Mehrdimensionales Integral - Vortragsfolien zur Höheren Mathematik

Mehrdimensionales Integral
Das Integral einer stetigen Funktion f auf einem regulären Bereich
V ⊆ Rn kann als Grenzwert von Riemann-Summen definiert werden:
Z
X
f dV = lim
f (Pi )∆Vi , ∆Vi = vol(Vi ) .
|∆|→0
V
i
Mehrdimensionales Integral
1-1
Mehrdimensionales Integral
Das Integral einer stetigen Funktion f auf einem regulären Bereich
V ⊆ Rn kann als Grenzwert von Riemann-Summen definiert werden:
Z
X
f dV = lim
f (Pi )∆Vi , ∆Vi = vol(Vi ) .
|∆|→0
V
i
Dabei wird V durch eine Vereinigung V∆ von bis auf Ränder disjunkter
Elementarbereiche Vi (im Allgemeinen Simplizes oder Parallelepipede)
approximiert, d.h. die Volumina der Differenzmengen V \V∆ und V∆ \V
streben gegen Null. Mit |∆| wird der maximale Durchmesser der Vi
bezeichnet, Pi sind beliebige Punkte in Vi .
Mehrdimensionales Integral
1-2
Die Schreibweise ∆Vi → dV symbolisiert den Grenzprozess,
R und dV nennt
man das Volumenelement. Abkürzend schreibt man auch f oder
V
ausführlicher
Z
Z
f (x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn ,
f dV =
V
V
wenn man die Integrationsvariablen hervorheben will.
Mehrdimensionales Integral
1-3
Die Schreibweise ∆Vi → dV symbolisiert den Grenzprozess,
R und dV nennt
man das Volumenelement. Abkürzend schreibt man auch f oder
V
ausführlicher
Z
Z
f (x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn ,
f dV =
V
V
wenn man die Integrationsvariablen hervorheben will.
Aufgrund der Stetigkeit von f ist die Definition des Riemann-Integrals
sowohl von der Wahl der Elementarbereiche Vi als auch der Punkte Pi
unabhängig.
Mehrdimensionales Integral
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Die Schreibweise ∆Vi → dV symbolisiert den Grenzprozess,
R und dV nennt
man das Volumenelement. Abkürzend schreibt man auch f oder
V
ausführlicher
Z
Z
f (x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn ,
f dV =
V
V
wenn man die Integrationsvariablen hervorheben will.
Aufgrund der Stetigkeit von f ist die Definition des Riemann-Integrals
sowohl von der Wahl der Elementarbereiche Vi als auch der Punkte Pi
unabhängig.
Für eine positive Funktion entspricht das Integral dem Volumen der Menge
{(x1 , . . . , xn , h) : 0 ≤ h ≤ f (x), x ∈ V }
unterhalb des Graphen von f .
Mehrdimensionales Integral
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Die Schreibweise ∆Vi → dV symbolisiert den Grenzprozess,
R und dV nennt
man das Volumenelement. Abkürzend schreibt man auch f oder
V
ausführlicher
Z
Z
f (x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn ,
f dV =
V
V
wenn man die Integrationsvariablen hervorheben will.
Aufgrund der Stetigkeit von f ist die Definition des Riemann-Integrals
sowohl von der Wahl der Elementarbereiche Vi als auch der Punkte Pi
unabhängig.
Für eine positive Funktion entspricht das Integral dem Volumen der Menge
{(x1 , . . . , xn , h) : 0 ≤ h ≤ f (x), x ∈ V }
unterhalb des Graphen
von f .
R
Insbesondere ist 1 das Volumen des Integrationsbereiches V .
V
Mehrdimensionales Integral
1-6
P1
V1
V2
V3
V4
Mehrdimensionales Integral
1-7
P1
V1
V2
V3
V4
Die Glattheitsvoraussetzungen an f und V können abgeschwächt werden,
indem man das Integral über einen geeigneten Grenzprozess definiert. Man
spricht dann von einem uneigentlichen Integral.
Mehrdimensionales Integral
1-8
Beispiel:
Integration von
f (x, y ) = xy
über dem Bereich
V :
0 ≤ x ≤ 1,
0 ≤ y ≤ 1 + x2
Mehrdimensionales Integral
2-1
Beispiel:
Integration von
f (x, y ) = xy
über dem Bereich
V :
0 ≤ x ≤ 1,
0 ≤ y ≤ 1 + x2
y
x
Mehrdimensionales Integral
2-2
Approximation für ein Quadratgitter mit Gitterweite h = 1/n
X
X
X
X
h2
(jh)(kh) = h4
j
0≤j<n 0≤kh<1+(jh)2
k
0≤j<n 0≤k<n+j 2 /n
Mehrdimensionales Integral
2-3
Approximation für ein Quadratgitter mit Gitterweite h = 1/n
X
X
X
X
h2
(jh)(kh) = h4
j
0≤j<n 0≤kh<1+(jh)2
k
0≤j<n 0≤k<n+j 2 /n
Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung unter Berücksichtigung
von
X
`m = r m+1 /(m + 1) + O(r m )
0≤`<r
Mehrdimensionales Integral
2-4
Approximation für ein Quadratgitter mit Gitterweite h = 1/n
X
X
X
X
h2
(jh)(kh) = h4
j
0≤j<n 0≤kh<1+(jh)2
k
0≤j<n 0≤k<n+j 2 /n
Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung unter Berücksichtigung
von
X
`m = r m+1 /(m + 1) + O(r m )
0≤`<r
1 X
j (n + j 2 /n)2 /2 + O(n)
4
n
0≤j<n
1 X 2
jn /2 + j 3 + j 5 /(2n2 ) + O(n2 )
n4
0≤j<n
1 1
1
=
+ +
+ O( 1/n )
|{z}
4 4 12
=
h
Mehrdimensionales Integral
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Approximation für ein Quadratgitter mit Gitterweite h = 1/n
X
X
X
X
h2
(jh)(kh) = h4
j
0≤j<n 0≤kh<1+(jh)2
k
0≤j<n 0≤k<n+j 2 /n
Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung unter Berücksichtigung
von
X
`m = r m+1 /(m + 1) + O(r m )
0≤`<r
1 X
j (n + j 2 /n)2 /2 + O(n)
4
n
0≤j<n
1 X 2
jn /2 + j 3 + j 5 /(2n2 ) + O(n2 )
n4
0≤j<n
1 1
1
=
+ +
+ O( 1/n )
|{z}
4 4 12
=
h
7/12 als Wert des Integrals
Mehrdimensionales Integral
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