W armeleitf ahigkeit amorpher CuxSn100?x{Schichten

Warmeleitfahigkeit amorpher
CuxSn100?x{Schichten
von der Fakultat fur Naturwissenschaften
der Technischen Universitat Chemnitz
genehmigte
Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades
Doctor rerum naturalium
Dr. rer. nat.
vorgelegt
von Dipl.{Phys. Ralf Schmidt
geboren am 25. November 1967 in Karl{Marx{Stadt
eingereicht am 5. Juni 1998
Gutachter:
Prof. Dr. rer. nat. habil. Peter Haussler
Prof. Dr. rer. nat. habil. Jens-Boie Suck
Prof. Dr. rer. nat. habil. Robert. O. Pohl
Tag der Verteidigung: 23. Juli 1998
URL-Archiv:
Bibliographische Beschreibung
Thema
Ralf Schmidt: Warmeleitfahigkeit amorpher Cux Sn100?x {Schichten
Technische Universitat Chemnitz
Dissertation, 1998
Referat
Es wird eine Methode vorgestellt, die es ermoglicht, Warmeleitfahigkeitsmessungen an
sowohl in{situ als auch ex{situ hergestellten dunnen Schichten durchzufuhren. Es wurden
Messungen der Warmeleitfahigkeit und des elektrischen Widerstandes fur das System
Cux Sn100?x fur 0 x 100 im Temperaturbereich von 1.2K bis 360 K durchgefuhrt. Die
Proben wurden jeweils nach der Herstellung im amorphen bzw. mikrokristallinen Zustand
und nach dem Anlassen auf 360 K im kristallisierten Zustand gemessen.
Die Ergebnisse werden im Rahmen der in der Literatur gebrauchlichen Modelle diskutiert. Da es sich bei Cu{Sn um ein metallisches System handelt, tragen sowohl Elektronen als auch Phononen zur Warmeleitfahigkeit bei. Die Trennung der Beitrage mit
Hilfe des Wiedemann{Franz'schen Gesetzes bereitet wegen der starken Elektron{Phonon{
Kopplung Schwierigkeiten.
In der Warmeleitfahigkeit der amorphen Cu{Sn{Legierungen bei tiefen Temperaturen
wird ein Bereich schwacherer Temperaturabhangigkeit gefunden. Dieser Plateaubereich
deutet auf zusatzliche Wechselwirkungsmechanismen hin und verschiebt sich mit steigender Cu{Konzentration zu kleineren Temperaturen. Er tritt bei den Cu{reichen Proben, die
aufgrund der hohen Kristallisationstemperatur einen geringeren Kristallisationsgrad aufweisen, auch im kristallisierten Zustand auf. Demzufolge ist das Plateau in diesem Fall zu
tieferen Temperaturen verschoben. Die Verschiebung des Plateaus mit der Konzentration
kann im Rahmen des Modells der Phonon{Rotonen verstanden werden. Phonon{Rotonen
sind lokalisierte niederenergetische Anregungen, die bei Wellenzahlen Qpe Kpe auftreten
und bei einer charakteristischen Energie h !0 angeregt werden konnen. Sie tragen entgegen den Debye{Phononen selbst nicht zur Warmeleitfahigkeit bei, sondern wirken als
deren Wechselwirkungspartner. Kpe bezeichnet die Lage eines elektronisch induzierten
Strukturpeaks, dessen Hohe mit der Zusammensetzung der Legierung skaliert. Die Hohe
des Strukturpeaks ist umgekehrt proportional zur Anregungsenergie der Phonon{Roton{
Zustande. Das bedeutet, da ein Plateaubereich bei hohen Temperaturen auftritt, wenn
der Strukturfaktor bei Kpe klein ist und umgekehrt.
Damit ist es gelungen, im Gegensatz zum Modell der Zwei{Niveau{Systeme die Tieftemperaturanomalien in der Warmeleitfahigkeit ahnlich wie die Anomalien in der Thermokraft
bei tiefen Temperaturen direkt auf die Struktur der Proben zuruckzufuhren.
Schlagworte
Warmeleitung, tiefe Temperaturen, binare Legierungen, dunne Schichten, Cu{Sn, Wiedemann{Franz'sches Gesetz, Phononenwarmeleitfahigkeit, Zwei{Niveau{Systeme, Phonon{
Rotonen, niederenergetische Anregungen.
2
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
6
1 Grundlagen
9
1.1 Theorie des Elektronenbeitrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Theorie des Phononenbeitrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Modelle fur niederenergetische Anregungen . . . . . . . . . . . . . .
2 Experimentelles
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Kryostat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Temperaturmessung am Probenhalter . . . . .
Probenherstellung . . . . . . . . . . . . . . . .
Schichtdickenbestimmung . . . . . . . . . . .
Messung des elektrischen Widerstandes . . . .
Messung der Warmeleitfahigkeit . . . . . . . .
2.6.1 Substrat . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Memethode . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Meleistung . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Moglichkeiten und Grenzen des Meverfahrens
2.7.1 Strahlungsverluste . . . . . . . . . . .
2.7.2 Genauigkeit der Memethode . . . . .
2.7.3 Geometriefehler im Bolometer . . . . .
2.7.4 Reproduzierbarkeit der Messungen . .
3 Ergebnisse
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20
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31
32
34
3
4
3.1 Elektrischer Widerstand . . . . .
3.1.1 U berblick . . . . . . . . .
3.1.2 Spezischer Widerstand .
3.1.3 Supraleitung . . . . . . . .
3.1.4 Kristallisationstemperatur
3.2 Warmeleitfahigkeit . . . . . . . .
4 Diskussion der Warmeleitfahigkeit
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4.1 Elektronenbeitrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Elektronenbeitrag im normalleitenden Bereich
4.1.2 Elektronenbeitrag im supraleitenden Bereich .
4.1.3 Abseparation des Elektronenbeitrages . . . . .
4.2 Phononenbeitrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Phononenbeitrag im supraleitenden Bereich .
4.2.2 Phononenbeitrag im normalleitenden Bereich .
4.2.3 Phononenbeitrag bei hohen Temperaturen . .
4.3 Zusammenfassung der Streumechanismen . . . . . . .
4.4 Niederenergetische Anregungen . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Zwei{Niveau{Systeme . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Phonon{Roton{Zustande . . . . . . . . . . . .
4.5 Weiterfuhrende Experimente . . . . . . . . . . . . . .
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53
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58
59
61
65
Zusammenfassung
67
A Phasendiagramm fur Cux Sn100?x
69
B Phonon{Elektron{Wechselwirkung
70
Literaturverzeichnis
75
Selbstandigkeitserklarung
81
Thesen
82
5
Danksagung
83
Lebenslauf
84
Einleitung
Amorphe Festkorper zeichnen sich strukturell durch eine fehlende Fernordnung aus.
Amorphe Metalle haben im Gegensatz zu kovalent gebundenen Glasern ussigkeitsahnliche Strukturen [1]. Die Herstellung amorpher Metalle erfolgt durch Abschrecken der dampormigen oder ussigen Phase auf tiefe Temperaturen. Die metallische Bindung in reinen Metallen bevorzugt in der Regel die Relaxation in die
kristalline Phase. Deshalb konnen amorphe Metalle meist nur als Legierungen hergestellt werden [1, 2].
In der Warmeleitfahigkeit amorpher Stoe wurde fur Dielektrika und amorphe Metalle ein ahnliches Verhalten gefunden [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13]. Das betrit sowohl den Tieftemperaturanstieg fur T 1 K mit etwa T 2 als auch einen
Bereich schwacherer Temperaturabhangigkeit fur 1 K < T < 10 K. Bei dem wohl am
haugsten untersuchten System SiO2 [14, 15, 16, 17] wird dieser Bereich als Plateau in der Warmeleitfahigkeit bezeichnet und allgemein mit niederenergetischen
Anregungen (NEA) erklart, die zuerst von Zeller und Pohl [3] fur isolierende Glaser und spater auch fur amorphe Metalle gefunden wurden [9, 10, 11, 12].
Sehr oft wird der Tieftemperaturanstieg in der Warmeleitfahigkeit mit Streuung
an Zwei{Niveau{Systemen [18, 19] als einer Form von NEA erklart. Die kovalenten
Bindungen in amorphen Dielektrika ermoglichen es einem Atom oder einer Atomgruppe, zwischen zwei stabilen Zustanden hin{ und herzutunneln [20]. Dabei andern
sich die Bindungswinkel. Fur amorphe Metalle sollen kleine Verruckungen von Atomen oder Atomgruppen zwischen zwei stabilen Zustanden Zwei{Niveau{Systeme
darstellen [20]. Das Plateau ndet durch die Erweiterung dieses Modells zu hoheren Temperaturen, dem Soft{Potential{Modell [21, 22, 23, 24, 25], eine Erklarung.
Die Erfolge bei der Beschreibung der Tieftemperaturanomalien in der spezischen
Warme, bei der fur amorphe Dielektrika und Metalle (nachweisbar in supraleitenden Legierungen) ein zusatzlicher linearer Beitrag gefunden wird [3, 20, 26, 27, 28],
als auch der Ultraschalleigenschaften bei tiefen Temperaturen (logarithmische Temperaturabhangigkeit der Schallgeschwindigkeit) [20, 28], sprechen fur das Modell
der Zwei{Niveau{Systeme. Beiden Modellen liegen jedoch Annahmen zugrunde, die
trotz einiger Arbeiten zur mikroskopischen Begrundung von Zwei{Niveau{Systemen
[20, 29, 30] nicht direkt durch Strukturdaten belegt werden konnen. Das mu als
unbefriedigend angesehen werden.
Der Plateaubereich lat andererseits zusatzliche resonanzartige Wechselwirkungen
des Phononen{ oder auch des Elektronensystems mit NEA vermuten, die von der
Struktur des Systems abhangen [31, 32, 33, 34]. Unter diesem Aspekt ist die gegenseitige Beeinussung der statischen Struktur (reprasentiert durch den Strukturfaktor), der dynamischen Struktur (uber die Dispersionsrelation der Phononen
deniert) und des Elektronensystems (charakterisiert durch die Fermiache) fur das
Verstandnis amorpher Metalle von grundlegender Bedeutung [35, 36].
Eine groe Gruppe amorpher Systeme (Edelmetall{Polyvalentmetall{Legierungen)
6
EINLEITUNG
7
lat sich hervorragend in das System der elektronisch stabilisierten Hume{Rothery{
Phasen einordnen [37]. Fur eine mittlere Zahl von Valenzelektronen z = 1.8 e/a wurde eine besonders hohe Stabilitat der amorphen Phase gefunden [38]. Diese auert
sich in einer hohen Kristallisationstemperatur und ist die Folge einer Absenkung
der Gesamtenergie des amorphen Systems, die durch die Beruhrung der Fermiache
mit der Pseudo{Brillouinzone ermoglicht wird [39]. Das fuhrt zu einem elektronisch
induzierten Peak bei Kpe im Strukturfaktor, dessen Lage mit dem Durchmesser der
Fermikugel 2kF ubereinstimmt (bei z = 1.8 e/a) bzw. bezuglich 2kF mit z skaliert
[38, 40, 41]. Die Hohe des Strukturfaktors S (2kF ) spiegelt sich im Tieftemperaturverhalten der elektronischen Transportgroen Hallkoezient RH und Thermokraft
S (T ) wider [35]. Der fur amorphe Edelmetall{Polyvalentmetall{Legierungen gefundene Knick bei T0 in der Thermokraft S (T ) bei tiefen Temperaturen, der teilweise
zu einem Minimum fuhrt [36, 42], skaliert mit der Konzentration der Proben und
mit der Hohe des Strukturfaktors an der Stelle Kpe . Fur die Warmeleitfahigkeit
sowie andere Transportkoezienten sind ebenfalls Anomalien zu erwarten. In der
Dispersionsrelation der Phononen wird ein Minimum bei Wellenzahlen Qpe = Kpe
beobachtet [43, 44, 45, 46]. Diese NEA werden in Analogie zu ihrem Auftreten im
suprauiden Helium [47, 48] oft als rotonenartige oder Phonon{Roton{Zustande
bezeichnet [44, 49]. Ihre Anregung erfordert eine charakteristische Energie h !0, die
mit der Hohe des Strukturfaktors an der Stelle Kpe zusammenhangt [44, 50] und
uber die A nderung der Konzentration beeinut werden kann.
Neben dem Aufbau eines Experimentes zur Bestimmung der Warmeleitfahigkeit
und der Diskussion der Ergebnisse im Rahmen der bekannten Theorien soll in dieser Arbeit untersucht werden, ob sich das Plateau in der Warmeleitfahigkeit durch
Strukturanderungen und die dadurch beeinuten NEA beschreiben lat. Bei aufgedampften amorphen Legierungen lat sich dieser Einu besonders gut untersuchen, da uber die Zusammensetzung der Proben die Hohe des elektronisch induzierten Strukturpeaks verandert werden kann [37, 38]. Auerdem kann der Einu der
Kristallisation und des Kristallisationsgrades untersucht werden. Besondere Aufmerksamkeit soll der Untersuchung des Plateaubereiches und dessen Verschiebung
auf der Temperaturskala bei A nderung der Zusammensetzung der Proben und der
Diskussion der Ergebnisse uber die gegenseitige Beeinussung der statischen, dynamischen und elektronischen Struktur geschenkt werden. Dabei soll an Modelle
angeknupft werden, die in den letzten Jahren zunehmend diskutiert wurden und
die einen direkten Zusammenhang zwischen Struktur, Dispersionsrelation der Phononen und den Tieftemperatureigenschaften amorpher Legierungen herstellen. In
[8] wird der Tieftemperaturanstieg der Warmeleitfahigkeit mit Strukturdaten bei
kleinen K {Werten erklart, wahrend in [31] und [32] der zusatzliche Beitrag in der
spezischen Warme und die thermische Leitfahigkeit uber das elementare Anregungsspektrum erklart werden. Die Wechselwirkung der Phononen mit elementaren
NEA fuhrt in [51, 52] zu einer befriedigenden Beschreibung der Tieftemperaturanomalien in der Warmeleitfahigkeit quasi{eindimensionaler Verbindungen, und in
[53] wird die inelastische Elektron{Elektron{Wechselwirkung in Verbindung mit der
8
EINLEITUNG
elastischen Streuung der Elektronen an dynamischen Konzentrations{Fluktuationen
fur den Tieftemperaturverlauf der Warmeleitfahigkeit verantwortlich gemacht. Die
Wechselwirkung von Elektronen mit NEA ist aus der Literatur bekannt [42, 54, 55].
Es wurde das System CuxSn100?x gewahlt, da bei diesem amorphen Metall bereits
viele andere Daten uber Struktur und Transportprozesse vorhanden sind. Auerdem
lassen sich amorphe dunne Schichten dieses Systems sehr leicht praparieren.
Die vorliegende Arbeit ist in vier Teile gegliedert. Der erste stellt die Grundlagen
vor, der zweite geht auf experimentelle Besonderheiten ein, der dritte auf die Meergebnisse, und im vierten Teil werden die Meergebnisse ausfuhrlich unter den oben
genannten Gesichtspunkten diskutiert.
Kapitel 1
Grundlagen
Warmeleitfahigkeitsmessungen sind neben ihrer Bedeutung fur technische Anwendungen auch fur die Grundlagenforschung von groem Interesse. So konnen phononische Anregungen ebenso untersucht werden, wie die Wechselwirkung zwischen
Elektronen, Phononen und der Struktur des Festkorpers. Die Ergebnisse konnen
mit anderen Messungen (Strukturuntersuchungen, andere Transportkoezienten,
wie elektrische Leitfahigkeit , Thermokraft S (T ), Hallkoezient RH ) verglichen
werden und fuhren so zu einem besseren Verstandnis bezuglich der Transportanomalien bei tiefen Temperaturen.
Allgemein stellt man fest, da bis auf wenige Ausnahmen ein guter elektrischer
Leiter auch ein guter Warmeleiter ist, weshalb mit dem Wiedemann{Franz'schen
Gesetz eine Beziehung formuliert werden kann, die eine Verbindung zwischen elektrischer und thermischer Leitfahigkeit herstellt. In guten Kristallen, so z.B. in Diamant beobachtet man eine sehr hohe Phononenwarmeleitfahigkeit. Diese steigt bei
tiefen Temperaturen stark an, erreicht ein Maximum und fallt danach wieder ab.
In amorphen Festkorpern ist die Phononenwarmeleitfahigkeit bei tiefen Temperaturen einige Groenordnungen kleiner und zeigt Anomalien, die sich in einem Bereich
schwacherer Temperaturabhangigkeit (Plateau) und einem veranderten Tieftemperaturanstieg auern. Die Untersuchung dieses Bereiches ist ein Ziel dieser Arbeit.
In diesem ersten Kapitel soll auf die wesentlichen theoretischen Grundlagen der
Warmeleitfahigkeit eingegangen werden. Auftretende Besonderheiten werden an geeigneter Stelle in Kapitel 4 diskutiert.
Der an einen Festkorper angelegte Temperaturgradient @T=@~r ruft eine Warmestromdichte w~ hervor. Allgemein gilt
w~ = ? @T
(1.1)
@~r :
ist ein Tensor zweiter Stufe, der in amorphen Materialien aufgrund der Isotropie
zu einem Skalar entartet. Die Warmeleitfahigkeit metallischer Proben setzt sich
allgemein aus einem Elektronen (El){ und einem Phononenanteil (Ph ) additiv
9
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
10
zusammen, wobei beide Systeme miteinander wechselwirken. Fur eine quantitative
Diskussion werden die Beitrage getrennt behandelt.
1.1 Theorie des Elektronenbeitrages
Um den Elektronenanteil der Warmeleitfahigkeit zu diskutieren, mu als Warmeenergie E (~k) eines einzelnen Ladungstragers die Dierenz zur Fermienergie EF betrachtet werden (z.B. [56, 57, 58]). Fur w~ gilt deshalb
w~ = 41 3 d3k(E (~k) ? EF )~v(~k)f (~k ):
Z
(1.2)
~v(~k) ist die Driftgeschwindigkeit der Ladungstrager. Fur die durch auere Felder
bzw. im Fall der Warmeleitung durch einen Temperaturgradienten @T
@~r gestorte Verteilungsfunktion ist mit f = f0 + g das Resultat aus der Boltzmanntheorie (siehe
z.B. [56, 57]) einzusetzen. Unter der Bedingung, da kein Strom uber die Probe
iet (~j = 0), ergibt sich in der Relaxationszeitnaherung
El
2
= T1 I2 ? II1
0
!
(1.3)
mit den Fermiintegralen vom Typ
0
Ir = 41 3 d3k(E ? EF )r ? @f
@E (~v ~v):
!
Z
(1.4)
Fur Metalle kann ? @f@E0 durch eine Deltafunktion angenahert werden, und man
erhalt in der Naherung freier Elektronen
2 2 (kF )
:
(1.5)
El = kB3Tn
m
Dabei ist n die Ladungstragerdichte, die resultierende mittlere Relaxationszeit
und m die eektive Masse der Elektronen. Die Schwierigkeit besteht darin, die auftretenden Streumechanismen zu bewerten und eine Relaxationszeit zu berechnen.
Oft bedient man sich einer Naherung, bei der nur die dominierenden Streuprozesse
betrachtet werden. Sie uberlagern sich bei Gultigkeit der Matthiessenschen Regel
(z.B. [56, 57, 58]) nach
1 = 1:
(1.6)
X
i
i
Fur die elektrische Leitfahigkeit liefert der Boltzmannformalismus
= e 2 I0 :
(1.7)
11
Fur das Wiedemann{Franz'sche Gesetz (WFL), das das Verhaltnis von thermischer
zu elektrischer Leitfahigkeit beschreibt, gilt damit
El = 1 I2 ? I1 2 :
(1.8)
T T 2e2 I0 I0
!
Wahrend fur den ersten Term II20 = 32 (kB T )2 gilt, wird der zweite, der das Quadrat
der Thermokraft S (T )2 enthalt, meist vernachlassigt. Es ergibt sich fur das WFL
El = 2 kB 2 = 2:45 10?8 V2 :
(1.9)
T 3 e
K2
Damit existiert eine Moglichkeit, bei bekannter elektrischer Leitfahigkeit (Sie wird
uber den Widerstand der Probe wahrend des Experimentes stets mit bestimmt.)
die Elektronenwarmeleitfahigkeit abzuschatzen. Dieses Gesetz ist unter der Voraussetzung anwendbar, da die Relaxationszeiten i fur thermische und elektrische
Leitfahigkeit die gleiche Energieabhangigkeit aufweisen. Dies ist fur hohe Temperaturen und fur sehr tiefe Temperaturen erfullt. Treten inelastische Wechselwirkungen
auf, so kann das WFL in seiner Form von (1.9) nicht angewendet werden [58, 59].
Ebenso ist die Rolle der Elektronen in Verbindung mit dem auch in amorphen Metallen beobachteten Plateau in der Warmeleitfahigkeit weitgehend unklar. Deshalb
erscheint es in diesem Fall sinnvoll, auf ein Apseparieren des Elektronenanteils mit
Hilfe des WFL zu verzichten. Dieser Punkt wird in der Diskussion der Meergebnisse
in Kapitel 4 nochmals aufgegrien.
!
1.2 Theorie des Phononenbeitrages
Der Phononenanteil der Warmeleitfahigkeit kann in Analogie zum idealen Gas betrachtet werden, da die grundlegenden Gesetze der Warmeleitfahigkeit in ihrer mathematischen Form mit den entsprechenden Gleichungen der Diusion ubereinstimmen (siehe z.B. [41, 56, 57, 58]). Die Phononenwarmeleitfahigkeit ergibt sich zu
(1.10)
Ph = 13 vC^ < ` > :
Hierbei ist v die Schallgeschwindigkeit, C^ die Warmekapazitat und < ` > die mittlere freie Weglange der Phononen. Im allgemeinen kann `(!) als eine Funktion der
Temperatur und der Frequenz nach
`(!) (T )!?n
(1.11)
geschrieben werden. Wird fur C^ die Debyetheorie benutzt, so erhalt man fur tiefe
Temperaturen
D =T x4 ex
Ph
3
(1.12)
T
(ex ? 1)2 `(!)dx;
Z
0
12
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
und Ph (T ) folgt wegen
Ph (T ) (T )T 3?n
(1.13)
im wesentlichen dem Temperaturverlauf der Warmekapazitat. Fur hohe Temperaturen gilt Ph (T ). Dieses Verhalten ist fur Kristalle wohlbekannt.
Um die Phononenwarmeleitfahigkeit gut zu beschreiben, mu (1.11) uber mikroskopische Ansatze beschrieben werden. In diesem Zusammenhang wird oft von der
Dominant{Phonon{Naherung Gebrauch gemacht, um die theoretische Beschreibung
zu erleichtern. In dieser Naherung wird das Spektrum der angeregten Phononen bei
einer gegebenen Temperatur durch eine {Funktion bei h !dom 1:6kB T ersetzt
[58]. Es kann gezeigt werden, da die Anzahl der angeregten Zustande in einem
Frequenzintervall d! genau an dieser Stelle maximal wird [58].
In amorphen Festkorpern ndet man bei tiefen Temperaturen meist ein Verhalten Ph T 2 anstelle der oben beschriebenen Temperaturabhangigkeit Ph T 3.
Auerdem tritt bei etwa T 10 K ein Plateaubereich auf. In der Warmekapazitat
beobachtet man einen zusatzlichen linearen Beitrag. Diese Anomalien werden im
Zusammenhang mit NEA diskutiert. Durch lokalisierte Schwingungen, die in diesem Temperaturbereich angeregt werden konnen, entstehen zusatzliche Freiheitsgrade, die abgesattigt werden mussen. Das fuhrt zu dem zusatzlichen Beitrag in
der Warmekapazitat. Die lokalisierten Schwingungen tragen jedoch selbst nicht zur
Warmeleitfahigkeit bei, sondern wechselwirken mit den Debyephononen, wodurch
die "Trager\ der Warmeleitung behindert werden. Ein Bereich schwacherer Temperaturabhangigkeit ist die Folge.
Die mikroskopische Ursachen fur die beobachteten Anomalien und die Natur der
NEA ist jedoch noch weitgehend unklar, weshalb verschiedene Modelle zur Interpretation der Phononenwarmeleitfahigkeit bei tiefen Temperaturen existieren und
eine Vielzahl von Gruppen vor allem auf dem Gebiet der Warmeleitfahigkeit amorpher Dielektrika arbeitet.
1.3 Modelle fur niederenergetische Anregungen
Im folgenden sollen einige der verbreitetsten Modelle fur niederenergetische Anregungen (NEA) kurz vorgestellt werden. Das in dieser Arbeit favorisierte Modell soll
dann ausfuhrlich in Kapitel 4.4.2 beschrieben werden.
Zwei{Niveau{Systeme
Eine Erklarung uber die Wechselwirkung der Phononen mit, allerdings nur postulierten, Zwei{Niveau{Systemen (Two{Level{Systems, TLS) [5, 18, 19, 20, 60, 61, 62] ist
die gebrauchlichste. Dabei sind angenommene, sowohl energetisch als auch raumlich
benachbarte Zustande von Bedeutung, zwischen denen Atome oder Atomgruppen
tunneln konnen. Fur die Streuung an TLS ndet man fur T 1 K eine Abhangigkeit
T 2 und fur hohere Temperaturen ein Plateau [5, 9, 10, 12, 63, 64]. Die mikro-
13
skopischen Ursachen der TLS sind trotz einiger Erklarungsversuche [20, 29, 30]
weitgehend unverstanden. Der Bereich T 1 K ist in der vorliegenden Arbeit experimentell nicht zuganglich. Deshalb kann das TLS{Modell nur im Plateaubereich
angewendet werden. Da die Kurvenanpassung nach dem vereinfachten Modell in
[5] aber vier Parameter gleichzeitig erfordert, reduziert sich die Prozedur auf ein
mathematisches Problem. Das Modell der TLS bleibt dennoch einer der erfolgreichsten Ansatze zur Interpretation der Warmeleitfahigkeit, Warmekapazitat und
Ultraschalleigenschaften amorpher Festkorper bei tiefen Temperaturen und soll deshalb zur Interpretation der Ergebnisse mit herangezogen werden.
Soft{Potential{Modell
Das Soft{Potential{Modell (SPM) [21, 22, 23, 24, 25, 65] stellt eine "Weiterentwicklung\ und Verallgemeinerung des Modells der TLS dar, indem weiche Potentiale und
Relaxationsprozesse einbezogen werden. Wiederum werden Annahmen gemacht, die
nicht unmittelbar auf strukturellen Informationen der beschriebenen Systeme basieren. Beim SPM tritt mit der Vielzahl der Fitparameter ein ahnliches Problem wie
bei dem TLS{Modell auf. Die Ergebnisse des SPM beschreiben allerdings sehr gut
das Tieftemperaturverhalten der Warmeleitfahigkeit amorpher Systeme uber den
T 2{Anstieg hinaus [66, 67].
Ein direkter Zusammenhang mit Strukturdaten kann jedoch auch hier nicht hergestellt werden.
Fraktonenmodell
In [68] wurde die Dichte der Schwingungszustande fur fraktale Systeme abgeleitet.
Diese kurzwelligen, als lokalisiert angenommenen Schwingungszustande (Fraktonen)
werden in [69] zur Erklarung der Warmeleitfahigkeit benutzt. Fraktonen tragen
selbst nicht zur Warmeleitfahigkeit bei, durch ihre Wechselwirkung mit Phononen
kommt es jedoch zu einer Verkleinerung der mittleren freien Weglange der Phononen.
Ungeordnete Systeme mit kleiner Dichte konnen auf einer kleinen Langenskala als
fraktal betrachtet werden. Auf einer groeren Langenskale erscheinen sie jedoch homogen. Daraus resultiert im langwelligen Bereich ein Debye{Verhalten und im kurzwelligen Bereich ein "Fraktonen{Verhalten\. Es wird eine sogenannte Crossover{
Frequenz deniert, bei der die Debye{artige Zustandsdichte in eine "Fraktonen{
Zustandsdichte\ ubergeht [70]. Innerhalb dieses Modells konnen die thermischen
Eigenschaften von Glasern verstanden werden [69, 70], jedoch ist der Beweis fur die
angenommene selbstahnliche fraktale Struktur noch nicht erbracht [70, 71].
Strukturfaktor bei kleinen K {Werten
Als weitere Diskussionsgrundlage soll hier die Ableitung der T 2{Abhangigkeit und
die Beschreibung des Plateaus in der Warmeleleitfahigkeit mit Hilfe von Strukturdaten (S (K )) fur kleine K 10?2 A?1 angefuhrt werden [8]. Durch die Anregung
langwelliger Debyephononen bei kleinen K {Werten wird S (K ) abgetastet, und der
14
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
Verlauf von S (K ) spiegelt sich in der Warmeleitfahigkeit wider. Die T 2{Abhangigkeit fur T 1 K und der U bergang in den Plateaubereich konnen so gut beschrieben
werden.
Fur das hier untersuchte Legierungssystem liegen keine Strukturdaten bei kleinen
K {Werten vor, weshalb dieses Modell nicht naher untersucht werden soll.
Elementare NEA
Neben den oben genannten existieren noch eine Reihe anderer Modelle. Einige von
ihnen, die die Wechselwirkung der Phononen bzw. auch der Elektronen mit NEA
beschreiben, sollen hier erwahnt werden.
Die Wechselwirkung NEA mit den Elektronen mu hier mit diskutiert werden, da
fur amorphe Systeme Anomalien in der Thermokraft gefunden wurden [42], die
durch eine Wechselwirkung des Elektronensystems mit Phonon{Roton{Zustanden
(Minimum in der Dispersionsrelation bei Qpe 2kF ) erklart werden [42, 55]. In der
Literatur sind Einusse niederenergetischer Anregungen (vor allem bei der Diskussion der TLS) auf das Elektronensystem bekannt [20, 54]. Sie werden mit dem teilweise gefundenen schwachen Minimum im spezischen Widerstand bei tiefen Temperaturen in Verbindung gebracht. In [53] wird die inelastische Elektron{Elektron{
Wechselwirkung in Verbindung mit der Streuung der Elektronen an dynamischen
Dichteanregungen fur die Tieftemperatureigenschaften der Warmeleitfahigkeit verantwortlich gemacht. Ein Beweis fur die Wechselwirkung der Elektronen mit NEA
(z.B. TLS oder Phonon{Roton{Zustande) mit Hilfe der Warmeleitfahigkeit fallt
schwer, da es nicht moglich ist, Phononen{ und Elektronenbeitrag separat zu messen (Ausnahme ist der supraleitende Zustand).
In [31] wird der Phonon{Roton{Teil des Energiespektrums fur die Beschreibung
der zusatzlichen Tieftemperaturbeitrage zur Warmekapazitat von Glasern genutzt.
In dieser Arbeit wird gezeigt, da es nicht notwendig ist, zusatzliche hypothetische "Objekte\ einzufuhren. Im Gegenteil, aus dem Verlauf der Dispersionsrelation
im Bereich der Phonon{Roton{Zustande konnen "Zwei{Niveau{Systeme\ abgeleienergetisch hoheren Zustand
tet werden. U bergange vom energetisch niedrigen zum
konnen uber die Absorption bzw. umgekehrt uber die Emission eines Phonons erfolgen. In [32] wird der zusatzliche Beitrag zur Warmekapazitat bei tiefen Temperaturen fur das System Mg70Zn30 in ahnlicher Weise mit Hilfe von "weichen\ Phononen
(Phonon{Rotonen) berechnet.
In [44] wurden in einer theoretischen Arbeit ebenfalls die Phonon{Roton{Zustande
zur Erklarung der Warmekapazitat genutzt. Dort wurde nachgewiesen, da ein Zusammenhang zwischen dem Strukturpeak bei Kpe und der Anregungsenergie h !0 der
Phonon{Roton{Zustande besteht. Die Anregungsenergie ist demnach proportional
zur Halbwertsbreite des Peaks im Strukturfaktor. In [50] wird diese Proportionalitat durch die Aussage bestatigt, da die Anregungsenergie der Phonon{Rotonen
umgekehrt proportional zur Hohe des Strukturfaktors an der Stelle Kpe ist. Im
Grenzfall kristalliner Festkorper, fur die schmale hohe Peaks im Strukturfaktor ge-
15
funden werden, wird die Anregungsenergie kleiner, und die Dispersionsrelation geht
in die bekannte Kurve fur kristalline Materialien uber.
In [51, 52] wird fur eine quasi{eindimensionale Verbindung nach einem Tieftemperaturanstieg mit etwa T 3 oberhalb von T = 1 K ein Minimum in der Warmeleitfahigkeit gefunden. Diese Anomalie wird mit der Streuung der Phononen an tieiegenden transversalen akustischen Moden mit einer nur schwachen Q{Abhangigkeit uber
einen weiten Bereich der Brillouinzone erklart. In der Terminologie der vorliegenden
Arbeit handelt es sich dabei um Phonon{Roton{Zustande.
Aus dieser Vielzahl von Diskussionsansatzen ist ersichtlich, da die Bemuhungen
in den letzten Jahren stark zugenommen haben, alternative Modelle zu den TLS
oder dem SPM zu entwickeln, die direkte Eigenschaften der untersuchten Substanzen, wie Struktur oder Dispersionsrelation der Phononen, fur eine Beschreibung
der Tieftemperatureigenschaften amorpher Metalle nutzen. Die exakte Messung der
Warmeleitfahigkeit bei tiefen Temperaturen wird deshalb zu einer wichtigen Voraussetzungen fur eine erfolgreiche Diskussion der verschiedenen Modelle.
Kapitel 2
Experimentelles
Warmeleitfahigkeitsmessungen amorpher dunner Schichten stellen besondere Anforderungen an den Aufbau der Meapparatur sowie an die Memethode, da kleine Warmestrome gemessen und Strahlungseinusse vermieden werden mussen. Es
wurde eine modizierte stationare Memethode genutzt. Um moglichst homogene, saubere Proben zu erhalten und wegen der niedrigen Kristallisationstemperatur
(150 K < Tk < 320 K, vgl. Kap. 3.1.4) erfolgte eine in{situ Praparation der Schichten
in einem Hochvakuum{Kryostaten. Dabei wurde die abschreckende Kondensation
aus der Dampfphase des zu untersuchenden Materials auf ein mit ussigem Helium
gekuhltes Substrat mittels der Drehrohrofenmethode [26, 63, 72] verwendet. Fur
die Messung der Warmeleitfahigkeit standen besondere Substrate (Kap. 2.6.1) zur
Verfugung, die sich durch eine kleine Warmeleitfahigkeit auszeichnen und uber ein
integriertes Heizer/Thermometer{System (Bolometer) verfugen. Parallel dazu wurde der elektrische Widerstand fur das gleiche Material an einer Probe mit einer fur
Widerstandsmessungen optimierten Geometrie auf einkristallinem Quarz gemessen.
Die Bestimmung der Schichtdicke erfolgte an dieser zweiten Schicht (Kap. 2.4).
2.1 Kryostat
Es stand ein 4He{Kryostat [72] zur Verfugung. Drei konzentrische Abschirmbecher
verhinderten eine thermische Zustrahlung von auen auf den mit Abschirmblechen
gekapselten Probenhalter. Wahrend des Aufdampfvorganges betrugen deren Temperaturen 77 K bzw. 4.2 K (von auen nach innen). U ber eine Drehdurchfuhrung
konnten die Abschirmbecher fur den Aufdampfvorgang geonet werden. Die Temperatur des innersten Abschirmbechers wurde beim Aufwarmen1 der Probe durch
Heizen mitgefuhrt. Es waren Messungen im Temperaturbereich von 1.2 K bis 360 K
moglich. Der Restgasdruck2 lag bei etwa 310?7 mbar.
1
2
mit HM8142 Power Supply, Hameg
mit Combivac IT230, Leybold, gemessen
16
2.2. TEMPERATURMESSUNG AM PROBENHALTER
17
2.2 Temperaturmessung am Probenhalter
Die Temperaturmessung am Probenhalter erfolgte unterhalb von T = 40 K mit kalibrierten Kohlewiderstanden3 und oberhalb von T = 30 K mit ebenfalls kalibrierten
Platinresistoren4. Der dabei auftretende U berlappungsbereich diente zur Kontrolle
der Reproduzierbarkeit. Es wurde eine Gleichstrommethode in 4{Punkt{Anordnung
benutzt, wobei am Stromgeber5 umgepolt wurde, um Thermospannungen zu kompensieren. Um den Spannungsabfall an den verschiedenen Widerstanden am Probenhalter und am Vorratstank mit einem Digitalmultimeter6 auslesen zu konnen,
kam ein Mestellenumschalter7 zum Einsatz, der sowohl die Stromzufuhrungen als
auch die Spannungsabgrie schaltete. Zur U berprufung der Genauigkeit der Temperaturmessung wurden bei jedem Einkuhlvorgang die Fixpunkte bei T = 77 K (Siedetemperatur des ussigen Stickstos) und T = 4.2 K (Siedetemperatur des ussigen
Heliums) uberpruft. Diese Temperaturmessung diente zur Bestimmung der Umgebungstemperatur T0 der Probe. Die Temperaturmessung zur Bestimmung der
Warmeleitfahigkeit wird in Kapitel 2.6.2 gesondert beschrieben.
2.3 Probenherstellung
Die zwei Substrate mit unterschiedlichem Bolometermaterial zur Messung der Warmeleitfahigkeit sowie das Substrat zur Messung des elektrischen Widerstandes wurden auf dem Probenhalter eng nebeneinander (Abb. 2.1) angeordnet, um gleiche
Bedingungen wahrend der Probenpraparation zu gewahrleisten. Damit ist die zu
bedampfende Flache etwa 15 mm 15 mm gro. Bei einem Abstand zum Drehrohrofen von 11 cm ergibt sich so ein kleiner Raumwinkel von 1.5 msr, der garantiert, da die kondensierten Schichten alle die voreingestellte Zusammensetzung
haben und keine bzw. nur sehr kleine Schichtdickegradienten auftreten. Die Praparation aller Proben mit Ausnahme des reinen Cu und Sn erfolgte durch sequentielle
Flash{Verdampfung aus einem Wolframbandchen mit Hilfe der Drehrohrofenmethode [26, 63, 72]. Die reinen Proben wurden aus einem Tantalschichen verdampft.
Nach dem Einwiegen der Ausgangsmaterialien8 wurde nach einer in [73] beschriebenen Methode unter Hochvakuum ein zwangslegierter Schmelzling hergestellt. Unmittelbar vor dem Experiment wurde der bis dahin vakuumisolierte Schmelzling
zermorsert9 und mit dem entstandenen kleinkornigen Material das Drehrohr beschickt. Beim Drehen des Drehrohres fallen einige Kornchen des Materials auf das
heie Wolframbandchen und verdampfen sofort (t < 1 s). Der Dampf eines Korn3
4
5
6
7
8
9
Allen{Bradley, R= 100
bzw. R = 220 Pt{Mewiderstande, Typ K816, R = 100
, Fa.Rossel
DC Calibrator J152, Knick
34401 Multimeter, Hewlett Packard
7001 Switch System, Karte 7011S, Keithley
Cu m6N, Sn m4N, Alfa Products, Karlsruhe, mges 350mg
Borkarbidmorser
KAPITEL 2. EXPERIMENTELLES
18
Abbildung 2.1: Anordnung der Substrate zur Widerstands{ (1)
und Warmeleitfahigkeitsmessung (2, 3) auf dem Probenhalter.
Probe 2 ist mit einem Al{Bolometer und Probe 3 mit einem
Au20Ge80{Bolometer versehen. Details zu den Warmeleitfahigkeitssubstraten sind Abb. 2.3 zu entnehmen.
chens schlagt sich auf dem gekuhlten Substrat als der Bruchteil einer Monolage
nieder. Durch diese Methode werden mogliche Inhomogenitaten in der Zusammensetzung des zwangslegierten polykristallinen Schmelzlings ausgeglichen. Vor allem
jedoch wird selbst bei einer vollstandigen Fraktionierung der Probe die Schicht
noch homogen. Homogenitatsschwankungen liegen unter 0.1 % [26]. Wahrend des
Aufdampfens stieg der Druck im Kryostat etwas an (p < 6 10?7 mbar). Mit Hilfe
der Supraleitung (Kap. 3.1.3) konnte an einer gerade in der Herstellung bendlichen
Cu20Sn80{Widerstandsschicht eine Temperatur von T 5.7 K nachgewiesen werden,
ein Hinweis darauf, da die aufwachsende Schicht diese Temperatur nicht uberschritt. Die Temperatur des Probenhalters wurde ebenfalls aufgezeichnet. Da beide
Temperaturen ubereinstimmen, kann davon ausgegangen werden, da die Substrate
thermisch sehr gut an den Probenhalter ankoppeln.
2.4 Schichtdickenbestimmung
Die Bestimmung der Schichtdicke der Widerstandsschichten wurde mit einem mechanischen Abtastverfahren10 mit einem Fehler von < 2 % durchgefuhrt. In Abbildung 2.2 ist ein Tastschnitt uber eine Cu60Sn40{Probe dargestellt. Es treten keine Halbschatten oder Schichtdickegradienten auf. Zusatzlich wurde zum Vergleich
10
Dektak 3, Veeco
2.5. MESSUNG DES ELEKTRISCHEN WIDERSTANDES
19
120
Cu60Sn40
d = 90 nm
100
d / nm
80
60
40
20
0
0
500
1000
1500
x / µm
Abbildung 2.2: Tastschnitt uber eine Cu60Sn40{Probe.
die Dicke der Proben nach dem Tolansky{Verfahren ( dd < 10 %) vermessen. Die
mit beiden Verfahren erzielten Ergebnisse zeigten innerhalb der Fehlergrenzen eine
gute U bereinstimmung. Die Schichtdicken lagen zwischen 65 nm und 250 nm und
gewahrleisten damit eine Interpretation der Ergebnisse fur den dreidimensionalen
Fall. Es wurden im Rahmen der oben angegebenen Genauigkeit keine Schichtdickenunterschiede zwischen der Widerstandsschicht und einer Vergleichsmessung an den
Punkten A und B in Abbildung 2.1 fur eine Cu50Sn50{Schicht gefunden.
2.5 Messung des elektrischen Widerstandes
Zur Messung des elektrischen Widerstandes an der Schicht 1 in Abbildung 2.1 auf
einem Quarz{Einkristall{Substrat11 kam eine Gleichstrommethode in 4{Punkt{Anordnung zum Einsatz. Der Mestrom12 wurde uber den Spannungsabfall an einem
11
12
20mm 10mm (1 0.05)mm, C{Achsen orientiert, beidseitig poliert, Kelpin, Leimen
DC Calibrator J152, Knick
KAPITEL 2. EXPERIMENTELLES
20
Abbildung 2.3: Substrat zur Bestimmung der Warmeleitfahigkeit
[74, 75, 76]. Die Groenverhaltnisse sind nicht mastablich wiedergegeben. Typische Groen sind l = 2 mm, b 250 m, bbolo = 5 m
und dsub = 800 nm.
 einen Mestellenumschalter14 konnVorwiderstand13 bestimmt und umgepolt. Uber
15
ten mit einem Multimeter sowohl die Spannung am Vorwiderstand als auch an der
Probe gemessen werden.
Wahrend des Aufdampfvorganges konnte uber die Beobachtung des Spannungsabfalls an der Schicht (kein Mestrom) der Zeitpunkt bestimmt werden, an dem
die Schicht durchgangig geschlossen ist (U bergang von oenen Spannungskontakten zum Kurzschlu). Erst dann wurde die Probe mit einem kleinen Mestrom
(I 10 A, P < 1 W) belastet, um das Aufwachsen der Schicht resistiv zu verfolgen
und eine Kristallisation entlang des Strompfades infolge Erwarmung zu vermeiden.
2.6 Messung der Warmeleitfahigkeit
2.6.1 Substrat
Zur Messung der Warmeleitfahigkeit kamen speziell entwickelte Substrate zum Einsatz (Abb. 2.3), die aus einem Si{Chip mit einer freitragenden Membran bestehen
[74, 75, 76]. Diese konnen mit den ublichen Methoden der Mikrostrukturierung
hergestellt werden, sind billig und in groen Stuckzahlen verfugbar16. Die Mem13
14
15
16
Hochprazision Widerstandsdekade Typ 1409, Burster
7001 Switch System, Karte 7011S, Keithley
2010 Multimeter, Keithley
Herstellung im ZfM der TU Chemnitz


2.6. MESSUNG DER WARMELEITF
AHIGKEIT
21
bran besteht aus einem thermisch stabilisierten Schichtsystem Si3N4/SiO2/Si3N4
(dsub = 800 nm). Die Membran ist nach anisotropem A tzen des Siliziums auf einer Flache l b (l = 2 mm, b 250 m) freitragend, um auf ihrer Ruckseite die zu
messende Probe praparieren zu konnen. Auf der Oberseite bendet sich ein schmaler (bbolo = 5 m) Bolometerstreifen, der mittig in y{Richtung uber die Membran
verlauft und uber Kontaktachen verfugt. Das Bolometer dient als Heizer und bei
(T ) gleichzeitig als Thermometer.
Kenntnis des Temperaturkoezienten dRbolo
dT
Neben einem Substrat mit Al{Bolometer, das aufgrund des temperaturunabhangigen Restwiderstandes von Al fur tiefe Temperaturen ungeeignet ist, wurde ein Substrat mit einem halbleitenden Au20Ge80{Bolometer benutzt [77], da das Widerstandsverhalten dieses Materials aus fruheren Arbeiten bekannt war [78]. Das Aufbringen der Au20Ge80{Schicht erfolgte mit der in Kapitel 2.3 beschriebenen Drehrohrofenmethode auf den vorbereiteten Wafer (Membranen bereits prapariert). Eine
homogene Schichtdicke auf dem gesamten Wafer konnte dabei in der vorhandenen
Anlage nicht realisiert werden. Anschlieend folgte ein Temperproze bis T = 450 K
und die Strukturierung durch Plasmaatzen17 mit einem Gemisch aus Argon und
CF4. Der A tzproze konnte aufgrund der Anlagengroe nur fur Waferstucke durchgefuhrt werden. Deshalb und wegen der Schichtdickeninhomogenitat der Au20Ge80{
Schicht treten Abweichungen in der Bolometer{ und der Membrandicke auf, die in
Kapitel 2.7.3 abgeschatzt werden.
2.6.2 Memethode
Die Untersuchung einer auf der Substratruckseite praparierten Schicht setzt die
Kenntnis der Warmeleitfahigkeit der Substratmembran voraus. Deshalb soll zunachst die Bestimmung der Warmeleitfahigkeit des Substrates erlautert werden.
Wahrend bei der klassischen Fourierschen Stabmethode [79] ein Ende der Probe
erwarmt und der Warmeu zum anderen Ende bestimmt wird, bendet sich hier
die Warmequelle in der Mitte der Probe in Form des stromdurchossenen und damit
erwarmten Bolometers. Die Geometrie ist dabei so gewahlt, da der Warmeu
vorrangig in x{Richtung erfolgt (Abb. 2.3). Damit lat sich das zweidimensionale
Problem auf eine Koordinate reduzieren.
Es ist die Warmeleitungsgleichung
@ 2T (x; y) ? 8sub T03 T (x; y) = 0
(2.1)
@x2
sub dsub
fur das im vorhergehenden Kapitel 2.6.1 beschriebene Substrat (Abb. 2.3) mit den
Randbedingungen
(2.2)
T (x = 2b ; y) = 0
17
Materiallabor TU Chemnitz
KAPITEL 2. EXPERIMENTELLES
22
und
? d @ T@x(x; y) b = 12 P (y)
(2.3)
x= bolo
2
zu losen. Dabei wurde der Koordinatenursprung in die Mitte der Membran gelegt.
sub ist der Emissionsgrad, die Stefan{Boltzmann Konstante, sub die Warmeleitfahigkeit und dsub die Dicke des Substrates. Mit den entsprechenden Groen bolo,
dbolo , bolo fur das Bolometer, fur den spezischen Widerstand des Bolometers und
fur seinen Temperaturkoezienten ist
P (y) = I 2 b (Td0) [1 + T (x = 0; y)] ? 8 bolo g T03 T (x = 0; y)
bolo bolo
2
x = 0; y)
+ (bolo dbolo + sub dsub ) g @ T (@y
(2.4)
2
die im Volumenelement an der Stelle y im Bolometer umgesetzte Joule'sche Heizleistung, reduziert um die abgegebene Strahlung des Bolometers und die Warmeleitung des Bolometers und der darunter bendlichen Membran zu den Kontakten
hin. Man erhalt eine Dierentialgleichung fur P (y), die mit T (x = 0; y = 2l ) = 0
und @T (@yx=0;y) y=0 = 0 (aus Symmetriegrunden) gelost wird.
Unter Vernachlassigung der Warmestrahlung des Substrates wegen der kleinen Flache und des Mitfuhrens der Umgebungstemperatur und unter Einfuhrung einer
mittleren Heizleistung (siehe Kap. 2.7.1) erhalt man als Losung
P0 ) l dR :
sub dsub = 41 ((RPh ?
(2.5)
h ? R0 ) b dT
Eine detaillierte Herleitung ist in [75, 76] gegeben. Auf Naherungen wird in Kapitel 2.7.2 genauer eingegangen. Rh ist der Widerstand bei Erwarmung des Bolometers
mit der Heizleistung Ph, R0 der Widerstand des Bolometers bei reduzierter Heizleistung P0. Die A nderung des Widerstandes spiegelt die Temperaturerhohung des
Bolometers bei eingepragter Heizleistung wider. Da R(T ) des Bolometers bei jeder
Messung erneut aufgezeichnet wird, konnen theoretisch auch alternde Bolometermaterialien eingesetzt werden. Bei den verwendeten Materialien Al und Au20Ge80
konnte keine A nderung im Verlauf R(T ) und damit keine nachweisbare Alterung
festgestellt werden.
Bei tiefen Temperaturen (T 12 K) wurde die Warmeleitfahigkeit stationar gemessen. Fur T > 12 K wurde eine Erwarmung des Probenhalters mit einer Heizrate
< 100 mK/min zugelassen.
Der Mezyklus ist Abbildung 2.4 zu entnehmen: Zuerst wird der Bolometerwiderstand R bei reduzierter Heizleistung P0 gemessen (z. B. Punkt A). Danach erfolgt
eine Erwarmung des Bolometers mit Ph und die Bestimmung des Widerstandes
Rh (z. B. Punkt B). Die wiederholte Messung des Bolometerwiderstandes R bei P0
(z. B. Punkt C) und die Interpolation der Widerstande R zwischen den Punkten A


2.6. MESSUNG DER WARMELEITF
AHIGKEIT
23
67.4
T = 300 K
-1
Heizrate etwa 40 mK min
67.3
}
Rbolo / Ω
67.2
B
67.1
A
λ(T3 )
C
}
λ(T2 )
67.0
}
66.9
66.8
R bei P0
R0 bei P0 (interpoliert)
Rh bei Ph
λ(T1 )
0
10
20
t / min
30
40
Abbildung 2.4: Meprinzip zur Bestimmung der Warmeleitfahigkeit
bei gleichzeitiger Erwarmung der Probe. Die Bolometerwiderstande
werden an den Punkten A, B und C bestimmt. Fur A und C erfolgt
die Messung bei einer reduzierten Heizleistung P0 und fur B bei
einer Heizleistung Ph . Nach der Interpolation der Widerstande bei
A und C fur den Punkt B ergeben sich die Wertepaare (P0;R0) und
(Ph;Rh) fur denselben Zeitpunkt.
und C fur den Punkt B ergeben R0, damit ein zu (Ph ; Rh) gehoriges Wertepaar
(P0; R0). Die Voraussetzung fur diesen Mezyklus ist eine lineare Widerstandsanderung im Bereich der Punkte A bis C, was bei den angegebenen Heizraten erfullt
ist.
Zwischen den Widerstandsmessungen an den Punkten A, B und C reicht eine Relaxationszeit (Einstellung eines stationaren Temperaturgradienten) fur das Substrat
von einigen Sekunden aus, da die tatsachliche Relaxationszeit durch die gute thermische Ankopplung des Substrates an den Probenhalter auch bei groen Heizleistungen (U berheizung des Substrates) bei < 3.3 s liegt (Abb. 2.5). Die Relaxation ist
praktisch schon bei dem der Leistungsanderung folgenden Mepunkt abgeschlossen
[77].
KAPITEL 2. EXPERIMENTELLES
24
∆t = 3.3 s
140.0
T = 300 K
Ph in µW
Rbolo / Ω
274
201
139.5
140
89
P0 = 1.4 µW
139.0
0
20
40 200
220
240
t/s
Abbildung 2.5: Untersuchung der thermischen Relaxation der Membran bei verschiedenen Heizleistungen Ph .
In einer "Leer{Messung\ wird das Produkt aus Warmeleitfahigkeit und Dicke der
Membran sub dsub fur das Substrat fur 1.2 K T 360 K bestimmt (Abb. 2.6).
Im U berlappungsbereich (20 K < T < 70 K) stimmen die Werte fur beide Substrate gut uberein. Voraussetzung dafur sind gleiche Schichtdicken, was aufgrund der
Herstellung (Kap. 2.6.1) nicht fur alle Substrate mit Au20Ge80{Bolometer erfullt ist.
In einer zweiten Messung wird unmittelbar nach dem Aufdampfen der Probe auf
der Ruckseite der Membran d des Gesamtsystems Membran/Probe im gleichen
Temperaturbereich gemessen. Nach diesem ersten Anlassen der Proben wird d erneut fur 1.2 K T 360 K gemessen, um die Auswirkung struktureller A nderungen
(Kristallisation, Ausheilen der Unordnung) auf die Warmeleitfahigkeit der Probe
zu untersuchen. Die Warmeleitfahigkeit der Probe errechnet sich nach Bestimmung
der Schichtdicke (dfilm) der Probe (Kap. 2.4) nach
(2.6)
film = d 1 ( d ? sub dsub ):
film
Die Widerstande R0 und Rh wurden ebenfalls mit einer 4{Punkt{Gleichstrom{
Anordnung bestimmt. Es erfolgte wiederum ein Polaritatswechsel des Stroms und


2.6. MESSUNG DER WARMELEITF
AHIGKEIT
25
Au20Ge80-Bolometer
-6
λsubdsub / W K
-1
10
Al-Bolometer
-7
10
Substrat mit Al-Bolometer
Substrat mit Au20Ge80-Bolometer
-8
10
1
10
100
T/K
Abbildung 2.6: Warmeleitfahigkeitsmessung der Substrate.
dessen Messung am Vorwiderstand. Der bereits bei der Widerstandsmessung und
der Temperaturmessung erwahnte Mestellenumschalter und das bei der Widerstandsmessung verwendete Multimeter konnten auch hier genutzt werden.
Der Einu des Interfacebereiches zwischen Membran und Probe und zwischen den
einzelnen Probenschichten (mogliche Fehlerquelle [80]) konnte bei T =77 K durch
Aufdampfen mehrerer Schichten nacheinander auf ein und dasselbe Substrat und
durch die Bestimmung von d untersucht werden (Abb. 2.7). Es zeigt sich ein sehr
guter linearer Zusammenhang in der Auftragung d uber dfilm . Im linearen Fit
ergibt das Absolutglied den Wert sub dsub fur die Membran, der um nur 0.5 %
vom vorher gemessenen Betrag abweicht. Die Steigung reprasentiert die Warmeleitfahigkeit der Probe. Die Schichtdicke wurde jeweils uber den Probenwiderstand
ermittelt.
KAPITEL 2. EXPERIMENTELLES
26
T = 77 K
1.3
a-Cu50Sn50
λd
λd / µW K
-1
1.2
linearer Fit
1.1
1.0
linearer Fit:
λd = λfilmdfilm + λsubdsub
liefert:
0.9
λsubdsub = 0,8789 µW K
-1
λsubdsub
0.8
0
-1
-1
λfilm = 2,89 W m K
50
100
dfilm / nm
150
Abbildung 2.7: Auftragung von d als Funktion der Schichtdicke
dfilm zur Untersuchung des thermischen U bergangswiderstandes
zwischen Membran und Probe.
2.6.3 Meleistung
Bei der Wahl der Meleistung lagen zwei Kriterien zugrunde. Einerseits mu diese
so gro sein, da eine mebare Erwarmung des Bolometers erreicht wird, andererseits darf die Meleistung nicht zu gro sein, da daraus eine U berheizung der
Membran und ein Mefehler resultieren. In Abbildung 2.8 (a) sind fur unterschiedliche Heizleistungen die Temperaturerhohungen in Form von Trapezen uber dem
Substrat angedeutet. A, B und C stellen drei Situationen dar, deren Auswirkungen auf die Messung in Abbildung 2.8 (b) erkennbar sind. Die angegebenen Werte
sind tatsachliche Heizleistungen bei der jeweiligen Temperatur. Die gepunktete Linie stellt den Temperaturverlauf von d dar. Die reduzierte Heizleistung P0 ruft
eine kleine Temperaturerhohung Th0 der Membran im Bolometerbereich hervor, die
zu den Membranrandern hin abnimmt (A). Ph1 fuhrt zu einer Temperaturerhohung
Th1 des Bolometers (B). Wird die Heizleistung Ph2 > Ph1 zu gro gewahlt, stellt sich
zusatzlich zur Membran ein Temperaturgradient uber dem Substrat ein (C). U ber
die nun zu groe Temperaturerhohung Th2 errechnet sich eine im Vergleich zum wah-


2.6. MESSUNG DER WARMELEITF
AHIGKEIT
27
1.70
5
b)
λd
∆T
4
125 µW
1.65
1.60
A
B
C
B
A
2
55 µW
1.55
55 µW
1
Ph = 13 µW
1.50
∆T / K
λd / µW K
-1
3
256
258
13 µW
260
262
264
0
T/K
Abbildung 2.8: Schematische Darstellung der Aufheizung des Substrates (a) und die Auswirkung einer U berheizung (Fall bzw. Bereich C) des Substrates auf die Warmeleitfahigkeitsmessung (b).
Die gepunktete Linie verdeutlicht den Verlauf d mit der Temperatur.
KAPITEL 2. EXPERIMENTELLES
28
10
1.0
1
1
0
Prad /Ph / %
-1
10
0
10
10
-1
10
-2
0.8
eingeprägte
Heizleistung Ph
1
10
T / K 100
0.6
Verlust Prad /Ph bei
Ph (T = 300 K) = 30 µW
-2
10
0.4
∆T / K
10
Ph / µW
10
-3
10
∆T = Th - T0 bei
Ph (T = 300 K) = 30 µW
-4
10
-5
10
1
10
100
0.2
0.0
T/K
Abbildung 2.9: Abschatzung des Fehlers durch Strahlungsverluste.
ren Wert kleinere Warmeleitfahigkeit. Entsprechend dieses Verhaltens wurden bei
4.2 K, 77 K und 260 K die kritischen Heizleistungen bestimmt. Der Temperaturverlauf einer geeigneten Heizleistung ist im kleinen Bild der Abbildung 2.9 dargestellt.
Als Bezugspunkt wird Ph fur T = 300 K angegeben.
2.7 Moglichkeiten und Grenzen des
Meverfahrens
2.7.1 Strahlungsverluste
Bei thermischen Messungen mu besonderes Augenmerk auf Strahlungseinusse
(Abb. 2.9) gelegt werden, da thermische Ab{ und Zustrahlung nach bzw. von auen
das Meergebnis verfalschen. An dieser Stelle soll eine grobe Abschatzung gegeben

2.7. MOGLICHKEITEN
UND GRENZEN DES MESSVERFAHRENS
29
werden. Die reduzierte Heizleistung P0 ruft entsprechend
P0 = d bl (T0 ? T ) + 2 b l (T04 ? T14)
(2.7)
eine mittlere Temperaturerhohung (T0 ? T ) des Bolometers infolge von Warmeleitung (erster Term) und eine Abstrahlung nach dem Stefan{Boltzmannschen Gesetz
(zweiter Term) hervor. Gleichzeitig strahlt die Flache A = l b der freitragenden
Membran mit dem Emissionsgrad ab. Die fur die Strahlung entscheidende Umgebungstemperatur soll T1 sein. T und T1 mussen nicht notwendigerweise gleich sein.
Fur die Heizleistung Ph lat sich aquivalent mit anderen Indizes schreiben
(2.8)
Ph = d bl (Th ? T ) + 2 b l (Th4 ? T14):
Da die Dierenz (Ph ? P0) in Gleichung (2.5) eingeht, folgt aus (2.8)-(2.7)
Ph ? P0 = d bl (Th ? T0) + 2 b l (Th4 ? T04):
(2.9)
Der erste Term ist bereits bekannt (siehe Gleichung (2.5)). Der Strahlungsterm
enthalt wegen Th T0 T in der Naherung (Th4 ? T04) 4 T 3 (Th ? T0) nur den
kleinen Temperaturunterschied (Th ? T0), der in Abbildung 2.9 zusammen mit den
Strahlungsverlusten Prad bezogen auf die eingepragte temperaturabhangige Heizleistung Ph dargestellt ist. Dabei wurde im Rahmen einer Grotfehlerabschatzung
davon ausgegangen, da die gesamte freitragende Membranache A jeweils der halben fur das Bolometer angegebenen mittleren Temperaturerhohung unterliegt und
= 1 ist. Ein nennenswerter Fehler von > 1 % infolge von Strahlungsverlusten macht
sich wegen T 3 erst bei T > 150 K bemerkbar.
2.7.2 Genauigkeit der Memethode
An dieser Stelle soll auf einige Besonderheiten der Memethode eingegangen werden. Die Gleichung (2.1) gilt fur einen eindimensionalen Warmeu in x{ bzw.
-x{Richtung. Bei einer geeigneten Geometrie (b l) sind die Voraussetzungen fur
die Naherungen bei der Herleitung gut erfullt. Die verwendeten Substrate erfullten
mit l = 2 mm und 213 m < b < 289 m dieses Kriterium. Es zeigt sich kein systematischer Einu auf die Meergebnisse bei A nderung der Membranbreite b. Weiterhin wurde bei der Herleitung von (2.5) der Warmeu uber das Bolometer zu den
Kontaktachen hin vernachlassigt. Da dieser Warmeu sowohl bei unbedampftem
Substrat als auch bei der Messung des Substrates mit praparierter Probe auftritt,
hebt er sich nach Ausfuhrung von Gleichung (2.6) weg. Die Mewerte sub dsub
stellen somit einen eektiven Untergrund dar.
Auf den Fehler in der Schichtdicke der Probe wurde an entsprechender Stelle in
Kapitel 2.4 eingegangen. Der Fehler bei der mikroskopischen Bestimmung der Geometriefaktoren l und b kann mit < 2 % angegeben werden. Strahlungsverluste sind
erst bei T > 150 K relevant (Kap. 2.7.1).
KAPITEL 2. EXPERIMENTELLES
30
10
10
2
1
diese Arbeit:
a-Cu30Sn70
cr-Cu30Sn70
10
Tk
0
-1
λ/Wm K
-1
Tc
Tc
10
-1
Tc
10
-2
10
-3
Tc
0.1
1
10
T/K
a-Zr50Cu50
a-Zr70Pd30
cr-Cu10Sn90
cr-Cu25Sn75
cr-Cu93.3Sn6.5P0.2
100
Abbildung 2.10: Vergleich einer Cu30Sn70{Probe mit Literaturdaten fur amorphe Zr50Cu50{ [12] bzw. Zr70Pd30{Legierungen
[11] und polykristalline, ungetemperte Cu10Sn90{, Cu25Sn75{ und
Cu93:3Sn6:5P0:2{Proben [81]. Die vertikalen Pfeile geben jeweils die
U bergangstemperaturen Tc zur Supraleitung an. Tk bezeichnet die
Kristallisationstemperatur.
Der exakten Bestimmung der Temperaturdierenz uber die Widerstandsanderung
sowie der Leistung kommt die grote Bedeutung zu. Deshalb soll im folgenden Kapitel 2.7.3 gesondert auf den Einu eines Geometrie{Fehlers bei der Bolometerpraparation eingegeangen werden. Da der Widerstand des halbleitenden Au20Ge80{
Bolometers bei tiefen Temperaturen (T < 4 K) Werte von 2 M
bis 8 M
erreicht,
fand ein 7 21 stelliges Multimeter18 Anwendung, das bereits eine interne Mittelung
mehrerer Mewerte ausfuhrt. Der Fehler in film kann uber den gesamten Temperaturbereich mit kleiner 10 % angegeben werden. In Abbildung 2.10 sind zum Vergleich
Messungen binarer amorpher Legierungen anderer Autoren [11, 12, 81] dargestellt.
Dabei geben die Pfeile die jeweiligen U bergangstemperaturen zur Supraleitung an.
Der prinzipielle Verlauf der Mekurven wird in Kapitel 3.2 ausfuhrlich diskutiert.
18
2010 Multimeter, Keithley

2.7. MOGLICHKEITEN
UND GRENZEN DES MESSVERFAHRENS
∆d/∆l
1.5 a )
0.0
0.125
0.25
0.375
0.5
T/T0
1.00
1.01
1.04
1.09
1.18
∆T/∆T0
1.0
31
0.5
d/d0
0.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
b)
1.0
0.5
-1.0
-0.5
0.0
l / mm
0.5
1.0
Abbildung 2.11: Einu eines Dickegradienten in der Bolometerdicke (b) auf die lokale Temperaturerhohung des Bolometers (a).
T=T0 gibt die Abweichung der mittleren Temperaturerhohung vom
symmetrischen Fall konstanter Bolometerdicke an.
2.7.3 Geometriefehler im Bolometer
In diesem Unterkapitel soll die Auswirkung eines Dickegradienten des Bolometers
diskutiert werden. Die Losung der Dierenzialgleichung (2.4) mit den in Kapitel
2.6.2 angegebenen Randbedingungen fuhrt zu einer Losung der Form
cosh v+bolou dbolo y
T (y) 1 ?
:
(2.10)
cosh v+bolou dbolo 2l
Zur besseren U bersichtlichkeit wurden mit u und v Konstanten eingefuhrt, die alle
weiteren Groen aus Gleichung (2.4) enthalten. Wird dbolo y{abhangig, so ist Glei2
q
3
4
q
5
32
KAPITEL 2. EXPERIMENTELLES
chung (2.4) nicht mehr einfach analytisch losbar. Deshalb soll hier als Naherung
dbolo (y) an Stelle von dbolo in Gleichung (2.10) eingesetzt werden, um die Auswirkung auf das Meergebnis zu diskutieren. Wie aus Abbildung 2.11 ersichtlich, fuhrt
eine dunnere Bolometerschicht zu einer hoheren lokalen Temperatur und umgekehrt.
Da experimentell die mittlere Temperaturerhohung gemessen wird, mu die Flache
unter der Kurve betrachtet werden. Dabei zeigt sich eine Erhohung der mittleren
Temperatur gegenuber dem symmetrischen Fall konstanter Bolometerdicke, die zu
einer kleineren Warmeleitfahigkeit fuhrt. Die Abweichung ist uber den gesamten
Temperaturbereich gleich gro und fuhrt zu einem systematischen Fehler.
In der vorliegenden Arbeit konnte diese Fehlerquelle durch die Parallelmessung der
beiden Warmeleitfahigkeitsproben eliminiert werden. Die Hochtemperatursubstrate
mit Al{Bolometer wiesen keine Gradienten in der Bolometerdicke auf und konnten
so als Normal verwendet werden. Bei den individuell hergestellten Tieftemperatursubstraten mit Au20Ge80{Bolometer betrugen die Abweichungen zur mittleren Bolometerdicke 0 %...30 %, die zu einem konstanten Faktor von Au20AlGe80 = 0.8...1 im
U berlappungsbereich der Messung (vgl. Abb. 2.6) fuhrten. Die mit dem Au20Ge80{
Bolometer gemessenen Tieftemperaturdaten wurden in diesem Fall an die mit dem
Al{Bolometer erhaltenen Daten angepat.
2.7.4 Reproduzierbarkeit der Messungen
In Abbildung 2.12 (a) ist sub dsub fur die Hochtemperatursubstrate mit Al{Bolometer
dargestellt. Es zeigt sich eine gute U bereinstimmung in sub dsub . Abweichungen vom
Durchschnittswert aller Messungen konnen mit der Unsicherheit der Schichtdicke
der Membran, die innerhalb eines Wafers um 1 % bis 2 % variieren kann [82], erklart
werden. Bei den Tieftemperatursubstraten (Abb. 2.12 (b)) ergeben sich aufgrund
der in Kapitel 2.6.1 beschriebenen individuellen Herstellung und der in Kapitel 2.7.3
beschriebenen Abweichung in der Bolometerdicke groere Abweichungen bis maximal 20 %. Bei aquivalenten Proben ist der Fehler einer reproduzierten Messung mit
der beschriebenen Memethode kleiner als 1 %.

2.7. MOGLICHKEITEN
UND GRENZEN DES MESSVERFAHRENS
-6
2,0x10
-6
λsubdsub / W K
-1
a)
1,5x10
-6
1,0x10
λd der Hochtemperatursubstrate
mit Aluminium-Bolometer
-7
5,0x10
0,0
0
-6
10
-7
T200
/K
300
400
b)
λsubdsub / W K
-1
10
100
λd der Tieftemperatursubstrate
mit Au20Ge80-Bolometer
10
-8
1
10
T/K
100
Abbildung 2.12: Vergleich von sub dsub verschiedener Substrate mit
Al{Bolometer (a) bzw. mit Au20Ge80{Bolometer (b).
33
Kapitel 3
Ergebnisse
3.1 Elektrischer Widerstand
Der elektrische Widerstand der Proben wurde, wie bereits in Kapitel 2.5 beschrieben, parallel zur Messung der Warmeleitfahigkeit bestimmt. Zum einen konnte mit
Hilfe von Literaturdaten fur den spezischen Widerstand ein erster Anhaltspunkt
fur die Schichtdicke der in{situ aufgedampften Proben gewonnen werden, und zum
anderen werden strukturelle A nderungen der Probe im Widerstand besonders deutlich. Auerdem ist die Kenntnis des spezischen elektrischen Widerstandes notwendig, um den Elektronenbeitrag zur Warmeleitfahigkeit abzuschatzen (Kap. 4.1). In
diesem Kapitel sollen die Ergebnisse besprochen und kurz erlautert werden.
3.1.1 U berblick
In Abbildung 3.1 ist der spezische Widerstand fur die amorphen Proben bzw. die
nach Tempern auf T = 360 K kristallisierten Proben dargestellt. Zur Hervorhebung
der Supraleitung wurde eine logarithmische Skalierung fur T gewahlt.
3.1.2 Spezischer Widerstand
In Abbildung 3.2 ist der spezische Widerstand der Proben unmittelbar nach der
Praparation gezeigt. Zum Vergleich wurden Werte anderer Autoren [26, 83, 84,
85] fur den amorphen Zustand nach der Kondensation eingetragen. Abweichungen begrunden sich aus der Reinheit der verwendeten Ausgangsmaterialien und der
tatsachlichen Temperatur des Substrates bei der Kondensation des Materials. Fur
weitere Betrachtungen wird die mittlere Zahl der Valenzelektronen z in Elektronen
Atom
(kurz e/a) eingefuhrt (oberer Mastab), die im Falle der Cu{Sn{Legierungen Werte von 1 e/a (reines Cu) bis 4 e/a (reines Sn) durchlauft. Im Stabilitatsbereich der
34
3.1. ELEKTRISCHER WIDERSTAND
35
120
at% Cu
70
80
100
60
ρa / µΩ cm
80
50
40
60
30
20
40
20
Sn
0
120
1
10
ρcr / µΩ cm
100
100
at% Cu
70
80
80
60
60
40
20
0
50
40
30
1
10
Sn
20at% Cu
100
T/K
Abbildung 3.1: Verlauf des spezischen Widerstandes nach der
Praparation der Proben (a) und bei wiederholter Messung nach
der Kristallisation (b).
KAPITEL 3. ERGEBNISSE
36
-1
4
3
z /ea
2
1
120
ρ0 / µΩ cm
100
80
60
40
diese Arbeit
Sohn (1994)
Lauinger (1990)
Burkhardt (1988)
Müller (1971)
20
0
0
20
40
60
at% Cu
80
100
Abbildung 3.2: Restwiderstand nach der Kondensation bei 5.5 K
in Abhangigkeit von der Konzentration (Literaturdaten aus [26, 83,
84, 85]).
amorphen Phase 3.4 e/a > z > 1.8 e/a (ca. 20 at% bis ca. 73 at% Cu) [35, 36, 37, 38]
wachst der spezische Widerstand mit steigender Cu{Konzentration an. Ober{ und
unterhalb dieses Amorphizitatsbereiches fallt der spezische Widerstand durch Feinkristallinitat zu den reinen Elementen hin rasch ab.
Der spezische Widerstand ungeordneter Systeme lat sich im Rahmen des verallgemeinerten Faber{Ziman{Modells [86] verstehen. Danach kann fur den spezischen
Widerstand
2kF
S (K ) jV (K )j2 K 3 dK
(3.1)
/
Z
0
geschrieben werden. Dabei ist S (K ) der Strukturfaktor in Abhangigkeit vom Streuvektor K , V (K ) die Fouriertransformierte eines eektiven Pseudopotentials und
2kF der Durchmesser der Fermikugel. Da der Streuvektor mit der dritten Potenz
gewichtet wird, bestimmen vor allem die Werte S (K 2kF ) und V (K 2kF ) das
Verhalten des spezischen Widerstandes. Fur S (2kF ) (Abb. 3.3) wurde experimentell ein Anstieg mit abnehmendem z (ansteigender Cu{Konzentration) gefunden, der
3.1. ELEKTRISCHER WIDERSTAND
37
Abbildung 3.3: Strukturfaktor amorpher Cu{Sn{Legierungen [87].
Die Kurven wurden jeweils um einen Skalenteil gegenuber
12 at% Cu vertikal verschoben. Die senkrechten Striche geben 2kF
nach dem Modell freier Elektronen (MFE) an.
den Verlauf des spezischen Widerstandes in Abhangigkeit von z in Abbildung 3.2
erklart. Fur z in der Nahe von 1.8 e/a stimmt die Lage von 2kF sehr gut mit der
Lage des elektronisch induzierten Peaks im Strukturfaktor Kpe uberein [35, 36, 38].
Das Resultat ist ein hoher Restwiderstand 0. Fur z < 1.8 e/a existieren kristalline
Phasen. In diesem Bereich verschiebt sich 2kF mit kleiner werdendem z weiter zu
kleineren K {Werten und liegt auf der linken Flanke des Strukturpeaks, weshalb
der Restwiderstand innerhalb der kristallinen Phasen zum reinen Cu hin wieder
abnimmt.
Die Temperaturabhangigkeit des spezischen Widerstandes beim Anlassen der Probe (Abb. 3.1 (a)) wird durch die relative Lage von 2kF zu Kpe bestimmt. Je nach
Lage von 2kF bezuglich des Maximums im Strukturfaktor bei Kpe kann a mit
steigender Temperatur anwachsen oder wie fur 1.8 e/a z 2.8 e/a kleiner werden.
Die Temperaturabhangigkeit des dynamischen Strukturfaktors S (K; !), in den der
Debye{Waller{Faktor eingeht, bestimmt dann den Temperaturkoezienten bei reversiblen Widerstandsanderungen [88].
KAPITEL 3. ERGEBNISSE
38
-1
8
4
z/ea
3
6
Tc / K
Tc
4
Tc
a
cr
2
1
Sohn (1994)
Watson (1993)
Lauinger (1990)
Dutzi (1982)
Häussler (1981)
Leitz (1980)
Bolz (1975)
Korn (1974)
Fortman (1961) a.
Fortman (1961) mkr.
Buckel (1954)
mikrokristallin
2
diese Arbeit:
frisch aufgedampft
getempert (350K)
0
0
20
40
60
at% Cu
80
100
Abbildung 3.4: U bergangstemperaturen zur Supraleitung Tca
(amorph) und Tccr (kristallin) in Abhangigkeit von der Konzentration (Literaturdaten aus [2, 26, 83, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96]).
3.1.3 Supraleitung
In Abbildung 3.4 wurden die U bergangstemperaturen Tc zur Supraleitung der Proben im amorphen Zustand (Tca) sowie nach Tempern auf T = 360 K und Kristallisation im mikrokristallinen Zustand (Tccr ) aufgetragen. Zum Vergleich sind wiederum
Werte anderer Autoren [2, 26, 83, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96] angegeben. Es zeigt
sich eine gute U bereinstimmung.
Die Erhohung von Tc bei kleinen Cu{Konzentrationen (groes z) im amorphen Zustand gegenuber reinem Sn (im mikrokristallinen Zustand gemessen) wird bei amorphen Metallen haug beobachtet und lat sich mit einer erhohten Elektron{Phonon{
Wechselwirkung im ungeordneten Zustand begrunden [26]. Tc fallt mit steigender
Cu{Konzentration nahezu linear ab, was mit der Abnahme der elektronischen Zustandsdichte an der Fermikante und abnehmender Elektron{Phonon{Kopplung erklart werden kann [26].
3.1. ELEKTRISCHER WIDERSTAND
39
-1
400
4
3
z/ea
2
1
Tk / K
300
200
diese Arbeit
Sohn (1994)
Lauinger (1990)
Dutzi (1982)
100
0
0
20
40
60
at% Cu
80
100
Abbildung 3.5: Kristallisationstemperatur in Abhangigkeit von der
Konzentration (Literaturdaten aus [26, 83, 91, 92]).
3.1.4 Kristallisationstemperatur
Die Kristallisation einer amorphen Probe lat sich im spezischen Widerstand besonders gut beobachten. Wahrend der Widerstand im amorphen Zustand im allgemeinen hoch ist und einen betragsmaig kleinen Temperaturkoezienten zeigt,
andert sich der Widerstand bei der Kristallisation schlagartig innerhalb weniger
Kelvin zu kleineren Werten (vgl. Abb. 3.1 (a)), und der Temperaturkoezient wird
dann meist positiv. In Abbildung 3.5 sind die Kristallisationstemperaturen Tk zusammen mit Werten anderer Autoren [26, 83, 91, 92] eingetragen. A ltere Messungen,
die durch Restgaseinusse hoher liegen [89, 90, 93], wurden zur besseren U bersichtlichkeit weggelassen.
Da keine kristallinen Phasen im Bereich 1.8 e/a < z < 3.4 e/a existieren (Phasendiagramm im Anhang A, Abbildung A.1), kristallisieren die Legierungen in ein mikrokristallines Phasengemisch, das bei weiterem Tempern mehr oder weniger relaxieren
und ausheilen kann.
Bei ca. 70 at% Cu (z 1.8 e/a) wurde die hochste Kristallisationstemperatur gefun-
40
KAPITEL 3. ERGEBNISSE
den. In ussigen Legierungen wurde bei z = 1.8 e/a ebenfalls die grote Stabilitat
beobachtet [35, 36, 38]. Es wurde ein Modell entwickelt, das die Stabilisierung der
metastabilen amorphen Phase uber das Elektronensystem beschreibt und zu den
amorphen Hume{Rothery{Phasen fuhrt [37]. Amorphe Legierungen sind danach besonders stabil, wenn der dominante Peak im Strukturfaktor mit 2kF zusammenfallt
[35, 36]. Das heit, die Fermiache beruhrt gerade den Rand der zur amorphen Phase gehorigen isotropen "Jones{Zone\. Durch die Wechselwirkung der Elektronen mit
der statischen Struktur kommt es wie auch bei kristallinen Phasen zur Absenkung
der elektronischen Zustandsdichte an der Fermikante und damit zu einer Anhebung
des Bandstrukturbeitrages. Da dieser negativ in die Gesamtenergie eingeht, wird
die Gesamtenergie des Systems abgesenkt. Das Stabilitatskriterium Kpe = 2kF wird
bei einer mittleren Valenz z = 1.8 e/a besonders gut erfullt [35].
3.2 Warmeleitfahigkeit
Die Warmeleitfahigkeit wurde fur 7 verschiedene Konzentrationen und die reinen
Elemente Cu und Sn im Temperaturbereich von 1.2 K bis 360 K bestimmt. Hier
sollen die Ergebnisse vorgestellt und im Kapitel 4 ausfuhrlich diskutiert werden.
In den Abbildungen 3.6 bis 3.8 ist die Warmeleitfahigkeit und im Vergleich dazu der
spezische Widerstand fur die gemessenen Proben in Abhangigkeit von der Temperatur dargestellt. Es wurden die Werte fur die amorphen Proben als auch fur die
auf T = 360 K getemperten Proben eingetragen. Die Gesamtwarmeleitfahigkeit a
Ph
der amorphen Proben, die sich aus Elektronen{ (El
a ) und Phononenanteil (a )
zusammensetzt, hat im Bereich T > 10 K fur alle Konzentrationen einen ahnlichen
Verlauf. Das resultiert aus den universellen Eigenschaften amorpher Materialien,
da die Wechselwirkung des Phononen{ bzw. Elektronensystems mit der ungeordneten Struktur zu ahnlichen Resultaten fur alle Systeme fuhrt [3, 4, 5, 6, 7, 8, 13].
Im Bereich der Supraleitung T < Tc ist im Vergleich zu hoheren Temperaturen ein
starkerer Abfall der Warmeleitfahigkeit zu tiefen Temperaturen hin zu erkennen, der
aus der Abnahme der Zahl normalleitender Elektronen resultiert. Die in Cooperpaaren gebundenen Elektronen konnen einerseits nicht mehr zur Warmeleitfahigkeit beitragen und fallen andererseits als Wechselwirkungspartner fur die Phononen
aus, weshalb die Gesamtwarmeleitfahigkeit sogar noch einmal ansteigen kann (vgl.
Cu20Sn80 und Cu30Sn70, Abb. 3.6 (b) bzw. 3.6 (c)), bevor sie endgultig verschwindet,
da die Phononen bei tiefen Temperaturen ausfrieren. Dieses Verhalten wurde bei
verschiedensten supraleitenden amorphen Metallen beobachtet [9, 10, 11, 12]. In Kapitel 4 wird darauf noch ausfuhrlicher eingegangen. Die Kristallisation der Proben
macht sich wie auch im spezischen Widerstand durch einen Sprung in a bemerkbar. Nach dem Tempern zeigt sich fur die Warmeleitfahigkeit im feinkristallinen
Zustand ein Verhalten, das stark vom erreichten Kristallisationsgrad abhangt. Je
besser die Proben relaxiert sind, umso kleiner ist der Restwiderstand 0, und umso
hoher ist cr (vgl. Cu20Sn80 Abb. 3.6 (b)). Bei hoheren Cu{Konzentrationen und da-


3.2. WARMELEITF
AHIGKEIT
Probe
Sn
Cu20Sn80
Cu30Sn70
Cu40Sn60
Cu50Sn50
Cu60Sn40
Cu70Sn30
Cu80Sn20
Cu
41
mittlere U bergangstemperatur Kristall.- DebyeValenz
zur Supraleitung
temp. temp. [26]
z in e/a Tca in K Tccr in K Tk in K D in K
4.0
3.4
3.1
2.8
2.5
2.2
1.9
1.6
1.0
4.46
5.71
4.91
4.19
3.26
2.26
1.20
-
3.84
3.27
2.57
2.04
-
(71)
174
194
212
228
261
322
(275)
-
(80)
100
120
140
162
188
213
242
(345)
Tabelle 3.1: Charakteristische Temperaturen der Proben (Erklarungen im Text).
mit stabileren amorphen Phasen liegt die Kristallisationstemperatur sehr hoch, und
entsprechend kann die Probe bis zur Anlatemperatur von 360 K nicht ausreichend
relaxieren (vgl. Cu70Sn30 Abb. 3.8 (a)). Das auert sich in einem Restwiderstandsverhaltnis von 1 und in einem gegenuber der amorphen Phase kaum geanderten
Anstieg in der Gesamtwarmeleitfahigkeit.
Der starke Abfall unterhalb der U bergangstemperatur zur Supraleitung ist bei den
kristallisierten Proben ebenso wie bei den amorphen Proben zu verzeichnen. In Tabelle 3.1 sind die Probeneigenschaften fur die amorphen Proben zusammengestellt.
Werte in Klammern stehen fur teilweise mikrokristalline Proben, und Striche sollen andeuten, da diese Eigenschaften mit den zur Verfugung stehenden Mitteln
(Tmin 1.2 K) experimentell nicht zuganglich waren.
Im Temperaturbereich von 2 K bis 30 K ist bei den amorphen Proben ein Bereich
schwacherer Temperaturabhangigkeit zu erkennen, wahrend bei hoheren Temperaturen ein nahezu linearer Verlauf beobachtet wird. Ein schrager Pfeil weist in den
Abbildungen 3.6, 3.7 und 3.8 auf diesen Bereich schwacherer Temperaturabhangigkeit hin. Dieses Verhalten ist auch bei den schlecht kristallisierten Proben mit
60 at% Cu bis 80 at% Cu nachweisbar, jedoch zu tieferen Temperaturen verschoben.
Ein Wechsel im Anstieg der Warmeleitfahigkeit bzw. ein Bereich schwacherer Temperaturabhangigkeit wurde zuerst fur amorphe Dielektrika gefunden. Er lat auf
zusatzliche Streumechanismen im betrachteten Temperaturintervall schlieen, die
vermutlich resonanzartiger Natur sind, da die Warmeleitfahigkeit nach U berwindung dieses, bei SiO2 als Plateau bezeichneten, Bereiches wieder ansteigt. An dieser
Stelle soll lediglich auf die Existenz dieses, nach Abseparation des Elektronenbeitrages deutlicher werdenden, Plateaubereiches\ hingewiesen werden. Eine ausfuhrliche
Diskussion folgt im Kapitel" 4.4.
KAPITEL 3. ERGEBNISSE
42
120
a)
Sn
b)
Cu20Sn80
c)
Cu30Sn70
ρ / µΩ cm
100
80
ρa
60
ρa
40
ρmikrocr
20
ρcr
ρcr
ρcr
0
Sn
2
10
λcr
Tc
1
λcr
cr
Tc
λa
-1
λ/Wm K
λmikrocr
0
10
-1
Tc
10
λcr
cr
-1
10
Cu30Sn70
Cu20Sn80
Tc
cr
λa
Tk
Tk
mikrocr
Tc
a
Tc
a
-2
10
-3
10
1
10
T/K
100
1
10
T/K
100
1
10
T/K
100
Abbildung 3.6: Spezischer Widerstand und Warmeleitfahigkeit in
Abhangigkeit von der Temperatur. Die senkrechten Pfeile weisen
auf die U bergangstemperaturen zur Supraleitung und die Kristallisationstemperatur hin, wahrend die schragen Pfeile auf einen Bereich schwacherer Temperaturabhangigkeit aufmerksam machen.


3.2. WARMELEITF
AHIGKEIT
43
120
a)
Cu40Sn60
b)
Cu50Sn50
c)
Cu60Sn40
ρ / µΩ cm
100
80
ρa
ρa
ρa
60
ρcr
40
ρcr
ρcr
20
ρtemp
0
Cu40Sn60
2
10
Cu50Sn50
Cu60Sn40
λtemp
1
10
-1
Tc
-1
λ/Wm K
λcr
λcr
0
λa
cr
10
λcr
Tk
Tk
Tk
λa
λa
-1
10
Tc
a
Tc
a
Tc
-2
10
a
-3
10
1
10
T/K
100
1
10
T/K
100
1
10
T/K
100
Abbildung 3.7: Spezischer Widerstand und Warmeleitfahigkeit in
Abhangigkeit von der Temperatur. Die senkrechten Pfeile weisen
auf die U bergangstemperaturen zur Supraleitung und die Kristallisationstemperatur hin, wahrend die schragen Pfeile auf einen Bereich schwacherer Temperaturabhangigkeit aufmerksam machen.
KAPITEL 3. ERGEBNISSE
44
120
a)
Cu70Sn30
ρ / µΩ cm
100
b)
Cu80Sn20
ρa
80
c)
Cu
ρa
ρcr
ρcr
60
40
ρmikrocr
Vakuumproblem
20
ρcr
0
Cu70Sn30
2
10
Cu
Cu80Sn20
1
10
-1
λ/Wm K
-1
λcr
Tk
λcr
0
10
Tk
λcr
λa
λa
λmikrocr
-1
10
Tc
-2
10
a
-3
10
1
10
T/K
100
1
10
T/K
100
1
10
100
T/K
Abbildung 3.8: Spezischer Widerstand und Warmeleitfahigkeit in
Abhangigkeit von der Temperatur. Die senkrechten Pfeile weisen
auf die U bergangstemperaturen zur Supraleitung und die Kristallisationstemperatur hin, wahrend die schragen Pfeile auf einen Bereich schwacherer Temperaturabhangigkeit aufmerksam machen.
Kapitel 4
Diskussion der Warmeleitfahigkeit
In diesem Kapitel soll auf die verschiedenen Beitrage zur Gesamtwarmeleitfahigkeit
ges eingegangen werden. Zur Warmeleitfahigkeit tragen Elektronen und Phononen
bei, weshalb sich ges im einfachsten Fall nach
ges = El + Ph
(4.1)
aus dem Elektronenbeitrag El und dem Phononenbeitrag Ph zusammensetzt. Beide Anteile sollen getrennt diskutiert werden, wobei die Wechselwirkungsprozesse
immer aus der Sicht des jeweiligen Subsystems (Elektronen bzw. Phononen) betrachtet werden. Wegen der starken gegenseitigen Beeinussung der elektronischen,
statischen und dynamischen Struktur, die sich auf der Sn{reichen Seite durch eine
erhohte Elektron{Phonon{Kopplung widerspiegelt [26], ist eine Trennung nach (4.1)
nicht in jedem Falle moglich. Deshalb soll im ersten Abschnitt die Warmeleitfahigkeit durch das Elektronensystem abgeschatzt und die Gultigkeit bzw. Anwendbarkeit des Wiedemann{Franz'schen Gesetzes diskutiert werden. In einem zweiten Unterkapitel werden die wesentlichen Streuprozesse abgehandelt, die die Phononenwarmeleitfahigkeit beeinussen. Ein weiterer Abschnitt beschaftigt sich mit
den Beitragen niederenergetischer Anregungen zur Phononen{ bzw. Gesamtwarmeleitfahigkeit. Es wird eine Erklarung fur die gefundene Verschiebung des Plateaus
in der Warmeleitfahigkeit mit steigender Cu{Konzentration zu tieferen Temperaturen (siehe Kap. 3.2) gegeben. Abschlieend wird auf weiterfuhrende Experimente
eingegangen.
4.1 Elektronenbeitrag
Bei dem System CuxSn100?x handelt es sich um metallische Legierungen. Damit
betragt der Elektronenanteil El an der Gesamtwarmeleitfahigkeit 80 % bis 90 %. Da
keine Moglichkeit besteht, den Elektronenanteil separat zu messen (ausgenommen
im supraleitenden Bereich durch ein uberkritisches Magnetfeld zur Unterdruckung
45
46


KAPITEL 4. DISKUSSION DER WARMELEITF
AHIGKEIT
der Supraleitung), wird der Elektronenanteil in den meisten Arbeiten mit Hilfe des
aus der Boltzmanntheorie abgeleiteten Wiedemann{Franz'schen Gesetzes (WFL)
berechnet [97, 98, 99, 100, 101, 102, 103]. In diesem Kapitel soll auerdem der
Einu der Supraleitung auf die Elektronenwarmeleitfahigkeit diskutiert werden.
4.1.1 Elektronenbeitrag im normalleitenden Bereich
Wiedemann{Franz'sches Gesetz
Das Wiedemann{Franz'sche Gesetz (WFL) beschreibt den Zusammenhang des Elektronenbeitrags zur Warmeleitfahigkeit mit dem spezischen Widerstand (vgl. Kap.
1.1). Es ist allgemein gegeben durch
El = L = 2 ( kB )2 = 2:45 10?8 V2 :
(4.2)
0
T
3 e
K2
Dabei ist L0 die Lorenzzahl. Dieses Gesetz ist unter der Bedingung anwendbar, da
die Energieabhangigkeit der Relaxationszeiten fur die Wechselwirkung der Elektronen mit ihren Streupartnern fur elektrischen Widerstand und Warmeleitfahigkeit
ubereinstimmt [41, 56, 59, 104]. Das ist fur elastische Streuprozesse erfullt. Entgegen
einigen Arbeiten [97, 105, 106], die die Anwendbarkeit des WFL sowohl bei starker
als auch schwacher Streuung zeigen, werden experimentell haug Abweichungen von
L0 zu kleineren Werten gefunden [107, 108, 109]. Diese Ergebnisse basieren zumeist
auf Messungen supraleitender Proben mit und ohne uberkritischem Magnetfeld und
gelten somit fur tiefe Temperaturen. Aus den Meergebnissen weit unterhalb von
Tc konnen so Ruckschlusse auf den Beitrag der Elektronen gezogen werden, da uber
das Magnetfeld die normalleitenden Elektronen als Trager der Elektronenwarmeleitfahigkeit "ein{\ bzw. "ausgeschaltet\ werden konnen [12, 63]. Die Abweichungen
von L0, die auch
bei Zimmertemperatur beobachtbar sind [59], werden von der Theorie gestutzt. Bei exakter Auswertung der Fermiintegrale (1.4) im Boltzmannformalismus ergibt sich eine temperaturabhangige Lorenzzahl. Der temperaturabhangige
Term beinhaltet
die Thermokraft S (T ) [57], die allerdings fur amorphes CuxSn100?x
2
S
(
T
)
?
klein ( L0 < 10 5 ) ist [42]. Voraussetzung bleibt dabei weiterhin die Gleichheit
der Relaxationszeiten fur und . Das ist jedoch fur tiefe Temperaturen nicht
zwangslaug erfullt, so da die gefundenen Abweichungen [108, 109] von L0 eher
auf inelastische Streuprozesse bei tiefen Temperaturen als auf eine Vernachlassigung von S (T )2 bei der nur naherungsweisen Losung der Fermiintegrale im Boltzmannformalismus zuruckzufuhren sind [41]. Bei inelastischen Prozessen, die auch
als vertikale U bergange bezeichnet werden, fallen "heie\ Elektronen unter Abgabe
ihrer gesamten thermischen Energie unter das Ferminiveau. Diese U bergange haben
keinen groen Einu auf den spezischen Widerstand, tragen aber zum Warmewiderstand ebenso bei wie horizontale, elastische U bergange (Umklappstreuung)
[41]. Fur die Elektronenwarmeleitfahigkeit erhalt man eine Relaxationszeit 1 T 3
anstelle der T 5{Abhangigkeit fur die elektrische Leitfahigkeit [41]. Erst bei sehr tiefen Temperaturen, bei denen die elastische Streuung an Storstellen dominiert, gilt
4.1. ELEKTRONENBEITRAG
47
erneut Gleichung 4.2 mit L0 [41]. Eine quantitative Aussage uber die Groe des
Elektronenbeitrages ist daher kaum moglich.
Elektron{Phonon{Wechselwirkung
Fur die kristallinen Proben kann in Abhangigkeit vom Kristallisationsgrad die Elektron{Phonon{Wechselwirkung (EPWW) uber die Beziehung
1 = A + B T2
El
T
cr
(4.3)
mit
0cr = L = 2:45 10?8 V2
(4.4)
0
A
K2
untersucht werden [63, 103, 104, 110, 111]. Die Voraussetzung dafur ist die Gultigkeit der Matthiessenschen Regel. Die T 2{Abhangigkeit ist fur Tccr T 0.1D
gultig. In dieser Arbeit wurde El
cr nach (4.2) berechnet und in (4.3) eingesetzt,
um Aussagen uber B fur die kristallisierten Proben zu erhalten. Um die Zahl der
Parameter zur Kurvenanpassung moglichst gering zu halten, wurde A nach (4.4)
uber den gemessenen Restwiderstand 0cr berechnet. Die fur B erhaltenen Werte
sind in Abbildung 4.1 dargestellt. Dieses Ergebnis zeigt die Abhangigkeit des Beitrages der EPWW von z sowie vom Kristallisationsgrad der Proben, wie es auch
erwartet wurde. Je groer z, desto groer ist auch der Beitrag der EPWW. Die
Verstarkung der EPWW bei einem hoheren Kristallisationsgrad ist im direkten Vergleich zwischen der auf T = 360 K angelassenen und der danach bis auf T = 500 K
getemperten Cu60Sn40{Probe zu erkennen. Da bei dieser Kurvenanpassung von der
Gultigkeit des WFL ausgegangen werden mute, konnen die Werte fur B untereinander verglichen werden, um Trends aufzuzeigen. Ein absoluter Vergleich mit
Literaturdaten (z.B. wurde fur Pb B = 3.810?4 mW?1K?1 gefunden [63]) bereitet
jedoch Schwierigkeiten, falls das WFL wegen L(T ) 6= L0 infolge von inelastischen
Prozessen nicht mehr in der Form von (4.2) gilt. In dem hier betrachteten Temperaturbereich (Tccr T 0.1D ) ist letzteres zu vermuten. Der Beitrag aus der
EPWW fur die kristallisierten Cux Sn100?x{Proben ist mit 4 % klein. Die durch die
erhohte Elektron{Phonon{Kopplung [26] gepragte EPWW im amorphen Zustand
kann nicht so einfach diskutiert werden, da quantitativ schwer erfabare lokalisierte
Schwingungen von Bedeutung sind.
4.1.2 Elektronenbeitrag im supraleitenden Bereich
Das Verhaltnis der Elektronenwarmeleitfahigkeit im supraleitenden Zustand El
sl
und im normalleitenden Zustand El
kann
mit
der
aus
der
BCS{Theorie
[112]
abnl
geleiteten BRT{Theorie (Bardeen, Rickayzen, Tewordt [113, 114]) und der


KAPITEL 4. DISKUSSION DER WARMELEITF
AHIGKEIT
48
-1
4
z/ea
3
2
1
kristallisierte Probe
getemperte Probe
auf T=500 K
getempert
-1
B/mW K
-1
-5
10
-6
10
0
20
40
60
80
100
at% Cu
Abbildung 4.1: Beitrag der Elektron{Phonon{Wechselwirkung B
bei den kristallisierten Proben nach Gleichung (4.3).
Gleichung
mit
2
El
sl = 1
?y ] + y [1 + ey ]
F
(
?
y
)
+
y
ln[1
+
e
El
F (0)
2
nl
)
(
(4.5)
1
(4.6)
F (?y) = 1 +x dx
ex+y
0
und der temperaturabhangigen Energielucke in
y = k T
(4.7)
B
berechnet werden. In dieser Arbeit wurde der Elektronenbeitrag im supraleitenden
Zustand nach (4.5) berechnet und an den mit (4.2) an der Stelle T = Tc erhaltenen Wert fur El
nl angepat. In Abbildung 4.2 ist ein Beispiel fur eine Cu40Sn60 {
Probe gegeben. Die Werte fur 0 wurden fur kleine Cu{Konzentrationen (starke
Elektron{Phonon{Kopplung) den Referenzen [96, 115] entnommen und zu groeren Cu{Konzentrationen mit Hilfe des Wertes k2bT0c = 3.52 der BCS{Theorie, die in
Z
4.1. ELEKTRONENBEITRAG
49
0.4
-1
3 z/ea 2
4
2∆0 / kBTc
4.5
4.0
1.8 e/a
BCS
0
0.2
a-Cu40Sn60
Watson et. al.
Knorr et. al.
interpoliert
3.5
-1
λ /Wm K
-1
0.3
1
20
40
60
80
100
at% Cu
λnl
El
El
λnl (extrapoliert)
El
0.1
Tc
a
λsl
El
0.0
1
2
3
4
5
6
7
T/K
Abbildung 4.2: Berechnung des Elektronenanteils im supraleitenden
Zustand nach (4.5) (BRT{Theorie [113, 114]) unter Nutzung der
angegebenen Werte fur die Energielucke k2BT0c [96, 115].
diesem Bereich gut anwendbar ist [26], interpoliert (kleines Bild in Abb. 4.2). Der
 bergangstemperatur zur SupraleiElektronenanteil El
sl mu auch unterhalb der U
tung mit berucksichtigt werden, da er erst fur T Tc vernachlassigbar klein wird.
4.1.3 Abseparation des Elektronenbeitrages
In Abbildung 4.3 ist die Gesamtwarmeleitfahigkeit und der nach Abseparation des
Elektronenbeitrages nach (4.1) mit dem WFL nach (4.2) und der BRT{Theorie
nach (4.5) verbleibende Phononenbeitrag dargestellt. Da sich der spezische Widerstand im amorphen Zustand der Proben nur um wenige Prozent andert, gilt
nach Gleichung (4.2) grob El
a T . Wird Gleichung (4.2) mit L0 berechnet, so ergibt sich fur die Phononenwarmeleitfahigkeit nicht nur ein "Plateau\ bei T 10 K,
sondern sogar ein "U berschwingen\. Das erscheint auf den ersten
Blick ungewohnt,
aber da CuxSn100?x ein metallisches System mit einem entsprechend groen Elektronenbeitrag ist, verbleibt eine Phononenwarmeleitfahigkeit, deren Struktur auf der


KAPITEL 4. DISKUSSION DER WARMELEITF
AHIGKEIT
50
a)
1
10
0
a - Cu50Sn50
-1
λ/Wm K
-1
10
Tk
-1
10
-2
Tc
1
2.5
a
10
100
b)
-8
2
L / 10 V K
-2
10
λges
λPh (mit L = L0)
λPh (mit L = L(T), siehe unten)
L(T) < L0
ΘD
2.0
1
10
T/K
L0
100
Abbildung 4.3: Einu einer Lorenzzahl L(T ) L0 auf die verbleibende Phononenwarmeleitfahigkeit (a). Im unteren Teilbild (b) ist
die angenommene Temperaturabhangigkeit fur L(T ) wiedergegeben.
logarithmischen Skala von Abbildung 4.3 stark vergroert wird.
Bei Berechnung des WFL nach (4.2) mit L0 wurde fur die Proben Cu, Sn und die
amorphe Cu20Sn80{Legierung sowie fur fast alle kristallinen Proben der Elektronenbeitrag El
a bei tiefen Temperaturen groer als die Gesamtwarmeleitfahigkeit a
werden. Eine negative Phononenwarmeleitfahigkeit ware die unphysikalische Folge.
Wird jedoch der verbleibende Phononenbeitrag mit einer eektiven Lorenzzahl L(T )
(Kap. 4.1.1), wie sie in Abbildung 4.3 (b) angenommen ist und nach [109] auch fur
Cu6Sn5 gefunden wurde, berechnet, so ist im Plateaubereich bei T 10 K ein durchweg positiver Anstieg mit noch immer deutlich ausgepragtem Plateau zu erkennen.
Im kristallinen Zustand nehmen die Schwierigkeiten bei der Berechnung von El
cr zu,
4.2. PHONONENBEITRAG
Probe
mittlere
Valenz
z in e/a
Sn
Cu20Sn80
Cu30Sn70
Cu40Sn60
Cu50Sn50
Cu60Sn40
Cu70Sn30
Cu80Sn20
Cu
4.0
3.4
3.1
2.8
2.5
2.2
1.9
1.6
1.0
51
Plateautemperatur
der amorphen Probe nach Anlassen auf T = 360 K
Tpa in K
Tpcr in K
23.5
10.0
7.3
8.2
3.7
2.0
2.6
-
1.9
1.2
-
Tabelle 4.1: Plateautemperaturen der Proben. Als Plateautemperatur wurde jeweils der Wendepunkt in (T ) bestimmt.
da das WFL bei tiefen Temperaturen im wesentlichen die Wechselwirkung der Elektronen mit den im kristallisierten Zustand abnehmenden Gitterfehlern beschreibt.
Gleichung (4.2) berucksichtigt das ebensowenig wie die in Kapitel 4.1.1 diskutierten
inelastischen Streuprozesse [41, 56, 104, 116] und die erhohte Elektron{Phonon{
Kopplung im amorphen Zustand bei kleinen Cu{Konzentrationen [26]. Damit liegt
die Vermutung nahe, da aufgrund der starkeren Elektron{Phonon{Kopplung in
ungeordneten Systemen eine Trennung der Warmeleitfahigkeit nach (4.1) in zwei
separate Bestandteile nicht moglich bzw. sinnvoll ist. Im Zusammenhang mit der
Diskussion des Plateaubereiches wird in Kapitel 4.4.2 nochmals auf diesen Punkt
eingegangen.
4.2 Phononenbeitrag
Die fur die Phononenwarmeleitfahigkeit amorpher Proben verschiedenster Materialien gefundenen universellen Eigenschaften [3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 117] konnen fur das
System CuxSn100?x im Rahmen dieser Arbeit ebenfalls nachgewiesen werden. Das
betrit vor allem den Tieftemperaturanstieg mit etwa T 2 als auch einen Temperaturbereich, in dem der Anstieg wechselt, den Plateaubereich.
In Abbildung 4.4 ist die Phononenwarmeleitfahigkeit von drei frisch aufgedampften
Proben dargestellt. Die Kurven fur die einzelnen Konzentrationen wurden jeweils
um eine Groenordnung nach oben verschoben. Als Plateautemperatur wurde der
Wendepunkt in (T ) deniert (Tabelle 4.1). Da wegen der in Kapitel 4.1.1 erwahnten Grunde keine andere quantitative Erfassung von El als durch (4.2) moglich ist,
wurde der Elektronenbeitrag nach (4.2) mit L0 absepariert. Das fuhrt fur nahezu alle


KAPITEL 4. DISKUSSION DER WARMELEITF
AHIGKEIT
52
3
10
a-Cu80Sn20
2
Tk
a-Cu50Sn50
1
10
Ph
-1
λ /Wm K
-1
10
Tk
Tp
0
Tc
10
Tp
a
a-Cu20Sn80
Tp
Tk
-1
Tc
10
a
-2
10
Tc
1
a
10
100
T/K
Abbildung 4.4: Phononenwarmeleitfahigkeit direkt nach der Praparation. Die Kurven wurden um je eine Groenordnung gegenuber
Cu20Sn80 nach oben verschoben. Die Pfeile bezeichnen die U bergangstemperatur zur Supraleitung Tca, die Plateautemperatur Tp
(Wendepunkt in (T ), Tabelle 4.1) und die Kristallisationstemperatur Tk .
Proben zu dem bereits in Abbildung 4.3 diskutierten Verhalten (U berschwingen, Minimum statt Plateau). Aufgrund dieser Unsicherheiten in der Bestimmung von El
soll im weiteren moglichst auf die Trennung von El und Ph nach dem WFL (4.2)
verzichtet werden. Das erscheint unter dem bereits oben erwahnten Gesichtspunkt
4.2. PHONONENBEITRAG
53
der starken Elektron{Phonon{Kopplung und der Diskussion des Plateaubereiches
in Verbindung mit inelastischer Elektron{Elektron{Wechselwirkung [53] (Kap. 1.3)
sinnvoll.
In diesem Kapitel sollen nacheinander das charakteristische Verhalten im supra{ und
normalleitenden Bereich sowie bei hohen Temperaturen (im kristallinen Bereich)
diskutiert werden. Das Verhalten der Phononenwarmeleitfahigkeit im Bereich des
Plateaus ist Gegenstand des Kapitels 4.4.
4.2.1 Phononenbeitrag im supraleitenden Bereich
Fur T < Tc nimmt die Elektronenwarmeleitfahigkeit entsprechend der BRT{Theorie
ab, und fur die verbleibende Phononenwarmeleitfahigkeit gilt
Ph = C T n mit n 2
(4.8)
[11, 63]. Dieser Beitrag, der streng genommen erst bei T Tc fur El ! 0 die Gesamtwarmeleitfahigkeit darstellt, beschreibt die strukturelle Unordnung der Proben
und tritt sowohl in den amorphen als auch in den strukturell "schlecht\ geordneten
kristallisierten Proben auf. Dieser Bereich ist mit den dieser Arbeit zugrundeliegenden experimentellen Mitteln nicht zuganglich. Deshalb kann hier fur T < Tc nur ein
eektiver Wert fur die Gesamt{ bzw. Phononenwarmeleitfahigkeit
Ph
El
n
Ph
(4.9)
eff = + Restanteil = C T mit n 2:
diskutiert werden.
Auerdem wird durch (4.9) nicht erfat, da, wie in Kapitel 3.2 bereits beschrieben, die Phononenwarmeleitfahigkeit fur die amorphen Legierungen mit kleinen Cu{
Konzentrationen unterhalb von Tc mit abnehmender Temperatur zunachst groer
wird, bevor sie dann endgultig abnimmt. Dieses Verhalten ist qualitativ durch die
schwachere Wechselwirkung der Phononen mit den Elektronen aufgrund der zu
Cooperpaaren gebundenen Elektronen, die damit als Streupartner ausfallen, zu verstehen. In der Literatur wird dieses Verhalten auch fur andere amorphe Legierungen,
wie z.B. Pb{Cu [63], Zr{Cu [12] oder auch Zr{Pd [11], gefunden. Eine quantitative
Analyse der Medaten ist schwierig, da dazu Warmeleitfahigkeitsdaten bei tiefen
Temperaturen T 1 K (T 2{Anstieg mit T ) vorliegen sollten. Wegen der oben genannten Grunde und der Unsicherheit in der Trennung von Elektronen{ und Phononenbeitrag ist ein T n{Anstieg mit n 2 in Abbildung 4.4 nicht klar erkennbar.
Bei hoheren Cu{Konzentrationen ist dieses Tieftemperaturverhalten unterhalb von
Tc nicht beobachtbar.
4.2.2 Phononenbeitrag im normalleitenden Bereich
Fur T > Tc mu die Wechselwirkung der Phononen mit den Elektronen aus Sicht
der Phononen berucksichtigt werden. Fur eine quantitative Diskussion ist eine Tren-
54


KAPITEL 4. DISKUSSION DER WARMELEITF
AHIGKEIT
nung der Gesamtwarmeleitfahigkeit in Elektronen{ und Phononenanteil mit den in
Kapitel 4.1.1 beschriebenen Schwierigkeiten unumganglich. Deshalb sollen in diesem Kapitel nur die wesentlichen Ideen der Interpretation dargestellt werden. Eine
ausfuhrliche Diskussion ist in Anhang B gegeben.
Fur die Betrachtung der EPWW ist die mittlere freie Weglange der Elektronen
lEl im Vergleich zur Wellenzahl qdom der dominierenden Phononen von Bedeutung.
Im Falle der Gultigkeit der adiabatischen Naherung [41] wird qdom lEl 1, d.h.
die Elektronen "empnden\ die Bewegung der Ionen als sehr langsam und bleiben
deshalb im gleichen Quantenzustand. Fur gut kristallisierte Proben gilt deshalb
2
Ph
EPWW T
(4.10)
[10, 20, 118]. Fur qdom lEl 1 wird die Streuung der Phononen an den Elektronen
schwacher, da lEl kleiner als die Wellenlange der dominierenden Phononen `Ph
dom
wird. Fur diesen, in amorphen und stark gestorten Systemen haugen Fall, fuhrt
das Modell freier Elektronen (MFE) auf
T
?9
?2
(4.11)
Ph
EPWW = 1:82 10 M D 0 z 3 T = D ;
wobei die mittlere Ionenmasse M in atomaren Einheiten u, der Restwiderstand 0 in
cm und die Debyetemperatur D sowie T in K einzusetzen sind [10, 12, 118]. D
ist der Elektron{Phonon{Streukoezient. Die mittlere freie Weglange der Elektronen lEl wurde aus dem spezischen Widerstand mit Hilfe des Drudemodells und die
Wellenzahl der dominierenden Phononen qdom nach dem Debyemodell abgeschatzt.
So konnen Vorhersagen fur das jeweilige Temperaturverhalten entsprechend (4.10)
bzw. (4.11) gemacht werden, die sich mit Hilfe einer Kurvenanpassung fur den Exponenten n sowie den Vorfaktor D nach
?1
(4.12)
ges = L T + C 1T 2 + TDn
0
bestatigen lassen (siehe Anhang B). In (4.12) bezeichnet der erste Term den Elektronenbeitrag und der zweite Term den Phononenbeitrag, untergliedert in die Streuung
an der strukturellen Unordnung und den Beitrag der Elektron{Phonon{Wechselwirkung. Bei der Kurvenanpassung wurde versucht, mit L = L0, dem gemessenen
Restwiderstand 0 sowie C aus der Tieftemperaturanpassung fur T < Tc zu arbeiten, um die Zahl der Anpassungsparameter klein zu halten.
Teilweise mute jedoch mit L 6= L0 ein weiterer Parameter eingefuhrt werden, der
eine eektive, in diesem Fall temperaturunabhangige Lorenzzahl (vgl. Kap. 4.1) reprasentiert. Abweichungen von L0 treten bei allen amorphen und den Proben mit
groem z im kristallisierten Zustand auf (vgl. auch die Trennung von Phononen{
und Elektronenbeitrag in Kap. 4.1.3). Damit bestatigt sich, da bei tiefen Temperaturen das WFL in der Form von Gleichung (4.2) seine Grenzen hat. Die inelastischen
Streuprozesse mussen mit berucksichtigt werden.
4.2. PHONONENBEITRAG
55
a-Cu50Sn50
λ
10
+λ
El
Ph
0
T < Tc
Restanteil
~T
1.9
λ = L0T/ρ (WFL)
El
Tc
-1
λa / W m K
-1
Plateaubereich
a
Tp
λges (gemessen)
λges (Fit)
-1
10
λges=λ +(1/λ
El
Ph
T<Tc
+1/λ
Ph
EPWW
)
-1
λ (BRT)
El
1
10
T/K
Abbildung 4.5: Warmeleitfahigkeit a fur eine amorphe
Cu50Sn50{Probe, aufgegliedert in ihre wesentlichen elektronischen
und phononischen Beitrage. Tca gibt die U bergangstemperatur zur
Supraleitung und Tp die Plateautemperatur (Wendepunkt) an.
4.2.3 Phononenbeitrag bei hohen Temperaturen
Bei hohen Temperaturen verlauft die Phononenwarmeleitfahigkeit etwa linear mit
der Temperatur, wie es auch in der Literatur fur andere amorphe Metalle nachgewiesen wurde [119]. Zusammen mit dem linearen Verlauf des Elektronenbeitrages
ergibt sich somit auch fur die Gesamtwarmeleitfahigkeit ein linearer Verlauf. Die
Kristallisation der Proben macht sich im Phononenbeitrag kaum bemerkbar. Das
deutet darauf hin, da die Kristallisation im wesentlichen ein Wechselspiel zwischen
der elektronischen Struktur und dem Gitter ist (vgl. Kap. 3.1.4).
56


KAPITEL 4. DISKUSSION DER WARMELEITF
AHIGKEIT
4.3 Zusammenfassung der Streumechanismen
In Abbildung 4.5 sind die wesentlichen Beitrage zur Gesamtwarmeleitfahigkeit bei
tiefen Temperaturen getrennt nach Elektronen{ und Phononenbeitrag am Beispiel
einer amorphen Cu50Sn50{Probe dargestellt. Die Gesamtwarmeleitfahigkeit wird mit
Ausnahme des Plateaubereiches durch die bis hier betrachteten Wechselwirkungsmechanismen sehr gut beschrieben. Die Diskussion des Plateaubereiches, der sich
in der Gesamtwarmeleitfahigkeit fur Temperaturen von 2 K bis 30 K andeutet und
nach Abseparieren von El mit den in Kapitel 4.1.1 beschriebenen Einschrankungen starker hervortritt (Abb. 4.4), blieb in der bisherigen Interpretation unberucksichtigt und soll im Zusammenhang mit niederenergetischen Anregungen, die von
verschiedenen Autoren [18, 19, 22, 24, 31, 32, 51, 53, 108] fur den Plateaubereich
verantwortlich gemacht werden, im nachsten Kapitel 4.4 erfolgen.
Eine Alternative, Ph qualitativ zu diskutieren, ohne El vorher abseparieren zu
mussen, bietet die Auftragung T (Abb. 4.6), da nach
= L0 + Ph
(4.13)
T
T
bei nur kleinen A nderungen in ein naherungsweise konstanter Beitrag L0 fur den
Elektronenanteil verbleibt. Strukturen in Ph treten starker hervor. Sowohl der Tieftemperaturanstieg unterhalb von Tc als auch der Plateaubereich bei T 10 K bleiben bezuglich der Lage zur T {Achse unverandert. Beide verschieben sich mit groer
werdender Cu{Konzentration zu tieferen Temperaturen. Zur Verdeutlichung sind
die Projektionen der U bergangstemperatur zur Supraleitung Tc und des Plateaubereiches Tp auf die Grundache eingezeichnet. In der Darstellung Ta liegen alle Werte
in derselben Groenordnung, was fur den amorphen bzw. ungeordneten Zustand typisch ist. In der Auftragung von Tcr fur die kristallisierten Proben (Abb.4.6 (b)) fallt
die starke U berhohung bei kleinen Cu{Konzentrationen auf, die das Resultat des
hohen Kristallisationsgrades und einer besseren Phononenwarmeleitfahigkeit ist.
4.3. ZUSAMMENFASSUNG DER STREUMECHANISMEN
a)
-1
Tp
-1
λa /T / W m K
-2
10
Tc
a
-2
10
20
40
at% Cu 60
80
1
T/K
10
b)
0
Tc
cr
-1
λcr /T / W m K
-2
10
-1
10
Tp
10
-2
20
40
at% Cu 60
80
1
T/K
10
Abbildung 4.6: Warmeleitfahigkeit Ta der amorphen (a) und kristallisierten (b) Proben in Abhangigkeit von der Konzentration und der
Temperatur T .
57


KAPITEL 4. DISKUSSION DER WARMELEITF
AHIGKEIT
58
10
0
a-Cu50Sn50
-8
2
-2
Ph
-1
λ /Wm K
-1
L = 1.95 10 V K
-1
10
a-SiO2
a-Cu50Sn50
-8
2
-2
L = L0 = 2.45 10 V K
1
10
100
T/K
Abbildung 4.7: Phononenwarmeleitfahigkeit einer amorphen
Cu50Sn50{Probe im Vergleich mit a{SiO2. Der Elektronenanteil
wurde zum Vergleich mit zwei verschiedenen temperaturunabhangigen Lorenzzahlen L = L0 und L < L0 berechnet.
4.4 Niederenergetische Anregungen
Der Bereich schwacherer Temperaturabhangigkeit (Plateau) in der Warmeleitfahigkeit im Temperaturbereich 2 K < T < 30 K, auf den bereits in den Kapiteln 3.2 und
4.2 kurz eingegangen wurde, ist charakteristisch fur die Phononenwarmeleitfahigkeit vieler amorpher bzw. stark ungeordneter Materialien [3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 117].
Dabei zeigen sowohl Dielektrika als auch amorphe Metalle ein ahnliches Verhalten
[9, 10, 11, 12, 63, 118]. Der Phononenbeitrag Ph weist einen Tieftemperaturanstieg
mit T n (n 2) fur T 1 K und im Bereich 1 K < T < 10 K ein mehr oder weniger
stark ausgepragtes Plateau auf. In der Literatur herrscht Einigkeit, da diese Eigenschaften durch niederenergetische Anregungen (NEA) bzw. lokalisierte Anregungen
hervorgerufen werden und auf jeden Fall strukturell bedingt sind.
In Abbildung 4.7 ist die Phononenwarmeleitfahigkeit einer amorphen Cu50Sn50{
Probe im beispielhaften Vergleich mit einer nach den in [5] gegebenen Fitparametern
4.4. NIEDERENERGETISCHE ANREGUNGEN
59
berechneten Kurve fur a{SiO2 dargestellt. Der Elektronenanteil der Cu50Sn50{Probe
wurde mit L = L0 bzw. L = 1.9510?8 V2 K?2 berechnet (vgl. auch Abb. 4.3). Die
Kurven liegen alle in derselben Groenordnung und haben einen ahnlichen Verlauf.
Das Plateau bei der Cu50Sn50{Probe ist jedoch auf einen kleineren Temperaturbereich beschrankt und damit scharfer als bei a{SiO2 . Die universellen Eigenschaften
amorpher Materialien (sowohl Dielektrika als auch amorphe Metalle) hinsichtlich
ihres Tieftemperaturverhaltens in der Phononenwarmeleitfahigkeit werden durch
Abbildung 4.7 unterstrichen.
4.4.1 Zwei{Niveau{Systeme
Die Diskussion der Phononenwarmeleitfahigkeit der amorphen Legierungen im Bild
der TLS ist Gegenstand dieses Abschnittes. Es wurde fur die nach Abseparation
des Elektronenanteils verbliebene Phononenwarmeleitfahigkeit eine Kurvenanpassung entsprechend der in [5] gegebenen formelmaigen Umsetzung des TLS{Modells
[18, 19] durchgefuhrt [120]. Dabei mute der Elektronenanteil mit einer Lorenzzahl
L = 1.95 10?8 V2 K?2 6= L0 absepariert werden, um einer unphysikalisch hohen Dichte der TLS vorzubeugen. Die erhaltenen Ergebnisse sind in Abbildung 4.8 dargestellt
und in Tabelle 4.2 unter Beibehaltung der Nomenklatur wie in [5] (D und haben
deshalb in diesem Unterkapitel eine andere Bedeutung) zusammengefat. Es ist
z
v
n~
lmin
D
?
1
?
3
5
?
1
?
1
?
3
?
e a g cm 10 cm s eV cm
eV A cm 1 K?4
Cu40Sn60 2.8 7.346
1.332
5.4461021 0.359 7
0.25
21
Cu50Sn50 2.5 7.450
1.476
1.87610 0.467 7
1.30
20
Cu60Sn40 2.2 7.554
1.690
2.89210 1.981 7
0.30
Cu70Sn30 1.9 7.658
1.882
1.9671020 2.461 7
0.25
20
Cu80Sn20 1.6 7.762
2.057
1.22910 3.460 7
0.12
Tabelle 4.2: Parameter, die der Kurvenanpassung nach dem Modell
der TLS zugrundeliegen (Nomenklatur wie in [5], {Massendichte
der Probe, v{mittlere Schallgeschwindigkeit, n~ {Dichte der TLS bezogen auf die Energie und das Volumen, {Kopplungskonstante,
lmin{untere Grenze der mittleren freien Weglange, D{Koezient
der Rayleigh{Streuung)
Probe
ein deutlicher Trend feststellbar, der darin besteht, da ausgehend von z = 1.8 e/a
mit zunehmender Unordnung (d.h. Erhohung von z) die Dichte der TLS zunimmt.
Dem steht die Abnahme der Kopplungskonstanten mit zunehmendem z entgegen.
Mit lmin wird ein Parameter eingefuhrt, der gewahrleistet, da die mittlere freie
Weglange der Phononen nicht unphysikalisch klein wird. Der Koezient D resultiert
aus der Annahme, da der U bergangsbereich zum Plateau bei tiefen Temperaturen
durch Rayleigh{Streuung hervorgerufen wird [5].


KAPITEL 4. DISKUSSION DER WARMELEITF
AHIGKEIT
60
10
0
a-Cu60Sn40
-1
10
Ph
-1
λ /Wm K
-1
a-Cu80Sn20
a-Cu70Sn30
-2
10
a-Cu50Sn50
1
a-Cu40Sn60
10
T/K
100
Abbildung 4.8: Beschreibung der Phononenwarmeleitfahigkeit nach
dem in [5] gegebenen TLS{Modell. Die Kurven wurden gegenuber
Ph der Cu80Sn20{Probe um jeweils einen Faktor 2 nach unten verschoben.
Ein Vergleich mit Literaturdaten ist kaum moglich, da fur Legierungsreihen amorpher Metalle keine vergleichbaren Daten vorliegen. Die Werte fur n~ , , lmin und D
liegen jedoch in der Groenordnung der fur amorphe Dielektrika erhaltenen Werte (z.B. a{SiO2: n~ = 1:1 1020 eV?1 cm?3, = 0.86 eV, lmin = 12 A, D = 1.5 cm?1K?4
[5]). Wegen der Unsicherheit in der mikroskopischen Deutung der TLS mussen die
erhaltenen Anpassungsparameter in dieser Arbeit weitgehend unkommentiert bleiben. Die Untersuchung weiterer Legierungen des Typs Edelmetall{Polyvalentmetall
wird die Grundlage zu einer fundierten Interpretation der Ergebnisse im Rahmen
des TLS{Modells liefern. Die Kurvenanpassung in Abbildung 4.8 weist vor allem bei
der amorphen Cu50Sn50{Probe einen groen Fehler im Plateaubereich auf, der aus
dem in Abbildung 4.7 diskutierten kleinen Temperaturintervall resultiert, in dem das
Plateau auftritt. Bei den Cu{reichen Proben wurde der Bereich starker Anomalien
(vgl. Abb. 4.4) bei der Kurvenanpassung ausgeschlossen. Aufgrund dieser Schwierigkeiten ist auch an dieser Stelle zu vermuten, da die Abseparation des Elektronenanteils mit Hilfe des WFL und der entsprechenden temperaturunabhangigen
4.4. NIEDERENERGETISCHE ANREGUNGEN
61
Lorenzzahl L < L0 einen Fehler in der verbleibenden Phononenwarmeleitfahigkeit
hervorruft, der z.B. auf inelastische Streuprozesse und Wechselwirkung der Elektronen mit NEA zuruckzufuhren ist.
Das TLS{Modell nimmt nur indirekt uber die Dichte und Kopplung der Zwei{
Niveau{Systeme Bezug auf die vorliegende Struktur der Proben. Deshalb ist eine
Beschreibung des Tieftemperaturverlaufes der Warmeleitfahigkeit durch eine Kurvenanpassung mit vier Parametern unbefriedigend.
4.4.2 Phonon{Roton{Zustande
In der vorliegenden Arbeit wurde eine Verschiebung des Plateaubereiches mit A nderung der Konzentration gefunden (vgl. Kap. 4.2). Auerdem tritt das Plateau in abgeschwachter Form bei tieferen Temperaturen auf, wenn die Proben aufgrund einer
hohen Kristallisationstemperatur in Bezug auf die Anlatemperatur von T = 360 K
nur schlecht ausgeheilt sind (vgl. Abb. 3.7 (c), 3.8 (a) und 3.8 (b)). Dieses Verhalten
legt einen direkten Zusammenhang mit Strukturanderungen nahe, der im folgenden
im Rahmen des Phonon{Roton{Modells qualitativ erlautert werden soll.
Amorphe Metalle lassen sich hervorragend in das Bild der elektronisch stabilisierten Hume{Rothery{Phasen einordnen und zeigen alle einen elektronisch induzierten Strukturpeak bei Kpe 2kF (Abb. 3.3), der fur die Stabilisierung verantwortlich ist. Es ist zu erwarten, da auch in der Dispersionsrelation der Phononen Anomalien auftreten. Tatsachlich wurden fur amorphe Proben, wie z.B. fur Mg70Zn30
[46] (Abb. 4.9), durch inelastische Neutronenstreuexperimente kollektive Anregungen mit der charakteristischen Wellenzahl Qpe in der Nahe von Kpe gefunden. Zum
Vergleich ist in Abbildung 4.9 der Durchmesser der Fermikugel 2kF eingezeichnet.
Das bedeutet, da bei Kpe die Dispersionsrelation im amorphen Zustand von der im
kristallinen Zustand abweicht. Der endliche Wert von h !0 entspricht einer Temperatur T0 und stellt damit eine Anregungsenergie bzw. charakteristische Temperatur
dar, die zur Anregung dieser Phononen notwendig ist. In Abbildung 4.10 ist die gesamte Dispersionsrelation schematisch dargestellt. In Analogie zur Dispersionsrelation im suprauiden Helium werden die Zustande bei Q = Qpe als Rotonen{Zustande
bezeichnet. Im Sprachgebrauch hat sich, da es sich um Phononen handelt, der Begri Phonon{Rotonen durchgesetzt. Theoretisch konnen diese Zustande uber eine
Berechnung der Dispersionsrelation aus dem Strukturfaktor S (K ) erhalten werden
[44, 45]. In [44] wurde dabei gefunden, da (in der Nomenklatur dieser Arbeit) T0
proportional zur Halbwertsbreite des Strukturpeaks an der Stelle Kpe ist. In der
Referenz [50] ist eine dazu aquivalente Aussage mit
(4.14)
T0 S (K1 )
pe
formuliert, wobei der Proportionalitatsfaktor nicht bekannt ist. Durch die A nderung
der Legierungszusammensetzung kann der Strukturfaktor S (Kpe ) (vgl.Abb. 3.3) und
62


KAPITEL 4. DISKUSSION DER WARMELEITF
AHIGKEIT
Abbildung 4.9: Kollektive Anregungen in Mg70Zn30. Die Werte wurden [46] entnommen.
nach (4.14) auch die Anregungsenergie der Phonon{Rotonen beeinut werden. Aus
diesem Grund eignet sich das Legierungssystem Cu{Sn sehr gut fur eine systematische Untersuchung der Rolle der Phonon{Rotonen fur die Warmeleitfahigkeit in
Abhangigkeit von der Konzentration.
In [44] wurde gezeigt, da uber die Kombination der Tieftemperaturbeschreibung
des TLS{Modells fur T 1 K und des Phonon{Roton{Modells die Temperaturabhangigkeit der spezischen Warme mit dem fur amorphe Stoe typischen zusatzlichen Beitrag befriedigend erklart werden kann.
Erste mikroskopische Vorstellungen fur Phonon{Rotonen gehen in die Richtung von
Verschiebungen der um ein Aufatom bendlichen Nachste{Nachbarn{Kongurationsschalen gegeneinander. Vorstellbar sind auch Deformationen dieser Schalenstruktur bis hin zu einem Pulsieren [121]. Eine allgemein akzeptierte Vorstellung der
mikroskopischen Natur von Phonon{Roton{Zustanden existiert jedoch noch nicht.
Die Warmeleitfahigkeit ist im Bild der Phonon{Roton{Zustande erklarbar [31, 32,
77] und kann so unmittelbar auf die Struktur und deren A nderung zuruckgefuhrt
werden. Beginnend bei tiefen Temperaturen werden zuerst langwellige Debyephono-
4.4. NIEDERENERGETISCHE ANREGUNGEN
63
Kpe - Durchmesser der Pseudobrillouinzone
Qpe - Wellenzahl der Phonon-Roton-Zustände
ω (~ T )
Qpe ~
~ Kpe
ω0 (~ T0)
Debyephononen
( ω ~ |Q| )
Kpe
|Q|
Abbildung 4.10: Schematische Darstellung der Phononendispersionsrelation mit kollektiven Anregungen bei Qpe Kpe (Phonon{Roton{Zustande).
nen angeregt. Diese liefern ihren Beitrag zur Phononenwarmeleitfahigkeit, und die
bekannten Wechselwirkungsmechanismen sind anwendbar. Wird die Temperatur T0
erreicht, konnen Phonon{Roton{Zustande bei Qpe angeregt werden. Sie reprasentieren zusatzliche Freiheitsgrade, die zwar einen Beitrag zur Warmekapazitat liefern,
selbst aber nicht zur Warmeleitfahigkeit beitragen. Mit ihnen stehen zusatzliche
Streupartner sowohl fur Phononen als auch Elektronen zur Verfugung, die uber
resonanzartige Wechselwirkungen einen weiteren Anstieg der Warmeleitfahigkeit
verhindern. Ein Plateaubereich bei T T0 tritt auf. Erst wenn alle Phonon{Roton{
Zustande angeregt sind, wachst mit groer werdender Temperatur weiter an. In
der vorliegenden Arbeit wurde eine deutliche Verschiebung der Plateautemperatur
in Abhangigkeit von der Zusammensetzung der Probe und deren Kristallisationsgrad gefunden. In der Temperaturabhangigkeit anderer Transportgroen konnte ein
entsprechendes Verhalten nicht eindeutig festgestellt werden [42, 122].
Der Strukturfaktor an der Stelle Kpe (Abb. 3.3) wird mit wachsender Cu{Konzentration groer, was nach Beziehung (4.14) zu einer kleineren charakteristischen Tem-


KAPITEL 4. DISKUSSION DER WARMELEITF
AHIGKEIT
64
-1
z/ea
4
3
2
1
30
2
Tp / K
20
1
10
3
2
1/(S(Kpe )-1) / a.u.
Tp
1/S(Kpe )
1/(S(Kpe ) -1)
1/S(Kpe ) / a.u.
4
1
0
0
20
40
60
at% Cu
80
0
100
0
Abbildung 4.11: Darstellung des Zusammenhanges zwischen Plateautemperatur Tp und der charakteristischen Groen S (Kpe )?1
bzw. I (K )?1 = (S (Kpe ) ? 1)?1 der kollektiven Anregungen (S (Kpe )
wurde Abb. 3.3 entnommen).
peratur T0 der Phonon{Roton{Zustande fuhrt. Im Grenzfall einkristalliner Proben
und scharfer Reexe (Deltafunktionen) geht T0 ! 0, und die in Abbildung 4.10 schematisch dargestellte Dispersionsrelation geht in die bekannte Dispersionsrelation
kristalliner Materialien uber. Bei Strukturanderungen durch Kristallisation wird
S (Kpe ) ebenfalls groer, was erneut zu einer Verkleinerung von T0 fuhrt. Das Plateau sollte deshalb bei kleineren Temperaturen zu nden sein (Abb. 3.7 (c), 3.8 (a)
und 3.8 (b)). Beim U berwinden einer weiteren Kristallisationsstufe verschwindet das
Plateau ganz. In Abbildung 4.11 sind die Plateautemperaturen Tp und die aus Abbildung 3.3 nach Beziehung (4.14) gewonnenen Werte fur T0 in Abhangigkeit von
der Konzentration dargestellt. Es zeigt sich der gleiche Trend fur Tp und S (Kpe )?1.
Wird statt S (Kpe )?1 der reziproke Wert der Interferenzfunktion I (K ) = S (K ) - 1 an
der Stelle K = Kpe aufgetragen, so ist die U bereinstimmung uberraschend gut. In
[44] wurde gezeigt, da die Halbwertsbreite des Strukturpeaks bei Kpe proportional
zur Anregungsenergie h !0 der Phonon{Rotonen ist. Die Diskussion bleibt qualitativ
richtig, wenn die Halbwertsbreiten von I (Kpe) bestimmt werden. Die Interferenz-

4.5. WEITERFUHRENDE
EXPERIMENTE
65
funktion I (K ) beschreibt Abweichungen des Strukturfaktors von Eins und damit
von einem homogenen Medium. Damit erhalt I (K ) eine Bedeutung als "Strukturfaktor ohne homogenen Untergrund\. So kann I (Kpe) sehr gut mit der charakteristischen Anregungsenergie h !0 der Phonon{Rotonen und der Plateautemperatur in der
Warmeleitfahigkeit in Verbindung gebracht werden. In Abbildung 4.11 wurden die
Daten fur die getemperten Proben nicht eingetragen, da keine vergleichbaren Werte
fur S (K ) vorlagen. Mit Hilfe der Abbildungen 4.10 und 4.11 kann die gegenseitige
Beeinussung der statischen und dynamischen Struktur sowie des Elektronensystems qualitativ verstanden werden. Fur die Warmeleitfahigkeit bedeutet das, da
ein Plateau bei hoheren Temperaturen erwartet wird, wenn der Strukturfaktor an
der Stelle Kpe einen kleinen Wert hat. Fur sehr stabile amorphe Legierungen, d.h.
fur Systeme, die bei hohen Temperaturen kristallisieren (das ist meist bei z 1.8 e/a
der Fall), ndet man einen groen Wert fur S (Kpe) und damit ein Plateau bei sehr
kleinen Temperaturen.
Damit kann ahnlich wie fur die elektronischen Transportgroen Thermokraft und
Hallkoezient [36] auch fur die Warmeleitfahigkeit bei tiefen Temperaturen ein
Zusammenhang mit dem Strukturfaktor bzw. mit (S (K ) ? 1)?1 gefunden werden.
Die Erklarung der Thermokraftanomalien amorpher Edelmetall{Polyvalentmetall{
Legierungen bei tiefen Temperaturen uber die Hohe des Strukturfaktors an der Stelle
Kpe und die Wechselwirkung der Elektronen mit kollektiven Anregungen (Phonon{
Rotonen) [42, 55] ist ein Hinweis, da auch das Elektronensystem nicht auer acht
gelassen werden darf. Durch die Diskussion des Plateaubereiches in der Warmeleitfahigkeit amorpher Dielektrika, bei denen die Anomalie tatsachlich nur auf das
Phononensystem zuruckgefuhrt werden kann, liegt der Schlu nahe, da es sich bei
dem Plateaubereich in der Warmeleitfahigkeit amorpher Metalle ebenfalls um eine
phononisch induzierte Anomalie handelt. Durch die Schwierigkeiten in der Trennung
von Elektronen{ und Phononenbeitrag kann jedoch nicht ausgeschlossen werden,
da das Elektronensystem ebenfalls seinen Beitrag zum Plateaubereich liefert, da
die Elektronen mit den Phonon{Rotonen einen zusatzlichen Wechselwirkungspartner haben und durch diesen Wechselwirkungsmechanismus die Warmeleitfahigkeit
herabsetzt wird und eine schwachere Temperaturabhangigkeit zeigt.
4.5 Weiterfuhrende Experimente
In dieser Arbeit bestand die Hauptschwierigkeit darin, die Warmeleitfahigkeit getrennt nach Elektronen{ und Phononenbeitrag quantitativ zu beschreiben. Soll ein
Subsystem diskutiert werden, so mu das jeweils andere unter theoretischen Annahmen absepariert werden. Das WFL wird oft fur die Beschreibung des Elektronenbeitrages genutzt. Die Informationen uber die Wechselwirkungsmechanismen, vor
allem inelastische Streuprozesse und Wechselwirkungen der Elektronen mit NEA
bei tiefen Temperaturen, sind nicht ausreichend, um den Elektronenbeitrag zur
Warmeleitfahigkeit exakt zu beschreiben. Andererseits kann der Elektronenbeitrag
66


KAPITEL 4. DISKUSSION DER WARMELEITF
AHIGKEIT
nicht separat gemessen werden. Eine Ausnahme bildet dabei die Bestimmung der
Warmeleitfahigkeit supraleitender Materialien weit unter der U bergangstemperatur
zur Supraleitung. Im Falle der Supraleitung tragen die zu Cooperpaaren gebundenen Elektronen nicht zur Warmeleitfahigkeit bei, und entsprechend kann der Phononenanteil separat gemessen werden (vgl. Kap. 4.2.1). Dies gilt fur T Tc. Durch
ein uberkritisches Magnetfeld kann die Supraleitung unterdruckt werden, und der
Elektronenbeitrag addiert sich zu dem vorher bestimmten Phononenbeitrag. So sind
zumindest Aussagen uber den zusatzlichen Elektronenbeitrag bei tiefen Temperaturen moglich. Hier ist ein Ansatzpunkt fur weitere Experimente zu nden. U ber
die Untersuchung der Warmeleitfahigkeit mit und ohne uberkritischem Magnetfeld
kann zumindest der Tieftemperaturgrenzwert des Elektronenbeitrages abgeschatzt
werden. Dabei mu der Temperaturbereich der Messung auch im Hinblick auf eine Diskussion der TLS zu tiefen Temperaturen erweitert werden. Die Wechselwirkungsmechanismen zwischen Elektronen{ und Phononensystem mussen jedoch mit
berucksichtigt werden. Bei stark koppelnden Systemen, wie amorphem Cu{Sn auf
der Sn{reichen Seite (z gro) [26] treten zusatzliche Schwierigkeiten auf, die eine
Trennung der Warmeleitfahigkeit in Elektronen{ und Phononenanteil in Frage stellen. Eine quantitative Diskussion ist in diesem Fall kaum moglich. Warmeleitfahigkeitsdaten anderer amorpher Legierungen in Abhangigkeit von der Temperatur und
der Zusammensetzung werden zumindest qualitativ zum Verstandnis der Wechselwirkung der Phononen, Elektronen und niederenergetischen Anregungen beitragen.
Zusammenfassung
Die Voraussetzung fur die vorliegende Arbeit war die Weiterentwicklung einer stationaren Memethode von Volklein, bei der ein speziell dafur hergestelltes Substrat
genutzt wird. Ein schmaler Bolometerstreifen dient dabei als Heizer und gleichzeitig
als Thermometer. Bei Temperaturen T > 20 K kam ein Al{Bolometer zum Einsatz.
Durch die Nutzung eines halbleitenden Bolometermaterials aus Au20Ge80 konnte der
Einsatzbereich des Substrates bis zu tiefen Temperaturen (1.2 K) ausgedehnt werden. So waren erstmals Messungen dunner, in{situ praparierter Schichten (65 nm
bis 250 nm) im Temperaturbereich 1.2 K < T < 360 K moglich. Durch die ModikamK
tion der stationaren Memethode konnte der Probenhalter mit Heizraten < 100 min
erwarmt werden. Die Reproduzierbarkeit der Ergebnisse konnte durch die Messung
verschiedener Substrate bestatigt werden. Die Genauigkeit der Meergebnisse wurde
im Vergleich mit Literaturdaten nachgewiesen.
Es wurden Messungen der Warmeleitfahigkeit von amorphen und kristallisierten
CuxSn100?x{Schichten (0 x 100) durchgefuhrt. Zur Diskussion des elektronischen
Beitrages zur Warmeleitfahigkeit wurde der spezische elektrische Widerstand bestimmt. Dabei konnte das Wiedemann{Franz'sche Gesetz zur Abseparation der
Elektronenwarmeleitfahigkeit von der Gesamtwarmeleitfahigkeit nur begrenzt angewendet werden. Bei tieferen Temperaturen wird der nach dem allgemeinen Wiedemann{Franz'schen Gesetz berechnete Elektronenanteil groer als die Gesamtwarmeleitfahigkeit. Dieser Widerspruch verschwindet, wenn eine Lorenzzahl L(T ) L0 angenommen wird, wie sie fur amorphe Legierungen experimentell gefunden wurde.
Die exakte Temperaturabhangigkeit bleibt jedoch weiter unklar, da experimentelle
Daten nur im Bereich der Supraleitung uber "Ein{\ bzw. "Ausschalten\ des Elektronenbeitrages mit Hilfe uberkritischer Magnetfelder
zuganglich sind.
Die Phononenwarmeleitfahigkeit lat sich im Tieftemperaturbereich mit klassischen
Streuprozessen gut erklaren. Der Plateaubereich wird im Gegensatz zum ebenfalls
betrachteten Modell der Zwei{Niveau{Systeme und zum Soft{Potential{Modell direkt auf die Struktur und die daraus abzuleitende Dispersionsrelation der Phononen
zuruckgefuhrt. Die Anregung von Phonon{Roton{Zustanden mit einer Anregungsenergie h !0 bei Wellenzahlen, die dem Betrag des Streuvektors des elektronisch
induzierten Strukturpeaks im Strukturfaktor entsprechen, ist eine direkte Folge der
gegenseitigen Beeinussung von statischer, elektronischer und dynamischer Struktur
der vorliegenden amorphen Proben. Sie fuhrt zu einer resonanzartigen Wechselwirkung der Phonon{Roton{Zustande mit Debyephononen im Temperaturbereich des
Plateaus und damit zu einem zusatzlichen Streumechanismus, der die schwachere Temperaturabhangigkeit der Warmeleitfahigkeit im Plateaubereich erklart. Die
Plateautemperatur Tp skaliert mit dem reziproken Wert der Interferenzfunktion
I (K ) = S (K ) ? 1 an der Stelle K = Kpe des elektronisch induzierten Strukturpeaks
und verschiebt sich mit wachsender Cu{Konzentration zu tieferen Temperaturen.
Damit ordnet sich die Diskussion der Warmeleitfahigkeit gut in das Gesamtbild der
Beschreibung der Tieftemperaturanomalien von Transportgroen (z.B. S (T ), RH )
67
68
ZUSAMMENFASSUNG
uber die Struktur bzw. die Phonon{Roton{Zustande in der Phononendispersionsrelation ein.
Bei hoheren Temperaturen ist die Warmeleitfahigkeit naherungswiese proportional
zur Temperatur, da bei amorphen Metallen der Elektronenanteil uberwiegt. Die
Kristallisation der Proben zeigt sich vor allem im Elektronenbeitrag der Warmeleitfahigkeit. Im kristallisierten Zustand hangt die Warmeleitfahigkeit entscheidend
vom erreichten Kristallisationsgrad ab. Darin druckt sich die A nderung der mittleren freien Weglange der Elektronen aus. Bei Proben mit groer Cu{Konzentration
ist der Kristallisationsgrad am kleinsten. Deshalb tritt bei diesen Proben auch im
kristallisierten Zustand ein Plateaubereich auf, der jedoch im Vergleich zum amorphen Zustand zu tieferen Temperaturen verschoben ist. Das ist mit der Erhohung
des Strukturfaktors bei Kpe im kristallisierten Zustand und der Verkleinerung der
Anregungsenergie der Phonon{Roton{Zustande erklarbar.
Damit ist es moglich, die Verschiebung des Plateaubereiches bei A nderung der Zusammensetzung und bei Kristallisation auf Dierenzen bzw. A nderungen in der
Struktur zuruckzufuhren und qualitativ zu diskutieren. Durch die Untersuchung
weiterer amorpher Systeme des Typs Edelmetall{Polyvalentmetall mu die Gultigkeit dieser Interpretation bestatigt werden.
Eine erfolgversprechende Fortsetzung der vorliegenden Arbeit bestunde in der Erweiterung des Mebereiches zu tieferen Temperaturen und der Durchfuhrung von
Warmeleitfahigkeitsmessungen fur CuxSn100?x und andere supraleitende Legierungen im Magnetfeld, um genauere Informationen uber den Beitrag des Elektronensystems bei tiefen Temperaturen zu gewinnen. Damit konnten die Unsicherheiten bei
der Trennung von Elektronen{ und Phononenbeitrag zumindest bei tiefen Temperaturen beseitigt werden.
Anhang A
Phasendiagramm fur CuxSn100?x
Abbildung A.1: Phasendiagramm fur CuxSn100?x [123].
69
Anhang B
Phonon{Elektron{Wechselwirkung
In Kapitel 4.2.2 wurde bereits auf die adiabatische Naherung eingegangen. Die zu
erwartenden Temperaturabhangigkeiten (4.10) und (4.11) wurden dargestellt und
interpretiert. In diesem Abschnitt soll genauer auf einige Besonderheiten der Diskussion des Phononenbeitrages hingewiesen werden. In den Abbildungen B.1 und
B.2 wurde in den oberen Bildern die Temperatur, fur die qdom lEl = 1 ist, eingetragen. Oberhalb der Kurve gilt also qdom lEl > 1, unterhalb entsprechend qdom lEl < 1.
Zum Vergleich wurde der Bereich Tc < T < Tp eingetragen, in dem die Kurvenanpassung nach (4.11) bzw. (4.10) durchgefuhrt werden konnte. Fur den Fall der frisch
aufgedampften Proben ist nach diesem Bild fur reines Sn und Cu20Sn80 mit einer
quadratischen Temperaturabhangigkeit und fur die restlichen Proben mit einer linearen Temperaturabhangigkeit zu rechnen. Das bestatigt sich in Abbildung B.1 (b),
in der der Exponent n sowie der Vorfaktor D fur die Kurvenanpassung nach
?1
(B.1)
ges = L T + C 1T 2 + TDn
0
dargestellt ist. Dabei bezeichnet der erste Term den Elektronenbeitrag und der zweite den Phononenbeitrag, untergliedert in die Streuung an der strukturellen Unordnung und den Beitrag der Phonon{Elektron{Wechselwirkung. Es wurde versucht,
mit L = L0, dem gemessenen Restwiderstand 0 sowie C aus der Tieftemperaturanpassung fur T < Tc zu arbeiten. Nach Gleichung (B.1) wurden die amorphen Proben
bis 60 at% Cu untersucht, da fur groere Cu{Konzentrationen keine Informationen
zu C vorlagen. Fur hohere Cu{Konzentrationen wurde darauf verzichtet, einen einzigen eektiven Streuproze einzufuhren. Bei einer weiterhin getrennten Behandlung entsprechend (B.1) wurde eine Kurvenanpassung mit zu vielen Parametern die
Unsicherheit bei der Bestimmung jedes einzelnen Parameters erhohen.
70
71
-1
4
/K
a)
λ
1
~T
2
EPWW
El
l =1)
2
frisch aufgedampft
Ph
10
z/ea
3
λ
T(q
dom
Ph
~T
EPWW
obere Fitgrenze
untere Fitgrenze
1
0
20
b)
40
60
80
100
D (frisch aufgedampft)
D (Theorie)
10
2
2
10
1
1
n
-1
D/Wm K
-(1+n)
n (frisch aufgedampft)
0
20
40
60
at% Cu
80
100
Abbildung B.1: Fur die frisch aufgedampften Proben wurden der
Verlauf der Temperatur, fur die qdom lEl = 1 gilt (a), und die nach
(B.1) fur den in (a) eingetragenen Temperaturbereich erhaltenen
Fitparameter D und n (b) aufgetragen. Die theoretischen Werte
wurden nach (4.11) berechnet.
ANHANG B. PHONON{ELEKTRON{WECHSELWIRKUNG
72
-1
4
z/ea
3
a)
2
1
10
dom
El
l =1)
/K
kristallin
λ
T(q
Ph
~T
2
EPWW
λ
Ph
obere Fitgrenze
~T
EPWW
untere Fitgrenze
1
0
20
40
60
80
100
D (kristalline Probe)
D (getemperte Probe)
b)
n (kristalline Probe)
n (getemperte Probe)
-1
-(1+n)
10
2
n
-1
D/Wm K
auf T=500 K
getempert
1
-2
10
auf T=500 K
getempert
0
20
40
60
at% Cu
80
100
Abbildung B.2: Fur die kristallisierten Proben wurden der Verlauf
der Temperatur, fur die qdom lEl = 1 gilt (a), und die nach (B.1)
fur den in (a) eingetragenen Temperaturbereich erhaltenen Fitparameter D und n (b) aufgetragen.
73
-1
3.0
4
3
z/ea
2
1
L0
2.0
-8
L / 10 W Ω K
-2
2.5
1.5
1.0
0.5
frisch aufgedampft
kristallisierte Probe
0
20
40
60
at% Cu
80
100
Abbildung B.3: Eektive Lorenzzahl L aus der Kurvenanpassung.
In Abbildung B.1 (b) ist der nach (4.10) berechnete theoretische Wert mit eingezeichnet, der um einen Faktor 1 bis 6 unter den experimentellen Daten liegt. Abweichungen dieser Groenordnung wurden bereits von anderen Autoren gefunden
[20, 63]. Als Grund ist anzugeben, da durch die Dominant{Phonon{Approximation
der Gesamtwarmewiderstand der Phononen durch die Frequenzabhangigkeit der
mittleren freien Weglange der Phononen fur die unterschiedlichen Streuprozesse unterbestimmt ist [20] und damit der theoretische Wert eine untere Grenze fur den
Elektron{Phonon{Streukoezienten D liefert. In Abbildung B.1 (b) sind nur Werte fur D vergleichbar, die bei gleichem Exponenten n erhalten wurden. Die durch
D charakterisierte Elektron{Phonon{Wechselwirkung ist im Stabilitatsbereich der
amorphen Phase fur alle Konzentrationen bis auf einen Faktor 2 gleich. Teilweise
mute mit L 6= L0 ein weiterer Parameter eingefuhrt werden, der eine eektive, in
diesem Fall temperaturunabhangige Lorenzzahl (vgl. Kap. 4.1) reprasentiert und
in Abbildung B.3 dargestellt ist. Abweichungen von L0 treten bei allen amorphen
Proben auf.
Die Analyse der kristallisierten Proben wurde mit einer leicht modizierten Gleichung (B.1) durchgefuhrt, indem der Term fur die strukturelle Unordnung weggelas-
74
ANHANG B. PHONON{ELEKTRON{WECHSELWIRKUNG
sen und statt dessen ein eektiver dominierender Streuprozess TDn angenommen
wurde. Darunter leidet die Vergleichbarkeit mit dem amorphen Zustand, die grundlegenden Beitrage zur Warmeleitfahigkeit konnen jedoch gut verstanden werden.
In Abbildung B.2 (b) sind die Werte fur D und n unter den oben angegebenen Bedingungen fur die kristallisierten Proben dargestellt. Bei einem Exponenten n = 2
ist Gleichung (B.1) noch exakt erfullt, es wird jedoch nicht zwischen C und D unterschieden. Fur die Proben mit 50 at% bis 80 at% Cu, die einen niedrigen Kristallisationsgrad aufweisen, ist die Beschreibung mit einem Exponenten n < 2 am besten, wie
es nach Abbildung B.2 (a) erwartet wird. Bei weiterem Tempern der Probe ist n = 2
zu erwarten. Fur die Cu60Sn40{Probe wird genau dieses Verhalten beobachtet. In
diesem Bereich sind die Werte fur D nicht untereinander vergleichbar, da sie fur unterschiedliche Exponenten n erhalten wurden. Auch bei den kristallisierten Proben
mit groem z wird eine eektive Lorenzzahl L 6= L0 gefunden (vgl. auch die Trennung von Phononen{ und Elektronenbeitrag in Kap. 4.1.3). Damit bestatigt sich,
da bei tiefen Temperaturen das WFL in der Form von Gleichung (4.2) nicht anwendbar ist und seine Grenzen hat. Inelastische Streuprozesse mussen oensichtlich
mit berucksichtigt werden, was quantitativ schwierig ist.
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Selbstandigkeitserklarung
Hiermit versichere ich, da die Dissertation von mir selbstandig und nur unter Verwendung der angegebenen Quellen und Hilfsmittel angefertigt wurde.
Chemnitz, den 5. Juni 1998
Ralf Schmidt
81
Thesen
Das Legierungssystem Cu{Sn zeigt in der Warmeleitfahigkeit bei tiefen Temperaturen mit dem T 2{Anstieg und dem Bereich verminderter Temperaturabhangigkeit (Plateau) die typischen Eigenschaften amorpher Systeme.
Bei CuxSn100?x handelt es sich um ein Metall, bei dem der Beitrag der Elektronen zur Gesamtwarmeleitfahigkeit etwa 90% betragt.
Das Wiedemann{Franz'sche Gesetz ist bei tiefen Temperaturen aufgrund star-
ker Elektron{Phonon{Kopplung und inelastischer Streuprozesse nur bedingt
anwendbar.
Die Kristallisation der Proben auert sich vor allem in einem Anstieg der
Elektronenwarmeleitfahigkeit.
Der Verlauf der Warmeleitfahigkeit lat sich bis auf den Plateaubereich gut
mit klassischen Streuprozessen erklaren.
Das Plateau in der Warmeleitfahigkeit wird auf die Wechselwirkung der dy-
namischen, statischen und elektronischen Struktur zuruckgefuhrt. Es wird im
Zusammenhang mit Phonon{Roton{Zustanden diskutiert, deren charakteristische Anregungsenergie vom Strukturfaktor abhangt. Dabei wird eine Proportionalitat zwischen der Temperatur, bei der das Plateau auftritt und dem
reziproken Wert der Interferenzfunktion an der Stelle des elektronisch induzierten Strukturpeaks festgestellt.
Der Plateaubereich tritt sowohl bei amorphen Proben als auch bei schlecht
ausgeheilten kristallinen Proben auf. Er verschiebt sich nach der Kristallisation zu kleineren Temperaturen, was direkt auf die Erhohung des Strukturfaktors im kristallisierten Zustand zuruckzufuhren ist.
82
83
Danksagung
An dieser Stelle mochte ich all jenen danken, die zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben.
Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr. P. Haussler, der diese Arbeit ermoglicht
hat. Durch seine Arbeiten schuf er die Voraussetzungen zur komplexen Interpretation der Ergebnisse der Warmeleitfahigkeit tiefer Temperaturen. Seine Erfahrung
und sein jederzeit zur Verfugung stehender Rat trugen zum Fortgang und zum
Gelingen dieser Arbeit wesentlich bei.
Herr Prof. Dr. F. Volklein (Fachhochschule Wiesbaden) legte durch seine Arbeiten
den Grundstein fur die dieser Arbeit zugrundeliegenden Memethode. Er stellte in
der Anfangsphase der Arbeit die Substrate zur Verfugung und forderte die Erweiterung der Memethode zu tiefen Temperaturen mit zahlreichen Vorexperimenten
und Diskussionen. Dafur mochte ich ihm danken.
Den Mitarbeitern des Zentrums fur Mikrotechnologie an der TU Chemnitz, vor allem
aber Herrn N. Zichner mochte ich fur die schnelle und exakte Herstellung der Substrate danken. Sie sind als wesentlicher Bestandteil der experimentellen Hardware
Voraussetzung zur erfolgreichen Messung der Warmeleitfahigkeit dunner Schichten.
In diesem Zusammenhang mochte ich auch Herrn Dr. G. Beddies danken, der die
Bolometeratzung der Tieftemperatursubstrate durchfuhrte.
Ohne die tatkraftige Unterstutzung und ausgezeichnete Arbeit der physikalischen
Werkstatt mit ihrem Team um Herrn S. Arnold ware die Durchfuhrung einer solchen Arbeit undenkbar. Ich erinnere dabei an die vielen kleinen Dinge, angefangen
beim Probenhalter bis hin zum besonderen Tragring, die besonderen Anforderungen
genugen mussen, meistens Spezialanfertigungen darstellen und moglichst gestern
fertig sein sollten. Dafur mochte ich dem ganzen Werkstatteam danken.
Bei Frau Ch. Friedemann, Herrn W.{H. Liner und Herrn M. Fischer mochte ich
mich fur die teils auch kurzfristige Bereitstellung des ussigen Heliums bedanken.
Sie garantierten damit einen reibungslosen Ablauf der Mereihen.
Bei Mr. Bhuiyan mochte ich mich fur die Rechnungen zur Interpretation der Phononenwarmeleitfahigkeit im Rahmen des TLS{Modell bedanken.
Herrn Dr. Th. Franke, Herrn Dr. Ch. Lauinger und Herrn Dr. R. Haberkern sowie allen anderen Mitarbeitern der Professur "Physik dunner Schichten\ mochte ich fur
ihre Hilfsbereitschaft und die vielen Diskussionen und Anregungen im Zusammenhang mit dieser Arbeit danken. Sie alle trugen mit auockernden Gesprachen am
Mittagstisch und in der Kaeerunde zu einer freundschaftlichen Arbeitsatmosphare
bei.
Last but not least mochte ich mich ganz ~lich bei meiner Familie fur ihre Geduld
und Unterstutzung bedanken. Das schliet auch meinen Sohn Robert ein, der viel
Verstandnis aufbringen mute, wenn Papi immer nur am Computer "spielte\.
Lebenslauf
25. 11. 1967
Schulbildung
1974 bis 1982
1982 bis 1986
7/1986
Tatigkeiten vor dem Studium
9/1986 bis 10/1986
11/1986 bis 3/1988
4/1988 bis 7/1988
Studium
1988 bis 1991
6/1991 bis 9/1991
1991 bis 1993
9/1992 bis 7/1993
7/1993
seit 10/1993
Geboren in Karl{Marx{ Stadt (Chemnitz)
Allgemeinbildende Polytechnische Oberschule in Karl{Marx{Stadt
Erweiterte Oberschule mit verstarktem neusprachlichem Unterricht in Karl{Marx{Stadt
Abitur (Mit Auszeichnung)
Praktikum im Kombinat Robotron in Karl{
Marx{Stadt
Wehrdienst
Fortsetzung des Praktikums bei Robotron
Physikstudium an der Universitat Rostock
Praktikum bei Dornier in Friedrichshafen
Fortsetzung des Physikstudiums an der TU
Chemnitz
Diplomarbeit bei Dornier in Friedrichshafen,
Thema: Aufbau und experimentelle Untersuchung einer magneto{optischen Auslesevorrichtung fur supraleitende Schaltkreise
Diplom (Sehr gut)
Wissenschaftlicher Mitarbeiter an der Professur "Physik dunner Schichten\ an der TU
Chemnitz
84