Statistik und Finanzmathematik - Hochschule Ravensburg

Mathematik 2
(Statistik und Finanzmathematik)
im Studiengang
Technik-Management (Bachelor)
Prof. Dr. Stefan Etschberger
Hochschule Weingarten
Sommersemester 2008
Organisatorisches zur Vorlesung
Vorlesungsbegleitende Unterlagen:
◮ Foliensatz
◮ Aufgabenskript
◮ Literatur:
Bamberg, G.; Baur, F.; Krapp, M. (2006): Statistik, Oldenbourg, München, 13. Auflage.
Luderer, B. (2003): Starthilfe Finanzmathematik. Zinsen, Kurse, Renditen, Teubner,
Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden, 2. Auflage.
Opitz, O. (2004): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, Oldenbourg,
München, 9. Auflage.
Vorlesungskonzept:
Klausur:
◮ Vorlesung und Übung gemischt
◮ Am Ende des Semesters
◮ Folien sind nur Grundlage für
eigene
Anmerkungen und Ergänzungen
◮ 60 Minuten Bearbeitungszeit
◮ Fragenstellen ist jederzeit
erwünscht
◮ Hilfsmittel: Schreibzeug, nicht-programmierbarer
Taschenrechner, ein DIN-A4 Blatt mit
handgeschriebenen Notizen (Vorder- und
Rückseite kann beschrieben werden, keine Kopien
oder Ausdrucke), ein beliebiges Buch
Übersicht
1
2
3
4
Einführung
Berühmte Leute zur Statistik
Wie lügt man mit Statistik?
Begriff Statistik
Grundbegriffe der Datenerhebung
Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Multivariate Daten
Verhältnis- und Indexzahlen
Wahrscheinlichkeitstheoretische
Grundlagen
Zufall und Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen und Verteilungen
Verteilungsparameter
Etschberger (HS Weingarten)
5
Mathematik 2
Induktive Statistik
Grundlagen
Punkt-Schätzung
Intervall-Schätzung
Signifikanztests
Finanzmathematik
Lernziele
Zins- und Zinseszinsrechnung
Äquivalenzprinzip
und Kapitalwert
Rentenrechnung
Tilgungsrechnung
Sommersemester 2008
3
1. Einführung
Übersicht
1
Einführung
Berühmte Leute zur Statistik
Wie lügt man mit Statistik?
Begriff Statistik
Grundbegriffe der Datenerhebung
2
Deskriptive Statistik
3
Wahrscheinlichkeitstheoretische
Grundlagen
4
Induktive Statistik
5
Finanzmathematik
Etschberger (HS Weingarten)
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Sommersemester 2008
4
1. Einführung
Berühmte Leute zur Statistik
Zitate
◮
Leonard Henry Courtney (1832-1918):
◮
There are three kinds of lies: lies, damned lies and statistics.“
”
Winston Curchill (angeblich):
◮
Ich glaube nur den Statistiken, die ich selbst gefälscht habe.“
”
Andrew Lang (1844-1912):
Wir benutzen die Statistik wie ein Betrunkener einen
”
Laternenpfahl: Vor allem zur Stütze unseres Standpunktes und
weniger zum Beleuchten eines Sachverhalts.“
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5
1. Einführung
Wie lügt man mit Statistik?
Statistik ist überall
Morgens in der Zeitung entdeckt man mehr Statistiken als Goethe und Schiller im ganzen
Leben gesehen haben:
◮ Arbeitslosenzahlen wachsen
◮ Vogelgrippe breitet sich aus
◮ 78,643% der Deutschen unzufrieden mit Klinsmann
◮ Bundesbürger verzehrt 5,8 Liter Speiseeis pro Jahr
◮ Musiker leben länger als andere Leute
◮ Tennispieler B hat noch nie gegen einen brilletragenden Linkshänder verloren, der
jünger ist als er
◮ in New York schläft man am sichersten im Central Park
Viele dieser Statistiken: Falsch, bewußt manipuliert oder unpassend ausgesucht.
Fehlerquellen:
◮ Zahlenmanipulation
◮ irreführende Darstellung der Zahlen
◮ ungenügendes Wissen
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6
1. Einführung
Wie lügt man mit Statistik?
Fehlerhafter Sprachgebrauch: richtig“ Fragen
”
1. Frage:
2. Frage:
Finden Sie, dass in einem Betrieb alle Arbeiter in
”
der Gewerkschaft sein sollten?“
Finden Sie, dass in einem Betrieb alle Arbei”
ter in der Gewerkschaft sein sollten oder muss
man es jedem einzelnen überlassen, ob er in
der Gewerkschaft sein will oder nicht?“
Resultat:
◮ Dafür: 44%
◮ Dagegen: 20%
Resultat:
◮ Dafür: 24%
◮ Dagegen: 70%
◮ Unentschieden: 36%
◮ Unentschieden: 6%
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7
1. Einführung
Wie lügt man mit Statistik?
Geänderte Definitionen
Laut einem Bericht zur Bekämpfung des Analphabetismus in
”
Deutschland“:
◮
Heute gibt es in Deutschland ca 500 000 Analphabeten
◮
Zu Kaiser Wilhelms Zeiten gab es weniger als 10 000
Was leiten Sie daraus ab?
Definition
Zu Kaiser Wilhelms Zeiten:
Analphabet ist, wer seinen Namen nicht schreiben kann.“
”
Definition heute:
Ein Analphabet ist eine Person, die sich nicht beteiligen kann an all den zielgerichteten Aktivitäten
”
ihrer Gruppe und ihrer Gemeinschaft, bei denen Lesen, Schreiben und Rechnen erforderlich ist und
an der weiteren Nutzung dieser Kulturtechniken für ihre weitere Entwicklung und die der
Gesellschaft“.
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8
1. Einführung
Wie lügt man mit Statistik?
Interpretation von Prozentzahlen
Aussage des Vertriebsleiters:
Unser Umsatz stieg vor einem Jahr um 1%. Dieses Jahr stieg das
”
Umsatzwachstum um 50%!“
Im Klartext:
◮
Basisjahr: Umsatz 100
◮
Dann: Wachstum auf 101
◮
Dieses Jahr: Wachstum des Wachstums um 50% bedeutet 1,5%
Wachstum. Also Umsatz dann 102,5049
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9
1. Einführung
Wie lügt man mit Statistik?
Verzerrte Zeitachse
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10
1. Einführung
Wie lügt man mit Statistik?
Richtige Achsen
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11
1. Einführung
Wie lügt man mit Statistik?
Richtige Achsenausschnitte
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12
1. Einführung
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Wie lügt man mit Statistik?
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13
1. Einführung
Wie lügt man mit Statistik?
Falsche Berechnungsbasis
◮
Ein Einzelhändler bezieht ein Produkt zu 100 € und verkauft es für
200 €. Hat er eine Gewinnspanne von 50% oder 100%?
◮
Bahn: 9 Tote pro 10 Mio Passagieren je Kilometer
Flugzeug: 3 Tote pro 10 Mio Passagieren je Kilometer
Bahn: 7 pro 10 Mio Passagiere je Stunde
Flugzeug: 24 pro 10 Mio Passagiere je Stunde
◮
Übernachten im Central Park ist sicher:
(Anteil der dort begangenen Gewaltverbrechen zur Gesamtzahl der
Verbrechen wird berechnet.)
◮
Die Hälfte der Todesfälle ereignen sich in Krankenhäusern
Also: Krankenhäuser sind lebenssgefährlich
◮
Zwei Drittel aller alkoholabhängigen Personen sind verheiratet
Also: die Ehe führt zum Alkohol
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1. Einführung
Wie lügt man mit Statistik?
Auswahl der Stichprobe
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15
1. Einführung
Begriff Statistik
Bedeutungen des Begriffs Statistik“
”
Statistik
Zusammenstellung
von Zahlen
Statistische
Methodenlehre
Wahrscheinlichkeitstheorie
Deskriptive
Statistik
Induktive
Statistik
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16
1. Einführung
Begriff Statistik
Einfaches Beispiel
Beispiel
12 Beschäftigte werden nach der Entfernung zum Arbeitsplatz (in km) befragt.
Antworten: 4, 11, 1, 3, 5, 4, 20, 4, 6, 16, 10, 6
◮ deskriptiv:
- Durchschnittliche Entfernung: 7,5
- Klassenbildung:
[0; 5) [5; 15) [15; 30)
Klasse
Häufigkeit
5
5
2
◮ induktiv:
- Schätze die mittlere Entfernung aller Beschäftigten.
- Prüfe, ob die mittlere Entfernung geringer als 10 km ist.
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1. Einführung
Grundbegriffe der Datenerhebung
Merkmale
◮
Merkmalsträger:
Untersuchte statistische Einheit
◮
Merkmal:
Interessierende Eigenschaft des Merkmalträgers
◮
◮
(Merkmals-)Ausprägung: Konkret beobachteter Wert‘ des Merkmals
’
Grundgesamtheit:
Menge aller relevanen Merkmalsträger
◮
Typen von Merkmalen:
a) qualitativ – quantitativ
· qualitativ:
z.B. Geschlecht
· quantitativ: z.B. Schuhgröße
· Qualitative Merkmale sind quantifizierbar (weiblich: 1, männlich: 0)
b) diskret – stetig
· diskret: Abzählbar viele unterschiedliche Ausprägungen
· stetig: Alle Zwischenwerte realisierbar
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18
1. Einführung
Grundbegriffe der Datenerhebung
Skalenniveaus
Nominalskala:
◮
◮
Zahlen haben nur Bezeichnungsfunktion
z.B. Artikelnummern
Ordinalskala:
◮
◮
◮
zusätzlich Rangbildung möglich
z.B. Schulnoten
Differenzen sind aber nicht interpretierbar!
➠ Addition usw. ist unzulässig.
Kardinalskala:
◮
◮
zusätzlich Differenzbildung sinnvoll
z.B. Gewinn
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19
1. Einführung
Grundbegriffe der Datenerhebung
Skalendegression und Skalenprogression
Ziel der Skalierung: Gegebene Information angemessen abbilden, möglichst
ohne Über- bzw. Unterschätzungen
Es gilt:
◮
Grundsätzlich können alle Merkmale nominal skaliert werden.
◮
Grundsätzlich kann jedes metrische Merkmal ordinal skaliert werden.
Das nennt man Skalendegression. Dabei: Informationsverlust
Aber:
◮
Nominale Merkmale dürfen nicht ordinal- oder metrisch skaliert werden.
◮
Ordinale Merkmale dürfen nicht metrisch skaliert werden.
Das nennt nennt man Skalenprogression. Dabei: Interpretation von mehr
Informationen in die Merkmale, als inhaltlich vertretbar.
(Gefahr der Fehlinterpretation)
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20
1. Einführung
Grundbegriffe der Datenerhebung
Klassische Informationsniveaus
Absolutskala
Ordinal
Verhältnisskala
Intervallskala
Nominal
Metrisch
Informationsniveau
hoch
niedrig
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21
2. Deskriptive Statistik
Übersicht
1
Einführung
2
Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Multivariate Daten
Verhältnis- und Indexzahlen
3
Wahrscheinlichkeitstheoretische
Grundlagen
4
Induktive Statistik
5
Finanzmathematik
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22
2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Häufigkeitsverteilungen
Auswertungsmethoden für eindimensionales Datenmaterial
◮ Merkmal X wird an n Merkmalsträgern beobachtet ➠ Urliste (x1 , . . . , xn )
Im Beispiel: x1 = 4, x2 = 11, . . . , x12 = 6
◮ Urlisten sind oft unübersichtlich, z.B.:
4 5 4 1 5 4 3 4 5 6 6 5 5 4 7 4 6 5 6 4 5 4 7 5 5
6 7 3 7 6 6 7 4 5 4 7 7 5 5 5 5 6 6 4 5 2 5 4 7 5
◮ Dann zweckmäßig: Häufigkeitsverteilungen
Ausprägung (sortiert)
absolute Häufigkeit
kumulierte abs. Häufigkeit
aj
P
1
2
3
4
5
6
7
1
1
2
12
17
9
8
50
h(ai )
1
2
4
16
33
42
50
−
f(aj ) = h(aj )/n
1
50
1
50
2
50
12
50
17
50
9
50
8
50
1
1
50
2
50
4
50
16
50
33
50
42
50
1
−
h(aj ) = hj
H(aj ) =
j
P
i=1
relative Häufigkeit
kumulierte rel. Häufigkeit
F(aj ) =
j
P
f(ai )
i=1
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23
2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Graphische Darstellungen
0
5
10
15
➊ Balken- oder Stabdiagramm
1
2
3
4
5
6
7
(Höhe proportional zu Häufigkeit)
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24
2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Graphische Darstellungen
➋ Kreissektorendiagramm
4
Winkel:
wj = 360◦ · f(aj )
3
2
z.B.
5
w1 = 360◦ ·
w7 = 360◦ ·
1
50
8
50
1
= 7,2◦
= 57,6◦
7
(Fläche proportional zu Häufigkeit)
6
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25
2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Graphische Darstellungen
➌ Histogramm
- für klassierte Daten
- Fläche proportional zu Häufigkeit:
Höhej · Breitej = c · h(aj )
⇒
Höhej = c ·
h(aj )
Breitej
- Im Beispiel mit c = 15:
Klasse
[0; 5)
[5; 15)
[15; 30]
15
h(aj )
Breitej
Höhej
5
5
15
5
10
7,5
2
15
2
7,5
2
5
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15
30
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26
2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Lageparameter
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27
2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Lageparameter
◮
Modus xMod : häufigster Wert
Beispiel:
aj
h(aj )
1
4
2 4
3 1
⇒ xMod = 1
Sinnvoll bei allen Skalenniveaus.
◮
Median xMed : mittlerer Wert‘, d.h.
’
1. Urliste aufsteigend sortieren: x1 ≦ x2 ≦ · · · ≦ xn
2. Dann
xMed
= x n+1 ,
falls n ungerade
2
∈ [x n2 ; x n2 +1 ], falls n gerade (meist xMed =
1
2
(x n2 + x n2 +1 ))
Im Beispiel oben:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 4 ⇒ xMed ∈ [1; 2], z.B. xMed = 1,5
Sinnvoll ab ordinalem Skalenniveau.
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2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Lageparameter (2)
◮
Arithmetisches Mittel x̄: Durchschnitt, d.h.
n
k
i=1
j=1
1X
1X
xi =
aj · h(aj )
x̄ =
n
n
Im Beispiel:
x̄ =
1
8
· (1| + 1 {z
+ 1 + 1} + |2 + {z
2 + 2} + |{z}
4 ) = 1,75
1·4
2·3
4·1
Sinnvoll nur bei kardinalem Skalenniveau.
Bei klassierten Daten:
P
Klassenmitte · Klassenhäufigkeit
x̄∗ = n1
Im Beispiel:
x̄∗ =
1
12
Etschberger (HS Weingarten)
· (2,5 · 5 + 10 · 5 + 22,5 · 2) = 8,96 6= 7,5 = x̄
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29
2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Streuungsparameter
◮
◮
◮
Voraussetzung: kardinale Werte x1 , . . . , xn
Beispiel:
a) xi 1950 2000 2050
je x̄ = 2000
b) xi
0
0
6000
Spannweite: SP = max xi − min xi
i
i
Im Beispiel:
a) SP = 2050 − 1950 = 100
b) SP = 6000 − 0
= 6000
◮
Mittlere quadratische Abweichung:
n
s2 =
n
1X 2
1X
(xi − x̄)2 =
xi − x̄2
n
n
i=1
| i=1{z
}
Verschiebungssatz
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2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Streuungsparameter (2)
◮
Mittlere quadratische Abweichung im Beispiel:
a) s2 =
=
b) s2 =
◮
· (502 + 02 + 502 )
· (19502 + 20002 + 20502) − 20002 = 1666,67
· (20002 + 20002 + 40002)
· (02 + 02 + 60002) − 20002
√
Standardabweichung: s = s2
Im Beispiel:
√
a) s = 1666,67 = 40,82
√
b) s = 8000000 = 2828,43
=
◮
1
3
1
3
1
3
1
3
= 8000000
Variationskoeffizient: V = x̄s (maßstabsunabhängig)
Im Beispiel:
a) V = 40,82
= 0,02 (b
= 2 %)
2000
b) V =
2828,43
2000
Etschberger (HS Weingarten)
= 1,41 (b
= 141 %)
Mathematik 2
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31
2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Konzentrationsmaße
◮ Gegeben: kardinale Werte 0 ≦ x1 ≦ x2 ≦ · · · ≦ xn
◮ Achtung! Die Werte müssen aufsteigend sortiert werden!
◮ Lorenzkurve:
Wieviel Prozent der Merkmalssumme entfällt auf die x
Prozent kleinsten Merkmalsträger?
◮ Beispiel: Die 90 % ärmsten besitzen 20 % des Gesamtvermögens.
◮ Streckenzug: (0, 0), (u1 , v1 ), . . . , (un , vn ) = (1, 1) mit
k
P
xi
i=1
vk = Anteil der k kleinsten MM-Träger an der MM-Summe = P
n
xi
i=1
uk = Anteil der k kleinsten an der Gesamtzahl der MM-Träger =
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
k
n
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32
2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Lorenzkurve: Beispiel
Markt mit fünf Unternehmen; Umsätze: 6, 3, 11, 2, 3 (Mio. €)
5
P
vk
xk = 25
⇒ n = 5,
k=1
•
k
1
2
3
4
5
xk
2
3
3
6
11
pk
vk
uk
2
25
2
25
1
5
3
25
5
25
2
5
3
25
8
25
3
5
6
25
14
25
4
5
11
25
Etschberger (HS Weingarten)
1
1
45 ◦
-L
in
ie
1
14
25
8
25
5
25
2
25
L
•
•
Mathematik 2
•
1
5
•
2
5
•
3
5
4
5
1
Sommersemester 2008
uk
33
2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Lorenzkurve
◮
Knickstellen:
- Bei i-tem Merkmalsträger ⇐⇒ xi+1 > xi
- Empirische Verteilungsfunktion liefert Knickstellen:
◮
aj
2
3
6
11
h(aj )
f(aj )
F(aj )
1
2
1
1
1
5
1
5
2
5
3
5
1
5
4
5
1
5
1
Vergleich von Lorenzkurven:
•
•
•
•
➀
•
Gleichverteilung
•
extreme Konzentration
Etschberger (HS Weingarten)
➀
➁
•
➁ höher konzentriert als ➀
Mathematik 2
➁
•
unvergleichbar
Sommersemester 2008
34
2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Lorenzkurve: Beispiel Bevölkerungsanteil gegen BSP
1.0
Bangladesch
Brasilien
Deutschland
Ungarn
USA
Anteil am BSP
0.8
0.6
0.4
(Stand 2000)
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Anteil der Bevölkerung
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
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35
2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Einkommensverteilung in Deutschland
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Mathematik 2
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36
2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Gini-Koeffizient
◮ Numerisches Maß der Konzentration:
G=
Fläche zwischen 45◦ -Linie und L
=
Fläche unter 45◦ -Linie
◮ Aus den Daten:
2
G=
n
P
i xi − (n + 1)
n
P
i=1
i=1
n
n
P
xi
2
xi
n
P
i pi − (n + 1)
i=1
=
n
xi
pi = P
n
xi
i=1
i=1
◮ Problem: Gmax =
wobei
n−1
n
➠ Normierter Gini-Koeffizient:
G∗ =
Etschberger (HS Weingarten)
n
· G ∈ [0; 1]
n−1
Mathematik 2
Sommersemester 2008
37
2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Gini-Koeffizient: Beispiel
Beispiel:
i
xi
pi
G=
Mit Gmax =
2· 1·
4−1
4
1
20
+2·
1
1
2
2
3
2
4
15
1
20
2
20
2
20
15
20
2
20
2
+ 3 · 20
+4·
4
15
20
P
20
1
− (4 + 1)
= 0,525
= 0,75 folgt
G∗ =
Etschberger (HS Weingarten)
4
· 0,525 = 0,7
4−1
Mathematik 2
Sommersemester 2008
38
2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Weitere Konzentrationsmaße
◮ Konzentrationskoeffizient:
CRg = Anteil, der auf die g größten entfällt =
n
X
pi = 1 − vn−g
i=n−g+1
◮ Herfindahl-Index:
H=
n
X
p2i
(∈ [ n1 ; 1])
i=1
Es gilt: H =
1
n
(V 2 + 1)
V=
bzw.
◮ Exponentialindex:
E=
n
Y
ppi i
i=1
∈ [ n1 ; 1]
√
n·H−1
wobei
00 = 1
◮ Im Beispiel:
CR2 =
17
20
= 0,85; H =
Etschberger (HS Weingarten)
1 2
20
+ ··· +
15 2
20
= 0,59; E =
Mathematik 2
1
20
201
···
15
20
15
20
= 0,44
Sommersemester 2008
39
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Auswertungsmethoden für mehrdimensionales
Datenmaterial
Kontingenztabelle und Streuungsdiagramm
◮
Gegeben: Urliste vom Umfang n zu zwei Merkmalen X und Y:
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn )
◮
Kontingenztabelle:
Sinnvoll bei wenigen Ausprägungen bzw. bei klassierten Daten.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
40
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Kontingenztabelle
Unterscheide:
◮
Gemeinsame Häufigkeiten:
hij = h(ai , bj )
◮
Randhäufigkeiten:
hi· =
l
X
hij
und
j=1
◮
h·j =
k
X
hij
i=1
Bedingte (relative) Häufigkeiten:
f1 (ai | bj ) =
Etschberger (HS Weingarten)
hij
h·j
und
Mathematik 2
f2 (bj | ai ) =
hij
hi·
Sommersemester 2008
41
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Häufigkeiten
Beispiel: 400 unfallbeteiligte Autoinsassen:
leicht verletzt schwer verletzt
(= b1 )
(= b2 )
angegurtet
(= a1 )
nicht angegurtet
(= a2 )
f2 (b3 | a2 ) =
f1 (a2 | b3 ) =
4
40
4
10
= 0,1
= 0,4
Etschberger (HS Weingarten)
tot
(= b3 )
264
(= h11 )
2
(= h21 )
90
(= h12 )
34
(= h22 )
6
(= h13 )
4
(= h23 )
360
(= h1· )
40
(= h2· )
266
(= h·1 )
124
(= h·2 )
10
(= h·3 )
400
(= n)
(10 % der nicht angegurteten starben.)
(40 % der Todesopfer waren nicht angegurtet.)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
42
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Streuungsdiagramm
Streuungsdiagramm sinnvoll bei vielen verschiedenen Ausprägungen
(z.B. stetige Merkmale)
➠ Alle (xi , yi ) sowie (x̄, ȳ) in Koordinatensystem eintragen.
y
i
1 2 3 4 5
xi
yi
2 4 3 9 7
4 3 6 7 8
⇒ x̄ =
ȳ =
25
5
28
5
x̄
8
Beispiel:
=5
= 5,6
P
25
28
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
•
•
•
•
•
ȳ
•
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
43
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Beispiel Streuungsdiagramm
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
44
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Korrelationsrechnung
◮
Frage: Wie stark ist der Zusammenhang zwischen X und Y?
◮
Antwort: Korrelationskoeffizienten
◮
Wahl abhängig vom Skalenniveau von X und Y:
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
45
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient
Voraussetzung: X, Y kardinalskaliert
n
P
n
P
xi yi − nx̄ȳ
s
=s
∈ [−1; +1]
r= s
n
n
n
n
P
P
P
P
2
2
2
2
2
2
(yi − ȳ)
(xi − x̄)
xi − nx̄
yi − nȳ
(xi − x̄)(yi − ȳ)
i=1
i=1
i=1
Etschberger (HS Weingarten)
i=1
i=1
Mathematik 2
i=1
Sommersemester 2008
46
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient
Im Beispiel:
i
1
2
3
4
5
P
x2i
y2i xi yi
4
16
9
81
49
16
9
36
49
64
8
12
18
63
56
25 28 159 174
157
xi yi
2
4
3
9
7
4
3
6
7
8
Etschberger (HS Weingarten)

























x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 28/5 = 5,6
⇒
Mathematik 2
157 − 5 · 5 · 5,6
√
159 − 5 · 52 174 − 5 · 5,62
= 0,703
r= √
(stark positive Korrelation)
Sommersemester 2008
47
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Rangkorrelationskoeffizient von Spearman
◮
◮
Voraussetzung: X, Y (mindestens) ordinalskaliert
Vorgehensweise:
(′)
➀ Rangnummern Ri (X) bzw. Ri′ (Y) mit Ri = 1 bei größtem Wert
usw.
➁ Berechne
n
P
6 (Ri − Ri′ )2
rSP = 1 − i=1
∈ [−1; +1]
(n − 1) n (n + 1)
◮
Hinweise:
- rSP = +1 wird erreicht bei Ri = Ri′
- rSP = −1 wird erreicht bei Ri = n + 1 − Ri′
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
∀ i = 1, . . . , n
∀ i = 1, . . . , n
Sommersemester 2008
48
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Rangkorrelationskoeffizient von Spearman
Im Beispiel:
rSP = 1 −
xi
Ri
yi
Ri′
2
4
3
9
7
5
3
4
1
2
4
3
6
7
8
4
5
3
2
1
6 · [(5 − 4)2 + (3 − 5)2 + (4 − 3)2 + (1 − 2)2 + (2 − 1)2 ]
= 0,6
(5 − 1) · 5 · (5 + 1)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
49
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Kontingenzkoeffizient
◮
◮
Gegeben: Kontingenztabelle mit k Zeilen und l Spalten (vgl. hier)
Vorgehensweise:
➀ Ergänze Randhäufigkeiten
hi· =
l
X
hij
und
j=1
h·j =
k
X
hij
i=1
➁ Berechne theoretische Häufigkeiten“
”
hi· · h·j
h̃ij =
n
➂ Berechne
χ2 =
k X
l
X
(hij − h̃ij )2
i=1 j=1
h̃ij
χ2 hängt von n ab! (hij 7→ 2 · hij ⇒ χ2 7→ 2 · χ2 )
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
50
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Kontingenzkoeffizient
➃ Kontingenzkoeffizient:
K=
wobei
s
χ2
n + χ2
r
M−1
mit
M
➄ Normierter Kontingenzkoeffizient:
Kmax =
K∗ =
K
Kmax
∈ [0; Kmax ]
M = min{k, l}
∈ [0; 1]
K∗ = +1 ⇐⇒
bei Kenntnis von xi kann yi erschlossen werden u.u.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
51
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Kontingenzkoeffizient
Beispiel
X:
Y:
Staatsangehörigkeit
Geschlecht
hij
d
a
h·j
wobei h̃11 =
χ2 =
(30−24)2
24
K =
q
K∗ =
60·40
100
+
6,25
100+6,25
0,2425
0,7071
(d,a)
(m,w)
m
30
10
40
w
30
30
60
hi·
60
40
100
⇒
m
24
16
w
36
24
= 24 usw.
(30−36)2
36
+
= 0,2425;
(10−16)2
16
+
(30−24)2
24
= 6,25
M = min{2, 2} = 2;
= 0,3430
Etschberger (HS Weingarten)
h̃ij
d
a
Mathematik 2
Kmax =
q
2−1
2
= 0,7071
Sommersemester 2008
52
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Regressionsrechnung
◮
Interpretiere Y als Funktion von X:
y = f(x)
◮
X heißt Regressor bzw. unabhängige Variable
Y heißt Regressand bzw. abhängige Variable
◮
Hauptfall: f ist eine Gerade:
y = a+ bx
◮
Lineare Regression: Schätze a und b
◮
Prinzip der kleinsten Quadrate: a, b so, dass
Q(a, b) =
n
X
[yi − (a + b xi )]2 → min
i=1
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
53
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Prinzip der kleinsten Quadrate
Eindeutige Lösung:
b̂
=
=
n
X
(xi − x̄)(yi − ȳ)
i=1
n
X
n
X
(xi − x̄)2
i=1
xi yi − nx̄ȳ
i=1
n
X
x2i − nx̄2
i=1
und
â
=
ȳ − b̂ x̄
Regressionsgerade: ŷ = â + b̂ x
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
54
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Beispiel Regressionsrechnung
Alle (xi , yi ) sowie (x̄, ȳ) als Streuplot in Koordinatensystem
eingetragen
y
i
1 2 3 4 5
xi
yi
2 4 3 9 7
4 3 6 7 8
⇒ x̄ =
ȳ =
25
5
28
5
x̄
8
Beispiel:
=5
= 5,6
P
25
28
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
•
•
•
•
•
ȳ
•
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
55
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Regressionsrechnung: Beispiel
i
1
2
3
4
5
P
xi yi
2
4
3
9
7
4
3
6
7
8
x2i
y2i xi yi
4
16
9
81
49
16
9
36
49
64
25 28 159 174
n
x̄
ȳ
P 2
xi
P
xi yi
⇒ b̂
â
⇒y
8
12
18
63
56
157
y
8
7
6
5
4
=
=
=
=
=
=
=
=
5
5
5,6
159
157
157−5·5·5,6
159−5·52
= 0,5
5,6 − 0,5 · 5 = 3,1
3,1 + 0,5 x
Etschberger (HS Weingarten)
3
2
1
x̄
8
•
7
â + b̂ x
•
6
•
5
4
•
ȳ
•
3
•
2
1
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
x
Prognose: ŷ(10) = 3,1 + 0,5 · 10 = 8,1
Mathematik 2
Sommersemester 2008
56
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Determinationskoeffizient
◮ Wie gut beschreibt â + b̂ x den Zusammenhang von X und Y?
◮ Q(â, b̂) =
n
P
(yi − ŷi )2 als Gütemaß ungeeignet (beliebig groß)
i=1
◮ Determinationskoeffizient (Bestimmtheitskoeffizient):
2
R =
n
P
(ŷi − ȳ)2
i=1
n
P
(yi −
i=1
=
ȳ)2
n
P
i=1
n
P
i=1
ŷ2i − nȳ2
y2i
−
nȳ2
= r2 ∈ [0; 1]
◮ R2 heißt auch durch die Regression erklärter Anteil der Varianz“
”
◮ R2 = 0 wird erreicht wenn X, Y unkorreliert
2
R = 1 wird erreicht wenn ŷi = yi ∀ i (alle Punkte auf Regressionsgerade)
P 2
◮ Im Beispiel: ŷi = 3,1 + 0,5 xi , n = 5, ȳ = 5,6,
yi = 174
2
2 −5·5,62
= 0,4942
R2 = 4,1 +···+6,6
i
1
2
3
4
5
174−5·5,62
⇒
2
2
2
ŷi
4,1 5,1 4,6 7,6 6,6
R = r = 0,703
= 0,4942
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
57
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Regression: 4 eindimensionale Beispiele
i
x1i
x2i
x3i
x4i
y1i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10
8
13
9
11
14
6
4
12
7
5
10
8
13
9
11
14
6
4
12
7
5
10
8
13
9
11
14
6
4
12
7
5
8
8
8
8
8
8
8
19
8
8
8
8.04
6.95
7.58
8.81
8.33
9.96
7.24
4.26
10.84
4.82
5.68
y2i
y3i
y4i
9.14 7.46 6.58
8.14 6.77 5.76
8.74 12.74 7.71
8.77 7.11 8.84
9.26 7.81 8.47
8.10 8.84 7.04
6.13 6.08 5.25
3.10 5.39 12.50
9.13 8.15 5.56
7.26 6.42 7.91
4.74 5.73 6.89
(Quelle: Anscombe, Francis J. (1973) Graphs in statistical analysis.)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
58
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Regression: 4 eindimensionale Beispiele
In der folgenden Tabelle sind jeweils die Ergebnisse der
Regressionsanalyse von xi als unabhängiger Variablen mit yi als
abhängiger Variablen dargestellt:
i
β0
β1
R2
korrigiertes R2
rxi yi
1
2
3
4
3.0001
3.0010
3.0025
3.0017
0.5001
0.5000
0.4997
0.4999
0.6665
0.6662
0.6663
0.6667
0.6295
0.6292
0.6292
0.6297
0.8164205
0.8162365
0.8162867
0.8165214
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
59
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
12
10
8
y2
4
6
8
4
6
y1
10
12
Regression: 4 eindimensionale Beispiele
5
10
15
5
10
12
10
4
6
8
y4
10
8
4
6
y3
15
x2
12
x1
5
10
15
5
x3
Etschberger (HS Weingarten)
10
15
x4
Mathematik 2
Sommersemester 2008
60
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Modell des additiven Zeitreihenmodells
◮
Additives Zeitreihenmodell: yt = Tt + Zt + St + Ut mit:
Tt
Zt
St
Ut
:
:
:
:
Trendkomponente, i.d.R. linear
Zyklische Komponente, i.d.R. wellenförmig
Saisonkomponente, durch saisonalen Einfluss
Irreguläre Komponente, schwankt regellos um 0
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
61
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Ermittlung der Zeitreihenkomponenten
◮
Tt : i.d.R. mit Regression nach t,
T̂t = â + b̂ · t
=⇒ Trendbereinigte Zeitreihe yt − T̂t
◮
Zt : Schätze zuerst die glatte Komponente
G t = Tt + Z t
auf Basis gleitender Durchschnitte =⇒
Ẑt = Ĝt − T̂t
(Hier nicht weiter betrachtet)
◮
St : Schätzung durch Saisonbereinigung
◮
Ut : Bleiben unberücksichtigt
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
62
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Saisonbereinigung: Gleitende Durchschnitte
◮
Zur Schätzung der glatten Komponente
◮
Ordnung“: Anzahl einbezogener Perioden =
b Saisonlänge
”
Gleitender Durchschnitt ungerader Ordnung 2 k + 1:
◮
y∗t =
t+k
X
1
yτ
2k + 1
τ=t−k
◮
Gleitender Durchschnitt gerader Ordnung 2 k:


t+(k−1)
X
yt+k 
1  yt−k
yτ +
y∗t =
+
2k
2
2
τ=t−(k−1)
◮
Problem: Am Rand“ gehen Werte verloren.
”
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
63
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Beispiel gleitende Durchschnitte
Beispiel:
Wochentage, tägliche Daten
=⇒ Saisonlänge: 7
yt
y∗t
Mo Di Mi Do Fr Sa So Mo Di Mi Do Fr Sa So
3
4 5
5
4
2
1
2
4 4
5 3 1 1
− − − 3,43 3,29 3,29 3,14 3,14 3 2,86 2,86 − − −
Wert 1. Donnerstag:
1
7
· (3 + 4 + 5 + 5 + 4 + 2 + 1) = 3,43
Wert 1. Freitag:
1
7
· (4 + 5 + 5 + 4 + 2 + 1 + 2) = 3,29 = 3,43 −
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
3
7
+
2
7
Sommersemester 2008
64
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Saisonbereinigung
◮
Aus yt = Tt + Zt + St + Ut
folgt St = yt − (Tt + Zt ) .
| {z }
Ut = 0
unter Annahme von
= Gt
◮
Also: Schätze Gt mit gleitenden Durchschnitten y∗t und dann St gemäß
yt − y∗t
◮
( um die glatte Komponente bereinigte Zeitreihe“).
”
Periodentypische Abweichung (konstante Saisonfigur):
S̃j =
1 X
(yt − y∗t )
mj
Dabei: mj ist Anzahl der Werte, die in die Berechnung von S̃j eingehen
(z.B. Anzahl aller gleitenden Durchschnittswerte für Januar) Stand
7.4.2008
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
65
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Saisonbereinigung
Achtung: Anderer Index!
t = 1, . . . , n :
j = 1, . . . , ℓ :
◮
Alle Perioden der Zeitreihe
Perioden einer Saison
Aber: Im Allgemeinen ist
ℓ
X
j=1
S̃j 6= 0
=⇒ Saisonveränderungszahl:
ℓ
1X
S̃j
Ŝj = S̃j −
ℓ
j=1
◮
Saisonbereinigte Zeitreihe: yt − Ŝj
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
66
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Saisonbereinigung: Rezept“
”
Rezept Saisonbereinigung
y∗t
1.
Gleitende Durchschnitte der Ordnung ℓ:
2.
Um glatte Komponente bereinigte Werte: yt − y∗t
3.
Periodendurchschnitte:
4.
Normierte Werte:
5.
Saisonbereinigte Zeitreihe:
1
mj
P
(yt − y∗t )
P
Ŝj = S̃j − 1ℓ
S̃j
S̃j =
yt − Ŝj
Dabei:
◮
mj ist Anzahl der Werte, die in die Berechnung von S̃j eingehen
(z.B. Anzahl aller gleitenden Durchschnittswerte für Januar)
◮
l ist Anzahl der Saisonteile (z.B. l = 12 bei Jahressaisonfiguren mit
monatlichen Daten)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
67
2. Deskriptive Statistik
Verhältnis- und Indexzahlen
Klassifikation von Verhältniszahlen
Verhältniszahlen und Indexzahlen
Gliederungszahlen
(z.B. Eigenkapitalquote)
Verhältniszahlen
(Quotienten)
Messzahlen
(z.B. Preismesszahlen)
Beziehungszahlen
(z.B. Variationskoeffizient)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
68
2. Deskriptive Statistik
Verhältnis- und Indexzahlen
Preisindizes
◮
Preismesszahl: Misst Preisveränderung eines einzelnen Gutes:
Preis zum Zeitpunkt j
Preis zum Zeitpunkt i
dabei: j: Berichtsperiode, i: Basisperiode
◮
Preisindex: Misst Preisveränderung mehrerer Güter
(Aggregation von Preismesszahlen durch Gewichtung)
◮
Notation:
p0 (i) :
pt (i) :
q0 (i) :
qt (i) :
Etschberger (HS Weingarten)
Preis des i-ten Gutes in Basisperiode
0
Preis des i-ten Gutes in Berichtsperiode t
Menge des i-ten Gutes in Basisperiode
0
Menge des i-ten Gutes in Berichtsperiode t
Mathematik 2
Sommersemester 2008
69
2. Deskriptive Statistik
Verhältnis- und Indexzahlen
Preisindizes
◮ Gleichgewichteter Preisindex:
G
P0t
=
n
n
X
1 X pt (i)
pt (i)
=
· g(i)
n
p0 (i)
p0 (i)
i=1
g(i) =
mit
i=1
1
n
Nachteil: Auto und Streichhölzer haben gleiches Gewicht
Lösung: Preise mit Mengen gewichten!
◮ Preisindex von Laspeyres:
L
P0t
=
n
P
i=1
n
P
pt (i)q0 (i)
=
p0 (i)q0 (i)
n
X
pt (i)
· g0 (i)
p0 (i)
mit
n
X
pt (i)
· gt (i)
p0 (i)
mit
g0 (i) =
i=1
i=1
p0 (i) q0 (i)
n
P
p0 (j) q0 (j)
j=1
◮ Preisindex von Paasche:
P
P0t
=
n
P
i=1
n
P
pt (i)qt (i)
=
p0 (i)qt (i)
i=1
Etschberger (HS Weingarten)
i=1
Mathematik 2
gt (i) =
p0 (i) qt (i)
n
P
p0 (j) qt (j)
j=1
Sommersemester 2008
70
2. Deskriptive Statistik
Verhältnis- und Indexzahlen
Preisindizes: Beispiel
Campuslebenshaltungskosten:
1990
Gut 1:
Gut 2:
1 Tasse Kaffee
1 Mensaessen
L
P90,01
=
P
P90,01
=
Etschberger (HS Weingarten)
2001
Preis (DM)
Menge/Woche
Preis (DM)
Menge/Woche
0,65
3,50
3
5
1,10
4,80
1
2
3
1,10 · 3 + 4,80 · 5
27,3
=
= 1,4036
0,65 · 3 + 3,50 · 5
19,45
1,10 ·
0,65 ·
1
2
1
2
+ 4,80 · 3
14,95
= 1,3811
=
10,825
+ 3,50 · 3
Mathematik 2
Sommersemester 2008
71
2. Deskriptive Statistik
Verhältnis- und Indexzahlen
Weitere Preisindizes
◮
Idealindex von Fisher:
F
P0t
◮
Marshall-Edgeworth-Index:
ME
P0t
=
n
P
i=1
n
P
=
q
L PP
P0t
0t
pt (i)[q0 (i) + qt (i)]
p0 (i)[q0 (i) + qt (i)]
i=1
◮
Preisindex von Lowe:
LO
P0t
=
n
P
i=1
n
P
pt (i)q(i)
p0 (i)q(i)
i=1
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
72
2. Deskriptive Statistik
Verhältnis- und Indexzahlen
Weitere Preisindizes: Beispiel
Campuslebenshaltungskosten:
1990
Gut 1:
Gut 2:
1 Tasse Kaffee
1 Mensaessen
F
P90,01
=
ME
P90,01
=
LO
P90,01
=
Etschberger (HS Weingarten)
√
2001
Preis (DM)
Menge/Woche
Preis (DM)
Menge/Woche
0,65
3,50
3
5
1,10
4,80
1
2
1,4036 · 1,3811
3
= 1,3923
1,10 · (3 + 12 ) + 4,80 · (5 + 3)
42,25
= 1,3955
=
30,275
0,65 · (3 + 21 ) + 3,50 · (5 + 3)
1,10 · 2 + 4,80 · 4
0,65 · 2 + 3,50 · 4
Mathematik 2
=
21,4
= 1,3987
15,3
Sommersemester 2008
73
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Übersicht
1
Einführung
2
Deskriptive Statistik
3
Wahrscheinlichkeitstheoretische
Grundlagen
Zufall und Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen und Verteilungen
Verteilungsparameter
4
Induktive Statistik
5
Finanzmathematik
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
74
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufall und Wahrscheinlichkeit
Zufallsvorgänge, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
◮
Zufallsvorgang: Geschehen mit ungewissem Ausgang, z.B. Münzwurf
◮
Elementarereignis ω: Ein möglicher Ausgang, z.B. Kopf “
”
Elementarereignisse schließen sich gegenseitig aus
( Kopf “ oder Zahl“)!
”
”
Ergebnismenge Ω: Menge aller ω
◮
◮
Beispiel: Werfen zweier Würfel:


(1, 1) (1, 2) · · · (1, 6)




(2, 1) (2, 2) · · · (2, 6)

Ω:
.
.
.
..
..
..
.. 

.






(6, 1) (6, 2) · · · (6, 6)
⇒ Ω = {(x1 , x2 ) : x1 , x2 ∈ {1, . . . , 6}}
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
75
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufall und Wahrscheinlichkeit
Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
◮
◮
◮
◮
Ereignis A: Folgeerscheinung eines Elementarereignisses
Formal:
A⊂Ω
Ereignisse schließen sich nicht gegenseitig aus!
Beispiel: Werfen zweier Würfel:
Ereignis
Augensumme = 4
Erste Zahl = 2
A
B
◮
◮
verbal
formal
{(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
{(2, 1), (2, 2), . . . , (2, 6)}
Wahrscheinlichkeit P(A): Chance für das Eintreten von A
Laplace-Wahrscheinlichkeit:
P(A) =
Etschberger (HS Weingarten)
Anzahl der für A günstigen Fälle
|A|
=
|Ω|
Anzahl aller möglichen Fälle
Mathematik 2
Sommersemester 2008
76
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufall und Wahrscheinlichkeit
Laplace Wahrscheinlichkeit und Urnenmodell
◮
Beispiel: Werfen zweier Würfel:
Augensumme = 4 : A = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
◮
1
3
= 12
= 0,083
|Ω| = 36, |A| = 3 ⇒ P(A) = 36
Urnenmodell: Ziehe n Objekte aus einer Menge mit N Objekten
Anzahl Möglichkeiten:
mit Zurücklegen: Nn
ohne Zurücklegen: N · (N − 1) · · · (N − (n − 1)) =
◮
N!
(N−n)!
Beispiel:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem gut gemischten 32-er
Kartenblatt bei viermaligem Ziehen vier Asse zu bekommen?
a) Ziehen mit Zurücklegen,
b) Ziehen ohne Zurücklegen
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
77
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufall und Wahrscheinlichkeit
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
◮
Wichtige Rechenregeln:
1.
2.
3.
4.
5.
◮
P(A) ≦ 1
P(∅) = 0
A ⊂ B ⇒ P(A) ≦ P(B)
P(Ā) = 1 − P(A)
P(A1 ∪ A2 ) = P(A1 ) + P(A2 ) − P(A1 ∩ A2 )
Beispiel:
P( Augenzahl ≦ 5“) = 1 − P( Augenzahl = 6“) = 1 −
”
”
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
1
6
=
Sommersemester 2008
5
6
78
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufall und Wahrscheinlichkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
◮
Wahrscheinlichkeit von A hängt von anderem Ereignis B ab.
(B kann zeitlich vor A liegen, muss aber nicht!)
◮
Beispiel: Wahrscheinlichkeit für Statistiknote hängt von Mathenote ab.
◮
Formal:
P(A | B) =
◮
P(A ∩ B)
P(B)
Im Venndiagramm:
Ω
B
P(A) =
A
Etschberger (HS Weingarten)
P(A | B) =
Mathematik 2
Sommersemester 2008
79
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufall und Wahrscheinlichkeit
Unabhängigkeit von Ereignissen
◮
A, B unabhängig: Eintreten von A liefert keine Information über P(B) u.u.
◮
Formal:
P(A | B) = P(A)
◮
Äquivalent zu:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
◮
Dann gilt:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A) · P(B)
◮
Beispiel: Werfen zweier Würfel:
P(A ∩ B)
A : erster Würfel gleich 6“
”
⇒ P(A | B) =
=
B : zweiter Würfel gleich 6“
P(B)
”
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
1
36
1
6
=
1
6
= P(A)
Sommersemester 2008
80
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Zufallsvariablen
Zufallsvariablen und Verteilungen
◮
Beschreibung von Ereignissen durch reelle Zahlen
◮
Formal:
◮
X: Ω→R
Nach Durchführung des Zufallsvorgangs:
Realisation:
◮
Vor Durchführung des Zufallsvorgangs:
Wertebereich:
◮
x = X(ω)
X(Ω) = {x : x = X(ω), ω ∈ Ω}
Beispiel: Würfeln, X: Augenzahl, X(Ω) = {1, 2, . . . , 6}, x = 4 (z.B.)
P(X = 4) = 61 ,
Etschberger (HS Weingarten)
P(X ≦ 3) =
Mathematik 2
3
6
=
1
2
Sommersemester 2008
81
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Verteilungsfunktion
◮ Zuweisung von Wahrscheinlichkeiten zu Realisationen
◮ Formal:
F(x) = P(X ≦ x)
◮ Eigenschaften:
-
F(x) ∈ [0; 1]
Definitionsbereich: R mit F(−∞) = 0, F(∞) = 1
monoton wachsend, d.h. x1 < x2 ⇒ F(x1 ) ≦ F(x2 )
Es gilt:
P(a < X ≦ b) = F(b) − F(a)
F(x)
1.0
0.5
1
Etschberger (HS Weingarten)
2
3
4
5
6
Mathematik 2
7
8
9
10
x
Sommersemester 2008
82
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Diskrete Zufallsvariablen
◮ X heißt diskret, wenn X(Ω) = {x1 , x2 , . . . } endlich ist.
◮ Wahrscheinlichkeitsfunktion dann:
f(x) = P(X = x)
Beispiel: Münze 2 mal werfen; X: Anzahl Kopf“
”
xi
f(xi )
(Z, Z)
(Z, K), (K, Z)
(K, K)
0
1
2
1
4
1
2
1
4
f(x)

0,


1
,
F(x) = 34
4,


1,
F(x)
1
3
4
1
2
1
4
•
0
•
1
Etschberger (HS Weingarten)
1
4
•
2
x
•
<
<
<
≧
0
1
2
2
•
•
0
Mathematik 2
falls
x
falls 0 ≦ x
falls 1 ≦ x
falls
x
1
2
x
Sommersemester 2008
83
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Binomialverteilung
◮
Wiederholter Zufallsvorgang
◮
n Durchführungen
◮
Pro Durchführung: A oder Ā mit P(A) = p (=
b Ziehen mit
Zurücklegen)
◮
Schreibe:
Xi =
◮
1, falls A bei i-ter Durchführung eintritt
0, falls Ā bei i-ter Durchführung eintritt
Dann gibt
X=
n
X
Xi
i=1
an, wie oft A eintritt.
◮
Gesucht: Wahrscheinlichkeitsfunktion von X
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
84
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Binomialverteilung
◮
Herleitung:
1) P(Xi = 1) = P(A) = p, P(Xi = 0) = P(Ā) = 1 − p
n
P
xi = x entspricht x mal Ereignis A und n − x mal Ā“
2)
”
i=1
Wahrscheinlichkeit (bei Unabhängigkeit): px · (1 − p)n−x
n
3) Aber: Reihenfolge irrelevant! Anzahl Anordnungen:
x
➠ Wahrscheinlichkeitsfunktion:
 
 n · px · (1 − p)n−x , falls x ∈ {0, 1, . . . , n}
x
f(x) =


0,
sonst
◮
Kurzschreibweise: X ∼ B(n; p)
◮
F(x) in Tabelle 1; für f(x) gilt: f(x) = F(x) − F(x − 1)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
85
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Binomialverteilung: Beispiel
Beispiel
Aus einem 32-er Kartenblatt wird 3-mal eine Karte mit Zurücklegen gezogen.
Wie wahrscheinlich ist es, 2-mal Herz“ zu ziehen?
”
1, falls i-te Karte Herz
8
Xi =
⇒ Xi ∼ B(1; 32
)
0,
sonst
n
P
Xi = X1 + X2 + X3
⇒ X ∼ B(3; 41 )
X =
i=1
Mithilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
P(X = 2) = f(2) =
Mithilfe von Tabelle 1:
3
· 0,252 · 0,751 = 0,1406
2
P(X = 2) = F(2) − F(1) = 0,9844 − 0,8438 = 0,1406
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
86
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Binomialverteilung (BB S. 308)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
87
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Hypergeometrische Verteilung
◮
n-faches Ziehen ohne Zurücklegen aus N Objekten,
davon M markiert.
X = Anzahl gezogener Objekte mit Markierung
◮
◮
◮
heißt hypergeometrisch verteilt mit den Parametern N, M, n.
Kurzschreibweise: X ∼ Hyp(N; M; n)
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
 M N−M




n−x
 x
, falls x möglich
f(x) =
N



n


0,
sonst
Ist n ≦
N
20 ,
so gilt: Hyp(N; M; n) ≈ B(n; M
N)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
88
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Beispiel
◮
Aus einem 32-Kartenblatt wird 3-mal eine Karte ohne Zurücklegen
gezogen.
◮
Wie wahrscheinlich ist es, 2-mal Herz“ zu ziehen?
”
D.h.: N = 32, M = 8, n = 3, x = 2.
8
8
32 − 8
24
8!
· 24
2
2
3−2
1
P(X = 2) = f(2) =
= = 2! · 6!
32!
32
32
3! · 29!
3
3
29! · 8! · 3! · 24
8 · 7 · 3 · 24
4032
21
=
=
=
=
= 0,1355
32! · 6! · 2!
32 · 31 · 30
29760
155
n!
n
n
= n.
und
=
Dabei wurde verwendet:
1
k
k!(n − k)!
◮
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
89
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Poisson-Verteilung
Approximation für B(n; p) und Hyp(N; M; n)
Geeignet, wenn p klein (≦ 0,1), n groß (≧ 50) und np ≦ 10.
➠ Verteilung der seltenen Ereignisse“ (z.B. Anzahl 6-er pro
”
Lottoausspielung)
◮ Kurzschreibweise: X ∼ P(λ)
◮ Wahrscheinlichkeitsfunktion:
x
λ
· e−λ , falls x = 0, 1, 2, . . .
f(x) = x!
0,
sonst
◮
◮
◮
◮
F(x) in Tabelle 2
Überblick: Approximation
p=
Hyp(N; M; n)
Etschberger (HS Weingarten)
M
N
B(n; p)
Mathematik 2
λ = np = n M
N
P(λ)
Sommersemester 2008
90
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Poisson-Verteilung: Beispiel
Beispiel
◮ X ∼ B(10 000; 0,0003); In Tabelle 1 nicht vertafelt! Approximation:

p = 0,0003 < 0,1
n = 10 000 > 50 ⇒ B(10 000; 0,0003) ≈ P(3)

np = 3
< 10
◮ Mithilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
P(X = 5) =
35 −3
· e = 0,1008188
5!
◮ Mithilfe von Tabelle 2:
P(X = 5) = F(5) − F(4) = 0,9161 − 0,8153 = 0,1008
◮ Exakter Wert: P(X = 5) = 0,1008239
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
91
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Poisson-Verteilung (BB S. 317)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
92
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Stetige Zufallsvariablen
◮
X heißt stetig, wenn F(x) stetig ist.
◮
Dann gilt:
F(x) =
Zx
f(t) dt
−∞
F ′ (x) = f(x) heißt Dichtefunktion von X.
◮
Dann:
P(a < X < b) = P(a ≦ X < b)
= P(a < X ≦ b)
= P(a ≦ X ≦ b)
Rb
= a f(x) dx
= F(b) − F(a)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
93
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Eigenschaften der Dichtefunktion
◮
◮
f(x) ≧ 0 für alle x ∈ R
Wegen F(∞) = 1 muss stets gelten:
Z∞
f(x) dx = 1
−∞
◮
◮
P(X = x) = 0 für alle x ∈ R
f(x) > 1 ist möglich
◮
F ′ (x) = f(x)
◮
Intervallgrenzen spielen keine Rolle:
P(X ∈ [a; b]) = P(X ∈ (a; b]) = P(X ∈ [a; b)) = P(X ∈ (a; b)) = F(b) − F(a)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
94
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Dichtefunktion: Beispiel
Beispiel
Verteilungsfunktion:
Zx
0
Etschberger (HS Weingarten)

x<0
 0, falls
1
, falls 0 ≦ x ≦ 10
f(x) = 10

0, falls
x > 10
f(t) dt =
Zx
0
x
t
x
1
=
dt =
⇒
10
10 0
10

x<0
 0, falls
x
, falls 0 ≦ x ≦ 10
F(x) = 10

1, falls
x > 10
Mathematik 2
Sommersemester 2008
95
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Gleichverteilung
Eine Zufallsvariable X mit


1
, falls a ≦ x ≦ b
f(x) = b − a
 0 , sonst
heißt gleichverteilt im Intervall [a; b].
f(x)
1
b−a
a
Etschberger (HS Weingarten)
b
Mathematik 2
x
Sommersemester 2008
96
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Gleichverteilung
◮
Verteilungsfunktion:





◮
0 , falls
x<a
x−a
, falls a ≦ x ≦ b
F(x) =

b−a


 1 , falls
x>b
Beispiel: X gleichverteilt in [1; 20]
P(2 ≦ X ≦ 12) = F(12) − F(2) =
10
12 − 2
=
20 − 1
19
= 0,5263
2−1
12 − 1
−
20 − 1 20 − 1
=
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
28.04.2008
Sommersemester 2008
97
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Normalverteilung
Eine Zufallsvariable X mit
−
1
f(x) = √ · e
σ 2π
(x − µ)2
2σ2
und σ > 0 heißt normalverteilt.
Kurzschreibweise: X ∼ N(µ; σ)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
98
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Normalverteilung: Gaußkurve
Gaußsche Glockenkurve f(x)
Etschberger (HS Weingarten)
C. F. Gauß
Mathematik 2
Sommersemester 2008
99
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Eigenschaften der Normalverteilung
◮
Dichte ist symmetrisch zu µ:
f(µ − x) = f(µ + x)
➠ µ ist Lage-, σ ist Streuungsparameter
◮ Standardnormalverteilung:
N(0; 1) mit Verteilungsfunktion Φ(x) (→ Tabelle 3)
◮ Kenntnis von Φ(x), µ und σ genügt, denn:
⇒
X ∼ N(µ; σ) ⇐⇒ X−µ
σ ∼ N(0; 1)
x−µ
F(x) = Φ
σ
◮
Tabelle 3 enthält nur positive x:
Φ(−x) = 1 − Φ(x)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
100
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Normalverteilung: Beispiel
Beispiel:
Projektdauer X ∼ N(39; 2).
Wahrscheinlichkeit für Projektdauer zwischen 37 und 41 Wochen?
P(37 ≦ X ≦ 41) = F(41) − F(37)
−Φ
= Φ 41−39
2
37−39
2
= Φ(1) − Φ(−1)
= Φ(1) − [1 − Φ(1)]
= 2 · Φ(1) − 1
= 2 · 0,8413 − 1
= 0,6826
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
101
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Standardnormalverteilung (BB S. 319)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
102
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Verteilungsparameter
Lageparameter
a) Modus xMod : f(xMod ) ≧ f(x) für alle x
(i.A. nicht eindeutig, z.B. Gleichverteilung)
Beispiele:
- Normalverteilung: xMod = µ
- Diskrete Verteilung mit:
x 0 1 2
f(x) 41 21 14
b) Median xMed : F(xMed ) =
1
2
⇒ xMod = 1
bzw. kleinstes x mit F(x) >
1
2
Beispiele:
- Normalverteilung: xMed = µ
- Diskrete Verteilung oben: F(0) =
Etschberger (HS Weingarten)
1
4
< 12 , F(1) =
Mathematik 2
3
4
>
1
2
⇒ xMed = 1
Sommersemester 2008
103
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Verteilungsparameter
Lageparameter: Fraktile
c) α -Fraktil xα : F(xα ) = α (für stetige Verteilungen)
Beispiel: X ∼ N(0; 1), Y ∼ N(3; 2)
x0,975 =
1,96
x0,025 = −x0,975
= −1,96
y0,025 = 2 · x0,025 +3 = −0,92
(Tab. 3)
Hinweise:
- xMed = x0,5
- Wenn xα nicht vertafelt → Interpolation:
xα ≈ xa + (xb − xa ) ·
mit
α−a
b−a
a : größte vertafelte Zahl < α
b : kleinste vertafelte Zahl > α
Beispiel: X ∼ N(0; 1); x0,6 ≈ 0,25 + (0,26 − 0,25) ·
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
0,6−0,5987
0,6026−0,5987
= 0,2533
Sommersemester 2008
104
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Verteilungsparameter
Lageparameter: Erwartungswert
d) Erwartungswert E(X) bzw. µ:
X

xi f(xi ),




i


E(X) =
∞
Z





xf(x) dx,


falls X diskret
falls X stetig
−∞
x 0 1 2
f(x) 14 21 14
Beispiel: Diskrete Verteilung
E(X) = 0 ·
Etschberger (HS Weingarten)
1
4
+1·
Mathematik 2
1
2
+2·
:
1
4
=1
Sommersemester 2008
105
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Verteilungsparameter
Rechenregeln für den Erwartungswert
➀ Ist f symmetrisch bzgl. a, so gilt E(X) = a
Beispiel: f der Gleichverteilung symmetrisch bzgl.
a+b
2
➁ Lineare Transformation:
⇒ E(X) =
a+b
2
E(a + bX) = a + b · E(X)
➂ Summenbildung:
E
n
X
i=1
Xi
!
=
n
X
E(Xi )
i=1
Beispiel: X gleichverteilt in [0; 10], Y ∼ N(1; 1); Z = X + 5Y
E(Z) = E(X + 5Y) = E(X) + E(5Y) = E(X) + 5 · E(Y) =
10+0
2
+ 5 · 1 = 10
➃ Unabhängigkeit:
X, Y unabhängig ⇒ E(X · Y) = E(X) · E(Y)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
106
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Verteilungsparameter
Streuungsparameter
◮ Varianz Var(X) bzw. σ2 :
X

[xi − E(X)]2 f(xi ), f. X diskret




 i
Var(X) = E([X − E(X)]2 ) =
∞
Z



 [x − E(X)]2 f(x) dx, f. X stetig


−∞
◮ Standardabweichung Sta(X) bzw. σ:
Sta(X) =
◮ Beispiel: Diskrete Verteilung
x 0 1 2
f(x) 14 21 14
Var(X) = (0 − 1)2 ·
Etschberger (HS Weingarten)
p
Var(X)
:
1
1
1
1
+ (1 − 1)2 · + (2 − 1)2 · =
4
2
4
2
Mathematik 2
Sommersemester 2008
107
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Verteilungsparameter
Rechenregeln für die Varianz
➀ Verschiebungssatz:
Var(X) = E(X2 ) − [E(X)]2
Beispiel: Diskrete Verteilung
E(X2 )
=
=
⇒
E(X2 ) − [E(X)]2
=
x 0 1 2
f(x) 14 21 14
02 ·
3
2
3
2
1
4
:
1
2
+ 12 ·
− 12 =
1
2
+ 22 ·
1
4
= Var(X)
➁ Lineare Transformation:
Var(a + bX) = b2 Var(X)
➂ Summenbildung:
Var
n
X
i=1
Xi
!
=
n
X
Var(Xi )
i=1
Setzt Unabhängigkeit der Xi voraus!
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
108
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Verteilungsparameter
Erwartungswerte und Varianzen wichtiger Verteilungen
Verteilung von X
E(X)
VarX
Binomialverteilung B(n; p)
np
np(1 − p)
Hypergemoetrische Verteilung
mit den Parametern N, M, n
nM
N
N−M N−n
nM
N N
N−1
Posson-Verteilung P(λ)
λ
λ
a+b
2
(b − a)2
12
µ
σ2
Gleichverteilung in [a; b]
mit a < b
Normalverteilung N(µ; σ)
Etschberger (HS Weingarten)
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Sommersemester 2008
109
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Verteilungsparameter
Kovarianz und Korrelation
◮ Kovarianz:
Cov(X, Y)
= E[(X − E(X))(Y − E(Y))]
= E(X · Y) − E(X) · E(Y)
(Verschiebungssatz)
◮ Korrelationskoeffizient:
◮ Bemerkungen:
ρ(X, Y) = p
Cov(X, Y)
Var(X) · Var(Y)
➀ ρ ist r nachgebildet ⇒ ρ ∈ [−1; 1]
➁ |ρ| = 1 ⇐⇒ Y = a + bX (mit b 6= 0)
➂ ρ = 0 ⇐⇒ X, Y unkorreliert
◮ Varianz einer Summe zweier ZV:
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X, Y)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
110
4. Induktive Statistik
Übersicht
1
Einführung
2
Deskriptive Statistik
3
Wahrscheinlichkeitstheoretische
Grundlagen
4
Induktive Statistik
Grundlagen
Punkt-Schätzung
Intervall-Schätzung
Signifikanztests
5
Finanzmathematik
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
111
4. Induktive Statistik
Grundlagen
Grundlagen der induktiven Statistik
◮
Vollerhebung of unmöglich,
◮
Deshalb: Beobachte Teilgesamtheit und schließe auf
Grundgesamtheit
Beispiel
Warensendung von 1000 Stück; darunter M Stück Ausschuss.
M ist unbekannt.
→ Zufällige Entnahme von n = 30 Stück ( Stichprobe“).
”
Darunter 2 Stück Ausschuss.
Denkbare Zielsetzungen:
2
30
· 1000 = 66,67)
◮
Schätze M durch eine Zahl (z.B.
◮
Schätze ein Intervall für M (z.B. M ∈ [58; 84])
◮
Teste die Hypothese, dass M > 50 ist.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
112
4. Induktive Statistik
Grundlagen
Grundbegriffe
◮
Grundgesamtheit (G): Menge aller relevanten Merkmalsträger.
◮
Verteilung von G: F(x) = P(X ≦ x) = Wahrscheinlichkeit, dass ein
Merkmalsträger ausgewählt wird, der beim untersuchten Merkmal maximal
die Ausprägung x aufweist.
◮
Uneingeschränkte (reine) Zufallsauswahl:
Jedes Element von G hat die selbe Chance, ausgewählt zu werden.
◮
Stichprobenumfang (n): Anzahl der Merkmalsträger in der Stichprobe.
◮
Einfache Stichprobe:
Uneingeschränkte Zufallsauswahl und unabhängige Ziehung.
→ Alle Stichprobenvariablen X1 , . . . , Xn sind iid.
◮
Stichprobenergebnis:
n-Tupel der Realisationen der Stichprobenvariablen, (x1 , . . . , xn ).
Etschberger (HS Weingarten)
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Sommersemester 2008
113
4. Induktive Statistik
Grundlagen
Wichtige Stichprobenfunktionen
◮
Gegeben: Einfache Stichprobe X1 , . . . , Xn ,
Beliebige Verteilung,
mit E(Xi ) = µ, Var(Xi ) = σ2
Stichprobenfunktion V
Bezeichnung
E(V)
Var(V)
n
X
Merkmalssumme
nµ
nσ2
Stichprobenmittel
µ
σ2
n
Gauß-Statistik
0
1
Xi
i=1
X̄ =
n
1 X
Xi
n
i=1
X̄ − µ √
n
σ
1
n
1
n
n
X
(Xi − µ)2
i=1
n
X
(Xi − X̄)2
mittlere quadratische Abweichung
i=1
n
X
1
(Xi − X̄)2
n−1
i=1
√
S = S2
S2 =
X̄ − µ √
n
S
◮
mittlere quadratische Abweichung bezüglich µ
Stichprobenvarianz
σ2
n−1 2
σ
n
σ2
Stichproben-Standardabweichung
t-Statistik
Herleitungen: BB S. 140
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114
4. Induktive Statistik
Grundlagen
Testverteilungen
➀ Chi-Quadrat-Verteilung:
◮ Sind X1 , . . . , Xn iid N(0; 1)-verteilte ZV, so wird die Verteilung von
Z=
n
X
X2i
i=1
als Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden bezeichnet.
◮
◮
Kurzschreibweise: Z ∼ χ2 (n)
Beispiel: χ2 (30): x0,975 = 46,98
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115
4. Induktive Statistik
Grundlagen
Testverteilungen: Tabelle der χ2 -Verteilung (BB S. 324)
Etschberger (HS Weingarten)
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116
4. Induktive Statistik
Grundlagen
Testverteilungen
➁ t-Verteilung:
◮ Ist X ∼ N(0; 1), Z ∼ χ2 (n), X, Z unabhängig, so wird die Verteilung
von
X
T=q
1
nZ
als t-Verteilung mit n Freiheitsgraden bezeichnet.
◮
◮
Kurzschreibweise: T ∼ t(n)
Beispiel: t(10) x0,6 = 0,260, x0,5 = 0, x0,1 = −x0,9 = −1,372
Etschberger (HS Weingarten)
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Sommersemester 2008
117
4. Induktive Statistik
Grundlagen
Testverteilungen: Tabelle der t-Verteilung (BB S. 320)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
118
4. Induktive Statistik
Punkt-Schätzung
Punkt-Schätzung
◮
Ein unbekannter Parameter ϑ der Verteilung von G soll auf Basis
einer Stichprobe geschätzt werden.
◮
Zum Beispiel: σ von N(10; σ)
◮
Schätzwert: ϑ̂
◮
Vorgehen: Verwendung einer Schätzfunktion
Θ̂ = g(X1 , . . . , Xn )
Beachte: Der Schätzwert ϑ̂ ist die Realisierung der ZV (!) Θ̂.
◮
Frage: Welche Stichprobenfunktion ist zur Schätzung geeignet?
➠ Kriterien für die Beurteilung/Konstruktion von Schätzfunktionen!
◮
Im Folgenden: Vorliegen einer einfachen Stichprobe,
d.h. X1 , . . . , Xn iid.
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Sommersemester 2008
119
4. Induktive Statistik
Punkt-Schätzung
Erwartungstreue und Wirksamkeit
◮
Eine Schätzfunktion Θ̂ = g(X1 , . . . , Xn ) heißt erwartungstreu oder
unverzerrt für ϑ, wenn unabhängig vom numerischen Wert
von ϑ gilt:
E(Θ̂) = ϑ
Beispiel
Sind Θ̂ = X̄, Θ̂ ′ =
X1 +Xn
,
2
Θ̂ ′′ =
1
n−1
n
P
Xi erwartungstreu für µ?
i=1
E(X̄) = µ
a) Θ̂:
⇒ Θ̂ ist erwartungstreu.
1
n
E X1 +X
b) Θ̂ ′ :
= 2 [E(X1 ) + E(Xn )] = 21 (µ + µ) = µ
2
⇒ Θ̂ ′ ist erwartungstreu.
n
n
n
P
P
P
1
n
1
1
c) Θ̂ ′′ : E n−1
Xi = n−1
E(Xi ) = n−1
µ = n−1
µ 6= µ
i=1
i=1
i=1
⇒ Θ̂ ′′ ist nicht erwartungstreu
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
120
4. Induktive Statistik
Punkt-Schätzung
Erwartungstreue und Wirksamkeit
◮
◮
Welche der erwartungstreuen Schätzfunktionen Θ̂, Θ̂ ′ ist besser“?
”
Von zwei erwartungstreuen Schätzfunktionen Θ̂, Θ̂ ′ für ϑ
heißt Θ̂ wirksamer als Θ̂ ′ , wenn unabhängig vom numerischen
Wert von ϑ gilt:
Var(Θ̂) < Var(Θ̂ ′ )
Beispiel: (Θ̂ = X̄, Θ̂ ′ =
Wegen
X1 +Xn
)
2
=
σ2
n
+σ ) =
σ2
2
Var(Θ̂) = Var(X̄)
′
Var(Θ̂ ) = Var
X1 +X2
2
=
1
(σ2
4
2
(falls n > 2) ist Θ̂ wirksamer als Θ̂ ′ .
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2



⇒ Var(Θ̂) < Var(Θ̂ ′ )
Sommersemester 2008
121
4. Induktive Statistik
Intervall-Schätzung
Intervall-Schätzung
◮
Für einen unbekannten Verteilungsparameter ϑ soll auf Basis einer
Stichprobe ein Intervall geschätzt werden.
◮
Verwendung der Stichprobenfunktionen Vu , Vo , so dass Vu ≦ Vo und
P(Vu ≦ ϑ ≦ Vo ) = 1 − α
stets gelten.
[Vu ; Vo ] heißt Konfidenzintervall (KI) für ϑ zum Konfidenzniveau 1 − α.
◮
Beachte: Das Schätzintervall [vu ; vo ] ist Realisierung der ZV (!) Vu , Vo .
➠ Irrtumswahrscheinlichkeit α (klein, i.d.R. α ≦ 0,1)
◮
Frage: Welche Konfidenzintervalle sind zur Schätzung geeignet?
➠ Hängt von Verteilung von G sowie vom unbekannten Parameter (µ, σ2 )
ab!
◮
Im Folgenden: Einfache Stichprobe X1 , . . . , Xn mit E(Xi ) = µ, Var(Xi ) = σ2
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
122
4. Induktive Statistik
Intervall-Schätzung
Intervall-Schätzung
Wichtiger Spezialfall: Symmetrische Konfidenzintervalle
◮
Symmetrisch heißt nicht, dass die Dichte symmetrisch ist, sondern
◮
übereinstimmende W’keiten für Über-/Unterschreiten des KI, d.h.
P(Vu > ϑ) = P(Vo < ϑ) =
◮
α
2
Wichtig: Eine Verkleinerung von α bewirkt eine Vergrößerung des KI.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
123
4. Induktive Statistik
Intervall-Schätzung
Überblick Intervallschätzung (BB S. 172)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
124
4. Induktive Statistik
Intervall-Schätzung
13.1.1 KI für µ bei Normalverteilung mit bekanntem σ2
Vorgehensweise:
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
125
4. Induktive Statistik
Intervall-Schätzung
Intervallschätzung: Beispiel
Beispiel
Normalverteilung mit σ = 2,4
(x1 , . . . , x9 ) = (184,2; 182,6; 185,3; 184,5; 186,2; 183,9; 185,0; 187,1; 184,4)
Gesucht: KI für µ zum Konfidenzniveau 1 − α = 0,99
1. 1 − α = 0,99
2. N(0; 1): c = x1− α2 = x1− 0,01 = x0,995 = 2,576 (Tab. 3; Interpolation)
2
3. x̄ =
1
9
σc
√
n
=
4.
(184,2 + · · · + 184,4) = 184,8
2,4·2,576
√
9
= 2,06
5. KI = [184,8 − 2,06; 184,8 + 2,06] = [182,74; 186,86]
Interpretation: Mit 99 % Wahrscheinlichkeit ist µ ∈ [182,74; 186,86].
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
126
4. Induktive Statistik
Intervall-Schätzung
Wichtige Fraktilswerte
Wichtige N(0; 1)-Fraktilswerte:
α
xα
0,9
0,95
0,975
0,99
0,995
1,281552
1,644854
1,959964
2,326348
2,575829
(I.d.R. genügen drei Nachkommastellen.)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
127
4. Induktive Statistik
Intervall-Schätzung
Intervalllänge
◮
Im Fall 13.1.1 gilt offenkundig
2σc
L = Vo − Vu = √
n
◮
Welcher Stichprobenumfang n sichert eine vorgegebene
(Maximal-)Länge L? ⇒
Nach n auflösen!
⇒
n≧
2σc
L
2
◮
Eine Halbierung von L erfordert eine Vervierfachung von n!
◮
Angewendet auf letztes Beispiel:
L = 4 ⇒n ≧
L = 2 ⇒n ≧
Etschberger (HS Weingarten)
2·2,4·2,576 2
4
2·2,4·2,576 2
2
Mathematik 2
= 9,556 ⇒ n ≧ 10
= 38,222 ⇒ n ≧ 39
Sommersemester 2008
128
4. Induktive Statistik
Intervall-Schätzung
Konfidenzintervalllänge
KI für µ bei Normalverteilung mit unbekanntem σ2
◮
Vorgehensweise:
◮
Zu Schritt 2: Falls n − 1 > 30 wird die N(0; 1)-Verteilung
verwendet.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
129
4. Induktive Statistik
Intervall-Schätzung
Konfidenzintervalllänge
Beispiel:
Wie das letzte Beispiel, jedoch σ unbekannt.
1. 1 − α = 0,99
2. t(8): c = x1− α2 = x1− 0,01 = x0,995 = 3,355 (Tab. 4)
2
1
9 (184,2 + · · · + 184,4) = 184,8
q
s = 18 [(184,22 + · · · + 184,42 ) − 9
sc
√
√
= 1,47
= 1,31·3,355
n
9
3. x̄ =
4.
· 184,82 ] = 1,31
5. KI = [184,8 − 1,47; 184,8 + 1,47] = [183,33; 186,27]
Interpretation: Mit 99 % Wahrscheinlichkeit ist µ ∈ [183,33; 186,27].
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
130
4. Induktive Statistik
Intervall-Schätzung
Konfidenzintervall für µ bei beliebiger Verteilung
◮
Voraussetzung: n > 30, bzw. falls G dichotom: 5 ≦
n
P
xi ≦ n − 5
i=1
◮
Vorgehensweise:
◮
Zu Schritt 3: Manchmal kann anderer Schätzwert σ̂ sinnvoller sein.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
131
4. Induktive Statistik
Intervall-Schätzung
Konfidenzintervall für µ bei beliebiger Verteilung
Beispiel:
Poisson-Verteilung mit λ (= µ = σ2 ) unbekannt.
(x1 , . . . , x40 ) = (3; 8; . . . ; 6)
Gesucht: KI für λ zum Konfidenzniveau 1 − α = 0,9
1. 1 − α = 0,9
2. N(0; 1) : c = x1− α2 = x1− 0,1 = x0,95 = 1,645
2
1
3. x̄ =
(3 + 8 + · · · + 6) = 6,5
40
√
√
σ̂ = x̄ = 6,5 = 2,55 (da σ2 = λ)
σ̂c
2,55 · 1,645
√
= 0,66
4. √ =
n
40
5. KI = [6,5 − 0,66; 6,5 + 0,66] = [5,84; 7,16]
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
132
4. Induktive Statistik
Intervall-Schätzung
13.2 KI für σ2 bei Normalverteilung
◮
Vorgehensweise:
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
133
4. Induktive Statistik
Intervall-Schätzung
KI für σ2 bei Normalverteilung
Beispiel:
G ∼ N(µ; σ); (x1 , . . . , x5 ) = (1; 1,5; 2,5; 3; 2)
Gesucht: KI für σ2 zum Konfidenzniveau 1 − α = 0,99
1. 1 − α = 0,99
2. χ2 (5) : c1 = x α2 = x0,005 = 0,41; c2 = x1− α2 = x0,995 = 16,75
3. x̄ = 51 (1 + 1,5 + · · · + 2) = 2
5
P
(xi − x̄)2 = (1− 2)2 + (1,5− 2)2 + (2,5− 2)2 + (3− 2)2 + (2− 2)2 = 2,5
i=1
4. vu =
2,5
16,75
= 0,15; vo =
2,5
0,41
= 6,10
5. KI = [0,15; 6,10]
(Extrem groß, da n klein.)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
134
4. Induktive Statistik
Signifikanztests
Signifikanztests
◮
Vorliegen einer Hypothese über die Verteilung(en) der
Grundgesamtheit(en).
◮
Beispiele:
- Der Würfel ist fair.“
”
- Die Brenndauern zweier unterschiedlicher Glühbirnensorten sind gleich.“
”
◮
Die Hypothese soll anhand einer Stichprobe überprüft werden.
◮
Prinzip:
- Hypothese verwerfen, wenn signifikanter“ Widerspruch zur Stichprobe.
”
- Ansonsten: Hypothese nicht verwerfen.
◮
Eine verworfene Hypothese gilt als statistisch widerlegt.
◮
Nicht-Verwerfung ist dagegen ein Freispruch aus Mangel an Beweisen“.
”
Zu Beachten:
Nicht-Verwerfung ist kein statistischer Beweis“, dass Hypothese wahr ist!
”
( Trick“: Hypothese falsch ⇐⇒ Gegenhypothese wahr!)
”
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
135
4. Induktive Statistik
Signifikanztests
Einstichproben-Gaußtest
◮
Zunächst:
- G ∼ N(µ; σ) mit σ bekannt
- Einfache Stichprobe X1 , . . . , Xn
- (Null-)Hypothese H0 : µ = µ0
◮
Beispiel: X1 , . . . , X25 mit Xi = Füllmenge der i-ten Flasche ∼ N(µ; 1,5)
Nullhypothese H0 : µ = 500, d.h. µ0 = 500
◮
Je nach Interessenlage sind unterschiedliche Gegenhypothesen möglich:
a)
b)
c)
◮
H1 : µ 6= µ0
H1 : µ < µ0
H1 : µ > µ0
Entscheidung:
a)
b)
c)
H0
H1
H1
H1
Etschberger (HS Weingarten)
:
:
:
:
µ
µ
µ
µ
=
6=
<
>
µ0
µ0 ,
µ0 ,
µ0 ,
wird abgelehnt gegenüber
wenn |x̄ − µ0 | sehr groß“ ist
”
wenn x̄ weit kleiner“ als µ0 ist
”
wenn x̄ weit größer“ als µ0 ist
”
Mathematik 2
Sommersemester 2008
136
4. Induktive Statistik
Signifikanztests
Einstichproben-Gaußtest
√
0
◮ Alternatives Kriterium: v = x̄−µ
n
σ
◮ Vorteil: Verteilung bekannt: N(0; 1)
Mögliche Fehlentscheidungen
◮ Dann:
H0 : µ = µ0
wird abgelehnt gegenüber
◮ Ablehnung von H0 , obwohl H0
richtig ist: Fehler 1. Art
◮ Nicht-Ablehnung von H0 , obwohl H0
falsch ist: Fehler 2. Art
a) H1 : µ 6= µ0 , wenn |v| sehr groß“
ist
”
b) H1 : µ < µ0 , wenn v sehr negativ“ ist
”
c) H1 : µ > µ0 , wenn v sehr positiv“ ist
”
n
H0 beibehalte
tig
H 0 rich
H0 ablehnen
n
H0 beibehalte
H0 fals
ch
H0 ablehnen
◮ Signifikanzniveau α:
Maximal erlaubte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art.
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Sommersemester 2008
137
4. Induktive Statistik
Signifikanztests
Einstichproben-Gaußtest
◮
Mithilfe von α und V kann geklärt werden, was sehr groß“ usw. heißt:
”
Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art im Fall a): |v| > x, obwohl H0 richtig:
P(|V| > x) = P(V > x) + P(V < −x)
= 2 · P(V > x)
(Symmetrie der Normalverteilung)
!
= 2 · [1 − P(V ≦ x)] = 2 · [1 − Φ(x)] = α ⇐⇒
Φ(x) = 1 − α2 ⇐⇒
x = x1− α2
◮
H0 wird demnach verworfen, wenn |v| > x1− α2 bzw. v ∈ B ist.
B = (−∞; −x1− α2 ) ∪ (x1− α2 ; ∞) heißt Verwerfungsbereich.
Analoge Vorgehensweise für die Fälle b) und c)
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138
4. Induktive Statistik
Signifikanztests
Einstichproben-Gaußtest
➠ Insgesamt:
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139
4. Induktive Statistik
Signifikanztests
Einstichproben-Gaußtest
Beispiel:
X1 , . . . , X25 mit Xi ∼ N(µ; 1,5) und x̄ = 499,28
Prüfe H0 : µ = 500, H1 : µ 6= 500 zum Signifikanzniveau α = 0,01
Lösung: Einstichproben-Gaußtest, Fall a)
1. α = 0,01
2. v =
499,28−500
1,5
·
√
25 = −2,4
3. N(0; 1) : x1− α2 = x1−0,005 = x0,995 = 2,576
⇒ B = (−∞; −2,576) ∪ (2,576; ∞)
4. v ∈
/ B ⇒ H0 nicht verwerfen
Interpretation: Zum Signifikanzniveau 1 % kann der Brauerei keine
Abweichung vom Sollwert µ0 = 500 nachgewiesen werden.
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140
4. Induktive Statistik
Signifikanztests
Aufbau und Klassifikation von Signifikanztests
Der jeweils geeignete Test hängt ab von . . .
◮
dem zu testenden Hypothesenpaar H0 , H1 ; unterscheide:
- Parametrische Hypothesen:
Beziehen sich auf unbekannte(n) Verteilungsparameter (µ, σ2 , . . . )
- Nichtparametrische Hypothesen:
Beinhalten sonstige Aussagen, z.B. Alter und Einkommen sind unabh.“
”
◮
den Voraussetzungen an die Verteilung/parameter (z.B. G ∼ N(µ; σ))
◮
den Voraussetzungen an den Stichprobenumfang (z.B. n > 30)
◮
Art und Anzahl der Stichproben; unterscheide:
- Signifikanztests bei einer einfachen Stichprobe
- Signifikanztests bei mehreren unabhängigen Stichproben
- Signifikanztests bei zwei verbundenen Stichproben
Hier nur einfache Stichproben
Etschberger (HS Weingarten)
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4. Induktive Statistik
Signifikanztests
Signifikanztests bei einer einfachen Stichprobe (BB S. 184)
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142
4. Induktive Statistik
Signifikanztests
Einstichproben-t-Test und approximativer Gaußtest
Gegeben:
◮ Einfache Stichprobe X1 , . . . , Xn mit
◮ E(Xi ) = µ, Var(Xi ) = σ2
Hypothesenpaare:
a)
b)
c)
H0 : µ = µ0
H0 : µ = µ0
H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0
(oder µ ≧ µ0 ), H1 : µ < µ0
(oder µ ≦ µ0 ), H1 : µ > µ0
Voraussetzungen:
1. Normalverteilung mit σ unbekannt (Einstichproben-t-Test) oder
P
2. Beliebige Verteilung mit n > 30 bzw. 5 ≦ xi ≦ n − 5 (bei B(1; p))
(approximativer Gaußtest)
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4. Induktive Statistik
Signifikanztests
Einstichproben-t-Test, approx. Gaußtest; Vorgehensweise
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144
4. Induktive Statistik
Signifikanztests
Einstichproben-t-Test, approx. Gaußtest
Beispiel:
X1 , . . . , X2000 ∼ B(1; p) mit Xi =
2000
P
1, falls i-te Person Wähler der Partei
0, sonst
xi = 108
i=1
Prüfe H0 : p ≦ 0,05 gegen H1 : p > 0,05 zum Signifikanzniveau 2 %
Lösung:
approx. Gaußtest, Fall c); Voraussetzung 2 erfüllt: 5 ≦ 108 ≦ 2000 − 5
1. α = 0,02
2. v = √
108
2000 −0,05
0,05·(1−0,05)
√
2000 = 0,82
3. N(0; 1) : x1−α = x0,98 = 2,05 (Tab. 3) ⇒ B = (2,05; ∞)
4. v ∈
/ B ⇒ H0 nicht verwerfen
Zusatzfrage: Entscheidung, falls α = 0,01? → Keine Änderung!
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145
4. Induktive Statistik
Signifikanztests
Chi-Quadrat-Test für die Varianz
◮
Gegeben: Einfache Stichprobe X1 , . . . , Xn ∼ N(µ; σ)
◮
Hypothesenpaare:
a) H0 : σ2 = σ20
b) H0 : σ2 = σ20
c) H0 : σ2 = σ20
◮
2
(oder σ ≧
(oder σ2 ≦
σ20 ),
σ20 ),
H1 : σ2 6= σ20
H1 : σ2 < σ20
H1 : σ2 > σ20
Vorgehensweise:
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146
4. Induktive Statistik
Signifikanztests
Chi-Quadrat-Test für die Varianz
Beispiel:
G ∼ N(µ; σ)
(x1 , . . . , x10 ) = (2100; 2130; 2150; 2170; 2210; 2070; 2230; 2150; 2230; 2200)
Prüfe H0 : σ = 40, H1 : σ 6= 40 zum Signifikanzniveau α = 0,1
Lösung: χ2 -Test für die Varianz, Fall a); Voraussetzungen erfüllt
1. α = 0,1
2. x̄ =
v=
1
10 (2100 + 2130 + · · · + 2200) = 2164
1
2
2
402 [(2100 − 2164) + (2130 − 2164) +
· · · + (2200 − 2164)2] = 16,65
3. χ2 (9) : x α2 = x0,05 = 3,33; x1− α2 = x0,95 = 16,92 (Tab. 5)
⇒ B = [0; 3,33) ∪ (16,92; ∞)
4. v ∈
/ B ⇒ H0 nicht verwerfen
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147
5. Finanzmathematik
Übersicht
1
Einführung
2
Deskriptive Statistik
3
Wahrscheinlichkeitstheoretische
Grundlagen
4
Induktive Statistik
5
Finanzmathematik
Lernziele
Zins- und Zinseszinsrechnung
Äquivalenzprinzip und
Kapitalwert
Rentenrechnung
Tilgungsrechnung
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Sommersemester 2008
148
5. Finanzmathematik
5.1. Lernziele
Wesentliche Lernziele
◮
Erlernen des Rechnens mit einfacher Verzinsung sowie Zinseszinsen
◮
Berücksichtigung unterschiedlicher Zeitbezüge von Zahlungen
◮
Sicherer Umgang mit dem Begriff des Kapitalwertes
◮
Kennenlernen von Verfahren der (dynamischen) Investitionsrechnung
◮
Beherrschen von Verfahren zur Behandlung von periodisch
konstanten Zahlungen
◮
Fähigkeit, Tilgungspläne zu entwerfen und zu analysieren
Etschberger (HS Weingarten)
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Sommersemester 2008
149
5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Zinsen
◮ Zinsen sind der Preis, den ein
Schuldner für die befristete
Überlassung von Kapital
bezahlen muss.
◮ Der Betrag der Zinsen (Z)
wird aus der Höhe des
überlassenen Kapitals K und
der Dauer der Überlassung
berechnet.
Verwendete Symbole:
Symbol
Bezeichnung
K0
Kn
n
f
x
Z
p
Anfangskapital
Endkapital
ganzzahlige Laufzeit
gebrochene Laufzeit
nicht–ganzzahlige Laufzeit
Zins
Prozentzinssatz
i=
Zinssatz
p
100
q=1+i
1
v=
q
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Aufzinsungsfaktor
Abzinsungsfaktor
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150
5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Einfache Verzinsung
◮
Sparzinsen können zinseszinslich angelegt werden
◮
Bei Kreditgeschäften zwischen Privatpersonen ist das illegal
(BGB, §248)
◮
Deswegen: Einfache Verzinsung gemäß
p · n
Kn = K0 + Z = K0 + K0 · i · n = K0 · 1 +
100
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151
5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Unterjährige einfache Verzinsung
◮
In Deutschland Einteilung des Zinsjahres in 12 Monate zu je 30
Tagen (360 Tage)
◮
Dadurch Berechnung von Monats- bzw. Tageszinsen möglich
◮
Laufzeit n ∈ N in Jahren wird dann zu Laufzeit f ∈ Q in Jahren mit
t2 − t1
f=
(t1 entspricht Tag der Einzahlung, t2 Tag der Auszahlung)
360
Daraus ergibt sich
t
t
= K0 1 + i ·
Kn = K0 + K0 · i ·
360
360
◮
◮
Stellung eines Tages im Jahr:
(Aktueller Monat − 1) · 30 + Tag im Monat
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152
5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Barwert bei einfacher Verzinsung
K0 unbekannt: Abzinsung bzw. Diskontierung bzw. Barwertberechnung
◮
Amtliche Diskontierung:
K0 =
◮
Kn
1 + ni
Kaufmännische Diskontierung (Nur erste Näherung):
K0 = Kn (1 − ni)
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153
5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Die Zinseszinsformel
◮
Während Laufzeit Zinszahlungen mit sofortiger Wiederanlage und
Verzinsung zum Zinssatz i
◮
Entwicklung des Kapitals:
◮
K1 = K0 + K0 · i = K0 · (1 + i) = K0 · q
K2 = K1 + K1 · i = K1 · (1 + i) = (K0 · q) · q = K0 · q2
K3 = K2 + K2 · i = K2 · (1 + i) = K0 · q2 · q = K0 · q3
..
.
Damit folgt:
Kn = K0 · qn
Zinseszinsformel, n (zunächst) ganzzahlig.
◮
qn heißt Aufzinsungfaktor
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Sommersemester 2008
154
5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Die Zinseszinsformel
Auflösung der Zinseszinsformel nach K0 , q und n:
K0 =
Kn
qn
◮
Abzinsungs- oder Diskontierungsformel
◮
1
heißt Abzinsungsfaktor
qn
q=
r
n
Kn
K0
bzw. p = 100 ·
n=
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r
n
Kn
−1
K0
!
ln Kn − ln K0
ln q
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155
5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Gemischte Verzinsung
◮
◮
Üblich: Einfache Verzinsung bei Restlaufzeiten kleiner einem
ganzzahliges Vielfachen der Zinsperiode
Genauer: Mit
-
∆t1 (Zinstage im ersten Jahr),
n (die weiteren, ganzen Zinsperioden) und
∆t2 (Zinstage im letzten Jahr),
gilt für das Endkapital Kx :
∆t1
Kx = K0 · 1 + i ·
360
◮
∆t2
· (1 + i) · 1 + i ·
360
n
Gemischte Zinsrechnung (unter Verwendung der 30/360−Methode),
auch Sparbuchmethode.
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Sommersemester 2008
156
5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Gemischte Verzinsung: Beispiel
Beispiel
Am 15.9.1996 wurden € 12.000 zu 3,75 % angelegt. Wie hoch war der
Endbetrag bei Kontoauflösung am 21.9.2003 (letzter Zinstag 20.9.2003)?
Lösung:
15.9. =
ˆ
20.9. =
ˆ
(9 − 1) · 30 + 15 =
(9 − 1) · 30 + 20 =
255 ⇒ ∆t1
260 ⇒ ∆t2
=
=
360 − (255 − 1) = 106
260
(n = 6):
0,0375 · 260
0,0375 · 106
· 1,03756 · 1 +
Kx = 12.000 · 1 +
360
360
= 15.541,20
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5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Gemischte Verzinsung: Anmerkungen
◮
Würde man – von t0 ausgehend – in ganze Jahre und einem Rest
aufteilen, so ergäbe sich:
0,0375 · 6
7
Kx = 12.000 · 1,0375 · 1 +
= 15.537,08
360
(7 Jahre von 15.9.96 bis 14.9.2003; dazu 6 Tage)
◮
Würde man die Zinseszinsformel mit nicht-ganzzahligem
Exponenten verwenden, so ergäbe sich Folgendes:
6
Kx = 12.000 · 1,03757+ 360 = 15.536,90
◮
Gemischte Verzinsung ist also (zumindest für Kapitalanleger)
verbraucherfreundlich
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158
5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Gemischte Verzinsung: Anmerkungen
Nachteil der gemischten Verzinsung
◮
Die gemischte Verzinsung ist inkonsistent und vom Zeitpunkt des
Zinszuschlages (bzw. der Einzahlung) abhängig.
◮
Im Beispiel: Wäre der Zeitraum um einen Monat verschoben (vom
15.10.96 bis zur Auflösung am 21.10.2003), so ergäbe sich . . .
0,0375 · 290
0,0375 · 76
6
· 1,0375 · 1 +
Kx = 12.000 · 1 +
360
360
= 15.540,31
Die Widersprüche verschwinden, wenn eine unterjährige Verzinsung zum
konformen Zinssatz vorgenommen wird.
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5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Unterjährige Verzinsung
◮
Zahlung von Zinsen nicht jährlich, sondern in kürzeren Fristen
◮
Dazu: m gleich lange Zinsperioden pro Jahr
◮
Typische Aufteilungen: m = 2, 4, 12 Zinsperioden
◮
Annahme: Laufzeit n in Jahren sei (aus Vereinfachungsgründen) ein
1
ganzzahliges Vielfaches von m
(z.B. m = 2, n = 1,5 oder m = 12, n = 1,25).
Ist ein Jahreszinsfuß p gegeben, so heißt:
◮
◮
p∗ =
p
m
der relative Periodenzinsfuß.
′
p der zu p konforme Periodenzinssatz, wenn die periodische Verzinsung
mit p ′ zum selben Ergebnis führt wie die jährliche Verzinsung mit p.
m p′
p 1+
= 1+
100
100
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160
5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Unterjährige Verzinsung
Betrachtungen auf Basis der relativen Periodenzinsen p∗ =
p
m,
so heißt:
◮
p der nominelle Jahreszinsfuß
◮
peff der effektive Jahreszinsfuß, wenn jährliche Verzinsung mit peff zum
selben Ergebnis führt wie die periodische Verzinsung mit p∗ .
(Entsprechendes gilt für q∗ , i∗ , q ′ , i, qeff , ieff ).
K1 = K0 · qm
∗ = K0 · qeff
m
⇒ qeff = q∗
p
p∗
=1+
mit q∗ = 1 + i∗ = 1 +
100
100m
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161
5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Unterjährige Verzinsung: Formel
◮
Damit: Effektivzins qeff ist
p m
p∗ m = 1+
qeff = 1 +
100
100 · m
◮
Endkapital Kn ist:
p∗ m·n
p m·n
Kn = K0 · 1 +
= K0 · 1 +
100
100 · m
◮
Anmerkung: m · n muss nach o.g. Bedingungen ganzzahlig sein.
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162
5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Beispiel zur unterjährigen Verzinsung
Beispiel
Ein Betrag von € 10.000 soll zu 5 % nominal bei monatlicher Verzinsung
angelegt werden. Welcher Betrag kann nach 16 Monaten entnommen
werden? Wie hoch ist der Effektivzins?
Etschberger (HS Weingarten)
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163
5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Beispiel zur unterjährigen Verzinsung mit dem
konformen Zinssatz
◮
Widersprüche der gemischten Verzinsung aus Folie 195 verschwinden,
wenn eine unterjährige Verzinsung mit dem konformen Zinssatz gemäß
den Richtlinien für den internationalen Wertpapierhandel (ISMA –
International Securities Market Association) vorgenommen wird.
Beispiel
Am 15.9.1996 (15.10.1996) wurden € 12.000 zu effektiv 3,75 % angelegt. Wie hoch war
der Endbetrag bei Kontoauflösung am 21.9.2003 (21.10.2003)?
Lösung
◮ Wir verwenden den konformen Zins auf täglicher Basis,
◮ also p ′ =
√
1
1,0375 = 1,0375 360
360
106
260
◮ Kn = 12.000 · 1,0375 360 · 1,03756 · 1,0375 360 = 15.536,90
76
290
◮ alternativ: Kn = 12.000 · 1,0375 360 · 1,03756 · 1,0375 360 = 15.536,90
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164
5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Stetige Verzinsung
◮
◮
Lässt man m → ∞ wachsen, so erhält man aus der obigen Formel
m·n
m n
n
i
i
= K0 ei
1+
= K0 lim
Kn = lim K0 1 +
m→∞
m→∞
m
m
die Formel für die stetige Verzinsung:
Kn = K0 · ei·n
◮
Für den effektiven Jahreszinssatz gilt damit:
peff = 100 · ei − 1
◮
Anwendung stetiger Wachstumsprozesse:
- Ökonomie (Bevölkerungswachstum),
- Physik (radioaktiver Zerfall),
- BWL (Portfolio- und Kapitalmarkttheorie)
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165
5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Beispiel zur stetigen Verzinsung
Beispiel
K0 = € 10.000, n = 5, nominaler Jahreszins p = 5 %. Wie hoch ist Kn
und peff bei stetiger Verzinsung?
Lösung:
Kn = K0 · ei·n = 10.000 · e0,05·5 = 12.840,25 €
peff = 100 · e0,05 − 1 = 5,127%
Anmerkung 1: Bei Variation von m ergeben sich:
m
peff
1
5
2
5,063
4
5,095
12
5,116
∞
5,127
Anmerkung 2: Die stetige Verzinsung wird z.B. in der Portfoliotheorie
verwendet, da sie mathematisch einfacher zu handhaben ist als
die diskrete Verzinsung.
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166
5. Finanzmathematik
5.3. Äquivalenzprinzip und Kapitalwert
Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik
◮
Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik für Vergleich von
Zahlungen, welche zu verschiedenen Zeitpunkten anfallen.
Vereinfachende Annahmen:
◮
◮
Zinseszinsliche Verzinsung
Zahlungen stets am Anfang oder am Ende einer Zinsperiode
Prinzip
◮
Vergleich von 2 oder mehreren zu verschiedenen Zeitpunkten
anfallende Geldbeträge: Beziehen auf den gleichen Zeitpunkt durch
geeignetes Auf- oder Abzinsen.
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167
5. Finanzmathematik
5.3. Äquivalenzprinzip und Kapitalwert
Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik
◮
Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik für Vergleich von
Zahlungen, welche zu verschiedenen Zeitpunkten anfallen.
Vereinfachende Annahmen:
◮
◮
Zinseszinsliche Verzinsung
Zahlungen stets am Anfang oder am Ende einer Zinsperiode
Prinzip
◮
◮
◮
Vergleich von 2 oder mehreren zu verschiedenen Zeitpunkten
anfallende Geldbeträge: Beziehen auf den gleichen Zeitpunkt durch
geeignetes Auf- oder Abzinsen.
Wahl des Zeitpunktes dabei unerheblich.
Meist: Zeitpunkt t = 0 oder t = n (Ende der Laufzeit)
-
t = 0 den Anfang des ersten Zinszeitraums ( heute“).
”
t = 1 Ende des ersten Zinszeitraums (31.12. des ersten Jahres).
t = 2 Ende des zweiten Zinszeitraumes (31.12. des zweiten Jahres).
t = n Ende des letzen Zinszeitraumes (31.12. des n-ten Jahres)
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167
5. Finanzmathematik
5.3. Äquivalenzprinzip und Kapitalwert
Äquivalenzprinzip: Herleitung
◮
Zwei Zahlungen, A im Zeitpunkt tA und B im Zeitpunkt tB , sind
dann gleichwertig (A ∼ B), wenn ihre Zeitwerte in jedem Zeitpunkt t
übereinstimmen.
Beispiel
Gegeben:
Gesucht:
A = 10.000, tA = 2, p = 7%
B mit tB = 5 so, dass A ∼ B.
Lösung:
B = 10.000 · 1,07(5−2) = 12.250,43 €
Eine Zahlung von € 12.250,43 nach 5 Jahren ist also gleichwertig zu
einer Zahlung von € 10.000 nach 2 Jahren. Der Barwert ( Wert heute“)
”
beider Zahlungen ist übrigens
10.000 · 1,07−2 = 12.250,43 · 1,07−5 = 8.734,39 [€].
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
168
5. Finanzmathematik
5.3. Äquivalenzprinzip und Kapitalwert
Zahlungsströme
Ein Zahlungsstrom (A0 , . . . , An ) ist eine Folge von Zahlungen mit
Zahlungszeitpunkten t = 0, . . . , n.
Zeitwert eines Zahlungsstroms zum Zeitpunkt T :
KT
=
n
X
t=0
=
n
X
t=0
At · qT −t
At · qT · q−t
T
= q ·
= qT ·
Etschberger (HS Weingarten)
n
X
t=0
At · q−t
n
X
At
t=0
Mathematik 2
qt
Sommersemester 2008
169
5. Finanzmathematik
5.3. Äquivalenzprinzip und Kapitalwert
Zahlungsströme: Barwert, Endwert
Wichtige Spezialfälle des Zeitwertes sind:
◮
Kapitalwert oder Barwert eines Zahlungsstroms: (m=0)
K0 =
n
X
t=0
◮
At · q−t =
n
X
At
t=0
qt
Endwert eines Zahlungsstroms: (m=n)
Kn =
n
X
t=0
At · qn−t = qn ·
Etschberger (HS Weingarten)
n
X
t=0
At · q−t = qn ·
Mathematik 2
n
X
At
t=0
qt
= qn · K0
Sommersemester 2008
170
5. Finanzmathematik
5.3. Äquivalenzprinzip und Kapitalwert
Gleichheit zweier Zahlungsströme
Zwei Zahlungsströme (At ), (Bt ), t = 0, . . . , n sind genau dann
äquivalent, wenn sie zu einem beliebigen Zeitpunkt T den gleichen
Zeitwert besitzen:
Pn
Pn
T −t =
T −t
(At ) ∼ (Bt ) ⇔
t=0 At · q
t=0 Bt · q
Pn
P
−t
−t = qT
⇔
qT n
t=0 Bt · q
t=0 At · q
Pn
−t = 0
⇔
t=0 (At − Bt ) · q
(At ) ∼ (Bt ) ⇔
Etschberger (HS Weingarten)
n
X
At − Bt
t=0
Mathematik 2
qt
=0
Sommersemester 2008
171
5. Finanzmathematik
5.3. Äquivalenzprinzip und Kapitalwert
Investitionsrechnung: Beispiel
Beispiel
p = 5 %, Welches Projekt ist zu bevorzugen?
Jahr t
At
Bt
0
1
2
3
4
5
0
400
1.000
400
0
400
1.000
600
0
600
1.000
600
Lösung: Kapitalwert von (At ):
5
X
At
0
1.000
0
1.000
0
1.000
=
+
+
+
+
+
= 2.599,74
1,05t
1,050
1,051
1,052
1,053
1,054
1,055
t=0
Kapitalwert von (Bt ):
5
X
400
400
400
600
600
600
Bt
=
+
+
+
+
+
= 2.625,80
1,05t
1,050
1,051
1,052
1,053
1,054
1,055
t=0
Alternative B ist der Alternative A vorzuziehen.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
172
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Rentenrechnung
Definition
Rente: Zahlungsstrom mit Zahlungen in gleichen zeitlichen Abständen
und (meistens) in konstanter Höhe
Unterscheidung zwischen Renten
◮
mit Zahlung am Ende einer Rentenperiode (nachschüssig)
◮
mit Zahlung zu Beginn einer Rentenperiode vorschüssig)
◮
mit endlicher Laufzeit (endliche Renten)
◮
mit unendlicher Laufzeit (ewige Renten)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
173
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Rentenrechnung: Symbole
Symbol
Bezeichnungen
rt
n
m
p
R0
Rt
Rn
Rentenrate in Periode t
Laufzeit (t = 1, . . . , n)
Anzahl der Rentenzahlungen pro Zinsperiode
Prozentzinssatz
Barwert der Rente
Zeitwert der Rente
Endwert der Rente
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
174
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Nachschüssige konstante (endliche) Renten
Rentenzahlung jeweils am Ende einer Zinsperiode, jeweils in Höhe von
r1 = r2 = · · · = rn = const. = r
⇒ Rentenendwert Rn :
Rn = r · qn−1 + r · qn−2 + . . . + r · q + r
= r · qn−1 + ·qn−2 + . . . + q + 1
=r·
=r·
n−1
X
qt
(geometrische Reihe)
t=0
qn −
1
q−1
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
175
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Rentenendwert und Rentenbarwert
◮
Endwert Rn der Rente:
Rn = r ·
qn − 1
= r · NREFp,n
q−1
◮
NREF: Nachschüssiger Rentenendwertfaktor für endliche konstante
Rente.
◮
Barwert der Rente:
R0 = Rn · q−n = r ·
◮
qn − 1
qn − 1
=
r
·
= r · NRBFp,n
qn · (q − 1)
qn+1 − qn
NRBF: Nachschüssiger Rentenbarwertfaktor
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
176
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Beispiel Rentenendwert
Beispiel
Genau 10 Jahre lang wurde jeweils zum Jahresende ein Betrag von 12.000
€ zum Zinssatz von 4% angelegt. Wieviel kann zu Beginn des 11. Jahres
(entspricht dem Ende des 10. Jahres) abgehoben werden?
Lösung:
Mit n = 10, q = 1,04 und r = 12.000 gilt Folgendes:
R10 = 12.000 ·
1,0410 − 1
1,04 − 1
= 12.000 · 12,006107
= 144.073,28
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
[€ ]
Sommersemester 2008
177
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Beispiel Rentenbarwert
Beispiel
Aus welchem zum Zeitpunkt 0 eingezahlten Betrag kann 10 Jahre lang
bei 4% Zins eine konstante nachschüssige Rente von 12.000 € bezahlt
werden?
Lösung: Frage nach dem Barwert einer Rente. Mit n = 10, q = 1,04 und
r = 12.000 gilt:
R0 = 12.000 ·
1,0410 − 1
1,0411 − 1,0410
≈ 12.000 · 8,110896
≈ 97.330,75 [€ ]
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
178
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Umformung der Rentenbar- und -endwertformel
◮
Je nach Fragestellung: Laufzeit n, Rentenzahlung r, Verzinsungsfaktor q .
◮
Rentenzahlung r:
r=
◮
R0
qn+1 − qn
q−1
Rn
= R0 ·
= Rn · n
=
NRBFp,n
qn − 1
NREFp,n
q −1
◮
Laufzeit n aus Rn :
n=
ln 1 +
Rn ·i
r
ln q
!
R0 qn+1 − (R0 + r)qn + r = 0 .
◮
◮
Laufzeit n aus R0 :
n=
− ln 1 −
ln q
Etschberger (HS Weingarten)
R0 ·i
r
q aus R0 :
q aus Rn :
!
r · qn − Rn · q + Rn − r = 0 .
◮
Berechnung von q im Allgemeinen nur
näherungsweise
(iterativ)
möglich
Mathematik 2
Sommersemester 2008
179
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Beispiel nachschüssige Rente
Beispiel
Ein Steuerberater kauft die Kanzlei eines älteren Kollegen und muss als
Kaufpreis 10 Jahre lang jährlich–nachschüssig je 12.500 € zahlen. Durch
welchen Betrag könnte der Steuerberater diese Zahlungsverpflichung
sofort bei Vertragsabschluss ablösen, wenn mit 8% Zinsen kalkuliert wird?
Lösung: Gesucht ist der Rentenbarwert mit r = 12.500, q = 1,08 und
n = 10. Es gilt dann:
R0 = 12.500 ·
1,0810 − 1
1,0811 − 1,0810
= 12.500 · 6,710081
= 83.876,01 [€ ]
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
180
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Beispiel nachschüssige Rente
Beispiel
Der Barwert einer über 15 Jahre laufenden nachschüssigen Jahresrente
beträgt bei 5%-iger Verzinsung 10.380 €. Wie hoch sind die jährlichen
Rentenzahlungen?
Lösung: Gesucht sind die Rentenzahlungen r mit R0 = 10.380, q = 1,05
und n = 15. Es gilt dann:
r = 10.380 ·
1,0516 − 1,0515
1,0515 − 1
= 10.380 · 0,096342
= 1.000,03
Etschberger (HS Weingarten)
[€ ]
Mathematik 2
Sommersemester 2008
181
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Vorschüssige konstante Renten
◮ Rentenbetrag wird jeweils zu Beginn der Zinsperiode in Höhe von
r1′ = r2′ = · · · = rn′ = r ′ bezahlt.
◮ Äquivalenzprinzip ⇒ Endwert der Rente:
◮ vorschüssige Rentenzahlung r ′ ∼ nachschüssige Rentenzahlung r
=
Rn
r′ · q ·
⇒
r = r′q
qn − 1
= r ′ · VREFp,n
q−1
◮ VREF: Vorschüssiger Rentenendwertfaktor
◮ Barwert der Rente:
R0
=
=
Rn · q−n
r′ · q ·
qn − 1
qn · (q − 1)
=
r′ ·
qn − 1
= r ′ · VRBFp,n
qn − qn−1
◮ VRBF: Vorschüssiger Rentenbarwertfaktor
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
182
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Unterjährige Raten und jährliche Verzinsung
Aufteilung der Zinsperiode in mehrere gleich lange Rentenperioden, d.h.
m Rentenzahlungen pro Zinsperiode (= Jahr).
Dazu:
◮
Rechnung mit einfacher Verzinsung innerhalb der Zinsperiode
◮
Rentenzahlungen nachschüssig (also am Ende jeder unterj.
Rentenperiode) oder vorschüssig möglich
Lösung: Errechnung von konformen (gleichwertigen) jährlich
nachschüssigen Ersatzzahlungen zu den m unterjährigen Zahlungen.
Definition
re heißt konforme jährlich nachschüssige Ersatzrentenrate einer
nachschüssigen (oder vorschüssigen) unterjährigen Rentenrate r.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
183
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Konforme jährliche nachschüssige Ersatzrentenrate
Berechnung von re :
falls unterjährige Rente nachschüssig:
falls unterjährige Rente vorschüssig:
1
·i
re = r + r · 1 +
m 2
·i
+r· 1+
m
+ . . .
m−1
+r· 1+
·i
m
= r·m
1
(1 + 2 + . . . + (m − 1))
+i·r·
m
1
re = r · 1 +
·i
m
2
·i
+r· 1+
m
+ . . .
m +r· 1+
·i
m
=r·m
1
(1 + 2 + . . . + m)
+i·r·
m
m−1
re = r · m + i ·
2
m+1
re = r · m + i ·
2
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
184
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Konforme jährliche nachschüssige Ersatzrentenrate
Berechnung von re :
falls unterjährige Rente nachschüssig:
falls unterjährige Rente vorschüssig:
1
·i
re = r + r · 1 +
m 2
·i
+r· 1+
m
+ . . .
m−1
+r· 1+
·i
m
= r·m
1
(1 + 2 + . . . + (m − 1))
+i·r·
m
1
re = r · 1 +
·i
m
2
·i
+r· 1+
m
+ . . .
m +r· 1+
·i
m
=r·m
1
(1 + 2 + . . . + m)
+i·r·
m
m−1
re = r · m + i ·
2
m+1
re = r · m + i ·
2
Aus Ersatzrentenrate re : Weiterrechnen mit Formeln für jährliche nachschüssige Rente
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
184
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Beispiel konforme Ersatzrentenraten
Beispiel
Ein Sparer legt monatliche nachschüssig 1.000 € auf ein Konto. Wie hoch
ist der Kontostand nach 10 Jahren bei einem Zinssatz von 4%?
Lösung: Gesucht ist der Rentenendwert auf Basis der konformen
Rentenraten. Mit n = 10, m = 12, q = 1,04 und r = 1.000 ergibt sich
Folgendes:
0,04 · 11 1,0410 − 1
R10 = 1.000· 12 +
·
= 12.220·12,006107 = 146.714,63
2
1,04 − 1
{z
}
|
12,22
Beim Zinssatz von i = 4% kann eine monatlich nachschüssige Rente von
1.000 € durch eine jährlich nachschüssige Rentenzahlung von 12.220 €
gleichwertig ersetzt werden. Der Kontostand nach 10 Jahren beträgt
146.714,63 €.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
185
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Ewige Renten
Definition
Eine Rente heißt ewige Rente, wenn Anzahl n der Ratenzahlungen nicht
begrenzt, n also beliebig groß wird (n → ∞).
◮
Berechnung des Rentenendwertes dann nicht möglich
◮
Rentenbarwert R0 existiert jedoch:
qn − 1
n→∞ (q − 1)qn
!
1
r
1
=
−
q−1
(q − 1)qn
i
| {z }
{z
}
|
R0 = lim (r · NRBF) = r · lim
n→∞
= r · lim
n→∞
i
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
→0
Sommersemester 2008
186
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Ewige Renten
Definition
Eine Rente heißt ewige Rente, wenn Anzahl n der Ratenzahlungen nicht
begrenzt, n also beliebig groß wird (n → ∞).
◮
Berechnung des Rentenendwertes dann nicht möglich
◮
Rentenbarwert R0 existiert jedoch:
qn − 1
n→∞ (q − 1)qn
!
1
r
1
=
−
q−1
(q − 1)qn
i
| {z }
{z
}
|
R0 = lim (r · NRBF) = r · lim
n→∞
= r · lim
n→∞
i
→0
Rentenbarwert einer nachschüssigen ewigen Rente: R0 =
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
r
i
Sommersemester 2008
186
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Ewige Renten: Beispiel
Beispiel
Wie groß ist der Barwert einer ewigen nachschüssigen Rente von 40.000
€ pro Jahr, wenn der Zins bei 8% liegt?
Lösung:
R0 =
40.000
= 500.000
0,08
Anmerkung: Geht man von einer vorschüssigen ewigen Rente aus, so
ergibt sich für den Rentenbarwert:
r′
R0 = r ′ +
i
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
187
5. Finanzmathematik
5.5. Tilgungsrechnung
Tilgungsrechnung
◮
Rückzahlung oder Tilgung größerer Darlehen oft in mehreren Raten
◮
Hier betrachtet: Tilgung in mehreren Teilbeträgen, in konstanten
Zeitabständen
◮
Jede zu bezahlende Rate beinhaltet Zinsen und Tilgung
◮
Verwendete Symbole:
◮
Symbol
Bezeichnung
S
Rk
n
Zk
Tk
Ak
Darlehenssumme, Anfangsschuld
Restschuld zu Beginn des k-ten Jahres
Tilgungsdauer (∈ N)
Zinsquote am Ende des k-ten Jahres
Tilgungsquote am Ende des k-ten Jahres
Annuität am Ende des k-ten Jahres
Unterscheidung zwischen Ratentilgung und Annuitätentilgung
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
188
5. Finanzmathematik
5.5. Tilgungsrechnung
Ratentilgung
◮
Während Laufzeit sind Tilgungsquoten konstant. Daraus folgt:
Tk = T =
◮
S
n
und damit:
Rk = S − (k − 1) · T
Restschuld zu Beginn des k-ten Jahres
Zk = Rk · i
Zinsquote am Ende des k-ten Jahres
Ak = Zk + T
Annuität am Ende des k-ten Jahres
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
189
5. Finanzmathematik
5.5. Tilgungsrechnung
Annuitätentilgung
◮
Problem der Ratentilgung: Belastung anfangs hoch, später geringer
◮
Ausweg: Konstanthalten der Annuitäten über Rentenformel
qn (q − 1)
qn − 1
Ak = A = S ·
◮
Daraus ergibt sich:
qn − qk−1
qn − 1
Zk = Rk · i = A · 1 − qk−n−1
Rk = S ·
Tk = A − Zk = A · qk−n−1
Etschberger (HS Weingarten)
Restsch. zu Beg. des k-ten J.
Zinsen im k-ten Jahr
Tilgung im k-ten Jahr
Mathematik 2
Sommersemester 2008
190

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