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Grundkurs Optik II: Wellenoptik
Norbert Lindlein
Institut für Optik, Information und Photonik
Universität Erlangen-Nürnberg
Staudtstr. 7/B2, D-91058 Erlangen
Wellenoptik
Institut für Optik,
Information und
N. Lindlein
Photonik
1
Motivation
Das Erscheinungsbild von Licht/elektromagnetischer Strahlung kann je nach
Anwendung sehr unterschiedlich sein:
Lichtstrahlen: Im Alltag (Wellenlänge  klein verglichen mit der Größe beugender
Strukturen wie Blenden, etc.) kann Licht oft durch Strahlen repräsentiert werden 
Geometrische Optik (siehe Grundkurs Optik I)
Teilchencharakter: Schon Sir Isaac Newton (1642-1727) behauptete, dass Licht
aus kleinen Teilchen besteht. Beugungseffekte waren damit aber nicht erklärbar.
Seit Einstein‘s Photonentheorie (1905 Erklärung des Photoeffekts, dafür erhielt
Einstein im November 1922 den Nobelpreis für 1921) spricht man Licht wieder
eine Art Teilchencharakter zu. Allerdings sollte man sich Photonen nicht wie
„kleine feste Kügelchen“ vorstellen!  Quantenoptik (siehe Grundkurs Optik III)
Wellencharakter: Phänomene wie Beugung und Interferenz von kohärentem Licht
sind nur durch eine Wellentheorie erklärbar (Huygens, Young, Fresnel, Maxwell).
 Wellenoptik (Thema des vorliegenden Grundkurses Optik II)
Daraus folgt dann auch im Grenzfall 0 wiederum die geometrische Optik.
Wellenoptik
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Photonik
2
Motivation
Inhaltsübersicht:
• Maxwell-Gleichungen und Wellengleichung
• Polarisation
• Interferenz
• Beugung
• Fourier-Optik
• Gauß Strahlen
• Holographie
• Dünne Filme und Fresnel-Gleichungen
• Kohärenz
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Photonik
3
Kapitel 1: Grundlagen:
Maxwell Gleichungen, Zeitharmonische
Wellen, Poynting Vektor, Wellengleichung,
Helmholtz-Gleichung
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4
Maxwell Gleichungen
Wellenoptik
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5
Maxwell Gleichungen
Im folgenden benutzte Symbole:
E: elektrische Feldstärke (Einheit: 1 V/m)
D: elektrische Verschiebungsdichte (Einheit: 1 A s/m2)
H: magnetische Feldstärke (Einheit: 1 A/m)
B: magnetische Induktion (Einheit: 1 V s/m2=1 T)
j: elektrische Stromdichte (Einheit: 1 A/m2)
: (freie) elektrische Ladungsdichte (Einheit: 1 A s/m3)
r: Ortsvektor (Einheit: 1 m)
t: Zeit (Einheit: 1 s)
Nabla Operator (Einheit 1/m)
Wellenoptik
  / x 


    / y 
  / z 


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6
Maxwell Gleichungen
Maxwell Gleichungen
 Br , t 
  E r , t   
t
Faraday‘s Induktionsgesetz
(Wirbel des elektrischen Feldes entstehen
durch zeitliche Änderung des Magnetfeldes)
 Dr , t 
  H r , t  
 j r , t 
t
Ampère‘sches Gesetz + Maxwell‘s
Erweiterung
  Dr , t    r , t 
Gesetz von Gauß
  Br , t   0
Gauß Gesetz für Magnetismus
Wellenoptik
(elektrische Ströme erzeugen Magnetfeld +
Maxwell‘scher Verschiebungsstrom  D / t )
(elektrische Ladungen sind Quellen des
elektrischen Feldes)
(es gibt keine „magnetischen Ladungen“)
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7
Maxwell Gleichungen
Materialgleichungen allgemein:
Inhalt des Grundkurses
Optik IV: Nichtlineare Optik
D(r , t )   0 E (r , t )  P (r , t )
3
3
3
Pi (r , t )  Pi , 0 (r , t )   0   (r , t )E j (r , t )    ijk( 2 ) el (r , t ) E j (r , t ) Ek (r , t )  ...
j 1
j 1 k 1

 


(1) el
ij
lineare elektrische Effekte
Matrix wird zu Produkt von Skalar el bzw.
magn und Einheitsmatrix  isotrope Medien
B(r , t )  0 H (r , t )  M (r , t )
3
nichtlineare elektrische Effekte
3
3
M i (r , t )  M i ,0 (r , t )   0  
(r , t )H j (r , t )    ijk( 2) magn (r , t ) H j (r , t ) H k (r , t )  ...
j 1
j 1 k 1

 



(1) magn
ij
lineare magnetische Effekte
nichtlineare magnetische Effekte
Im ganz allgemeinen Fall müsste man auch noch annehmen, dass die
elektrische Polarisation P und die Magnetisierung M auch vom elektrischen bzw.
magnetischen Feld zu früheren Zeitpunkten t‘=t-t abhängen.
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Maxwell Gleichungen
Materialgleichungen (für lineare und isotrope Materialien):
Dr , t    r  0 E r , t 
Br , t    r  0 H r , t 
Oft: =1!
: dielektrische Funktion
(dimensionslos),   1   el
0=8.8542.10-12 A s V-1 m-1
: magnetische Permeabilität
(dimensionslos),   1   magn
0=4.10-7 V s A-1 m-1
j r , t    r E r , t 
: spezifische Leitfähigkeit
(Einheit: 1 A V-1 m-1)
=0  Dielektrika, ≠0  leitfähig, z.B. Metalle
Materialparameter werden auch nicht explizit von der Zeit abhängig angenommen!
Allerdings Abhängigkeit von der Frequenz/Wellenlänge des Lichts (Dispersion)!
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Maxwell Gleichungen
Ein paar allgemeine Anmerkungen:
Kontinuitätsgleichung der Elektrodynamik:
Wegen
    H   0 folgt aus der zweiten und dritten Maxwell-Gleichung:
 D
 
0      H     
 j
 j 
 t
 t
Integration über ein Volumen V bzw. dessen geschlossene Oberfläche A liefert
mit Hilfe des Gauß‘schen Satzes:

V t dV  V   j dV  A j  dA
Q

  I net
t
Wellenoptik
Q: elektrische Ladung im Volumen V
Inet: Netto-Strom, der aus dem Volumen V heraus fließt
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Maxwell Gleichungen
Energieerhaltung in der Elektrodynamik:
„E . 2.Maxwell-Gleichung - H . 1.Maxwell-Gleichung“ ergibt:
B
D
E jH 
E    H   H    E   E 
t
t
Mit Poynting  Vektor S : E  H 
B 
 D
  S    E  H   E    H   H    E    E 
E jH 

t
t 

Der Poynting-Vektor S ist als Kreuzprodukt sowohl senkrecht zum elektrischen als
auch magnetischen Feld. Seine Einheit ist die einer Intensität (Leistung pro Fläche):
[S]=1 V m-1 . A m-1=1 VAm-2=1 W/m2
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Maxwell Gleichungen
Energieerhaltung in der Elektrodynamik für den Spezialfall
isotroper Dielektrika: =0 und j=0
Wegen
Dr , t    r  0 E r , t  und Br , t    r  0 H r , t 
und der Äquivalenz für die Vakuumlichtgeschwindigkeit c
c
folgt:
1
 0 0
 2.99792458 108 m/s
B 
E
H 
 D

  S   E 
E jH 
 0  H 
    0 E 

t
t 
t
t 




1 
 0 E  E  0  H  H  :  we  wm  :  w

t
t
2 t
1
1
mit we :  0 E  E  wm :  0  H  H  w : we  wm
2
2
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Maxwell Gleichungen
Die Einheiten der Größen we und wm sind:
[we]=[0][E]2=1 A s V-1 m-1 V2 m-2=1 Ws m-3=1 J/m3
[wm]=[][H]2=1 V s A-1 m-1 A2 m-2=1 Ws m-3=1 J/m3
Es sind also Energiedichten (Energie pro Volumen).
we: Energiedichte des elektrischen Feldes
wm: Energiedichte des magnetischen Feldes
w: Energiedichte des elektromagnetischen Feldes
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Maxwell Gleichungen
Integration der Divergenz des Poynting-Vektors über ein Volumen V
(begrenzt durch geschlossene Oberfläche A) liefert:
Pnet :  S  dA     S dV   
A
V
V


w dV    w dV
t
t V
S
dA
surface
area A
volume V
Deutung: Pnet ist die Nettosumme der elektromagnetischen Leistung, die durch
die geschlossene Oberfläche A fließt (=Differenz zwischen der Leistung, die
heraus fließt, und der Leistung, die hinein fließt). Auf der rechten Seite der
Gleichung steht die zeitliche Änderung der im Volumen V enthaltenen
elektromagnetischen Energie. Fließt also Energie durch die Oberfläche heraus, so
muss sich der Energieinhalt im Volumen entsprechend verringern (deshalb
Minuszeichen)!
Definitionen der Größe ExH als Poynting-Vektor (=Vektor, der den Energiefluss
einer Welle angibt) und der Größe w als elektromagnetische Energiedichte sind
also sinnvoll und in sich stimmig.
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Wellengleichung in homogenen Dielektrika
Wellenoptik
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Wellengleichung in homogenen Dielektrika
Im Folgenden wird der in der Praxis sehr wichtige Fall homogener und isotroper
Dielektrika (fast alle Gläser, Luft mit konstanter Temperatur und Druckverteilung,
Vakuum) behandelt.
Dann gilt =0, j=0 und durch Einsetzen der Materialgleichungen ergeben sich
folgende Vereinfachungen der Maxwell-Gleichungen:
 H r , t 
  E r , t     0 
t
 E r , t 
  H r , t    0
t
  E r , t   0
Die Gleichungen sind also
symmetrisch, wenn man E mit H und
gleichzeitig 0 mit –0 vertauscht!
  H r , t   0
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Wellengleichung in homogenen Dielektrika
Allgemein gilt für ein beliebiges Vektorfeld E die folgende Vektoridentität:
    E     E      E    E    E
Der Laplace-Operator  :  2 / x 2   2 / y 2   2
Komponente des Vektors E angewandt werden!
/ z 2 muss dabei auf jede
Aus der ersten und dritten Maxwell-Gleichung homogener Dielektrika folgt also:
H

    E    E    0   
   0    H 
t
t
Durch Einsetzen der zweiten Maxwell-Gleichung kann das magnetische Feld
eliminiert werden:

E 
2 E
  E    0    0
   E   0  0 2  0
t 
t 
t
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Wellengleichung in homogenen Dielektrika
Unter Verwendung der folgenden Beziehung bzw. Definition der Brechzahl n in
homogenen Dielektrika folgt schließlich die Wellengleichung in homogenen
Dielektrika:
1
 0  0  2  n : 
c
n2  2 E
 E  2 2  0
c t
Wegen der vorhin erwähnten Symmetrie der Maxwell-Gleichungen bei
Vertauschung von E mit H und gleichzeitig 0 mit –0 gilt eine analoge Gleichung
auch für das magnetische Feld:
n2  2 H
H  2
0
2
c t
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Planwellen in homogenen Dielektrika
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Planwellen in homogenen Dielektrika
Eine Lösung der Wellengleichung in homogenen Dielektrika ist:
E r , t   f e  r  vt 
Phasengeschwindigkeit v:=c/n
H r , t   g e  r  vt 
Einheitsvektor e
mit ex2  e y2  ez2  1
Nachweis:
u : e  r  vt  ex x  e y y  ez z  vt
 Ex 
2
2




d
d
f
u
f u 

 

2
2
2

  E   2  2  2  E y   ex  e y  ez
2
2
d
d
x
y
z
u
u



 E 

 z
2
2
d
f u 
 E
2
v
2
t
du 2
Analoges gilt für H.
1 2 E
 E  2 2  0
v t
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Wellenoptik
2
2


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Planwellen in homogenen Dielektrika
Eine Welle der Form E r , t   f e  r  vt 
t=t0
t=t0+Dt
H r , t   g e  r  vt 
heißt ebene Welle, da die Wellenfronten (=Flächen mit
konstantem Wert u) Ebenen sind.
Wellenfront:
vDt
e
u  e  r  vt  constant
Die Wellenfronten bewegen sich mit der Geschwindigkeit v
in Richtung des Einheitsvektors e, wenn man das obere
„negative Vorzeichen“ verwendet.
r
O
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t
e. r=v 0
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Planwellen in homogenen Dielektrika
Orthogonalitätsbedingung für Planwellen in homogenen Dielektrika:
Hierzu müssen wir wieder die Maxwell-Gleichungen betrachten, da diese das
elektrische und magnetische Feld miteinander verknüpfen, während die
Wellengleichung beide Felder separiert hatte.
Aus der Gleichung für unsere allgemeine ebene Welle folgt (nur oberes
Vorzeichen wird verwendet, damit die Ausbreitung in Richtung e erfolgt):
E r , t   f e  r  vt 

  E x
df
E
 v
du
t
df y
 df
E z E y df z



ey 
ez   e 
du
du
du
y
z

df

    E  e 
du
x
Eine analoge Gleichung gilt für H, indem man f mit g ersetzt.
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Planwellen in homogenen Dielektrika
Die erste und zweite Maxwell-Gleichung liefert dann:
dg
df
 H r , t 
  0 v
e
  E r , t     0 
t
du
du

 E r , t 
df
dg
  H r , t    0
  0v
e
t
du
du
Integration beider Gleichungen nach u (Integrationskonstante Null gesetzt):
0 
E f 
e H
 0
1
c
v 

n
 0
 00 
Hg
e E
0 
Beide Gleichungen können nur gleichzeitig erfüllt sein, wenn e, E und H ein
orthogonales Dreibein von Vektoren bilden!  Ebene Wellen in homogenen
Dielektrika sind immer Transversalwellen!
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Planwellen in homogenen Dielektrika
Poynting-Vektor einer ebenen Welle in homogenen Dielektrika

   0



0
S  E  H   
e  H   
e  E   e  H   E e  e  H   eE 





0
0

 

0
 0
E  E e
 e  H   E e 
0 
Aufgrund der Eigenschaften eines Spatprodukts bzw. Vektorprodukts gilt aber auch:
0 
H  H e
S  e  H   E e  E  e   H e  e  E   H e 
 0
0  2
 0 2
2
2
H
E
2
w
H
E








 2 we
Also gilt auch:
m
0
0
 0
0 
 we  wm 
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1
2
2
w  w   0 E   0  H
2
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Planwellen in homogenen Dielektrika
Wegen der Definition der Phasengeschwindigkeit v kann der Poynting-Vektor einer
ebenen Welle aber auch folgendermaßen geschrieben werden:
 0 2
0  2
2
2
S
E e  v 0 E e 
H e  v 0  H e  vwe
0 
 0
Anschauliche Interpretation: Poynting-Vektor beschreibt
Energietransport der elektromagnetischen Welle.
Energiedichte w breitet sich bei einer ebenen Welle längs
des (Einheits-) Vektors e mit der Phasengeschwindigkeit v
aus (Illustration siehe Grafik).
dz
A
S
Zylindervolumen mit Fläche A und Dicke dz enthält Energie dW=wAdz. Strecke dz
wird mit der Geschwindigkeit v im Zeitintervall dt durchlaufen.  Für die Intensität I
auf der Querschnittsfläche A senkrecht zur Strahlrichtung gilt:
dW wA dz wAv dt
I


 wv  S
A dt
A dt
A dt
Wellenoptik
Betrag des Poynting-Vektors ist
also wirklich die Intensität senkrecht
zur Ausbreitungsrichtung.
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Planwellen in homogenen Dielektrika
Die Intensität (genauer: Bestrahlungsstärke) auf einer Fläche, deren Normale in
Richtung N≠±e zeigt (|N|=1) und einen Winkel  mit der Ausbreitungsrichtung hat,
ist geringer, da der Flächeninhalt der geneigten Fläche um 1/cos vergrößert wird:
dW
dW
dW
I


cos   S cos   S  N
A' dt Adt / cos  Adt
Anmerkung: Die Interpretation, dass die Welle sich mit der Phasengeschwindigkeit
ausbreitet, ist natürlich mit Vorsicht zu betrachten, da die Brechzahl n für spezielle
Fälle (z.B. bei Röntgenstrahlung) auch kleiner als 1 sein kann. Dann ist die
Phasengeschwindigkeit v=c/n größer als die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, was
natürlich nicht erlaubt ist, falls damit ein Signal übertragbar wäre. Eine ebene Welle
ist aber unendlich ausgedehnt, so dass es sie in der Realität streng genommen nicht
gibt, und mit der Wellenfront kein Signal übertragen wird. Man müsste also für die
Signalübertragung ein Wellenpaket nehmen, und dort ist die Gruppengeschwindigkeit entscheidend.
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Planwellen in homogenen Dielektrika
Linear polarisierte zeitharmonische ebene Welle:
Bisher wurde ebene Welle relativ allgemein definiert und Funktionen f und g nicht
weiter spezifiziert. Wichtiger Fall sind aber periodische Funktionen wie cos und sin
und eine linear polarisierte Welle (d.h. elektrisches und magnetisches Feld
schwingen nur in einer Ebene, die die Ausbreitungsrichtung enthält).
 2 n 
 2 n
e  r  vt 
E r , t   E 0 cos
u   E 0 cos
  
 

 2 n 
 2 n
e  r  vt 
H r , t   H 0 cos
u   H 0 cos
  
 

Bei zeitharmonischer Welle reproduziert sich Funktionswert nach Periode T:
 2 n

 2 n
e  r  vt  T   E 0 cos
e  r  vt   E r , t 
E r , t  T   E 0 cos
 

 


2 n

vT  2  vT 
bzw. cT  
n

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Planwellen in homogenen Dielektrika
/n ist also die Strecke, die eine Wellenfront in der Schwingungsperiode T
zurücklegt, und damit gleich die Wellenlänge im Medium mit Brechzahl n.
 selbst ist die zugehörige Vakuum-Wellenlänge.
Weitere wichtige Größen sind:
Schwingungsfrequenz : =1/T
Kreisfrequenz : =2=2/T
Wellenvektor k (oft auch etwas lax „k-Vektor“ genannt): k=(2n/)e
Es gelten die Beziehungen:
cT    c 
2

T
 
c
  2 
c  k  kv

n
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Planwellen in homogenen Dielektrika
Die Gleichungen für das elektrische und magnetische Feld nehmen dann auch die
bekannte Form an:
E r , t   E 0 cosk  r  t 
H r , t   H 0 cosk  r  t 
Es soll noch gezeigt werden, dass diese beiden Gleichungen tatsächlich die
Maxwell-Gleichungen erfüllen und nicht etwa das Magnetfeld eine Phasenverschiebung relativ zum elektrischen Feld aufweisen (also z.B. cos durch sin
ersetzt werden) müsste. Erste Maxwell-Gleichung in homogenen Dielektrika liefert:
  E    E 0 cosk  r  t    cosk  r  t  E 0   k  E 0 sin k  r  t 
 0 
H
  0  H 0 sin k  r  t 
t
  0  H 0  k  E 0  H 0 
Wellenoptik

n
 0
k  E0 
e E0 
e E0
2c 0 
c 0 
0 
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Planwellen in homogenen Dielektrika
Dritte Maxwell-Gleichung in homogenen Dielektrika liefert:
  E    E 0 cosk  r  t   E 0   cosk  r  t    E 0  k sin k  r  t   0
 E0  k  0
Die beiden Maxwell-Gleichungen sind also erfüllt, wenn wiederum e (bzw. k), E0
und H0 ein orthogonales Dreibein von Vektoren, d.h. paarweise senkrecht
zueinander, sind. Die anderen beiden Maxwell-Gleichungen in homogenen
Dielektrika sind wegen der Symmetrie in E und H auch erfüllt.
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Komplexe Darstellung zeitharmonischer
elektromagnetischer Wellen
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Komplexe Darstellung zeitharmonischer Wellen
Komplexe Darstellung:
Das elektrische und magnetische Feld als physikalisch messbare Größen müssen
reell sein, weshalb wir die Darstellung zeitharmonischer Wellen mit der cosFunktion (oder sin-Funktion) gewählt haben.
Allerdings ist es mathematisch gesehen in der Praxis günstiger, komplexe
Exponentialfunktionen zu verwenden, wobei nur der Realteil physikalische
Bedeutung hat. Wir dürfen Operationen mit den komplexen Funktionen
durchführen, solange lineare Operationen durchgeführt werden!
Beispiele für lineare Operationen sind Addition, Subtraktion, Differentiation oder
Integration.
Die Maxwell-Gleichungen z.B. beinhalten nur lineare Operationen, solange wir nur
lineare Effekte in Materialien betrachten.
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Einschub zur Linearität von Materialien
Kurze Abschätzung zur Linearität von Materialien
Die Größenordnung des elektrischen Feldes, mit dem ein Elektron in einem Atom gebunden
ist, kann am Beispiel des Wasserstoffatoms abgeschätzt werden:
E E 
e
4 0 r
19
10
,
Elementarl
adung
e

1
.
6022

10
As,
Abstand
vom
Kern
r

0
.
5

10
m,
2
ε0  8.8542 10 12 AsV -1m -1  E  6 1011 V/m
Beim Poynting-Vektor einer ebenen Welle hatten wir gesehen, dass (im Vakuum) gilt:
I  S  c 0 E
2
Anmerkung: Dies ist die zeitabhängige Formel. Beim Zusammenhang Zeitmittelwert der Intensität und Maximum der elektrischen
Feldstärke muss rechts noch ein Faktor ½ stehen.
Beispiele:
Direkte Sonneneinstrahlung:
S  1 kW/m 2  E  600 V/m
Im Fokus eines 1 W CW-Lasers: S  1 W/ 1 µm 2  1012 W/m 2  E  2 10 7 V/m
Die Feldstärken sind also i.a. klein gegenüber den Feldstärken im Atom, so dass nur kleine
Auslenkungen auftreten und der Effekt linear sein sollte. Aber Vorsicht bei Ultrakurzpulslasern! Dort kann die Feldstärke deutlich höher als im H-Atom sein!  Starke nichtlineare
Effekte!
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Komplexe Darstellung zeitharmonischer Wellen
Allgemeine zeitharmonische Welle:
Bisher hatten wir nur den Spezialfall von Planwellen als konkrete Form einer
Welle behandelt. Eine deutlich verallgemeinerte zeitharmonische Welle hat
folgende Form:
 E0, x r  expir   it  i e , x 
 E0, x r  cos r   t   e , x 




E r , t    E0, y r  cos r   t   e , y   Re E0, y r  expir   it  i e , y  
 E r  cos r   t    
 E r  expir   it  i  
e, z 
e, z 
 0, z
 0, z




i e , x



E
r
e

 0, x


i e , y
i  r  it 
 Re E0, y r e e e   Re Eˆ 0 r ei r e it

 E r ei e ,z 
z
0
,






 Eˆ 0  r 


 ist die Phase der Welle, so dass die Flächen mit konstantem  die Wellenfronten
darstellen. Ê 0 ist ein komplexwertiger Vektor, der relative Phasen e,i der
Komponenten zueinander enthält und sich nur langsam mit dem Ort ändert.
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Komplexe Darstellung zeitharmonischer Wellen
Noch kompakter kann man eine zeitharmonische Welle schreiben als:

E r , t   Re Eˆ r e  it

Hier ist Ê r  wie schon vorher ein komplexwertiger, nun aber allgemein vom Ort
abhängiger Vektor. Im Prinzip könnte also jede Komponente eine andere
funktionale Ortsabhängigkeit haben. Nur gäbe es dann keine eigentliche
Wellenfront mehr, so dass sinnvollerweise wie vorher gelten sollte:
Eˆ r   Eˆ 0 r ei r 
Hier ergibt der Exponentialterm eieine mit dem Ort sehr schnell variierende
Funktion, während der andere Term Ê 0 sich nur langsam mit dem Ort ändert.
Generell werden im Folgenden komplexwertige Vektoren (oder andere Größen)
mit einem Dach gekennzeichnet.
Auch für das Magnetfeld wird eine gleichartige Abhängigkeit angenommen:

H r , t   Re Hˆ r e it
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
mit Hˆ r   Hˆ 0 r ei r 
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Maxwell-Gleichungen für zeitharmonische Wellen
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Maxwell-Gleichungen für zeitharmonische Wellen
Für isotrope, lineare und nichtgeladene (=0) Materialien lassen sich
zeitunabhängige Maxwell-Gleichungen formulieren:
Re   Eˆ r  e it  Re i0  r Hˆ r  e it

  
 
Re  Hˆ r e  Re i  r    r Eˆ r e 
Re   r Eˆ r e  0 Folgt aus 2. Gleichung für    r Eˆ r   0 wegen     Hˆ r   0
Re   r Hˆ r e  0 Folgt automatisch aus 1. Gleichung wegen     Eˆ r   0
it
it
0
it
it
Die dritte Gleichung folgt also insbesondere für Dielektrika (=0) oder homogene
Materialien (, und  konstant) aus der 2. Gleichung, so dass es für Dielektrika
oder homogene Materialien nur zwei unabhängige Gleichungen gibt.
Wir haben oben korrekterweise den Realteil genommen. Aber es gilt für eine
beliebige komplexwertige Vektorfunktion f:
Ref r  exp it   Re Ref r  i Imf r cost   i sint  

 Ref r cost   Imf r sint 
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
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Maxwell-Gleichungen für zeitharmonische Wellen
Nun müssen die Gleichungen für alle Zeitpunkte gelten, also z.B. für die
Zeitpunkte t=0 oder t=/(2). Deshalb müssen die zeitunabhängigen MaxwellGleichungen sowohl für Realteil als auch Imaginärteil der nur noch
ortsabhängigen Funktionen gelten und man erhält schließlich für die komplexen
Funktionen die zeitunabhängigen Maxwell-Gleichungen für zeitharmonische
Wellen:
  Eˆ r   i0  r Hˆ r 
  Hˆ r    i 0 r    r Eˆ r 








   r Eˆ r   0 Folgt aus 2. Gleichung für    r Eˆ r   0 wegen     Hˆ r   0
   r Hˆ r   0 Folgt automatisch aus 1. Gleichung wegen     Eˆ r   0
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

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Maxwell-Gleichungen für zeitharmonische Wellen
Bedingungen an die allgemeine zeitharmonische Welle aufgrund der ersten
beiden (zeitunabhängigen) Maxwell-Gleichungen:
Eˆ r   Eˆ 0 r ei r 
Hˆ r   Hˆ 0 r ei r 



  Eˆ r   ir  Eˆ 0 r     Eˆ 0 r  ei r   i 0  r Hˆ 0 r ei r 
  r  Eˆ r   i  Eˆ r     r Hˆ r 
0
0
0
0


  Hˆ r   i r  Hˆ 0 r     Hˆ 0 r  e i r    i 0 r    r Eˆ 0 r e i r 
 r  Hˆ r   i  Hˆ r     r   i r Eˆ r 
0
0
0
0
Um diese Gleichungen weiter zu behandeln, müssen wir wie schon bei der
Herleitung der Eikonalgleichung der geometrischen Optik im Grundkurs Optik I
berücksichtigen, dass Eˆ 0 und Hˆ 0 sich nur langsam mit dem Ort ändern, während
sich ja die Phase einer Welle um 2 ändert, wenn wir nur eine Wellenlänge /n
(im Medium mit Brechzahl n) weitergehen.
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39
Maxwell-Gleichungen für zeitharmonische Wellen
 ist also betragsmäßig sehr groß und die zweiten Terme auf der linken Seite
der beiden Gleichungen dürfen mit guter Näherung vernachlässigt werden,
solange man sich nicht in Regionen der Welle befindet, in denen sich die
Amplitude doch sehr schnell ändert, wie z.B. im Fokusbereich.
Insgesamt erhalten wir also unter der Annahme, dass sich die Amplitude nur
langsam mit dem Ort ändert, zwei Gleichungen für die drei Vektoren:
Hˆ 0 r  
1
 0  r 
r  Eˆ 0 r 
Eˆ 0 r   
1
r  Hˆ 0 r 
 0 r   i r 
Wie wir schon bei Planwellen gesehen hatten, sagen diese Gleichungen aus, dass
, Eˆ 0 und Hˆ 0 ein orthogonales Dreibein von Vektoren bilden. Der Vektor  ist
dabei reell, die anderen beiden Vektoren sind komplexwertig.
Dies ist eine verallgemeinerte Orthogonalitätsbedingung elektromagnetischer
Wellen, die wir aber streng genommen nur im Grenzfall der geometrischen Optik
abgeleitet haben. Nur dort ist ja auch eine Wellenfront eindeutig definiert, so dass
der Vektor  Sinn macht.
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Poynting Vektor für zeitharmonische
elektromagnetische Wellen
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Poynting-Vektor für zeitharmonische Wellen
Zeitabhängige und zeitgemittelte Größen:
Die Schwingungsfrequenz von sichtbarem Licht ist so hoch, dass nur der
Zeitmittelwert durch normale „technisch realisierbare“ Detektoren messbar ist:
=c/=(3.108 m/s)/(0.5.10-6 m)=600 THz
Zeitgemittelter Poynting Vektor S für eine allgemeine zeitharmonische
Welle:

1
S r    S r , t dt 
T 0
2
T


2
2/

 

ˆ r  exp it   Re Hˆ r  exp it  dt 
E
Re

0
 ReEˆ r cost   ImEˆ r sin t  ReHˆ r cost   ImHˆ r sin t dt 
2/
0
   

  


1
1 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
 Re E r   Re H r   Im E r   Im H r   Re E r  H r 

2
2 
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Poynting-Vektor für zeitharmonische Wellen
Besonders interessant ist der Fall der zeitharmonischen Welle im Grenzfall der
geometrischen Optik.
Eˆ r   Eˆ 0 r ei r 
Hˆ r   Hˆ 0 r ei r 
Maxwell-Gleichungen


Hˆ 0 r  
1
 0  r 

r  Eˆ 0 r 



1 ˆ
1
1


ˆ
 S r   Re E r  H r   Re Eˆ 0 r e i r   Hˆ 0 r e i r   Re Eˆ 0 r  Hˆ 0 r  
 2
2 
2
2

1 
1
1

ˆ
ˆ
ˆ
 Re
E 0 r   r  E 0 r   
E 0 r   r 
2   0  r 
 2 0  r 


Der zeitgemittelte Poynting-Vektor ist also parallel zum Gradienten der
Wellenfront (=Strahlrichtung) und proportional zum Betragsquadrat des
komplexen Vektors des elektrischen Feldes Ê 0 . Anstelle von Ê 0 könnte man
auch Ê einsetzen, da dieser Vektor den gleichen Betrag hat.
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Poynting-Vektor für zeitharmonische Wellen
Außerdem wissen wir, dass sich längs des Gradienten der Wellenfront die Phase
um 2 ändert, wenn wir eine Wellenlänge /n im Medium mit Brechzahl n laufen.
Also gilt:
2 n
 

 S r  
nr 
1
2 0  r 
2 2 nr 
ˆ
E 0 r 
e

2
nr  ˆ 2
1
ˆ
E r  e  c 0
E r  e

2c 0  r 
2
 r 
1
40  r 
für Dielektrika

n  
2 2 nr 
ˆ
E r 
e

1
 r  ˆ 2
c 0
E r  e
 r 
2
Hier ist wieder e der Einheitsvektor in Richtung des Gradienten der Wellenfront.
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Wellengleichung
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Wellengleichung
Für homogene Dielektrika hatten wir schon die Wellengleichung abgeleitet. Hier
nun allgemein für lineare, isotrope und ungeladene (=0) Materialien.
Die Maxwell-Gleichungen lauten in
diesem Fall:
 H r , t 
t
 E r , t 
  H r , t    0 r 
  r E r , t 
t
   r E r , t   0
  E r , t     0  r 
   r H r , t   0
Die Rotation der ersten Gleichung ergibt:
 H r , t 
 H r , t  




















    E r , t     0     r 


r
H
r
t
r
,

0
0
t
t 
t

 2 E r , t 
 E r , t 







 ln  r    E r , t 
  E r , t    E r , t    0  0 r  r 

r
r
0
t 2
t
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Wellengleichung
Die dritte Maxwell-Gleichung liefert:
   r E r , t   E r , t    r    r   E r , t   0 
1
  E r , t   
E r , t    r    E r , t   ln  r 
 r 
Aus beiden Gleichungen folgt dann die Wellengleichung für das elektrische Feld:
 r  r   2 E r , t 
 E r , t 




 E r , t   E r , t   ln  r  





r
r
0
2
2
t
t
c
 ln  r    E r , t   0
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47
Wellengleichung
In ähnlicher Weise lässt sich eine Wellengleichung für das magnetische Feld mit
Hilfe der Rotation der zweiten Maxwell-Gleichung und Verwendung der anderen
Gleichungen ableiten:



    H r , t      H r , t     H r , t   H r , t   ln  r    H r , t  
 
 

H

r
t




  r  
,
ln

 E r , t  

  0     r 
     r E r , t  

t



 E r , t 








  0 r
  E r , t   0  r 
  r   E r , t    r  E r , t  
t
t
 2 H r , t 
 E r , t 
 H r , t 






  0  0 r  r 


r


r
r





  r  E r , t 
0
0
2
t
t
t
Durch Auflösen der zweiten Maxwell-Gleichung nach E/t kann auch die
zeitliche Ableitung des elektrischen Feldes eliminiert werden:
 E r , t 
1
 E r , t 
  H r , t    r E r , t 
  H r , t    0 r 
  r E r , t  

t
t
 0 r 
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Wellengleichung
Schließlich erhält man folgende Wellengleichung für das magnetische Feld,
wobei allerdings das elektrische Feld nicht vollständig eliminiert werden konnte:
 H r , t   H r , t   ln  r  
 r  r   2 H r , t 
  0  r  r 
t 2
 ln  r    H r , t    r    r ln  r  E r , t   0
c2
 H r , t 

t
Wellengleichung für elektrisches Feld:
 r  r   2 E r , t 
 E r , t 




 E r , t   E r , t   ln  r  





r
r
0
2
2
t
t
c
 ln  r    E r , t   0
Ein Vergleich mit der Wellengleichung des elektrischen Feldes ergibt, dass beide
Gleichungen beinahe symmetrisch bzgl. einer Ersetzung von E mit H und
gleichzeitig  mit  sind. Nur die Terme, die noch die Leitfähigkeit  enthalten,
sind nicht symmetrisch bzgl. einer derartigen Ersetzung.
Es gibt aber zwei wichtige Spezialfälle, in denen beide Gleichungen symmetrisch
sind.
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Wellengleichung
Wellengleichungen für reine Dielektrika (können aber inhomogen sein):
Leitfähigkeit =0
 E r , t   E r , t   ln  r  
 H r , t   H r , t   ln  r  
 r  r   2 E r , t 
c
2
t
2
 ln  r    E r , t   0
 r  r   2 H r , t 
c
2
t
2
 ln  r    H r , t   0
Diese beiden Wellengleichungen sind symmetrisch bzgl. einer Ersetzung
von E mit H und gleichzeitig  mit .
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50
Wellengleichung
Wellengleichungen für homogene Materialien (Dielektrika oder leitfähige
Materialien wie z.B. Metalle): Gradienten von ,  und  sind Null
 E r, t  
 H r, t  
  2 E r, t 
c2
t 2
  2 H r, t 
c2
t 2
 0 
 E r, t 
0
t
 H r, t 
 0 
0
t
Hier sind beide Wellengleichungen symmetrisch, wenn man nur E mit H ersetzt.
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Helmholtz-Gleichung
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Helmholtz-Gleichung
Die Helmholtz-Gleichungen folgen aus den Wellengleichungen, indem man
zeitharmonische Wellen einsetzt:


H r , t   ReHˆ r e 
E r , t   Re Eˆ r e  it
 it
Die zeitlichen Ableitungen lauten dann:
 E r , t 
 Re  i  Eˆ r  exp  i  t 
t
 H r , t 
 Re  i  Hˆ r  exp  i  t 
t
 2 E r , t 
2
ˆ r  exp  i  t 



E
Re
t 2
 2 H r , t 
2



Re Hˆ r  exp  i  t 
2
t
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







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Helmholtz-Gleichung
Einsetzen in die Wellengleichungen für lineare, isotrope und ungeladene
Materialien ergibt:

 ˆ
ˆ r   ln  r    2  r  r  Eˆ r   


E
r
E




 exp it   0
c2
Re 




 i  r  r Eˆ r   ln  r    Eˆ r 

0









 ˆ

ˆ r   ln  r    2  r  r  Hˆ r  



H
r


H

 exp it   0
c2
Re 




 i  r  r Hˆ r   ln  r    Hˆ r    r    r ln  r  Eˆ r 
0







Wie wir schon bei den zeitunabhängigen Maxwell-Gleichungen für
zeitharmonische Wellen gesehen hatten, müssen diese Gleichungen für alle
Zeitpunkte t gelten, so dass sie sowohl für Realteil als auch Imaginärteil der nur
noch ortsabhängigen Funktionen gelten müssen.
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Helmholtz-Gleichung
Damit erhält man die komplexwertigen und nur noch vom Ort abhängigen
Helmholtz-Gleichungen für elektrisches und magnetisches Feld:
 r  r  ˆ
 Eˆ r    Eˆ r   ln  r    2
E r   i0  r  r Eˆ r  
2
c
 ln  r     Eˆ r   0




 r  r  ˆ
 Hˆ r    Hˆ r   ln  r    2
H r   i0  r  r Hˆ r  
2
c
 ln  r     Hˆ r    r    r ln  r   Eˆ r   0




Besonders interessant sind auch hier wieder, wie schon bei den Wellengleichungen,
die Spezialfälle reiner Dielektrika oder homogener Medien.
Anmerkung: Wir hätten die Helmholtz-Gleichungen auch aus den zeitunabhängigen
Maxwell-Gleichungen für zeitharmonische Wellen direkt ableiten können, anstatt
zeitharmonische Wellen in die Wellengleichungen einzusetzen.
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Helmholtz-Gleichung
Helmholtz-Gleichungen für reine Dielektrika: Leitfähigkeit =0
 r  r  ˆ
 Eˆ r    Eˆ r   ln  r    2
E r   ln  r     Eˆ r   0
2
c




2  r  r  ˆ
ˆ
ˆ
ˆ r   0






 H r    H r   ln  r   
H
r


ln

r



H
c2




Die beiden Gleichungen sind symmetrisch bezüglich einer gleichzeitigen
Vertauschung von Eˆ mit Hˆ und  mit  .
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Helmholtz-Gleichung
Helmholtz-Gleichungen für homogene Materialien: Gradienten von ,  und 
sind Null
2  ˆ
ˆ
ˆ
 E r   
c
2
E r   i0  E r   0
2  ˆ
ˆ


 H r   2 H r   i0  Hˆ r   0
c
Diese beiden Gleichungen sind vollkommen symmetrisch bezüglich Eˆ und Hˆ .
Die Gleichungen können auch in der folgenden Operator-Art geschrieben werden:
  kˆ Eˆ r   0
  kˆ Hˆ r   0
2
2
Hierbei gilt:
kˆ 2  
2 
c
2
 i0 
  2  2c / 


c2
 2  

i




  
0


   

  2 nˆ 

 2  
   
     i

2c 0
   
   
2
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2
2
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Helmholtz-Gleichung
Durch diese Gleichung werden also eine komplexe Brechzahl n̂ und eine
komplexe Dielektrizitätskonstante ˆ definiert, deren Realteil die „normale“ reelle

Dielektrizitätskonstante ist: ˆ 2
n    i
 :    i I   ˆ
2c 0
mit ˆ :   i I und  I 
Die komplexe Brechzahl ist dann bestimmt durch:



2c 0  0
nˆ  n  inI  nˆ 2  n 2  nI2  2i n nI
 n 2  nI2   und 2 n nI 
 I 
2
 n2 
 n
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4n 2


  I  nI  I
2c 0
2n
   n 4   n 2 
   2  2   I2 
2
 
 I 
2
4
 0  n2 
   2  2   I2 
 
2
   2   I2
2
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Helmholtz-Gleichung
Der Imaginärteil der komplexen Brechzahl lautet:
nI 
 I
2n


 I
2     2   I2

Dielektrika:
Wenn die Leitfähigkeit =0 ist, so ist natürlich auch I=0 und nI=0 und es gelten
die „normalen“ Beziehungen, die wir schon früher gesehen hatten:
n̂  n  
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Helmholtz-Gleichung
Anmerkung zu Materialien mit „negativen Konstanten“ (z.B. Negativ-IndexMaterialien):
Bei Dielektrika ist >0 und >0 (und Imaginärteile sind Null).
In Metallen (≠0) kann dagegen  durchaus negativ sein, da ja gilt:

n 2  nI2

Beispiel: Aluminium bei =517 nm Wellenlänge: n=0.826, nI=6.283, =1
=-38.8 und I=2nnI=10.4
Dies ist aber immer mit Absorption verbunden!
Ein Material mit negativer Brechzahl n und ohne Absorption wäre nur möglich,
wenn  und  beide negativ wären (und Imaginärteile fast Null). Solche Materialien
kann man durch künstliche Nanostrukturierung mit Strukturen kleiner als die
Wellenlänge erzeugen. Allerdings sind bei ihnen die Imaginärteile nicht Null und
bisher zeigen solche Materialien deshalb starke Absorption.
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Helmholtz-Gleichung
Einfache Lösung der Helmholtz-Gleichung in homogenen Medien:
Eine sich in z-Richtung ausbreitende ebene Welle erfüllt die Helmholtz-Gleichung
für homogene Medien:
 
Eˆ r   Eˆ 0 exp ikˆz  Eˆ 0 expi 2nˆ z /     Eˆ r   kˆ 2 Eˆ r 
Wenn der Imaginärteil der Brechzahl ungleich Null ist, gilt also:
nˆ  n  inI  Eˆ r   Eˆ 0 expi 2nˆ z /    Eˆ 0 exp 2nI z /   expi 2nz /  
Der erste Exponentialterm beschreibt einen exponentiellen Abfall der Amplitude
(für nI>0), so dass man Absorption formal durch die komplexe Brechzahl
ausdrücken kann. In bestimmten aktiven Medien (z.B. Verstärker-Medien für
Laser) kann nI aber auch negativ sein, so dass Verstärkung auftritt.
Anstelle des Imaginärteils der Brechzahl verwendet man auch gerne den
Absorptionskoeffizienten :  : 4 n  Eˆ r   Eˆ exp z / 2  expi 2nz /  

I
0
1
1
 Für z  gilt S  Eˆ  Eˆ 0

e
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2
2
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Helmholtz-Gleichung
Der Kehrwert des Absorptionskoeffizienten  ist also die Strecke, nach der die
Intensität auf 1/e des Anfangswertes abgefallen ist.
In Metallen ist oft nI>1. Dann ist die Eindringtiefe ze, bei der die Amplitude auf 1/e
des Anfangswerts abfällt (bzw. Intensität auf 1/e2), deutlich geringer als die
Wellenlänge  im Vakuum:

ze  
 2nI
2
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Helmholtz-Gleichung
Inhomogene ebene Wellen als Lösung der Helmholtz-Gleichung in
homogenen Medien:
Der letzte Fall ist der Spezialfall einer so genannten inhomogenen ebenen Welle.
Die allgemeine inhomogene ebene Welle lautet (k und g seien reelle Vektoren):
 


Eˆ r   Eˆ 0 exp i kˆ  r  Eˆ 0 exp  g  r expi k  r  mit kˆ  k  i g
Helmholtz-Gleichung fordert:
2 2
2
2
2
2
4
2 n






n






2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
n  inI    n  i   2   i
k k  k  
n  
2
4


    
  
2
2
ˆ
ˆ
k  k  k  i g  k  i g  k  g  2i k  g
2

Wellenoptik
2
k g 
2


2
2

4 2 n 2

 n
kg 

2

2
4
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Helmholtz-Gleichung
Eine interessante Form einer inhomogenen ebenen Welle liegt vor, wenn keine
Absorption auftritt, also =0.  k  g  0
k senkrecht g  Ebenen mit konstanter Phase und Ebenen mit konstanter
Amplitude stehen auch senkrecht aufeinander.
Inhomogene ebene Wellen können nicht im gesamten Raum existieren, da die
Amplitude sonst irgendwo exponentiell ansteigen müsste. Sie können aber z.B.
bei der Totalreflexion an einer Grenzfläche auftreten. Dann wird die Energie des
Lichts zwar vollständig reflektiert, aber es existiert auch im Medium mit geringerer
Brechzahl ein elektromagnetisches Feld, das aber exponentiell mit dem Abstand
zur Grenzfläche abfällt. Der Vektor k dieser sogenannten evaneszenten Welle ist
parallel zur Grenzfläche, der Vektor g dagegen senkrecht zur Grenzfläche.
Befindet sich parallel zur ersten Grenzfläche allerdings in geringem Abstand (≤)
eine zweite Grenzfläche zu einem Medium, in dem das Licht wieder
ausbreitungsfähig ist, kann trotzdem Energie „durchtunneln“.
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Helmholtz-Gleichung
Illustration einer evaneszenten Welle bzw. deren Nachweis:
Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Evaneszenz
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