, y, z) ∈
mit
f
0
f
z
2
2
2
x +y +z
ist z = 0, also x 6= 0 oder y 6= 0).
−z
⇒ (1, 0) ist regulärer Wert von (ψ, f ) ⇒ M ist eine 2-dimensionale berandete
Fläche/Untermannigfaltigkeit.
13.10
Notiz (Rand einer ber. Untermannigfaltigkeit als
Untermannigfaltigkeit)
Ist M eine k-dimensionale berandete Untermannigfaltigkeit, dann ist ∂M eine
(k − 1)-dimensionale unberandete Untermannigfaltigkeit.
13 BERANDETE UNTERMANNIGFALTIGKEITEN
13.11
114
Beispiel
M = D3 = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 , ∂M = ∂D3 = S 2 .
13.12
Definition und Notiz (nach innen/außen weisende
Tangentialvektoren bzw. Normalen(einheits)vektoren)
Ist M eine k-dimensionale berandete Untermannigfaltigkeit, p ∈ ∂M , φ : Rk− →M ⊆ Rn
eine lokale Parametrisierung, so ist
Tp (M ) = dφh(p) (Rk ) ⊆ Rn
ein k-dimensionaler Untervektorraum. (Erinnere: Das Differential am Rand ist
wohldefiniert)
Es ist Tp (∂M ) = dφh(p) ( ∂Rk− ) ⊆ Tp (M ). Außerdem ist
|{z}
=0×Rk−1
Tpauß (M ) =
Tpinn(M ) =
dφh(p) (Rk \Rk− )
dφh(p) (Rk− \∂Rk− )
v ∈ Tpauß (M ) heißt nach außen weisender Tangentialvektor und v ∈ Tpinn(M )
heißt nach innen weisender Tangentialvektor. Es ist
Tp (M ) = Tpauß (M ) ∪˙ Tp (∂M ) ∪˙ Tpinn(M )
⊥
N (x) ∈ Tx (M ), x ∈ ∂M heißt nach außen weisender Normalenvektor, falls N (x) ∈ Tx (∂M )
und N (x) ∈ Tpauß (M ), Normaleneinheitsvektor, falls zusätzlich ||N (x)|| = 1
(analog mit nach innen“).
”
Ein nach außen weisendes Normalen(einheits)feld auf ∂M ist eine stetige
Abbildung N : ∂M →Rn so, dass für jedes x ∈ ∂M dann N (x) ein nach außen
weisender Normalen(einheits)vektor ist.
13 BERANDETE UNTERMANNIGFALTIGKEITEN
13.13
115
Beispiel
Auf S 1 bzw. allgemeiner S n = ∂Dn+1 ist ein nach außen weisendes Normaleneinheitsfeld
x
x
x
N(
)=
,
∈ S1
y
y
y
bzw. allgemeiner für x ∈ S n ⊆ Rn+1 ist
N (x) = x ∈ Tx (S n )
13.14
⊥
Bemerkung
Ist M eine n-dimensionale berandete Untermannigfaltigkeit von Rn , also ∂M
n
eine (n − 1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn , so ist Tp (∂M )⊥R ein
1-dimensionaler Untervektorraum.
diffb.
Ist ∂M = ψ −1 (c) Urbild eines regulären Werts einer Abbildung ψ : Rn −→R,
so ist
⊥
grad(ψ(x)) ∈ Tp (∂M )
| {z }
6= 0
13 BERANDETE UNTERMANNIGFALTIGKEITEN
116
für alle x ∈ ∂M . Also ist das nach außen weisende Normaleneinheitsfeld durch
N (x) = ±
grad(ψ(x))
||grad(ψ(x))||
gegeben. (Ist V ⊆ W Untervektorraum, dann ist V ⊥W = {x ∈ W | hx |vi = 0, v ∈ V })
13.15
Definition
1. Ist M ⊆ Rn eine n-dimensionale berandete Untermannigfaltigkeit, also
∂M ⊆ Rn eine (n−1)-dimensionale unberandete Untermannigfaltigkeit, so
ist ∂M eine orientierbare Untermannigfaltigkeit. Die kanonische Randorientierung von ∂M ist durch das nach außen weisende Normaleneinheitsfeld
gegeben.
2. Ist M ⊆ R3 eine 2-dimensionale orientierte berandete Untermannigfaltigkeit des R3 , d.h. auf M sei ein orientierungsdefinierendes Normaleneinheitsfeld gegeben. Sei ν ein nach außen weisendes Normaleneinheitsfeld
auf ∂M , also ν(x) ∈ Tx (M ).
13 BERANDETE UNTERMANNIGFALTIGKEITEN
117
Dann heißt ein Vektor v ∈ Tp (∂M ) positiv orientiert, falls
det(N, ν, v) > 0
Da ∂M eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist, gibt es in Tp (∂M )
genau einen Vektor T so, dass ||T || = 1 und T positiv orientiert ist.
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ
14
118
Der Gaußsche und Stokesche Integralsatz
Verallgemeinerung des HDI:
Z
(f ′ (x)) dx = f (1) − f (0)
[0,1]=M
∂M = [0, 1]
R
(. . .) =
R
(. . .)
∂M
M
Durchflussrate:
∂M
Idee:
Z
R
(hv |N i) dF
(hv |N i) dF =
R
(. . .? . . .)
M
= v1 (∆x, y)·∆y − v1 (0, y)·∆y + v2 (x, ∆y)·∆x − v2 (x, 0)·∆x
∂M
= (
→
∂v1
∂x
+
∂v2
∂y
= div(v)
v1 (∆x, y) − v1 (0, y) v2 (x, ∆y) − v2 (x, 0)
+
)∆x∆y
∆x
∆y
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ
14.1
119
Erinnerung und Definition (von Divergenz und Rotation)

v1
diffb.
 
Ist v : Rn −→ Rn , v =  ... , so ist

vn
div(v) :=
die Divergenz. Für n = 3 ist
rot(v) :=
die Rotation.
14.2
n
X
∂vi
(
)
∂x
i
i=1

∂
∂x2 v3
 ∂ v1
∂x3
∂
∂x1 v2
−
−
−

∂
∂x3 v2
∂

∂x1 v3
∂
∂x2 v1
Der Integralsatz von Gauß
Sei B ⊆off Rn , M ⊆ B eine beschränkte und abgeschlossene (= kompakt) ndiffb.
dimensionale (berandete) Untermannigfaltigkeit, v : B −→ Rn eine C 1 -Abbildung.
Dann ist ∂M eine (n − 1)-dimensionale unberandete Untermannigfaltigkeit. Sei
−
→
N das nach außen weisende Normaleneinheitsfeld auf ∂M . Dann gilt:
Z
Z
−
→
→
→
(div(−
v )) dµM =
(h−
v | N i) dµ∂M
M
14.3
∂M
Der Integralsatz von Stokes
Sei B ⊆ R3 , A ⊆ B eine beschränkte und abgeschlossene (berandete) 2-dimensionale
orientierte Fläche (möglicherweise ∂A = ∅), N das orientierungsdefinierende
Normaleneinheitsfeld auf A, T das positiv orientierte tangentiale Einheitsfeld
auf ∂M . Dann ist
Z
Z
−
→
−
→
−
→
→
(hrot( v ) | N i) dF = (h−
v | T i) ds
A
14.4
∂A
Bemerkung (Verallgemeinerung)
In der Vektoranalysis lernt man den Satz Rvon Stokes“R als Verallgemeinerung
”
der beiden Sätze 14.2 und 14.3 kennen. M dω = ∂M ω“.
”
14.5
Bemerkung
In der Physik braucht man den Satz von Stokes und den Satz von Gauß oft
in etwas allgemeinerer Form als hier formuliert, nämlich im Falle, dass M bzw.
A Kanten und Ecken“ haben. Im Allgemeinen bleibt er auch dort anwendbar
”
(vgl. Agricola, Ilka & Friedrich, Thomas: Globale Analysis: Differentialformen
”
in Analysis, Geometrie und Feldtheorie“). Eine wichtige Vorraussetzung ist die
Kompaktheit von M oder A.
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ
14.6
Korollar (Spezialfälle)
→
1. Sind M und v wie in 14.2 und div(−
v ) = 0, so ist
Z
−
→
→
(h−
v | N i) dµ∂M = 0
∂M
→
2. Sind M und v wie in 14.2 und div(−
v ) = c = const, so ist
Z
−
→
−
→
→
(h−
v | N i) dµ∂M = c·vol(M )
∂M
3. Sind M und v wie in 14.2 und v(x) ∈ Tx (∂M ) für alle x ∈ ∂M , so ist
Z
→
(div(−
v )) dµM = 0
M
→
4. Ist rot(−
v ) = 0 und A wie in 14.3, so ist
Z
−
→
→
(h−
v | T i) ds = 0
∂A
5. Ist ∂A = ∅, A und v wie in 14.3, so ist
Z
−
→
→
(hrot(−
v ) | N i) dF = 0
A
14.7
Beispiel
B = R3 \{0},
E:B
E(x)
q ∈ R\{0}. Es ist div(E) = 0.
→ R3
qx
=
3
||x||
120
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ
121
Sei M ⊆ R3 eine 3-dimensionale beschränkte abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, 0 6∈ ∂M .
Z
−
→ −
→
0
0 6∈ M (a)
(h E | N i) dF =
4πq 0 ∈ M (b)
∂M
(unabhängig von der weiteren Gestalt von M )
Beweis:
Beweis von (a):
Ist 0 6∈ M .
Dann ist M ⊆ B = R3 \{0}.
Dann ist nach dem Satz von Gauß
Z
Z
−
→ −
→
−
→
(h E | N i) dF = (div( E )) dV = 0
| {z }
∂M
M
=0
Beweis von (b):
Ist 0 ∈ M \∂M , so ist M 6⊆ B. Satz von Gauß ist also nicht anwendbar.
M \{0} ist nicht kompakt !
Sei ǫ > 0 so klein, dass D2ǫ (0) = x ∈ R3 | ||x|| < 2ǫ ⊆ M \∂M .
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ
122
Sei M̃ = M \Dǫ .
o
n
2
Dann ist ∂ M̃ = ∂M ∪ Sǫ , Sǫ = ∂Dǫ = x ∈ R3 | ||x|| = ǫ2 .
M̃ ist kompakt und M̃ ⊆ B.
Also ist nach dem Satz von Gauß
Z
Z
−
→ −x
−
→ −
→
(h E | N i) dF + (h E |
i) dF = 0
ǫ
∂M
⇒
Z
Sǫ
−
→ −
→
(h E | N i) dF
=
Z
x x
q· (h 3 | i) dF
ǫ ǫ
Sǫ
∂M
=
q
ǫ4
Z
2
(||x|| ) dF
Sǫ
2
Z
ǫ
dF
S
ǫ
ǫ4
| {z }
=
q
=
4πq2
4πǫ2
14.8
Bemerkung
Das Beispiel kann ganz analog durchgeführt werden, falls E durch das elektrische
Feld mehrerer Punktladungen gegeben ist:
E=
r
X
i=1
(qi
x − pi
||x − pi ||
3)
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ
Daraus folgt, dass
Z
∂M
123
m
X
−
→ −
→
(4πqi )
(h E | N i) dF =
i=1
wobei p1 , . . . , pm ∈ M \∂M und pm+1 , . . . , pr ∈ R3 \M .
14.9
Bemerkung (Anschauliche Bedeutung der Divergenz)
Daraus lässt sich die anschauliche
Bedeutung
Sei Sǫ (p) =
n
o
n der Divergenz herleiten:
o
2
2
n
2
n
2
x ∈ R | ||x|| = ǫ , Sǫ (p) = ∂Dǫ = ∂ x ∈ R | ||x|| ≤ ǫ .
R
Dǫ (p)
R
dµn
Dǫ (p)
14.10
R
Sǫ (p)
(hv |N i) dµn−1
|
vol(Dǫ (p))
{z
(div(v)) dµn
=
}
Durchflussrate pro Volumeneinheit“
”
Beispiel - Auftrieb
−
→
Sei M eine kompakte 3-dimensionale Untermannigfaltigkeit, N das nach innen
−
→
→
gerichtete Normaleneinheitsfeld, −
v (x) = −cz N (x, y, z). Gesamtkraft auf M :
−
→
K = −c
Z
−
→
(z N ) dF
∂M
also
Kj = −c
Z
∂M
−
→
(zhej | N i) dF = −c
Z
−
→
(hzej | N i) dF
∂M
und
0 j = 1, 2
div(zej ) =
1 j=3
 
 
z
0
ze1 = 0 , ze3 = 0
0
z
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ
124
⇒
Kj
=
K3
=
0 für j = 1, 2
Z
+c (1) dV = +c·vol(M )
M
⇒


0

0
K =
c·vol(M )
14.11
Beispiel
Diffusionsgleichung
⊲ v(x, t) Geschwindigkeitsfeld
⊲ ρ(x, t) Massendichte
Ansatz:
Z
d
−
→
→
(ρh−
v | N i) dF = −
dt
∂M
{z
}
|
Gesamtdurchfluss (*)
Mit dem Satz von Gauß ist:
Z
→
(∗) = (div(ρ−
v )) dV
Z
(ρ) dV
M
|
{z
}
eingeschlossene Masse
→
div(ρ−
v ) + ρ̇ = 0
M
14.12
Beweis des Satzes von Gauß (im Spezialfall n = 3)
Beweis:
Sei M = {(x, y, z) | 0 ≤ z ≤ f (x, y), (x, y) ∈ U } (M nicht kompakt), wobei
diffb.
U stetig berandetes Gebiet, U offen, f : U −→ R.
B ⊆off R3 , M ⊆ B, v : B→R3 , v(x, y, z) = 0, falls (x, y) 6∈ U .
Der allgemeine Fall kann auf diesen Fall zurückgeführt werden: Zerschnei”
den von M “.
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ
∂M = Γ(f ) ∪ (U ×0).
 
v1
Sei v = v2 , vi ∈ C ∞ (R3 ), vi (x, y, z) = 0 für (x, y) 6∈ U .
v3
Z
(div(v)) dV
f (x,y)
Z
=
Z
(
=
Z
(v3 (x, y, f (x, y)) − v3 (x, y, 0)) dx dy
+
Z
M
(∂x v1 + ∂y v2 + ∂z v3 ) dz) dx dy
0
U
U
U
Berechne jetzt
R
∂M
1.
Z
R
Γ(f )
(∂x v1 + ∂y v2 ) dz) dx dy
(
0
−
→
→
(h−
v | N i) dF :
−
→
→
(h−
v | N i) dF
U×0
2.
f (x,y)
Z
 
0
= − (hv(x, y, 0) |0i) dx dy
1
U
Z
= − (v3 (x, y, 0)) dx dy
Z
−
→
→
(h−
v | N i) dF . Betrachte die Parametrisierung
φ:U
φ(x, y)
Es ist:

→ Γ(f )
7→ (x, y, f (x, y))



1
0
 ∂y = 

0
1
∂x = 
∂x f (x, y)
∂y f (x, y)
125
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ
126
Also:
=
N
=
q
1 + (∂x f )2 + (∂y f )2
Schließlich:
Z
−
→
→
(h−
v | N i) dF
=
Z
=
∂x ×∂y
||∂x ×∂y ||


−∂x f
1
−∂y f 
p
1 + (∂x f )2 + (∂y f )2
1
√
g
√
(hv(x, y, f (x, y)) |N (x, y, f (x, y))i g) dx dy
U
Γ(f )


−∂x f
=
(hv(x, y, f (x, y)) |−∂y f i) dx dy
1
U
Z
=
(−v1 (x, y, f (x, y))∂x f (x, y)) dx dy
Z
U
+
Z
(−v2 (x, y, f (x, y))∂y f (x, y)) dx dy
Z
(v3 (x, y, f (x, y))) dx dy
U
+
U
Bleibt zu zeigen (dann auch analog für die 2. Komponente):
Z
− (v1 (x, y, f (x, y))∂x f (x, y)) dx dy =
U
Z
U
f (x,y)
Z
(
((∂x v1 )(x, y, z)) dz) dx dy
0
Es gilt für jede differentierbare Funktion G (nach Kettenregel):
∂x (G(x, y, f (x, y))) = (∂x G)(x, y, f (x, y)) + (∂z G)(x, y, f (x, y))∂x f (x, y)
Wende dies an auf:
−
f (x,y)
Z
(v1 (x, y, f (x, y))) dz = G(x, y, f (x, y))
0
Dann ergibt sich:
∂x
f (x,y)
Z
(v1 (x, y, z)) dz =
0
f (x,y)
Z
((∂x v1 )(x, y, z)) dz + v1 (x, y, f (x, y))∂x f
0
127
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ
Zu zeigen bleibt:
Z
U
f (x,y)
Z
(v1 (x, y, z)) dz)) dx dy = 0
(∂x (
0
Sei U = (x, y) ∈ R2 | a ≤ y ≤ b, a(y) ≤ x ≤ b(y) .
Es ist v(a(y), y, z) = 0 = v(b(y), y, z) nach Vorraussetzung.
Z
U
(∂x
f (x,y)
Z
Zb b(y)
Z
(v1 (x, y, z)) dz) dx) dy
=
( (∂x
f (x,y)
Z
(v1 (x, y, z)) dz) dx dy
a a(y)
0
=
0
|
= 02
14.13
0
f (b(y),y)
Z
(v1 (b(y), y, z)) dz −
{z
=0
}
f (a(y),y)
Z
(v1 (a(y), y, z)) dz
0
|
Bemerkung (Komposition von rot, div und grad)
Es gilt:
rot(grad(f )) = 0
div(rot(v)) = 0
div(grad(f )) = ∆f 6= 0
, f ∈ C ∞ (R3 , R)
, v ∈ C ∞ (R3 , R3 )
Fragen:
1. Wann hat ein Vektorfeld ein Potential, d.h., wann gibt es ein f mit
grad(f ) = v?
2. Wann hat ein Vektorfeld ein Vektorpotential, d.h. wann gibt es ein w mit
v = rot(w)?
Notwendige Bedingung:
1. rot(v) = 0
2. div(v) = 0
14.14
Lemma ((Vektor-)Potential aus Gradienten- und Rotationsfeldern)
→
→
1. Ist −
v ∈ C 1 (R3 , R3 ) und rot(−
v ) = 0, so gibt es ein f ∈ C 2 (R3 ) mit grad(f ) =
−
→
v , nämlich
Z1
→
→
→
→
v (t−
x )) dt |−
xi
f (−
x ) = h (−
0
{z
=0
}
128
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ
→
→
2. Ist −
v ∈ C ∞ (R3 ) und div(−
v ) = 0, so ist
−
→
→
w (−
x)=
Z1
→
→
→
(t−
v (t−
x )) dt×−
x
0
→
→
ein Vektorpotential, also rot(−
w) = −
v.
Beweis:
Beweis von 1.:
∂f
=
∂x1
Z1
→
(v1 (t−
x )) dt +
0
Z1
(t
3
X
∂vj −
(t→
x)
∂x1
| {z }
(
j=1
0
∂v
−
−
= ∂x1 (t→
x ), da rot(→
v =0)
j
3
P
j=1
→
∂
v1 (t−
x ))·xj =
( ∂x
j
)) dt·xj
−
→
d
dt v1 (t x )
Es ergibt sich dann:
∂f
∂x1
=
Z1
→
(v1 (t−
x )) dt +
=
Z1
(
Z1
(t
d
→
v1 (t−
x )) dt
dt
0
0
d
→
(tv1 (t−
x ))) dt
dt
0
→
= [tv1 (t−
x )]10
→
= v1 (−
x)
Ebenso für
∂f
∂x2
= v2 und
∂f
∂x3
= v3 .
Beweis von 2.:
1
R → −
→
→
Setze −
c (−
x ) = (t−
v (t→
x )) dt.
0
Dann ist
∂
∂
w3 −
w2
∂x2
∂x3
=
=
∂
∂
(c1 x2 − c2 x1 ) −
(c3 x1 − c1 x3 )
∂x2
∂x3
∂c1
∂c3
∂c1
∂c2
+
) + x2
+ x3
2c1 − x1 (
∂x
∂x
∂x2
∂x3
| 2 {z 3 }
∂c
−
c )=0
=− ∂x1 , da div(→
1
=
2c1 +
3
X
j=1
(xj
∂c1
) (∗)
∂xj
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ
129
Es ist
c1
=
Z1
→
(tv1 (t−
x )) dt
0
=
=
=
1 2
1
→
[t v1 (t−
x )]10 −
2
2
1
→
(v1 (−
x)−
2
Z1
(t2
Z1
(t2
→
dv1 (t−
x)
) dt
dt
0
→
dv1 (t−
x)
) dt)
dt
0
3 Z1
X
∂v1 −
1
−
→
( (t2
(t→
x )xj ) dt))
(v1 ( x ) −
2
∂x
j
j=1
0
=
3
X
∂c1
1
→
(xj
))
(v1 (−
x)−
2
∂xj
j=1
Einsetzen in (*). 2
Ebenso für die anderen Komponenten v2 und v3 .
14.15
Bemerkung
→
→
1. Im Allgemeinen folgt aus rot(−
v ) = 0 nicht, dass −
v ein Potential besitzt.
Beispiel:
 

 0

−
→
v : R3 \ 0 | t ∈ R


t
 
x
−
→
v (y )
z
→ R3
=
 
−y
1  
x
x2 + y 2
0
 
0
→
Behauptung: Es gibt kein f ∈ C ∞ (R3 \0, t ∈ R) mit grad(f ) = −
v.
t
Beweis:
 
0
Angenommen, es gäbe doch eines, so würde für jedes γ : [0, 2π]→R3 \0, t ∈ R
t
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ
130
mit γ(0) = γ(2π) gelten:
Z
→
(h−
v (γ(t)) |γ̇(t)i) dt
=
0
(hgrad(f (γ(t))) |γ̇(t)i) dt
=
f (γ(2π)) − f (γ(0))
γ
2π
Z
0


cos(t)
Sei γ(t) =  sin(t) .
0
Dann ist
2π
Z
0
→
(h−
v (γ(t)) |γ̇(t)i) dt =
2π
Z
0

 

−sin(t)
−sin(t)
(h cos(t)  | cos(t) i) dt = 2π
0
0
Widerspruch.
→
→
→
2. Ist −
v ein Vektorfeld mit div(−
v ) = 0, so hat −
v nicht notwendig ein Vektorpotential.
Beispiel:
−
→
v : R3 \0 → R3
x
−
→
v (x) =
3
||x||
→
Es ist nun div(−
v ) = 0. Behauptung: Es gibt kein w ∈ C ∞ (R3 \0) mit
−
→
rot(w) = v .
Beweis:
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ
131
Angenommen, es gäbe doch eines, so würde folgen, dass
4π
14.7
=
Z
−
→
→
(h−
v | N i) dF
=
Z
−
→
→
(hrot(−
w ) | N i) dF
S2
S2
Z
S.v.G.
=
−
→
→
(h−
w | T i) ds
∂S 2 =∅
=
0
Widerspruch.
Frage: Für welche B ⊆ R3 , v : B→R3 kann 14.14 verallgemeinert werden:
→
→
⊲ rot(−
v)=0⇒∃:−
v = grad(f ) ?
f
→
→
→
v = rot(−
w) ?
⊲ div(−
v)=0⇒ ∃ :−
→
−
w
14.16
Definition (der Sternförmigkeit)
B ⊆ R3 heißt sternförmig bezüglich x0 , wenn für jedes x ∈ B die Strecke
x0 x := {x0 + t(x − x0 ) | t ∈ [0, 1]} ⊆ B
ist.
14.17
Korollar
→
Ist −
v ∈ C 1 (B, R3 ) und B ⊆off R3 .
→
1. Ist rot(−
v ) = 0, p ∈ B, dann gibt es ein ǫ > 0 so, dass Uǫ (p) ⊆ B und
→
2
f ∈ C (Uǫ (p)) mit grad(f ) = −
v.
→
→
2. Ist div(−
v ) = 0, p ∈ B, Uǫ (p) ⊆ B, dann gibt es −
w ∈ C 2 (Uǫ (p), R3 ) mit
−
→
−
→
rot( w ) = v .
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ
14.18
132
Bemerkung (Bezug zu Homologien)
In der Mathematik (Topologie) werden zu jeder Mannigfaltigkeit (insbesondere
Untermannigfaltigkeit) Vektorräume Hk (M ) definiert, welche die Fragen nach
Potential, etc. beantworten. Z.B. M = R3 :
H2dR (M ) =
H1dR (M ) =
kern div
bild rot
kern rot
bild grad
(HndR (X) ist dabei die n-te de-Rham-Kohomologiegruppe einer Mannigfaltig”
keit X“)
1. Ist H2dR (M ) = 0 ⇔ Jedes v mit div(v) = 0 hat ein Vektorpotential.
Ist H1dR (M ) = 0 ⇔ Jedes v mit rot(v) = 0 hat ein Potential.
2. Eindeutigkeitsfrage: Ist das Potential bzw. Vektorpotential jeweils eindeutig bestimmt?
Ist f ein Potential zu v, so ist auch f + c ein Potential für jedes c ∈ R,
denn grad(c) = 0.
Ist w ein Vektorpotential zu v, so auch w + grad(f ) für f ∈ C 3 (R3 ), denn
rot(grad(f )) = 0.
Ist M zusammenhängend und v = grad(f1 ) = grad(f2 ), so ist f1 = f2 + c für
ein c ∈ R, da grad(f1 − f2 ) = 0.
Ist H1dR (M ) = 0 und v = rot(w) = rot(w′ ), so ist w′ = w + grad(f ) für ein
f ∈ C 3 (R3 ).
14.19
Beispiel
14.19.1
Beispiel 1
M = R3 \0 : H1dR (M ) = 0, H2dR (M ) = R.
14.19.2
Beispiel 2
3
M = R \ z-Achse: H1dR (M ) = R, H2dR (M ) = 0.
14.19.3
Beispiel 3
M sternförmig: Hk (M ) = 0 für k = 1, 2.

Mathematik für Physiker IIa Version 0.3.1

Produkte

Unterstützung

Mathematik für Physiker IIa Version 0.3.1

Dieses Dokument Sammlung (en)

Dieses Dokument gespeichert

Schlagen Sie uns vor, wie wir StudyLib verbessern können