Verteilung und Korrelation von Leptonen aus Zerfällen schwerer

Verteilung und Korrelation von Leptonen
aus Zerfallen schwerer Higgs-Bosonen
von
Udo D.J. Gieseler
Diplomarbeit in Physik
vorgelegt der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultat der
Rheinisch-Westfalischen Technischen Hochschule
Aachen
im Januar 1995
angefertigt im
III. Physikalischen Institut A
Abteilung fur Theoretische Elementarteilchenphysik
(Prof. Dr. R.H.A. Rodenberg)
Betreuer: Prof. Dr. L.M. Sehgal
Korreferent: Prof. Dr. W. Bernreuther
2
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Das Standardmodell und seine Erweiterungen : : : : : : : : : : :
2 Produktion und Zerfall von Higgs-Bosonen
2.1 e+e; -Linear-Collider : :
2.2 pp -Collider : : : : : : :
2.3 Zerfallskanale : : : : : :
2.3.1 Helizitatsstruktur
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:
5
6
11
11
17
19
21
3 Der Kanal H ! tt ! l+ l; + 25
4 Der Kanal H ! W +W ; ! l+ l; + 39
3.1 Energieverteilung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29
3.1.1 CP -Verletzung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32
3.2 Energiekorrelation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34
4.1 Energieverteilung : : : : : : : : : : : : : : : :
4.1.1 Unterscheidung von J CP = 0+ und J CP
4.1.2 CP -Verletzung : : : : : : : : : : : : :
4.2 Energiekorrelation : : : : : : : : : : : : : : : :
5 Der Kanal H ! Z Z ! l+ l; + 5.1 Energieverteilung und Korrelation : : : : : : :
5.2 Winkelverteilung : : : : : : : : : : : : : : : :
5.2.1 Unterscheidung von J CP = 0+ und J CP
5.2.2 CP -Verletzung : : : : : : : : : : : :
3
::::
= 0;
::::
::::
::::
::::
= 0;
::::
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:
41
41
44
45
51
53
56
56
58
INHALTSVERZEICHNIS
4
6 Zusammenfassung
59
A Kurzlebige Zwischenzustande
61
B Vier-Teilchen Phasenraum
67
C Die Funktionen f und g
69
Literaturverzeichnis
71
Danksagung
75
A.1 Energieverteilung von Sekundarleptonen : : : : : : : : : : : : : : 64
Kapitel 1
Einleitung
Das Higgs-Boson wurde vorhergesagt, um die im Standardmodell zunachst masselosen Elementarteilchen durch Wechselwirkung mit einem im Vakuum nicht
verschwindenden neutralen Skalarfeld massiv werden zu lassen. Die Quanten
dieses Feldes sind die Higgs-Bosonen. Ihr einziger unbekannter Parameter ist
die Masse. Das Hauptziel der nachsten Generation von Beschleunigern (e+e;Linear-Collider, pp-Collider LHC) bis hin zu einigen TeV Schwerpunktsenergie
ist es, dieses Teilchen nachzuweisen. In erweiterten Modellen (SUSY, 2-HiggsDubletts) sollte es neben skalaren (J CP = 0+) auch pseudoskalare (J CP = 0;)
Higgs-Zustande geben 1]. Die Untersuchung der CP -Eigenschaften ist neben der
Massenbestimmung notwendig, um das (bzw. die) Higgs-Boson(en) einem Modell
zuordnen zu konnen.
Die leptonischen Zerfalle eines schweren Higgs-Bosons:
H ;! t t ;! bl+l bl;l (1.1)
+
;
H ;! W +W ; ;! l l l l (1.2)
+
;
+
;
H ;! ZZ ;! l1 l1 l2 l2 (1.3)
liefern interessante Signale, welche dazu genutzt werden konnen, die Struktur der
Higgs-Kopplung an Fermionen und Vektorbosonen zu untersuchen 2]-6].
Ich habe in dieser Arbeit Energie- und Winkelverteilungen sowie Energiekorrelationen der Sekundarleptonen berechnet, unter der Annahme einer allgemeinen phanomenologischen Kopplung, die CP -gerade und CP -ungerade HiggsKopplungen berucksichtigt. Es wurde untersucht, wie der Polarisationszustand
des tt W +W ; und ZZ Zwischenzustandes aus dem Zerfall eines spinlosen HiggsBosons in der Energieverteilung und Energiekorrelation sichtbar wird. Desweiteren wurde analysiert, wie sich die Energie- und Winkelverteilungen der Leptonen
aus dem Zerfall eines rein skalaren Higgs-Bosons von denen aus dem Zerfall eines rein pseudoskalaren Higgs-Bosons unterscheiden. Schlielich wurde fur den
5
6
KAPITEL 1. EINLEITUNG
Fall CP -verletzender Higgs-Kopplung die Energie- und Winkelverteilung der Sekundarleptonen berechnet. Dabei wurde die Moglichkeit eines rein reellen sowie
komplexen Phasenfaktors zwischen den Kopplungskonstanten der CP -geraden
und CP -ungeraden Anteile in der Amplitude berucksichtigt.
1.1 Das Standardmodell und seine Erweiterungen
Ziel der Physik ist es, die Materie und ihre Wechselwirkungen zu beschreiben.
Die Auosung der Materie in immer kleinere Bausteine fuhrt zu den Quarks und
Leptonen. Diese sind punktformig, in dem Sinne, da bis heute weder experimentell noch theoretisch ein konkreter Hinweis auf eine weitere Struktur vorhanden
ist. Die Wechselwirkung (WW) zwischen diesen Teilchen wird im Rahmen von
quantisierten Feldtheorien 7] beschrieben. Nach ihrer Kopplungsstarke geordnet
sind das (mit ihren Quanten) die starke WW (Gluonen), die elektromagnetische
WW (Photon), die schwache WW (W -, Z -Bosonen) und die Gravitation (Gravitonen?). Die Gravitation entzieht sich bis heute dieser Beschreibung durch quantisierte Feldtheorien. Sie ist mit Abstand die schwachste Kraft, und soll daher
hier nicht weiter betrachtet werden.
Das grundlegende Prinzip zur Beschreibung der ersten drei Wechselwirkungen ist die lokale Eichinvarianz. Dies bedeutet, die Lagrangedichte fur Quarks
und Leptonen soll invariant unter kontinuierlichen Transformationen, die in der
Raumzeit variabel sind, sein. Das ist nur unter Abanderung der Lagrangedichte
durch Einfuhrung weiterer Felder moglich. Diese Felder beschreiben nun aber
gerade die WW zwischen den Quarks und Leptonen. Die Quanten dieser Felder
bilden die oben erwahnten WWs Teilchen. Glashow, Salam und Weinberg 8]
haben nun die erzeugende Gruppe einer solchen Transformation angegeben, die
gleichzeitig auf die schwache und elektromagnetische WW fuhrt: SU (2)L U (1)Y .
Die Gruppe SU (3)C fuhrt in demselben Sinne auf die starke WW. Die Grundlage
des Standardmodells (SM) bilden nun die drei Generationen von rechts- (R) und
1.1. DAS STANDARDMODELL UND SEINE ERWEITERUNGEN
7
linkshandigen (L) Quarks1 und Leptonen
Quarks
Leptonen
!
!
u
u
R
e
I.
d0 L dR
e; L e;R
!
!
(1.4)
c
c
R
II.
;
s0 L sR
; L R
!
!
t
t
R
III.
b0 L bR
; L R;
zusammen mit dem Eichprinzip, mit Transformationen, die durch die Symmetriegruppe
(1.5)
SU (3)C SU (2)L U (1)Y
erzeugt werden. Die Indizes beziehen sich auf die Quantenzahlen, die durch
diese Transformation eingefuhrt werden. Y ist die schwache Hyperladung. Die
linkshandigen Teilchen transformieren unter SU (2)L wie Dubletts mit dem schwachen Isospin T = 1=2. C ist die Color-Quantenzahl, die einen dreifachen Freiheitsgrad fur Quarks darstellt. Dieser soll aber im folgenden nicht betrachtet werden,
d.h. die starke WW soll vollstandig unberucksichtigt bleiben. Zu (1.4) ist noch zu
bemerken, da die Masseneigenzustande d0 s0 und b0 aus den Eigenzustanden der
elektroschwachen Theorie uber die Kobayashi-Maskawa-Matrix erhalten worden
sind:
0 01 0
1 0 1
d
Vud Vus Vub
B@ b0 CA = B@ Vcd Vcs Vcb CA B@ db CA
(1.6)
0
s
Vtd Vts Vtb
s :
Auf dieser Grundlage kann man eine eichinvariante Lagrangedichte angeben, die
man als Summe aus einer Dichte fur wechselwirkende Fermionenfelder und wechselwirkende Eichfelder schreiben kann:
L = LEich + LFermion :
(1.7)
Dabei ist der Anteil fur die erste Leptonfamilie gegeben durch
0
0
Le = R i f@ + i2g a Y g R + L i f@ + i2g a Y + i2g (~ ~b )g L : (1.8)
Die rechts- und linkshandigen Leptonen sind gegeben als
(1.9)
R eR = 12 (1 + 5) e L
e
!
!
1
:
= (1 ; 5)
e
L 2
(1.10)
Der direkte experimentelle Nachweis des Top-Quarks ist noch nicht endgultig erbracht.
Siehe Funote auf Seite 19.
1
KAPITEL 1. EINLEITUNG
8
g und g0 sind Kopplungskonstanten. Y ist die Observable fur die Hyperladung,
und a das entsprechende Eichfeld. 3 ist die mit Y kommutierende Observable
fur den Isospin. Fur die elektrische Ladung gilt Q = 3 + Y=2. b1 b2 und b3 sind
die mit der SU (2)L verknupften Eichfelder. Der Anteil der Lagrangedichte fur
die Eichfelder selbst lautet
(1.11)
LEich = ; 14 F l Fl ; 41 f f l = 1 2 3 :
Dabei sind die abelschen Feldstarketensoren:
f = @ a ; @ a (1.12)
wahrend die nicht abelschen Feldstarketensoren wie folgt lauten
F l = @ bl ; @ bl
; g "ljkbj bk :
(1.13)
Die gesamte Lagrangedichte enthalt keine (die Eichinvarianz verletzende) Massenterme. Die Eichbosonen, mit Ausnahme des Photons, besitzen jedoch, ebenso
wie die Quarks und geladenen Leptonen, eine Masse. Zur Losung dieses Problems
schlugen Weinberg und Salam die Einfuhrung eines komplexen, skalaren Feldes
vor, das wie ein T = 1=2 Dublett unter der SU (2)L transformiert:
!
!
i
2
:
= p1 1 +
(1.14)
0
2 3 + i
4
Nach dem Entdecker des Mechanismus zur Erzeugung der Teilchenmassen wird
dieses Feld Higgs-Feld genannt, und seine Quanten sind die Higgs-Bosonen. Die
Lagrangedichte lautet nun
L = LEich + LFermion + LHiggs + LY ukawa :
(1.15)
Dabei ist der Anteil des Higgs-Feldes mit seiner WW uber Eichbosonen gegeben
durch
(1.16)
L = (D )y(D ) ; V (
y
) mit der kovarianten Ableitung
0
D = @ + i2g a Y + i2g (~ ~b ) (1.17)
und dem Potential
V (
y
) = 2
y
+ (
y
)2 (1.18)
wobei > 0. Die Kopplung an Fermionen ist, unter Einfuhrung einer weiteren
Kopplungskonstanten Ge gegeben durch
LY ukawa = ;Ge R(
yL) + (L
)R ] :
(1.19)
1.1. DAS STANDARDMODELL UND SEINE ERWEITERUNGEN
9
Der entscheidene Punkt ist nun, da durch die Wahl von 2 < 0, der Vakuumerwartungswert des Higgs-Feldes nicht verschwindet. Trit man zudem die
spezielle Wahl
1 0
0
1
0
0
C
(1.20)
h0j
j0i = BBB@ s ;2 CCA BB@ pv CCA 2
2
so hat man fur den Vakuumerwartungswert keine Symmetrie unter der durch
SU (2)L U (1)Y erzeugten Transformation, wohl aber unter der durch U (1)QED
erzeugten. Man sagt, die SU (2)L U (1)Y -Symmetrie ist \versteckt" oder \gebrochen". Praktisch bedeutet das, da die Eichbosonen durch die Wechselwirkung
mit diesem, im Vakuum nicht verschwindenden Higgs-Feld, eichinvariante Massenterme erhalten. Dies gilt nicht fur das der U (1)QED entsprechende Eichfeld
A , deren masselosen Quanten mit dem Photon ( ) identiziert werden konnen.
Die physikalischen Felder sind nun gegeben durch
W + = p12 (b1 ; ib2 ) W ; = p12 (b1 + ib2 ) (1.21)
0 a + gb3
ga
+ g0b3
;
g
0
A = p 2 02 Z = p 2 02 g +g
g +g
mit den Massen
p
m = ;22 m 0 v
u
(1.22)
0 !2
u
g
mW gv
t
mZ = mW 1 + g = cos
mW = 2 W
wobei in der letzten Gleichung der Weinbergwinkel W mit tan W = g0=g eingefuhrt wurde. Fur die Bosonmassen ndet man 9]
mW = (80:22 0:26) GeV mZ = (91:187 0:007) GeV : (1.23)
Eine naheliegende Erweiterung dieses Modells ist das 2-Higgs-Dublett2 Modell, wobei gema (1.14) zwei komplexe, skalare SU (2)L-Dubletts angenommen
werden
0 1
0 1
1
1 = @ 0 A 2 = @ 20 A (1.24)
1
2
mit den komplexen Komponenten 0i und i (i = 1 2). Dies fuhrt auf die
Vakuumerwartungswerte
0 1
0
1
0
0
h0j
1j0i = @ v1 A h0j
2j0i = @ v ei A (1.25)
2
Statt gesonderter Literaturangaben sei auf die Liste im \Higgs Hunter's Guide" 1] verwiesen, an dem sich die folgende Darstellung orientiert.
2
KAPITEL 1. EINLEITUNG
10
mit der CP -verletzenden Phase . Im folgenden betrachte ich den Fall = 0,
was auf Higgs-Bosonen fuhrt die CP -Eigenzustande sind. Das Verhaltnis der
Vakuumerwartungswerte im diesem Fall nennt man
v
tan = 2 :
(1.26)
v1
Neben den massiven Eichbosonen und Fermionen fuhren diese zwei Dubletts auf
ein reicheres Spektrum an Higgs-Bosonen: Ein geladenes Paar H , zwei neutrale,
CP -gerade Skalare H 0 und h0 (mit mH 0 > mh0 ) und ein neutrales, CP -ungerades
Teilchen A0. Dieses wird pseudoskalares Teilchen genannt, und stellt sich in folgender Weise als Mischung der neutralen Felder dar
p
A0 = 2 (;Im 01 sin + Im 02 cos ) :
(1.27)
Um die physikalischen Masseneigenzustande der skalaren Higgs-Bosonen durch
die ursprunglichen Felder darzustellen, fuhrt man einen weiteren Mischungswinkel
ein
H0 =
h0 =
p2 h (Re 0 ; v ) cos + (Re 0 ; v ) sin i p2 h ; (Re 10 ; v1 ) sin + (Re 02 ; v2) cos i :
1
1
2
2
(1.28)
(1.29)
In supersymmetrischen (SUSY) Erweiterungen des SMs, die auf der
Verknupfung von Poincare-Transformationen mit Spin-Eigenschaften beruhen,
kann es neben den Quarks, Leptonen und Eichbosonen, mit deren Superpartnern Squarks, Sleptonen und Gauginos, weitere Higgs-Dubletts und Singuletts
mit ihren Superpartnern, den Higgsinos geben. Die minimale supersymmetrische
Erweiterung des SMs (MSSM) enthalt zwei komplexe, skalare Higgs-Dubletts H1
und H2. Die Vakuumerwartungswerte konnen geschrieben werden als
0 1
h0jH1j0i = @ v1 A 0 1
0
h
0jH2j0i = @ A (1.30)
0
v2
Die Anzahl der Higgs-Teilchen, sowie deren Ladung und CP -Eigenschaften sind
in diesem MSSM identisch mit denen des 2-Higgs-Dublett Modells fur = 0.
Kapitel 2
Produktion und Zerfall von
Higgs-Bosonen
2.1
e+ e;
-Linear-Collider
Zunachst betrachte ich als Quelle fur Higgs-Bosonen
einen zukunftigen Linearp
Collider mit einer Schwerpunktsenergie von s = 500 GeV 10]. Es wird auch
schon an eine nachste Generation von Linear-Collidern
gedacht.
Der Next-Linearp
p
Collider (NLC) soll den Energiebereich p
s = 500 GeV bis s = 1 TeV abdecken
und in einer spateren Ausbaustufe sogar s = 1:5 TeV leisten 11].
Die drei Hauptprozesse zur Erzeugung eines schweren Higgs-Bosons sind der
Bremsstrahlungsproze (2.1), W +W ;-Fusion (2.2) und ZZ -Fusion (2.3).
e+e;
e+e;
e+e;
;!
;!
;!
ZH H e+e; H :
(2.1)
(2.2)
(2.3)
Der Bremsstrahlungsproze kann wie in Abb. 2.1 dargestellt werden. Im Standardmodell fuhrt das auf den Wirkungsquerschnitt 12]:
2
mZ
+
12
p
F Z (v 2 + a2 ) Brems =
s
(2.4)
SM
2 m
96s
Z
2
(1 ; )
s
wobei v = ;1 + 4 sin2 (W ) und a = ;1 die Vektor- und Axialvektor-Kopplungen
der Elektronen an das Z -Boson sind. (m2H m2Z s) = (1 ; m2H =s ; m2Z =s)2 ;
2 2 2
G2 m4
4mH mZ =s ist der Zweiteilchen-Phasenraumfaktor. Dabei sei mH die Higgsmasse
11
12
KAPITEL 2. PRODUKTION UND ZERFALL VON HIGGS-BOSONEN
und mZ die Masse der Z -Bosonen. Fur verschiedene Higgsmassen ist dieser Wirkungsquerschnitt in Abb. 2.2 gegen die Schwerpunktsenergie aufgetragen. Der
Born-Graph der Fusionsprozesse (2.2) und (2.3) ist in Abb. 2.3 gezeigt. Dabei
bedeutet:
W +W ;-Fusion: l12 = e l10 2 = V12 = W ZZ -Fusion:
l12 = e l10 2 = e
V12 = Z (fur pp-Collider ersetzt man l12 = q12 und l10 2 = q10 2, (s.u.) ).
Der e+e; - Wirkungsquerschnitt fur Vektorboson-Fusion im SM ist dann gegeben als 12]:
Z 1 (v2 + a2)2 f (x y) + 4v2a2g(x y)
3 m4 Z 1
G
F
V
Fusion
p dx dy
SM =
(2.5)
y ; x 2
643 2 H x
1+
V
mit:
!
1 ; y z2
z
1
+
2
x
2
+
x
1
2
x
f (x y) = y3 ; y2 + 2y ; 2 1 + z ; ln(1 + z) + x y3 1 + z !
x
2
+
x
1
z
g(x y) = ; y2 + 2y ; 2 1 + z ; ln(1 + z) (2.6)
und H = m2H =s V = m2V =s z = y(x ; H )=(xV ). Die Vektorbosonp
Kopplungen sind: v = ;1 + 4 sin2 (W ) a = ;1 fur Z -Bosonen und v = a = 2
fur W -Bosonen. Der Wirkungsquerschnitt (2.5) kann numerisch ausgewertet werden. Fur ZZ -Fusion ist dieser in Abb. 2.5 gegen die Schwerpunktsenergie aufgetragen. Der Wirkungsquerschnitt fur WW -Fusion, gezeigt in Abb. 2.4, liegt
immer eine Groenordnung hoher. Im Gegensatz zum Bremsstrahlungsproze,
welcher mit s;1 abfallt, steigt der Fusions-Wirkungsquerschnitt logarithmisch an.
e+
Z
Z*
e-
H
Abbildung 2.1: Higgs-Erzeugung durch den Bremsstrahlungsproze.
2.1. e+e; -LINEAR-COLLIDER
13
Abbildung 2.2: Wirkungsquerschnitt fur den Bremsstrahlungsproze.
Fur ein Higgs-Boson
einer Masse von mH = 300 GeV gilt ab einer Schwerpsmit
punktsenergie
von
'
600
GeV: SM (e+e; ! H ) > SM (e+ e; ! Z H ).
p
Ab s ' 1040 GeV gilt dann sogar: SM (e+ e; ! e+e; H ) > SM (e+e; !
Z H ) (siehe Abb. 2.6).
Der Gesamtwirkungsquerschnitt fur die Erzeugung einespHiggs-Bosons mit der
Masse mH = 300 GeV bei einer Schwerpunktsenergie von s = 500 GeV ist bei
diesenR drei Prozessen zusammen: = 30 fb. Bei einer integrierten Luminositat
von L dt = 10 fb;1 pro Jahr 13] werden somitp 300 Higgs-Bosonen pro Jahr
erzeugt. Bei dem NLC ist die Luminositat bei s = 1 TeV um einen Faktor
10 hoher 11]. Somit konnen dort 10 700 Higgs-Bosonen (bei einer Masse von
mH = 300 GeV) pro Jahr erzeugt werden, da diese einen Wirkungsquerschnitt
gesamt = 107 fb haben.
von SM
In einem MSSM kann der pseudoskalare Zustand A und der schwere skalare
Zustand H uber einen Paarerzeugungsproze (2.7) bzw. (2.8) erzeugt werden.
e+e; ;! Z ;! A + H (2.7)
+
;
(2.8)
e e ;! Z ;! A + h :
Da in Eichtheorien die Kopplung eines pseudoskalaren Teilchens an zwei Vektorbosonen (Vertex: AV V ) auf Born-Niveau verboten ist 1], kann nur das CP gerade Higgs-Boson H in erster Ordnung uber den Bremsstrahlungsproze (Abb.
14
KAPITEL 2. PRODUKTION UND ZERFALL VON HIGGS-BOSONEN
l′1
l1
V1
H
V2
l2′
l2
Abbildung 2.3: Higgs-Erzeugung durch Vektorboson-Fusion.
2.1) und uber die Fusionsprozesse (Abb. 2.3) erzeugt werden. Die Kopplung
des pseudoskalaren Zustandes A an zwei Vektorbosonen kann nur uber eine
Fermionen-Schleife induziert werden. Die Born-Niveau Wirkungsquerschnitte im
MSSM konnen geschrieben werden als 14]:
MSSM (e e ! Z H )
+ ;
MSSM (e e ! A H )
+ ;
MSSM (e e ! A h)
+ ;
MSSM (e e ! l l H )
+ ;
=
=
=
=
cos2 ( ; )
sin2 ( ; )
cos2 ( ; )
cos2 ( ; )
Brems
SM Brems SM Brems SM Fusion
SM (2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
wobei durch die A nderung des Wirkungsquerschnittes beim Austausch des auslaufenden Vektorbosons durch ein pseudoskalares Teilchen berucksichtigt wird.
=
23"(m2j m2A s)
2#
m
1
2
2
2
2
2 (mj mZ s) (mj mA s) + 12 sZ
(2.13)
mit j = h fur den Proze (2.11) und j = H fur den Proze (2.10), bei dem das
schwere Higgs-Boson beteiligt ist. ist genau wie in (2.4) deniert.
2.1. e+e; -LINEAR-COLLIDER
15
Abbildung 2.4: Wirkungsquerschnitt fur Higgs Produktion bei W +W ;-Fusion.
Abbildung 2.5: Wirkungsquerschnitt fur Higgs Produktion bei ZZ -Fusion.
16
KAPITEL 2. PRODUKTION UND ZERFALL VON HIGGS-BOSONEN
Abbildung 2.6: Wirkunquerschnitt fur Higgs-Erzeugung.
2.2. pp -COLLIDER
17
2.2 pp -Collider
Der Large Hadron Colliderp(LHC) ist geplant als Proton-Proton Collider mit einer
Schwerpunktsenergie
von s = 16 TeV und einer uber ein Jahr integrierten LumiR
nositat von Ldt = 105 pb;1 15]. Die Hauptprozesse zur Erzeugung von HiggsBosonen sind der Gluon-Fusions Proze gg ! H (Abb. 2.7) und der VektorbosonFusions Proze q1 q2 ! q10 q20 H (siehe Abb. 2.3 mit l1 2 = q1 2 und l10 2 = q10 2). Die
Wirkungsquerschnitte fur diese und weitere Prozesse sind in Abb. 2.8 gegen die
Higgsmasse aufgetragen. Fur eine Higgsmasse von mH = 400 GeV ergibt sich bei
einer Top-Quarkmasse von mt = 150 GeV ein Wirkungsquerschnitt von = 10
pb. Das bedeutet, da pro Jahr 106 SM-Higgs-Bosonen beim LHC erzeugt werden
konnen.
Da die Gluon-Impulse nicht bestimmbar sind, kann der Impuls des HiggsBosons und damit sein Schwerpunktsystem nicht aus den Anfangsimpulsen rekonstruiert werden. Daher benotigt man fur die hier betrachteten Verteilungen
einen Endzustand mit ausnahmslos \sichtbaren" Teilchen, wie z.B. H ! ZZ !
l1+l1; l2+l2;. Unter Berucksichtigung der Verzweigungsverhaltnisse H ! ZZ (Abb.
2.9) und Z ! l+l; 9] ergibt sich (pp ! H ! l1+l1;l2+l2; ) = 34 fb fur mH = 400
GeV und somit eine Rate von ca. 3400 Ereignissen pro Jahr. Fur diesen Zerfallskanal sind in Kap. 5 die Energie- und Winkelkorrelationen und Verteilungen
dargestellt.
g
t
t
H, A
t
g
Abbildung 2.7: Feynmandiagramm fur Higgs Erzeugung durch Gluon-Fusion.
2.3. ZERFALLSKANALE
19
2.3 Zerfallskanale
Das Betragsquadrat jedes Matrixelementes, in dem ein Spin 0 Teilchen (hier:
Higgs-Boson) im s-Kanal ausgetauscht wird (i ! H ! f ), separiert in zwei Faktoren: jMij2 jMf j2. Ich betrachte hier nur Verteilungen und Korrelationen der
Higgs-Zerfallsprodukte. Die entsprechenden Wirkungsquerschnitte bestehen dann
aus der dierentiellen Zerfallsrate und einem Vorfaktor, der den Erzeugungsproze beinhaltet. Die hier betrachteten normierten Energie- und Winkelverteilungen
sind in diesem Sinne unabhangig vom Erzeugungsproze.
Im SM ist die Kopplung von skalaren Teilchen an Fermionen und Vektorbosonen gegeben als 17]:
q
p
Hf f : ;i mf qGF 2 p
HV1V2 : i 2 m2V GF 2 g (2.14)
(2.15)
d.h. die Higgs-Boson Kopplung an Fermion- oder Boson-Paare ist proportional
zu deren Masse. Ich betrachte hier schwere Higgs-Bosonen ab einer Masse von
mH = 300 GeV. Das Top-Quark nehme ich mit einer Masse von mt = 150 GeV
an1. Das bedeutet, da tt W +W ; und ZZ Paare kinematisch erzeugt werden
konnen. Diese liefern dann auch den groten Beitrag zur totalen Zerfallsrate. Die
Zerfallsraten sind gegeben durch 20]:
q
2
;(H ! t t) = 3 GF mpt mH t3 4 2
3
G
Fm
pH W (3 ; 2W2 + 3W4 ) ;(H ! W + W ;) =
32 2
3
1
H (3 ; 2 2 + 3 4 ) p
;(H ! Z Z ) = GF m
Z
Z
2 32 2 Z
(2.16)
(2.17)
(2.18)
mit i = 1 ; 4m2i =m2H (i = t W Z ): i ist die Geschwindigkeit der Zerfallsprodukte im H Ruhesystem. Die entsprechenden Verzweigungsverhaltnisse sind
in Abb. 2.9 gezeigt.
In Erweiterungen des Standardmodells ist die allgemeinste Kopplung von
Higgs-Bosonen an Top-Quarks 21] und Vektorbosonen 3], 6] gegeben als:
Nach einer Veroentlichung der CDF Kollaboration 18] besteht Evidenz, da das TopQuark mindestens so schwer ist: m = 174 10+13
;12 GeV. Indirekte Grenzen von Daten des
+18
e+ e;-Colliders LEP des CERN liefern: m = 162+16
;17 ;21 GeV 19].
1
t
t
20
KAPITEL 2. PRODUKTION UND ZERFALL VON HIGGS-BOSONEN
HV1V2
:
q p
i 2 m2V GF 2 ( B g + C2 P1 P2 mV
D
+ 2 " P1P2 ) mV
i (a + i b 5 ) (2.19)
(2.20)
Htt
:
wobei P1 und P2 die Viererimpulse der Vektorbosonen (Z W ) sind und mV
deren Masse
q ist.
p a b B C und D sind dimensionslose Konstanten. Im SM ist
a = ;mt GF 2, B = 1 und C = D = b = 0. Eine rein pseudoskalare Kopplung
ist gegeben durch D 6= 0 (bzw. b 6= 0) und B = C = 0 (bzw. a = 0). Gleichzeitige
Anwesenheit von B und D, oder C und D (bzw. a und b) ist CP -verletzend
22], 23]. Wie schon oben erwahnt, ist in Eichtheorien eine Kopplung von pseudoskalaren Teilchen an zwei Vektorbosonen verboten. Prinzipiell ist eine solche
Kopplung aber moglich, wie der Zerfall 0 ! zeigt. Die Kopplung proportional D kann durch Beitrage hoherer Ordnung induziert werden. Dasselbe gilt fur
die Kopplung proportional C , die aus einer Lagrangedichte ; 14 F F folgt.
Die Analyse der Helizitatsstruktur der Matrixelemente, die durch die Kopplungen (2.19) und (2.20) gegeben sind, erlaubt es, Aussagen uber das physikalische Potential dieser Ereignisse zu machen. Dies soll im folgenden Abschnitt
geschehen.
Abbildung 2.9: Hauptverzweigungsverhaltnisse beim Higgs-Zerfall.
2.3. ZERFALLSKANALE
2.3.1
21
Helizitatsstruktur
Fur den Zerfall eines spinlosen Teilchens in zwei Vektorbosonen gibt es drei BasisHelizitatszustande, wobei beide Zerfallsprodukte immer gleiche Helizitat mit
= 0 haben mussen. Die Amplituden bezeichne ich mit M++ M;; und M00 .
Jede einzelne Amplitude fur den Proze H ! V1 V2 kann gema (2.19) geschrieben
werden als
MH = B~ g "1 "2
~
+ C2 P1 "2 P2 "1
mV
D~
(2.21)
+ 2 " "1"2 P1P2 mV
q
p
~ D~ genauso). H = ++ ;; 00 sind die mogliwobei B~ := i2m2V GF 2 B , (C
chen Helizitatszustande.
Die Helizitatsvektoren sind, der Notation von Aitchison & Hey 17] folgend, im
H -Ruhesystem gegeben als:
"1 2( = +1) = ; p1 ( 0 1 i 0 ) (2.22)
2
"1 2( = ;1) = ; p1 ( 0 1 i 0 ) (2.23)
2
1
0
1
A
(2.24)
"1 2( = 0) = @ q V 2 0 0 q
1 ; V
1 ; V2
wobei "1 2 jeweils fur die Vektorbosonen in z-Richtung steht. Man erhalt so:
M++ = B~ ; 2i D~ 1 ;V 2 (2.25)
V
(2.26)
M;; = B~ + 2i D~ 1 ;V 2 V
+ V2 ; 4 C~ V2 :
M00 = ;B~ 11 ;
(2.27)
V2
(1 ; V2 )2
~ C~ = 0) niemals in lonMan stellt fest, da pseudoskalare Higgs-Bosonen (B
gitudinale Helizitatszustande (1 = 2 = 0) zerfallen, wahrend skalare HiggsBosonen (D~ = 0) diesen Kanal mit mindestens der Wahrscheinlichkeit P = 1=3
(bei V = 0), bis zu P = 1 wahlen (V = 1 oder B~ = 0), vergl. 24].
Beim weiteren Zerfall der transversal polarisierten Vektorbosonen (gema (1.2)
und (1.3)) in leichte bzw. masselose Leptonen, werden diese hauptsachlich in oder
entgegengesetzt der Boson-Flugrichtung emittiert. Dies ergibt eine Bevorzugung
KAPITEL 2. PRODUKTION UND ZERFALL VON HIGGS-BOSONEN
22
von kleinen und hohen Leptonenergien, wahrend der Zerfall von longitudinal polarisierten Vektorbosonen isotrop erfolgt, d.h. die Energie- und Winkelverteilungen
werden durch den Phasenraum bestimmt. Das bedeutet, da so die Kopplungen
proportional B , C und D in (2.19) unterschieden werden konnen.
Bei dem Zerfall W +( = +1)W ;( = +1) ! l+l; + wird aufgrund
der V ; A Wechselwirkung das l+ in Bewegungsrichtung des W + und das l;
entgegen der vom W ; emittiert2 20]. Bei dem Zerfall W +( = ;1)W ;( =
;1) ! l+l; + ist dies genau entgegengesetzt. Eine Asymmetrie zwischen den
Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Zwischenzustande beim Higgs-Zerfall, d.h.
jM;;j2
++ j2
=
6
P++ jM j2 +jjM
M;;j2 + jM00j2 jM++j2 + jM;;j2 + jM00 j2 P;; (2.28)
++
ist also durch die daraus resultierende Energieasymmetrie der Sekundarleptonen
der Messung zuganglich. Voraussetzung dafur ist: B D 6= 0 und Im(B=D) 6= 0,
d.h. B und D unterscheiden sich durch einen komplexen Phasenfaktor.
Fur den Zerfall in Z -Bosonen gilt dieselbe Argumentation, jedoch ist durch die
Abweichung von der V ; A Kopplung die Asymmetrie stark unterdruckt.
Die Helizitatsamplituden fur den Zerfall in Top-Quarks konnen gema (2.20)
geschrieben werden als:
M++ = u+(pt ) i(a + i b 5) v+(pt) M;; = u;(pt ) i(a + i b 5) v;(pt) (2.29)
(2.30)
wobei u(pt) und v(pt) jeweils die Spinoren des Top-Quarks mit Impuls pt , bzw.
des Antitop-Quarks mit dem Impuls pt (jp~tj = ;jp~tj) und der Helizitat = 21
sind. Unter Beachtung der Normierung
u(p) u(p) = 2m = ;v (p) v(p) (2.31)
erhalt man:
M++ = ; mH i (a t ; i b) M;; = mH i (a t + i b) :
(2.32)
(2.33)
Die Lebensdauer des Top-Quarks ' 1:1 GeV (mt =150 GeV)3 ];1 ist kurzer als
die Hadronisierungszeit 25], die durch den QCD Skalenparameter QCD ' 200
MeV bestimmt ist und sehr viel kurzer als die Zeit t ' 0:1 eV (150 GeV=mt )3 ];1
fur das Umklappen des Spins 23]. D.h. Depolarisation der Top-Quarks kann
2
d; (W ; ! e; ) = G mp3 (1 cos)2
d 1
32 2
F
e
l
W
2.3. ZERFALLSKANALE
23
vernachlassigt werden. Wegen der V ;A Kopplung der Top-Quarks an W -Bosonen
und Bottom-Quarks mit zu vernachlassigender Masse, mu ein tLtL Paar das
bR vorwiegend entgegen der tL-Bewegungsrichtung, und das bL entlang der tLBewegungsrichtung aussenden. Das ergibt ein hochenergetisches, (vorwiegend3
longitudinal polarisiertes) W + und ein niederenergetisches W ;. Diese Energieasymmetrie ubertragt sich auf die Leptonen l+l; . Fur ein tR tR Paar ist das W ;
hochenergetisch und damit hat das l; im Mittel eine hohere Energie als das l+.
Eine unterschiedliche Haugkeit dieser beiden Helizitatszustande tL tL und tR tR ,
d.h.
jM;;j2
++ j2
~
P~++ jM jM
=
6
(2.34)
jM++j2 + M;; j2 P;;
++ j2 + M;; j2
fuhrt daher zu einer Energieasymmetrie zwischen den Sekundarleptonen. Das
bedeutet, da auch bei diesem Zerfallskanal eine CP -verletzende Kopplung des
Higgs-Bosons, die durch a b 6= 0 und Im(a=b) 6= 0 verursacht wird, durch Energieverteilungen der Sekundarleptonen zuganglich ist.
Eine Unterscheidung einer rein skalaren von einer rein pseudoskalaren Kopplung
uber Energieverteilungen im Kanal H ! tt ist nicht moglich, da fur a = 0 oder
b = 0 immer jM++j2 = jM;;j2 gegeben ist.
Mit m =m 1 gilt fur das Verhaltnis der Zerfallsraten in ein longitudinal bzw. transversal polarisiertes W -Boson nach 26]: ; =; = m2 =(2m2 ), und damit betragt der Anteil der
longitudinal polarisierten W -Bosonen bei m = 150 GeV etwa 63% .
3
b
t
L
T
t
t
W
24
KAPITEL 2. PRODUKTION UND ZERFALL VON HIGGS-BOSONEN
Kapitel 3
Der Kanal
H ! tt ! l+ l; + Der sequentielle Zerfall H ! tt ! b l+ l b l; l bietet die Moglichkeit,
durch Energieverteilungen und Korrelationen der Sekundarleptonen eine CP verletzende Kopplung, die durch Endzustandswechselwirkungen im Htt Vertex
induziert werden kann (21], 27]) zu untersuchen 28]. Die Feynman Darstellung
des Gesamtprozesses ist in Abb. 3.1 gezeigt. Die Integration des entsprechenden Matrixelementes im Sechs-Teilchen Phasenraum ist allerdings sehr problematisch. Es gibt jedoch eine Methode, die Spin-Korrelation der Top-Quarks zu
berucksichtigen und trotzdem die dierentielle Zerfallsrate des Higgs-Bosons als
Produkt der spingemittelten, dierentiellen Zerfallsrate der Top-Quarks und der
dierentiellen Zerfallsrate des Prozesses H ! tt zu schreiben. Die Spinvektoren
im letzten Proze werden dabei durch Funktionen der Impulse der geladenen Leptonen und der Top-Quarks ersetzt. Diese Funktionen berechnen sich wiederum
b
t
l
W
+
W
-
+
νl
H, A
l-
t
b
νl
Abbildung 3.1: Higgs-Zerfall uber Top-Quarks.
25
26
KAPITEL 3. DER KANAL H ! tt ! l+ l; + aus der Spinabhangigkeit des Top-Quark Zerfalls. Diese, rein formale Umsortierung der dierentiellen Zerfallsrate, fuhrt aber dazu, da die Phasenraumintegrationen elementar und damit vollstandig analytisch durchfuhrbar werden. Die
hier benotigten Elemente im Formalismus von S. Kawasaki, T. Shirafuji und
S.Y. Tsai 29], sind im Anhang A dargestellt 30]. Im folgenden betrachte ich daher zunachst die o.g. Einzelprozesse. Wie schon in Kap. 2.3.1 erwahnt, konnen fur
ein schweres (siehe Funote auf Seite 19) Top-Quark sowohl Hadronisierung als
auch Depolarisation vernachlassigt werden. Auerdem braucht wegen der Groe
der Mischungs-Matrix Elemente nur der Zerfall in Bottom-Quarks berucksichtigt
zu werden. Es gilt namlich nach 9]:
jVtbj = 0:9992 0:0003 jVtsj = 0:039 0:009 jVtdj = 0:009 0:005 :
(3.1)
Weiterhin ist unter Berucksichtigung der Massenrelation mt mb ms md , die
totale Zerfallsrate der Top-Quarks in ein Quark q und ein W -Boson mit der Masse
mW folgendermaen gegeben 31]:
2 3
2 2 ;(t ! qW +) = GFpmt jVtq j2 1 ; mW2 1 + 2 mW2 :
mt
mt
8 2
(3.2)
Daraus ergeben sich die Verzweigungsverhaltnisse
Br(t ! bW +) ' 99:8 % Br(t ! sW +) ' 0:15 % Br(t ! dW +) ' 0:008 % :
(3.3)
Zunachst betrachte ich den Zerfall des Higgs-Bosons in zwei Top-Quarks:
H (pH ) ! t(pt s+) t(pt s;) (3.4)
wobei p die Viererimpulse und s die Spinvektoren sind. Es gilt pt s+ =
pt s; = 0 und s s = ;1. Im Top-Ruhesystem gilt s = ( 0 ~^s ).
Das Matrixelement fur diesen Zerfall kann dann gema (2.20) geschrieben werden
als
M = u(pt s+) i(a + ib5) v(pt s;) :
(3.5)
Im Ruhesystem des in zwei Teilchen zerfallenden Higgs-Bosons gilt nach 20]:
d;H = jM j2 d"t 642mH t
(3.6)
27
q
wobei t = 1 ; 4m2t =m2H die schon oben denierte Geschwindigkeit der TopQuarks im H -Ruhesystem ist. Mit der Notation P := pt + pt Q := pt ; pt folgt
fur die spinabhangige Zerfallsrate aus (3.6) und (3.5):
"
t njaj2 + jbj2on m2H ; m2 + m2(s s )o
d;(Hs+ s;) =
t
t + ;
d"t
642mH
2
n
on
o
m2
+ jaj2 ; jbj2 (Ps+)(Ps;) ; H (s+s;) + m2t (s+s;) ; m2t
2
#
;Re(ab ) "(P Q s+ s;) ; 2Im(ab )mt P (s+ + s;) (3.7)
mit der Denition "(a b c d) := " a b cd . Auerdem sei "0123 = +1. Die
Terme proportional zu Re(ab ) und Im(ab ) reprasentieren den CP -verletzenden
Teil in der dierentiellen Zerfallsrate. Die entsprechenden Summanden andern
bei Austausch von Teilchen und Antiteilchen und gleichzeitiger Punktspiegelung
im Ortsraum ihr Vorzeichen.
Im Hinblick auf die oben erwahnte Zerlegung des Zerfallsprozesses betrachte
ich nun den Top-Quark Zerfall:
t(pt ) ;! b(pb ) W +(k1) ;! b(pb ) l+(pl+ ) l(pn) :
(3.8)
Das zugehorige Matrixelement kann unter Vernachlassigung der Lepton- und
Bottom-Quark-Masse geschrieben werden als:
v
u
2
u
Mt = u(pb) (;i)t GFpmW (1 ; 5) u(pt) (;i) k2 ; m2 g + i; m
2
W W
1
W
v
u
2
u
u(pn) (;i)t GFpmW (1 ; 5) v(pl+ ) :
(3.9)
2
Unter Ausnutzung der narrow-width Approximation
2
1
' (p2 ; m2 ) p2 ; m2 + im; m;
ergibt sich fur das spingemittelte Matrixelement
jMt j 2 = ; m (k12 ; m2W ) 26G2F m4W (pb pn) (pt pl+ ) :
W W
(3.10)
(3.11)
Der zweite Teilproze in dem in Abb. 3.1 dargestellten Proze ist durch den
Antitop-Quark Zerfall gegeben:
(3.12)
t(pt) ;! b(pb) W ;(k2) ;! b(pb) l;(pl; ) l (pn ) :
KAPITEL 3. DER KANAL H ! tt ! l+ l; + 28
Das entsprechende Matrixelement lautet mit denselben Naherungen wie oben:
v
u
2
u
Mt = v(pt) (;i)t GFpmW (1 ; 5) v(pb) (;i) k2 ; m2 g + i; m
2
W W
2
W
v
u
2
u
u(pl; ) (;i)t GFpm2 W (1 ; 5) v(pn )
) jMtj 2 = ; m (k22 ; m2W ) 26G2F m4W (pb pn ) (pt pl; ) (3.13)
W W
was unter Austausch von Teilchen und Antiteilchen identisch mit (3.11) ist.
Die Zerfallsrate fur die Prozesse (3.8) und (3.12) berechnet sich zu1 :
1 jM j 2 dLips
2mt (;t )
t
Z
1
6
2
4
) d;t = 2m ; m 2 GF mW (k2 ; m2W ) (pb pn) (pt pl+ )
t W W
3
3
3
(2d)3p2bE (2d)3p2nE (2d)3p2l+E + (2)4 4(pt ; pb ; pl+ ; pn)
b
n
l
d8;(;) =
2 m3 Z h
i
1
d;
G
t
) d3 p + = 4 mF ; W (pl+ + pn)2 ; m2W (pb pn) (pt pl+ )
t W
l
3
2El+
d4 pb (p0b ) (p2b ) d2Epn 4(pt ; pb ; pl+ ; pn) :
(3.14)
n
Alle noch auszufuhrenden Phasenraumintegrationen sind trivial und man erhalt
sofort:
d;t = 1 G2F m3W (m2 ; 2 p p + ) :
(3.15)
t l
t
83 mt ;W
d3pl+
2El+
Die totale Zerfallsrate des W -Bosons ist gegeben als 31]:
3
(3.16)
;W = ;(W ! ll ) = GFpmW Bl
6 2 Bl
wobei Bl das Verzweigungsverhaltnis in leptonische Endzustande ist. Unter
Berucksichtigung von jVtbj2 ' 1, ist die totale Zerfallsrate des Top-Quarks nach
(3.2) gegeben als
3
;t = ;(t ! bW +) = GF pmt W (3.17)
8 2
1
dLips ist durch die dritte Zeile in (3.14) deniert.
3.1. ENERGIEVERTEILUNG
29
wobei W folgendermaen deniert ist
2 2 2 W := 1 ; mmW2 1 + 2 mmW2 :
(3.18)
t
t
Damit schreiben sich nun die normierten Impulsverteilungen fur die Teilprozesse
(3.8) und (3.12) wie folgt
1 d;(t ! bl+ l )
12Bl
2
+
(3.19)
=
3
;t
m4t W (mt ; 2 pt pl ) d pl+
2El+
1 d;(t ! bl;l ) = 12Bl (m2 ; 2 p p ; ) :
(3.20)
t l
;t d3 pl;
m4t W t
2El;
In dieser Form gehen die Zerfalle der Top-Quarks in die noch zu berechnenden
Zerfallsraten innerhalb des in Anhang A dargestellten Formalismus ein.
3.1 Die Energieverteilung
Ziel dieses Abschnittes ist es, die Energieverteilungen fur jeweils ein sekundares
Lepton zu berechnen. D.h. ich betrachte die Prozesse:
H (P ) ;! l;(pl; ) (pn ) + (3.21)
+
H (P ) ;! l (pl+ ) (pn) + :
(3.22)
Ich berechne zunachst den Proze (3.22) und benutze zur Abkurzung die Notation
q pl+ E E (l+) und q~ pn E~ E ( ). Die Flugrichtung des Top-Quarks
(mit Spin s+) sei die z-Achse und die des geladenen Leptons sei in der x;z-Ebene,
so sind die Impulse2 :
pt = m2H ( 1 0 0 t ) pt = m2H ( 1 0 0 ;t ) q = E ( 1 sin 0 cos ) q~ = E~ ( 1 sin ~ cos ' sin ~ sin ' cos ~ ) :
(3.23)
Nach (A.33) gilt nun
Z
d;(Hn 0) 1 d;(t ! l+ + )
d;(H ! l+ + )
=
4
d"
(3.24)
t
d"t ;t
d3 q
d3q
2E
2E
und ~ sind jeweils die Winkel zwischen den Lepton-Impulsen und der z -Achse. ' ist der
Azimut von ~q~ in der x ; y-Ebene, bezogen auf die x-Achse.
2
30
KAPITEL 3. DER KANAL H ! tt ! l+ l; + mit der Ersetzung:
tq s+ ;! n = pmtq (q ; pm
(3.25)
2t pt ) t
s; ;! 0 :
(3.26)
Es ist nutzlich eine skalierte Energie x des Leptons, und eine invariante, \nicht
beobachtete" Masse 2, sowie deren Skalierung einzufuhren:
s
2E 1 ; t
x := m 1 + (3.27)
t
t
2 := (pt ; q)2
= m2t ; 2 pt q (3.28)
2 :
(3.29)
:= m
2t
Damit schreibt sich (3.24) unter Ausnutzung von (3.19), (3.7) und nach Ausintegrieren der Lepton-Winkel (wegen ml = 0 gilt d3q=(2E ) = (1=2)E dE d"):
"
d;(H ! l+ + ) = 3 (1 + ) m Bl Z njaj2 2 + jbj2o t H
t
dx
8
W
o#
n
+ 2 Im(ab ) + x(1 + t )
; 1 d : (3.30)
Die Grenzen an = 2=m2t sind durch zwei Ungleichungen gegeben. Sei E die
Energie der Leptonen im t-Ruhesystem, so gilt hier 2 = m2t ; 2mt E . Diese
Energie ist begrenzt durch (32])
m2W E mt :
(3.31)
2mt
2
Daraus folgt die erste, invariante Bedingung
2
(3.32)
0 1 ; mW2 :
mt
Transformiert man E qin das H -Ruhesystem, so hat man 2 = m2t ; 2mt tE (1 ;
t cos ), mit t = 1= 1 ; t2 = mH =(2mt). Daraus folgt
1 + t
1;x
1;x:
(3.33)
1 ; t
Die Grenzen an x erhalt man durch (3.31) und einen Lorentz-Boost in das H Ruhesystem. Das ergibt
m2W 1 ; t x 1 :
(3.34)
m2t 1 + t
3.1. ENERGIEVERTEILUNG
31
Fuhrt man unter Beachtung dieser Ungleichungen die Integration in (3.30) aus,
so erhalt man
2Im(ab )
1 d;(H ! l+ + )
= f (x) + 2 2
(3.35)
;
dx
jaj t + jbj2 g(x) wobei ; die Zerfallsrate eines H -Bosons in zwei b-Quarks und zwei W -Bosonen,
wovon eines leptonisch zerfallt, ist:
Z d;(H ! l+ + )
1 m2t t
;=
dx =
B (jaj2t2 + jbj2) :
(3.36)
dx
2 mH 1 ; t2 l
Die Funktionen f (x) und g(x) sind im Anhang C und 30] dargestellt. Es gilt die
Normierung
Z
f (x)dx = 1 Z
g(x)dx = 0 :
(3.37)
Fur den Proze (3.21) ergibt sich ebenfalls aus Anhang A, unter Benutzung der
Notation q0 pl; und E 0 E (l;)
Z
d;(0H m) 1 d;(t ! l; + )
d;(H ! l; + )
= 4 d"t
(3.38)
d"t ;t
d3 q 0
d3 q0
2E 0
2E 0
mit der Ersetzung
s+ ;! 0 (3.39)
0
t q p ) :
s; ;! m = ; pm tq0 (q0 ; pm
(3.40)
2t t
t
Das Ergebnis erhalt man auf die gleiche Weise wie (3.35) und kann mit diesem
Ausdruck zusammengefat werden zu:
1 d;H = f (x) 2Im(ab ) g(x) :
; dx(l )
jaj2t2 + jbj2
(3.41)
Man stellt fest, da sich das Energiespektrum fur den Zerfall eines skalaren Higgs
(b = 0) nicht von dem eines pseudoskalaren Higgs (a = 0) unterscheidet (siehe
Kap. 2.3.1), da fur diese beiden Falle die normierte Energieverteilung durch f (x)
(Abb. 3.2) gegeben ist.
Im nachsten Abschnitt soll der Ein#u der CP -Verletzung dargestellt werden,
der seinen Ausdruck in einer Asymmetrie zwischen den Energien der geladenen
Sekundarleptonen ndet.
Es sei noch bemerkt, da der Ausdruck (3.41) mit dem entsprechenden in 27]
ubereinstimmt, aber auf vollig verschiedene Art erhalten wurde.
32
KAPITEL 3. DER KANAL H ! tt ! l+ l; + Abbildung 3.2: Energieverteilung eines Sekundarleptons im CP -erhaltenden Fall.
3.1.1
CP -Verletzung
Wie in Kap. 2.3.1 ausgefuhrt, stellt eine Higgs-Kopplung an Fermionen, die gleichzeitig skalare und pseudoskalare Anteile enthalt, eine CP -Verletzung dar, die im
Falle eines nichtverschwindenen komplexen Phasenfaktors (Im(ab ) 6= 0), in der
Energieverteilung durch eine Asymmetrie zwischen den geladenen Sekundarleptonen sichtbar sein sollte. Wegen (3.41) ist diese Asymmetrie gegeben als
2Im(ab ) g(x) $ g(x) (3.42)
H =dx(l+ ) ; d;H =dx(l; )
A(x) = d;
=
d;H =dx(l+ ) + d;H =dx(l; )
jaj2t2 + jbj2 f (x)
f (x)
Diese Asymmetrie kann durch Endzustandswechselwirkungen im Htt Vertex induziert werden. D. Chang und W.-Y. Keung 27] haben die fuhrenden Beitrage
dieser Absorptivanteile berechnet und die Asymmetrie daraufhin mit $ = 0:1
abgeschatzt. Die Berechnung wurde von Grz%adkowski 21] im Rahmen eines 2Higgs-Dublett Modells bestatigt. Fur diesen Wert von $ ist in Abb. 3.3 die
normierte Energieverteilung (3.41) fur die zwei verschieden geladenen Leptonen
gezeigt. Die Asymmetrie (3.42) ist in Abb. 3.4 fur zwei verschiedene Higgsmassen
gegen x aufgetragen.
Die Energieverteilung ist im Higgs-Ruhesystem gegeben. Eine saubere Rekonstruktion ist bei e+e; -Collidern in dem Erzeugungsproze durch Z -Boson Fusion
3.1. ENERGIEVERTEILUNG
33
Abbildung 3.3: Normierte Energieverteilung fur verschieden geladene Leptonen.
(2.3) und dem Bjorken Bremsstrahlungsproze (Abb. 2.1) mit anschlieendem Z Zerfall in sichtbare Teilchen (80% 9]) moglich. Der Wirkungsquerschnitt
betragt
p
fur ein SM-Higgs mit mH = 400 GeV hierbei 11.6 fb (Kap. 2) bei s = 1 TeV.
Das Verzweigungsverhaltnis eines solchen Higgs uber tt in ein geladenes
Lepton
p
betragt nach Abb. 2.9 und 9]: 0.055 . Beim NLC erreicht man bei s = 1 TeV
eine integrierte Luminositat von 100 fb;1 (Kap. 2). Daraus ergibt sich eine Rate
von 64 Ereignissen pro Jahr fur die Energieverteilung aus Abb. 3.3 . Eine Asymmetrie, die im gesamten kinematischen Bereich im Prozentbereich liegt, ist unter
diesen Voraussetzungen nur schwer experimentell zu bestatigen. Es besteht jedoch
die Moglichkeit, die Ergebnisse in Monte-Carlo Berechnungen fur pp-Collider ein#ieen zu lassen, wo die Ereignisrate um ein Vielfaches hoher liegt.
KAPITEL 3. DER KANAL H ! tt ! l+ l; + 34
Abbildung 3.4: Asymmetrie (3.42) fur zwei verschiedene Higgs Massen.
3.2 Die Energiekorrelation
Die Energieverteilung uber die x(l+ ) ; x(l; )-Ebene liefert zusatzliche Informationen uber die moglichen Zustande im Zwei-Teilchen Phasenraum, die uber die
Einteilchen-Verteilungen nicht erhalten werden konnen. Dies hat seine Ursache in
der Spin-Korrelation der Top-Quarks aus dem Zerfall eines Spin 0 Higgs-Bosons.
Fuhrt man nun gestrichene Groen fur die Variablen im Antitop-Zerfall ein3
(q0 = Pl; E 0 = E (l;)) so hat man analog zu (3.27)-(3.29):
x0 :=
02 :=
=
0 :=
3
(m = m = )
t
t
t
t
s
2E 0 1 ; t mt 1 + t
(pt ; q0)2
m2t ; 2 pt q0 0 2 :
m2t
(3.43)
(3.44)
(3.45)
3.2. ENERGIEKORRELATION
Aus Formel (A.34) folgt dann nach Integration der Lepton-Winkel
35
d;H = 144 (1 + t )2 Bl2 Z d;(Hn m) 0d d 0 :
(3.46)
dxdx0
t2 W 2
d"t
Fur die Grenzen an 0 und x0 gelten ebenso die Ungleichungen (3.32)-(3.34). Einsetzen der Higgs Zerfallsrate (3.7), unter Berucksichtigung der Spin-Substitution
(A.35), (A.36) ergibt nach elementarer Integration die normierte4 Energieverteilung
1 d;H
0 ) ; 1 g (x)g (x0 )
=
f
(
x
)
f
(
x
; dxdx0
t2
ab ) nf (x0 )g(x) ; f (x)g(x0)o (3.47)
+ 2Im(
jaj2t2 + jbj2
mit der Normierung (3.37). Dies kann folgendermaen geschrieben werden
1 d;H = S (x x0) + $ A (x x0)
(3.48)
t
t
; dxdx0
wobei
St (x x0) = f (x)f (x0 ) ; 12 g(x)g(x0) (3.49)
t
At (x x0) = f (x0 )g(x) ; f (x)g(x0) (3.50)
)
2Im(
ab
(3.51)
$ = 2 2
jaj t + jbj2 :
Genau wie im eindimensionalen Fall hangt bei CP -Erhaltung ($ = 0) die normierte Energieverteilung nicht von den Kopplungskonstanten ab. Das bedeutet,
da auch in der Korrelation nicht zwischen rein skalaren und rein pseudoskalaren Kopplungen unterschieden werden kann. Das hat aber auch zur Folge, da
die Korrelation St(x x0 ) vollig modellunabhangig gultig ist. Diese ist in Abb.
3.5 dargestellt. Es ist nun so, da die Funktionen f (x) f (x0 ) in St(x x0 ) den
spinunabhangigen Teil der Energiekorrelation darstellen, wahrend die Funktionen g(x) g(x0) den spinabhangigen Teil reprasentieren. Vernachlassigt man den
Spin eines Zwischenzustandes (t t) bedeutet dies g ! 0. Damit verliert man
die Korrelation der Leptonen, und der zweite Summand in St (x x0 ) verschwindet
identisch. Die Energieverteilung wird dann im CP -erhaltenen Fall zu
1 d;H
= f (x)f (x0) :
(3.52)
0
; dxdx
Diese, in Abb. 3.6 dargestellte Verteilung, ist nun einfach das Produkt der
Einteilchen-Funktionen und unterscheidet sich von Abb. 3.5. Das bedeutet, da
4
; sei hier die (3.36) entsprechende partielle Zerfallsrate in zwei Leptonen.
36
KAPITEL 3. DER KANAL H ! tt ! l+ l; + bei Einschrankungen an den Energiebereich eines Leptons (Cut) die Energieverteilung des anderen Leptons nicht mehr durch (3.41) gegeben ist, sondern durch
den entsprechenden Schnitt in Abb. 3.5.
Im CP -verletzenden Fall, mit einem komplexen Phasenfaktor zwischen den
Amplituden proportional a und b, tragt die in x und x0 antisymmetrische Funktion At (x x0 ) zur Energieverteilung bei. Diese ist in Abb. 3.7 fur zwei verschiedene Perspektiven gegen x und x0 aufgetragen. Es ist zu beachten, da
At (xmin x0) At (x x0min ) 0 (wegen g(xmin) = f (xmin) = 0). Dabei ist
xmin = x0min = (m2W =m2t )(1 ; t )=(1 + t). Auerdem gilt At (x = x0 ) = 0.
Abbildung 3.5: Energieverteilung im CP -erhaltenen Fall.
3.2. ENERGIEKORRELATION
Abbildung 3.6: Energieverteilung im CP -erhaltenen Fall ohne Korrelation.
37
38
KAPITEL 3. DER KANAL H ! tt ! l+ l; + Abbildung 3.7: CP -verletzender, antisymmetrischer Teil der Energieverteilung
aus zwei verschiedenen Blickrichtungen.
Kapitel 4
Der Kanal
H ! W +W ; ! l+ l; + Im Higgs-Zerfall uber den Kanal H ! W +W ; ! l+ l; kann zusatzlich zu
den Analysen im Zerfall H ! tt eine rein skalare von einer rein pseudoskalaren
Kopplung durch Energieverteilungen unterschieden werden 28]. Dies soll unter
anderem in diesem Kapitel dargestellt werden. Das Matrixelement des Prozesses
H (P ) ;! W +(P1)W ;(P2 ) ;! l+(q1 ) (q2) l;(q3 ) (q4) (4.1)
dessen Feynmandarstellung in Abb. 4.1 gezeigt ist, lautet mit (2.19) und unter
Vernachlassigung der Leptonmassen (mW sei die Masse der W -Bosonen, ;W deren
l+
W+
νl
H
-
l-
W
νl
Abbildung 4.1: Feynmandarstellung fur den Higgs-Zerfall uber W -Bosonen.
39
40
Breite)
KAPITEL 4. DER KANAL H ! W +W ; ! l+ l; + 2 1
M = u(q2) (;i) GFpmW 2 (1 ; 5) v(q1) (;i) P 2 ; m2g + im ;
W W
1
W
q p2 i2 m2W GF 2 B g + mC2 P1 P2 + mD2 " P1P2
W
W
GF m2W 12
g
(;i) P 2 ; m2 + im ; u(q3 ) (;i) p2 (1 ; 5) v(q4) : (4.2)
W W
2
W
Berechnen dieses Matrixelementes mit Spinsummation und einsetzen in (B.3)
ergibt die dierentielle Zerfallsrate
p G3 jC j2 jDj2
d8 ; = 28 2 F DW jB j2S + 4 L + 4 P
mH
mW
mW
Re(BC )
Re(BD)
Re(CD)
+
M
+
Q
+
m2W
m2W
m4W U
)
Im(BD) R ; Im(CD) V dLips : (4.3)
; Im(mBC
N
;
2
m2W
m4W
W
Unter Vernachlassigung der Leptonmassen gilt
S = (q2 q3 )(q1 q4) 4 on
4 o
n
m
m
W
L = (P2 q1 )(P2 q2 ) ; 4 (P1 q3 )(P1 q4 ) ; 4W n
o
M = 2(q1 q4 )(q2 q3 ) (q1 q3 ) + (q2 q4 )
n
on
m4 o
+ (q1 q4 ) + (q2 q3 ) (q1 q4 )(q2 q3) + (q1 q3 )(q2 q4 ) ; W 4
n
o
N = "(q1 q2 q3 q4) (q2 q3 ) ; (q1 q4 ) n
o
P = ; (q2 q3 )(q1 q4 ) ; (q2 q4 )(q1 q3) 2
m4 n
m4 o
+ W (q2 q3 )2 + (q1 q4)2 + 2(q2 q4 )(q1 q3 ) ; W 4
4
n
o
Q = "(q1 q2 q3 q4) (q2 q3 ) + (q1 q4 ) n
on 4
o
R = (q2 q3) ; (q1 q4) m4W + (q2 q3)(q1 q4) ; (q2 q4)(q1 q3 ) n
o n
on
o
1
2
4
U = "(q1 q2 q3 q4) 2 (P1 P2 ) ; mW ; P1 (q3 ; q4) P2 (q1 ; q2) m4 n
o
V = (q2 q3 ) ; (q1 q4 ) 4W (q1 ; q2 ) (q3 ; q4 )
4.1. ENERGIEVERTEILUNG
n
o
+(P1 P2 ) (q2 q3)(q1 q4) ; (q2 q4)(q1 q3 ) 41
(4.4)
mit "(a b c d) := " a b cd und "0123 = +1. Der Propagatorfaktor DW ist
gegeben durch
DW =
Y2
m4W
2
2 2
2 2 :
j =1 (Pj ; mW ) + mW ;W
(4.5)
Die vollstandige Integration uber den Phasenraum (Anhang B) liefert die partielle
Zerfallsrate
3 p2 m6 m3 W n
G
;(H ! W +W ; ! l+l l;l ) = F 9 W3 2H
jB j2(3 ; 2W2 + 3W4 )
9 2 ;W
4
+8 jDj2W2 + 16 jC j2 W2 2
(1 ; W )
2
o
(4.6)
+8 Re(BC )W2 1 + W2 1 ; W
was fur C = 0 mit dem Ergebnis von A. Skjold und P. Osland 5] und fur
D = 0 mit C.A. Nelson 3] ubereinstimmt. Im folgenden soll nun mit Hilfe der
Energieverteilung der Sekundarleptonen eine rein pseudoskalare Kopplung (/ D)
mit einer rein skalaren Kopplung (/ B ) verglichen werden, sowie der Ein#u einer
CP -verletzenden Kopplung auf die Energieverteilungen untersucht werden.
4.1 Die Energieverteilung
4.1.1
Unterscheidung von J CP
= 0+ und J CP = 0;
Eine Kopplung von skalaren (J CP = 0+) Higgs-Bosonen an Vektorbosonen unterscheidet sich signikant von einer pseudoskalaren (J CP = 0;) Kopplung. Dies soll
in diesem Abschnitt dargestellt werden. Eine skalare Kopplung ist im allgemeinen
durch die erste Zeile in (2.19) deniert. Da die Kopplungsbeitrage proportional
C gegenuber denen proportional B nur durch Strahlungskorrekturen zu erzeugen sind, liefern diese nur einen kleinen Beitrag zu einer rein skalaren Kopplung.
Daher betrachte ich zunachst nur den Beitrag
q p
(4.7)
HW +W ;
:
i 2 m2W GF 2 B g :
Die pseudoskalare Kopplung bezeichne ich durch AW +W ; und diese ist durch
den folgenden Vertex gegeben
q p
(4.8)
AW +W ;
:
i 2 GF 2D " P1P2 :
KAPITEL 4. DER KANAL H ! W +W ; ! l+ l; + 42
Ich betrachte dazu zunachst eine eindimensionale Verteilung, d.h. die eines Sekundarleptons aus dem inklusiven Zerfall H ! W +W ; ! l X , wo nur ein
W -Boson leptonisch zu zerfallen braucht. Es ist nutzlich, skalierte Energievariablen fur die geladenen Leptonen im H -Ruhesystem einzufuhren:
y = 4Em(l ) :
(4.9)
H
Die Grenzen sind gegeben durch
1 ; W y 1 + W (4.10)
q
mit W = 1 ; 4m2W =m2H . Die Integration des in Anhang B dargestellten Phasenraumes uber die Leptonwinkel und jeweils eine Leptonenergie liefert sofort die
Energieverteilungen
1 d;(0+) = 3 1 + W4 ; 2(y ; 1)2 (4.11)
; dy
2W 3 ; 2W2 + 3W4
1 d;(0;) = 3 ( 2 + (y ; 1)2) :
(4.12)
; dy
8W3 W
Diese Verteilungen, die in Abb. 4.2 fur eine Higgsmasse von mH = 300 GeV gegen
y aufgetragen sind, unterscheiden sich signikant. Der Grund liegt in der Helizitatsstruktur der erzeugten W -Bosonen (siehe Kap. 2.3.1). Bei einer Kopplung
(4.8) werden nur transversale Polarisationszustande erzeugt, d.h. jW +W ;iD =
j + +i ; j ; ;i, wahrend bei einer Kopplung (4.7) auch longitudinale Polarisa1+W2 j00i.
tionszustande erzeugt werden konnen: jW +W ;iB = j + +i + j ; ;i ; 1;
2
W
Die Energieverteilungen konnen durch Einfuhrung von Wahrscheinlichkeiten fur
longitudinale Polarisation PL und transversale Polarisation PT (PT + PL = 1)
zusammengefat werden zu
1 d; = P f (y) + P f (y) (4.13)
T
T
L
L
; dy
mit
h
i
(4.14)
fT (y) = 833 W2 + (y ; 1)2 W
h
i
fL(y) = 433 W2 ; (y ; 1)2 :
(4.15)
W
Ein SM-Higgs-Boson ist dann charakterisiert durch
2 2
PT = 2 3 ;(12;2 +W )3 4 (4.16)
W
W
2 2
W)
(4.17)
PL = 3 ;(12+2 +
4 :
W 3W
4.1. ENERGIEVERTEILUNG
43
Abbildung 4.2: Normierte Energieverteilung fur ein SM-Higgs (Linie), pseudoskalare Higgs-Kopplung (Striche) und fur einen rein longitudinalen W -Boson Zwischenzustand (Punkte).
Damit wird (4.13) identisch mit (4.11). Eine pseudoskalare Kopplung liefert dagegen PT = 1 PL = 0 wie man sofort durch Vergleich von (4.13) und (4.12) veriziert. Fur W ! 1 dominiert der longitudinale Anteil einer skalaren Kopplung.
Dies ist aber gerade identisch mit einem Vertex, der durch B = D = 0 C 6= 0
gegeben ist. D.h. jW +W ;iC = j00i. In diesem Fall wird PT = 0 PL = 1. Die
Energieverteilung (4.13) ist fur diesen Fall ebenfalls in Abb. 4.2 eingetragen. Fur
eine beliebige Mischung von transversalen und longitudinalen Anteilen in den
W -Polarisationszustanden konnen die Wahrscheinlichkeiten PL und PT durch
Projektionsoperatoren aus der normierten Energieverteilung erhalten werden
Z 1 d;
& (y)dy = PL (4.18)
; dy L
Z 1 d;
& (y)dy = PT :
(4.19)
; dy T
Die so denierten Operatoren sind dann gegeben durch
&L(y) = 2 ; 52 (y ; 1)2 (4.20)
W
5
&T (y) = ;1 + 2 (y ; 1)2 :
(4.21)
W
Zusammenfassend ist also zu sagen, da die Energieverteilungen eine sehr
gute Moglichkeit darstellen, zwischen skalaren und pseudoskalaren Teilchen, bzw.
KAPITEL 4. DER KANAL H ! W +W ; ! l+ l; + 44
Kopplungen zu unterscheiden. Sie liefern einen sehr direkten Zugang, da es hierbei nicht notig ist, die Zerfallsebenen der W -Bosonen zu rekonstruieren, um den
relativen Azimut zu bestimmen. Die Energieverteilungen liefern damit eine nutzliche Alternative zu den in der Literatur veroentlichten Methoden 24]. Abschlieend sei noch bemerkt, da das Energiespektrum (4.11) nach Korrektur
eines Tippfehlers1 mit dem von D. Chang und W.-Y. Keung 27] ubereinstimmt.
4.1.2
CP -Verletzung
Wie in Kap. 2.3.1 beschrieben, erzeugt gleichzeitige Prasenz einer Kopplung
proportional B und D bei nichtverschwindendem komplexen Phasenfaktor
Im(B=D) 6= 0 eine Asymmetrie in der Energieverteilung. Der CP -verletzende
Term in (4.3) proportional Re(BD) kann nicht zur Asymmetrie beitragen. Der
Grund dafur ist, da die Energieasymmetrie (analog zu A(x) aus Kap. 3.1.1)
gerade unter der pseudo Zeit Transformation T^ (Anfangs- und Endzustand werden nicht vertauscht) und damit CP T^ ungerade ist. Dies ndet seinen Ausdruck
darin, da die Asymmetrie durch einen Absorptivanteil erzeugt werden mu, so
da nur Terme proportional Im(BD) zugelassen sind. Insgesamt verschwinden
alle anderen Terme aus (4.3) die linear in D, also CP -verletzend sind in der
Energieverteilung. Integration uber den Phasenraum in Gleichung (4.3) gema
Anhang B und Berucksichtigung von C = 0 liefert
1 d;
1
3
= 2
2
4
2
2
; dy(l ) jB j (3 ; 2W + 3W ) + 8 jDj W 2 W
n
o
n
o
jB j2 1 + W4 ; 2(y ; 1)2 + 2 jDj2 W2 + (y ; 1)2
4 Im(BD)(1 ; W2 )(y ; 1) :
(4.22)
Man hat also einen in der Leptonenergie linearen, asymmetrischen Anteil in der
normierten Energieverteilung. Analog zu Kap. 3.1.1 kann man eine Asymmetrie
denieren
d;=dy(l+) ; d;=dy(l;)
A(y) = d;=dy(l+) + d;=dy(l;)
4 (y ; 1)(1
; W2 )n
o
o : (4.23)
= Im(BD) 2n
jB j 1 + W4 ; 2(y ; 1)2 + 2jDj2 W2 + (y ; 1)2
1
Gleichung (15) von Ref. 27] sollte lauten
1 dN =
(1 + 2 )2
N dx(l )
3 ; 2 2 + 3 4
W
W
W
!2
X
3 ; (1 ; x)2
+
4 3
W
W
=;1 +1
s
4.2. ENERGIEKORRELATION
45
4.2 Die Energiekorrelation
Die Energiekorrelation der geladenen Sekundarleptonen aus dem Proze H !
W +W ; ! l+l; liefert, genau wie im Zerfall H ! tt, zusatzliche Information
uber die Phasenraumverteilung. Deniert man nun zwei skalierte Energien
+
y = 4Em(l )
H
;
y0 = 4Em(l ) (4.24)
H
deren Grenzen durch (4.10) gegeben sind, so ist die zweidimensionale Energieverteilung, unter Vernachlassigung der Terme proportional C gegeben als
1 d;
1
9
=
2
4
2
6
0
2
2
; dydy
jB j (3n ; 2W + 3W ) + 8jDj W 32W
jB j2 (3 + 2W2 + 3W4 )((y ; 1)2 ; W2 )((y0 ; 1)2 ; W2 )
o
+2W2 (1 ; W2 )2(y ; y0)2
n
o
+4W2 jDj2 ((y ; 1)2 + W2 )((y0 ; 1)2 + W2 ) ; 4W2 (y ; 1)(y0 ; 1)
n
o
+8W2 Im(BD)(1 ; W2 ) W2 ; (y ; 1)(y0 ; 1) (y ; y0) :
(4.25)
Vernachlassigt man auerdem Terme proportional jDj2, so kann dieses geschrieben werden
1 d; = S (y y0) + Im(BD) A (y y0) (4.26)
W
; dydy0
jB j2 W
mit
SW (y y0) = 329 6 3 ; 2 21 + 3 4 2W2 (1 ; W2 )2(y ; y0)2
W
W
W
n
on 0 2 2 o
2
4
2
2
+(3 + 2W + 3W ) (y ; 1) ; W (y ; 1) ; W (4.27)
2
n
o
(4.28)
AW (y y0) = 494 3 ; 21;2 +W 3 4 W2 ; (y ; 1)(y0 ; 1) (y ; y0) :
W
W
W
Dabei ist SW (y y0) symmetrisch unter Vertauschung von y und y0 wahrend
AW (y y0) antisymmetrisch ist und daher den CP -verletzenden Anteil der Verteilung darstellt. Die letzte Funktion ist in Abb. 4.3 gezeigt. In Kap. 4.1.1 wurden
Energieverteilungen fur rein skalare und rein pseudoskalare Teilchen berechnet.
Die entsprechenden Korrelationen enthalt man aus (4.25) mit D = 0, bzw. B = 0
46
KAPITEL 4. DER KANAL H ! W +W ; ! l+ l; + Abbildung 4.3: Antisymmetrischer, CP -verletzender Teil der Energieverteilung.
1 d;(0+)
= SW (y y0) =
; dydy0
(y 0 ) ; g
(y 0 )
PT fT (y)fT
T (y )gT
+ PL fL(y)fL(y0) (4.29)
1 d;(0;) = P (y y0) = 9 n(y ; 1)2 + 2 on(y0 ; 1)2 + 2 o
W
W
W
; dydy0
64W6
;4W2 (y ; 1)(y0 ; 1)
= fT (y)fT (y0) ; gT (y)gT (y0) :
(4.30)
Fur ein SM-Higgs-Boson sind PT und PL durch (4.16) und (4.17) gegeben. Damit
wird (4.29) identisch mit (4.27). Die Funktion gT (y) ist deniert durch
gT (y) = 432 (y ; 1) (4.31)
W
und ist Ausdruck der Korrelation der Leptonen. Die Funktionen fT (y) und fL(y)
sind durch (4.14) und (4.15) deniert. In Abb. 4.4 sind die Funktionen SW (y y0)
4.2. ENERGIEKORRELATION
47
und PW (y y0) fur mH = 300 GeV gegenubergestellt, wahrend in Abb. 4.5 dies
nahe an der Produktionsschwelle (mH = 170 GeV) gezeigt ist. Die Korrelation
der Leptonen druckt sich darin aus, da bei transversalen Polarisationszustanden
der W -Bosonen ein sehr hochenergetisches Lepton (y = 1 + W ) mit einem niederenergetischen Lepton (y = 1 ; W ) korreliert ist (Kap. 2.3.1). Dies ist in der
Verteilung PW (y y0) besonders deutlich, da diese fur rein pseudoskalare HiggsZustande gilt, die ausschlielich in transversal polarisierte W -Bosonen zerfallen.
Integriert man bei der Funktion PW (y y0) nicht uber den gesamten Bereich von
z.B. y0, sondern wahlt einen \Cut", so weicht die daraus resultierende Energieverteilung fur y stark von der in Abb. 4.2 dargestellten Verteilung ab. Fur ein
rein skalares Higgs-Boson nimmt dieser Eekt fur hohere Higgs-Massen ab. Fur
mH = 300 GeV ist W = 0:854 und damit der Anteil an longitudinal polarisierten W -Bosonen schon 76%. Fur diesen Helizitatszustand sind die Leptonen
aber unkorreliert. Fur hohe Higgs-Massen geht daher SW (y y0) in das Produkt
fL(y)fL(y0) der Einteilchenfunktionen uber, was beim Vergleich von Abb. 4.4 und
Abb. 4.5 deutlich wird.
Als Orientierungspunkt fur die mogliche Anzahl der Ereignisse, aus der eine
solche Verteilung gewonnen werden kann, lat sich wieder die Ereignisrate im
SM-Higgs-Zerfall angeben. Wegen der beiden erzeugten Neutrinos mu das HiggsRuhesystem aus dem Anfangszustand rekonstruiert werden. Mit derselben Argumentation wie in Kap. 3.1.1 erhalt man fur mH = 300 GeV bei einem NLC mit
p
s = 1 TeV eine Rate von 123 Ereignissen pro Jahr im Kanal
e+e; ;! H + X (\sichtbar")
H ;! W +W ; ;! l+ l; X 0 :
(4.32)
48
KAPITEL 4. DER KANAL H ! W +W ; ! l+ l; + Abbildung 4.4: Energiekorrelationen fur a) skalare, b) pseudoskalare Kopplung.
4.2. ENERGIEKORRELATION
49
Abbildung 4.5: Energiekorrelationen fur a) skalare, b) pseudoskalare Kopplung.
50
KAPITEL 4. DER KANAL H ! W +W ; ! l+ l; + Kapitel 5
Der Kanal
H ! Z Z ! l+ l; + Der Higgs-Zerfall uber Z -Bosonen in vier Leptonen
H (P ) ;! Z (P1 )Z (P2) ;! l1(q1 ) l1(q2 ) l2(q3) l2(q4 ) (5.1)
ist prinzipiell identisch mit dem Zerfall uber zwei W -Bosonen. Der Vorteil dieses
Kanals ist, da ein Zerfall in ausschlielich geladene Leptonen moglich ist, und
damit der Endzustand vollstandig mebar ist. Das ermoglicht eine Rekonstruktion des Higgs-Ruhesystems. Somit konnen die hier angegebenen Verteilungen
und Korrelationen unabhangig vom Higgs Erzeugungsproze mit experimentellen
Daten verglichen werden. Insbesondere konnen die hohen Raten eines pp-Colliders
direkt genutzt werden. In Kap. 2.2 sind fur diesen Kanal die zu erwartenden Raten fur ein SM-Higgs angegeben. Das Matrixelement, welches graphisch in Abb.
l1
Z
l1
H
l2
Z
l2
Abbildung 5.1: Feynmandarstellung fur den Higgs-Zerfall uber Z -Bosonen.
51
KAPITEL 5. DER KANAL H ! Z Z ! l+ l; + 52
5.1 dargestellt ist, lautet unter Vernachlassigung der Leptonmassen
F m2Z 12
(v ; a5) v(q2) (;i) P 2 ; mg2 + im ;
M = u(q1 ) p;i Gp
2q 2
Z Z
1
Z
p
i2 m2Z GF 2 B g + mC2 P1 P2 + mD2 " P1P2
Z
Z
GF m2Z 12
g
;
i
(;i) P 2 ; m2 + im ; u(q3 ) p2 p2 (v ; a5) v(q4) (5.2)
Z Z
2
Z
wobei die Vektor und Axialvektor Kopplungen gegeben sind als v = ;1 +
4 sin2 (W ) a = ;1. Analog zu (4.3) erhalt man daraus die dierentielle Zerfallsrate
2
2
p 3 d8 ; = 8 (v2 + a2 )2 2 GF DZ jB j2S + jC4j L + jD4j P
mH
mZ
mZ
Re(BC )
Re(BD)
Re(CD)
+
M
+
Q
+
m2Z
m2Z
m4Z U
)
Im(BD)
Im(CD) N
;
R
;
; Im(mBC
2
m2Z
m4Z V dLips : (5.3)
Z
Die Impulsfunktionen sind nun ebenfalls unter Vernachlassigung der Leptonmassen gegeben als 33]
n
o
S = (q1 q3 )(q2 q4 ) + (q1 q4)(q2 q3 ) + 2 (q1 q3 )(q2 q4) ; (q1 q4)(q2 q3) n
4 on
4o
L = 2 (P2 q1 )(P2 q2) ; m4Z (P1 q3 )(P1 q4) ; m4Z M =
n
o
n
o
(P2 q1) (P1 q3 )(q2 q4 ) + (P1 q4 )(q2 q3 )
4
+ (P2 q2 ) (P1 q3 )(q1 q4) + (P1 q4)(q1 q3) ; mZ (P1 P2)
4
n
o
+ 2 (P1 P2) (q1 q3 )(q2 q4 ) ; (q1 q4 )(q2 q3 )
4n
o
; m4Z (q1 ; q2) (q3 ; q4) N = "(q1 q2 q3 q4) 2 (q2 q4 ) ; (q1 q3 ) n
8
o
P = ; m8Z ; 2 (q1 q3 )(q2 q4) ; (q1 q4)(q2 q3) 2
4 n
o2 n
o2 + mZ (q1 q3 ) + (q2 q4) + (q1 q4 ) + (q2 q3)
4
4 n
m
2
+ Z (q
4
1 q3 ) ; (q2 q4 )
o2 n
; (q1 q4) ; (q2 q3)
o2 5.1. ENERGIEVERTEILUNG UND KORRELATION
53
n
o
Q = "(q1 q2 q3 q4) (q1 ; q2 ) (q4 ; q3 ) ; 2(P1 P2 ) n
on 4
o
R = 2 (q1 q3) ; (q2 q4) m4Z + (q1 q3)(q2 q4) ; (q1 q4)(q2 q3 ) n
on
o n
o
U = "(q1 q2 q3 q4) P1 (q3 ; q4) P2 (q2 ; q1) ; 2 (P1 P2)2 ; m4Z 4 n
o
V = 2 (q1 q3 ) ; (q2 q4 ) m4Z (q1 ; q2 ) (q4 ; q3 )
n
o
+(P1 P2) (q1 q3 )(q2 q4) ; (q1 q4)(q2 q3) :
(5.4)
Der Propagatorfaktor DZ ist analog zu (4.5)
DZ =
Y2
m4Z
2
2 2
2 2 :
j =1 (Pj ; mZ ) + mZ ;Z
(5.5)
Die narrow-width Approximation (3.10) liefert dafur -Funktionen. Der Parameter ist deniert als
= v22+v aa2 (5.6)
2
und hat den
p numerischen Wert ' 0:16 fur sin W = 0:23. Fur W -Bosonen
(v = a = 2) gilt = 1. Auerdem ist zu beachten, da beim Ubergang zu der
entsprechenden Formel fur W -Bosonen (4.4) die Impulse q1 und q2 zu vertauschen
sind, wie durch Vergleich von (4.1) und (5.1) deutlich wird.
5.1 Energieverteilung und Korrelation
Die Energieverteilungen fur ein Lepton sind dadurch bestimmt, da ein Spin 1
Teilchen in zwei Spin 1/2 Teilchen zerfallt. Bei transversal polarisierten Vektorbosonen werden dadurch die Leptonen in und entgegengesetzt der Boson Flugrichtung emittiert, somit sind hoch- und niederenergetische Leptonen bei pseudoskalarer Kopplung (J CP = 0;) bevorzugt. Bei rein longitudinal polarisierten Vektorboson Zwischenzustanden hat man dagegen eine Energieverteilung, die durch
die Phasenraumverteilung gegeben ist (Abb. 4.2). Dies gilt unabhangig von der
Groe des Vektor-Anteils an der V ; A Kopplung, und somit sind die EinteilchenEnergieverteilungen identisch mit denen fur W -Boson Zwischenzustande, dargestellt in Kap. 4.1.
Eine Korrelation bzw. eine Asymmetrie zwischen den Sekundarleptonen wird
jedoch durch die Bevorzugung der linkshandigen Leptonen bei der V ; A Kopplung verursacht (siehe Kap. 2.3.1). Der Vektoranteil ist jedoch bei der Kopplung
KAPITEL 5. DER KANAL H ! Z Z ! l+ l; + 54
von Z -Bosonen an Leptonen unterdruckt. Die Energiekorrelationen wurden von
T. Arens und L.M. Sehgal 33] ausfuhrlich dargestellt, und sollen hier nur kurz
skizziert werden. Die physikalischen Aussagen aus Kap. 4 gelten hier analog.
Die (4.22) und (4.23) entsprechenden Ausdrucke sind1
1
3
1 d; =
2
4
2
2
2
; dy(l ) jB j (3 ; 2Z + 3Z ) + 8 jDj Z 2 Z
n
o
n
o
jB j2 1 + Z4 ; 2(y ; 1)2 + 2 jDj2 Z2 + (y ; 1)2
4 Im(BD)(1 ; 2 )(y ; 1)
Z
:
(5.7)
d;=dy(l+) ; d;=dy(l;)
AZ (y) = d;=dy(l+) + d;=dy(l;)
4 (y ; 1)(1
; Z2 )n
o
o : (5.8)
jB j 1 + Z4 ; 2(y ; 1)2 + 2jDj2 Z2 + (y ; 1)2
Die Asymmetrie AZ (y) ist um den Faktor ' 0:16 kleiner als im Fall H !
W + W ;.
Fur die Energiekorrelationen ist zu beachten, da die beiden betrachteten
Teilchen von verschiedenen Z -Bosonen stammen. Fur gleiche Ladungen (++
oder ;;) ist dies automatisch erfullt. Vergleicht man verschieden geladene
Leptonen miteinander, so erhalt man die Zuordnung zu den verschiedenen Z Bosonen uber die Rekonstruktion der invarianten Masse, welche verschieden von
mZ sein mu (fur die Zerfallsprodukte eines Z -Bosons gilt y + y0 = 2). In der
Darstellung (4.29) und (4.30) wird der Ein#u der Z -Boson Kopplung auf die
Korrelation (dessen Ausdruck die Funktion gT (y) ist) besonders deutlich. Fur
den Zerfall H ! ZZ ! l1+l1;l2+ l2; gilt analog
1 d;(0+) = S (y y0) = P f (y)f (y0) 2g (y)g (y0)
Z
T T
T
T
T
; dydy0
+ PL fL(y)fL(y0) (5.9)
= Im(BD )
n
2
1 d;(0;) = P (y y0) = f (y)f (y0) 2g (y)g (y0) :
(5.10)
Z
T
T
T
T
; dydy0
Das + Zeichen gilt fur die Korrelation zwischen gleich geladenen Paaren: (l1+ l2+)
und (l1; l2;), wahrend das { Zeichen fur ungleich geladene Paare gilt: (l1+ l2;)
und (l1; l2+). In Abb. 5.2 sind die Funktionen SZ (y y0) und PZ (y y0) fur ungleich
geladene Leptonen gegenubergestellt. Beim Vergleich mit Abb. 4.4 erkennt man
den Ein#u des Parameters . Die Korrelation, die sich in der unterschiedlichen
Hohe der Eckpunkte der Verteilung ausdruckt, ist stark unterdruckt.
1
ist durch zu ersetzen
W
Z
5.1. ENERGIEVERTEILUNG UND KORRELATION
55
Abbildung 5.2: Energiekorrelationen fur a) skalare, b) pseudoskalare Kopplung.
56
KAPITEL 5. DER KANAL H ! Z Z ! l+ l; + 5.2 Die Winkelverteilung
Durch den vollstandig sichtbaren Endzustand beim H -Zerfall in Z -Bosonen ist
es moglich die Z -Flugrichtung bzw. die Zerfallsebenen der Z -Bosonen zu rekonstruieren. Das ermoglicht die Bestimmung eines relativen Azimuts zwischen zwei
(hier: gleich) geladenen Leptonen, bezogen auf die Z -Flugrichtung. Dieser ist
identisch mit dem Winkel zwischen den Zerfallsebenen der Z -Bosonen, der mit
der Notation aus (5.1) wie folgt deniert ist
(q~ P~ ) (q~ P~ ) (q~ q~ ) (q~ q~ )
cos ' := 1 ~1 3 ~2 = 1 2 3 4 :
jq~1 P1j jq~3 P2 j jq~1 q~2 j jq~3 q~4 j
(5.11)
Im folgenden soll nun die Verteilung bezuglich dieses Winkels ' fur die Falle
einer reinen Kopplung proportional B , D und C in (2.19), sowie bei gleichzeitiger,
CP -verletzender Anwesenheit von B und D untersucht werden. Die Denition des
Winkels ' ist mit der in Anhang B identisch, so da die Phasenraumintegrationen
analog zur Energieverteilung ausgefuhrt werden konnen.
5.2.1
Unterscheidung von J CP
= 0+ und J CP = 0;
Das Matrixelement einer rein skalaren Kopplung J CP = 0+ ist deniert durch
B 6= 0 D = 0 und zunachst C = 0 in (5.2). Die Integration der entsprechenden
dierentiellen Zerfallsrate gema Anhang B liefert
2 d;(0+)
1 (1 ; Z2 )2
= 1+
cos 2'
; d'
2 3 ; 2Z2 + 3Z4
4
; 329 2 2 3 ; 12;2 +Z 3 4 cos ' Z
Z
(5.12)
in U bereinstimmung mit 3]-6] und 24]. Diese Verteilung ist in Abb. 5.3 fur zwei
verschiedene Higgsmassen gegen ' aufgetragen. Wie aus den Gleichungen (2.25) (2.27) ersichtlich hat man fur Z ! 1 rein longitudinal polarisierte VektorbosonZwischenzustande. Fur diese gibt es aber keine Korrelation der Leptonen aus
verschiedenen Z -Bosonen. Die Winkelverteilung wird daher isotrop. D.h. im Fall
Z ! 1 oder B = 0 C 6= 0 D = 0 ist die normierte Winkelverteilung (5.12)
identisch Eins.
Im Falle einer rein pseudoskalaren Kopplung J CP = 0;, die durch B = C =
0 D 6= 0 deniert ist, wird die Winkelverteilung zu
1
2 d;(0;)
= 1 ; cos 2' ; d'
4
(5.13)
5.2. WINKELVERTEILUNG
57
in U bereinstimmung mit 5], 6] und 24]. Diese Verteilung ist ebenfalls in Abb.
5.3 gegen ' aufgetragen. Der Unterschied zwischen skalaren und pseudoskalaren
Kopplungen ist hier ebenso signikant wie bei der Betrachtung der entsprechenden Energieverteilungen (Abb. 4.2).
Abbildung 5.3: Normierte Winkelverteilung fur ein SM-Higgs (Linie), pseudoskalare Higgs-Kopplung (Striche) und fur einen rein longitudinalen Z -Boson Zwischenzustand (Punkte), jeweils fur a) mH = 200 GeV und b) mH = 300 GeV.
58
5.2.2
KAPITEL 5. DER KANAL H ! Z Z ! l+ l; + CP -Verletzung
Bei gleichzeitiger Anwesenheit von Kopplungen proportional B und D ist die normierte Winkelverteilung unter Vernachlassigung von Termen proportional jDj2
2 d; = 2 d;(0+) + Re(BD) P (') ; d'
; d'
jB j2 Z
(5.14)
wobei der erste Summand durch (5.12) deniert ist. Die Funktion PZ (') ist gegeben durch
4(1 ; Z2 ) cos ' ; 9 22 (1 + Z2 )
16
(5.15)
PZ (') = Z sin '
3 ; 2Z2 + 3Z4
in U bereinstimmung mit 5] und 6]. Dieser Anteil an der normierten Winkelverteilung ist in Abb. 5.4 fur zwei verschiedene Higgsmassen dargestellt. Es ist zu
bemerken, da im Unterschied zu den Energieverteilungen kein komplexer Phasenfaktor zwischen B und D zu bestehen braucht, da der Interferenzterm proportional Re(BD) ist. Die entsprechende Impulsfunktion Q in (5.4), ist gerade
unter der Ladungstransformation C , aber ungerade unter der Paritatstransformation P sowie der pseudo Zeit Transformation T^ (vergl. Kap. 4.1.2). Das bedeutet,
dieser Anteil der dierentiellen Zerfallsrate ist CP T^ gerade. Die entsprechende
Kopplung wird daher nicht durch einen Absorptivanteil in der Amplitude erzeugt.
Abbildung 5.4: CP -verletzender Anteil an der normierten Winkelverteilung.
Kapitel 6
Zusammenfassung
Es wurden Energieverteilungen (d;=dE ) und Energiekorrelationen (d;=dE dE ),
sowie Winkelverteilungen (d;=d') von Sekundarleptonen aus dem Zerfall eines schweren Higgs-Bosons uber die drei wichtigsten Zerfallskanale berechnet.
Es wurde eine allgemeine phanomenologische Higgs-Kopplung angenommen, die
CP -gerade, sowie CP -ungerade Anteile enthalt.
Die vollstandig analytischen Ergebnisse zeigen, wie die Helizitatsstruktur des tt,
W +W oder ZZ Zwischenzustandes analysiert werden kann. Auerdem zeigen
sich signikante Unterschiede im Zerfall von CP -geraden Higgs-Bosonen zu CP ungeraden Higgs-Bosonen. Schlielich bieten die hier dargestellten Verteilungen
der Leptonen die Moglichkeit, CP -verletzende Higgs-Kopplungen zu untersuchen.
Im einzelnen stellen sich die Ergebnisse folgendermaen dar:
0
;
Helizitatsanalyse: Beim Zerfall H ! V1 V2 kann explizit der Anteil der longitudinal und transversal polarisierten Vektorbosonen aus der Energieverteilung und Energiekorrelation abgelesen werden. Die Verteilung auf die verschiedenen Polarisationszustande hangt direkt mit den CP -Eigenschaften
der Higgs-Bosonen zusammen. In den Zerfallen H ! tt und H ! V1 V2
kann in der Energiekorrelation ein Term isoliert werden, der auf der SpinKorrelation des tt bzw. V1 V2 Zwischenzustandes beruht.
Unterscheidung zwischen J CP = 0+ und J CP = 0 : Beim Zerfall H ! V1 V2
kann durch alle hier betrachteten Verteilungen zwischen skalarer und pseudoskalarer Higgs-Kopplung unterschieden werden. Die normierten Verteilungen haben fur die zwei verschiedenen Kopplungen einen absolut gegensatzlichen Verlauf und der Unterschied wachst mit steigender Higgsmasse.
CP -Verletzung: Ein CP -verletzender Anteil im Vertex HV1V2 oder Htt fuhrt
auf eine Energieasymmetrie zwischen den Sekundarleptonen von V1 und V2
;
59
60
KAPITEL 6. ZUSAMMENFASSUNG
(bzw. von t und t). Dafur ist jedoch ein relativer, imaginarer Phasenfaktor
zwischen CP -gerader und CP -ungerader Amplitude der Higgs-Kopplung
notwendig. Die Verteilung des relativen Azimuts der Sekundarleptonen aus
dem Zerfall H ! ZZ enthalt aber einen CP -verletzenden Anteil, der selbst
ohne absorptive Phase, die durch Endzustands-WW erzeugt wird, nicht
verschwindet.
Somit liefern die hier betrachteten Energieverteilungen und Energiekorrelationen, zusammen mit den betrachteten Verteilungen des relativen Azimuts der
Sekundarleptonen, ein umfassendes Instrument zur Untersuchung der Kopplung
von schweren Higgs-Bosonen.
Anhang A
Kurzlebige Zwischenzustande
An dieser Stelle soll gezeigt werden, wie sich dierentielle Zerfallsraten und damit
Energieverteilungen von Sekundarleptonen aus dem Zerfall eines Teilchens uber
kurzlebige Zwischenzustande X X berechnen lassen. Die Darstellung folgt eng
einer Arbeit von S. Kawasaki, T. Shirafuji und S.Y. Tsai 29], die von T.Arens
und L.M. Sehgal 30] auf die hier verwendete Metrik von Bjorken & Drell 34]
umgeschrieben wurde.
Das Teilchen zerfalle in zunachst ein kurzlebiges Teilchen X und ein System
a. Das Teilchen X zerfalle in ein weiteres System b:
0
;!
X + a
X ;! b :
(A.1)
(A.2)
Die dierentiellen Zerfallsraten der Teilchen und X in den Prozessen (A.1) und
(A.2) sind folgendermaen gegeben:
3
d;(s) = 1 jhX (s) ajT jij2(2)44 (p ; p ; pa ) 1 3 d p dLips(a) (A.3)
2 m
(2) 2E
(A.4)
d;(Xs) = 1 jhbjT jX (s)ij2(2)44 (p ; pb )dLips(b) 2m
wahrend die dierentielle Zerfallsrate des Gesamtprozesses gegeben ist durch
1
d; ab =
jh
a
b
j
T
j
ij2(2)44(p ; pa ; pb) dLips(a) dLips(b) : (A.5)
2m
!
Dabei sind m, p = (E p~) und s die Masse, Viererimpuls und Polarisationsvektor
von X . Auerdem sei jai = jp p pi p = (E ~p ) mit
pa = p + p + + p 61
(A.6)
ANHANG A. KURZLEBIGE ZWISCHENZUSTANDE
62
dann sei der invariante Phasenraumfaktor ("Lorentz invariant phase space")
dLips(a) =
d3 p
d3p
d3 p
:
(2)32E (2)32E (2)32E
(A.7)
Das zerfallende Teilchen soll unpolarisiert sein, und die Polarisation der Endzustande a und b soll nicht beobachtet werden. Das Matrixelement in (A.5) ist
also uber die Anfangsspins gemittelt und uber Endzustandsspins summiert. Das
Teilchen X soll den Spin 1/2 besitzen und seine Zerfallsbreite soll viel kleiner als
seine Masse sein (; M ), d.h. es gilt die narrow-width Approximation (3.10).
Fat man alle an das Fermion X koppelnden Teilchensysteme inklusive der Vertexfaktoren zu A bzw. B zusammen, so kann man die Matrixelemente aus (A.3)
und (A.4) schreiben als
hX (s) ajT ji
hbjT jX (s)i
= u (p s) A = B u (p s) :
(A.8)
(A.9)
u(p s) ist der zu X gehorige Dirac-Spinor mit der Normierung P4 =1 u u u u = 2m. Es folgt
jhX (s) ajT j1 2ij2 = 2m A ( p= 2+mm 1 +25s= ) A (A.10)
jhbjT jX (s)ij2 = 2m B ( p= 2+mm 1 +25s= ) B :
(A.11)
Mit den so denierten, formalen Spinoren A und B lautet das Matrixelement fur
den gesamten Proze
ha bjT ji
= B ( 2 p= +2 m ) A :
p ; m + im;
(A.12)
Mit der Naherung (3.10) und Unterdruckung der Summationsindizes kann das
Betragsquadrat geschrieben werden (+(p) := (p= + m)=2m)
(A.13)
jha bjT jij2 = (2m)2 m; (p2 ; m2)(B+(p)A)(A+(p)B) :
Dieser Ausdruck faktorisiert nicht in dem Sinne, da Erzeugungs- und Zerfallsproze von X getrennt berechnet werden konnen. Es gilt jedoch die Identitat
2(A+(p)B )(B +(p)A) = (A+(p)A)(B +(p)B )
+ (A+(p)5 A)(B +(p)5 B ) (A.14)
wobei
= ;g + pmp2 (A.15)
63
so da (A.13) geschrieben werden kann
jha bjT jij2 = (2m)2 m; (p2 ; m2)(B+(p)B)(A+(p) 1 +25n= A) : (A.16)
Der formale Polarisationsvektor n (es gilt p n = 0 nn = ;1) ist dabei
gegeben als
(A.17)
n = (B +(p)5 B ) :
(B +(p)B )
Die Bedeutung des Quotienten erkennt man, wenn man (A.11) schreibt als
1 jhbjT jX (s)ij2 = (B (p)B ) + (B (p) B )s :
(A.18)
+
+
5
m
Das bedeutet, da man die spinabhangige, dierentielle Zerfallsrate des Teilchens
X schreiben kann
d;(Xs) / B1 + B2 s :
(A.19)
Ein Vergleich der letzten drei Formeln zeigt, da
B
2
n = B :
(A.20)
1
Der formale Polarisationsvektor n berechnet sich daher aus dem Verhaltnis des
spinabhangigen zum spinunabhangigen Anteil der dierentiellen Zerfallsrate des
Teilchens X und ist eine reine Funktion der Impulse des Systems b. Man erhalt
schlielich
X
1 2
(p ; m2 )jhX (n) ajT jij2 jhbjT jX (s)ij2
d; a b =
2m m;
s
(2)44(p ; pa ; pb)dLips(a)dLips(b)
1
d3 p
2
4
4
= 2
jhX (n) ajT jij (2) (p ; p ; pa) (2)32E dLips(a)
2m
;1 21m 21 Xs jhbjT jX (s)ij2(2)44(p ; pb)dLips(b)
!
d;X
:
(A.21)
;
Hierbei ist d;X = (1=2) Ps d;(Xs) die dierentielle Zerfallsrate fur ein unpolarisiertes Teilchen X . d;(n) d;(s n) ist die spinabhangige Zerfallsrate des Teilchens
, wobei der Spinvektor durch die Impulsfunktion n ersetzt ist.
Betrachten wir nun den Zerfall des Teilchens uber zwei kurzlebige Zwischenzustande mit dem Spin 1/2. X sei das zu X gehorige Antiteilchen:
! X + X
X ! b
(A.22)
X ! b:
(A.23)
2 d;(n)
!
0
0
0
0
ANHANG A. KURZLEBIGE ZWISCHENZUSTANDE
64
Der Viererimpuls des Teilchens X sei p , sein Spinvektor sei s . Die Matrixelemente fur die Prozesse (A.22) und (A.23) schreiben sich dann
(A.24)
hbjT jX (s)i = B u (p s) (A.25)
hb jT jX (s )i = v (p s )C :
wobei C das System b inklusive der Vertexfaktoren berucksichtigt. Analog zur
obigen Darstellung folgt dann
d; b b = 4 d;(nm) d;X d;X (A.26)
; ;
mit
1 X (s )
1 X (s)
d;X d;X =
d; :
(A.27)
d;X =
2 s
2 s X
d;(nm) erhalt man aus der spinabhangigen Zerfallsrate d;(ss ) durch die Ersetzungen
(A.28)
s ! n = (B +(p)5 B ) (B +(p)B )
C)
(
C
(
p
)
5
s ! m = (A.29)
(C (p )C )
pp
mit = ;g + 2 . (p ) = ;p= + m ist der Projektionsoperator fur
m
2m
Zustande mit negativer Energie.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
!
0
0
0
0
0
0
0
0
;
0
;
0
0
0
0
0
0
;
A.1 Energieverteilung von Sekundarleptonen
Zur Berechnung der Energieverteilung von zunachst einem Sekundarlepton aus
dem Proze in Abb. 3.1 kann man die Formel (A.21) mit (A.20) benutzen.
Dazu benotigt man zunachst die spinabhangige, dierentielle Zerfallsrate des
Top-Quarks, das hier den kurzlebigen Zwischenzustand mit Spin 1/2 darstellt.
Aus dem Matrixelement (3.9) ergibt sich, unter Berucksichtigung des Top-Quark
Spins s+, analog zu (3.11)
jMtj 2 = ;WmW (k12 ; m2W ) 26G2F m4W (pb pn) n(pt pl+ ) + mt(s+ pl+ )o: (A.30)
Analog zu (3.19) ist die nunmehr spinabhangige Zerfallsrate (mit q := pl+ E :=
E (l+)):
1 d;(t ! l+ + ) = 12Bl (m2 ; 2 p q)(1 ; m s+ q ) : (A.31)
t
t
;t
m4t W t
pt q
d3 q
2E
A.1. ENERGIEVERTEILUNG VON SEKUNDARLEPTONEN
65
Die Ersetzungsvorschrift (A.28) lautet nun
p m
p
; mt 2tt ) pt tq q :
(A.32)
+!
Die Energieverteilung erhalt man dann sofort nach Integration uber die Leptonwinkel (siehe Kap. 3) aus der Zerfallsrate (A.21), wobei das Teilchen nun das
Higgs-Boson H ist (dessen Zerfallsrate ist in (3.7) gegeben). Es gilt nun1
d;(H ! l+ + ) = 4 Z d d;(Hn0) 1 d;(t ! l+ + ) :
(A.33)
t
d3q
dt ;t
d3 q
2E
2E
s
n
= (g
Fur die Verteilung zweier Sekundarleptonen ist dieses gema (A.26)-(A.29)
zu erweitern und man hat
Z d;(Hnm) 1 d;(t ! l+ + )
d;(H ! l+l + )
=
4
dt
dt ;t
d3q d3q
d3 q
2E 2E
2E
! l + )
d;(
t
1
;t d3q
2E
mit den Ersetzungen
0;
0
0
;
0
(A.34)
0
p m
p
; mt 2tt ) pt tq q +!
p m
p
s ! m = ;(g ; mt 2t ) p tq q :
s
n
= (g
;
1
P
Beachte: d;(Hn) = m d;(Hn m) = 2 d;(Hn 0)
t
t
0
0
(A.35)
(A.36)
66
ANHANG A. KURZLEBIGE ZWISCHENZUSTANDE
Anhang B
Vier-Teilchen Phasenraum
Die Berechnung des Vier-Teilchen Phasenraumes lat sich fur die in Kap. 4 und
Kap. 5 dargestellten Energie- und Winkelverteilungen auf elementare Integrationen zuruckfuhren, da je zwei Sekundarleptonen (gema Abb. 4.1) aus einem
Zwischenzustand hervorgehen, fur welchen zudem die narrow-width Approximation (3.10) anwendbar ist.
Sei nun M das Matrixelement fur den Proze (vergl. (4.2) und (5.2))
H (P )
;! V1(P1)
V2(P2) V1(P1) ;! l1(q1 ) l2(q2 ) (B.1)
V2(P2) ;! l3(q3 ) l4(q4 ) (B.2)
so kann die dierentielle Zerfallsrate geschrieben werden
Z
d8 ; = 1 jM j2dLips
(B.3)
2m
3
1 Z
d3 q2
d3 q3
d3 q4
2 d q1
=
j
M
j
(2)44 (P ; q1 ; q2 ; q3 ; q4 ) 2m
(2)32q10 (2)32q20 (2)32q30 (2)32q40
wobei m die Masse von H ist. Die Masse der Vektorbosonen Vi (i = 1 2) sei
mV , die Massen der Sekundarleptonen lj (j = 1 2 3 4) werde vernachlassigt.
Extrahiert man die wegen (3.10) in jM j2 enthaltenen -Funktionen indem man
schreibt
1 1 jM j2 = (P 2 ; m2 ) (P 2 ; m2 ) M~
(B.4)
1
V
2
V
2m (2)8
und benutzt die Identitat
Z
4
(P ;q1;q2;q3;q4 ) = 4(P ; P1 ; P2 )4(P1 ; q1 ; q2 )4(P2 ; q3 ; q4 )d4P1d4P2 (B.5)
67
ANHANG B. VIER-TEILCHEN PHASENRAUM
68
so kann man (B.3) schreiben
d6 ;
Z
= M~ (P12 ; m2V )d4 P1 (P22 ; m2V )d4P2 4(P ; P1 ; P2)
d3 q1 d3 q2 d3q3 d3q4
4
4
(P1 ; q1 ; q2) (P2 ; q3 ; q4) 2q10 2q20 2q30 2q40 :
(B.6)
Unter Anwendung der Identitat (E > 0)
folgt daraus
Z d3 p Z
= d4 p (p2 ; m2 ) 2E
(B.7)
Z
= 4(P ; P1 ; P2 )d4P2 4(P1 ; q1 ; q2 )d4q2 4(P2 ; q3 ; q4 )d4 q4
3P
3q
3q
d
d
d
1
1
2
2
2
2
~
(B.8)
M (P2 ; mV ) 2P10 (q2 ) 2q10 (q4 ) 2q303 :
Fuhrt man die vierdimensionalen Integrationen aus, so verbleiben Integrationen
uber das Teilchen V1, dessen Flugrichtung man im Ruhesystem des Teilchens H
in die z; Achse legt, sowie Integrationen uber die kinematischen Variablen von
l1(q1 ), das sich in der x ; z -Ebene bewegen soll, und l3 (q3 ). D.h. man hat folgende
Vierervektoren1
P1 = m2 ( 1 ! 0 0 V ) q1 = E1 ( 1 ! sin 1 0 cos 1 ) q3 = E2 ( 1 ! sin 3 cos ' sin 3 sin ' cos 3 ) :
(B.9)
d6 ;
Damit werden die noch auszufuhrenden Integrationen elementar.
1 und 3 sind jeweils die Winkel zwischen den Lepton-Impulsen und der z -Achse. ' ist der
Azimut von ~q3 in der x ; y-Ebene, bezogen auf die x-Achse.
1
Anhang C
Die Funktionen f und g
Die Energieverteilungen und Korrelationen der Sekundarleptonen aus dem Kanal
H ! tt in Kapitel 3 enthalten Funktionen f (x) und g(x) der skalierten Energie
x (3.27). Diese sind wie folgt deniert (vergl. 30]).
1. Fall:
m2W
m2t
11 ;+ 8 m2 m4
>> ;2 W + W + 2x 1 + ; x2 ( 1 + )2
: I1
>< m2t m4t
1
;
1
;
3
1
+
f (x) = 2W > 1 ; 2 m2W + m4W
: I2
2
4
>>
: 1 ; 2xm+t x2 mt
: I3
8
2
2
>> ;x mW + x2 1 + + x ln mW ; x ln(x 1 + )
>> m2t
1;
4 m2t
1;
>> 1=2
2
m
m
1
+
W + W + 2x
2 ( 1 + )2 ] : I
>
+
;
2
;
x
1
2
4
> 1+
2 <
mt mt
1;
1;
3
(1
+
)
g(x) = W >
>>
m2
1=2
m2 m4
m2
>> x ; x mW2t + x ln mW2t + 1 + 1 ; 2 mW2t + mW4t ] : I2
>>
>: x ; x2 + x ln x + 1=2 1 ; 2x + x2 ]
: I3
1+
Die Grenzen der Intervalle I sind gegeben durch:
2
x 1;
I1 : mmW2 11 ;
+
1+
t
I2 :
I3 :
1;
1+
m2W
m2t
x
x
69
m2W m2t
1:
ANHANG C. DIE FUNKTIONEN f UND g
70
2
2. Fall: mW2
mt
11 ;+ 8> m2 m4
>> ;2 W2 + W4 + 2x 1 + ; x2 ( 1 + )2
: I4
3 1 + < mt mt 1 + 1 ; 1 + 1 ; f (x) = 2W > ;2x + x2 + 2x
; x2( 1 ; )2
: I5
>>
1
;
: 1 ; 2x + x2
: I6
8
2
2
>> ;x mW + x2 1 + + x ln mW ; x ln(x 1 + )
>> m2t
1;
4 m2t
1;
>> 1=2
2
m
m
1
+
W
W
2 ( 1 + )2 ] : I
>> +
; 2 2 + 4 + 2x
;
x
4
mt mt
1;
1;
>> 1 + >
3 (1 + )2 < 2 2 1 + 1 ; 1=2
g(x) = W > ;x + x
+ x ln
+
; 2x + x2
1
;
1
+
1
+
>>
>> +2x 1 + ; x2( 1 + )2 ]
: I5
1;
1;
>>
>>
>> x ; x2 + x ln x + 1=2 1 ; 2x + x2 ]
: I6
:
1+
Hier sind die Grenzen der Intervalle I gegeben durch:
2
x m2W I4 : mmW2 11 ;
m2t
t +
m2W x 1 ; I5 :
m2t
1+
x 1:
I6 : 11 ;
+
q
Zur Abkurzung wurde deniert t = 1 ; 4m2t =m2H und
2 2 2 W = 1 ; mmW2 1 + 2 mmW2 :
t
t
Literaturverzeichnis
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;
71
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20] Siehe zum Bsp.: C. Quigg, Gauge Theories of the Strong, Weak, and Electromagnetic Interactions, Addison-Wesley 1983.
21] B. Grz$adkowski, Phys. Lett. B338 (1994) 71.
22] Siehe zum Bsp.: C. Jarlskog, CP Violation, page 3, World Scientic, Editor
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24] V. Barger, K. Cheung, A. Djouadi, B.A. Kniehl, P.M. Zerwas, Phys. Rev.
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30] T. Arens, L.M. Sehgal, Phys. Rev. D50 (1994) 4372.
31] Siehe zum Bsp.: V.D. Barger, R.J.N. Phillips, Collider Physics, AddisonWesley 1987.
32] W. Bernreuther, et al., in Ref 10] A, page 255.
33] T. Arens, L.M. Sehgal, Energy Spectra and Energy Correlations in the Decay
H ! ZZ ! + + , Aachen preprint PITHA 94/37 (1994), to appear
in Z. Phys.
;
;
34] J.D. Bjorken, S.D. Drell, Relativistische Quantenmechanik, Bibliographisches
Institut, Mannheim 1990.
74
LITERATURVERZEICHNIS
Danksagung
An erster Stelle mochte ich mich bei Herrn Prof. Dr. L.M. Sehgal fur die sehr
interessante Themenstellung, die intensive Betreuung und die vielen wertvollen
Hinweise bedanken, die fur mich eine unersetzliche Hilfe bei der Erstellung dieser
Arbeit waren.
Herrn Prof. Dr. R.H.A. Rodenberg danke ich fur das stetige Interesse am Gelingen dieser Arbeit.
Bei meinem Vater bedanke ich mich fur seine grozugige Unterstutzung und bei
meiner Frau fur das Verstandnis, welches mir wahrend meines gesamten Studiums zuteil wurde.
Besonders bedanke ich mich bei Torsten Arens. Von seiner standigen Hilfsbereitschaft konnte ich in sehr vielen, lehrreichen Diskussionen Gebrauch machen.
Ebenso bedanke ich mich bei Georg Kreyerho, der alle meine Probleme beim
Umgang mit Computern in kurzester Zeit gelost hat.
Sehr geholfen hat mir auch eine angenehme und diskussionsfreudige Atmosphare,
in der es Spa gemacht hat zu arbeiten. Dafur bedanke ich mich herzlich bei meinen Tischnachbarn Frank Kruger, Axel Hofer, Andreas Freund und bei den oben
genannten T.A. und G.K.
75